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Cuaderno de Matemáticas para el Verano

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(1)

Colegio Alma´s Maspalomas

11 Cuaderno de Matemáticas

para el Verano

4ºESO Ciencias Sociales

(2)

Como profesor de Matemáticas en cursos ya altos, me encuentro constantemente con frases como estas de mis alumnos: “Pero esto es un fallo tonto, ¿no me puede puntuar algo del ejercicio?”, “Suspendí por fallos tontos” ,o “ perdí muchos puntos por fallos tontos”. A las que yo suelo responder: “No hay fallos tontos, hay tontos que cometen fallos”.

Estos fallos, según mi experiencia, son causados por tres motivos combinados, según alumno:

- Cansancio y nerviosismo en una prueba.

- Falta de ejercicios realizados por ellos mismos, o ejercicios mal entendidos.

- Problemas heredados de cursos anteriores, agravados con el tiempo.

No hay dudas de que el verano causa estragos en estos alumnos. La operatividad con la que terminan el curso no tiene nada que ver con la del comienzo del curso

siguiente.

Estos ejercicios tienen un doble propósito:

- Primero, hacer que trabajen durante parte del verano, recordando operaciones básicas para los próximos cursos.

- Segundo, buscar y corregir de forma exhaustiva fallos específicos e individuales de cada alumno para luego corregirlos de uno en uno, para poder así hacerles ver dónde cojean.

Espero que este trabajo, aunque costoso en esfuerzo y tiempo por ambas partes, tenga sus frutos en posteriores cursos, para así tener alumnos mejor formados y más seguros de sus conocimientos.

Fdo.: Cristóbal Espino Estupiñán

(3)

1.- Extrae todos los factores que puedas de los radicales y di cuales son semejantes a 2.

a) 27 b) 1458 c) 450 d) 8

2.- Calcula:

a) 3 35 37 33 3 c) 15

6 15 1 3 15 2 2

3  

b) 3 343 37 23 3 d) 7 7

4 11 9 6 7 5 3 11 4 2

7    

3.- Calcula las siguientes potencias y extrae todos los factores que puedas del radical.

a)

 

3 ba2 3 b) 75

27a2b3

5

4.- Extrae los factores que puedas de los radicales y calcula los resultados de las siguientes operaciones.

a) 3 25 87 504 18

b) 3 272 1258 7510 20

c) 6 125

7 5 3 5 625 2

7   

5.- Simplifica al máximo las siguientes expresiones.

a) 6 3

3 2

81 2 25

b)

7776729

3 c) aab2b

2 3

27 18

d) 1500 15 5 3 22 3 7

6.- Calcula: a) 625 b) 4 64 c) 729 7.- Racionaliza las siguientes expresiones:

a) 3 2

c) 3 3

3 3

e) 5 3

3 5

b) 5 2 1 3

d) 1 6

7 1

f) 10 6 11 7

(4)

8.- Al calcular 5 3 3 3

5 5

 

 se obtiene un número entero .Halla dicho número.

9.- Dados los polinomios P(x)x43x2 2x7 5 3

8 )

(x  x4x2xQ

3 7

)

( xx

3

xxR

Efectúa las siguientes operaciones.

a) P(x)Q(x) b) P(x)3R(x) c) P(x)Q(x)R(x) d) 2P(x)Q(x)R(x) 10.- Sean P(x)2x24x8 y Q(x)x3x2. Calcula:

a) P(x)Q(x) b) ( ) ( ) 2

1P xQ x

11.- Efectúa estas divisiones de polinomios.

a) (2x32x2 12x):(x22x) e) (x22x3):(x3)

b) (x33x24):(x2 4) f) (x37x6):(x1)

c) (x32x213x10):

x23x2

g) (x38x223x30):(x10)

d) (x3x26x7):(x2x6)

12.- Factoriza los siguientes polinomios. a) x32x2x b) x3x29x9 c) x49 13.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) 2 5 3

4 6 2

2 2

x x

x x

b) 2 6 4

4 6 2

2 2

x x

x x

14.- Calcula:

a) 2

3 6

1 x

x

 e) 3 2

3 2 3 1

2 2

 

x x x

x x

b) 2 3

2 6

5

2

2   

x x

x x

x f) 4 3

: 1 1 2

1 3

2 2

x x x

x

c) 14 24

3 18

9 2

2 2

2 3 2

3   

 

x x x

x x

x x

x

g) 3 4

1 : 2

3 2

3 4

2 2 2

x x

x x x

x x

(5)

d) 2 3 4 3

4 2

3 2

2  

 

x x x

x x

15.- Completa las siguientes igualdades.

           

 

   

 

 

 

 

 

 

 

x x x

x x

x x

x x x x

x x x

x 2

3 2

1 4

12 13 6

2 2

3 4

2 3 4

16.- Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3

x5

68x14 c) 5

1 5 1

3

7 

x

x

b) 8

4 7

1 

x

x

d) 

 

 

 

 

 

 2

4 2 1 3

1 3

4 2

1 x

x x

17.- Soluciona estas ecuaciones.

a) 2

3 3

x

x e) x1 x32

b) x2 4x3 f) 5 15

32 2 3 1 5

3 4 2

2

2 x x x

x 

 

 



 

 

c) x4 x11 g) 2x22 6x 20

d)

x1



2x4

x1

18.- Resuelve cada uno de los siguientes sistemas por un método diferente.

a) 

1 5

3 2 4

4 3 6 5

x y y x

y y x

b)





 20 49 4 13

7 72 14

3 3 2

y x

y x

c)

     

 

 

5 2

2 4 3

2 6 2 1 3 1

2

y x y

x

y x x

19 .- Resuelve los siguientes sistemas utilizando cualquier método.

(6)

a)





15 2 2 1

1

2 3 5 1

3 1

y x

y

x d)





 

4 1 2 1 4 3

2 1

2

2 y

x y x

b)





 13 3 2 1 2 1

2

2 y

x

y

x e)





 

 3 8

3 4

2

2 y

x y x

c)





 4 34 3 9 2

2

2 y

x x y

f)



7 3

2

2 xy y

x y x

20.- Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) 5x32x9 g) 15x3(7x)2x b) 2(x3)21 h) 5(x3)65x9

c) 4(3x)x12 i)

5 4 2 7 1 3

5 x

x 

d) 2(7x1)8x3(2x1) j)

6 7 4 2 2 3

5x x   x

e) 2x3(5x1)3(13x8) k) (2 5) 3

) 1 3 4(

1 x  x

f) 3(4x)(2x1)5x1 l)

10 1 3 3

5 1 2

3    

x x

x

21.- Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de semejanza k=2. Si la altura del triángulo menos es

2 3

5 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?.

22.- Las longitudes de las diagonales de un rombo son 4cm y 8cm. Calcula cuánto medirán los lados, el perímetro y el área de un rombo semejante al anterior, con razón de semejanza

2

7 k

23.-Dos pirámides de base cuadrangular son semejantes y su razón de semejanza es 9

12

k .

Calcula sus medidas, sus área y sus volúmenes, sabiendo que el área de la base de la pequeña es de 27cm2 y la apotema de la grande mide 8´54cm.

24.- Construye dos hexágonos regulares cuyos lados midan 1´5cm y 5cm.

(7)

5 cos  3

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?.

b) ¿Cuáles la razón entre sus perímetros? ¿y entre sus áreas?.

25.- Construye un rectángulo de 5cm de base y 3cm de altura. ¿Cuánto miden los lados, el perímetro y el área de un trapecio semejante a éste, con razón de semejanza k=4?.

26.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6cm y 8 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.

27.- Construye un triángulo rectángulo sabiendo que la tangente de uno de sus ángulos agudos es 3/2.

28.- Calcula la altura de un edificio si situados a 20m de éste observamos su extremo superior bajo un ángulo de elevación de 54o.

29.- Desde un faro se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 20º, y si el barco se aproxima 500m al faro el ángulo pasa a ser de 26º. ¿Qué distancia separa el barco del faro en la segunda observación?.

30.- Indica qué ángulo del primer cuadrante nos servirá para calcular las razones trigonométricas de cada uno de los ángulos siguientes.

a) 137º b)264º c)253º d)2300º e)105º f)-60º

31.- Halla todos los ángulos comprendidos entre 0º y 360º que verifican

2 cos 1

32.- Calcula el seno, el coseno y la tangente del ángulo que se muestra en la figura.

33.- Sabiendo que , ¿Cuál es la longitud del lado x en este triángulo rectángulo?.

Calcula el seno y la tangente del ángulo.

34.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos indicados en los siguientes triángulos.

(8)

35.- Completa la siguiente tabla si en cada uno de los casos el ángulo es menor que 3600.

sen 2

 2

2 3

2 2

cos 2

2

2

 3

2

1

tg

3

 3 -1

36.- Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.

37.- El campanario de una iglesia proyecta una sombra de 70m en el mismo instante en que un bastón de 1m proyecta una sombra de 0´8m.Resuelve los apartados siguientes:

a) ¿Cuánto mide el campanario?

b) ¿Qué ángulo forman los rayos solares con el suelo?.

38.- Dos radares que distan entre ellos 15km detectan un avión que se encuentra en el mismo plano vertical bajo ángulos de 42º y 56º. Calcula la altura a la que vuela el avión y la distancia del avión a cada uno de los radares.

39.- Un árbol está sujeto mediante dos cuerdas atadas a la parte superior de su tronco.

Observa la figura y halla la altura del tronco y la distancia entre los puntos A y B.

(9)

40.- Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,3) y B(3,1).

41.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 2 que pasa por el punto de coordenadas (4,-3).

42.- Determina la expresión algebraica de la recta que pasa por el punto P(-3,5) y forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de abscisas.

43.- Obtén la expresión algebraica de la recta que pasa por el punto P(-3,5) y forman un ángulo de 135º con el semieje positivo de abscisas.

44.- Determina la posición relativa de las rectas r y s.

a)

2

5 2 :y1xr

10 2 :y xs

b)

7 4 2

: yxr

2 2 :yxs

c)

1 2 :y xr

3 6 3

: yxs

45.- Indica la posición de la recta r: y= -2x - 2 respecto a cada una de las siguientes rectas.

a)

4 4 2y x

b) 2 2 1 

x y

c)

2 2 

x y

d)

2 2 1 

x

y

46.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y es perpendicular a la recta y=-2x-2. Calcula las coordenadas del punto en que se cortan ambas rectas.

47.- Relaciona cada una de las siguientes rectas con su pendiente y con un punto que pase por ellas.

Recta Pendiente Punto x-y=0

3 A(0,2) 2x+3y-6=0

-2 B(0,0) y=3x+4

1 C(-

1,1) y=-2x+11

3

2

D(1,9)

(10)

48.- Describe las siguientes funciones.

(11)

49.- Estudia y representa las siguientes funciones.

a) 2

2 3 

x

y b) y123x2 c) yx2 20x84 d) yx2 20x84

e) y23x f) 1 3 2 

x

y g) y2x2 1 h) 5 21

4

1 2  

x x

y

50.- Representa las siguientes funciones.

a) 1

2

 

y x b)

4 2 

x

y x c)

3 2

  x

y x d)

1 6 3

  x y x

e) y232x1 f)

2

3 2



 



x

y g) y32x12 h) 3

3 4 2

 



x

y

51.- Representa las siguientes funciones.

a) ylog5

x3

b) yln

3x1

2 c)

 

   4 log x 1

y d) log

2 1

2

1

x

y

52.- Representa las siguientes funciones.

a) 

 

2 1

2 ) 1

( 2

x x

x x x

f b)





2 1

2

2 0

1 0 3

)

( 2

x x

x x

x x

f

53.- Dada la siguiente tabla de frecuencias. Complétala.

Intervalo xi fi Fi hi Hi %

[0,6) 6

[6,12) 14

[12,18) 40

[18,24) 35

[24,30)

[30,36] 10

100

54.- Obtener de la tabla anterior las siguientes medidas:

87 4 3 2

0 R R D S S C K D P

xeI M x x V

55.- Encuentra la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Sacar el caballo de bastos al extraer una carta de la baraja española de 40 cartas.

b) Sacar dos oros al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas.

(12)

56.- ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la probabilidad?, ¿y el mínimo?

57.- Se ha tirado una moneda 5 veces y todas ellas ha salido cara. ¿Es cierto que si tiramos la moneda una vez más, la probabilidad de que salga cruz es mayor que ½?, ¿por qué?

58.- En una baraja de 40 naipes, se extrae una carta. Si A es el suceso de salir caballo y B el suceso salir copas, calcula:

a) P( A) b) P(B) c) P(AB) d) P(AB) 59.- Un jardinero ha observado que la probabilidad de que un esqueje prenda es de 3/5.

Encuentra las probabilidades de obtener 0, 1 ó 2 árboles después de plantar dos esquejes.

60.- El 45% de los estudiantes de un colegio son chicas; el 4% de los chicos y el 6% de las chicas son zurdos:

a) Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y zurdo?

b) Si elegimos a un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea zurdo?

61.- Una caja contiene 100 chips (componentes electrónicos para la fabricación de ordenadores), de los cuales 20 son defectuosos. Calcula la probabilidad de que al escoger al azar dos chips:

a) Los dos sean defectuosos.

b) Sólo uno sea defectuoso.

62.- Un taller mecánico tiene tres naves. En la primera nave hay 10 automóviles, de los cuales 6 están averiados; en la segunda nave hay 3 automóviles averiados y tres en perfecto estado; y en la tercera nave hay 8, de los cuales hay 3 averiados. ¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón entre de noche a robar, se lleve un coche en perfecto estado?

63.- Un avión de combate dispone de dos misiles. La probabilidad de acertar en un blanco determinado con el primer misil que dispare es 0´4, y con el segundo 0´6. ¿Qué probabilidad tiene de destruir el blanco elegido?

64.- Un cajón contiene 15 calcetines blancos y 5 negros. Si se extraen dos de ellos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo color?

(13)

65 (EXTRA).- Calcular la derivada de las siguientes funciones.

E1) y4

E2) y1789

E3) y3

E4) 4

1 y

E5) yx

E6) yx3 E7) yx E8) y5 x2

E9) 2

1

yx

E10) yx3

E11) 3

1

x y

E12)

y 1x

E13)

3

1

yx

E14)

x x

y 1

E15) yxx3

E16) y2x2

E17) y7x2

E18) yx3x7

E19) yx2 2 x

E20) yx2x3

E21) y2x24x6

E22) yx35x27x1

E23) y5x47x38

E24) y3senx2tgxx3

E25) y4x3 lnx2

E26) y

17x21

x2

E27) y

senx1

3x2 x

E28) y7ex 2cosx3

E29) y

x2 x

3

E30) y

x2 3x1

4

E31) y

3x24x6

4

E32) y

x23x5

21

E33) y4 x2 2exsenx

E34) y

x21x1

5

E35) 2 1

1

2  

x x y

E36)

12

5

y x

E37)

1 3 2

  x

y x

E38) x

x x

e e y e

E39) 2 1

2

ex x y

E41) yln(1x2ex) E42) yln(senx)

E43) yln(cos x)

E44) 3

1 ln

2

  x y x

E45)

3 ) 1 ln(

3

  x

y x

E46)

3

3

) 1 ln(

  x

y x

E47) yln(ex)

E48) yln(tgx)

E49) ye4x E50)

3 x2

e y

E51) 1

9 2

x x y

E52) 1

2 2

x y

E53) y3x5x E54) ysen2x

E55) ysen(2x) E56) ysen(2x7)

E57) ysen(3x6) E58) ysen(x21)

E59) ysen(x2 2xex)

E60) y77sen(x32)

E61) ysen(5x4) E62) ysen(5xx)

(14)

E63) ysen(cos x) E64) ysen(tgx)

E65) ysen2x E66) ysen2x

E67) ysenx

E68) 5

2

1 

ex

y

E69) y312x3 x7x2

E70) senx

y senx

  1 ln 1

E71) yarctg(ln x)

E72) yxln(x2 1)

E73)

x arctg x

y 1 4

3 1

 

E74) 2

1 2 ex

x y 

E75) ylog5 3x35x

E76) y7tgx E77) yarcsen(cos x)

E78) yln(sen(ex))

E79) log7 1

  x y x

E80) yarctg2x3

E81) ycotg(x2 1)2

66.- Calcula los siguientes límites:

66.1.

4 4 1

lim

x2 x x

66.2.

7 5

2 lim 3

x

x

x

66.3. 2 2

1 3

2 2 6

5

4

lim 2

 

xx

x x x

x

66.4. 8

2 3 2

8 2

1 lim 3



 

x

x x

x

66.5.

 

2 2

2 lim 1

x x

x

66.6.

4

5 lim 3

 

 

x

x

x

66.7. lim

1

 

2

3

x x x

x

x

66.8.

1 lim 1

x

x

x

66.9.

1 5

5 2 lim3

2 2

x

x x

x

66.10.

1 6 6

3 4

3

lim

x x x

x x

x

66.11.

2 14 6

2 3

2 3

lim

x x

x x x

x

66.12.

1 6 6

3 4

3

lim xxx xx

x

66.13.

9 15 7

9 3 5

2 3

2 3

lim xx xx xx

x

66.14.

1 2

2 lim 5

2

2

x x x

x

x

66.15.

1 2

2 lim 5

2 4

2

x x x

x

x

66.16.

1 2

2 lim 5

2

3

x x x

x

x

66.17.

5 4

2 5 4 2 lim 9

2

x

x x

x

x

66.18.

2

2 1

lim

x

x x

x

66.19.

 

2 3

1 2

4

lim x xx x

x

66.20.

 

2 3 1

2 2 6

lim

x

x x x

x

66.21. lim 49 2 4

3 2

x x

x

66.22. lim 2  1 2  1

x x x x

x

66.23.

1 1

2 2 2

lim 2xx xx

x

66.24.

66.25.

x x

x

1 2 2

lim

66.26.

lim

2 21 1

x x

x

66.27.

lim

2 21 21

x x

x

 

1 1

lim

x x x

x

(15)

66.28. x x x

x

lim 2

66.29.

x x x

x

lim

66.30.

2

lim

1

x

x x

x

66.31.

 

 

1

2 1

lim 25

x x x

x

x

66.32.





9

1 3 1

3 2

limx x x 66.33.

1 2

2 lim 5

2

2   

x x x

x

x

66.34. lim

3 3 2 2

2  

x x

x

66.35.

4 4 1

2

lim2 x x x

66.36.

2 lim 2

2 2

2

x x

x

66.37.

4 lim 32

2

2

x x

x

66.38.

1 3 3 lim 3 2 1

2

1   

x x x

x

x

66.39.

4 6 2 lim 2

2 2

1  

x x

x x

x

66.40.

1 3 3

2 5 lim 4

2 3

2 3

1   

x x x

x x x

x

67.- Estudiar hasta asíntotas y representar las siguientes funciones.

1.1. y

x1

3

1.2. yx3 2x2x2

1.3. yx3x

1.4. yx32x2x

1.5. y4x3 5x1

1.6. yx3 6x2 9x

1.7. yx44x2

1.8. yx4x2

1.9. yx4x3

1.10. yx42x2

1.11.

1 1

  x y x

1.12.

x y x2 1

1.13.

x y x2 1

1.14.

1 5 ' 0 2

  x y x

1.15. 1 2 x y x

1.16.

1 1

2

x y

1.17.

4 4

2

x y x

1.18. 2

2

1 x y x

 

1.19.

1 1

2

x y

1.20. ylog2 x

1.21. ylnx

1.22. ylog10x

1.23. yln

 

x

1.24. yln

x2 5x6

1.25. yln x2 1

1.26.

ln2 1

2

  x y x

1.27.

x ylnx

1.28. yexlnx

1.29. yex

1.30. yex

1.31. y ex

1

1.32. yxex

1.33. yxex

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