UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018
TRABAJO PRACTICO
Relaciones de Recurrencia
1. En cada caso, encuentre una relaci´ on de recurrencia y condiciones iniciales que generen una sucesi´ on que comience con los t´ erminos dados.
(a) 3, 7, 11, 15, . . . . (b) 3, 6, 9, 15, 24, 39, . . . .
(c) 1, 1, 2, 4, 16, 128, 4096, . . . .
2. Suponga que una persona invierte $2000 cada a˜ no a un inter´ es anual compuesto del 10%. Sea A n
la cantidad de dinero al final de n a˜ nos.
(a) Encuentre una relaci´ on de recurrencia para la sucesi´ on A 0 , A 1 , A 2 , . . ..
(b) Encuentre una condici´ on inicial para la sucesi´ on A 0 , A 1 , A 2 , . . ..
(c) Encuentre A 1 y A 2 .
(d) ¿Cu´ anto dinero recupera esta persona si al finalizar el tercer a˜ no decide retirarlo y no volver a invertir?
(e) Encuentre una f´ ormula expl´ıcita para A n .
3. Suponga que una persona invierte $3000 al 12% de inter´ es anual compuesto en un plazo fijo que se renueva cada trimestre. Sea A n la cantidad de dinero al final de n a˜ nos.
(a) Encuentre una relaci´ on de recurrencia para la sucesi´ on A 0 , A 1 , A 2 , . . . . (b) Encuentre una condici´ on inicial para la sucesi´ on A 0 , A 1 , A 2 , . . . .
(c) Encuentre A 1 , A 2 y A 3 .
(d) Encuentre una f´ ormula expl´ıcita para A n .
(e) ¿Cu´ anto tiempo tomar´ a que esta persona duplique su inversi´ on inicial?
4. Sea P n el n´ umero de permutaciones de n objetos diferentes.
(a) Encuentre una relaci´ on de recurrencia y una condici´ on inicial para la sucesi´ on P 1 , P 2 , . . . . (b) Encuentre una f´ ormula expl´ıcita para P n .
5. Suponga que tiene n pesos y que, mientras le alcance el dinero, cada d´ıa compra una de las siguientes bebidas: jugo ($1), leche ($2) o cerveza ($2). Si G n denota el n´ umero de maneras de gastar todo el dinero, argumente la validez de la siguiente relaci´ on de recurrencia para n ¥ 1:
G n G n 1 2G n 2 .
Tomar en cuenta el orden. Por ejemplo, hay 11 maneras de gastar $4: LC, CL, JJL, JJC, JLJ, JCJ, LJJ, CJJ, JJJJ, LL, CC
6. Sea S n el n´ umero de cadenas de n bits que no contienen el patr´ on 010. Encuentre una relaci´ on de recurrencia y condiciones iniciales para la sucesi´ on tS n u.
7. Sea S n el n´ umero de cadenas de n bits que no contienen el patr´ on 000. Encuentre una relaci´ on de recurrencia y condiciones iniciales para la sucesi´ on tS n u.
8. Sea S n el n´ umero de cadenas de n bits que no contienen el patr´ on 00. Encuentre una relaci´ on de recurrencia y condiciones iniciales para la sucesi´ on tS n u. Muestre que S n F n 2 , donde F n es el n-´ esimo t´ ermino de la sucesi´ on de Fibonacci.
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9. El n-´ esimo n´ umero de Catalan C n es igual al n´ umero de rutas de la esquina inferior izquierda de una rejilla cuadrada de n n a la esquina superior derecha si estamos restringidos a viajar s´olo a la derecha o hacia arriba y si se permite tocar pero no pasar arriba de la diagonal entre la esquina inferior izquierda y la superior derecha. Tal ruta recibe el nombre de ruta buena. Mostrar que los n´ umeros de Catalan verifican la relaci´ on de recurrencia
C n
¸ n k 1
C k 1 C n k
10. Considere la sucesi´ on g 1 , g 2 , . . . definida por la relaci´ on de recurrencia g n g n 1 g n 2 1 para n ¥ 3, y las condiciones iniciales
g 1 1, g 2 3.
Utilizando inducci´ on matem´ atica o de otra manera, demuestre que g n 2f n 1 1 para n ¥ 1, donde f 1 , f 2 , . . . es la sucesi´ on de Fibonacci.
11. Inspeccionando con valores peque˜ nos de n, proponga una relaci´ on de recurrencia para C pn, kq, el n´ umero de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos.
12. Para cada una de las siguientes relaciones de recurrencia diga si es homog´ enea lineal con coeficientes constantes y, en caso de serlo, indique su orden.
(a) a n 3a n 1 . (b) a n 2na n 1 .
(c) a n a n 1 n.
(d) a n 7a n 2 6a n 3 . (e) a n a n 1 1 2 n 1 . (f) a n plogp2qa n 1 πa n 2 . (g) a n a n 1 a n 2 . (h) a n 5a n 1 a n 2 3a n 3 .
13. En cada caso, resuelva la relaci´ on indicada para las condiciones iniciales que se se˜ nalan.
(a) Ejercicio 1 (a); a 0 2.
(b) Ejercicio 1 (b); a 0 1.
(c) Ejercicio 1 (c); a 0 0.
(d) a n 2 n a n 1 , n ¡ 0; a 0 1.
(e) a n 6a n 1 8a n 2 ; a 0 1, a 1 0.
(f) 9a n 6a n 1 a n 2 ; a 0 6, a 1 5.
14. Resuelva la relaci´ on de recurrencia obtenida en en el ejercicio 5.
15. La poblaci´ on de Utop´ıa aumenta en un 5% cada a˜ no. En el a˜ no 2000 la poblaci´ on era de 10,000.
¿Cu´ al era la poblaci´ on en 1970?
16. Algunas veces, una relaci´ on de recurrencia que no es una ecuaci´ on lineal homog´ enea con coeficientes constantes se puede transformar en una ecuaci´ on de este tipo. En cada uno de los siguientes casos, realice la sustituci´ on que se indica y resuelva la relaci´ on de recurrencia resultante. Despu´ es, encuentre la soluci´ on de la relaci´ on de recurrencia original.
(a) ? a n ?a n 1 2 ? a n 2 , con condiciones iniciales a 0 a 1 1. Haga la sustituci´on b n ? a n .
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(b) a n b a
n2