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ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA. Expresión algebraica en x. Expresión algebraica en x. Leyes MIEMBROS. P x Q x

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Academic year: 2022

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(1)

1

(2)

ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA

Expresión algebraica en

x

Expresión algebraica en

x

=

MIEMBROS

Leyes

   

P xcQ xc

   

P xcQ xc

   

P x Q x

cc

2

   

P xcQ xc

P x    

2

Q x   

2

; c  0

(3)

3

EL CONJUNTO RESTRICCIÓN de una ecuación, es el conjunto de elementos que hacen que los dos miembros de la ecuación estén bien definidos.

EL CONJUNTO SOLUCIÓN de una ecuación, es el

conjunto de elementos que pertenecen al

conjunto restricción que satisfacen la igualdad.

(4)

Ecuaciones de Primer Grado

(Ecuaciones Lineales)

Ejemplo 1

1 4 1

2 6 3 2

x x

  

4

1 4 1

2 6 3 2

x x

  

Multiplicamos

por el mcm: 6

       

1 4 1

2 6 6 6 3 6

2 6

x x

  

3   x 8 x  3 9 x  6

6

x  9 2

x  3

(5)

Ejemplo 2

 

1 1 2 1

1 3 1

2     4 x      3 x  2

5

 

1 1 2 1

3 1

2  8 x   3 x  2

Multiplicamos por el mcm: 24

 

12 3 3  x   1 16 x  12 12 9  x   3 16 x  12

9 x  16 x    12 12 3 

7 x 21

   x  3

  24 1   24 13 1    24 2   2 1

4 2

2  8 x   3 x

(6)

Ejemplo 3

3 3 3

(1  x )   (1 x )  2 x

6

 

2 3 2 3 3

1 3  x  3 xx   1 3 x  3 xx  2 x

2 3 2 3 3

1 3  x  3 xx   1 3 x  3 xx  2 x

3 3

6 x  2 x  2 x 6 x  0

0 x  6

  0

S

(7)

Ejemplo 4

2

2 1

1 3

x x

x

 

 

4 x

7

Restricción: x   1 0 1 x

 

Conjunto Restricción   R 1

Solución:

 

2

2

1

1 3 3

2 1 1 3

1 x

x x

x

x

x

 

 

(8)

12

Ejemplo 5

2 2

5 22 11 5

6 9 3 0

x

x x x x x

   

  

2

5 22 11 5

( 3) ( 3) 0 x

x x x x

   

 

0 45 30

5 33 11

22

5 x

2

xx   x

2

x  

0

3 

x

12 3 

x

4 x  

8 Restricción:

3 x

0 x

2

2 2 2 2

( 3)

5 22 11 5

( 3) x x ( 3) x x ( 3) x x ( 3) 0 x ( 3)

x x

x

x x x

     

  

(9)

Ejercicios Propuesto

2

17 2 4

4 2

6 8

x x x

x x

x x

  

 

 

 

9

1.

2.

3.

4.

5.

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1

ab ab x a a x

ab b a

     

   

     

   

     

   

   

2 2

2 2

x a b x a b a b

x a x a x a

    

 

  

(10)

Problemas de Planteo de ecuaciones

Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora el hombre? ¿Cuántos años tiene ahora la esposa?

Ejemplo 1

SOLUCIÓN:

Edad del hombre:

Edad de la esposa:

x  7

Hace 10 años Actualmente

x

Edad del hombre:

x 10

Edad de la esposa:

x  7  10

EDAD DEL HOMBRE HACE 10 AÑOS =2 (EDAD DE LA MUJER HACE 10 AÑOS)

 

 2

 17

x

34 2

10  

x

x

 10

x x 17

 24 x

El hombre tiene 24 años y la esposa 17 años

10

(11)

Ejemplo 2

180 personas esta distribuidas en Columnas. El número de personas de cada columna es 8 más que el número de columna. ¿Cuántas columna hay y cuántos personas en cada columna?

SOLUCIÓN:

:

x

cantidad de columnas

Cantidad de personas por columna:

x  8

(CANT. Colum.) (CANT. DE PERSONAS POR Colum.) = TOTAL DE PERSONAS

x ( x  8 )  180 180

2

 8 xx

0 180

2

 8 x  

x

0 )

10 )(

18

( xx  

10

18  

x

x

 10 x

11

(12)

Ejemplo 3

Una persona va a invertir $70000. Ella quiere recibir una utilidad de

$5000 . Puede invertir sus fondos en Bonos del Gobierno a un 6%, o con un riesgo mayor, al 8.5% de los Bonos Hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga los $5000 ?

SOLUCIÓN:

x :

cantidad invertida al 6%

x 70000

cantidad invertida al 8.5%:

RENT. DE LA CANT. AL 6% + RENT. DE LA CANT. AL 8.5% = RENT. TOTAL

38000

 $ x

100 x

6

70000 x

100 5 .

8

 5000

500000 5

. 8 595000

6x   x

595000 500000

5 . 8

6 xx  

95000 5

.

2  

x

y el resto

$ 32000

al

8 . 5 %

6%

al

12

(13)

Ejemplo 4

Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en $29000 en total. Vende el Toyota y obtiene una ganancia del 10% y en el otro pierde el 5%; y aún así, obtuvo una ganancia de

$1850, por la transacción completa. Determine el costo inicial del Toyota y del Skoda.

:

SOLUCIÓN:

x

Precio de compra del Toyota

Precio de compra del Skoda:

29000  x

GANANCIA EN EL TOYOTA – PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA TOTAL

100 x

10

29000 x

100

5

 1850

10x 145000 5 x 185000

145000 185000

5

10 xx   15 x  330000

$22000

x

el Toyota y $7000 el Skoda

13

(14)

Ejemplo 5

José vende pilas de teléfonos celulares a $5 cada una. Si los COSTOS FIJOS de producir las baterías es de $300 y los COSTOS VARIABLES es de $1 por unidad. Determine la cantidad de pilas que debería de producir y vender para obtener una UTILIDAD igual a $500.

SOLUCIÓN:

x :

cantidad de pilas

UTILIDAD = $500 Ingresos = $500

pilas x  200

x 500

Precio

Venta - (Cost. Fijos+Costos Variables) = $500

500 300

5 x   x

800 4 x

(Cantidad)

5 300 ( 1 ) x

- Costos

14

(15)

El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 centavos. El ingreso del distribuidor es de 24 centavos por copia y por lo que respecta a la publicidad es del 20% de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por

$1000?

Ejemplo 6

SOLUCIÓN:

x :

Cantidad de ejemplares producidos y vendidos UTILIDADES = $1000

008 . 0

 1144 x

Ingresos - Costos

0.24 x

20

100

0.24x 3000   0.28x 1000

0.24 720

0.28 1000 100

24 20 .

0 xx   x

1000 28

. 0 144 048

. 0 24

.

0 xx  x

143000 ejemplares

 15

(16)

Ejemplo 7

El propietario de un edificio de apartamentos, que tiene 60 habitaciones, puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de $180 al mes. Al subir el alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de $5 , una habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse.

Determine el alquiler que debería cobrar el propietario, con el fin de obtener un ingreso total de $11475.

SOLUCIÓN:

x :

Números de incrementos de $5 en el precio de alquiler

11475

 $

INGRESOS

(Precio Alq.) (Cant. Hab.)

180

5 x   60   1 x 11475

11475 5

300 180

10800  xxx

2

0 675

120

5 x

2

x  

0 135

2

 24 x  

x

x 15  x 9 0   x 15

x 9



 

 180 5(9) $225 255

$ ) 15 ( 5 5 180

180 p

x p p

16

(17)

Ejemplo 8

Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de ellas en $400 mensuales. Sin embargo se conoce que por cada $20 de aumento por mes, 2 suites quedarán desocupadas sin posibilidad de rentarlas. Determine el precio por cada suite, para seguir obteniendo los mismos ingresos, pero quedando algunas suites sin alquilar.

SOLUCIÓN:

x :

Números de incrementos de $20 en el precio de alquiler.

   400 50

INGRESOS

(Precio Alq.) (Cant. Hab.)

400

20 x   50   2 x 20000

0 200

40 x

2

x

50

4 x x  

5

0  

x

x

Precio 400 20(5) $500

20000

 $

17

Referencias

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