Ecuación de Segundo Grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Sea la ecuación de 2º Grado.

2x² – 7x – 15 = 0 Donde:

Término Coeficiente

2x² Cuadrático 2

-7x Lineal

-15 Independiente

En general una ecuación de segundo grado presenta la forma:

ax + b + c = 0 (a



Término Coeficiente ax²

Ecuación de Segundo Grado

ax² + bx + c = 0; a  0 Forma

se resuelve por

Factorización Fórmula

AB = 0

 A = 0  B = 0 2a

ac 4 b x_1,2 b ²



Nota: b² – 4ac; se le llama discriminante y es denotado por .

 = b² – 4ac

Ejemplo 1: Completa el siguiente cuadro.

Fórmula General ax² + bx + c = 0

Ecuación de 2º a b c 2x² – 7x – 15 = 0 -7

5x² + 8x + 9 = 0 9x² – 11x – 8 = 0

4 -3 5 -2 3 7

Ecuaciones Incompletas

Si en la forma general ax² + bx + c = 0; b = 0, entonces se genera la siguiente ecuación:

Tiene raíces que son números reales (o simplemente raíces reales) sólo si a y c son de signo opuestos.

Ejemplo

x(6x + 12) = 0 Igualamos cada factor a CERO: x = 0 6x + 12 = 0

6 x 12

 x = -2

entonces: C.S. = {0; -2}

Métodos de Solución

1ER. MÉTODO: ASPA SIMPLE

Ejemplo 1:

Hallar las raíces de 6x² – 5x – 21 = 0

Solución:

Factorizando: 6x² – 5x – 21

2x + 3 = 0  x1 = -3/2 _______  x2 = _______

¡Ahora inténtalo!

Calcula las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones de 2do. grado:

Si en la ecuación ax² + bx + c = 0, se factoriza ____________ y luego cada factor obtenido se iguala a ____________ obtenemos las dos raíces de la ecuación.

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

1. x² + 3x + 2 = 0

2. 3x² + x – 4 = 0

3. x² – 8x – 9 = 0

4. 2x² – 5x + 2 = 0

2DO. MÉTODO: FÓRMULA GENERAL Fórmula General:

a 2

ac 4 b x b ²



Donde la expresión subradical b² – 4ac recibe el nombre de DISCRIMINANTE (), de modo que también podemos escribir que:

a 2 x b 

Ejemplo:

Resolver: x² – 5x + 4 = 0

Identificamos: a = 1; b = -5; c = 4 Calculamos DISCRIMINANTE ():

 = b² – 4ac

 = (-5)² – 4(1)(4)  = 9

Reemplazamos datos en la fórmula general:

4

2 3 x₁5 

2 3 x 5



1

2 3 x₂ 5 



1. Siendo ax² + bx + c = 0; la expresión general de una ecuación de 2º, marca con un aspa (x) en la (V) si es verdadera o en la (F) si es falsa.

A. “c” es el término lineal. (V) (F) B. “a” debe ser diferente de cero. (V) (F) C. “ax²” es el término independiente. (V) (F) D. “bx” es el término de 1er grado. (V) (F) 2. Dada la siguiente expresión:

a 2

ac 4 b x b ²

 ; responde (V) o (F) según

corresponda:

a. “b² – 4ac” es el discriminante. (…) b. “c” es el coeficiente del término lineal. (…) c. “a” es el coeficiente del término de 2º. (…) 3. Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x² – x = 0 2. x² – 16 = 0 3. x² = 16 4. x² – 5x = 0 5. 2x² – 1 = x² + 24

4. Resolver: 3x² + 5x – 12 = 0 indicar una de las soluciones:

a) 1/3 b) 2/3 c) 5/3

d) 43 e) N.A.

5. Resolver: 4x² – 13x + 3 = 0 indicar la mayor solución:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 1/4

6. Hallar las raíces de las ecuaciones usando la fórmula general.

1. x² + 5x + 2 = 0 2. x² + 7x + 5 = 0 3. x² + 4x – 1 = 0 4. x² – 3x + 1 = 0 5. 2x² + 7x + 2 = 0

7. Resuelva las siguientes ecuaciones y señale cuál de ellas posee la mayor raíz.

a) x² = 4x

b) (x + 1)(x - 3) = 12 c) 12x² – 25x + 12 = 0 d) (x + 2)(x + 4) = 6x²

e) (2x - 3)(x + 5) = (3x - 5)(x - 3)

8. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces:

x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x - 4

a) -2 b) -3 c) -4

d) -5 e) 4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

9. Resolver la ecuación: x² – 7x + 12

y dar como respuesta el producto de las raíces dividido entre la suma de las raíces.

a) 127 b)

12 7 c) 12

 7

d) 7

12 e) 1

10. En la ecuación: x² + 6x – m = 0 Hallar “m”, si una raíz es -2.

a) -2 b) -6 c) -8

d) -4 e) 4

11. Resolver las ecuaciones:

a) 2

13 x 2 x

5 x 3 x 4

2

2 









b) abx² – (a² + b²)x + ab = 0

12. Resolver: ; x 1

112 113 x

2 1

x²  

a) 8/7 b) 7/8 c) 8/5

d) 4/3 e) 4/5

13. Resolver: ²₂ ²

1 x 3

3 x 1 x 9 x 9

9 x 9

x 



 







 









indique la suma de todas sus soluciones:

14. Resolver:

6 13 x

1 x 1 x

x  

  Indicando una raíz.

a) 3 b) -2 c) 2

d) 5 e) 6

15. Luego de resolver:

6 1

1 x

2 x

3 x

x









Indicando el doble de una raíz.

a) 5

6 b)

56 c) 1 d) 12 5 e)

5

12

1. Calcular la suma de las raíces de:

1 x 5 x 1 x 5

x²   ² 

a) 0 b) 1 c) 2

d) 5 e) 6

2. Se que puedes afirmar acerca de la ecuación:

a) x² – 2ax + a² – b² – c² = 0

Rpta.: _____________

b) (a – b + c)x² + 4(a - b)x + (a – b – c ) = 0

Rpta.: _____________

3. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones.

a) x²2 bcxbc0 b) x²2 axac²0 c) x²2 bxbc0

4. Indicar la raíz positiva de:

0 c a m ax 2

mx²  ² ²

Siendo: 0 < a < c

Rpta.: _____________

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1. En una ecuación de 2º, tal como:

ax² + bx + c = 0 el símbolo  recibe el nombre de discriminante y su valor es:

a) b² + 4ac b) b² – 4bc c) b² – 4a d) b² – 4ac e) a² – 4ac

2. Ubica las partes de una ecuación de 2º.

mx + p x + q = 0

a. Coeficiente del término lineal (……) b. Término independiente (……)

c. Exponente 2 (……)

d. Coeficiente del término cuadrático (……) 3. Resolver:

a) x² – 4 = 0 d) x² + 2x = 0 b) x² – 49 = 0 e) x² + 10x = 0 c) x² = 7 f) 3x² + 6x = 0 4. Resolver:

a) (x + 1) (x + 2) = 6 b) x(x + 2) + 5 = 4

c) 2(x + 3)(x + 2) + 5 = (x + 3)(x + 1) + 6 d) x² – 12x + 35 = 0

e) x² – 13x + 40 = 0

5. Resolver: 3x² – 5x = 2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

6. Resolver e indicar la mayor raíz:

x² – 4x – 5 = 0

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 0

7. Resolver e indicar la menor raíz:

5x² – 26x + 5 = 0

a) 1/2 b) 1/5 c) 3/5

d) 1 e) 3/2

8. Resolver utilizando la fórmula general:

a) x² + 3x + 1 = 0 b) 5x² + 10x + 1 = 0 c) 2x² – 6x + 1 = 0

d) x² + 5x + 2 = 0 e) x² + x + 1 = 0 f) 2x² + 28x + 96 = 0

9. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones presenta como raíces a: x₁ 3; x₂ 3?

a) x² + 3x + 1 = 0 d) x² + 3x + 3 = 0 b) x² + 9 = 0 e) x² 30 c) x² – 3 = 0

10. Resolver:

5 x

1 4 x



 

Indicar la mayor raíz:

a) 1 b) -1 c) -4

d) 4 e) 5

11. Hallar una raíz de: x² 2x 3x 60

a) 2 b) 3 c) 6

d)  2 e)  6

12. Resolver:

3 2

3 x

2 x

1 x

x









Indicar el triple de una raíz.

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

13. Indicar el discriminante de la ecuación de 2º grado resultante de:

1 1 x x

1 1  

 

a) 1 b) -1 c) -2

d) -3 e) -4

14. Si en la ecuación: x² – 5ax + 3a = 0; una de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.

a) -5 b) 5 c) -4/3

d) 4/7 e) -4/7

15. En la ecuación: x² – (m + n)x + 2m + 2 = 0 tiene por raíces a x1 = 2 y x2 = 3

Hallar: “m - n”

a) -1 b) -2 c) 1

d) 2 e) 3

n