Tema 1 Matrices

Texto completo

(1)

Tema 1 Matrices

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez

IES ALPAJ ´ES

18 de septiembre de 2016

(2)

Matriz. Introducci´on

Figura: Selecci´on campeona de la Eurocopa 2012

(3)

Matriz. Introducci´on

4 16 23 1 12 3 2 22 13 6 9 24 14 15 10 7 18 11 21 8 20 19 17 5

(4)

Matriz. Definici´on

Definici´on de matriz.

Llamamos matriz a un conjunto ordenado de n´ umeros, dispuestos en filas y en columnas, formando un rect´angulo:

A =

a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

... ... ... ...

a

m1

a

m2

· · · a

mn

 A ∈ M

m×n

La matriz A tiene m filas y n columnas. Es una matriz de dimensiones m × n Ejemplo:

A =

0 −5 −38 −8 3 10 −22 −18 7 6

−16 2 1 0 −72

−9 −3 1 4 −2

La Matriz A tiene dimensiones 4 × 5. Tiene 4 filas y 5 columnas.

(5)

Igualdad de matrices

Def.- Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa la misma posici´on.

A = B ⇐⇒ a

ij

= b

ij

∀i = 1 . . . m

∀j = 1 . . . n Ejemplo:

A =

−61 9 −80 94

−48 31 43 12 77 −50 25 −2

B =

−61 9 −80 94

−48 31 43 12 77 −50 25 −2

Las matrices A y B son iguales porque tienen las mismas dimensiones, 3 × 4 y cada elemento de A que ocupa el mismo lugar:

a

23

= 43

(6)

Tipos de matrices

1 Matriz fila: matriz formada por una fila y n columnas.

A ∈ M

1×n

A = −1 0

12

− √ 2  2 Matriz columna: matriz formada por m filas y una columna.

A ∈ M

m×1

B =

−1 2 9 0

−5

3 Matriz cuadrada: matriz formada por el mismo n´ umero de filas que de columnas:

A ∈ M

n×n

=⇒ A ∈ M

n

A =

1 −6 0

−9 −3 2 12 −6 1

(7)

Tipos de matrices

4 Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos salvo los de la diagonal

A =

1 0 0 0 −3 0 0 0 1 3

5 Matriz triangular: matriz cuadrada que tiene los elementos nulos a un lado de la diagonal

A =

1 0 0

4 −3 0 12 −1 1 3

A es una matriz triangular inferior

B =

1 −6 √ 7 0 −8 −9

0 0 6

(8)

Tipos de matrices

6 Matriz identidad: Matriz cuadrada diagonal que tiene los elementos de la diagonal iguales a 1:

I =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

7 Matriz nula: matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.

A =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 Traspuesta de una matriz A. Llamamos traspuesta de una matriz A

t

a la matriz resultante de cambiar sus filas por sus columnas:

A =

0 −2 9 −3 7 −10 15 −1 5 8 12 −6

A

t

=

0 7 5

−2 −10 8

(9)

Tipos de matrices

9 Matriz sim´etrica. Decimos que una matriz cuadrada A es sim´etrica si y s´olo si A = A

t

A =

1 4 12 4 −3 −1 12 −1 1 3

= A

t

=

1 4 12 4 −3 −1 12 −1 1 3

10 Matriz antisim´etrica. Decimos que una matriz cuadrada A es antisim´etrica si y s´olo si A = −A

t

A =

0 2 −5

−2 0 7

5 −7 0

A

t

=

0 −2 5 2 0 −7

−5 7 0

 = −A

(10)

Operaciones con matrices. Suma de matrices

Dadas dos matrices A y B ∈ M

m×n

. Definimos la suma de matrices A + B como la matriz resultante de sumar cada elemento la matriz A con el correspondiente elemento de la matriz B.

Def.- Suma de matrices

Sean A y B ∈ M

m×n

definimos la suma de la matriz A con la matriz B es una matriz C tal que c

ij

= a

ij

+ b

ij

∀i, j.

Ejemplo:

A =

−6 0 1 0

1 −4 −8 −3

3 2 10 0

, B =

3 0 −5 2 0 9 3 0 1 0 8 10

A + B =

−6 0 1 0

1 −4 −8 −3

3 2 10 0

 +

3 0 −5 2 0 9 3 0 1 0 8 10

A + B =

−6 + 3 0 + 0 1 + (−5) 0 + 2 1 + 0 −4 + 9 −8 + 3 −3 + 0 3 + 1 2 + 0 10 + 8 0 + 10

=

−3 0 −4 2 1 5 −5 −3 4 2 18 10

(11)

Operaciones con matrices. Suma de matrices. Propiedades

Propiedades de la suma de matrices

1

Conmutativa A + B = B + A

2

Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

3

Elemento neutro. La matriz nula O es el elemento neutro A+0=A.

4

Elemento opuesto. A + (−A) = 0. Siendo −A la matriz opuesta de A, es decir, formada por los elementos opuestos de A.

Ejemplo: Matriz opuesta

A =

9 1 0

0 −8 5 2 3 −6

−A =

−9 −1 0 0 8 −5

−2 −3 6

(12)

Operaciones con matrices. Producto de una matriz por un escalar λ

Def.- Producto de una matriz por un escalar λ

Definimos el producto de una matriz A ∈ M

m×n

por un escalar λ ∈ R, a la matriz C ∈ M

m×n

resultante de multiplicar cada elemento de A por λ.

c

ij

= λ · a

ij

∀i = 1 . . . m

∀j = 1 . . . n Ejemplo

A =

−1 0 7 2

3 −5 2 10 0 −1 −6 0

3 · A =

3 · (−1) 3 · 0 3 · 7 3 · 2 3 · 3 3 · (−5) 3 · 2 3 · 10 3 · 0 3 · (−1) 3 · (−6) 3 · 0

 =

−3 0 21 6

9 −15 6 30 0 −3 −18 0

 =

(13)

Operaciones con matrices. Producto de una matriz por un escalar λ. Propiedades

Propiedades del producto de un escalar por una matriz

1

Distributiva del producto con respecto de la suma de matrices:

λ · (A + B) = λ · A + λ · B

2

Distributiva del producto respecto de la suma de n´ umeros reales:

(λ + µ) · A = λ · A + µ · A

3

Asociativa entre n´ umeros y matrices:

(λ · µ) · A = λ · (µ · A)

4

Elemento neutro:

1 · A = A Ejemplo

A =

−7 1 2 0 3 −4 11

2 5 3

−1 3 15

Efectuar: 2 · A y (2 · 3) · A

(14)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

Producto de matrices

Dada las matrices A ∈ M

m×n

y B ∈ M

n×p

se llama matriz producto A · B a la matriz resultante de la suma del producto de las filas de A con las columnas de B.

Ejemplo

−2 1 0 4

3 −2 4 −1

2 5 −3 0

 ·

2 −1

5 3

2 −3

−1 4

=

=

−2 · 2 + 1 · 5 + 0 · 2 + 4 · (−1) −2(−1) + 1 · 3 + 0(−3) + 4 · 4 3 · 2 + (−2) · 5 + 4 · 2 + (−1)(−1) 3(−1) + (−2)3 + 4(−3) + (−1)4 2 · 2 + 5 · 5 + (−3)2 + 0(−1) 2(−1) + 5 · 3 + (−3)(−3) + 0 · 4

−4 + 5 + 0 − 4 2 + 3 + 0 + 16 6 − 10 + 8 + 1 −3 − 6 − 12 − 4 4 + 25 − 6 + 0 −2 + 15 + 9 + 0

 =

−3 21 5 −25 23 22

(15)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

Para que una matriz A ∈ M

m×n

y B ∈ M

n×p

se puedan multiplicar, el n´ umero de columnas de A debe coincidir con el n´ umero de filas de B y la matriz resultante es una matriz C ∈ M

m×p

con el n´ umero de filas de A y el n´ umero de columnas de B. En el ejemplo

A =

−2 1 0 4

3 −2 4 −1

2 5 −3 0

 Matriz 3 × 4

B =

2 −1

5 3

2 −3

−1 4

 Matriz 4 × 2 La matriz resultante

A · B

−3 21 5 −25 23 22

Matriz 3 × 2

(16)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

Producto de matrices

Dadas las matrices A = (a

ij

)

m×n

y B = (b

jk

)

n×p

se llama matriz producto A · B a otra matriz C = (c

ik

)

n×p

tal que:

c

ik

= a

i1

b

1k

+ a

i2

b

2k

+ . . . + a

in

b

1n

=

n

X

j=1

a

ij

b

jk

Ejemplos:

A =

−1 2 3

0 1 5

3 −1 2

 B =

2 −3 1 4 0 7

A · B =

 0 32 1 39 5 1

C =

2 1 0

−1 2 3 1 0 1

 D =

−1 0 4 3

6 −1 0 2

−3 0 −4 1

C · D =

4 −1 8 8

4 −2 −16 4

−4 0 0 4

(17)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

Ejemplos:

A =

−1 0 5

6 −2 1 9 3 −1

 , B =

−1 2 0

 , C = −1 7 2  , D =

−1 0 3 −5 1 2 7 −6 3 1 0 −9

Efect´ ua en el caso de que sea posible A · A, A · D, D · A, B · C, C · B

(18)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

A

2

=

−1 0 5

6 −2 1 9 3 −1

 ·

−1 0 5

6 −2 1 9 3 −1

 =

46 15 −10

−9 7 27

0 −9 49

A · D =

−1 0 5

6 −2 1 9 3 −1

 ·

−1 0 3 −5 1 2 7 −6 3 1 0 −9

 =

16 5 −3 −40

−5 −3 4 −27

−9 5 48 −54

D · A =

−1 0 3 −5 1 2 7 −6 3 1 0 −9

 ·

−1 0 5

6 −2 1 9 3 −1

No podemos efectuar este producto porque el n´ umero de columnas de D no coincide con el n´ umero

de filas de A

(19)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.

B · C =

−1 2 0

 · −1 7 2  =

1 −7 −2

−2 14 4

0 0 0

C · B = −1 7 2  ·

−1 2 0

 = 15

(20)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.Propiedades

Propiedades del producto de matrices

Las siguientes propiedades se refieren a matrices cuadradas M

n

de orden n

1

Asociativa (AB)C = A(BC)

2

Elemento neutro A · I = I · A = A, donde I es la matriz identidad.

I =

1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · 1

3

Distributiva A · (B + C) = A · B + B · C.

(21)

Operaciones con matrices. Producto de matrices.Propiedades

El producto de matrices, en general, no es conmutativo es decir:

A · B 6= B · A Ejemplo:

A =

−1 0 3

5 −3 2 7 0 −3

 , B =

−1 4 0 3 0 1

−2 −1 6

A · B =

−1 0 3

5 −3 2 7 0 −3

 ·

−1 4 0 3 0 1

−2 −1 6

 =

−5 −7 18

−18 18 9

−1 31 −18

B · A =

−1 4 0 3 0 1

−2 −1 6

 ·

−1 0 3

5 −3 2 7 0 −3

 =

21 −12 5

4 0 6

39 3 −26

 Sean A, B ∈ M

n

indica cuales son ciertas:

1

(22)

Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz

Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A ∈ M

n

matriz cuadrada de orden n, llamamos traspuesta de una matriz A

t

a la matriz resultante de cambiar sus filas por sus columnas:

A =

0 −2 9 −3 7 −10 15 −1 5 8 12 −6

A

t

=

0 7 5

−2 −10 8 9 15 12

−3 −1 −6

(23)

Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz. Propiedades

Propiedades de la trasposici´on de matrices

1

(A

t

)

t

= A

2

(A + B)

t

= A

t

+ B

t

3

(A · B)

t

= B

t

· A

t

4

(λ · A)

t

= λ · A

t

con λ ∈ R

(24)

Rango de una matriz. Definici´on. Combinaci´on lineal de filas (columnas)

Combinaci´on lineal de filas (Columnas)

Dado una matriz A ∈ M

m×n

definimos una combinaci´on lineal de filas (columnas) como la fila que se obtiene sumando los productos de varias filas (columnas) por escalares:

Ejemplo:

A =

−1 2 3 4 6 3 9 5

−2 0 7 −11

Vamos a a˜ nadir a la matriz A una fila resultante de la siguiente combinaci´on lineal de filas:

3 · F

1

− 2 · F

2

− F

3

(25)

Rango de una matriz. Definici´on. Combinaci´on lineal de filas (columnas)

Combinaci´on lineal de filas (Columnas)

Dado una matriz A ∈ M

m×n

definimos una combinaci´on lineal de filas (columnas) como la fila que se obtiene sumando los productos de varias filas (columnas) por escalares:

Ejemplo:

A =

−1 2 3 4 6 3 9 5

−2 0 7 −11

Vamos a a˜ nadir a la matriz A una fila resultante de la siguiente combinaci´on lineal de filas:

3 · F

1

− 2 · F

2

− F

3

3 · F

1

− 2 · F

2

− F

3

= 3 −1 2 3 4  − 2 6 3 9 5  − −2 0 7 −11  3 · F

1

− 2 · F

2

− F

3

= −3 − 12 + 2 6 − 6 − 0 9 − 18 − 7 12 − 10 + 11 

3 · F

1

− 2 · F

2

− F

3

= −13 0 −16 13 

B =

−1 2 3 4

6 3 9 5

−2 0 7 −11

−13 0 −16 13

(26)

Rango de una matriz. Definici´on

Encuentra las combinaciones lineales en las filas A =

−1 2 4 −6 1 3 −4 2 0 5 0 −4

B = 2 −6 3 6 −18 9



C =

4 −1 −3

2 5 1

−1 3 2

(27)

Rango de una matriz. Definici´on

Definici´on

Dada una matriz A ∈ M

m×n

decimos que una fila F

i

(columna C

j

) es combinaci´on lineal de otras filas (columnas) cuando la fila F

i

(columna C

j

) se puede poner como combinaci´on lineal de otras filas (columnas) de la matriz A.

Ejemplo

A =

−1 −11 0 3

4 −2 0 −1

1 3 −1 5

1 −27 1 0

F

4

= 2F

1

+ F

2

− F

3

La ´ ultima fila de la matriz, la 4

a

fila F

4

es combinaci´on lineal de las otras tres filas, F

1

, F

2

, F

3

(28)

Rango de una matriz. Definici´on.

Dependencia lineal

Dada una matriz A ∈ M

m×n

decimos que un conjunto de filas (columnas) es linealmente dependiente cuando una de ellas se puede poner como combinaci´on lineal de las otras filas (columnas).

Ejemplo

A =

−1 −11 0 3

4 −2 0 −1

1 3 −1 5

1 −27 1 0

F

4

= 2F

1

+ F

2

− F

3

La 4

a

fila F

4

es combinaci´on lineal de las otras tres filas, F

1

, F

2

, F

3

y por tanto las filas F

1

, F

2

, F

3

, F

4

son linealmente dependientes .

(29)

Rango de una matriz. Definici´on.

Independencia lineal

Dada una matriz A ∈ M

m×n

decimos que un conjunto de filas (columnas) es linealmente independiente cuando ninguna de ellas se puede poner como combinaci´on de las otras filas (columnas).

Ejemplo

A =  −1 5 20 2 −3 0



En la matriz A las filas F

1

, F

2

son linealmente independientes. Si F

1

, F

2

fueran linealmente independientes entonces F

1

= λ · F

2

por tanto las dos filas ser´ıan proporcionales:

2

−1 6= −3 5 6= 0

20

(30)

Rango de una matriz. Definici´on.

Rango de una matriz

Dada una matriz A ∈ Mm × n llamamos rango de la matriz A y lo denotamos por rg(A) al n´umero de filas (columnas) linealmente independiente.

Ejemplo:

A =  −1 5 20 2 −3 0



rg (A) = 2

B =  2 −3 12 4 6 24



La fila F

2

es el doble de la fila F

1

, por tanto, F

1

, F

2

forman un conjunto de filas linealmente

dependiente y el rg(B) = 1

(31)

Rango de una matriz. Definici´on.

Rango de una matriz. Propiedades

1

El rango de la matriz nula es igual a 0 rg(O) = 0

2

En toda matriz el n´ umero de filas linealmente independiente es igual al n´ umero de columnas linealmente independiente. Podemos calcular el rango por filas o por columnas. Ejemplo

A =  2 −3 12 4 6 24



En la matriz A tenemos 2 filas proporcionales y 3 columnas proporcionales y el n´ umero de filas y columnas linealmente independientes es el mismo, 1.

3

Si en una matriz eliminamos una fila (columna) de 0 el rango de la matriz resultante no cambia.

4

Si en una matriz a˜ nadimos o eliminamos una fila (columna) que es combinaci´on lineal de otras filas (columnas), el rango de la matriz resultante no cambia.

5

Si en una matriz a una fila (columna) se le suma o resta una combinaci´on lineal de filas

(columnas) el rango de la matriz resultante no cambia.

(32)

Rango de una matriz. Matriz escalonada

Definici´on de matriz escalonada

Decimos que una matriz es escalonada si los elementos por debajo de la diagonal a

ii

son igual a 0.

ejemplo: La matriz A es escalonada.

A =

1 1 −1 5

0 −1 2 6

0 0 −1 −8

Calculo del rango en una matriz escalonada

El rango de una matriz escalonada es igual al n´ umero de filas distintas de 0

En el ejemplo anterior el rg(A) = 3

(33)

Rango de una matriz. C´alculo del rango de una matriz. M´etodo de Gauss

M´etodo de Gauss para el c´alculo del rango de una matriz

Dado una matriz A ∈ M

m×n

el m´etodo de Gauss consiste en transformar la matriz A en sucesivas matrices, mediante transformaciones elementales, hasta obtener una matriz escalonada. El rango de la matriz A ser´a igual al n´ umero de filas distintas de 0 en dicha matriz escalonada.

Transformaciones elementales

El rango de una matriz no var´ıa si:

1

Se permutan dos l´ıneas paralelas de la matriz (filas o columnas)

2

Se multiplican o dividen todos los elementos de una l´ınea por un n´ umero.

3

Si a una fila (columna) se le suma o resta una combinaci´on lineal de filas (columnas).

4

Si se elimina una fila (columna) de 0.

5

Si se elimina una fila (columna) proporcional a otra.

6

Si se elimina una fila (columna) que es combinaci´on lineal del resto.

(34)

Rango de una matriz. C´alculo del rango de una matriz. M´etodo de Gauss

Ejemplo: Calcular el rango de la matriz:

A =

1 −4 2 −1 3 −12 6 −3 2 −1 0 1 0 1 3 −1

(35)

Rango de una matriz. C´alculo del rango de una matriz. M´etodo de Gauss

Ejemplo: Calcular el rango de la matriz:

A =

1 −4 2 −1 3 −12 6 −3 2 −1 0 1 0 1 3 −1

 La fila F

2

= 3 · F

3

por tanto la podemos eliminar

1 −4 2 −1 2 −1 0 1 0 1 3 −1

Vamos a hacer 0 todos los elementos que est´an por debajo de la diagonal a

ii

Sustituimos la Fila F

2

por −2F

1

+ F

2

y el elemento de la F

3

es 0 por tanto

1 −4 2 −1

0 7 −4 3

0 1 3 −1

(36)

Rango de una matriz. C´alculo del rango de una matriz. M´etodo de Gauss

Para que sea m´as sencillo permutamos las filas F

2

y F

3

.

1 −4 2 −1

0 1 3 −1

0 7 −4 3

 Sustituimos la fila F

3

por F

3

− 7 · F

2

1 −4 2 −1

0 1 3 −1

0 0 −25 10

Despu´es de sucesivas transformaciones la matriz resultante es escalonada y por tanto el rango de la matriz A es 3

rg(3) = 3

Figure

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