Análisis espacio temporal de la precipitación mensual, en la depresión momposina para los años 2012 a 2015 Caso de estudio: municipio de Mompox

(1)

ANÁLISIS ESPACIO TEMPORAL DE LA PRECIPITACIÓN MENSUAL, EN LA DEPRESIÓN MOMPOSINA PARA LOS AÑOS 2012 A 2015. CASO DE ESTUDIO: MUNICIPIO DE MOMPOX

FREDDY ALEJANDRO BARÓN OROZCO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERIA

(2)

ANÁLISIS ESPACIO TEMPORAL DE LA PRECIPITACIÓN MENSUAL, EN LA DEPRESIÓN MOMPOSINA PARA LOS AÑOS 2012 A 2015. CASO DE ESTUDIO: MUNICIPIO DE MOMPOX

FREDDY ALEJANDRO BARÓN OROZCO

PROYECTO DE GRADO COMO REQUISITO PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CATASTRAL Y GEODESTA

Director:

Carlos Eduardo Melo Martínez PhD

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERIA

(3)

Agradecimientos

Primeramente doy gracias a Dios por permitirme tener una buena experiencia dentro de mi universidad, gracias a mi universidad por permitirme convertir en un profesional en lo que tanto me apasiona, gracias a cada maestro que hizo parte de este proceso integral de formación.

Le doy gracias a mis padres y hermano por apoyarme en todo momento, por los valores que me han inculcado, y por haberme dado la oportunidad de tener una excelente educación en el transcurso de mi vida.

A Daniela Calvo, mi novia y colega por ser parte importante en mi vida, por apoyarme en los momentos más diciles, sobre todo por su paciencia y amor incondicional.

Le agradezco la conanza, apoyo y dedicación de tiempo a mi porfesor Carlos Melo y a William Marinez por haber compartido conmigo cada uno de sus conocimientos.

(4)

Resumen

(5)

Abstract

The use of temporal space modeling of dierent variables such as precipitation being this parti-cipant in the hydrological process, is an important alternative for the prediction of these environmental phenomena in regions with limited data or lack of observed data; In this work we nd the development of temporal space modeling through the application of dierent geostatistical concepts, based on a sample of precipitation data in 68 stations distributed in the Depresión Momposina for the period between January of the years 2012 to 2015 and December of the same period, taking into account that, when we work the temporal dimension, one thing we should keep in mind is the multitemporal analysis of the variable under study. The objective of this work is the analysis of precipitation being this a process that intervenes in the hydrological cycle, to evaluate spatio - temporal distribution th-rough the analysis, distribution and spatial interpolation in the study area. The next work is divided into four important parts, in the rst place is the problematic generated by the phenomenon and the justication for the development of the project; in the sixth issue we work on the explanation of the theory related to hydrology, the hydrological cycle, precipitation, accompanied by three fundamental themes that are the analysis of time series, space - time geostatistics and the function of covariance and temporal space variogram, in the seventh part is the part related to the materials and methodology used, the description of the study area, the database used as well as the necessary programs for the de-velopment of the proposed methodology, consisting of three fundamental phases being the visualization of data, exploration of information and modeling, giving way to the eighth numeral where the results obtained for each of the phases of the methodology are described and ending with the conclusions and recommendations for future research.

(6)

(7)

8. Resultados 61

8.1. Modelamiento espacio - temporal de la precipitación . . . 61

8.1.1. Visualización . . . 61

8.1.2. Exploración . . . 64

8.1.3. Modelado . . . 83

9. Conclusiones y Recomendaciones 97

(8)

Índice de cuadros

1. Modelos de variograma espacio - temporal no separables . . . 33

2. Ejemplos de funciones competamente monótonas . . . 40

3. Ejemplos de funciones de Bernstein . . . 40

4. Información de las estaciones ubicadas en la zona de estudio. . . 56

5. Esquema conceptual de la metodología propuesta para el análisis espacio temporal de la precipitación Parte A . . . 58

6. Validación cruzada a partir del Error Medio Cuadrático MES . . . 89

(9)

Índice de guras

13. Valores medios mensuales de precipitación (mm) y temperatura (°C), en la Región Mom-posina, periodo 1972 - 1998. . . 49

14. Perles típicos idealizados de la planicie aluvial de la Región Momposina. . . 51

15. Mapa preliminar de paisajes y biotipos de la Depresión Momposina. . . 52

16. Leyenda, mapa preliminar de unidades de paisajes y biotipos de la Depresión Momposina 53 17. Localización y extensión de la planicie aluvial del río Magdalena. . . 54

28. Relación de la desviación estándar con respecto a la media de los datos transformados . 72 29. Distribución espacial de los datos de precipitación del año 2012 transformados . . . 73

30. Distribución espacial de los residuales de los datos de precipitación para el año 2012 . . 74

31. Distribución espacial de los datos de precipitación del año 2013 transformados . . . 76

37. Correlograma de las estaciones (primeras 16) . . . 82

(10)

39. Variograma modelo Esférico . . . 84

40. Variograma modelo Exponencial . . . 84

41. Variograma modelo Gaussiano . . . 85

42. Variograma experimental espacio temporal . . . 86

43. Modelos de variogramas espacio-temporales . . . 87

44. Modelos de variogramas espacio-temporales (continuacion) . . . 88

45. Grilla sobre la zona de estudio para generar la predicción . . . 91

46. Pronósticos espacio - temporales de precipitación para el año 2012 . . . 92

47. Desviación estandar de los pronosticos para el año 2012 . . . 92

(11)

1. Introducción

En Colombia el volumen anual de lluvias varía considerablemente entre las diferentes regiones. La ubicación geográca, la presencia de las cordilleras y la inuencia que tienen las corrientes continuas de aire húmedo que se originan en los océanos y en la Amazonia juega un papel muy importante en la formación de la mayor parte de las lluvias. La precipitación es el elemento climatológico que caracteriza el denominado estado del tiempo atmosférico en nuestro medio y de su disponibilidad depende el desarrollo de un sin número de actividades de trascendencia económica para el país. La variabilidad de la precipitación, incluidas sus uctuaciones extremas: excesos como las inundaciones y décits como las sequias afectan de forma directa y muchas veces catastróca la actividad humana, produciendo impactos no solo en la economía sino también en la sociedad en general [Montealegre, J., 2009].

El efecto de La Niña en nuestro país se caracteriza por un aumento considerable de las preci-pitaciones (anomalías positivas) y una disminución de las temperaturas (anomalías negativas). Existe el conjunto de serias amenazas sobre los habitantes y las poblaciones de la Depresión Momposina, in-formes ociales dan cuenta de la alta preocupación por los anuncios de las autoridades meteorológicas sobre la ola invernal y las graves consecuencias que traen consigo los efectos de los desbordamientos de las aguas en el país, y donde el Departamento de Bolívar que es uno de los blancos de catástrofes por las lluvias [Caracol, C., 2017]. El IDEAM en el 2017 realizo el primer mapa de amenaza de las emergencias por las inundaciones debido a las altas precipitaciones en el país, el mapa muestra tres grandes áreas donde se concentran estas amenazas: el oriente del país, en las llanuras bajas de las cuencas de los ríos Orinoco y Amazonas; en los valles aluviales en las regiones del Caribe y Pacíca, asociados con el rio Magdalena, la depresión Momposina, los valles de los ríos Sinú y Alto de San Jorge [Alarcón, 2017].

Para tener un control hidrológico de cuánta agua cae y en que escala de tiempo debido al fenómeno de la precipitación, en este proyecto se usará la geoestadística espacio temporal como el instrumento que permite obtener un pronóstico de valores conables de los niveles de precipitación mensual en la depresión Momposina como región de estudio, siendo importante para la generación de mapas que representen la cantidad de lluvia y sea insumo para la existencia de cartografía especializa-da en temas de inunespecializa-dación y fenómenos naturales, así mismo para la reparación de las zonas que han sido afectadas por diferentes catástrofes. El conocimiento que brinda la cartográca permite la identi-cación de zonas donde se desarrollara la precipitación con mayores o menores niveles en periodos de tiempos denidos, brindado la colaboración para los planes de uso de la tierra y el establecimiento de asentamientos que ayuden a la prevención de emergencias y la generación de los planes de ordenamiento territorial en los municipios que presentan mayor amenaza.

(12)

2. Planteamiento del problema

La variabilidad o el cambio climático es un comportamiento particular de la dinámica atmosférica y su estudio es complejo, pero es de gran importancia analizar las diferentes alteraciones en el proceso hídrico asociado a fenómenos para la mejor adaptación frente a los cambios actuales y futuros en el enfoque ambiental, considerando de manera importante la comprensión de las diferentes alteraciones espacio-temporales en el patrón tanto de lluvias como de temperatura. Los fenómenos como el cambio climático están teniendo importantes consecuencias en diferentes variables meteorológicas, llevando a variaciones en el comportamiento de la precipitación y la temperatura y están directamente afectando la disponibilidad hídrica, siendo esta el volumen total de agua ya precipitada sobre una zona determina, las prácticas agrícolas y los ecosistemas.

Los desastres naturales hacen referencia a las grandes pérdidas materiales y vidas humanas que son ocasionadas por eventos o fenómenos naturales ya sean los terremotos, inundaciones, deslizamiento de tierra, entre otros. Colombia es uno de los países mas vulnerables a desastres naturales en América, lo que lleva a tener futuras amenazas si no se toman medidas importantes para afrontar las emergencias causadas por los comportamientos de los fenómenos; según informes presentados en el año 2008 por la Dirección Nacional de Planeación se menciona que en promedio cada año ocurren 600 desastres en el territorio colombiano. Distintas autoridades como los Ministerios de Ambiente y de Vivienda, e, Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales y demás entidades que forman parte del Sistema Nacional de Gestión del Riesgo de Desastre siguen con la recomendación que se adopten planes de contingencia para evitar grandes desastres en el territorio.

Existen un importante número de consecuencias debido a la cantidad de lluvia que cae en zonas determinadas; las inundaciones son la invasión lenta o violenta de aguas de rio, lagunas o lagos, debido a fuertes precipitaciones o rupturas uviales, causando daños considerables. Los derrumbes y deslizamientos son fenómenos destructores que se producen por la excesiva humedad, como producto de las abundantes lluvias y la fuerte pendiente de los suelos [Mendez, A., 2006]. El aumento de los caudales de los ríos Magdalena y Cauca tienen a mas de 15.000 familias de los departamentos de Bolívar, Sucre, Magdalena, Valle del Cauca y Córdoba en riesgo. Las diferentes temporadas de lluvias han causado estragos en todo el país, a tal punto que mas de 500 municipios están en algún grado de alerta, según el Ideam, por cuenta de la lluvia y los deslizamientos para inicios del 2017 habían muerto 389 personas y 22.000 familias salieron damnicadas, entre ellas, las de la tragedia ocurrida en febrero del año anterior, de acuerdo con las cifras de la Unida Nacional de Gestión del Riesgo.

(13)

del Magdalena.

Según sectores informativos como Caracol Radio la fuerza de las aguas arraso con sembrados, animales e incluso dejo varias victimas fatales a lo largo de su recorrido, sedimento ciénagas, caños y en general grandes cuerpos de agua produjo daños ecológicos y socioeconómicos, cambiando incluso las actividades económicas y el paisaje original del municipio de Hatillo de Loba y otros de la Depresión Momposina. Después de una década de grandes emergencias vividas, los trabajos realizados no fueron atendidos oportunamente y las obras que se realizaron en años atrás, presentan debilitamiento, que amenaza peligro inminente a una población con alto grado de vulnerabilidad [Caracol, C., 2017]. Actualmente no se cuenta con ninguna medida o decisión preventiva, la población se encuentra a merced de los estragos de las inundaciones y las fuertes corrientes, que deben ser tratadas por organismos como el Ideam y la ocina de Atención de desastres.

En consideración con lo anterior, la idea fundamental es que los municipios y departamentos puedan adoptar en sus planes de prevención y planes de ordenamiento territorial las diferentes amenazas a las que están expuestos, el presente proyecto busca la generación de mapas de precipitación, a diferentes escalas tanto en un contexto geográco como temporal donde se represente la cantidad de lluvia que puede caer en las diferentes zonas del territorio colombiano en tiempos determinados, siendo uno de los insumos para la elaboraciones de los planes, dando paso a la prevención de amenazas y catástrofes que afectan a la población

(14)

3. Justicación

La gran mayoría de las amenazas naturales, como las inundaciones y las altas precipitaciones generan grandes consecuencias negativas para el desarrollo de las comunidades, comprometiendo los rendimientos en cosechas de cultivos en diferentes partes del territorio colombiano, la aparición de problemas sanitarios; en general a los cultivos de invierno el exceso de agua no les favorece por lo que las condiciones de humedad y la falta de sol pueden llegar a afectar el potencial de rendimiento de los cultivos [Ocampo, H., 2012]. Las fuertes lluvias y otros fenómenos climatológicos extremos son cada vez más frecuentes y pueden provocar inundaciones y el deterioro de la calidad del agua, e incluso en algunas zonas una progresiva disminución de los recursos hídricos.

Teniendo en cuenta las diferentes y grandes amenazas que se presentan por fenómenos naturales como las altas precipitaciones se establece la necesidad de realizar análisis de los diferentes compor-tamientos de este fenómeno que permita mitigar las emergencias y disminuir un gran porcentaje de afectados. El grado de conocimiento cientíco que se tiene sobre muchos fenómenos naturales como los terremotos, inundaciones, altas temperaturas, deslizamiento de tierra entre otros, es muy incompleto, lo que hace que se observen con una importante componente aleatoria o de incertidumbre. Conseguir predecir u obtener algún tipo de información sobre cómo se van a comportar estos fenómenos climáticos es de gran importancia para tomar medidas que permiten mitigar sus consecuencias. La Estadística proporciona herramientas fundamentales para este objetivo y, en general, para el estudio del clima [Cebrian, A.,2013].

Es ampliamente conocido y sustentado mediante los informes de Evaluación del Panel Intergu-bernamental de Expertos sobre Cambio Climático (IPCC) la ocurrencia del calentamiento global que trae asociado fenómenos como el ascenso del nivel del mar y un cambio climático, estos fenómenos globales de diversa forma y grado afectaran los ecosistemas y los sistemas socioeconómicos de diferen-tes regiones del planeta. Todos los países serán impactados por dichos fenómenos y Colombia no es la excepción, razón por la cual en el país hay una alta preocupación sobre el tema en diversos niveles del Estado, en las instituciones, sectores socioeconómicos, entes territoriales y en la comunidad nacional en general. Una de las grandes consecuencias del cambio climático son los fenómenos conocidos como El Niño y La Niña, estos fenómenos son la causa de la mayor señal de variabilidad climatológica en la franja tropical del océano Pacico, en la escala interanual, son componentes oceánicos que co-rresponden a la aparición, de aguas superciales relativamente más cálidas (El Niño) o más frías (La Niña) que lo normal en el Pacico tropical central y oriental, frente a las costas del norte de Perú, Ecuador y Sur de Colombia.

(15)

naturaleza y esta nueva condición obliga a replantear la prevención de desastres [Becerra, J., 2017]. La ley 1523 de 2012 es la normativa que, obliga a todos los alcaldes a la actualización de sus esquemas de ordenamiento municipal, tomar medidas inmediatas respecto a su amenaza y revisar los mecanismos necesarios para evitarlas.

Los fenómenos invernal y de sequía están relacionados con el concepto de espacio y tiempo, sur-giendo la necesidad de caracterizar la distribución espacio-temporal de la precipitación en las diferentes cuencas del territorio colombiano, al estudiar la dimensión espacio temporal se puede representar como un proceso estocástico y continuo en el espacio, y discreto o continuo en el tiempo, lo que relaciona la variación de las precipitaciones con los diferentes ciclos temporales determinados por las localizaciones geográcas del lugar en el que se presente este fenómeno, lo que se justica mediante la existencia de meses en que las precipitaciones son mayores que en otros periodos de tiempo, de igual manera el relieve es necesariamente una acción reguladora del ciclo actuando como un espacio continuo en el na-turaleza. La Geoestadística espacio-temporal es el principio donde se estudia la dependencia entre las observaciones de las ocurrencias de lluvia y el contexto geográco [Cerón, H.; Martínez, W. y Sanabria, J., 2013].

La Mojana es una eco-región de especial importancia ya que hace parte del complejo de hu-medales de la Depresión Momposina, la cual es una cuenca hidrográca sedimentaria de 24.560 km2 reguladora de los caudales de los ríos Magdalena, Cauca y San Jorge. Estos humedales prestan un ser-vicio de regulación hídrica amortiguando inundaciones y previniendo sequias en poblaciones asociadas, al recibir y liberar el agua producida por lluvias en las partes altas de las cuencas de los ríos Mag-dalena, Cauca y San Jorge. La Mojana esta siendo afectada por desequilibrios ambientales generados por el inadecuado uso y ocupación del territorio y por el inapropiado manejo de las cuencas de los ríos que la conuyen, ha sufrido un deterioro de humedales, bosques y zápales, deforestación, reducción acelerada de la pesca y fauna, contaminación de fuentes hídricas, desequilibrio del sistema hidrológico y privatización de las tierras comunales. Los niveles de las inundaciones se han acentuado por efecto de fenómenos de variabilidad climática, manifestándose en ciclo de lluvia superiores a los promedios regulares y periodos amplios de sequias que inciden negativamente en las actividades económicas y aumentan la vulnerabilidad y la exposición de los asentamientos poblacionales a fenómenos naturales. Para reducir el impacto de los efectos generados por el cambio climático en la Depresión Momposina se busca el fortalecimiento de la institucionalidad y de las estructuras sociales relevantes para la incor-poración de la gestión del riesgo climático y las medidas de adaptación a los procesos de planeación y toma de decisiones en el nivel local, regional y nacional, esto ultimo basado en la generación de car-tografía especializada en inundación y valores de precipitación mediante el análisis espacio temporal del fenómeno, relacionando la variación de las precipitaciones, los diferentes meses donde se presentan mayores lluvias y periodos donde se observa sequia en la zona teniendo en cuenta el relieve y geografía que caracterizan a la zona de estudio y mediante la utilización de métodos estadísticos que permitan evaluar las observaciones de lluvia a una escala espacio-temporal.

(16)

(17)

4. Objetivos

4.1. General

Realizar un análisis espacio temporal de la variable precipitación en la depresión Momposina, utilizando los datos obtenidos por la red pluviométrica nacional el IDEAM, entre los años 2012 a 2015, para la obtención de mapas de precipitación mensual en el área de interés.

4.2. Especicos

Evaluar la distribución espacio temporal de la precipitación en la depresión Momposina mediante el estudio geoestadístico, teniendo en cuenta las propiedades de la función de covarianza y del variograma espacio temporal, el ajuste y evaluación de los modelos espacio temporales y la aplicación de interpolación como metodología de predicción.

Generar mapas de precipitación mensual que representen una distribución espacio temporal en la región de la depresión Momposina.

(18)

5. Estado del arte

Existe un importante número de investigaciones relacionadas con la geoestadistica espacio tem-poral, donde día a día van mejorando y aumentando, de igual manera se presenten trabajaos relaciona-dos a cerca de diferentes fenomenos ambientales, la precipitación, la temperatura, el comportamiento de diferentes variables en el medio ambiente llevan a realizar analisis del comportamiento en diferen-tes zonas, es importante destacar que las investigaciones se estan desarrollando de mejor manera al relacionar las dimensiones espacial y temporal permitiendo realizar predicciones a traves de diferentes interpoladores, a continuacion se presenta de manera resumida varias investigaciones desarrolladas que han sido de gran aporte para el desarrollo del presente proyecto.

La geoestadística es un conjunto de técnicas usadas para analizar y predecir valores de una propiedad distribuida en espacio o tiempo. En contraposición con la estadística clásica o convencional, tales valores no se consideran independientes, por el contrario se suponen de manera implícita que están correlacionados unos con otros, es decir que existe una dependencia espacial. Intuitivamente esto indica que mientras más cercanos estén situados dos puntos están más correlacionados y mientras más separados hay menos relación entre estos [Díaz Viera, M., 2002].

Los enfoques geoestadísticos para modelar datos espaciales temporales se basan en modelos de covarianza paramétrica y suposiciones más bien estrictas, tales como estacionariedad, separabilidad y simetría completa. Los experimentos con predictores de kriging de tiempo futuro sugieren que el uso de modelos de covarianza más complejos y más realistas dan como resultado un mejor rendimiento predictivo [Gneiting, T., Genton, M., y Guttorp, P., 2007].

La metodología geoestadística se ha empleado en el modelado de datos espaciotemporales de diversos campos cientícos al ver los datos como realizaciones de funciones aleatorias espaciotempora-les. La geoestadística tradicional tiene como objetivo modelar la variabilidad espacial de un proceso, por lo que, para incorporar una dimensión temporal en un modelo geoestadístico, se deben reconocer y abordar las diferencias fundamentales entre las dimensiones espacio y tiempo. El punto de vista conceptual principal de la modelización espacio-temporal geoestadística identicada dentro de la lite-ratura ve el proceso como un modelo de función aleatoria única que utiliza una función conjunta de covarianza espacio-tiempo para modelar la continuidad espacio-temporal. El modelado geoestadístico del espacio-tiempo se ha basado principalmente en datos, lo que da como resultado modelos que se adaptan a los datos que se investigan, generalmente datos de encuestas que involucran ubicaciones jas [Denham, A., 2012].

(19)

de información geográca. La interpolación mediante el kriging es una opción que se puede hacer de manera sistemática por la creación de diferentes códigos que están brindados a los investigadores , pero desafortunadamente se omite la comprensión y la producción de resultados poco conables, por no realizar los ajustes pertinentes en los diferentes modelos planteados; el variograma debe estimar-se de manera conable y luego modelarestimar-se con funciones matemáticas validas, lo que requiere de una comprensión de los supuestos en la teoría subyacente de los proceso aleatorios en los que se basa la geo-estadística; el Oliver y Webster explican procesamiento del variograma y su respectivo ajuste mediante mínimos cuadrado así como la elección de las funciones mas adecuadas mediante una combinación de grácos y diagnósticos estadísticos. El kriging ordinario puede tener pequeños cambios en la función del modelo utilizado y sus respectivos parámetros pueden afectar las variaciones de error de kriging [Oliver, M. y Webster, R., 2014].

El modelamiento de los datos espacio-tiempo regularmente se basa en modelos de covarianzas paramétricas y varias suposiciones tales como la simetría total y la separabilidad, las pruebas de la estructura de covarianza son importantes porque permiten la simplicación del modelo y su inferencia, facilitando posiblemente cálculos extensos [Genton, M. (2006)].

En varios lugares del territorio colombiano el comportamiento de la lluvia es importante porque genera diferentes consecuencias, en las grandes capitales del país los diseños de alcantarillados pluviales y combinados normalmente se realizan bajo el supuesto de que la precipitación es constante en tiempo y espacio para áreas inferiores a 1km2_{, el estudio realizado en la Universidad Nacional de Colombia} por estudiantes de ingeniería civil se fundamento en el aporte del conocimiento de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en cuencas urbanas de este tipo, y de determinar su impacto en el diseño de alcantarillados y, más aun, en los caudales de escorrentía obtenidos a partir de la aplicación de modelos matemáticos rigurosamente calibrados y validados, describiendo los análisis detallados en términos de intensidad y precipitación total para la variabilidad espacio temporal en una microcuenca urbana de Bogotá [Watershed, U., Alfredo, E., Sandoval, R., Jiménez, A., Carolina, A., Santos, R., y Duarte, P., 2008].

Existen otras aplicaciones en la utilización de las técnicas geoestadísticas como el análisis de los efectos producidos por la contaminación sonora, un caso de estos es el estudio realizado en la localidad de Engativá en la ciudad de Bogotá, donde se establece la necesidad de analizar el ruido de forma espacial con el n de generar mapas acústicos donde se pueda establecer aquellas zonas en las cuales se sobrepasan los límites sonoros de acuerdo con la normatividad existente. Realizaron un estudio donde se tomaron diferentes puntos de emisión sonora medidos en la localidad, y mediante la aplicación de técnicas geoestadísticas, las cuales combinan la información de las fuentes de emisión con la ubicación espacial y los puntos monitoreados se analiza y modela el comportamiento del fenómeno acústico que reeja la variación de la correlación espacial de la variable con respecto a la distancia y por medio de los métodos de interpolación de kriging se generan mapas de pronósticos en las áreas no muestreadas [Sosa, A., Carlos, J., Córdoba, G., y Javier, F., 2010].

(20)

Según José Alberto Mauricio en su libro análisis de series temporales, dene una serie temporal como una secuencia de n observaciones ordenadas y equidistantes cronológicamente sobre una carac-terística (serie variante o escalar) o sobre varias caraccarac-terísticas (serie multivariante o vectorial) de una unidad observable en diferentes momentos. Un análisis econométrico de una serie temporal consiste en elaborar un modelo estadístico que describa adecuadamente la procedencia de dicha serie, de manera que las implicaciones teóricas del modelo resulten compatibles con las pautas muestrales observadas en la serie temporal. El punto de partida para elaborar un modelo a partir de una serie temporal consiste en considerar dicha serie como una realización particular nita de un proceso estocástico [Mauricio, 2008].

La estadística espacial se ha consolidado como un importante campo de investigación debido a sus múltiples aplicaciones, aunque en sus inicios el estudio de la predicción espacial estuvo dedicado a la minería y meteorología, actualmente sus avances y desarrollos prácticos abracan distintas áreas como lo es la agricultura, contaminación ambiental, salud pública, nanza, procesamiento de imágenes, entre otras. La estadística espacial proporciona métodos para el análisis de la información contenida en datos espacial, lo que quiere decir, que en datos espaciales pueden corresponder a tres distintos tipos de procesos como son los procesos espaciales continuos, procesos espaciales discretos y procesos o patrones puntuales [Castillo Páez, S., 2017].

Las técnicas de geoestadística permiten realizar varios estudios como la caracterización espacial de los tipos de coberturas del suelo con el n de alcanzar los patrones espaciales, se pueden analizar, a través de métodos geoestadísticos los mapas de coberturas del suelo, derivado de la clasicación de imágenes satelitales para una región determinada, un estudio realizado en la provincia de Buenos Aires permitió analizar diferentes coberturas como los pastizales con alta cobertura, pastizales con baja cobertura, cultivo, vegetación, montes, pradera húmeda y cobertura urbana, evaluando los diferentes componente espaciales de cada cobertura a partir de variogramas omnidireccionales experimentales, ajustándolos a modelos de referencia. La heterogeneidad de los tipos de cobertura requiere la utilización de varias estrategias que implican el muestreo de la imagen temática con diferentes grados de resolución y dimensión del área de análisis. Los parámetros geoestadísticos de los modelos de ajuste indican las diferencias estructuras en la distribución espacial, que pueden relacionarse con el área y con el uso, la aplicación de las diferentes técnicas geoestadísticas a información de imágenes satelitales permite identicar y diferenciar los patrones espaciales de las coberturas existentes en una misma zona de estudio, lo que permite denir estrategias de análisis y monitoreo del uso del suelo [Aperín, M., Borges, V. y Sarandón, R., 2002]. La estimación de parámetros y las predicciones en ubicaciones observadas y no observadas se pueden calcular utilizando un método de aumento de datos utilizando un algoritmo de Monte Carlo de cadena de Márkov, según Brooke Fridley. los estudios de simulación se usan para investigar las propiedades de las estimaciones, las propiedades de las predicciones y la solidez de la especicación incorrecta de la covarianza espacial [Fridley, B. y Dixon, P., 2007].

(21)

tipos de series de tiempo, entre los que se destacan: los modelos autorregresivos (AR), modelos de pro-medio móvil (MA), modelos autorregresivos y de propro-medio móvil (ARMA), modelos autorregresivos e integrados de promedio móvil (ARIMA), modelos autorregresivos e integrados de promedio móvil estacionales (SARIMA), modelos autorregresivos e integraos de promedio móvil fraccionales (FARI-MA) y modelos multivariados (VAR(FARI-MA). Cuando se desea explicar la estructura de correlación entre las observaciones de una serie estacionaria se consideran básicamente el modelo autorregresivo y el modelo de media móvil. En el modelo autorregresivo se presenta el ruido blanco siendo una variable aleatoria con media cero, varianza constante, incorrelacionadas entre sí y con los valores de la serie [Parra, O., Suárez, C. y Martínez, L., 2006]. En general las series de tiempo n son estacionarias, pero por medio de transformaciones de varianza y de diferencias pueden ser transformadas en estacionarias. Los modelos ARIMA resultan de integran la serie estacionaria en ARMA estimada, con respecto a las diferencias y las transformaciones que fueron necesarias para convertirla en una serie estacionaria. Los modelos ARIMA estudian la estructura de correlación entre las observaciones de una serie basándose en la estructura estimada calculando los pronósticos y los respectivos intervalos de predicción.

Un caso de estudio relacionado con la interpolacion especicamente la utilización de kriging, es la desagregación de datos heredados del suelo usando el área para señalar predictores kriging permitiendo mapear el carbono orgánico del suelo a escala regional, los datos del suelo representados en mapas tienen medidas de propiedad típicas asociadas con cada polígono, pueden ser una fuente importante de información para el mapeo digital de suelos, es necesario la utilización de métodos para desglosar la información y usarla para la estimación cuantitativa de las propiedades del suelo mediante métodos tales como la regresión kriging; los métodos incluyen la consideración de factores de escorrentía y los que son conservadores de masas haciendo que las transiciones entre las diferentes escalas de investigación sean más sólidas teóricamente [Kerry, R., Goovaerts, P., Rawlins, B., y Marchant, B.,2012].

En diferentes casos se introducen los modelos de covarianza de suma de productos para estimar y modelar estructuras de correlación espacio-temporales, la representación de los coecientes de los modelos se relacionan con la dimensión global y parcial (dimensión espacial y temporal); además existen algunas restricciones en los parámetros para generar un modelo suma de covarianza pero se realizan las diferentes comparaciones entre los modelos para analizar su comportamiento [Cesare, L., Myers, D., y Posa, D. (2001)].

Existen investigaciones enfocadas a la variabilidad espacio temporal de la precipitación, par-tiendo de los registros de precipitación del IDEAM, validando diferentes bases de datos con resolución temporal y mensual, a partir de las bases de datos se calculan los principales modos de oscilación por medio del análisis espectral. Los resultados obtenidos se pueden presentar de forma agrupada por regiones que tengan un comportamiento similar, que se determinan mediante el análisis de conglome-rados no jerárquico k-medias, para dar continuidad a un análisis de correlación entre la precipitación mensual y algunas variables macro climáticas [Estupiñan Castellano, A., 2016].

(22)

y modelar variograma espacio-temporales. Se incorporan dos familias generales de modelos en los programas: estos son el modelo de producto y el modelo de suma de producto, ambos basados en la descomposición de la covarianza espacio-temporal en términos de una covarianza espacial y una covarianza temporal. Uno de los programas detecta y elimina las periodicidades temporales en los datos. El programa los elimina y genera residuos para todas las estaciones de monitoreo, con el n de estimar y modelar el variograma espacio-temporal utilizando residuos. El programa kriging modicado también permite el uso de la validación cruzada junto con la adaptación de modelos de variograma de tiempo espacial. El componente de tendencia y el modelo de variograma residual se pueden usar para la predicción [De Cesare, 2002].

La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obstante, se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son especícas para cada una de las diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, la econometría, psicometría o la bioestadística. La gran relevancia que tiene actualmente a nivel mundial el tema ambiental ha hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Como consecuencia de este impulso surgió una nueva rama de la estadística, denominada environmetrics (estadística ambiental). Dentro de esta última, los métodos geoestadísticos juegan un papel preponderante [Giraldo, R., 2011].

Actualmente, entidades públicas y privadas a nivel nacional llevan a cabo predicción de fenóme-nos medioambientales como la precipitación, con el uso de modelos basados en métodos de interpolación espacial, tales como la distancia inversa ponderada (IDW), polígonos de Thiessen y kriging, los cua-les tienen en cuenta las características espaciacua-les de la variable estudiada. Cuando se requiere incluir la dimensión temporal, se acude al análisis multitemporal de los escenarios obtenidos mediante los mencionados pronósticos espaciales, sin incluir en conjunto al espaciotiempo[Cortés, D. y Peña, W. 2012]

Los modelos espacio temporales, empezaron a plantearse y a estudiarse a partir de la abundancia de aplicaciones que desde diversos ámbitos aplicados demandaron estas técnicas. Problemas relacio-nados con cuestiones meteorológicas con polución ambiental, con el análisis de problemas ecológicos y de recursos medioambientales, con problemas relativos a la epidemiología y a las ciencias de la salud, o relacionados con la construcción de mapas de enfermedades entre otros, demandaron el desarrollo de este tipo de modelos [Vidal, A., 2015]. Al ampliar los modelos de covarianza de espacio-tiempo de producto y suma de producto, se generan nuevas familias como productos integrados y sumas de pro-ductos. Estos incluyen modelos de covarianza espacio-tiempo no integrables que no pueden obtenerse mediante la representación de Cressie-Huang [De Iaco, S., Myers, D. E., y Posa, D. (2002)].

(23)

espacio-temporales. Las construcciones están directamente en el dominio del espacio-tiempo y no re-quieren inversión de Fourier. Los parámetros del modelo se pueden asociar con las estructuras espaciales y temporales de los datos, respectivamente; y un modelo de covarianza con un parámetro de interacción espacio temporal [Gneiting, T., 2002].

Los conjuntos de datos espaciotemporales son cada vez más grandes con más y más datos generados por radares, satélites o modelos numéricos altamente resueltos. Por lo tanto, es crucial que los modelos espaciales temporales puedan tratar con grandes conjuntos de datos sin encontrarse con un cuello de botella computacional. Los modelos estadísticos en general y los modelos espacio-temporales en particular necesitan tener parametrizaciones interpretables que hagan un compromiso entre simplicidad y generalidad. Un enfoque estadístico basado en la física utiliza el conocimiento de otras áreas de la ciencia para construir modelos probabilísticos que cumplan con estos requisitos [Sigrist, F., 2013].

Desde un punto de vista metodológico, ninguna dicultad principal debería evitar una extensión de estos enfoques al dominio del espacio-tiempo, y las técnicas existentes pueden ser utilizadas. Sin embargo, también hay diferencias importantes. En kriging espacio-tiempo, a menudo se deben tener en cuenta las anisotropías fuertes porque la variación en el tiempo puede ser bastante diferente de la variación en el espacio. Con las aplicaciones espacio-temporales, uno puede elegir entre un conjunto mucho más rico de diseños de muestra [Heuvelink, G., Grith, D., Hengl, T. y Melles, S. (2012)].

Las dimensiones espaciales y temporales de los fenómenos ecológicos siempre han sido inherentes al marco conceptual de la ecología, pero solo recientemente se han incorporado explícitamente en la teoría ecológica, el diseño de muestreo, el diseño experimental y los modelos. El número y la variedad de técnicas estadísticas para el análisis espacial de datos ecológicos están creciendo y muchos ecólogos no están familiarizados con lo que está disponible y cómo las técnicas deben usarse correctamente [Fortin, M. y Dale, M., 2005].

La mayoría de las aplicaciones en estadística espacial implican el modelado de estructuras com-plejas de dependencia espacio-temporal, y muchos de los problemas del modelado de espacio y tiempo pueden superarse mediante el uso de procesos separables. Esta subclase de procesos espacio-temporales tiene varias ventajas, incluyendo el ajuste rápido y extensiones simples de muchas técnicas desarro-lladas y utilizadas con éxito en series de tiempo y geoestadísticas clásicas. En particular, una ventaja principal de estos procesos es que la matriz de covarianza para una realización puede expresarse como el producto Kronecker de dos matrices más pequeñas que surgen por separado de los procesos tempo-rales y puramente espaciales, y por lo tanto su determinante e inverso son fácilmente determinables. Sin embargo, estos modelos separables no siempre son realistas, y no existen pruebas formales para la separabilidad de los procesos espacio-temporales generales [Fuentes, M., 2006].

(24)

6. Marco Teórico

En este capítulo se presenta los conceptos necesarios para la elaboración del proyecto de grado que se está trabajando. Se tiene como objetivo principal, el análisis de la variable precipitación a par-tir del estudio estadístico espacio temporal, inicialmente se relaciona el ciclo hidrológico y a su vez el desarrollo de la precipitación. En el segundo apartado del presente capítulo se fundamenta el análisis de series de tiempo para nalizar con la parte geoestadística espacio temporal donde se exponen las características de la función de covarianza, la estimación del variograma, modelos espacio temporales y predicción espacio temporal que permite la explicación y representación de la variable de la preci-pitación como fenómeno presente en espacio y tiempo mediante el uso de las técnicas geoestadísticas, teniendo como resultado nal y a partir de la predicción los mapas de precipitación mensual para la región de la depresión Momposina.

6.1. Hidrología

La hidrología es el estudio del movimiento, distribución y calidad del agua en todas las zonas de la Tierra, y se dedica tanto al ciclo hidrológico como a los recursos del agua, por lo tanto, la hidrología es la ciencia que estudia el agua, su ocurrencia y circulación en la supercie terrestre; sus propiedades físicas y químicas y su relación con el medio ambiente incluyendo los seres vivos [Diaz, A., 2014]. Con la modelación hidrológica se busca calcular los caudales y tramos tomados en el área de estudio, a partir de los datos de precipitación existentes, los caudales calculados están asociados a los eventos de lluvia, que a su vez pueden clasicarse en función de su probabilidad de ocurrencia. Teniendo en cuenta la amplitud de la hidrología se encuentra la siguiente división: hidrometría, es el estudio de la medida del agua y de sus características físicas; hidrografía, es la descripción geográca regional o monográca de los elementos hídricos; hidrología cientíca, es la búsqueda de las causas y consecuencias de los fenómenos hídricos y de sus relaciones funcionales.

6.2. Ciclo Hidrologíco

El ciclo hidrológico es el tema central de la hidrología, el ciclo no tiene principio ni n y sus diversos procesos ocurren en forma continua. Se puede denir como el conjunto de trayectorias que describe el agua en la naturaleza, con independencia del estado en que se entre, la hidrología abarca el estudio de cada uno de los componentes que constituyen el ciclo hidrológico de manera global y separada [Viglizzo, E., 2007].

(25)

suelo, el agua inltrada puede correr a través del suelo como ujo supercial y uir de nuevo a la supercie como manantial, tanto el agua interceptada o detenida en lagos, océanos, como la que uye en forma de escorrentía supercial es susceptible a evaporarse y el agua que habiéndose inltrado, permanece en el suelo, saturando el mismo, es susceptible de ser succionada por las raíces de la planta, lo que se denomina transpiración [Viglizzo, E., 2007].

Figura 1: Ciclo Hidrológico Fuente: [García L. F. (2006)]

6.3. Precipitación

La precipitación se dene como el agua aportada al terreno en forma de líquido, sólido (nieve, granizo) y vapor, ocurre cuando la atmósfera se satura con el vapor de agua, el agua se condensa y cae de la solución, el aire se satura a través de dos procesos por enfriamiento o añadiendo humedad, la precipitación que alcanza la supercie de la tierra puede producirse en muchas formas diferentes ya sea lluvia, lluvia congelada, llovizna, nieve, aguanieve y granizo [Cortés et al. 2012].

La precipitación en general se puede entender como el término que dene todas las formas de humedad emanadas de la atmosfera y depositadas en la supercie terrestre tales como: lluvia, granizo, roció, neblina, nieve o helada.

(26)

Figura 2: Esquema de precipitación Fuente: [Cerón et al. 2013]

El anterior esquema representa los siguientes aspectos:

1. El agua que no llega al suelo, se evapora y vuelve a la atmosfera, bien porque lo hacía durante su caída o bien porque es interceptada por la vegetación.

2. El agua que llega al suelo, pasa a una de las tres zonas en que simplicadamente, se puedan dividir:

Quedarse en la supercie en depresiones de almacenamiento y posteriormente evaporarse, o cir-cular por la supercie hasta formar parte del caudal de los ríos lo que se conoce como escorrentía supercial.

(27)

Inltrarse a la zona saturada del suelo pasando a formar parte de la escorrentía subterránea, la cual constituye las reservas de agua del subsuelo (acuíferos), aunque parte de ellas pueden volver a la supercie a través de manantiales y nacederos sumándose a la escorrentía supercial. [Cerón et al. 2013].

Las formaciones de las precipitaciones requieren la elevación de una masa de agua en la atmósfera de tal forma que se enfríe y parte de su humedad se condense, por esta razón la precipitación se puede dividir en: precipitaciones convectivas, precipitaciones orográcas y precipitaciones ciclónicas.

Precipitación convectiva

Tiene su origen en la inestabilidad de una masa de aire más caliente que las circundantes. La masa de aire caliente asciende, se enfría, se condensa y se forma la nubosidad de tipo cumuliforme, origen de las precipitaciones en forma de chubascos o tormentas. El ascenso de la masa de aire se debe generalmente a un mayor calentamiento de la supercie (Rascón, 2005).

Precipitación orográca

Es aquella que tiene su origen en el ascenso de una masa de aire, forzado por una barrera orográca o montañosa [Maderey L., 2005].

Precipitación ciclónica

Es la que está asociada al paso de una perturbación ciclónica. Se presentan dos casos la frontal y no frontal: La precipitación frontal puede ocurrir en cualquier depresión barométrica, resultando el ascenso debido a la convergencia de masas de aire que tienden a rellenar la zona de baja presión, la precipitación no frontal se asocia a un frente frio o un frente cálido [Maderey L., 2005].

Formas de precipitación

Lluvia: Se dene como una precipitación de agua líquida que llega al suelo, con gotas de diámetro entre 0.5 y 5 milímetros.

Llovizna: Riego tenue de gotitas pequeñas, de diámetro menor que 0.5 milímetros, muy denso o compacto. Se puede considerar débil, moderada o fuerte dependiendo de la visibilidad.

Neblina: Es una precipitación mucho más tenue aún que la llovizna.

Nieve: La nieve se forma de cristales de hielo cuando el valor de agua se congela en diminutas partículas sólidas en niveles donde las temperaturas son muy inferiores a los 0°C. Los cristales de hielo se van uniendo para formar los copos de nieve.

(28)

Aguanieve: Nieve fundente o mezcla de nieve y lluvia.

Lluvia helada: Se produce cuando la temperatura en el nivel de las nubes es negativa y las gotas de lluvia están sobre enfriadas. La lluvia se congela al llegar a la supercie y chocar con los objetos.

Granizo: Se forma cuando las gotas de agua sobre enfriadas circulan en una zona de corrientes ascendentes en el interior de un cumulunimbus

Medición de la precipitación

Las técnicas de valoración y medida de la precipitación del agua se agrupan bajo el nombre de pluviometría. Para la medida y registro de las precipitaciones se emplea un material de observación básico muy sencillo, pero de cierta diversidad y dicultad en cuanto a las instalaciones, normas de em-pleo e interpretación de sus medidas. Para medir cantidades de precipitación se utilizan: pluviómetros, nivómetros y totalizadores; para registrar distribuciones de lluvia en el tiempo se utilizan: pluviógrafos y para medir la precipitación a distancia se utiliza el radar meteorológico.

Figura 3: Pluviómetrico IDEAM Fuente:[Petruss, 2010]

(29)

6.3.1. Análisis de Series de Tiempo

Una serie de tiempo es una colección de datos obtenidos por mediciones de algún evento natural o inducido, los cuales son reunidos sobre la misma variable, bajo las mismas condiciones a lo largo del tiempo y con intervalos de la misma medida.

Existen varias deniciones de las series de tiempo por diferentes autores, expuestas a continua-ción:

Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos sucesivos en el tiempo o en periodos de tiempo sucesivos Hidelbrand [Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T., 2008].

Se llama series de tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento regis-trado secuencialmente en el tiempo Chateld [Méndez Bustamante, 2013].

Una serie de tiempo es un registro metódico de la medición u observación numérica, efectuada a intervalos de tiempos jos, de las características o variables del área de interés Guerrero [Guerrero, V., 1977].

Una serie de tiempo es una sucesión cronológica de observaciones de una variable particular Bowerman [Méndez Bustamante, 2013].

Un proceso estocástico puede ser denido como un conjunto de variables aleatorias que están ordenadas en el tiempo y denidas en conjunto de puntos temporales que pueden ser continuos o discretos [Cerón et al. 2013]. La variable aleatoria se denota en el tiempo t como Z(t), si el tiempo

es continuo (usualmente -∞ < t < ∞) y como Zt, si el tiempo t es discreto (usualmente t =

0,±1,±2,±3, ...)[Chateld, 2004]

Z={Z(t) :t⊆R}

DondeZ(t)es la variable aleatoria y t el índice que representa el tiempo de captura.

Las series de tiempo tienen dos propósitos: comprender las fuerzas de inuencia en los datos y descubrir la estructura que produjo los datos observados. Ajustar el modelo y proceder a realizar pronósticos, monitoreo, retroalimentación y control de avance. El objetivo de la teoría de los procesos estocásticos para determinar que procesos ha sido capaz de generar la serie temporal que se esta trabajando, con el n de caracterizar el comportamiento de la serie y predecir en el futuro [Cerón et al. 2013]. En un modelo de series temporales univariante se descompone la serieZ(t)en dos partes, una

que representa el patrón de regularidad, o parte sistemática(P S), y otra parte puramente aleatoria,

denominada también innovación(a):

Z(t) =P St+at

(30)

La teoría de la predicción se basa en replicar las regularidades del comportamiento pasado de la serie y proyectarlas hacia el futuro.

Componentes de las series de tiempo Las series de tiempo están caracterizadas por diferentes componentes [Patiño, L. y Silva, D, 2008]

Tendencia: Se puede denir como un cambio a largo plazo que se produce en la relación a nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identica en un movimiento suave de la serie a largo plazo.

Estacionalidad: Muchas series temporales presentan cierta periodicidad de forma anual, por ejem-plo, el consumo de energía en países con verano e invierno muy intensos, estos efectos son fáciles de entender y se puede medir explícitamente o incluso se pueden eliminar de la serie de datos, a este proceso se le llama desestacionalización de la serie.

Fluctuación cíclica: Con frecuencia las series de tiempo presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia, un ejemplo son los ciclos comerciales cuyos periodos recurrentes dependen de la prosperidad, recesión, recuperación, las cuales no dependen de factores como el clima o costumbres sociales.

Aleatorio: Esta componente no responde a ningún patrón de comportamiento, sino que es el resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma aislada en una serie de tiempo.

6.4. Geoestadistica espacio temporal

(31)

para cada localización espacials∈D y cada tiempot∈T, donde el índice espacial varía enD ⊆Rd

y el índice temporal enT ⊆RoZ.

La geoestadística es el estudio de la dependencia espacial, la variabilidad y la continuidad de diferentes variables a través del espacio y/o tiempo, con el n de entender y predecir patrones en fenó-menos naturales. Es un conjunto de métodos empleado en una gran variedad de áreas tales como salud pública en el mapeo espacial de patrones de enfermedades tales como el dengue, y en ciencias socia-les para entender, por ejemplo, los patrones espaciasocia-les de crímenes violentos en áreas metropolitanas. También tiene aplicaciones en la minería, la geología de hidrocarburos, la geoquímica, la hidrogeología, el estudio de suelos, la hidrología, la meteorología, la geografía y la agricultura.

La geoestadística espacio-temporal hace referencia al conjunto de técnicas geoestadísticas que analizan, describen y modelizan procesos espaciales con evolución temporal. Como es sabido, los proce-dimientos de interpolación basados en kriging dependen de la elección de la autocovarianza asociada al campo espaciotemporal. Por tanto, la perspectiva geoestadística se basa en la obtención de covarianzas espaciotemporales permisibles que analicen de forma adecuada las interacciones espacio-tiempo.

El proceso estocásticoZ(s, t)esta completamente caracterizado por la función de la distribución

acumulada, cuyo valor en cada localizaciónsen el espacio yt en el tiempo es la probabilidad de que

la variable aleatoria sea menor o igual quez . [Kyriakidis, P. y Journel, A., 1999].

F(s, t;z) =P(Z(s, t)≤z),∀z,(s, t)∈R2×R

DondeZ es un proceso estocástico espacio temporal, que esta caracterizado por sus momentos

de primer, segundo y tercer orden, como se describe a continuación: 1. La función de media que representa la tendencia del espacio

µ(s, t) =E[Z(s, t)]

2. La función de covarianza que indica la similitud entre las diferentes realizaciones del proceso

C((si, ti),(sj, tj)) =E[(Z(si, ti)−µ(si, ti)) (Z(sj, tj)−µ(sj, tj))]

3. El variograma que expresa que tan diferente se comportan las realizaciones espacio-temporales del proceso.

2γ((si, ti),(sj, tj)) =var(Z(si, ti)−Z(sj, tj))

Para garantizar la existencia de los momentos se asume que el proceso es regular, es decir que la varianza sea nita

var(Z(s, t))<∞,∀(s, t)R2×R

(32)

que permitirá hacer estimaciones e inferencias del modelo a partir de los datos observados. 4. Estacionariedad de segundo orden: El procesoZ(s, t), es por lo menos estacionario de

se-gundo orden si:

E[Z(s, t)] =µ

C((si, ti),(sj, tj)) =C(si−sj, ti−tj)

Dado que la var(Z(s, t)) <∞, es decir, que el proceso tiene media constante y la función de

covarianza, dependerá únicamente de la separabilidad espacialsi−sj y temporal ti−tj.

5. Estacionariedad Intrínseca: Se dice que un proceso espacio-temporal Z(s, t) es

intrínseca-mente estacionario si tiene media constante y variograma intrínsecaintrínseca-mente estacionario, es decir, la relación del semivariograma con la función de covarianza en estos procesos esta dado por la expresión [Cerón et al. 2013]:

γ(h, u) =var(Z(si, ti)−Z(si, ti)) =C(0,0)−C(h, u)

Dondeσ2₌_C₍₀_,₀₎_>₀ _{es la varianza del proceso.}

6.5. Función de covarianza y del variograma espacio temporal

Para los procesos espaciales el variograma suele ser la herramienta utilizada en la descripción de la variabilidad espacial del proceso, para los procesos espacio - temporales la función de covarianza es la más utilizada en la modelización de la variabilidad del proceso espacio - temporal, teniendo en cuenta que siempre que se puedan denir ambas funciones, se puede pasar de la una a la otra.

6.5.1. Caracteristicas de la función covarianza

1. Denida positiva: Para cualquier numero nito de ubicaciones espacio temporales

{(s1, t1),(s2, t2), ...,(sm, tm)}

Con el n de garantizar que la varianza de la predicción sea no negativa y que la covarianza este asociada a un proceso espacio temporal estacionario.

2. Completamente simétrica: Una función de covarianza es completamente simétrica si:

(33)

Para cualquier par de localizaciones(si, sj)y(ti, tj)∈Rd×R, es decir, la covarianza entre dos

realizaciones distintas es independiente del sentido espacio-temporal de estas.

3. Soporte compacto: Para garantizar que la función de covarianza tienda a cero cuando la dis-tancia espacial o temporal es sucientemente grande se dene la propiedad de soporte compacto, con el propósito de que la simulación y predicción espacio temporal sea eciente [Martínez Ruiz, 2008].

4. Separabilidad: Las familias de modelos de covarianzas espacio temporales, conocidos como separables, indican que la covarianza del proceso se puede representar como la suma o la multi-plicación de una covarianza puramente espacial y de otra covarianza puramente temporal.

C(h, u) =C(h) +C(u)

C(h, u) =C(h)C(u)

6.5.2. Análisis Geoestadístico Espacio Temporal

Los eventos naturales como la precipitación no se conocen con anticipación tanto la función de distribución como los momentos que están asociados al proceso aleatorio. El proceso de interés se podría modelar de la siguiente manera:

Z(s, t) =µ(s, t) +δ(s, t)

Dondeµ(s, t)es la media del proceso y representa la parte determinista del proceso yδ(s, t)representa

la parte aleatoria del proceso. Si a partir de las técnicas estadísticas se inere que la media del proceso no es constante, esta suele ser modelada a través de funciones lineales o pulimento de medianas, que re-muevan la tendencia; los residuales obtenidos de tales modelos verican la hipótesis de estacionariedad [Cerón et al. 2013].

6.5.3. Estimación del variograma y del covariograma

En una estimación de la función de covarianza o del variograma de un proceso espacio-temporal se puede generalizar los procedimientos para los procesos espaciales, a partir de los valores observados utilizando el estimador clásico propuesto por Mathernon o el estimador robusto propuesto por Cressie y Hawkins [Cerón et al. 2013].

(34)

2. Estimador Robusto: Aunque el método de estimación clásico presenta grandes ventajas de cálculo, presenta una problemática y es la falta de robustez, para superar esta problemática se plantea el siguiente estimador del variograma según Cressie y Hawkins.

2ˆγ(h(l),u(k)) =

6.5.4. Funciones de Variograma Espacio Temporal no separables

Existen dos metodologías para construir las funciones de covarianza espacio tiempo no separa-bles: la propuesta por Cressie-Huang y la propuesta por Gneiting

1. Cressie Huang: Este método se basa en las representaciones espectrales de las funciones de co-varianza; se construyen familias paramétricas de covarianzas estacionarias encontrando transfor-madas inversas de Fourier de densidades espectrales. Este procedimiento no impone restricciones de separabilidad, aunque podrían surgir modelos separables como casos particulares (Castañeda, 2010). Su vector de parámetros es(θ) =c0, σ2,h, u, a, b, d , donde,c0corresponde a la discon-tinuidad en el origen,σ2 _{representa la varianza,}_a_y_b _{los parámetros de escala correspondiente} al tiempo y al espacio respectivamente, ydel parámetro de interacción espacio tiempo [Cerón

et al. 2013].

2. Gneiting: Las funciones del variograma propuestas por Gneiting, cuyas funciones no dependen de la existencia de la transformada de Fourier, sino de dos tipos de funciones que se denen directamente en el dominio espacio tiempo, las funciones completamente monótonas y las funciones de Bernstein, en donde el primer modelo está caracterizado por su vector de parámetros

(θ) =

c0, σ2,h, u, c, a, γ, α, β, δ , siendoc >0ya >0dos parámetros positivos de escala espacial y temporal respectivamente,γyαson dos parámetros de suavidad espacial y temporal que toman

valores entre[0,1],β es un parámetro de suavizado de interacción espacio temporal que toman

valores entre[0,1],δ >0, yσ2 _{la varianza del proceso espacio temporal [Cerón et al. 2013].} El segundo modelo de Gneiting depende de un vector de parámetros(θ) =c0, σ2,h, u, c, a, α, ν, β, δ , dondec >0ya >0son dos parámetros positivos de escala espacial y temporal, respectivamente,

ν >0 es un paramtero de suavizado espacial,α∈[0,1]es un parámetro de suavizado temporal,

(35)

Cuadro 1: Modelos de variograma espacio - temporal no separables

6.5.5. Ajuste y evaluación de los modelos espacio temporales 1. Ajuste mediante mínimos cuadrados ordinarios

La estimación por minimos cuadrados ordinarios consiste en obtener el valor_θˆ_{que minimiza}

n

El anterior método no incorpora en la estimación, el número de parejas N(h, u) con el que se

calculo el variograma empírico, asignando a todos los elementos la misma ponderación; se necesita de la matriz de pesos W(θ)como alternativa para la asignación de diferentes ponderaciones al

semivariograma y así expresar una variabilidad de los datos [Cerón et al. 2013].

n

distancia espacialhiy distancia temporalui.

(36)

3. Ajuste mediante máxima verosimilitud

Si el proceso espacio temporal analizado es Gaussiano, entonces podemos utilizar un método más eciente para la estimación de los parámetros del modelo, el método de máxima verosimili-tud, esta metodología consiste en obtener de forma simultánea los valores deβyθque minimizan

−2L(β, θ|z) = (z−Xβ)0P−1

θ (z−Xβ) +log(| P

θ|) +log(|X0P_θX|) + (n−q)log(2π)

Siendoqel número total de parámetros asociados al modelo [Martínez Ruiz, 2008].

6.5.6. Modelos de covarianza espacio temporales

La función de covarianza espacio-temporal y el semivariograma espacio-temporal, que son las dos funciones que generalmente se utilizan en la modelización de su estructura de dependencia espacio temporal. Mientras que en los procesos espaciales generalmente se utilizaba el semivariograma en el estudio de la dependencia espacial, para los procesos espacio temporales suele ser la función de covarianza la herramienta seleccionada [Martínez Ruiz, 2008].

La siguiente gura representa de manera esquemática la relación existente entre las covarian-zas separables, completamente simétricas, estacionarias, y de soporte compacto, dentro del conjunto general de funciones de covarianza espacio temporales (estacionarias o no estacionarias).

(37)

1. Modelo Métrico

Este modelo de funciones de covarianza espacio temporal estacionarias consiste en adoptar una anisotropía geométrica sobre el espacioRd_×_R_{, esto es, denir una métrica en el espacio}

tiempo que permita utilizar directamente los modelos isotrópicos utilizados en el análisis espacial [Martínez Ruiz, 2008].El modelo métrico está dado por:

C(h, u) =C0

a2khk2+b2|u|21/2

,(h, u)∈Rd×R

Dondea, b∈R son las constantes que denen la métrica espacio temporal.

Figura 5: Representaciones del modelo métrico. Fuente:[Martínez Ruiz, 2008]

2. Modelo Suma

Este modelo consiste en considerar la covarianza espacio temporal del proceso como la suma de una covarianza meramente espacial y otra covarianza meramente temporal [Martínez Ruiz,

(38)

2008]. El modelo suma está dado por:

C((s1, t1),(s2, t2)) =Ce(s1, s2) +Ct(t1, t2)

SiendoCeuna función de covarianza espacial denida sobreRd×RyCtuna función de covarianza

temporal denida sobreR.

Figura 6: Representaciones del modelo suma Fuente: [Martínez Ruiz, 2008]

Si se considera dos funciones de covarianzaCeyCtestacionarias, entonces el modelo suma viene

dado por

C(h, u) =Ce(h) +Ct(u)

El principal poblema que presenta es que la suma de un modelo de covarianza espacial y otro temporal no es en general una función denida positiva, sino unicamente semidenida positiva. 3. Modelo Producto

(39)

vienen dadas por el producto de una función de covarianza espacialCesobreRdy una función de

covarianza estacionaria temporal Ct sobreR [Cerón et al. 2013]. El modelo producto está dado

por:

C((s1, t1),(s2, t2)) =Ce(s1, s2)Ct(t1, t2)

Figura 7: Representaciones del modelo producto Fuente: [Martínez Ruiz, 2008]

Si se considera dos funciones de covarianzaCeyCtestacionarias, entonces el modelo suma viene

dado por

C(h, u) =Ce(h)Ct(u)

4. Modelo Suma Producto

Este modelo supone una generalización del modelo producto y que se obtiene combinando sumas y productos de las covarianzas meramente espacial y temporal del proceso [Martínez Ruiz, 2008]. El modelo suma producto viene dado por la expresión:

C(h, u) =K1Ce(h)Ct(u) +K2Ce(h) +K3Ct(u)

(40)

Figura 8: Representaciones del modelo suma-producto. Fuente: [Martínez Ruiz, 2008]

5. Modelos propuestos por Cressie y Huang

(41)

-temporal del proceso. Se basa fundamentalmente en representaciones de la estructura de cova-rianza espacio temporal teórica [Martínez Ruiz, 2008]. SiC(h, u)es una función de covarianza

espacio temporal de un proceso estacionario, si se supone que C es continua y que su función

de distribución espectral posee una densidad espectral g(w, t)≥0, entonces por el teorema de

Bochner se tiene:

C(h, u)

Z Z

ei(h0w+uτ)g(w, τ)dwdτ

Figura 9: Representaciones del modelo de Cressie y Huang Fuente:[Martínez Ruiz, 2008]

(42)

6. Modelos propuestos por Gneiting

Se propone un nuevo procedimiento para la construcción de modelos de funciones de covarianza espacio temporal estacionarias que en general serán no separables. Se basa en la construcción de familias paramétricas de funciones de covarianza espacio temporal directamente en el dominio espacio tiem-po. En esta clase de modelos existen dos tipos de funciones, las funciones completamente monótonas y las funciones de Bernstein [Martínez Ruiz, 2008]. Seaϕ(x), conx≥0, una función completamente

monótona yψ(x), cont≥0, una función de Bernstein, entonces la función

Es una función de covarianza espacio temporal

Cuadro 2: Ejemplos de funciones competamente monótonas

Función Parámetros

Cuadro 3: Ejemplos de funciones de Bernstein

(43)

Figura 10: Representaciones del modelo Gneiting. Fuente:[Martínez Ruiz, 2008]

6.5.7. Estadísticos de Resumen

En la validación y comparación de los modelos, una vez obtenidas las predicciones y sus errores de predicción asociados, podemos calcular los estadísticos de resumen que permiten la evaluación de

(44)

la capacidad predictiva del modelo ajustado [Martínez Ruiz, 2008].

2. Error de la predicción estandarizado medio

EP EM= 1

3. Error de la predicción estandarizado cuadrático medio

EP ECM = 1

La validadcion cruzada es una tecnica que permite evaluar la capacidad predictiva del modelo se-leccionado calculando, para caa una de las observaciones Z(si, ti), los valores predichosZˆ−i(si, ti) y

los errores cuadraticos asociados a dischas prediccionesσ2

−i(si, ti), obtenidos a partir del conjunto de

todas las observaciones restantes{(s1, t1), ...,(si−1, ti.−1), ...(sn, tn)}.Existen algunos estadisticos de

resumen que permiten compara los diferentes modelos considerados. 1. Error de la predicción estandarizado medio

Sirve para contrarestar la insesgadez de la predicción y debe valer aproximadamente 0

V C1 = 1

2. Raiz del error de la predicción estandarizado cuadrático medio

Depende de la predicción de la desviación típica del error de predicción y debe valer aproxima-damente 1.

3. Raiz del error de la predicción cuadrático medio Es una media global de la bondad de la predicción

(45)

del proceso al realizar una combinación lineal ponderada de las observaciones circundantes al punto

Donde losλi son los pesos de cada una de las observaciones y depende de la función de covarianza.

Si el proceso cumple con que la media es constante en la zona de estudio y es conocida, el método a realizar es el kriging simple. Si el proceso tiene media constante en la zona de estudio sin ser conocida el algoritmo a emplear es la de kriging ordinario. Pero si el proceso no es estacionario en media, el algoritmo a utilizar es el kriging universal [Cerón et al. 2013].

En la mayoría de los procesos no se conoce la media con anticipación y es poco probable que la media sea constante, por lo que los algoritmos mas utilizados en la práctica geoestadística son los de kriging ordinario y kriging universal [Martínez Ruiz, 2008].

1. Kriging Simple

En este algoritmo se parte de la suposición que la media es conocida y por lo tanto el predictor esta dado por:

En este algoritmo de predicción se asume que la media es constante pero desconocida, lo cual indica estacionariedad y que la covarianza del modelo solo depende de la distancia espacial y temporal, el predictor asociado a este kriging está dado por [Martínez Ruiz, 2008].

ˆ

Se cumple en este algoritmo la condición de insesgadez cuando la suma de todos losλies igual a

uno. Se obtiene mediante la expresión

En este algoritmo se asume que la media del proceso al no ser constante se puede representar a través de una combinación lineal de funciones que dependen de las coordenadas espacio temporales [Martínez

(46)

Ruiz, 2008].

µ(s, t) =X(s, t)0β

DondeX(s, t)) es la matriz de las variables explicativas yβes la matriz de los parámetros desconocidos

cada uno de dimensiónp+ 1dondepes el número de variables considerados. El predictor asociado al

Kriging universal esta dado por

Finalmente, para que el algoritmo cumpla la condición de insesgadez debe cumplir con

(47)

7. Materiales y Métodos

7.1. Descripción de la zona de estudio

Colombia se puede dividir en cinco (5) grandes zonas hidrográcas, conformadas por diferentes cuerpos de agua, según el Ministerio del Medio Ambiente se dene la cuenca hidrográca como: área de aguas superciales o subterráneas que vierten a una red natural con uno o varios cauces naturales, de caudal continuo o intermitente, que conuyen a un curso mayor que, a su vez puede desembocar en un río principal, en un depósito natural de aguas, en un pantano o directamente en el mar (Decreto 1729 del 6 agosto de 2002) las cuencas más extensas son: Amazonas, Orinoco, Magdalena Cauca, Caribe y Pacíco, que se pueden observar en la siguiente ilustración

Figura 11: Zonicación Hidrológica de Colombia. Elaboración propia ArcGIS 10.3