DINAMICA DE SIERRAS CIRCULARES: UNA SOLUCIÓN NUMÉRICA
Rolando Ríos Rodriguez
Instituto de Materiales Facultad de Ingeniería Universidad Austral de Chile Campus Miraflores, Valdivia, Chile Email: rrios@uach.cl
Resumen. Las vibraciones excesivas afecta la calidad del producto y provoca considerables pérdidas de material. Durante el aserrado la sierra trabaja bajo la acción de la fuerza de corte. Se propone agregar guías laterales ubicadas convenientemente en el plano de la lámina. Se modelará como un disco fino rotatorio, empotrado en el centro y libre en la periferia, sometido a excitaciones producido por las cargas de corte y restringido lateralmente por las guías. Se tomarán en cuenta los dos tipos de cargas: 1) La acción de las guías laterales colocadas a ambos lados de la sierra, se simularán como cargas de resortes, puntuales y estacionarias, 2) Las cargas de corte, serán consideradas como cargas laterales, puntuales, constantes y estacionarias. Se espera que la incorporación de guías contribuya a la disminución de las vibraciones transversales y de paso resolver el problema de la inestabilidad dinámica.
Palabras clave: sierras circulares, dinámica, vibraciones.
1 INTRODUCCIÓN
Discos rotatorios empotrados en el centro son elementos mecánicos que se encuentran en
turbinas, máquinas herramientas, sierras circulares, discos de computadoras, etc. En el caso de turbinas, por ejemplo, el surgimiento de grandes amplitudes de vibraciones transversales causan fallas prematuras debido al contacto de los discos con la carcaza. En otros casos, como sierras circulares y discos de cortes, las vibraciones excesivas provoca cortes inexactos en el proceso de aserrado y a errores de lectura en discos de computadoras.
El problema de las sierras circulares fue estudiado en la década de los 70 pero solo algunos estudios experimentales se encuentran sobre el control de las vibraciones transversales. Hoy en día, en el comercio se encuentran sierras de diferentes marcas y procedencia, cada vez más finas, que representa buenas ventajas desde el punto de vista económico, sin embargo, en operaciones normales presentan el inconveniente de ser dinámicamente inestables. En la industria del rubro, los cortes ineficientes producto de las vibraciones excesivas puede afectar hasta el 20% de la producción, causando grandes pérdidas económicas, tanto en el producto elaborado como en los recursos naturales1. En los últimos años se ha propuesto como alternativa de solución el control activo de vibraciones con el fin de reducir los cortes residuales y de esta manera disminuir, tanto las amplitudes de las vibraciones como minimizar el espesor de corte requerido para un proceso estable. El control activo puede ser una buena solución, sin embargo requiere de una instalación de instrumentación avanzada que en la práctica lo hace ser una solución inviable. Por lo tanto una solución sencilla y menos onerosa es el control de las vibraciones mediante guías externas. El propósito de las guías es mantener la rigidez de la lámina sin tener que aumentar el espesor de ella2.
Estos autores2, además introdujeron el concepto de la velocidad crítica, definiéndola como la velocidad para la cual la lámina comienza a resonar bajo la acción de una fuerza transversal estacionaria, cuyo estudio ha dado origen a un problema analítico interesante con importante aplicaciones prácticas. La velocidad crítica reduce fuertemente la rigidez lateral de la lámina, provocando así un empeoramiento en las condiciones de corte.
El diseño mediante guías laterales lubricadas hidrodinámicamente exige tener en cuenta el comportamiento dinámico, porque este diseño puede resultar complicado por el hecho que las condiciones de resonancia que ocurren por la interacción dinámica entre la guía y la sierra, generan resonancia auto excitada para diferentes estados de velocidades, especialmente en sierras que no son totalmente planas. Las características dinámicas, de una sierra que se mueve lateralmente libre montado en un eje que también gira y restringida mediante guías lubricadas hidrodinámicamente, no son bien conocidas, pudiendo existir alguna influencia del eje en la vibración de la lámina.
Las vibraciones de discos rotatorios, en general se puede analizar por un número infinito de modos de vibrar. Sin embargo, en sierras ligeramente amortiguadas su respuesta queda reducida a un número limitado de modos y también su espectro de frecuencia en una banda limitada correspondiente a un modo simple4.
En ese caso, la teoría de estabilidad se puede estudiar asumiendo que la vibración queda dominada por la respuesta correspondiente a un modo simple. Este trabajo, presenta en una etapa preliminar, sin aun resultados, el modelo matemático para estudiar el comportamiento dinámico de sierras circulares bajo la acción de guías laterales.
2 MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO
La sierra circular será modelada como un disco anular fino y uniforme, de un espesor pequeño h
comparado con las otras dimensiones. Empotrado en el centro con un radio interior b y libre en los bordes con radio exterior a, con una velocidad de rotación constante Ω. La sierra estará sujeta a cargas laterales constantes Pj, j = 1, 2,...que permanecen en reposo (estacionarias) en el espacio. Estas fuerzas representarán las componentes laterales de las fuerzas de corte, entre la lámina y la madera.
Algunas guías serán ensambladas a la lámina para reducir la vibración. Estas guías serán simuladas en el modelo como resortes de rigidez kf, f = 1, 2, ... fijos en el espacio. En la figura 1 se muestra el modelo del disco rotatorio.
Para el análisis es necesario definir dos sistemas de coordenadas, debido a que la sierra gira en el espacio mientras que las observaciones se harán desde puntos estacionarios en el espacio. El sistema de coordenadas que gira adherido a la sierra se representa por (r,θ) y el sistema fijo en el espacio por (r,γ). La coordenada radial r es la misma en cada caso, mientras que θ y γ están relacionadas del siguiente modo:
θ + γ = Ωt (1)
Donde t es el tiempo y Ω es la velocidad angular constante de la sierra. El desplazamiento lateral w se define desde la posición de equilibrio con relación al sistema (r,θ), mientras que u es medido con relación al sistema fijo (r,γ).
Figura 1- Esquema de la sierra circular con las guías laterales
Donde t es el tiempo y Ω es la velocidad angular constante de la sierra. El desplazamiento lateral w se define desde la posición de equilibrio con relación al sistema (r,θ), mientras que u es medido con relación al sistema fijo (r,γ).
En la literatura pertinente a discos finos rotatorios, se muestra que la rotación alrededor de su eje central genera esfuerzos radiales σr y esfuerzos circunferenciales σθ, cuya ecuación diferencial tiene una solución conocida. Sin embargo, la incorporación de resortes en el modelo significa introducir fuerzas laterales e implica manipular convenientemente la ecuación de movimiento. La acción de los resortes estará dado por la función de carga q(r,θ,t):
( ) ( ) (
f) (
fF f
fw r t r r r
k t
r
q θ =−
∑
θ δ − δ θ −θ=
, 1 , )
, , (
1
)
(2)donde, δ( ) es la función delta Dirac, F es el número total de resortes; (rf,θf) define la ubicación de los resortes en el plano de la lámina observado desde un sistema de coordenadas que gira con la sierra, y (rf,γf) la correspondiente ubicación con respecto a las coordenadas fijas en el espacio.
La fuerza lateral de corte, constante, puntual y estacionaria se representará mediante la función:
p
(
r t)
P( )
r(
r r) ( )
P( )
r(
j t)
Jj j j
J j
j − − = + −Ω
=
∑ ∑
=
= 0
1 0 0
1
1 , 1
,θ δ δ θ θ δ θ γ (3)
Donde J es el número total de cargas laterales concentradas ubicadas en una posición (r0j , θ0j) Finalmente, la ecuación de movimiento del disco con respecto a las coordenadas rotatorias, es:
( )
+( )
∂∂ ∂∂ +
∂
∂
∂
− ∂
∂ + ∂
∇ σ θ
σ θ
ρ r θ w
r r w r r
t h h w w
D 2 r 2
2
4 1 1
∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) (
= =
Ω
− +
−
= Ω
− +
− + F
f
j j
J j
j f
f
fw r r r t P r r r t
k
1
0 0
1
1
1 δ δ θ γ δ δθ γ
)
)
(4)
donde, D= Eh312
(
1−υ2 y 4 22( )
1( )
1 2 222
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
r θ r r
∇ r
Con las siguientes condiciones de contorno:
(
, ,)
0) , ,
( =
∂
= ∂ u b t
t r b
u γ γ
(5)
(
, ,) (
, ,) ( )1 (
, , )
=0
∂
− ∂
=Q a t a M a t
t a
Mrr r r γ
γ γ
γ γ
donde Mrr y Mrγ son los momentos en los dos planos de flexión, respectivamente y Qr es la fuerza cortante. Los momentos flectores y fuerza cortante son expresiones que se encuentra disponible en la literatura.
Se utilizarán dos técnicas de solución, una que corresponde a la aplicación directa del método de residuos ponderados, Galerkín, y la otra, el Método de Elementos Finitos cuya formulación está basado en el método de Petrov – Galerkin que también es un método de residuos ponderados, recomendado cuando se trata de problemas axi-simétricos (placas circulares). En este caso, las funciones de ponderación (peso) se toma como el producto de las funciones de forma del elemento y el inverso del radio
El modelo obedecerá las hipótesis de Kirchoff, que corresponde para la teoría clásica de placas, vale decir; los puntos situados sobre una normal a la superficie media permanecerán normales después de la deformación, se despreciará la deformación cortante. Se considerará que no existe deformaciones en la superficie media del disco.
Por otro lado se asumirá que la velocidad de rotación es constante, la fuerza de corte lateral es puntual, estacionaria y constante. Las guías ubicadas lateralmente en la sierra serán modeladas como resortes.
3 REFERENCIAS
[1] C.D. Mote & C.J. Radcliffe, “Identification and Control of Rotating Disk Vibration,” J. of Dynamic System Measurement and Control, Vol. 105, 39-45 (1988).
[2] C.D. Mote & R.W. Ellis, A Feedback Vibration Controller for Circular Saws”, Trans.of the ASME, Vol. 101, pp. 44-49. G.K. Ramaiah. “Natural Frecuencies of Spinning Annular Plates”, J.
of Sound and Vibration, Vol. 74(2), 303-310 (1981).
[3] B.F. Lehmann & S.G Hutton. “Self-Excitation in Guided Circular Saws”, Trans. Of the ASME, Vol. 110, 338-343 (1988).
[4] W.O. Wong. “The Effects of Distributed Mass Loading on Plate Vibration Behavior”, J. of Sound and Vibration, Vol. 252(3), 577-583 (2002).
