Haret C. Rosu e-mail: [email protected]

Los Alamos Electronic Archives: physics/9808031 La verdad os hara libres

Universidad de Guanajuato IFUG, Le´ on, Guanajuato, M´ exico

MECANICA CUANTICA I.

MC I

Haret C. Rosu e-mail: [email protected]

fax: 0052-47187611 phone: 0052-47183089

h/2 π

A cargo del Prof. Haret Rosu para el beneficio de los estudiantes presentes y futuros del IFUG y otros lugares.

Primer curso de mec´ anica cu´ antica en castellano publicado en Internet.

Copyright c 1998. All rights are reserved. H.C. ROSU

Julio de 1998 Abstract

This is the first Internet course on elementary quantum mechan-

ics written in Spanish (“castellano”) for the benefit of Spanish speak-

ing students. I thank my eight Mexican students at the Institute of

Physics, University of Guanajuato, Leon, (IFUG), for the collaboration

that made this possible. The topics included refer to the postulates of

quantum mechanics, one-dimensional barriers and wells, angular mo-

mentum, WKB method, harmonic oscillator, hydrogen atom, quantum

scattering, and partial waves.

INDICE DE CONTENIDO 0. Introducci´ on General - Haret C. Rosu

1. Los Postulados de la MC - Martin Gilberto Castro Esparza 2. Potenciales Barreras y Pozos - Juan Manuel Rodr´ıguez Vizca´ıno 3. El Momento Angular - Teodoro C´ ordova Fraga

4. El M´ etodo WKB - Luis Antonio Garc´ıa Trujillo

5. El Oscilador Arm´ onico - Jos´ e Torres Arenas

6. El ´ Atomo de Hidr´ ogeno - Edgar Alvarado Anell

7. La Dispersi´ on en la MC - Daniel Jim´ enez Alvarez

8. Las Ondas Parciales - Pedro Basilio Espinoza Padilla

Incluye tambi´ en alrededor de 25 problemas con soluciones.

0. Introduction

The energy quanta occured in 1900 in works of Max Planck (Nobel prize, 1918) on the black body electromagnetic radiation. Planck’s “quanta of light” have been used by Einstein (Nobel prize, 1921) to explain the pho- toelectric effect, but the first “quantization” of a quantity having units of action (the angular momentum) belongs to Niels Bohr (Nobel Prize, 1922).

This opened the road to the universality of quanta, since the action is the basic functional to describe any type of motion. However, only in the 1920’s the formalism of quantum mechanics has been developed in a systematic manner and the remarkable works of that decade contributed in a decisive way to the rising of quantum mechanics at the level of fundamental theory of the universe from the mankind standpoint and one of the most successful from the point of view of technology. Moreover, it is quite probable that many of the cosmological misteries may be disentangled by means of various quantization procedures of the gravitational field leading to our progress in understanding the origins of the universe. On the other hand, in recent years, there is a strong surge of activity in the information aspect of quan- tum mechanics, that has not been very much exploited in the past, aiming at a very attractive “quantum computer” technology.

At the philosophical level, the famous paradoxes of quantum mechanics (showing the difficulties of the ‘quantum’ thinking) are actively pursued ever since they have been first posed. Perhaps the famous of them is the EPR paradox (Einstein, Podolsky, Rosen, 1935) on the existence of elements of physical reality, or in EPR words: “If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity.” Another famous paradox is that of Schr¨ odinger’s cat which is related to the fundamental quantum property of entanglement and the way we understand and detect it. What one should emphasize is that all these delicate points are the sourse of many interesting experiments (such as the so-called “teleportation” of quantum states) pushing up the technology.

Here, we present eight elementary topics in nonrelativistic quantum me- chanics from a course in Spanish (“castellano”) on quantum mechanics that I taught in the Institute of Physics, University of Guanajuato (IFUG), Le´ on, Mexico, during January-June semester of 1998. The responsability of the idiom belongs mostly to the eight students, respectively.

Haret C. Rosu

0. Introducci´ on General

Los cu´ antos de energ´ıa surgieron en 1900 como consecuencia de los trabajos de Max Planck (premio Nobel 1918) sobre el problema de la radiaci´ on del cuerpo negro. Los “cuantos de luz” de Planck fueron usados por Einstein (premio Nobel 1921) para explicar el efecto fotoelectrico, pero la primera

“cuantificaci´ on” de una cantidad que tiene las unidades de una acci´ on (el momento angular) se debe a Niels Bohr (premio Nobel 1922). Eso abri´ o el camino de la universalidad de los cu´ antos ya qu´ e la acci´ on es la funci´ on basica para describir cualquier tipo de movimiento. A´ un as´ı, s´ olo los a˜ nos veinte se cons´ıderan como el inicio del formalismo cu´ antico que levant´ o a la mec´ anica cu´ antica al nivel de teor´ıa fundamental del universo y una de las m´ as excitosas en cuanto a la tecnologia. En verdad, es muy proba- ble que muchos de los misterios cosmol´ ogicos est´ an por ejemplo detr´ as de las diferentes maneras de cuantificar el campo gravitacional y tales avances pueden contribuir al entendimiento de los origines del universo. Por otro lado, el aspecto informatico de la mec´ anica cu´ antica, que no se aprovech´ o en el pasado, se est´ a desarrollando de una manera muy activa en los ulti- mos a˜ nos con el proposito de investigar la posibilidad de la construcci´ on de las llamadas “computadoras cu´ anticas”. En la parte filos´ ofica cabe men- cionar que en la mec´ anica cu´ antica hay paradojas famosas que todav´ıa se mantienen en polemica y que reflejan las dificultades de la logica que im- pone la manera de pensar cu´ antica (y/o probabilistica). Una de las m´ as celebres es la de Einstein (que nunca acepto por completo la MC), Podolsky y Rosen (EPR, 1935) sobre si hay o no “elementos verdaderos de la realidad f´ısica” (seg´ un Einstein la MC prohibe la existencia independiente del acto de medici´ on de los sistemas f´ısicos). Otra de igual celebridad es la del “gato de Schr¨ odinger”. Lo que se debe subrayar es que todos estos puntos te´ oricos delicados generan experimentos muy interesantes (como son por ejemplo los de la llamada “teletransportaci´ on” de estados cu´ anticos) que imp´ ulsan a la tecnologia. Lo que sigue son algunos temas introductivos en la mec´ anica cu´ antica norelativista que sirvieron como base para el curso de maestr´ıa de mec´ anica cu´ antica I en el IFUG durante el semestre Enero-Junio de 1998.

Este curso fue impartido por mi a los estudiantes enlistados, los cuales se encargaron de los temas correspondientes. La responsabilidad del idioma pertenece en gran parte a cada uno de los estudiantes.

Haret C. Rosu

1. LOS POSTULADOS DE LA MC

Los siguientes 6 postulados se pueden considerar como la base de la teor´ıa y los experimentos de la mec´ anica cu´ antica.

P1.- A cualquier cantidad f´ısica L le corresponde un operador Hermitiano ˆ L.

P2.- A cualquier estado (f´ısico) estacionario de un sistema f´ısico le corresponde una funci´ on de onda normalizada ψ ( k ψ k ² = 1).

P3.- La cantidad f´ısica L puede tomar solo los valores propios del operador ˆ L.

P4.- Lo que se mide es siempre el valor promedio L de la cantidad L en el estado ψ, la cual en teor´ıa es el elemento de matriz diagonal

< f | ˆ L | f >= L.

P5.- Los elementos de matriz de los operadores coordenada cartesiana y momento ^x b ^{i y p} b ^{k ,}

calculados entre las funciones de onda f y g satisfacen a las ecuaciones de Hamilton de la mec´ anica cl´ asica en la forma:

d

dt < f | ^p b ⁱ | g >= − < f | ^{∂ H} b

∂ ^x b

^{| g >, dt d < f | x} b ⁱ | g >=< f | ^{∂ H} b

∂ ^p b

^{| g >}

donde H es el operador Hamiltoniano. b

P6.- Los operadores ^p b ^{i y x} b ^k tienen los siguientes conmutadores:

[ ^p b ^{i , x} b k ] = −i¯hδ ik , [ ^p b ^{i , p} b ^{k ] = 0}

[ ^x b ^{i , x} b ^{k ] = 0,}

¯

h = h/2π = 1.0546 × 10 ⁻²⁷ erg.seg.

1.- La correspondencia de una cantidad f´ısica L que tiene un an´ alogo cl´ asico L(x i , p k ) se hace sustituyendo x i , p k por ^x b ^{i p} b ^k . La funci´ on L se supone que se puede desarrollar en serie de potencias. Si la funci´ on no contiene productos x k p k , el operador ˆ L es directamente hermitiano.

Ejemplo:

T = ( P 3

i p ² _i )/2m −→ T = ( b P 3 i b ^{p 2 )/2m.}

Si L contiene productos x i p i , ˆ L no es hermitiano, en tal caso L se sustituye por ˆ Λ la parte hermitica de ˆ L ( ˆ Λ es un operador autoadjunto).

Ejemplo:

w(x i , p i ) = P

i p i x i −→ ^{w = 1/2} b P 3

i ( ^p b ^{i x} b ^{i + x} b ^{i p} b ^{i ).}

Resulta tambi´ en que el tiempo no es un operador sino un param´ etro.

2.- (Probabilidad en el espectro discreto y continuo) Si ψ n es funci´ on propia del operador ˆ L, entonces:

L =< n | ˆ L | n >=< n | λ ⁿ | n >= λ ⁿ < n | n >= δ ⁿⁿ λ n = λ n .

Tambi´ en se puede demostrar que L ^k = (λ n ) ^k .

Si la funci´ on φ no es funci´ on propia de ˆ L se usa el desarrollo en un sistema completo de L, entonces: ˆ

Sean las siguientes definiciones:

Lψ ˆ n = λ n ψ n , φ = P

n a n ψ n

combinando estas dos definiciones obtenemos lo siguiente:

Lφ = ˆ P

n λ n a n ψ n .

Con las definiciones pasadas ya podremos calcular los elementos de matriz del operador L.

Entonces:

< φ | ˆ L | φ >= P

n,m a ^∗ _m a n λ n < m | n >= P

m | a m | ² λ m , lo cual nos dice que el resultado del experimento es λ m con la probabilidad | a m | ² . Si el espectro es discreto: de acuerdo con el postulado 4 eso significa que | a m | ² , o sea, los coeficientes del desarrollo en un sistema completo determinan las probabilidades de observar el valor propio λ n .

Si el espectro es continuo: usando la siguiente definici´ on

φ(τ ) = R

a(λ)ψ(τ, λ)dλ,

se calcularan los elementos de matriz para el espectro continuo

L =< φ | ˆ L | φ >

= R

dτ R

a ^∗ (λ)ψ ^∗ (τ, λ)dλ R

µa(µ)ψ(τ, µ)dµ

= R R

a ^∗ a(µ)µ R

ψ ^∗ (τ, λ)ψ(tau, µ)dλdµdτ

= R R

a ^∗ (λ)a(µ)µδ(λ − µ)dλdµ

= R

a ^∗ (λ)a(λ)λdλ

= R

| a(λ) | ² λdλ.

En el caso continuo se dice que | a(λ) | ² es la densidad de probabilidad de observa el valor de λ del espectro continuo. Tambi´ en vale

L =< φ | ˆ L | φ >.

3.- Definici´ on de la derivada con respecto a un operador:

∂F ( ˆ L)

∂ ˆ L = lim _→∞ ^{F ( ˆ L+ ˆ I)} _ ^{−F ( ˆ L)} .

4.- (Representaci´ on del momento) Cual es la forma concreta de ^p b ^{1 , p} b ^{2 y p} b ³ , si los argumentos de las funciones de onda son coordenada cartesiana x i .

Vamos a considerar el siguiente conmutador:

[ ^p b ^{i , x} b ^{i 2 ] = p} b ^{i x} b ^{i 2} − ^x b ^{i 2 p} b ⁱ

= ^p b ^{i x} b ^{i x} b ⁱ − ^x b ^{i p} b ^{i x} b ^{i + x} b ^{i p} b ^{i x} b ⁱ − ^x b ^{i x} b ^{i p} b ⁱ

= ( ^p b ^{i x} b ⁱ − ^x b ^{i p} b ^{i ) x} b ^{i + x} b ^{i ( p} b ^{i x} b ⁱ − ^x b ^{i p} b ^{i )}

= [ ^p b ^{i , x} b ^{i ] x} b ^{i + x} b ^{i [ p} b ^{i , x} b ^{i ]}

= −i¯h ^x b ⁱ − i¯h ^x b ^{i =} −2i¯h ^x b ^{i .}

En general se tiene:

b

p i ^x b ^{i n} − ^x b ^{i n p} b ^{i =} −ni¯h ^x b ^{i n−1 .}

Entonces para todas las funciones anal´ıticas se tiene lo siguiente:

b

p i ψ(x) − ψ(x) ^p b ^{i =} −i¯h _∂x ^∂ψ

.

Ahora sea ^p b ^{i φ = f (x 1 , x 2 , x 3 ) la acci´ on de p} b ^{i sobre φ(x 1 , x 2 , x 3} ) = 1. Entonces:

b

p i ψ = −i¯h _∂x ^∂ψ

+ f 1 ψ y hay relaciones analogas para x 2 y x 3 . Del conmutador [ ^p b ^{i , p} b ^k ] = 0 se obtiene ∇ × ~ f = 0, por lo tanto, f i = ∇ i F .

La forma m´ as general de ^P b i es:

b

p i = −i¯h ∂x ^∂

+ _∂x ^∂F

i

, donde F es cualquier funci´ on. La funci´ on F se puede eliminar uti- lizando una transformaci´ on unitaria ^U b ^{† = exp}

^{F .}

b

p i = ^U b ^{† (} −i¯h _∂x ^∂

+ _∂x ^∂F

i

) ^U b

= exp

^F ( −i¯h _∂x ^∂

+ _∂x ^∂F

i

) exp

^F

= −i¯h _∂x ^∂

resultando que ^p b ^{i =} −i¯h _∂x ^∂

−→ b ^{p =} −i¯h∇.

5.- (C´ alculo de la constante de normalizaci´ on) Cualquier funci´ on de onda ψ(x) ∈ L ² de vari- able x se puede escribir como:

ψ(x) = R

δ(x − ξ)ψ(ξ)dξ

y considerar la expresi´ on como desarrollo de ψ en las funciones propias del operador co- ordenada ˆ xδ(x − ξ) = ξ(x − ξ). Entonces, | ψ(x) | ² es la densidad de probabilidad de la coordenada en el estado ψ(x). De aqu´ı resulta la interpretaci´ on de la norma

k ψ(x) k ² = R

| ψ(x) | ² dx = 1.

El sistema descrito por la funci´ on ψ(x) debe encontrarse en alg´ un lugar del eje real.

Las funciones propias del operador momento son:

−i¯h _∂x ^∂ψ

= p i ψ, integrandola se obtiene ψ(x i ) = A exp

^p

^x

, x y p tienen espectro continuo y entonces se tiene que hacer la normalizaci´ on con la funci´ on delta.

C´ omo se obtiene la constante de normalizaci´ on?

se puede obtener utilizando las siguientes transformadas de Fourier:

f (k) = R

g(x) exp ^−ikx dx, g(x) = _2π ¹ R

f (k) exp ^ikx dk.

Tambi´ en se obtiene de la siguiente manera:

Sea la funci´ on de onda no normalizada de la part´ıcula libre φ p (x) = A exp

y la f´ ormula

δ(x − x

) = _2π ¹ R ∞

−∞ exp ^{ik(x −x}

⁾ dx se ve que

R ∞

−∞ φ ^∗

p

(x)φ p (x)dx

= R ∞

−∞ A ^∗ exp

0x

¯

h

A exp

dx

= R ∞

−∞ | A | ² exp

0)

¯

h

dx

= | A | ² ¯ h R ∞

−∞ exp

0)

¯ h

d ^x _{¯ h}

= 2π¯ h | A | ² δ(p − p

)

entonces la constante de normalizaci´ on es:

A = √ ¹ 2π¯ h .

Tambi´ en resulta que las funciones propias del operador momento forman un sistema com- pleto (en el sentido del caso continuo) para las funciones L ² .

ψ(x) = √ ¹ 2π¯ h

R a(p) exp

dp

a(p) = √ ¹ 2π¯ h

R ψ(x) exp

dx.

Estas f´ ormulas establecen la conexi´ on entre las representaciones x y p.

6.- Representaci´ on p: La forma explic´ıta de los operadores ˆ p i y ˆ x k se puede obtener de las

relaciones de conmutaci´ on, pero tambi´ en usando los n´ ucleos

x(p, β) = U ^† xU = _2π¯ ¹ _h R

exp

x exp

dx

= _2π¯ ¹ _h R

exp

( −i¯h _∂β ^∂ exp

).

La integral pasada tiene la forma siguiente:

M (λ, λ

) = R

U ^† (λ, x) M U (λ b

, x)dx, y usando ˆ xf = R

x(x, ξ)f (ξ)dξ.

Entonces la acci´ on de ˆ x sobre a(p) ∈ L ² es:

ˆ xa(p) = R

x(p, β)a(β)dβ

= R

( _2π¯ ¹ _h R

exp

( −i¯h _∂β ^∂ exp

)dx)a(β)dβ

= ⁻ⁱ _2π R R

exp

_∂β ^∂ exp

a(β)dxdβ

= ^−i¯ _2π ^h R R

exp

_∂β ^∂ exp

a(β)d ^x _{h ¯} dβ

= ^−i¯ _2π ^h R R

exp

_∂β ^∂ a(β)d ^x _{h ¯} dβ

= −i¯h R ∂a(p)

∂β δ(β − p)dβ = −i¯h ^∂a(p) _∂p ,

donde δ(β − p) = _2π ¹ R

exp

d _h ^x _¯ .

El operador momento en la representaci´ on p se caracteriza por el n´ ucleo:

p(p, β) = U b ^† p U b

= _2π¯ ¹ _h R

exp

( −i¯h ∂x ^∂ ) exp

dx

= _2π¯ ¹ _h R

exp

β exp

dx = βλ(p − β)

resultando que ˆ pa(p) = pa(p).

Lo que pasa con ˆ x y ˆ p es que aunque son hermiticos sobre todas f(x) ∈ L ² no son hermiticos sobre las funciones propias.

Si ˆ pa(p) = p o a(p) y ˆ x = ˆ x ^† p = ˆ ˆ p ^† .

Entonces:

< a | ˆpˆx | a > − < a | ˆxˆp | a >= −i¯h < a | a >

p o [< a | ˆx | a > − < a | ˆx | a >] = −i¯h < a | a >

p o [< a | ˆx | a > − < a | ˆx | a >] = 0

La parte izquierda es cero, mientras tanto la derecha esta indefinida, lo que es un con- tradicci´ on.

7.- (Representaciones de Schr¨ odinger y Heisenberg)

Las ecuaciones de movimiento dadas por el postulado 5 tienen varias interpretaciones, por el hecho de que en la expresi´ on _dt ^d < f | ˆ L | f > uno puede considerar la dependencia del tiempo atribuida completamente a las funciones de onda o completamente a los operadores.

• Para un operador dependiente del tiempo O = b O(t) tenemos: d

ˆ p i = − ^{∂ H} b

∂ ˆ x

, x ˆ i = ^{∂ H} b

∂ ˆ p

[ ˆ p, f ] = ˆ pf − f ˆp = −i¯h _{∂ ˆ} ^∂f _x

[ˆ x, f ] = ˆ xf − f ˆx = −i¯h _{∂ ˆ} ^∂f _p

se obtienen las ecuaciones de movimiento de Heisenberg:

ˆ

p i = ⁻ⁱ _{¯ h} [ ˆ p, H], b x ˆ i = ⁻ⁱ _{¯ h} [ˆ x, H]. b

• Si las funciones dependen del tiempo, todav´ıa se puede usar ˆ

p i = ⁻ⁱ _{¯ h} [ ˆ p i , H], porque es consecuencia solo de las relaciones de conmutaci´ b on y en- tonces no dependen de la representaci´ on.

d

dt < f | ˆ p i | g >= ⁻ⁱ _{¯ h} < f | [ˆp, ^H] b | g >.

Si ahora ˆ p i y H no dependen del tiempo y teniendo en cuenta su hermiticidad se b

obtiene:

( ^∂f _∂t , ˆ p i g) + ( ˆ p i f, ^∂g _∂t )

= ⁻ⁱ _{h ¯} (f, ˆ p i Hg) + ˆ _{h ¯} ⁱ (f, ˆ H ˆ p i g)

= ⁻ⁱ _{¯ h} (ˆ pf, ˆ Hg) + _{¯ h} ⁱ ( ˆ Hf, ˆ p i g) ( ^∂f _∂t + _{h ¯} ⁱ Hf, ˆ ˆ p i g) + ( ˆ p i f, ^∂g _∂t − _{¯ h} ⁱ Hg) = 0 ˆ

La ´ ultima relaci´ on se cumple para cualquier pareja de funciones f (x) y g(x) al mo-

mento inicial si cada una satisface la ecuaci´ on

i¯ h ^∂ψ _∂t = Hψ.

Esta es la ecuaci´ on de Schr¨ odinger y la descripci´ on del sistema por operadores independientes del tiempo se llama representaci´ on de Schr¨ odinger.

En las dos representaciones la evoluci´ on temporal del sistema se caracteriza por el operador

b

H, el cual se obtiene de la funci´ on de Hamilton de la mec´ anica cl´ asica.

Ejemplo: H de una part´ıcula en potencial U (x b 1 , x 2 , x 3 ) es:

b

H = _2m ^{p ˆ}

+ U (x 1 , x 2 , x 3 ), y en la representaci´ on x es:

b

H = − _2m ^{h ¯}

∇ + U(x 1 , x 2 , x 3 ).

8.- El postulado 5 vale en las representaciones de Schr¨ odinger y de Heisenberg. Por eso, el valor promedio de cualquier observable coincide en las dos representaciones, y entonces, hay una transformada unitaria que pasa de una representaci´ on a otra. Tal transformaci´ on es del tipo ˆ s ^† = exp

. Para pasar a la representaci´ on de Schr¨ odinger hay que usar la transformada de Heisenberg ψ = ˆ s ^† f con f y ˆ L, y para pasar a la representaci´ on de Heisenberg se usar´ a la transformaci´ on de Schr¨ odinger ˆ Λ = ˆ s ^† Lˆ ˆ s con ψ y ˆ Λ. Ahora se obtendr´ a la ecuaci´ on de Schr¨ odinger: como en la transformaci´ on ψ = ˆ s ^† f la funci´ on f no depende del tiempo, derivaremos la transformaci´ on con respecto al tiempo obteniendose lo sig.:

∂ψ

∂t = ^∂S _∂t

f = _∂t ^∂ (exp

b _{)f = −i}

¯

h ^{H exp} b

b _{f = −i}

¯

h ^{H ˆ} b ^{s † f = −i} _{h ¯} ^Hψ. b

por lo tanto, tenemos:

b

Hψ − i¯h ^∂ψ _∂t .

Enseguida calcularemos la ecuaci´ on de Heisenberg: poniendo la transformaci´ on de Schr¨ odinger de la siguiente manera ˆ s ˆ Λ ˆ s ^† = ˆ L y derivandola con respecto al tiempo se obtiene la ecuaci´ on de Heisenberg

∂ ˆ L

∂t = ^{∂ ˆ} _∂t ^s Λ ˆ ˆ s ^† + ˆ s ˆ Λ ^{∂ ˆ} _∂t ^s

= _{¯ h} ⁱ H exp b

b

_{Λ ˆ ˆ s † −} i

¯

h ˆ sˆ λ exp

H b

= _{h ¯} ⁱ ( H ˆ b s ˆ Λ ˆ s ^† − ˆsˆΛ ˆ s ^† H) = b _{h ¯} ⁱ ( H ˆ b L − ˆ L H) = b _{h ¯} ⁱ [ H, ˆ b L].

Por lo tanto,tenemos:

∂ ˆ L

∂t = _{¯ h} ⁱ [ H, ˆ b L].

Tambi´ en la ecuaci´ on de Heisenberg se puede escribir de la sig. manera:

∂ ˆ L

∂t = _{¯ h} ⁱ s[ ˆ H, ˆ b Λ] ˆ s ^† .

A ˆ L se le conoce como la integral de movimiento si _dt ^d < ψ | ˆ L | ψ >= 0 y esta caracteri- zada por los siguentes conmutadores:

[ H, ˆ b L] = 0, [ H, ˆ b Λ] = 0.

9.- Los estados de un sistema descrito por las funciones propias de H se llaman estados esta- b

cionarios del sistema, y al conjunto de valores propios correspondientes se les llaman espec- tro de energ´ıa (espectro energ´ etico) del sistema. En tal caso la ecuaci´ on de Schr¨ odinger es :

i¯ h ^∂ψ _∂t

= E n ψ n = ^Hψ b n . Y su soluci´ on es: ψ n (x, t) = exp

φ n (x).

• La probabilidad es la siguiente:

δ(x) =| ψ n (x, t) | ² =| exp

φ n (x) | ²

= exp

exp

| φ n (x) | ² = | φ n (x) | ² . Resultando que la probabilidad es constante en el tiempo.

• En los estados estacionarios, el valor promedio de cualquier conmutador de tipo [ H, ˆ b A] es cero, donde ˆ A es cualquier operador:

< n | H ˆ b A − ˆ A H b | n >=< n | H ˆ b A | n > − < n | ˆ A H b | n >

=< n | E n A ˆ | n > − < n | ˆ AE n | n >

= E n < n | ˆ A | n > −E n < n | ˆ A | n >= 0.

• Teorema del virial en mec´anica cu´antica.- Si H es el operador Hamiltoniano de una b

part´ıcula en un campo U (r) y usando A = 1/2 ˆ P 3

i=1 ( ˆ p i x ˆ i − ˆ x i p ˆ i ) se obtiene lo siguiente:

< ψ | [ ˆ A, ^H] b | ψ >= 0 =< ψ | ˆ A ^H b − ^{H ˆ} b ^A | ψ >

= P 3

i=1 < ψ | ˆ p i x ˆ i H b − H ˆ b p i x ˆ i | ψ >

= P 3

i=1 < ψ | [ H, ˆ b x i ] ˆ p i + ˆ x i [ H, ˆ b p i ] | ψ >.

usando varias veces los conmutadores y ˆ p i = −i¯h∆, ˆ H = T +U (r), se tiene entonces: b

< ψ | [ ˆ A, H] b | ψ >= 0

= −i¯h(2 < ψ | T b | ψ > − < ψ | ~r · ∇U(r) | ψ >).

Que es el teorema del virial. Si el potencial es U (r) = U o r ⁿ , entonces tenemos el teorema del virial como en mec´ anica cl´ asica, s´ olo que para valores promedios

T = ⁿ ₂ U .

• Para un Hamiltoniano H = b − _2m ^{¯ h}

∇ + U(r) y [~r, H] = ^−i¯ _m ^h ~ p, y calculando los ele- mentos de matriz se tiene:

(E _k − E n ) < n | ~r | k >= ^i¯ _m ^h < n | ˆp | k >.

10.- (Densidad de corriente de probabilidad) La siguiente integral :

R | ψ n (x) | ² dx = 1,

es la normalizaci´ on de una funci´ on propia de un espectro discreto en la representaci´ on de coordenada, y ocurre como una condici´ on de movimiento en una regi´ on finita. Por eso, los estados del espectro discreto se llaman estados ligados.

Para las funciones propias del espectro continuo ψ λ (x) no se puede dar de manera directa una interpretaci´ on de probabilidad.

Supongamos una funci´ on dada φ ∈ L ² , la cual la escribimos como combinaci´ on lineal de funciones propias en el continuo:

φ = R

a(λ)ψ λ (x)dx.

Se dice que φ corresponde a un movimiento infinito.

En muchos casos, la funci´ on a(λ) es diferente de cero solo en una vecindad de un punto λ = λ o . En este caso φ se le conoce como paquete de onda(s).

Vamos a calcular el cambio en el tiempo de la probabilidad de encontrar el sistema en el volumen Ω.

P = R

Ω | ψ(x, t) | ² dx = R

Ω ψ ^∗ (x, t)ψ(x, t)dx.

Derivando la integral con respecto a el tiempo tenemos:

dP dt = R

Ω (ψ ^∂ψ _∂t

+ ψ ^{∗ ∂ψ} _∂t )dx.

Utilizando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger del lado derecho de la integral se tiene lo siguiente:

dP dt = _{¯ h} ⁱ R

Ω (ψ ˆ Hψ ^∗ − ψ ^∗ Hψ)dx. ˆ

Usando la identidad f ∇g−g∇f = div[(f)grad(g)−(g)grad(f)] y la ecuaci´on de Schr¨odinger de la forma siguiente:

Hψ = ˆ _2m ^{¯ h}

∇ψ.

Sustituyendo lo anterior en la integral se obtiene:

dP dt = _{¯ h} ⁱ R

Ω [ψ( − _2m ^{h ¯}

∇ψ ^∗ ) − ψ ^∗ ( ^−¯ _2m ^h

∇ψ)]dx

= − R

Ω i¯ h

2m (ψ ∇ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ψ)dx

= − R

Ω div _2m ^{i¯ h} (ψ ∇ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ψ)dx.

Usando el teorema de la divergencia para transformar la integral de volumen en una de superficie, entonces tenemos lo siguiente:

dP

dt = − H _{i¯ h}

2m (ψ ∇ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ψ)dx.

A la cantidad ~ J (ψ) = _2m ^{i¯ h} (ψ ∇ψ ^∗ − ψ ^∗ ∇ψ) se le conoce como densidad de corriente de probabilidad y de inmediato se obtiene una ecuaci´ on de continuidad,

dρ

dt + div( ~ J ) = 0.

• Si ψ(x) = AR(x), donde R(x) es funci´on real, entonces: ~ J (ψ) = 0.

• Para las funciones propias del impulso ψ(x) = _{(2π¯ h)} ¹

/2 exp

se obtiene:

J (ψ) = _2m ^{i¯ h} ( _{(2π¯ h)} ¹

/2 exp

( _{h(2π¯ ¯} ^i~ _h) ^p

/2 exp

)

−( _{(2π¯ h)} ¹

/2 exp

_{h(2π¯ ¯} ^i~ _h) ^p

_/2 exp

))

= _2m ^{i¯ h} ( − _{¯ h(2π¯} ^{2i~ p} _h)

) = _m(2π¯ ^{p ~} _h)

,

lo cual nos dice que no depende de la coordenada la densidad de probabilidad.

11.- (Operador de transporte espacial) Si H es invariante ante translaciones de cualquier vector b

~ a,

b

H(~ r + ~ a) = H ~ b (r).

Entonces, hay un T (~ b a) unitario T b ^† (~ a) H(~ b r) T (~ b a) = H(~ b r + ~ a).

Por la conmutaci´ on de las translaciones

b

T (~ a) T (~b) = b T (~b) b T (~ b a) = T (~ b a + ~b), resulta que T tiene la forma b ^{T = exp} b ^{iˆ ka , donde, ˆ k =} _h ^p _¯ ^{ˆ .}

En el caso infinitesimal:

b

T (δ~ a) ^H b ^{T (δ~} b ^a) ≈ (ˆ I + iˆ kδ~ a) ^{H( ˆ} b ^I − iˆkδ~a),

b

H(~ r) + i[ ˆ K, H]δ~ b a = H(~ b r) + ( ∇ H)δ~ b a.

Tambi´ en [ ˆ p, H] = 0, donde ˆ b p es una integral de movimiento. El sistema tiene fun- ciones de onda de la forma ψ(~ p, ~ r) = ¹

(2π¯ h)

/2 exp

y la transformada unitaria hace que exp

ψ(~ r) = ψ(~ r + ~ a).

El operador de transporte espacial T b ^† = exp

es an´ alogo al ˆ

s ^† = exp

el operador de transporte temporal.

12.- Ejemplo: Si H es invariante con respecto a una traslaci´ b on discreta (por ejemplo en una red cristalina) H(~ b r + ~ a) = H(~ b r) donde ~ a = P

i a ~ i n i , n i ∈ N y a i son los vectores b´ aricos.

Entonces:

b

H(~ r)ψ(~ r) = Eψ(~ r),

b

H(~ r + ~ a)ψ(~ r + ~ a) = Eψ(~ r + ~ a) = ˆ H(~ r)ψ(~ r + ~ a).

Resultando que ψ(~ r) y ψ(~ r + ~ a) son funciones de onda para el mismo valor propio de H. b

La relaci´ on entre ψ(~ r) y ψ(~ r + ~ a) se puede buscar en la forma ψ(~ r + ~ a) = ˆ c(~ a)ψ(~ r) donde ˆ

c(~ a) es una matriz gxg (g es el grado de degeneraci´ on del nivel E). Dos matrices tipo c, ˆ

c(~ a) y ˆ c(~b) conmutan y entonces son diagonalizables en el mismo tiempo.

Adem´ as para los elementos diagonales hay de tipo

c ii (~ a)c ii (~b) = c ii (~ a + ~b), donde i=1,2,....,,g. La soluci´ on de esta ecuaci´ on es del tipo c ii (a) = exp ^ik

^a resulta que ψ k (~ r) = U k (~ r) exp ^{i~ k~ a} donde ~ k es un vector real cualquiera, y la funci´ on U k (~ r) es periodica con periodo ~ a, entonces: U k (~ r + ~ a) = U k (~ r).

La aseveraci´ on de que las funciones propias de un ˆ H periodico cristalino ˆ H(~ r + ~ a) = ˆ H(~ r) se pueden escribir ψ k (~ r) = U k (~ r) exp i~ k~ a con U k (~ r +~ a) = U k (~ r) se llama teorema de Bloch.

En el caso continuo, U _k debe ser constante, porque la constante es la ´ unica funci´ on peri- odica para cualquier ~ a.

El vector ~ p = ¯ h~ k se llama cuasi-impulso (analog´ıa con el caso continuo). El vector ~ k no esta determinado de manera univoca, porque se le puede juntar cualquier vector ~ g para el cual ga = 2πn donde n ∈ N.

El vector ~ g se puede escribir ~ g = P 3

i=1 b ~ i m i donde m i son n´ umeros enteros y b i estan

dados por

b ~ i = 2π _{a ~} ^{a ˆ}

^{× ~ a}

i

( ~ a

× ~ a

)

si i 6= j 6= k son los vectores b´aricos de la red cristalina.

Citas:

1. Acetatos del Prof. H. Rosu.

2. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, “How probability arises in quantum mechanics”, Annals of Physics 192, 368-382 (1989)

3. N.K. Tyagi en Am. J. Phys. 31, 624 (1963) da una demostraci´ on muy corta del principio de incertidumbre de Heisenberg, que dice que la medici´ on simult´ anea de dos operadores hermitianos que no conmutan produce una incertidumbre relacionada con el valor del conmutador.

Notas:

1. Para “la creaci´ on de la MC...”, Werner Heisenberg ha sido galardonado con el premio Nobel en 1932 (y lo recibi´ o en 1933). El art´ıculo “Zur Quantenmechanik. II”, Zf. f. Physik 35, 557-615 (1926) (recibido el 16 de Noviembre de 1925) de M. Born, W. Heisenberg y P. Jordan, se le conoce como “el trabajo de las tres gentes” y est´ a considerado como el que abri´ o de verdad los grandes horizontes de la MC.

2. Para “la interpretaci´ on estadistica de la funci´ on de onda” Max Born recibi´ o el premio Nobel

en 1954.

P r o b l e m a s

Problema 1.1:

Considerar dos operadores A y B los cuales por hipot´ esis, conmutan. Entonces se derivara la relaci´ on:

exp ^A exp ^B = exp ^A+B exp ^1/2[A,B] , (f´ ormula de Glauber).

Definiremos un operador F(t), una funci´ on de variable real t, por:

F (t) = exp ^At exp ^Bt . tenemos:

dF

dt = A exp ^At exp ^Bt + exp ^At B exp ^Bt = (A + exp ^At B exp ^−At )F (t).

Ahora aplicando la f´ ormula [A, F (B)] = [A, B]F

(B), tenemos que [exp ^At , B] = t[A.B] exp ^At , por lo tanto: exp ^At B = B exp ^At +t[A, B] exp ^At

multiplicando ambos lados de la ecuaci´ on pasada por exp ^−At y sustituyendo en la primera ecuaci´ on, obtenemos:

dF

dt = (A + B + t[A, B])F (t).

Los operadores A y B y [A,B] conmutan por hipot´ esis. Por lo tanto, podemos integrar la ecuaci´ on diferancial como si A + B y [A, B] fueran n´ umeros.

Entonces tenemos:

F (t) = F (0) exp (A+B)t+1/2[A,B]t

. Poniendo t = 0, se ve que F (0) = 1, y : F (t) = exp (A+B)t+1/2[A,B]t

.

Entonces poniendo t = 1, obtenemos el resultado deseado.

Problema 1.2:

Se calcular´ a el conmutador [X, D x ]. Para hacerlo, tomaremos una funci´ on arbitraria ψ(~ r):

[X, D x ]ψ(~ r) = (x _∂x ^∂ − _∂x ^∂ x)ψ(~ r) = x _∂x ^∂ ψ(~ r) − _∂x ^∂ [xψ(~ r)]

= x _∂x ^∂ ψ(~ r) − ψ(~r) − x ∂x ^∂ ψ(~ r) = −ψ(~r).

Entonces si es valido para toda ψ(~ r), se puede deducir que:

[X, D x ] = −1.

Problema 1.3:

Se probar´ a que la traza es invariante ante un cambio de base ortonormal discreta.

La suma de los elementos de la diagonal de la matriz la cual representa un operador A en una base arbitraria no depende de la base.

Se derivara esta propiedad para el caso del cambio de una base ortonormal dicreta [| u i >] a otra

base ortonormal dicreta [ | t k >]. Tenemos:

P

i < u i | A | u i >= P

i < u i | [ P

k | t k >< t k |]A | u i >

(donde se ha usado la relaci´ on de cerradura para el estado t k ). El lado derecho de la relaci´ on pasada es igual a:

P

i,j < u i | t k >< t k | A | u ⁱ >= P

i,j < t k | A | u ⁱ >< u i | t k >,

(es posible el cambio de orden del producto dos n´ umeros). Entonces, podemos reemplazar

P

i | u i >< u i | por uno (relaci´on de cerradura para el estado | u i >), y se obtiene finalmente:

P

i < u i | A | u i >= P

k < t k | A | t k >. Por lo tanto, se ha mostrado la propiedad de

invariancia para la traza.

2. POTENCIALES BARRERAS y POZOS

Comportamiento de una Funcion de Onda Esta- cionaria ψ(x)

Regiones de Energ´ıa Potencial Constante

En el caso de un potencial cuadrado, V (x) es una funci´ on constante V (x) = V en cierta regi´ on del espacio. En tal regi´ on, la ecuaci´ on de Schr¨ odinger puede ser escrita:

d ²

dx ² ψ(x) + 2m

¯

h ² (E − V )ψ(x) = 0 (1)

Distinguiremos entre varios casos:

(i) E > V

Introduzcamos la constante positiva k, definida por

k =

p 2m(E − V )

¯

h (2)

La soluci´ on de la ecuaci´ on (1) puede ser entonces escrita:

ψ(x) = Ae ^ikx + A ⁰ e ^−ikx (3)

donde A y A ⁰ son constantes complejas.

(ii) E < V

Esta condici´ on corresponde a regiones del espacio las cuales estar´ıan prohibidas para la part´ıcula por las leyes de la mec´ anica cl´ asica. En este caso, introducimos la constante positiva q definida por:

q =

p 2m(V − E)

¯

h (4)

y la soluci´ on de (1) puede ser escrita:

ψ(x) = Be ^qx + B ⁰ e ^−qx (5)

donde B y B ⁰ son constantes complejas.

(iii) E = V

En este caso especial, ψ(x) es una funci´ on lineal de x.

Comportamiento de ψ(x) en una discontinuidad de energ´ıa potencial.

Podr´ıa pensarse que en el punto x = x 1 , donde el potencial V (x) es discontinuo, la funci´ on de onda ψ(x) se comportar´ıa extra˜ namente,llegando a ser por s´ı misma discontinua, por ejemplo.

Este no es el caso: ψ(x) y ^dψ _dx son continuas, y es s´ olo la segunda derivada la que es discontinua

en x = x 1

Visi´ on general del c´ alculo

El procedimiento para determinar el estado estacionario en un “potencial cuadrado” es por lo tanto el siguiente: en todas las regiones donde V (x) es constante, escribimos ψ(x) en cualquiera de las dos formas (3) o (5) seg´ un sea aplicable; entonces pegamos estas funciones por requerimientos de continuidad de ψ(x) y de ^dψ _dx en los puntos donde V (x) es discontinuo.

Examinaci´ on de ciertos casos simples

Llevemos a cabo el c´ alculo cuantitativo de los estados estacionarios, hecho de acuerdo al m´ etodo descrito arriba.

Potencial escal´ on

x V(x)

V ₀

0

I II

Fig. 2.1

a. Caso donde E > V 0 ; reflexi´ on parcial Pongamos la ec. (2) como:

k 1 =

√ 2mE

¯

h (6)

k 2 =

p 2m(E − V ⁰ )

¯

h (7)

La soluci´ on de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0) y II(x > 0):

ψ I = A 1 e ^ik

^x + A ⁰ ₁ e ^−ik

^x

ψ II = A 2 e ^ik

^x + A ⁰ ₂ e ^−ik

^x

En la regi´ on I la ec. (1) toma la forma:

ψ ⁰⁰ (x) + 2mE

¯

h ² ψ(x) = ψ ⁰⁰ (x) + k ² ψ(x) = 0 y en la region II:

ψ ⁰⁰ (x) − 2m

¯

h ² [V 0 − E]φ(x) = ψ ⁰⁰ (x) − q ² ψ(x) = 0

Si nos limitamos al caso de una part´ıcula incidente viniendo desde x = −∞, debemos elegir A ⁰ 2 = 0 y podemos determinar los radios A ⁰ ₁ /A 1 y A 2 /A 1 . Las condiciones de pegado entonces dan:

• ψ I = ψ II , en x = 0 :

A 1 + A ⁰ ₁ = A 2 (8)

• ψ ⁰ _I = ψ _II ⁰ , en x = 0 :

A 1 ik 1 − A ⁰ 1 ik 1 = A 2 ik 2 (9) Sustituyendo A 1 y A ⁰ ₁ de (8) en (9):

A ⁰ ₁ = A 2 (k 1 − k ² ) 2k 1

(10)

A 1 = A 2 (k 1 + k 2 ) 2k 1

(11)

La igualaci´ on de la constante A 2 en (10) y (11) resulta:

A ⁰ ₁ A 1

= k 1 − k 2

k 1 + k 2

, (12)

y un despeje en (11) nos da:

A 2

A 1

= 2k 1

k 1 + k 2

(13) ψ(x) es la superposici´ on de dos ondas. La primera (el t´ ermino en A 1 ) corresponde a una part´ıcula incidente, con momento p = ¯ hk 1 , propag´ andose de izquierda a derecha. La segunda (el t´ ermino en A ⁰ ₁ ) corresponde a una part´ıcula reflejada, con momento −¯hk 1 , propag´ andose en la direcci´ on opuesta. Ya que hemos elegido A ⁰ ₂ = 0, ψ _II (x) consiste de una sola onda, la cual est´ a asociada con una part´ıcula transmitida. (En la siguiente p´ agina se muestra c´ omo es posible, usando el concepto de una corriente de probabilidad, definir el coeficiente de transmisi´ on T y el coeficiente de reflexi´ on R del potencial escal´ on). Estos coeficientes dan la probabilidad de que la part´ıcula, llegando de x = −∞, pase el potencial escal´on en x = 0 o se regrese. As´ı encontramos:

R = | A ⁰ ₁

A 1 | ² (14)

y, para T :

T = k 2

k 1 | A 2

A 1 | ² (15)

Tomando en cuenta a (12) y (13), tenemos:

R = 1 − 4k 1 k 2

(k 1 + k 2 ) ² (16)

T = 4k 1 k 2

(k 1 + k 2 ) ² (17)

Es f´ acil verificar que R + T = 1: es cierto que la part´ıcula ser´ a transmitida o reflejada. Con- trariamente a las predicciones de la mec´ anica cl´ asica, la part´ıcula incidente tiene una probabilidad no nula de regresarse.

Finalmente es f´ acil verificar, usando (6) y (7) y (17), que, si E  V 0 , T ' 1: cuando la energ´ıa de la part´ıcula es suficientemente grande comparada con la altura del potencial escal´ on, la part´ıcula salva este escal´ on como si no existiera.

Considerando la soluci´ on en la regi´ on I:

ψ I = A 1 e ^ik

^x + A ⁰ ₁ e ^−ik

^x

j = − i¯ h

2m (φ ^∗ 5 φ − φ 5 φ ^∗ ) (18)

con A 1 e ^ik

^x y su conjugado A ^∗ ₁ e ^−ik

^x :

j = − i¯ h

2m [(A ^∗ ₁ e ^−ik

^x )(A 1 ik 1 e ^ik

^x ) − (A 1 e ^ik

^x )( −A ^∗ 1 ik 1 e ^−ik

^x )]

j = ¯ hk 1

m |A 1 | ²

Ahora con A ⁰ ₁ e ^−ik

^x y su conjugado A ^∗ ₁ e ^ik

^x resulta:

j = − ¯ hk 1

m |A ⁰ 1 | ²

Deseamos en seguida verificar la proporci´ on de corriente que se refleja con respecto a la corriente que incide (m´ as precisamente, queremos verificar la probabilidad de que la part´ıcula se regrese):

R = |j(φ − ) |

|j(φ + )| = | − ^{hk ¯} _m

|A ⁰ 1 | ² |

| ^{¯ hk} _m

|A 1 | ² | = | A ⁰ ₁

A 1 | ² (19)

En forma similar, la proporci´ on de lo que se transmite con respecto a lo que incide (o sea la probabilidad de que la part´ıcula se transmita) es, tomando ahora en cuenta la soluci´ on de la regi´ on II:

T = | ^{¯ hk} _m

|A 2 | ² |

| ^{¯ hk} _m

|A 1 | ² | = k 2

k 1 | A 2

A 1 | ² (20)

a. Caso donde E < V 0 ; reflexi´ on total

En este caso tenemos:

k 1 =

√ 2mE

¯

h (21)

q 2 =

p 2m(V 0 − E)

¯

h (22)

En la regi´ on I(x < 0), la soluci´ on de la ec. (1) [dada como ψ(x) ⁰⁰ + k ² ₁ ψ(x) = 0] tiene la forma de la ec. (3):

ψ I = A 1 e ^ik

^x + A ⁰ ₁ e ^−ik

^x (23) Y, en la regi´ on II(x > 0), la misma ec. (1) [ahora dada como ψ(x) ⁰⁰ − q 2 ² ψ(x) = 0] tiene la forma de la ec. (5):

ψ II = B 2 e ^q

^x + B ₂ ⁰ e ^−q

^x (24) Para que la soluci´ on permanezca limitada cuando x → +∞, es necesario que:

B 2 = 0 (25)

Las condiciones de pegado en x = 0 dan en este caso:

• ψ I = ψ II , en x = 0 :

A 1 + A ⁰ ₁ = B ⁰ ₂ (26)

• ψ ⁰ I = ψ _II ⁰ , en x = 0 :

A 1 ik 1 − A ⁰ 1 ik 1 = −B ⁰ 2 q 2 (27) Sustituyendo A 1 y A ⁰ ₁ de (26) en (27):

A ⁰ ₁ = B ⁰ ₂ (ik 1 + q 2 ) 2ik 1

(28)

A 1 = B ⁰ ₂ (ik 1 − q ² )

2ik1 (29)

La igualaci´ on de la constante B ⁰ ₂ en (28) y (29) resulta:

A ⁰ ₁ A 1

= ik 1 + q 2

ik 1 − q 2

= k 1 − iq 2

k 1 + iq 2

, (30)

y un despeje en (29) nos da:

B ₂ ⁰ A 1

= 2ik 1

ik 1 − q 2

= 2k 1

k 1 − iq 2

(31) El coeficiente de reflexi´ on R es entonces:

R = | A ⁰ ₁

A 1 | ² = | k 1 − iq 2

k 1 + iq 2 | ² = k ₁ ² + q ₂ ²

k ₁ ² + q ₂ ² = 1 (32)

Como en la mec´ anica cl´ asica, la part´ıcula es siempre reflejada (reflexi´ on total). Sin embargo, hay una diferencia importante: debido a la existencia de una onda evanescente e ^−q

^x , la part´ıcula tiene una probabilidad no nula de estar presente en la regi´ on del espacio la cual, cl´ asicamente, le ser´ıa prohibida. Esta probabilidad decrece exponencialmente con x y llega a ser despreciable cuando x es m´ as grande que el “rango” 1/q 2 de la onda evanescente. Notemos tambi´ en que el coeficiente A ⁰ ₁ /A 1 es complejo. Un cierto cambio de fase aparece a causa de la reflexi´ on, el cual, f´ısicamente, es debido al hecho de que la part´ıcula es retardada cuando penetra la regi´ on x > 0.

No hay analog´ıa en la mec´ anica cl´ asica.

Potencial Barrera

0 l x

V(x)

V 0

II III

I

Fig. 2.2

a. Caso donde E > V 0 ; resonancias Pongamos aqui la ec. (2) como:

k 1 =

√ 2mE

¯

h (33)

k 2 =

p 2m(E − V 0 )

¯

h (34)

La soluci´ on de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0), II(0 < x < a) y III(x > a) :

ψ I = A 1 e ^ik

^x + A ⁰ ₁ e ^−ik

^x ψ II = A 2 e ^ik

^x + A ⁰ ₂ e ^−ik

^x ψ III = A 3 e ^ik

^x + A ⁰ ₃ e ^−ik

^x

Si nos limitamos al caso de una part´ıcula incidente viniendo desde x = −∞, debemos elegir A ⁰ ₃ = 0.

• ψ I = ψ II , en x = 0 :

A 1 + A ⁰ ₁ = A 2 + A ⁰ ₂ (35)

• ψ ⁰ _I = ψ _II ⁰ , en x = 0 :

A 1 ik 1 − A ⁰ 1 ik 1 = A 2 ik 2 − A ⁰ 2 ik 2 (36)

• ψ II = ψ III , enx = a :

A 2 e ^ik

^a + A ⁰ ₂ e ^−ik

^a = A 3 e ^ik

^a (37)

• ψ ⁰ II = ψ ⁰ _III , en x = a :

A 2 ik 2 e ^ik

^a − A ⁰ 2 ik 2 e ^−ik

^a = A 3 ik 1 e ^ik

^a (38)

Las condiciones de continuidad en x = a dan entonces a A 2 y A ⁰ ₂ en funci´ on de A 3 , y aquellas en x = 0 dan a A 1 y A ⁰ ₁ en funci´ on de A 2 y A ⁰ ₂ (y, consecuentemente, en funci´ on de A 3 ). Este proceso es mostrado enseguida:

Sustituyendo A ⁰ ₂ de la ec. (37) en (38):

A 2 = A 3 e ^ik

^a (k 2 + k 1 )

2k 2 e ^ik

^a (39)

Sustituyendo A 2 de la ec. (37) en (38):

A ⁰ ₂ = A 3 e ^ik

^a (k 2 − k 1 )

2k 2 e ^−ik

^a (40)

Sustituyendo A 1 de la ec. (35) en (36):

A ⁰ ₁ = A 2 (k 2 − k 1 ) − A ⁰ 2 (k 2 + k 1

−2k 1

(41)

Sustituyendo A ⁰ ₁ de la ec. (35) en (36):

A 1 = A 2 (k 2 + k 1 ) − A ⁰ 2 (k 2 − k 1

2k 1

(42)

Ahora, sustituyendo en (41) las ecuaciones (39) y (40):

A ⁰ ₁ = i (k ₂ ² − k ² 1 ) 2k 1 k 2

(sin k 2 a)e ^ik

^a A 3 (43)

Y, finalmente, sustituyendo en (42) las ecuaciones (39) y (40):

A 1 = [cos k 2 a − i k ₁ ² + k ² ₂ 2k 1 k 2

sin k 2 a]e ^ik

^a A 3 (44)

A ⁰ ₁ /A 1 y A 3 /A 1 [relaciones que salen de igualar las ecuaciones (43) y (44), y del despeje de la ec.

(44), respectivamente] nos capacita para calcular el coeficiente de reflecci´ on R y el de transmisi´ on T de la barrera, los cuales aqu´ı son iguales a:

R = |A ⁰ 1 /A 1 | ² = (k ² ₁ − k 2 ² ) ² sin ² k 2 a

4k ² ₁ k ₂ ² + (k ² ₁ − k ² 2 ) ² sin ² k 2 a , (45)

T = |A 3 /A 1 | ² = 4k ₁ ² k ₂ ²

4k ² ₁ k ² ₂ + (k ² ₁ − k 2 ² ) ² sin ² k 2 a , (46)

Entonces es f´ acil de verificar que R + T = 1.

b. Caso donde E < V 0 ; efecto tunel

Ahora tendr´ıamos a las ecuaciones (2) y (4) dispuestas:

k 1 =

√ 2mE

¯

h (47)

q 2 =

p 2m(V 0 − E)

¯

h (48)

La soluci´ on de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (3) en las regiones I(x < 0) y III(x > a) y la forma de la ec. (5) en la regi´ on II(0 < x < a):

ψ I = A 1 e ^ik

^x + A ⁰ ₁ e ^−ik

^x ψ II = B 2 e ^q

^x + B ⁰ ₂ e ^−q

^x ψ III = A 3 e ^ik

^x + A ⁰ ₃ e ^−ik

^x

Las condiciones de pegado en x = 0 y x = a nos capacita para calcular el coeficiente de transmisi´ on de la barrera. De hecho, no es necesario realizar otra vez el c´ alculo: todo lo que debemos hacer es sustituir, en la ecuaci´ on obtenida en el primer c aso de esta misma secci´ on, k 2

por −iq 2 .

Estados Ligados; Pozo de Potencial

a. Pozo de profundidad finita

V 0

a x

V (x)

Fig. 2.3: Pozo finito

En esta parte nos limitaremos s´ olo a tratar el caso 0 < E < V 0 (el caso E > V 0 es exactament igual al calculado en la secci´ on precedente, “barrera de potencial”.

Para las regiones exteriores I (x < 0) y III (x > a) usamos la ec. (4):

q =

p 2m(V 0 − E)

¯

h (49)

Para la regi´ on central II (0 < x < a) usamos la ec. (2):

k =

p 2m(E)

¯

h (50)

La soluci´ on de la ec. (1) tiene la forma de la ec. (5) en las regiones exteriores y la forma de la ec. (3) en la regi´ on central:

ψ I = B 1 e ^qx + B ₁ ⁰ e ^−qx ψ II = A 2 e ^ikx + A ⁰ ₂ e ^−ikx ψ III = B 3 e ^qx + B ₃ ⁰ e ^−qx En la regi´ on (0 < x < a) la ec. (1) toma la forma:

ψ(x) ⁰⁰ + 2mE

¯

h ² ψ(x) = ψ(x) ⁰⁰ + k ² ψ(x) = 0 (51) y en las regiones exteriores:

ψ(x) ⁰⁰ − 2m

¯

h ² [V 0 − E]φ(x) = ψ(x) ⁰⁰ − q ² ψ(x) = 0 (52) Ya que ψ debe ser limitada en la regi´ on I, debemos tener:

B ⁰ ₁ = 0 (53)

Las condiciones de pegado dan:

ψ I = ψ II , en x = 0 :

B 1 = A 2 + A ⁰ ₂ (54)

ψ _I ⁰ = ψ ⁰ _II , en x = 0 :

B 1 q = A 2 ik − A ⁰ 2 ik (55)

ψ II = ψ III , en x = a :

A 2 e ^ika + A ⁰ ₂ e ^−ika = B 3 e ^qa + B ⁰ ₃ e ^−qa (56) ψ _II ⁰ = ψ ⁰ _III , en x = a :

A 2 ike ^ika − A ⁰ 2 ike ^−ika = B 3 qe ^qa − B 3 ⁰ qe ^−qa (57) Sustituyendo la constante A 2 y la constante A ⁰ ₂ de la ec. (54) en la ec. (55) obtenemos, respectivamente:

A ⁰ ₂ = B 1 (q − ik)

−2ik A 2 = B 1 (q + ik)

2ik (58)