Matemáticas II
1. Matrices 1.1. Definiciones.
Definición: una matriz sobre el cuerpo de los números reales es un ordenamiento rectangular de números denotado por:
=
amn a
a a a
a a
a
A
m m
n
...
...
. . . .
. . . . .
...
...
...
...
2 1
22 21
1 12
11
donde a
ij∈ IR , i = 1 , 2 ,..., m j = 1 , 2 ,...., n .
La i - esima fila de A es ( a
i1a
i2... .. a
in) con 1 ≤ i ≤ m . Mientras que la j - esima columna de A es:
mj j j
a a a
. . .
2 1
con 1 ≤ j ≤ n .
si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz de orden m por n ( m × n ) . Si m = n , se dice que la matriz A es una matriz cuadrada de orden n y que los elementos a
11, a
22,... a
nnforman la diagonal principal de A . Y nos referimos a los elementos a como las entrada
ij( j i , ) de la matriz A con lo cual podemos escribir:
A = A
m×n= ( a
ij) .
El conjunto M
m×n(K ) denota el conjunto de todas las matrices de orden m × n sobre
el cuerpo K( = IR o C) . si m = n M
n(K ) denota el conjunto de las matrices
cuadradas de orden n sobre el cuerpo K .
Definición: dos matrices A
m×nY B
p×qson iguales si y solamente si m = p , n = q y n
j m i
b
a
ij=
ij, ∀ = 1 , 2 ,..., ; ∀ = 1 , 2 ,..., .
Ejemplo: observe que en cada caso los pares de matrices dados son diferentes:
a)
≠ −
− 2 1
3 1 0 0
1 2
3 1
, ya que los ordenes son diferentes, mientras la primera matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden 2x2.
b) A = B
−
≠
−
= 2 3 4
0 1 0 4 3 2
0 1
1 , ya que los elementos a Y
11b son
11diferentes.
Ejemplo: determine a , , b c y d si existen de manera que en cada caso las igualdades sean validas.
a)
+
−
= −
+ −
2 1
1 3 2
1
2
2 b a a
a , en M
2( IR ) .
b)
=
+
+
−
1 6
2 3 1 2
2
1 c
d c
d c
c , en M
2( IR ) .
c)
= +
+ +
− + +
d b
c a
c b a
b a a
2 2 1 2
1
2
22
, en M
2( IR ) .
Solución:
a) b a
a a a
b a a
b a a a
+
=
−
=
⇒ +
= +
=
−
=
−
−
= +
⇒
+
−
= −
+ −
1 )
2 (
3 2
) 1 ( 2 2
1 1 1
3 2
2 1
1 3 2
1
2
22
2
.
De la ecuación (1) vemos que una solución es a = − 1 i + 2 , con lo cual a, b ∈ C
b) si
1 2
) 3 (
2 )
2 (
3 1
) 1 ( 1 6
2 3 1 2
1
2 2
= +
=
= +
−
⇒
=
+
+
−
d c
c d
c c c
d c
d c c
de (2) y (3) obtenemos que 6
= 5
c , pero este valor no satisface la ecuación (1).
Con lo cual deducimos que no existen a , , b c y d números Reales para que la igualdad sea valida.
c)
( ) 2 2
1 0 2 1
2 4
2 1
) 3 (
) 2 (
1 2
) 1 ( 2
2 1 2
1 2
2 2
2 2
=
−
=
=
=
⇒
=
=
−
= + +
+
= + +
⇒
= +
+ +
− + +
d c b a
d c b c
b a
a b
a a
d b
c a
c b a
b a
a .
1.2. Matrices Especiales.
Definición: definimos la matriz nula o matriz cero por la matriz que posee todas sus entradas cero, la cual denotamos por 0
m×n= 0 .
Ejemplo:
a) 0
20 0
0
0 =
. B) 0
3 40 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
=
×
.
Definición:(Matriz Diagonal) sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) diremos que A es una matriz diagonal si y solo si a
ij= 0 para i ≠ j .
Ejemplo:
a)
=
1 0 0
0 0 0
0 0 1
A b)
= 0 0 0
B 0 c)
=
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0
0
0
1
C
Definición: llamamos matriz identidad o unitaria de orden n a la matriz diagonal de orden n definida por
=
=
1 ...
0 0
. . . . . .
0 ...
1
0 ...
0 1
I
nI
Definición: (Matriz Triangular Superior e Inferior) Una matriz A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) se denomina matriz Triangular Superior si a
ij= 0 , ∀ i > j , analogamente diremos que A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) es una matriz Triangular Inferior si a
ij= 0 , ∀ i < j .
Ejemplo:
a)
3 0 0
0 0 0
3 2 1
matriz triangular superior.
b)
0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
matriz triangular inferior.
1.3. Operaciones entre Matrices.
Las operaciones entre matrices producen nuevas matrices a partir de las matrices dadas.
Definición:(Adición) sean A = ( a
ij), B = ( b
ij) ∈ M
n×m( IR ) definimos la suma entre A y B por:
( )
Ejemplo: sean
−
−
= −
= −
4 1 2
3 21 , 1
2 1 0
3 2
1 B
A entonces
−
= −
−
− + −
= −
+ 2 2 6
0 23 2 4
1 2
3 21 1 2
1 0
3 2 B 1
A .
Teorema: ( M
n×m(IR ) + ) es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa, conmutativa, existe elemento neutro y existe elemento inverso.
Definicion: sean A = ( a
ij) ∈ M
n×m( IR ) y k ∈ IR definimos el producto de un escalar k por la matriz A por:
) ( ) ( a
ijka
ijk
kA = = .
Ejemplo:
−
−
−
= −
− −
4 2 0
6 4 2 2
1 0
3 2 ) 1 2
( .
Definición:(Multiplicación de Matrices) sean A = ( ) a
ij∈ M
m×n( ) IR y ( ) b M ( ) IR
B =
ij∈
n×pdefinimos el producto de A y B por:
( ) ( ) a
ij m nb
ij n p( ) c
ij m pAB =
× ×=
×donde
∑
==
nk
kj ik
ij
a b
c
1
p j
m
i = 1 , 2 ,..., . = 1 , 2 ,..., .
Ejemplo: sean
−
−
=
−
=
1 2
3 4
5 2 4 ,
1 3
1 2
1 B
A entonces
−
=
−
−
⋅
−
= 6 16
2 4 1 2
3 4
5 2 4 1 3
1 2
AB 1 .
Observación: el producto de matrices no es conmutativo.
Ejemplo: consideremos
=
=
0 0 0
0 0 1
0 0 0 , 0 0 0
0 0 1
0 0 1
B
A entonces
=
=
≠
=
=
0 0 0
0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 1
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 1
0 0 1
BA
AB .
Definición: si A es una matriz cuadrada de orden n y k ∈ N , definimos las potencias de la matriz A por
1 0
=
−=
k k
n
AA A
I A
Ejemplo: sea
= 0 1
0
A 1 determine A
3
=
=
=
=
1 3
0 1 1 2
0 1 1 1
0 1
1 2
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1
2 3
2
AA A A
Definición: sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) diremos que A es Idempotente si A
2= A .
Definición: sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) diremos que A es Nilpotente si existe k ∈ N , tal que A
k= 0 .
Definición: sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) diremos que A es Involutiva si A
2= I
n.
Ejemplo: sean
−
=
−
=
=
1 0
1 , 1
0 1 0
0 0 0
0 1 0 0 ,
0 0
1 B C
A observe que:
a)
= 0 0
0
A 1 es Idempotente.
b)
−
=
0 1 0
0 0 0
0 1 0
B es Nilpotente de orden dos ya que A
2= 0 .
c)
−
= 0 1 1
C 1 es Involutiva.
Definición:(Matriz Traspuesta) Sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) , definimos la traspuesta de A por A
t= ( ) b
ij∈ M
n×m( ) IR donde
ji
ij
a
b = .
Es decir la traspuesta de una matriz A se obtiene a partir de A intercambiando las filas por las columnas de A .
Ejemplo:
−
−
−
=
⇒
−
−
−
=
−
−
=
⇒
−
= −
10 7 5
1 15 0
2 3 1 10
1 2
7 15 3
5 0 1
10 4
6 3
5 1 10
6 5
4 3 1
t t
A B
A A
Teorema: sean A , B ∈ M
m×n( ) IR y k ∈ IR entonces a) ( ) A
t t= A .
b) ( ) kA
t= kA
t.
c) ( A + B )
t= A
t+ B
td) ( ) AB
t= B
tA
tDefinición:(Traza) sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) definimos la traza de A por
∑
==
ni
a
iiA Tr
1
)
( .
Teorema: sean A , B ∈ M
n( ) IR y k ∈ IR entonces a) Tr ( kA ) = kTr ( A ) .
b) Tr ( A + B ) = Tr ( A ) + Tr ( B ) . c) Tr ( AB ) = Tr ( BA ) .
Definición:(Matriz Simétrica) sea A ∈ M
n( ) IR diremos que A es Simétrica si A
tA = .
Definición:(Matriz Antisimétrica ) sea A ∈ M
n( ) IR diremos que A es Antisimétrica si A
t= − A .
Proposición: dada A ∈ M
n( ) IR existe una descomposición única de A como la suma de una matriz simétrica con una matriz antisimétrica, tal descomposición es:
8 7 6 8 7
6
antisimetricat simetrica
t
A A
A A A
2 2
+ −
= + Ejemplo:
A A
A
t=
−
=
⇒
−
=
33 6 3
6 6 2
3 2 1 33
6 3
6 6 2
3 2 1
, entonces A es simétrica.
A A
A
t= −
−
−
−
=
⇒
−
−
−
=
0 6 3
6 0 2
3 2 0 0
6 3
6 0 2
3 2 0
, entonces A es antisimétrica.
Ejemplo: sea
−
−
−
=
9 4 9 1 9 8
9 7 9 4 9 4
9 4 9 8 9 1
A es ortogonal.
Definición: sea A ∈ M
n( ) IR , diremos que A es Normal si AA
t= A
tA .
Observación: note que si A ∈ M
n( ) IR es simétrica, antisimétrica u ortogonal entonces obviamente es normal. Sin embargo no todas las matrices normales son de los tipos de matrices ya mencionados.
Ejemplo:
−
= 3 6 3
A 6 es normal.
Teorema: sea A ∈ M
2( ) ℜ una matriz normal entonces a es simétrica o bien la
suma de una matriz escalar y otra antisimétrica.
Ejercicios.
1. Dadas las siguientes matrices:
−
−
=
=
−
−
−
=
−
=
−
= −
4 1 5
6 5 3
1 2 2 4
3 1 2
3 1 2
7 6 5
4 2 2 1
8 2 3
1 0 4
0 3
2 1 2
E D
C B
A
calcular si es posible:
( ) ( )
tt
D ABD A C E AC AE C E
A D AB BA AB D CB C
E + , + , , , +
2, , , + , + , +
2. Resolver la ecuación matricial para X ∈ M
2( ) IR ; 2 X + A
t= A + B
2, donde:
=
=
2 1
1
; 3 0 1
1
2 B
A .
3. Si A =
2 1 1 0 2 2 2 1 0
y B =
−
−
−
1 1 1 2 2 0 1 0 1
, determine la matriz X en la siguiente
ecuación matricial: [ AX
t]
t− = B A
t+ X .
4. Resuelva la siguiente ecuación matricial, de acuerdo a los diversos valores de la constante a:
X a a
a a a
⋅
=
1
1
1 (donde X es una matriz cuadrada de orden 2).
5. Si A =
1 0 0
1 0 1 , demuestre que A
2n= nA
2− − ( n 1 ) ; I
3∀ ∈ n IN . Calcule A
30.
6. Encuentre A
n, en función de n, si A =
− −
−
4 2 2
2 2 2
1 1 1
.
7. Demuestre que, en general, para dos matrices A, B cuadradas del mismo orden, se tiene que: ( A − B A )( + B ) ≠ A
2− B
2.
8. Suponga que A y B son dos matrices cuadradas de orden n, invertibles y tales que A + B también es invertible. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matriciales, con X e Y son matrices cuadradas de orden n:
AX BX AYB A B I O
AX BX AYB I A B O
+ + − − − =
+ − − + + =
2 2
2 2
3 3 2 3 2 2
9. Dada la matriz
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A deduzca una formula para A .
n10. Si
−
=
−
=
−
=
=
=
1 2 3
4 1 0
5 4 2 5 ;
2 2
; 3 3 1 2
5 1 4
3 1 3
; 2 3
1 2
0 1 4 ;
1 2
3 2
1 B C D E
A
a. Calcular si s posible: C+E; AB; 2C-3E; CB+D; AB+DD.
b. Si es posible calcular: ABD; A(C+E); CB+D+E; 23A+2A.
c. A
t; (AB)
t; B
tA
t; (C+E)
t; C
t+E
t.
11. Determinar x , y , z , w ∈ ℜ tales que
+ + +
= −
3 4
2 1 3 6
w z
y x w
x w
z y
x .
12. Sea
= 6 3
2
A 1 determinar una matriz B de orden 2 × 3 con entradas distintas tales que AB = 0 .
13. Sea
= −
3 4
2
A 1 determine f ( A ) donde f ( x ) = 2 x
3− 4 x + 5 .
14. Sea
= −
3 4
3
A 1 . Determinar una matriz de orden 2 × 1 no nula, B , tal que B
AB = 3 .
15. Sea
−
−
−
=
5 12 5
1 5 2
3 2 1
A , determinar todas las matrices columnas u tales que
= 0 Au .
16. Determinar todas las matrices de orden dos
= t z
y
M x que conmutan con
1 0
1
1 .
17. Determinar x , y , s , t ∈ ℜ si existen de tal modo que
=
t s s
y x
A 3
1 3 2
3 2 3 2
sea
ortogonal.
18. Demuestre que si
= d c
b
A a es ortogonal entonces a
2+ b
2= 1 .
19. Determinar todas las matrices de orden dos que conmuten con
− 2 0
1
1 .
20. Determine A , B ∈ M
2( ) IR distintas tales que AB = 0 . 21. Resolver el sistema matricial para X , Y ∈ M
2( ) IR
( ) A Y B n IN
X
BA Y
X A
n t t t
n t
∈
= +
=
− 2
4
=
= 3 2 0 1
23. Sea A una matriz de orden n x m y c ∈ IR demuestre que si cA=0 entonces 0
c = o A=0.
24. Sea A ∈ M
n[ ] IR . Diremos que A es Idempotente si y solo si A
2= A. Diremos que A es Nilpotente si y solo si existe p ∈ N tal que A
p= 0. Muestre que:
a.
−
−
−
−
−
=
3 2 1
4 3 1
4 2 2
A es Idempotente.
b.
−
−
−
=
3 1 2
6 2 5
3 1 1
B es Nilpotente.
25. Si A=
− 1 2 1
2 1 1
3 1 2
demuestre que A
3− 2 A
2− 9 A = 0 pero que A
3− 2 A − 9 I ≠ 0 .
26. Diremos que una matriz A de orden n es Involutiva si A
2= I. Demuestre que si A es Involutiva entonces las matrices ½ ( I + A ) y ½ ( I – A ) son idempotentes y que:
( I + A )( I – A )=0
1.4. Matrices Invertibles.
Definición: sea A ∈ M
n( ) IR , diremos que A es invertible si B ∃ ∈ M
n( ) IR tal que I
nBA
AB = = y diremos que B es la inversa de A y denotaremos B = A
−1. Propiedades: sean A , B ∈ M
n( ) IR matrices invertibles entonces:
a) ( ) A
−1 −1= A .
b) ( ) AB
−1= B
−1A
−1.
c) ( ) ( ) A
t −1= A
−1 tObservación: sea A ∈ M
2( ) IR una matriz invertible, tal que
= d c
b
A a entonces es fácil comprobar que A es invertible si y solo si ad − bc ≠ 0 y su inversa es:
−
−
= −
−
a c
b d bc A
1ad 1
.
Observación: si una matriz A es invertible, esta es llamada habitualmente matriz Regular o No Singular.
En lo que sigue de esta sección trataremos de proporcionar las herramientas necesarias para poder determinar cuando una matriz es invertible y si lo es poder determinar su inversa, ya que para matrices de orden n > 2 no es tan fácil deducir una formula para la inversa.
1.5 Determinantes
La idea intuitiva de determinante de una matriz A ∈ M
n(IR ) es la siguiente. El determinante de A denotado por det( A o por A , es un numero que pertenece al ) cuerpo de los números reales.
Para matrices de orden dos y tres es fácil calcular su determinante ya que este
esta dado por:
b. Si
2( )
33 32 31
23 22 21
13 12 11
IR M a
a a
a a a
a a a
A ∈
= . Entonces
12 21 33 11 23 32 13 22 31 32 21 13 31 23 12 33 22
)
11det( A = A = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a . La expresión obtenida para calcular el determinante de una matriz de orden tres es fácil recordarla por el siguiente algoritmo.
Ley de Sarrus
1. Se escriben las dos primeras columnas a continuación de la matriz.
2. Se desarrollan los productos triples según los signos de las flechas del siguiente diagrama.
- - -
32 31
22 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
+ + +
Para un desarrollo mas general, primero definamos para A ∈ M
n(IR ) la submatriz M , como la matriz de orden
ij( n − 1 ) × ( n − 1 ) que se obtiene de la matriz A al eliminar la fila i y la columna j.
Ejemplo: sea
−
=
1 2 4
1 1 2
0 3 1
A entonces observamos que
=
−
= 4 2
3
; 1 1 2
1 1
23
11
M
M ; etc.
Observación: note que si A ∈ M
n(IR ) entonces podemos formar n submatrices
2de la forma M .
ijEstamos en condiciones de definir recursivamente el determinante de una matriz.
Definición: sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) entonces
[ ]
>
−
=
=
∑
=+
det( ) 1
) 1 ( )
det(
1
11 11
n para M
a
a A si a
A
n
j
ij ij
j i
Ejemplo: si
=
3 1 2
4 3 1
0 2 1
A entonces si escogemos j = 1 obtenemos que:
15 16 6 4 4 9
3 0 2 2 3 1
0 2 3 1
4 3
) det(
) 1 ( ) det(
23 13
22 12 31 33 32
13 12 21 33 32
23 22 11 3
1
= +
−
−
= +
−
=
+
−
=
−
= ∑
= +a M a a a a a a a a a a a a a a a
A
j
ij ij
j i
Proposición: sean A , B ∈ M
n( IR ) y c ∈ IR entonces a) det( A ) = det( A
t) .
b) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por un intercambio de filas(o columnas) entonces
) det(
)
det( B = − A
c) Si A tiene dos filas (columnas) iguales entonces det( A ) = 0 . d) Si A tiene una fila(columna) nula entonces det( A ) = 0 .
e) Si B se obtiene a partir de la matriz A al multiplicar una fila(columna) por un
escalar c entonces det( B ) = c det( A ) .
f) Si B se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar la fila(columna) i por la suma de la fila(columna) i mas c veces la fila(columna) j ( i ≠ j ) entonces
) det(
)
det( A = B .
g) Si A es triangular superior(inferior) entonces el determinante de A es el producto de los elementos de s diagonal, es decir det( A ) = a
11a
22⋅⋅ ⋅⋅ a
nn.
h) A es regular si y solo si det( A ) ≠ 0 . i) det( AB ) = det( A ) det( B ) .
Ejemplo: sea
=
3 1 2
4 3 1
0 2 1
A si aplicamos la operación elemental F obtenemos la
12matriz
=
3 1 2
0 2 1
4 3 1
B así det( B ) = − det( A ) = − 15 .
Proposición: si A ∈ M
n(IR ) es no singular entonces
) det(
) 1
det( A = A .
1.6 Calculo de Inversas vía Determinantes.
Definición:(Cofactor) sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) el cofactor A de
ija se define por:
ijij j i
ij
M
A = ( − 1 )
+, donde M es la submatriz ij de la matriz A .
ijEjemplo: sea
−
=
2 1 7
6 5 4
2 1 3
A entonces vemos que
1 10 7
1 1 3 )
1 (
. 2 34 7
6 1 4 )
1 (
23 3 2 23
12 2 1 12
−
− =
−
=
−
=
=
−
=
−
=
+ +
M A
M A
.
Definición:(Adjunta) sea A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) la matriz adjunta de A denotada por )
( A
Adj esta definida por
=
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A A Adj
2 1
2 22
12
1 21
11
)
( .
Ejemplo: sea
−
−
=
3 0 1
2 6 5
1 2 3
A entonces podemos calcular la matriz adjunta.
6 28 5
2 ) 3
1 ( 2 1
5 1 ) 3 1 ( 2 10
6 1 ) 2
1 (
0 2 1
2 ) 3
1 ( 3 10
1 1 ) 3
1 ( 3 6
0 1 ) 2
1 (
0 6 1
6 ) 5 1 ( 3 17
1 2 ) 5
1 ( 3 18
0 2 ) 6
1 (
6 33
5 32
4 31
5 23
4 22
3 21
4 13
3 12
2 11
− =
−
=
−
=
−
=
−
− =
−
=
−
− =
−
=
−
− =
−
=
−
− =
− −
=
−
=
−
=
− =
−
=
−
− =
−
=
A A
A
A A
A
A A
A
así la matriz adjunta es
−
−
−
−
−
−
−
=
28 2 6
1 10 17
10 6 18 )
( A
Adj .
Teorema: si A = ( a
ij) ∈ M
n( IR ) es una matriz regular entonces
A A A
1Adj ( )
−
=
.
Ejercicios
1. Calcular los siguientes determinantes:
0 3 0 1
0 1 3 1
4 3 2 1
1 1 1 1 . 2
2
2 2
2 2
. 1
) ( ) (
1 ) ( ) (
1 ) ( ) ( .
1 1 . 1
. .
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 4
0 0 4 3 . 1
1 2 2 1
2 1 1 0 0
0 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 2 1 2 1 . 7
6 2 5
7 6 2 1
5 3 4 2
4 1 2 1 .
2 3
i b a c c c
b a
c b b
a a
c b a h y
x y
x
y x y
x
y x y
x g
x x x f x y
x y x
y x y e x
x x
x d x
c b
a
−
−
−
−
−
−
− +
−
− +
− +
+
− +
+ +
− +
−
− +
−
−
−
−
−
−
2. Determine los valores de la constante a, de modo que el determinante de la matriz A
a a
a a
a
=
−
− −
− −
1 1
2 1
1 1 2 1
, sea cero.
3. Encuentre los valores de las constantes “a” y “b” , de modo que la siguiente matriz sea invertible: A
a b a
a
b a b
=
−
−
1 0 .
4. Si A =
−
−
6 2 2
2 5 0
2 0 7
, resuelva la ecuación det( A − xI
3) = 0 , donde x es una
variable real.
5. Verifique que
a b c a b
c b c a b
c a a c b
a b c + +
+ +
+ +
= + +
2
2
2
2 ( ) .( Use Maple)
36. Exprese el determinante de la matriz A
a a bcd
b b acd
c c abd
d d abc
=
2 2 2 2
1 1 1 1
, en forma
factorizada.
7. Verifique que a
a
a
a
a a +
+
+
+
= +
2 3 4 5
2 3 4 5
2 3 4 5
2 3 4 5
3
14
( ) .
8. Sea A
a a a
a a b
=
−
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
, donde a y b son números reales. Exprese el
determinante de A en forma totalmente factorizada y a partir de esto calcule el rango de la matriz A, dependiendo de los valores de las constantes a y b.
9. Encuentre la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, tales que det( A + B ) = det( ) A + det( ) B , donde A =
2 1 1 1 .
10. Sea A =
−
−
−
− − −
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
. Demuestre que A A
t= AA
t= 4 I
4y a partir de ésta
relación deduzca la inversa de la matriz A.
11. Calcule A
−1+ A
−2+ A
−3+ ⋅⋅⋅⋅+ A
−n, en función del número natural n, si A = −
1 0
1 1 .
12. Calcule los siguientes determinantes, usando propiedades
2 1 0 0
1 2 2 0
0 1 2 1
0 0 1 2 , 3 5 2 0
2 0 2 1
1 4 3 2
0 2 2 1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
13. Calcular el determinante de
=
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A
4. Determinar los determinantes
de las matrices A
2, A
3, con ceros en la diagonal y unos en las demás posiciones.¿ puede determinar el valor de A ?
n14. Sean A, B ∈ M
n(ℜ ) tales que | A | = 5 y | 4AB | = | B
−1| calcule | B |.
15. Dada la matriz
=
1 0 1
0 1 2
3 0 1
A determine los valores de k tal que A − kI = 0 .
16. Determine sin son validas las siguientes igualdades
a) 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
−
−
−
b) 0
0 1 0
3 2 1
3 0 1
=
−
−
c) 0
3 2
3 2
3 2
= z z z
y y y
x
x
x
d)
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
1
2xz xy x z x
y x
−
=
−
17. Resuelva las siguientes ecuaciones
a) 0
0 0 0
= x x
x x
x x
b) = 0
b x b
m m m
x a a
c) 2
1 2
3
1 0
2
1 1
2=
−
−
x
x
1.7. Sistemas de Ecuaciones.
En esta sección resolveremos sistemas de ecuaciones con las herramientas expuestas en las secciones anteriores.
Consideremos los siguientes sistemas:
3 3 33 2 32 1 31
3 3 23 2 22 1 21
1 3
13 2 12 1 11
2 22 22 1 21
1 2
12 1 11
b x a x a x a
b x a x a x a
b x
a x a x a b
x a x a
b x
a x a
= +
+
= +
+
= +
+
= +
=
+ (1)
observe que (1) es equivalente al sistema matricial b
AX = (2)
donde A = ( a
ij) ∈ M
2( ) IR , M ( ) IR
x x
X
212 1
. ∈
×
= y M ( ) IR
b b
b
212 1
. ∈
×
= y .
( ) IR
M a
A = (
ij) ∈
3, M ( ) IR
x x x
X
313 2 1
∈
×
= y M ( ) IR
b b b
b
313 2 1
∈
×
= respectivamente.
La matriz A = ( a
ij) ∈ M
m×n( ) IR se denomina matriz asociada al sistema.
Observación: los sistemas dados en (1) poseen solución única si y solo si las matrices asociadas al sistema es una matriz invertible.
Método de Crammer.
Si un sistema de orden dos de la forma
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
b x
a x a
b x
a x a
= +
= +
posee solución única, dicha solución esta dada por:
∆
= ∆
∆
= ∆
1 2 21
