a) y =23x pasa por los puntos (0, 0) y (3, 2). c) y = −3x +1 pasa por los puntos (0, 1) y (1, −2).

Texto completo

(1)

Vectores y rectas 8

CLAVES PARA EMPEZAR

1. Página 156

2. Página 156

a) y = 2 3 x pasa por los puntos (0, 0) y (3, 2). c) y = − 3 x + 1 pasa por los puntos (0, 1) y (1, −2).

b) y = 3 x − 2 pasa por los puntos (0, −2) y (1, 1). d) 1 1

y = − 4 x − pasa por los puntos (0, −1) y (−4, 0).

VIDA COTIDIANA

EL GPS. Página 157

Las coordenadas son (−230, −100).

A B

C D

E

F G

H

I 1

1

X Y

Y

X 1

1

Y

X 1

1

Y

X 1

1

Y

X 1 1

Vectores y rectas 8

(2)

1. Página 158

a) ( A a a

1

,

2

) = A ( ) 1, 4 y B b b (

1

,

2

) = B ( 3, 2 − ) → AB  = ( b

1

a b

1

,

2

a

2

) = ( 2, 6 − ) Las coordenadas del vector AB  son (2, −6).

b) ( A a a

1

,

2

) = A ( 9, 1 y − ) B b b (

1

,

2

) = B ( 5, 7 ) →  AB = ( b

1

a b

1

,

2

a

2

) = − ( 4, 8 ) Las coordenadas del vector AB 

son (−4, 8).

c) ( A a a

1

,

2

) = A ( 2, 3 y ) B b b (

1

,

2

) = B ( ) 1, 6 →  AB = ( b

1

a b

1

,

2

a

2

) = − ( 1, 3 ) Las coordenadas del vector AB  son (−1, 3).

2. Página 158

(

1

,

2

) ( ) 1, 1 y (

1

,

2

) ( 3, 3 ) (

1 1

,

2 2

) ( 2, 2 ) A a a = A B b b = B →  AB = ba ba =

(

1

,

2

) ( 3, 3 y ) (

1

,

2

) ( 6, 0 ) (

1 1

,

2 2

) ( 3, 3 ) B b b = B C c c = CBC  = cb cb = −

(

1

,

2

) ( 6, 0 y ) (

1

,

2

) ( ) 1, 1 (

1 1

,

2 2

) ( 5, 1 ) C c c = C A a a = ACA  = ac ac = −

3. Página 158

Respuesta abierta. Por ejemplo:

( )

(

1 2

) (

1 1 2 2

) ( )

1 2

, , 5, 3

, A a a

AB b a b a B b b    → = − − =



Dos parejas de puntos que cumplen esta condición serían:

( ) 1, 1 y 6, 4 ( )

A B A ( 0, 1 y 5, 2 − ) B ( )

4. Página 159

a) ( A a a

1

,

2

) = A ( 0, 0 y ) B b b (

1

,

2

) = B ( 3, 4 ) →  AB = ( 3, 4 ) →  AB = 9 16 + = 5 b) ( A a a

1

,

2

) = A ( ) 1, 2 y B b b (

1

,

2

) = B ( 6, 14 ) →  AB = ( 5, 12 ) → AB  = 25 144 + = 13 c) ( A a a

1

,

2

) = A ( 2, 1 y − ) B b b (

1

,

2

) = B ( 5, 3 ) →  AB = ( 3, 4 ) → AB  = 9 16 + = 5 d) ( A a a

1

,

2

) = A ( ) 1, 3 y B b b (

1

,

2

) = B ( 4, 5 ) →  AB = ( 3, 2 ) → AB  = 9 4 + = 13 e) ( A a a

1

,

2

) = A ( − 2, 4 y ) B b b (

1

,

2

) = B ( 5, 1 − → ) AB  = ( 7, 5 − → ) AB  = 49 25 + = 74

A B

C 1

1

X

Y

(3)

5. Página 159 a)

2 2

1 1

3 3

1 1

u v

u v

= → = − →

− Son paralelos.

b)

2 2

1 1

2 4

3 6

u v

u v

= → = − →

− Son paralelos.

c) u v

1

⋅ +

1

u v

2

2

= ⋅ + ⋅ − = → 2 2 4 ( 1) 0 Son perpendiculares.

6. Página 159

(

1

,

2

) y ´ (

2

,

1

)

1 2 1 2

0 v  = v v v  = − v v → − ⋅ v v + ⋅ v v = →

Son perpendiculares.

7. Página 160

a) u v   + = − ( 7, 1 ) ( + 0, 4 − ) ( = − − 7, 3 )

c) u v   + = − ( 4, 3 ) ( ) ( + 1, 2 = − 3, 5 )

b) u v   + = ( 3, 2 ) ( + 2, 5 − = ) ( 5, 3 − )

d) u v   + = ( 6, 5 − + ) ( 8, 7 ) ( = 14, 2 )

8. Página 160 ( 1, 3 ) AB = −

 CD  = ( 3, 1 − ) a) AB CD   + = ( 2, 2 )

c) CD AB   − = ( 4, 4 − )

e) CD CD   − = ( 0, 0 ) b) AB CD   − = − ( 4, 4 )

d)   AB + AB = − ( 2, 6 )

f) CD   + AB = ( 2, 2 )

9. Página 160

(

1

,

2

) (

1

,

2

) ( ) ( 0, 0 )

u  = u u → − = − − uu u u  + − = u  1 1

X Y

−1 1

X Y

−1 1

X Y

−1 1

X

Y

(4)

a) ( ) ( 2 1, 2 ⋅ = 2, 4 ) b) − ⋅ 1 3, 1 ( − = − ) ( 3, 1 ) c) ( 3 2, 5 ) ( = 6, 15 )

d) ( 2 4, 10 ⋅ ) + ⋅ − 3 ( 2, 7 ) ( = 8, 20 ) ( + − 6, 21 ) ( = 2, 41 ) e) − ⋅ 1 2, 3 ( − − ⋅ ) 3 1, 1 ( ) ( = − 2, 3 ) ( + − − = − 3, 3 ) ( 5, 0 ) f) 5 ⋅ − ( 3, 4 ) + ⋅ 3 8, 4 ( ) ( = − 15, 20 ) ( + 24, 12 ) ( = 9, 32 ) g) ( 6 1, 1 − − ⋅ ) 2 2, 3 ( ) ( = 6, 6 − + − − = ) ( 4, 6 ) ( 2, 12 )

11. Página 161 a) 2 v  = − ( 2, 10 )

b) 3 v + 2 u = ( 6, 15 ) ( + 2, 4 ) ( = 8, 11 )

c) − 2 u  + 3 v  = − − ( 6, 12 ) ( + 3, 12 ) ( = − 3, 0 )

−1 1

X Y

2 2

X Y

2

−2 X

Y

(5)

12. Página 161

( 2, 6 ) 4 36 2 10 v  = → v  = + =

Un vector con la misma dirección, sentido contrario y módulo la mitad sería:

( 1, 3 ) 1 9 10

u = − → u = + =

 

Para volver a obtener v a partir de u tenemos que multiplicarlo por −2, es decir, v = − 2 u .

13. Página 162

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) Si 1 t = → ( x y , ) ( ) ( = 1, 2 + 4, 1 − = ) ( ) 5, 1 Si 1 t = − → ( x y , ) ( ) = 1, 2 + − ⋅ ( 1) 4, 1 ( − = − ) ( 3, 3 ) Si 2 t = → ( x y , ) ( ) = 1, 2 + ⋅ 2 4, 1 ( − = ) ( 9, 0 ) b) Si 1 t = → ( x y , ) ( = 2, 0 ) ( + 3, 5 ) ( = 5, 5 )

Si 1 t = − → ( x y , ) ( = 2, 0 ) + − ⋅ ( 1) 3, 5 ( ) ( = − − 1, 5 ) Si 2 t = → ( x y , ) ( = 2, 0 ) + ⋅ 2 3, 5 ( ) ( = 8, 10 ) c) Si 1 t = → ( x y , ) ( = 0, 4 ) ( + − 3, 2 ) ( = − 3, 6 ) Si 1 t = − → ( x y , ) ( = 0, 4 ) + − ⋅ − ( 1) ( 3, 2 ) ( = 3, 2 ) Si 2 t = → ( x y , ) ( = 0, 4 ) + ⋅ − 2 ( 3, 2 ) ( = − 6, 8 ) d) Si 1 t = → ( x y , ) ( = − 3, 6 ) ( + 2, 4 − ) ( = − 1, 2 ) Si 1 t = − → ( x y , ) ( = − 3, 6 ) + − ⋅ ( 1) 2, 4 ( ) ( = − 5, 10 ) Si 2 t = → ( x y , ) ( = − 3, 6 ) + ⋅ 2 2, 4 ( − ) ( = 1, 2 − ) e) Si 1 t = → ( x y , ) ( = 0, 2 − + − ) ( 1, 5 ) ( = − 1, 3 ) Si 1 t = − → ( x y , ) ( = 0, 2 − + − ⋅ − ) ( 1) ( 1, 5 ) ( = 1, 7 − ) Si 2 t = → ( x y , ) ( = 0, 2 − + ⋅ − ) 2 ( 1, 5 ) ( = − 2, 8 ) f) Si 1 t = → ( x y , ) ( = − 1, 3 ) ( + 6, 1 − = ) ( 5, 2 ) Si 1 t = − → ( x y , ) ( = − 1, 3 ) + − ⋅ ( 1) 6, 1 ( − = − ) ( 7, 4 ) Si 2 t = → ( x y , ) ( = − 1, 3 ) + ⋅ 2 6, 1 ( − = ) ( 11, 1 )

14. Página 162

a) ( x y , ) ( = 4, 4 ) + t ( 2, 2 ) c) ( x y , ) ( = 2, 3 ) + t ( 4, 5 ) b) ( x y , ) ( = 5, 3 − + − ) t ( 1, 1 ) d) ( x y , ) ( = − 1, 3 ) + t ( ) 1, 5

15. Página 162

Un vector paralelo al vector director de la recta es (6, 2) ( x y , ) ( = − 1, 5 ) + ⋅ t ( 6, 2 ) .

(6)

Los puntos son respuestas abiertas.

a) 1 Vector director ( 1, 2 ) 3 2

x t

y t

 = +

 → = −

 = −



Puntos: t = 0 → (1, 3) t = 1 → (2, 1) t = −1 → (0, 5) b) 1 3 Vector director ( 3, 2 )

2 2

x t

y t

 = − +

 → =

 = +



Puntos: t = 0 → (−1, 2) t = 1 → (2, 4) t = −1 → (−4, 0) c) 2 Vector director ( 1, 2 )

2

x t

y t

 = +

 → = −

 =−



Puntos: t = 0 → (2, 0) t = 1 → (3, −2) t = −1 → (1, 2) d) 1 3 Vector director ( 3, 4 )

5 4

x t

y t

 = +

 → = −

 = −



Puntos: t = 0 → (1, 5) t = 1 → (4, 1) t = −1 → (−2, 9)

17. Página 163

a) ( 8, 3 y 6, 5 ) ( ) ( 2, 2 ) 8 2 3 2

x t

A B AB

y t

= −  

→ = − → = +  



b) ( ) A 1, 7 y B ( 1, 4 ) AB = − − ( 2, 3 ) x y = −  1 2 7 3 t t 

= − 



18. Página 163 6 2 10 x t

y t

= 

= +  

Sí, existe solo una recta que cumple esta condición, aunque podamos obtener infinitas expresiones para ella, ya que hay infinitos vectores paralelos a u ; pero la recta obtenida es la misma en todos los casos.

19. Página 164

3

3 2 2 3

: : 4

4 4 2

1 t x

x t x

r r y

y t t y

−  

= 

= +      →     → − = −

= +   = −  

20. Página 164

a) ( 4, 2 y 0, 0 ) ( ) ( 4, 2 ) 4 2

4 2

x y

A BAB = − − → − = −

− −



b) ( A 6, 3 y ) B ( 1, 3 )  AB = − ( 7, 0 ) → = y 3

(7)

21. Página 164

a) ( , ) ( ) 2, 1 ( 2, 3 ) 2 1

2 3

x y

x y t − −

= + ⋅ → =

b) ( x y , ) ( = − − + ⋅ 3, 1 ) t ( ) 4, 1 x + 4 3 = + y 1

c) ( , ) ( 4, 5 ) ( 1, 3 ) 4 5

1 3

x y

x y t − +

= − + ⋅ − → =

22. Página 165

a) y − = ⋅ 2 3 ( x + → − = 7) y 2 3 x + 21 → = y 3 x + 23 b) y − = − ⋅ 5 2 ( x − → − = − 1) y 5 2 x + → = − 2 y 2 x + 7

23. Página 165

3 2 ( 4) 2 5

y − = ⋅ x − → = y x − → La pendiente es 2 y la ordenada en el origen es −5.

24. Página 165 a) y = 2 3 x

b) 1 = − + → = → = − 2 c c 3 y 2 x + 3

25. Página 166

( 6, 1 ) ( , ) 0

A 1,B 6

6 0

PQ = − = BAAx + By + = → + C

= =

x y + = C



→− +

x=−2,y=3

2 18 + = → = − C 0 C 16 → + x 6 y − 16 = 0

26. Página 166

a) Vector director: 1 ( 4, 1 ) m = − 4 → = − − v

b) Punto de la recta: y = → + = → = − → − 0 x 5 0 x 5 ( 5, 0 ) c) Vector perpendicular: ( 1, 4 ) ya que (−4) · 1 + (−1) · (−4) = 0

27. Página 166

La recta pasa por A(−1, −1) y por B(1, 2) entonces:

( 2, 3 ) ( , ) 0

A 3,B 2

3 2 0

AB = = BAAx + By + =  C

=− =

→− x + y + = C





x=−1,y=−1

→ − + = → = − → − 3 2 C 0 C 1 3 x + 2 y − = 1 0

(8)

a) ( P 0, 0 y ) Q ( − 3, 4 ) → PQ  = − ( 3, 4 )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = 0, 0 ) + − t ( 3, 4 ) Ecuación paramétrica: x y = −  = 4 t 3 t 



Ecuación continua: 3

3 4 4

t x x y

t y

= −     → − =

= 

Ecuación punto-pendiente: y = − 4 3 x

Ecuación explícita: y = − 4 3 x

Ecuación general: 3 y = − 4 x → 4 x + 3 y = 0 b) ( ) P 0, 1 y 2, 0 Q ( ) → PQ  = ( 2, 1 − )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( ) = 0, 1 + t ( 2, 1 − ) Ecuación paramétrica: x y = 1 2 t t  

= − 

Ecuación continua: 2 1 1

2 1

1

t x x y

t y

= −    → =   − −

= −  

Ecuación punto-pendiente: 1 1 y − = − 2 x Ecuación explícita: 1 1

y = − 2 x +

Ecuación general: 2 y = − + → + x 2 x 2 y − = 2 0 c) ( P 7, 4 y ) Q ( ) 1, 2 PQ  = ( 8, 2 )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( ) = 1, 2 + t ( 8, 2 − ) Ecuación paramétrica: y x = +  1 8 2 2 t t 

= − 

Ecuación continua:

1

1 2

8

2 8 2

2

t x x y

t y

−  

= −   →   − = − −

= −  

Ecuación punto-pendiente: y − = 2 x 4 1 → − = − y 2 1 4 ( x 1)

Ecuación explícita: 1 9

4 4

y = − x +

Ecuación general: 4 y = − + → + x 9 x 4 y − = 9 0

(9)

d) ( ) P 5, 1 y 0, 4 Q ( ) → PQ  = − ( 5, 3 )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = 0, 4 ) + − t ( 5, 3 ) Ecuación paramétrica: x y = − 4 3 5 t t  

= + 

Ecuación continua: 5 4 5 3 4 3

t x

x y t y

= − −     → − =  −

= 

Ecuación punto-pendiente: y − = − 4 3 5 x

Ecuación explícita: 3 4 y = − 5 x +

Ecuación general: 5 y = − 3 x + 20 → 3 x + 5 y − 20 = 0 e) ( P 3, 2 y 1, 3 − ) Q ( ) → PQ  = − ( 2, 5 )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( ) = 1, 3 + − t ( 2, 5 ) Ecuación paramétrica: x y = − 1 2 3 5 t t  

= + 

Ecuación continua:

1

1 3

2

3 2 5

5 t x

x y

t y

−  

= −  → −     − − = −

= 

Ecuación punto-pendiente: 3 5 1 3 5 ( 1)

2 2

y − =     x − −      → − = − y x

Ecuación explícita: y = − 5 2 x + 11 2

Ecuación general: 2 y = − 5 x + 11 5 x + 2 y − = 11 0 f) ( P − 2, 0 y 0, 1 ) Q ( − → ) PQ  = ( 2, 1 − )

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = − 2, 0 ) + t ( 2, 1 − ) Ecuación paramétrica: x y = − +  = − t 2 2 t 



Ecuación continua:

2 2 2

2 1

1

t x x y

t y

+  

=   →   + = −

= −  

Ecuación punto-pendiente: 2 1 ( 2)

2 2

y = −     x +      → = − y x + Ecuación explícita: 1 1

y = − 2 x

Ecuación general: 2 y = − − → + x 2 x 2 y + = 2 0

(10)

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( ) = 2, 1 + − − t ( 4, 3 ) Ecuación paramétrica: x y = −  = − 1 3 2 4 t t 



Ecuación continua:

2

2 1

4

1 4 3

3

t x x y

t y

−  

= −  → −     − − = − −

= −  

Ecuación punto-pendiente: 1 3 2 1 3 ( 2)

4 4

y − = −     x − −      → − = y x − Ecuación explícita: 3 1

4 2

y = x

Ecuación general: 4 y = 3 x − → 2 3 x 4 y − = 2 0

30. Página 167

a) La ecuación explícita: 2 x + − = → = − y 3 0 y 2 x + 3 b) La ecuación continua: 2 x + − = → y 3 0 y 2 3 = x

c) La ecuación vectorial: 2 x + − = → y 3 0 ( x y , ) ( = 0, 3 ) + ⋅ t ( 1, 2 − )

31. Página 167

a) Su pendiente es −1 y pasa por el punto (0, −2).

Ecuación punto-pendiente y + = − ⋅ 2 1 ( x − → + = − 0) y 2 x Ecuación explícita: y = − − x 2

Ecuación general: x + + = y 2 0

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = 0, 2 − + ) t ( 1, 1 ) Ecuación paramétrica: x y = t 2 t  

= − − 

Ecuación continua: 2 1 x = y +

b) Su pendiente es 2 y su ordenada en el origen es −3.

Ecuación explícita: y = 2 x − 3

Ecuación punto-pendiente: y + = 3 2 x Ecuación general: 2 x + + = y 3 0 Ecuación continua: x = y + 2 3

Ecuación paramétrica: y x = t 3 2 t  

= − + 

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = 0, 3 − + ) t ( ) 1, 2

(11)

c) Pasa por el punto P(2, 1) y es perpendicular a la recta 3x – 2y + 1 = 0.

El vector (−2, 3) es el director de 3 x − 2 y + = 1 0 , por tanto, el vector director de la nueva recta es (3, −2).

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( ) = 2, 1 + t ( 3, 2 − ) Ecuación paramétrica: y x = +  = − 1 2 2 3 t t 



Ecuación continua:

2

2 1

3

1 3 2

2

t x x y

t y

−  

= −   →   − = − −

= −  

Ecuación punto-pendiente: 1 2 2 1 2 ( 2)

3 3

y − = −     x −      → − = − y x

Ecuación explícita: y = − 2 3 x + 7 3

Ecuación general: 3 y = − 2 x + → 7 2 x + 3 y − = 7 0

d) Pasa por el punto P(−1, 0) y es paralela a la recta y – 2 = 3(x − 2).

El vector (1, 3) es el director de y − = 2 3( x − 2) , por tanto, un vector director de la nueva recta es (2, 6).

Ecuación vectorial: ( x y , ) ( = − 1, 0 ) + t ( 2, 6 ) Ecuación paramétrica: x y = − +  = 6 t 1 2 t 



Ecuación continua:

1 2 1

2 6

6

t x x y

t y +  

=   →   + =

= 

Ecuación punto-pendiente: 6 1 3( 1) 2

y =     x +      → = y x +

Ecuación explícita: y = 3 x + 3 Ecuación general: − 3 x + − = y 3 0

32. Página 168

a) 2 3 2 2 1 0 Pendiente Pendiente 2 2 3

y x

x y

= − − + = → + → = − =     →  Las pendientes son distintas, luego las rectas son secantes.

b) ( , ) ( 2, 3 ) ( ) 1, 4 Pendiente 4

3 1 1

Pendiente

8 2 4

x y t

x y

= + → =  

 → 

− = − → =  

− − 

Las pendientes son distintas, luego las rectas son secantes.

33. Página 168

El vector (1, 2) es director de la recta y = 2 x + 3 . Por tanto, un vector perpendicular puede ser (−2, 1), es decir, la recta perpendicular tiene pendiente 1

m = − 2 .

(12)

El vector director de s es (2, 4) y su pendiente es m = 2. Por tanto, las pendientes son iguales cuando A = 2.

Pero en este caso son coincidentes ya que 4 2 = 1 2 = 12 6 .

35. Página 169

a) 3 x + − = → = y 1 0 v  ( 1, 3 − )

es vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v  ´ = ( ) 3, 1

y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 3, 1 ) es:

( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( ) 3, 1 .

El punto ( P 3, 1 ) no pertenece a la recta dada ya que 3 x + − = → − − ≠ y 1 0

x=3,y=−1

9 1 1 0 .

El vector director de la recta paralela puede ser el mismo que el de la recta original. Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es: ( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 1, 3 − ) .

b) 5 x + 2 y − = → = 4 0 v  ( 2, 5 − )

es vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v  ´ = ( 5, 2 ) y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 3, 1 ) es:

( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 5, 2 ) .

El punto ( P 3, 1 − ) no pertenece a la recta dada ya que 5 x + 2 y − = → 4 0

x=3,y=−1

15 2 4 − − ≠ 0 .

El vector director de la recta paralela puede ser el mismo que el de la recta original. Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es: ( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 2, 5 ) .

c) − + + = → = x y 2 0 v  ( ) 1, 1

es vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v  ´ = ( 1, 1 − )

y, por tanto, la recta perpendicular pasa que por el punto ( P 3, 1 − ) es:

( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 1, 1 − ) .

El punto ( P 3, 1 − ) no pertenece a la recta dada ya que − + + = →− − + ≠ x y 2 0

x=3,y=−1

3 1 2 0 .

El vector director de la recta paralela puede ser el mismo que el de la recta original. Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es: ( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( ) 1, 1 .

d) − 2 x + 2 y − = → = 1 0 v  ( 2, 2 )

es vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v  ´ = ( 2, 2 ) y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 3, 1 ) es:

( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 2, 2 − ) .

El punto ( P 3, 1 ) no pertenece a la recta dada ya que 2 x + 2 y − = →− − − ≠ 1 0

x=3,y=−1

6 2 1 0 .

El vector director de la recta paralela puede ser el mismo que el de la recta original. Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es: ( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 2, 2 ) .

e) 4 x + 3 y + = → = 2 0 v ( 3, 4 ) es vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v  ´ = ( 4, 3 ) y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 3, 1 ) es:

( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 4, 3 ) .

El punto ( P 3, 1 − ) no pertenece a la recta dada ya que 4 x + 3 y + = → 2 0

x=3,y=−1

12 3 2 − + ≠ 0 .

El vector director de la recta paralela puede ser el mismo que el de la recta original. Por tanto, la ecuación

vectorial de la recta paralela es: ( x y , ) ( = 3, 1 − + ⋅ ) t ( 6, 8 − ) .

(13)

36. Página 169

( )

1 5

: 2, 7

2 7

r

x y

r − − v

= →  =

es un vector director de la recta.

Un vector paralelo es v 

s

= ( 4, 14 )

. El punto ( P 0, 0 ) no pertenece a la recta dada ya que:

0, 0

1 5 1 5

2 7 2 7

x y

x − = y − →

= =

− ≠ −

Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es ( s x y : , ) ( = 0, 0 ) + ⋅ t ( 4, 14 ) .

37. Página 169

( )

: 5 0

r

1, 1

r x + − = → y v  = −

es un vector director de la recta.

Un vector perpendicular es v 

s

= ( ) 1, 1

y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 0, 4 ) es:

( ) ( ) ( )

: , 0, 4 1, 1 s x y = + ⋅ t .

38. Página 169

( ) ( ) ( ) ( )

: , 2, 0 1, 4

r

1, 4 r x y = + − tv  = −

es un vector director de la recta.

Un vector paralelo es v 

s

= − ( 2, 8 )

. El punto ( ) P 1, 1 no pertenece a la recta dada ya que:

1, 1

2 1 1

1 4 4

x y

x − =  y

= =

→ ≠

Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es ( s x y : , ) ( ) = 1, 1 + ⋅ − t ( 2, 8 ) .

39. Página 169

( )

3 1 2, 3

y = 2 x + → = v

es un vector director de la recta.

a) Un vector paralelo es v 

s

= ( 4, 6 )

. El punto ( P 0, 2 ) no pertenece a la recta dada ya que:

0, 2

3 1 2 1

2

x y

y = x + → ≠

= =

Por tanto, la ecuación vectorial de la recta paralela es ( s x y : , ) ( = 0, 2 ) + ⋅ t ( 4, 6 ) . b) Un vector perpendicular es v 

s

= ( 3, 2 − )

y, por tanto, la recta perpendicular que pasa por el punto ( P 0, 0 ) es:

: 2

s y = − 3 x .

r

1 1

X Y

s

P

(14)

3 1

0, 3

3 1 2

x y

y = x + → ≠

= =

Por tanto, la ecuación continua de la recta paralela es s : 4 x = y 6 3 .

40. Página 169

( ) ( ) ( )

7 , 0, 7 1, 0

y = → x y = + t . Para que pase por el (1, 2) la recta tiene que ser y = 2 .

41. Página 169

La recta pasa por los puntos ( A 0, 3 ) y ( B − − 2, 2 )  AB = − − → ( 2, 5 ) r x y : , ( ) ( = 0, 3 ) + − − t ( 2, 5 ) a) Un vector paralelo es v 

s

= ( 4, 10 )

. Una recta paralela que pasa por el origen es ( s x y : , ) ( = 0, 0 ) + t ( 4, 10 ) . b) Un vector perpendicular es v 

t

= − ( 5, 2 )

. Una recta perpendicular que pasa por ( A 0, 1 − ) es

( ) ( ) ( )

: , 0, 1 5, 2 t x y = − + − t .

ACTIVIDADES FINALES

42. Página 170

43. Página 170

( 1 0, 3 0 ) ( ) 1, 3 AB = − − =

 , y un vector

con sentido contrario  AB

1

= − − ( 1, 3 ) .

44. Página 170

a) El origen es ( A 0, 0 ) y el extremo es ( 5, 2 ) → AB  = ( 5, 2 ) . b) El origen es ( A 0, 0 ) y el extremo es ( 2, 1 )  AB = − ( 2, 1 ) . c) El origen es ( A 0, 0 ) y el extremo es ( 3, 2 )  AB = ( 3, 2 ) . d) El origen es ( A 0, 0 ) y el extremo es ( 2,5; 7 ) =  AB = ( 2,5; 7 )

.

A B

C 1 1

X Y

D F

E G

H

B

1 1

X Y

B

1

A

(15)

45. Página 170

( 4 2, 3 1 ) ( 2, 2 ) 8 2 2

AB = − − = → AB = =

 

, y un vector con el mismo módulo y la misma dirección es CD  = − − ( 2, 2 ) .

46. Página 170

El origen es el punto ( ) A 2, 1 y el extremo ( B 5, 2 ) .

47. Página 170

( 5, 2 y ) (

1

,

2

) (

1

5,

2

2 ) ( 3, 1 ) ( ) 8, 1 P B b b → = aPB  = bb − = − → B

48. Página 170

(

1

,

2

) y 3, 1 ( ) ( 3

1

, 1

2

) ( 2, 4 ) ( 5, 5 ) A a a Q − → = a   AQ = − a − − a = − → A

49. Página 170

a) ( P − − 2, 7 y ) B b b (

1

,

2

) → = a  ( b

1

+ 2, b

2

+ 7 ) = − ( 3, 2 ) → B ( − − 5, 5 ) b) ( P 1, 6 y − ) B b b (

1

,

2

) → = b  ( b

1

− 1, b

2

+ 6 ) = ( 4, 5 − → ) B ( 5, 11 − ) c) ( P 5, 3 y ) B b b (

1

,

2

) → = c  ( b

1

− 5, b

2

− 3 ) = ( 4, 11 ) → B ( 9, 14 ) d) ( P 7, 2 y − ) B b b (

1

,

2

) → = d  ( b

1

− 7, b

2

+ 2 ) = − ( 5, 7 ) → B ( 2, 5 )

50. Página 170

a) El origen es ( A 4, 4 ) , el extremo ( ) B 2, 1 y las coordenadas AB = − −  ( 2, 3 ) . b) El origen es ( ) A 1, 0 , el extremo ( B − 2, 1 ) y las coordenadas AB  = − ( 3, 1 )

. c) El origen es ( A − 1, 2 ) , el extremo ( B 6, 2 ) y las coordenadas  AB = ( 7, 0 )

. d) El origen es ( A 0, 5 ) , el extremo ( B 5, 7 ) y las coordenadas  AB = ( 5, 2 )

.

51. Página 170

a) ( P − − 6, 7 y ) A a a (

1

,

2

) → = − − a  ( 6 a

1

, 7 − − a

2

) ( = − 3, 5 ) → A ( − − 3, 12 ) b) ( ) P 0, 1 y A a a (

1

,

2

) → = b  ( 0 − a

1

, 1 − a

2

) ( = 1, 5 − → ) A ( − 1, 6 )

c) ( P 2, 8 y ) A a a (

1

,

2

) → = c  ( 2 − a

1

, 8 − a

2

) ( = 4, 7 ) → A ( − 2, 1 ) d) ( P − − 1, 3 y ) A a a (

1

,

2

) → = − − c  ( 1 a

1

, 3 − − a

2

) ( = − 1, 1 ) → A ( 0, 4 − )

A B

C 1

X Y

D

−1

(16)

Los vectores que forman los puntos son:

 AB = ( ) 1, 3

BC  = − ( 1, 1 )

CA  = ( 0, 4 − )

Si los puntos están alineados, los vectores que forman deben tener la misma dirección, es decir, sus coordenadas deben ser múltiplos. Tenemos que comprobar si existe un número, λ , de forma que al multiplicar uno de los vectores por ese número obtengamos otro de los vectores:

( ) 1, 3 ( 1, 1 ) AB = = λ ⋅ BC = λ ⋅ − →

 

Imposible. Los puntos no están alineados, forman un triángulo.

53. Página 170

Puntos: A ( 2, 2 ) B ( 4, 2 ) C ( 0, 6 ) Vectores: AB  = ( 2, 4 ) BC  = − ( 4, 4 ) CA  = ( 2, 8 )

54. Página 170

Obtenemos gráficamente el punto D:

El punto es ( D 0, 2 ) .

55. Página 170

Obtenemos gráficamente el punto D:

El punto es ( ) D 1, 6 .

56. Página 171

a) ( A 1, 2 y 4, 2 − ) B ( ) →  AB = ( 3, 4 ) →  AB = 25 = 5 b) ( A 0, 0 y ) B ( − 4, 3 ) → AB  = − ( 4, 3 ) → AB  = 25 = 5 c) ( A 2, 3 y 1, 2 − ) B ( ) →  AB = − ( 1, 5 ) →  AB = 26 d) ( A 3, 7 y 0, 3 ) B ( ) →  AB = − − ( 3, 4 ) →  AB = 25 = 5

57. Página 171

a) ( ) A 1, 5 y 4, 8 B ( ) →  AB = ( 3, 3 ) → AB  = 18 = 3 2 b) ( C 4, 1 y D 9, 10 − ) ( ) → CD  = ( 5, 11 ) → CD  = 146 c) ( E − − 2, 6 y F ) ( − 1, 0 ) → EF  = ( ) 1, 6 → EF  = 37 d) ( G − 3, 0 y 0, 1 ) H ( − → ) GH  = ( 3, 1 − → ) EF  = 10

A

B C

1 X Y

D 1

A B C

1

X Y

D

1

(17)

58. Página 171

( 5, 12 ) 169 13 v  = → v  = =

Vector con módulo igual a la unidad: u = ( ) 0, 1 v

2

= 1

2

= 1 Vector con módulo el doble de v

: v 

2

= ( 26, 0 ) → v

3

= 26

2

= 26

59. Página 171

Calculamos los vectores que forman los puntos y sus módulos:

( 1, 1 ) 2

AB = − → AB =

 

CD  = − ( 1, 1 ) CD  = 2 ( ) 1, 1 2

BC = → BC =

 

DA  = − − → ( 1, 1 ) DA  = 2 Veamos si los vectores consecutivos son perpendiculares:

1 1 ( 1) 1 0 AB BC ⋅ = ⋅ + − ⋅ = →

 

Son perpendiculares.

1 ( 1) 1 1 0 BC CD ⋅ = ⋅ − + ⋅ = →

 

Son perpendiculares.

( 1) ( 1) 1 ( 1) 0 CD DA ⋅ = − ⋅ − + ⋅ − = →

 

Son perpendiculares.

( 1) 1 ( 1) ( 1) 0 DA AB ⋅ = − ⋅ + − ⋅ − = →

 

Son perpendiculares.

Como todos los vectores tienen el mismo módulo, y los vectores consecutivos son perpendiculares, determinan un cuadrado.

60. Página 171

Las diagonales miden: AC  = ( 0, 4 − ) →  AC = 4

BD  = ( 2, 0 ) → BD  = 2

Por tanto, el área del rombo es 4 2 4

2 2

AC BD ⋅ = ⋅ =

 

.

61. Página 171

Los vértices del triángulo son: ( A 0, 0 ) B ( − 4, 3 ) C ( 6, 3 ) Los lados del triángulo miden:

( 4, 3 ) 5

AB = − → AB =

 

BC  = ( 10, 0 ) → BC  = 10

CA  = − − → ( 6, 3 ) CA  = 45 = 3 5 Perímetro 15 3 5 = +

62. Página 171

Los vectores a y c tienen la misma dirección y el mismo sentido. El vector

b

es perpendicular a los otros dos.

1 1

X

Y

(18)

a) a b

1

⋅ + ⋅

1

a b

2 2

= ⋅ + ⋅ − = → 1 1 1 ( 1) 0 Son perpendiculares.

b)

2 2

1 1

1 2

2 4

b c

b = c → − = − → Son paralelos.

c) e f

1

⋅ +

1

e f

2

⋅ = ⋅ + ⋅ − = →

2

3 1 1 ( 3) 0 Son perpendiculares.

d)

2 2

1 1

4 1 8 2

g b

g = b → = → Son paralelos.

64. Página 171

Los vectores que forman los puntos son:

( 1, 3 ) AB = −

 BC  = ( 2, 2 − )

CA  = − − ( 1, 1 ) Comprobamos si dos de los vectores son perpendiculares.

( 1, 3 y ) ( 2, 2 ) ( 1) 2 3 ( 2) 8 0 AB = − BC = − → − ⋅ + ⋅ − = − ≠ →

 

No son perpendiculares.

( 2, 2 y ) ( 1, 1 ) 2 ( 1) ( 2) ( 1) 0 BC = − CA = − − → ⋅ − + − ⋅ − = →

 

Son perpendiculares.

Los puntos no están alineados y dos de sus lados son perpendiculares, por tanto, forman un triángulo rectángulo.

65. Página 171

( 2, ) y ( 1, 4 perpendiculares ) 2 ( 1) 4 0 2 2 4 0 6 2 1 u = x v = x → ⋅ x − + ⋅ = → x x − + x = → x = → = x 3

 

66. Página 171

( ,8 y ) ( 2, ) paralelos 8 16

2

4 2

u x v x x x x

= = → x = → = → = ±

 

67. Página 171

a) w  = ⋅ 2 1, 3 ( ) ( = 2, 6 ) c) 3 ( 5, 1 ) 15 , 3

2 2 2

w = ⋅ − =     −    



b) w  = − ⋅ ( 1) 3, 2 ( ) ( = − − 3, 2 )

d) 1 ( 2, 4 ) ( 1, 2 ) w  = ⋅ − 2 = −

68. Página 171

a) u = ( 4, 2 y ) v = ( 1, 2 − → + = ) u v   ( 5, 0 ) c) u = ( ) 1, 2 y v = ( 2, 3 ) → + = u v   ( 3, 1 ) b) u  = ( 2, 2 y ) v  = ( 5, 3 − → + = ) u v   ( 7, 1 − )

d) u  = ( ) 2, 1 y v  = ( ) 3, 1 → + = u v   ( 5, 2 )

69. Página 171

a) v w   + = ( 3, 2 − + − ) ( 1, 7 ) ( = 2, 5 ) c) 2 v 3 w  = ( 6, 4 − − − ) ( 3, 21 ) ( = 9, 25 )

b) v w   − = ( 3, 2 − − − ) ( 1, 7 ) ( = 4, 9 ) d) 5 v + 2 w  = ( 15, 10 ) ( + − 4, 14 ) ( = 11, 4 )

(19)

70. Página 171

a) a b c  + + =   ( 2, 5 − + ) ( 3, 7 ) ( + 5, 1 − = ) ( 10, 1 ) b) 2 a + 5 b c + = − ( 4, 10 ) ( + 15, 35 ) ( + 5, 1 − = ) ( 16, 44 ) c) a + 2 b 3 c = ( 2, 5 − + ) ( 6, 14 ) ( + − 15, 3 ) ( = − 7, 12 ) d) 1 4 ( 2, 5 ) 3 , 7 ( 20, 4 ) 33 , 5

2 2 2 2 2

a b c        

− − + = − + −    −     + − =    −    

  

72. Página 172

a) ( 2, 2 y ) ( 4, 2 ) ( 2, 0 ) 1 ( 2, 2 ) ( ) ( 1, 0 3, 2 ) A B →  AB = → M = + A 2 AB  = + = b) ( A 3, 5 y ) B ( ) 1, 7  AB = − ( 2, 2 ) M = + A 1 2  AB = ( 3, 5 ) ( + − 1, 1 ) ( = 2, 6 )

c) ( 2, 3 y 4, 1 ) ( ) ( 2, 2 ) 1 ( 2, 3 ) ( 1, 1 ) ( 3, 2 ) A B →  AB = − → M = + A 2  AB = + − =

d) ( 5, 7 y 1, 3 ) ( ) ( 4, 4 ) 1 ( 5, 7 ) ( 2, 2 ) ( 3, 5 ) A B →  AB = − − → M = + A 2 AB  = + − − =

73. Página 172

a) ( 1, 3 y ) ( 1, 2 ) ( 2, 5 ) 1 ( 1, 3 ) 1, 5 0, 1

2 2 2

AB − → AB = − → M = + A AB = − + −              =    −      

 

b) ( 1, 1 y 5, 7 ) ( ) ( 4, 8 ) 1 ( 1, 1 ) ( 2, 4 ) ( 3, 3 ) ABAB  = → M = + A 2  AB = − + =

c) ( A − − 3, 3 y ) B ( 4, 2 ) AB = − ( 1, 5 ) M = + A 1 2 AB = − − + − ( 3, 3 )    1 5 2 2 ,        = −   7 2 , 2 1    

 

d) ( 2, 7 y ) ( 1, 3 ) ( 3, 10 ) 1 ( 2, 7 ) 3 , 5 1 , 2

2 2 2

AB − → AB = − → M = + A AB = − + −              =    −      

 

74. Página 172

a) (

1 2

) ( ) ( )

1 2

( )

1 2

( )

1 3 3

0, 3 2, 2 0, 3 , 2, 2 , 4, 1

2 2 2 2 2

b b b b

AB = bb − → M = + A AB → = +      −       → =      +       → = B

 

b) (

1 2

) ( ) ( )

1 2

( )

1 2

( )

1 2 1 2 1

2, 1 0, 0 2, 1 , 0, 0 , 2, 1

2 2 2 2 2

b b b b

AB = bb + → M = + A AB → = − +      − +       → =      + −       → = − B

 

c) (

1 2

) ( ) ( )

1 2

( )

1 2

( )

1 3 3 3 3

3, 3 0, 5 3, 3 , 0, 5 , 3, 7

2 2 2 2 2

b b b b

AB = b + b − → M = + A AB → = − +      + −       → =      − +       → = B

 

d) (

1 2

) ( ) ( )

1 2

( )

1 2

( )

1 5 3 5 3

5, 3 2, 2 5, 3 , 2, 2 , 9, 7

2 2 2 2 2

b b b b

AB = bb − → M = + A AB → − − = +      − −       → − − =      + +       → = − − B

 

75. Página 172

( 0, 0 y ) ( 5, 2 ) ( 5, 2 ) 1 ( 0, 0 ) 5 , 1 5 , 1

2 2 2

A BAB = → M = + A AB = +              =         

 

(20)

( 6, 6 ) 1 ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( ) 1, 0 PQ = − → M = + P 2 PQ = − + − =

 

77. Página 172

( 2, 4 ) 1 2 ( ) ( 2, 1 1, 2 ) ( 3, 1 ) AB = − → M = + A AB = + − = −

 

78. Página 172

a) ( v  2, 3 y ) A ( ) ( 1, 3 → x y , ) ( ) = 1, 3 + t ( 2, 3 )

c) ( v  − 4, 1 y ) A ( − − 1, 2 ) ( → x y , ) ( = − − + − 1, 2 ) t ( 4, 1 ) b) ( v  − 1, 1 y 0, 5 ) A ( ) ( → x y , ) ( = 0, 5 ) + − t ( 1, 1 )

d) ( v  5, 3 y 3, 1 − ) A ( − → ) ( x y , ) ( = 3, 1 − + ) t ( 5, 3 − )

79. Página 172

a) ( A 0, 3 y 2, 1 ) B ( ) → AB  = ( 2, 2 − ) ( → x y , ) ( = 0, 3 ) + t ( 2, 2 − ) b) ( A 3, 2 y 5, 1 − ) B ( ) →  AB = ( 2, 3 ) ( → x y , ) ( = 3, 2 − + ) t ( 2, 3 )

c) ( A − − 6, 1 y 4, 3 ) B ( − ) →  AB = ( 10, 2 − ) ( → x y , ) ( = − − + 6, 1 ) t ( 10, 2 − ) d) ( A 3, 7 y ) B ( 4, 2 ) AB  = ( ) ( 1, 9 x y , ) ( = 3, 7 − + ) t ( ) 1, 9

80. Página 172

a) La recta pasa por los puntos ( ) A 0, 1 y B ( ) 1, 3  AB = ( ) ( 1, 2 x y , ) ( ) = 0, 1 + t ( ) 1, 2 . b) La recta pasa por los puntos ( A 1, 0 y ) B ( 0, 3 )  AB = ( ) ( 1,3 x y , ) ( = − 1, 0 ) + t ( ) 1, 3 . c) La recta pasa por los puntos ( A 0, 2 y ) B ( 1, 2 ) AB  = − ( 1, 4 ) ( x y , ) ( = 0, 2 − + − ) t ( 1, 4 ) . d) La recta pasa por los puntos ( A − 4, 0 y 0, 4 ) B ( − ) →  AB = ( 4, 4 − ) ( → x y , ) ( = − 4, 0 ) + t ( 4, 4 − )

.

81. Página 172

a) ( v 1, 1 y ) A ( 9, 4 ) x y = − −  = + 4 9 t t 



 c) ( v − − 1, 5 y ) A ( 3, 1 ) x y = − −  = − 1 5 3 t t 



b) ( 8, 1 y 6, 9 ) ( ) 6 8 9

x t

v A

y t

= +  

− → = −  

 d) ( v − − 4, 7 y ) A ( 2, 3 ) x y = − −  = − 3 7 2 4 t t 



82. Página 172

a) ( 3, 8 y 0, 10 ) ( ) ( 3, 18 ) 3 3 8 18

x t

A B AB

y t

= − +  

− − → = → = − +  

 c) A ( 5, 8 y ) B ( 9, 5 ) AB = − ( 14, 3 ) x y = − = − 5 14 8 3 t t  





b) ( 8, 6 y 1, 5 ) ( ) ( 9, 11 ) 8 9 6 11

x t

A B AB

y t

= − +  

− − → = → = − +  

 d) ( 0, 4 y ) ( 10, 0 ) ( 10, 4 ) 10

4 4

x t

A B AB

y t

= −  

− → = − − → = −  



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