Funciones Funciones

(1)

Funciones Funciones

 Continuidad de una función Continuidad de una función

 Tipos de discontinuidad Tipos de discontinuidad

 Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos

(2)

Una función f(x) es continua en un punto x = a Una función f(x) es continua en un punto x = a

si cumple:

1. 1. Existe f(a) Existe f(a)

Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = a

que la función es discontinua en x = a

xa f (x)  lim lim xa f (x)   lim xa f (x) 2. Existe

2. Existe

xa f (x) lim 3. Se cumple que f(a) =

3. Se cumple que f(a) =

(3)

Ejemplo

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función : Estudiar la continuidad de la función

x2 lim

^

x2 1

x 2  5

0

^



f (x)  x21 x 2

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.

Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.

Evidentemente no existe f(2)

No se puede dividir por 0

x2 lim x2 1

x 2  5

0 

Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2

Números muy pequeños pero negativos:

1,90 – 2 = - 0,1

Números muy pequeños pero positivos:

1,90 - 2 = 0,1

Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)

límites laterales)

(4)

Veamos la gráfica de la función:

f (x)  x21 x 2

Cuando me acerco a 2

^-

la función va hacia -∞

Cuando me acerco a 2

⁺

la función va hacia +∞

Aquí tendremos

Una Asíntota vertical

De ecuación x=2

(5)

Veamos el siguiente ejemplo con una función Veamos el siguiente ejemplo con una función

definida a trozos:

f (x) 

5 x 2

x2 6x10 2 x5 4x 15 x 5















Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es

continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una parábola.

Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una recta.

Siempre es continua en su intervalo de definición.

Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los

casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir

algún cambio respecto a la continuidad

(6)

Si nos fijamos en la gráfica de esta función Si nos fijamos en la gráfica de esta función

veremos que:

Disc onti nua de 1 ª es pec ie

en x = 2 con salt o de 3 u .

Con tinu

a en

x = 5

(7)

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2 Estudiamos analíticamente el caso de x = 2

x2 lim 55

f (x) 

5 x 2

x2 6x10 2 x5 4x 15 x 5















x2 lim

^

x2 6x102

f (2)  5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.

donde se produce un salto de 3 unidades.

(8)

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5 Estudiamos analíticamente el caso de x = 5

x5 lim x

²

6x105

f (x) 

5 x 2

x2 6x10 2 x5 4x 15 x 5















x5 lim

^

4x 155

f (5)  5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

(9)

Veamos algún caso con una discontinuidad del Veamos algún caso con una discontinuidad del

tipo “Evitable”

f (x)  x2 ^ 3x 2

x 1 Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }

1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

2. lim

x1

x2 ^ 3x 2

x 1 ^{ 0} 0  lim

x1

  x1 ^{ x2}  

x 1 ^{ lim}

x1

  x2 ^{ 1}

lim

x1

x2 ^ 3x 2

x 1 ^{ 0} 0  lim

x1

x 1

  ^{ x2}  

x 1 ^{ lim}

x1

x 2

  ^{ 1}

 lim

x 1 f (x)  f (1) que no existe

(10)

Veamos ahora la gráfica de la función Veamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un agujero para x =

1

(11)

Otro ejemplo de una función con discontinuidad Otro ejemplo de una función con discontinuidad

“de 1ª Especie con salto ∞”

f (x)  x2 ^ 3x 2

x 3 Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }

1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio 2 3 2 2

lim 3 3 0

2. ^x ^x

x        x 

^

2 3 2 2

lim 3 3 0

x x

x       x 

^

3 3

lim ( ) lim ( )

x _

f x

x _

f x unidades







 

f(x) es discontinua de 1ª especie con

salto de

(12)

Veamos ahora la gráfica de la función

(13)

Otro ejemplo de una función con discontinuidades Otro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio

3 8 9

lim 1 3 2 1 0

2. ^x ^x

x x x

x

^



 

    

 



3 8 9

lim 1 3 2 1 0

x x

x x x

x

^



 

    

 



f(x) es discontinua evitable en el

( ) 3 8

3 2 1

f x x

x x x

  

  

Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)

(14)

Otro ejemplo de una función con discontinuidades Otro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

3 8 7

lim 1 3 2 1 0

2. ^x ^x

x x x

x

^



 

   

 



3 8 7

lim 1 3 2 1 0

x x

x x x

x

^



 

   

 



( ) 3 8

3 2 1

f x x

x x x

  

  

f(x) es discontinua de 1ª especie con

(15)

A.H. y= -1 A.V. x= 1

A.V. x= -1

Veamos la gráfica de esta función:

(16)