INTEGRAL DEFINIDA EL TEÓREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. f, desde a hasta b, es. y = x desde 0 hasta 1

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1

INTEGRAL DEFINIDA

Definición: si f es una función continua definida para a≤x≤b, dividimos el intervalo [ ba, ] en n subintervalos de igual ancho Δx=^b−_n^a. Denotamos con x =₀( a), x₁,x₂,K,x_n(=b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestra x₁^*,x^*₂,K,x_n^* en estos subintervalos, de modo que x se encuentra en el i-ésimo subintervalo _i^* [x_i−1,x_i]. Entonces la integral definida de

f , desde a hasta b, es

∫ ∑

∞ =

→ Δ

=

n

i i b

af x dx nLim f x x

1

*) ( )

(

La suma

∑

=

Δ

n

i

i x

x f

1

*)

( se llama suma de Riemann, en honor del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866)

El problema del área.

1. Use rectángulos para estimar el área bajo la curva y =x² desde 0 hasta 1

Definición: el área de la región

s

que se encuentra debajo de la gráfica de la función f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

] ) ( )

( )

(

[f x₁ x f x₂ x f x x

Lim R

Lim

A _n

n n

n = Δ + Δ + + Δ

= →∞ →∞ L

EL TEÓREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales.

Primer teorema fundamental del cálculo: Sea f una función continua en el intervalo cerrado ]

,

[ ba . Si F es la función definida por

∫

= ^x

a f t dt x

f( ) ( ) Entonces )

( ) (

' x f x

F = ⇔ _dx^d

∫

_a^{xf(t)dt= f(x)}

Segundo teorema fundamental del cálculo: Sea f una función continua en el intervalo cerrado ]

,

[ ba , entonces ) ( ) ( )

(x dx F b F a

bf

a = −

∫

En donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, una función tal que F =' f

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ÁREAS BAJO Y ENTRE CURVAS

Función positiva: Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los pun t o s de c ort e con el eje x , haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación 2º El área es igual a la i nt egr al defi n i da de l a fun ci ó n que tiene como límites de integración los puntos de corte

Ejercicio: Calcular el área del recinto limitado por la curva y=9 x− ² ∧ el eje x A =36u²

Hallar el área limitada por la recta x+ y =10, el eje x ∧ las rectas x=2 y x=8 A =30u² Función negativa

Si la función es negativa en un intervalo [ ba, ] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El á r ea de l a fu nc i ón viene dada por:

∫

∫

⁼

−

= ^b

a b

a f x dx f x dx

A ( ) ( )

Ejercicio: Calcular el área del recinto limitado por la curva y= x² −4x ∧ el eje x ² 3 32u A =

Función con valores positivos y negativos

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el á rea d e l a fu n c i ón seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje x , haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El á rea es igual a la s uma d e l a s i nt e gral e s de fi ni da s en valor absoluto de cada intervalo Ejemplo: Determine el área de la región limitada por la curva y=x³−6x²+8x, el eje x ∧ las rectas x=1 ∧ x=3

f(x)=x^3-6x^2+8x Relleno 1

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

x y

∫

1^{2 − + +}

∫

^{− − +}

3 2

2 3 2

3 6 8 ) ( 6 8 )

(x x x dx x x x dx

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3

2 2 4 3

2

1 2 4 3

4 4 2

4

4 2 



 



− + −

 +



 



 − + x x x

x x x

= ²

2

7u ²

2 7u A =

Ejercicios

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y=4x−x² ∧ el eje x ² 3 32u A =

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y=x²−4x ∧ el eje x ² 3 32u A =

3. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva y =lnx entre el punto de corte con

el eje x ∧ el punto de abscisa x =e A =1u²

4. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva 4 3

2

−

= x

y , el eje x ∧ las ordenadas x=−2 ∧ x=3

f(x)=(x ^2/3)-4 Shading 1

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

x y

²

9 145u A =

5. Calcular el área del recinto limitado por la curva y= x²−16 ∧ el eje x ² 3 256u A =

6. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= 1+ x, el eje x _{∧ las}

ordenadas x=0 ∧ x=4 ²

3 28u A =

7. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= x² +1, el eje x ∧ las

ordenadas x=−1 ∧ x=2 A =6u²

8. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x²−7x+10, el eje x ∧ las

ordenadas x=0 ∧ x=3 ²

3 20u A =

9. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y = x³ +7x² +10x ∧ el eje x

2

12 253u A = 10. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³+x²−2x ∧ el eje x

²

12 37u A =

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4 11. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= x² +2x−3, el eje x ∧ las

ordenadas x=−3 ∧ x=1 ²

3 32u A =

12. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−4x²−x+4 ∧ el eje x

2

12 253u

A = 13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=5x−x², el eje x ∧ las

ordenadas x=1 ∧ x=3 ²

3 34u A =

14. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y = x²−6x+5 ∧ el eje x

2

3 32u A = 15. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x²+x+4 ∧ el eje x

42u2

A =

16. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= x− ²−4, el eje x ∧ las

ordenadas x=−2 ∧ x=2 ²

3 64u A =

17. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−6x, el eje x las ordenadas

=0

x ∧ x=3 ²

4 45u A =

18. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−9x, el eje x ∧ las

ordenadas x=0 ∧ x=5 ²

4 337u A =

19. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−2x²−5x+6, el eje x ∧

las ordenadas x=−1 ∧ x=2 ²

12 157u A =

20. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−2x²−5x+6 ∧ el eje x

2

6 109u A =

21. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= x² −2x+3 ∧ las ordenadas

−2

x= ∧ x=1 A =15u²

22. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y = x³−x² −6x ∧ el eje x

2

12 253u A =

23. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y = x+1 ∧ la ordenada x=8 18u2

A = 24. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y =6−x−x² ∧ el eje x

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2

6 125u A = 25. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva x

y= x1₂ −

el eje x, ∧ las

ordenadas x=2 y x =3 ²

3 7u A =

26. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x²−x−6 el eje x, ∧ las

ordenadas x=0 y x=4 ²

3 49u A =

27. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y= x²−1 el eje x, ∧ las ordenadas x=0 y x=2

2u2

A = 28. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x³−4x ∧ el eje x.

8u2

A =

29. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva y=x²+2x+3 el eje x, ∧ las

ordenadas x=−1 y x=1 ²

3 20u A =

Área comprendida entre dos curvas

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función mayor menos el área de la función menor.

[ ]

∫

a^b f(x)⁻g(x)

Ejemplo

Encuentre el área de la región entre las curvas y =3x² ∧ y=1 x− ²entre x=−1 y x=0

f(x)=3x^2 f(x)=1-x^2 Shading 1

-2.6 -2.4-2.2 -2 -1.8 -1.6-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

Interceptos

2

2 1

3x = −x 0 1 4x²− =

2

2 1

3x = −x

2

−1

x=

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∫

−⁻² − − +

∫

⁻ − −

1

2

1 1

0 2 2

2

2 (1 )] [(1 ) 3 ]

3

[ x x dx x x dx=

∫

₋⁻²1^{1 − +}

∫

⁻₂^{1 −}

0 2

2 1) (1 4 )

4

( x dx x dx=

3 0

1 3

2 1 2

1

3 4 3

4

−

−



 



 −

 +



 



 −

−

x x x x

=1 A =1u²

Ejercicios

1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y= x² +2 ∧ la recta que pasa por los

puntos (−1,0) y (1,4) ²

3 4u A =

2. Calcular el área limitada por las parábolas y² =8x ∧ y =x^{2 2} 3 8u A =

3. Calcular el área limitada por las curvas y= x²+2, y=−x ∧ las ordenadas x=−2 ∧ x=2

2

3 40u A =

4. Calcular el área limitada por la curva y =x²−5x+6 ∧ la recta y =2x ² 6 125u A =

5. Calcular el área limitada por la parábola y² =4x ∧ la recta y =x ² 3 8u A =

6. Calcular el área limitada por las curvas 3y = x² ∧ y =−x² +4x A =6u²

7. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x² −2x ∧ y=−x² +4x 9u2

A = 8. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x² +2 ∧ y= x2 +2 ²

3 4u A =

9 . Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x²+2 y=−x ∧ las ordenadas 2

−

=

x ∧ x=2 ²

3 40u A =

1 0. Hallar el área de la figura limitada por: y =x² y = ∧ las ordenadas x x=0 ∧ x=2

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f(x)=x^2 f(x)=x Shading 1

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

A =1u²

11. Calcular el área limitada por la parábola y =2 x− ² ∧ la recta y = x ² 2 9u A =

12. Calcular el área limitada por la parábola y =18 x− ² ∧ la curva y = x² A =^72u2

13. Calcular el área limitada por las curvas 4y²− x2 =0 ∧ 4y²+ x4 −12=0 A =^4u2 14. Calcular el área de la región limitada por las curvas y² =4x ∧ la recta 4x− y3 =4

2

24 125u A = 15. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x−1 ∧ y² = x2 +6

18u2

A = 16. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x−1 ∧ x=3 y− ^{2 2}

2 9u A =

17. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x− +2 ∧ y =x^{2 2} 2 9u A =

18. Calcular el área de la región limitada por las curvas y =x² ∧ y =2x−x^{2 2} 3 1u A =

19. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=5x−x² ∧ y =x ² 3 32u A =

20. Calcular el área de la región limitada por las curvas y =x⁴ ∧ y=2x−x^{2 2} 15

7 u A =

21. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=4x ∧ y =4x^{2 2} 3 2u A =

22. Calcular el área de la región limitada por las curvas x = y ∧ x = y ² 6 1u A =

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 8 23. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x−4 ∧ y = x² −2 ∧ las ordenadas

−1

x= ∧ x =2 ²

2 15u A =

24. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x²−1 ∧ y= x4 −4 ² 3 4u A =

25. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x²+2 ∧ y=−x ∧ las ordenadas

=0

x ∧ x=1 ²

6 17u A =

26. Calcular el área de la región limitada por las curvas y² =4x ∧ y =x^{2 2} 3 4u A =

27. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x+4 ∧ y= x²−2 ² 6 125u A =

28. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=2x²−5x+3∧ y= x+3 A =9u² 29. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=x³−2x ∧

2 x3

y =

f(x)=x^3 -2x f(x)=x^3 /2

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

4u2

A = 30. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=2x²+2x−1∧ y= x4 +3 A =9u²

31. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x²−1∧ y=1 x− ^{2 2} 3 8u A =

32. Calcular el área de la región limitada por las curvas y= x²+1, y= x4 −3 ∧ el eje y

2

3 8u A = 33. Calcular el área de la región limitada por las curvas y=2x²−5x, y=x²−2x ∧ x=−1

f(x)=2x^2-5x f(x)=x^2-2x Shading 1

-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.56 6.5 7 7.5 8 8.5 9

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x y

2

3 19u A =