Funciones iguales casi en todas partes

Funciones iguales casi en todas partes

Objetivos. Estudiar el concepto de funciones iguales casi en todas partes. Estudiar si- tuaciones cuando de ciertas propiedades de integrales se pueden deducir igualdades de funciones casi en todas partes.

Requisitos. Medida, propiedad subaditiva de la medida, integraci´on, la parte real e imaginaria de una funci´on compleja, la parte positiva y negativa de una funci´on real.

1. Uni´on numerable de conjuntos de medida cero (repaso). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea (A_n)_n∈N una sucesi´on en F tal que µ(An) = 0 para todo n ∈ N.

Entonces

µ [

n∈N

A_n

!

= 0.

2. Definici´on (casi en todas partes). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea P : X → {0, 1} un predicado. Se dice que P se cumple µ-c.t.p. si

µ x ∈ X : no P (x)
= 0.

3. Definici´on (funciones equivalentes). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sean f, g ∈M(X, F, C) o f, g ∈ M(X, F, R+). Se dice que f y g son iguales casi en todas partes respecto µ si

µ x ∈ X : f (x) 6= g(x)
= 0.

Notaci´on: f ∼ g^µ o f =====^µ-c.t.p.= g.

4. Ejercicio. Para cualquier par de funciones f, g definidas en un conjunto X denotemos por N_f,g al conjunto de los puntos de X donde f y g no son iguales:

Nf,g :=x ∈ X : f (x) 6= g(x) . Muestre que

N_f,f = ∅, N_g,f = N_f,g. Demuestre que para cualesquiera f, g, h se cumple la contenci´on

N_f,g ⊂ N_f,h∪ N_h,g.

5. Ejercicio. Usando los resultados del ejercicio anterior demuestre que la relaci´on binaria

∼ es una relaci´µ on de equivalencia.

Funciones iguales casi en todas partes, p´agina 1 de 2

Integrales y propiedades que se cumplen casi en todas partes

6. Integrales de funciones iguales casi en todas partes. Sean f, g ∈M(X, F, R+) o f, g ∈ L¹(X,F, C) tales que f ∼ g. Entonces^µ

Z

X

f dµ = Z

X

g dµ.

7. Sea f ∈ L¹(X,F, R+). Entonces f < +∞ c.t.p.

8. Ejercicio. Sea f : X → R+ una funci´on F-medible y sea Y ∈ F tales que Z

Y

f dµ = 0.

Demuestre que f = 0 casi en todas partes de Y , esto es, µ {x ∈ X : f (x) > 0}
= 0.

9. Ejercicio. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, R) tal que R_Y f dµ = 0 para todo Y ∈ F. Demuestre que f ∼ 0.^µ

10. Ejercicio. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, C) tal que R_Y f dµ = 0 para todo Y ∈ F. Demuestre que f ∼ 0.^µ

11. Sea f ∈ L¹(X,F, µ, C) y       Z

X

f dµ      

= Z

X

|f | dµ.

Entonces existe un α ∈ C tal que αf ∼ |f |.^µ

Valores de integrales y valores de una funci´ on

12. Teorema. Sea µ(X) < +∞, sea f ∈ L¹(X,F, µ, C) y sea S un conjunto cerrado en C. Sup´ongase que AY(f ) ∈ S para cada Y ∈F con µ(Y ) > 0, donde

A_Y(f ) = 1 µ(Y )

Z

Y

f dµ.

Entonces f (x) ∈ S para casi todos x ∈ X.

13. Sea µ(X) < +∞, sea f ∈ L¹(X,F, µ, C), Sup´ongase que para cada Y ∈ F, Z

Y

f dµ ≥ 0.

Entonces f (x) ≥ 0 para casi todos x ∈ X.

Funciones iguales casi en todas partes, p´agina 2 de 2