UNIDAD 6 Determinantes

(1)

Determinantes

UNIDAD 6

Prof. Rosa De Peña

(2)

1

Algebra Superior Rosa De Peña Determinantes Unidad 6

Índice

6.1 Definición y notación de determinante………..2

6.2 Cálculo de un determinante de segundo orden……… ..2

6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de tercer orden……….2

6.4 Propiedades de los determinantes……….3

6.5 Menor complementario………4

6.6 Cofactor o Adjunto……….4

6.7 Desarrollo de determinantes por los elementos de una línea……….……5

6.8 Método para calcular un determinante de orden n3………... 6

6.9 Método pivotal o de Chío para calcular determinantes de cualquier orden…………6

6.10 Multiplicación de determinantes. Determinante del producto de matrices………….9

6.11 Matriz de los cofactores………10

6.12 Matriz adjunta………10

6.13 Matriz inversa de una matriz cuadrada………10

6.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.. ..13

6.15 Ejemplos……… …16

Bibliografía Consultada ……….………17

(3)

2

Algebra Superior Rosa De Peña

Determinantes Unidad 6

6.1 Determinantes

Un determinante asociado a una matriz cuadrada de orden " n" en donde " n" es cualquier número entero y positivo, se representa con un arreglo cuadrado de n elementos, ² dispuestos en " n" columnas y " n" filas colocados entre barras verticales. Su valor viene dado por la suma algebraica de todos los posibles productos distintos, cada uno con" n"

factores, que pueden formarse al tomar un elemento, y solamente uno, de cada columna y de cada fila. Estos productos van precedidos de los signos más o menos según que presenten un número par o impar de inversiones. El producto formado con los elementos de la diagonal principal no tiene inversiones y está precedido por el signo más, llamándosele término principal.

6.2

Calculo de un determinante de segundo orden: ₁ ₂ ₂ ₁

2 2

1

1 ab a b

b a

b

A a  

Calculo de un determinante de tercer orden:

1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3

2 2 2

1 1 1

c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a

c b a

B      

Cada término del desarrollo es el producto de tres literales escritos en orden alfabético, diciendo que se trata de su orden natural. Los términos difieren unos de otros solamente en el orden de los subíndices 1,2,3 los cuales pueden permutarse en 3 ! 6 formas diferentes.

Los subíndices del primer término del desarrollo son 1,2,3, ordenados según su magnitud, este orden se llama el orden normal. Cuando un subíndice mayor precede a uno menor, se dice que definen una inversión. El primer término a₁b₂c₃ , formado con los elementos de la diagonal principal, no tiene inversiones.

6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un Determinante de Tercer Orden

Un modo sencillo de determinar el valor de un determinante de tercer orden es aplicando la Regla de Sarrus. La regla consiste en repetir debajo de la última fila, las dos primeras filas del determinante o en repetir al lado de la última columna, las dos primeras columnas del determinante. Luego se procede a trazar tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha que incluyan siempre tres elementos. Los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado;

produciendo la suma algebraica de dichos productos el valor del determinante.

(4)

3

6.4 Propiedades de los Determinantes

I. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada son nulos, el determinante A 0 Esto es así debido a que, como cada término del desarrollo de un determinante contiene un elemento de esta fila (o columna), entonces todos los términos de la suma serán nulos.

II. Si en un determinante se intercambian las filas por las columnas, el valor del determinante no se altera.

A  A^T

A partir de esta propiedad se concluye que cualquier teorema sobre los determinantes que sea válido para sus filas es también válido para sus columnas

III. Si dos filas (o columnas) de un determinante se intercambian, el valor del determinante cambia de signo pero conserva su valor absoluto. O sea que si B se obtiene de permutando dos cualesquiera de sus líneas, entonces B A

IV. Si en un determinante hay dos filas o dos columnas iguales su valor es cero.

V. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por un mismo escalar " k" , entonces el nuevo determinante tiene un valor igual a " k" veces el del determinante original.

 

2 2

1 1 1

2 2 1 1 2 2 1 2 2

1 1

b a

b k a b a b a k b ka b b ka

ka b

ka     

De esta propiedad se deduce que si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor común " k" entonces " k" es un factor del determinante. Este factor común " k" puede eliminarse de cada elemento de la fila y colocarse como multiplicador frente al determinante resultante.

VI. Si en un determinante los elementos de una fila (o columna), son iguales a los de otra fila (o columna) multiplicados por un mismo número, su valor es igual a cero.



3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

b a a

b a a k b a ka

b a ka

 

1 2 3  1 2 3



 1 2 3  1 3 2  1 2 3  1 2 3





 

⁰ ⁰

k a a b a b a a a b a a b ba a ba a k

(5)

4

VII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante es igual a la suma de varios términos, el determinante puede escribirse como la suma de tantos determinantes como términos tengan los elementos de la fila(o columna) de que se trate.

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

c b k

c b m

c b a

c b k m a







Ver ejemplo con la diagonal principal



a1 m1 k1



b2c3 a1b2c3m1b2c3 k1b2c3

VIII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número " k" y el resultado se suma al elemento correspondiente de otra fila (o columna) el valor del determinante no se altera.

6.5 Menor Complementario

Se llama menor complementario de un elemento de un determinante, al determinante de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que pertenece dicho elemento.

Ejemplos: Dado:

3 2 0

1 1 1

2 0 3



A  Hallar: a) M₁₁ b) M₂₃ c)

M32

a) M₁₁ =

3 2

1 1



 b) M₂₃ = 2 0

0

3 c) M₃₂ =

1 1

2 3



6.6 Cofactor o Adjunto

Se llama cofactor de un elemento de un determinante al menor complementario de ese elemento, precedido por el signo más o el signo menos, según que la suma de los números de la fila y la columna a que pertenece el elemento sea par o impar, respectivamente.

Ejemplos

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

A  a) M₁₁ =

33 32

23 22

a a

a

a b) M₂₁ =

33 32

13 12

a a

Cofactores: ₁₁ ^

 

^¹^²^¹^^M₁₁ ^ ^M₁₁

₂₁ 

 

1^²^¹^M₂₁ M₂₁

(6)

5

6.7 Desarrollo de un Determinante por los Elementos de una Línea

El valor de cualquier determinante de orden" n" es igual a la suma de " n" productos cada uno de los cuales se forma multiplicando cada elemento de una cualquiera de las filas (o columnas) por sus cofactores correspondientes. Entonces en este caso se dice que el determinante se ha desarrollado con respecto a los elementos de esta fila o columna.





a₁₁₁₁ a₁₂₁₂ a₁₃₁₃

A a₁₁ M₁₁ a₁₂ M₁₂ a₁₃ M₁₃ Ejemplos

1) Calcular el siguiente determinante con respecto a los elementos de:

3 0 2

5 3 1

4 2 3





A

a) La tercera fila

  

^ ^

  

^ ^

3 1

2 1 3

5 3 1

4 03 5 3

4 1 1

2  ³^¹     ³^³



 A

^A ^

 

^² ¹⁰^¹²



^⁰^

 

^³ ⁹^²



^^¹⁷

b) La segunda columna.

  

^ ^

 

^ ^

5 1

4 03 3 2

4 1 3

3 3 2

5 1 1

2 ¹ ² ² ² 



 

 

 

 ^ ^

A

^A ^

 

^² ^³^¹⁰

  

^ ³ ^⁹^⁸



^^¹⁷

(7)

6

6.8 Método para Calcular un Determinante de Cualquier Orden, transformándole de manera que aparezcan tantos ceros como sea posible en una fila (o columna)

1) Se elige como base una fila (o columna).

2) Se multiplica cada elemento de la fila base (o columna) por un número tal que al sumar el resultado con el elemento correspondiente de otra fila (o columna), se obtenga por lo menos un elemento igual a cero.

3) Se repite el paso dos

 

2 tantas veces como sea necesario hasta obtener un determinante equivalente en el que todos los elementos de una misma fila (o columna), con excepción de uno, sean ceros.

4) Se desarrolla el determinante obtenido en el paso tres

 

3 con respecto a la fila (o columna) que tiene todos sus elementos iguales a cero, con excepción de uno de ellos, obteniendo así un solo determinante del orden inmediato inferior.

5) Se repite el proceso anterior con el determinante obtenido en el paso cuarto

 

^{4 .}

6) Se continúa este procedimiento hasta obtener un determinante de orden tres

 

^{3 ó dos}

 

^{2 , que}

se calculan como ya hemos indicado.

6.9 Método Pivotal o de Chío para Calcular Determinantes

Consiste en transformar un determinante de orden " n" en otro equivalente anulando todos los elementos de una fila o columna cualquiera menos uno, en cuyo caso el valor del determinante es el producto del elemento no nulo por su cofactor. Este es un determinante de orden " n 1" , que se transforma por el mismo método hasta llegar a n1 cuyo valor coincide con el único elemento del determinante.

Desarrollaremos el método para un determinante de cuarto



4to orden. Consideremos el .



determinante y elijamos como elemento pivotal el "C₄"que supondremos igual a uno(1) (si

"

"C₄ es diferente de uno) y por supuesto distinto de cero, dividimos la tercera (3ra.) fila por"C₄" Dividiendo la primera (1ra.), segunda (2da.) , y tercera (3ra.) columna por C₁,C₂,C₃, respectivamente, se tiene:

(8)

7

4 3 2 1

d d d d

c c c c

b b b b

a a a a A 

4 3 3 2 2 1 1

3 2 1

1 1 1 1

c d d c d c d

c b b c b c b

c a a c a c a

c c c



Restando la cuarta columna a las restantes, se obtiene:

A

4 4 3 3 4 2 2 4 1 1

3 2 1

1 0

0 0

d c d

d d c d d c d

b c b

b b c b b c b

a c a

a a c a a c a

c c c





Desarrollando este determinante por la tercera fila resulta:

 

^ ^

4 3 3 4 2 2 4 1 1

3 2 1 4

1 3

c d d d c d d c d

c b b b c b b c b

c a a a c a a c a

c c c A



 ^

Introduciendo el factor en el determinante se obtiene finalmente:

 

4 3 3 4 2

4 1 1

4 3 3 4 2 2 4 1 1

2

1

d c d d c d d c d

b c b b c b b c b

a c a a c a a c a A





Se resuelve este determinante de tercer orden usando este mismo procedimiento o empleando la Regla de Sarrus.

(9)

8

Ejemplo:

Calcular A, empleando el Método Pivotal o de Felice Chiò(matemático italiano).

1 3 1 5

2 2 1 3

7 6 4 2

7 3 3 1



A Elegir el a como elemento pivotal. ₃₂

   

^



2 1 2 1 3 3

5 1 1 1

1

2 3 7 3 4

2

2 7 2 3 3 3 1

2 2 3 1 3 1 5

2 2 1 3

7 6 4 2

7 3 3 1 A

         

^ ^

1 1 2

1 2 10

1 3 8 1

1 1 1 2

0 0 1 0

1 2 4 10

1 3 3 8

2 1 2 1 1 3 2

0 0 1

0 2

1 1 3 4

10

2 1 2 3 3 3 8

2 2 3

2 1 1 1 2 1 3 3 1 5

0 0 1 0

2 4 4 7 3 4 3 4 2

2 3 3 7 2 3 3 3 3 1

2 2

3 ³ ²















 ^

A







  

 



 



 



 2 1

2 1 10

1 2

1 3 10

1 1

1 8 2

A

     



^⁸ ²^¹ ^³¹⁰^² ^¹^¹⁰^⁴



^^



^²⁴^³⁶^⁶



^^⁽⁶⁾^^⁶



 A

A 6

(10)

9

6.10 Multiplicación de Determinantes. Determinante del Producto de Matrices

Dadas 









 

2 1

5

A 3 









 

3 7

0

B 2

A) Resuelva A B 

11 5 6 



A B 606

  

¹¹ ^⁶ ^^⁶⁶

 B A

66



 B A

B) Pruebe AB  A B

       

^_









 





















 









 









 

6 12

15 41 3

2 0 1 7 2 2 1

3 5 0 3 5 5 2 3 3 7

0 2 2 1

5 AB 3

 

⁶ ¹²



¹⁵



²⁴⁶ ¹⁸⁰ ⁶⁶

6 41 12

15

41       



  AB

66 AB 

Como A B 66 y AB 66

Entonces: A B  AB

(11)

10

6.11 Matriz de los Cofactores

Sea:

 

aij

A 

una matriz cuadrada de orden " n" y "_ij"el cofactor o adjunto (menor complementario con su signo) del elemento "a_ij", entonces se llamará Matriz de Cofactores a la matriz formada por los cofactores o adjuntos de cada uno de sus elementos.









22 21

12 11

a a

a

A a ;

Matrices de los cofactores de _









22 21

12 11



 A 

6.12 Matriz Adjunta

Sea A una matriz cuadrada de orden " n" , entonces se llamará Matriz Adjunta de A a la traspuesta de la matriz de los cofactores.

6.13 Inversa de una Matriz Cuadrada A

La inversa de A se obtiene al multiplicar la matriz adjunta de A por el inverso del valor del determinante de A . De ahí se concluye que la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A posea inversa es que sea regular, esto es que el determinante sea distinto de cero ( A 0). La inversa de una matriz regular de orden " n" es única.

Determine la matriz inversa de A, siendo















3 4 1

4 3 1

3 2 1 A

Pasos a seguir para calcular la inversa.

Primero: Hallamos el determinante de A. Si A 0, entonces la matriz posee inversa.

Si el A 0, la matriz considerada no posee inversa.

Determinante de A=

3 4 1

4 3 1

3 2 1

= 1 4

3 31 3 1

4 21 3 4

4

13  

(12)

11

2 3 2 7 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 7 ) 3 4 ( 3 ) 4 3 ( 2 16

9            

 DetA

2



 DetA

Segundo: Encontramos la matriz de los cofactores de A

Matriz de cofactores de















33 32 31

23 22 21

13 12 11



 A

 

^ ^ 9 16 7 3

4 4 1 ¹ ¹ 3

11   ^   



 

^ ^

( 3 4 ) 1

3 1

4 1

¹ ²

1

12

 

^

   



 

^ ^ 4 3 1 4

1 3 1 ¹ ³ 1

13   ^   



 

^ ^ ⁽⁶ ¹²⁾ ⁶

3 4

3 1 ² ¹ 2

21   ^   



 

^ ^

3 3 0

3 1

² ²

1

22

 

^

  



 

^ ^ (4 2) 2

4 1

2 1 ² ³ 1

23   ^   



 

^ ^ 8 9 1

4 3

3 1 ³ ¹ 2

31   ^   



 

^ ^

⁽ ⁴ ³ ⁾ ¹

4 1

3 1

³ ²

1

32

 

^

    



 

^ ^

³ ² ¹

3 1

2 1

³ ³

1

33

 

^

  



Matriz de cofactores de















33 32 31

23 22 21

13 12 11



 A

















1 1 1

2 0 6

1 1 7

(13)

12

Tercero: Formamos la matriz de los adjuntos

















1 2 1

1 0 1

1 6 7 AdjA

Cuarto: Multiplicamos el recíproco del determinante por la matriz de los adjuntos. La matriz encontrada corresponde a la matriz inversa de A.

































 





 



2 1 1 2 1

2 0 1 2 1

2 3 1 2 7

1 2 1

1 0 1

1 6 7 2

1 1 A

Matriz inversa de A es :















 

2 1 1 2 1

2 0 1 2 1

2 3 1 2 7 A 1

Comprobar que : AA^1 I













 

3 4 1

4 3 1

3 2 1 AA 1















2 1 1 2

1 2

0 1 2

1 2

3 1 2 7

=

AA^1 

                 

^^















































12 2

1 2 1 2

1 2

7

12 12

12 2

7

12 12

12 2

7

3 4

1 1 3 0 4 3 1 3

4 1

4 3 1 1 4 0 3 3 1 4

3 1

3 2

1 1 3 0 2 3 1 3

2 1

=

1  AA



























2 3 2

1 2

3 2

7

2 3 12 2

3 2 7

2 3 12

2 3 2 7

2 3

0 3 2

2 4

0 3 2

1 3

0 3 1

=













1 0 0

0 1 0

0 0 1

(14)

13

6.14 Regla de Cramer.

Resolución de Sistemas de Igual Número de Ecuaciones que de Incógnitas, con Determinante No Nulo.

1) a₁₁x₁ a₁₂x₂ a₁₃x₃ k₁ a₂₁x₁ a₂₂x₂ a₂₃x₃ k₂ a₃₁x₁ a₃₂x₂ a₃₃x₃ k₃

El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas

Determinante del sistema.

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a D 

Si se desarrolla D por los elementos de la primera columna, tenemos:

3 31 2 21 1

11A a A a A

a

D   

Considerando a A₁,A₂,A₃ cofactores respectivos de a₁₁,a₂₁,a₃₁

3 3 2 2 1 1 33 32 3

23 22 2

13 12 1

' k A k A k A

a a k

D    

1) Multiplicando cada ecuación por el cofactor correspondiente a su primer elemento, tenemos:

3.1) A₁a₁₁x₁  A₁a₁₂x₂ A₁a₁₃x₃ A₁k₁ 3.2) A₂a₂₁x₁A₂a₂₂x₂ A₂a₂₃x₃  A₂k₂ 3.3) A₃a₃₁x₁  A₃a₃₂x₂  A₃a₃₃x₃ A₃k₃ Sumando miembro a miembro las igualdades 3.1, 3.2, 3.3:

(A₁a₁₁x₁  A₂a₂₁x₁  A₃a₃₁x₁)(A₁a₁₂x₂  A₂a₂₂x₂  A₃a₃₂x₂)(A₁a₁₃x₃  A₂a₂₃x₃  A₃a₃₃x₃)

= A₁K₁  A₂K₂  A₃K₃

(15)

14

(A₁a₁₁  A₂a₂₁  A₃a₃₁)x₁ (A₁a₁₂  A₂a₂₂  A₃a₃₂)x₂ (A₁a₁₃  A₂a₂₃  A₃a₃₃)x₃=

3 3 2 2 1

1K A K A K

A  

Como (A₁a₁₂  A₂a₂₂  A₃a₃₂)(A₁a₁₃  A₂a₂₃  A₃a₃₃)= 0

La suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) multiplicados por los cofactores de otra línea siempre es igual a cero.

Entonces, nos queda que:

(A₁a₁₁  A₂a₂₁  A₃a₃₁)x₁=A₁K₁  A₂K₂  A₃K₃ De donde:

D D a A a A a A

K A K A k

x A '

31 3 21 2 11 1

3 3 2 2 1 1

1 



 

Bajo la hipótesis de que el determinante del sistema es diferente de cero, el sistema admite una y solamente una solución, la cual viene dada por el cociente entre el determinante de la matriz que se obtiene de la matriz D del sistema, reemplazando la columna correspondiente a la incógnita que se investiga por la columna de los términos conocidos k dividido entre el determinante del _i sistema.

Ejemplo Propuesto

A) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer, si es posible.

3x2y4z11 5 2 8

5   

 x y z

6x3yz3

) 48 15 ( 4 ) 12 5 ( 2 ) 6 8 ( 3 3 6

8 4 5

1 6

2 2 5

1 3

2 3 8

1 3 6

2 8 5

4 2 3





 

 



 



 



 D 

D 6141321120

(16)

15

112 1 112 112

3 3

8 4 5

1 3

2 2 5

1 3

2 11 8

1 3 3

2 8 5

4 2 11



 



 



 



 

 



 D

x

112 2 224 112

3 6

5 4 5

1 6

2 11 5

1 3

2 3 5

1 3 6

2 5 5

4 11 3

 

 



 



 



 



 D

y

112 3 336 112

3 6

8 11 5

3 6

5 2 5

3 3

5 3 8

3 3 6

5 8 5

11 2

3

 

 



 



 



 



 D

z

El conjunto solución es: (x, y, z) = ( -1, 2 ,3 ) B) Determine X en cada caso:

1)

3 2 1

2 1 0

6 3 4 4 3

2  x

Desarrollando los dos determinantes:

2 1

1 60 3 1

2 30 3 2

2 41 6

4x   

4x64(34)3(02)6(01)

4 6 6 4 ) 1 ( 6 ) 2 ( 3 ) 1 ( 4 6

4x          

4x642 Por lo que : 2

1 x

(17)

16

2) 0

2 1

1 1

1 2





x x x

Desarrollando el determinante: 0

2 1 1 1 1

1 2 1 2

1 



 



 



x x

x x x



^x² ^²



^²



^^x^¹

 

^¹²^^x



^⁰

x



x³ 2x2x22x0





¹



⁰

0 ²

3 x x x  

x



Igualando cada factor a cero: x0 0

2 1





x



x 1



x1  x1

6.15 Ejemplos.

Determine X en cada caso:

a)

3 2 1

2 1 0

6 3 4 4 3

2  x

Desarrollando los dos determinantes:

2 1

1 60 3 1

2 30 3 2

2 41 6

4x   

4x64(34)3(02)6(01)

4 6 6 4 ) 1 ( 6 ) 2 ( 3 ) 1 ( 4 6

4x          

4x642 Por lo que : 2

1 x

b) 0

2 1

1 1

1 2





x x x

Desarrollando el determinante: 0

2 1 1 1 1

1 2 1 2

1 



 



 



x x

x x x



^x² ^²



^²



^^x^¹

 

^¹²^^x



^⁰

x



x³ 2x2x22x0





¹



⁰

0 ²

3 x x x  

x



Igualando cada factor a cero: x0 0

2 1





x



x 1



x1  x1

(18)

17

Bibliografía Consultada

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edicion). Mexico:

Thomson Learning Iberoamerica.

Grossman, Stanley I. (1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria.(Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición).

México: Pearson.

Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L.

(1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.

Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas.

(Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.

Notas de Cátedra de:

Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.

Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones electrónicas

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Determinantes_de_orden_3/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer