Efecto Fotoeléctrico

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Efecto Fotoeléctrico

Objetivo: Estudio experimental del efecto fotoeléctrico, utilizando un monocromador para generar haces de luz de diferentes frecuencias y un lock-in Amplifier para medir las corrientes generadas en la ampolla. Interpretación física del proceso y determinación de la constante de Planck.

Introducción:

Cuando luz monocromática incide sobre un cátodo de material fotosensible, este emite electrones con una energía cinética que depende de la longitud de onda de la luz incidente y del tipo de material del cátodo. Este proceso se denomina emisión fotoeléctrica, y los electrones emitidos se denominan fotoelectrones. Determinando la energía de los fotoelectrones emitidos se puede evaluar la constante de Planck y la función trabajo del material del cátodo. En la práctica se intentará determinar ambas cosas. Supongamos que tenemos el dispositivo de la figura:

Figura 1. Diagrama esquemático del experimento para estudiar el efecto fotoeléctrico. La luz incidente de la fuente, pasa a través del ánodo en forma de aro e incide sobre el cátodo.

El ánodo es un cable en forma de aro. Sobre el cátodo inciden fotones de energía hν. Los electrones se desprenden del cátodo salen con energía cinética Te= hν -donde es el trabajo necesario para extraer un electrón del cátodo, es decir la energía necesaria para llevar un electrón hasta la superficie del cátodo con energía cinética nula. Si entre el ánodo y el cátodo ponemos una diferencia de potencial V negativa (frenador) entonces existirá un potencial V0 tal que si V<V0 el electrón no llegará al ánodo y no mediremos corriente en el amperímetro. Ese potencial V0

satisface que:

eV0 = hν -      

Vemos que si determinamos V0 para distintas frecuencias ν, del gráfico de V0

versus ν podemos en principio determinar h (la constante de Planck) a partir de la pendiente y de la ordenada al origen. Sin embargo, este método no es el más adecuado para determinar la función trabajo (a partir de la ordenada al origen) porque

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en realidad el potencial V0 es suma del potencial que uno mide entre el cátodo y ánodo y un potencial de contacto Vc.1

Un Procedimiento para determinar la función trabajo del cátodo podría ser el siguiente: sabemos que existe una frecuencia mínima νmin tal que si ν<νminno llegará al ánodo ningún electrón por más grande que sea el potencial acelerador (dentro de ciertos límites). Para νmin la energía del fotón es justo la necesaria para arrancar el electrón del material pero sale con energía cinética cero. Si la frecuencia es mayor tendremos una corriente mientras que si es menor no habrá corriente por más que pongamos un potencial acelerador. Para νmin podemos plantear la siguiente ecuación:

min=  

De esta ecuación podemos, en principio, determinar la función trabajo del material del cátodo.

Los problemas prácticos que tienen estos métodos son que las fotocorrientes que debemos medir son muy pequeñas y en general el ruido que aparece es más grande que la misma corriente que queremos medir.

Arreglo Experimental:

Para poder medir las fotocorrientes en la práctica se usará un amplificador Lock-in. En la Figura 2 se puede observar un esquema del experimento que se puede realizar.

Figura 2. Arreglo Experimental. Las entradas A y B del Lock-in miden tensión, la entrada I esta preparada para medir corriente. La salida RS232 del Lock -in corresponde a una interfase con una

computadora. Las salidas X5 y X6 (posteriores) son similares.

Como fuente de luz se puede usar una lámpara de mercurio y/o una de tungsteno. La primera tiene un espectro discreto mientras que el de la lámpara de tungsteno es continuo. Para seleccionar una longitud de onda se pasa la luz a través de un monocromador de prisma. En el arreglo propuesto, la luz es obturada por un disco metálico con aberturas (chopper) que gira con velocidad angular constante 0 conocida.

Esto hace que la fotocorriente esté modulada a la misma frecuencia fija 0. La corriente producida por el fotocátodo se mide con un amplificador lock-in. El lock-in es esencialmente un filtro que deja pasar y amplifica sólo lo que esté a una frecuencia determinada (0), es decir que podemos pensarlo como un filtro de banda angosta en serie con un amplificador. El amplificador tiene un convertidor analógico-digital que es controlado desde una computadora y que permite adquirir la corriente en función del

1 Ver Referencias

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tiempo. Además se puede variar el potencial de retardo entre el cátodo y ánodo desde la computadora mediante una salida analógica del lock-in a medida que medimos la fotocorriente. Para tener más detalles acerca del funcionamiento y propiedades del amplificador lock-in que usarán en la práctica, es necesario que lean cuidadosamente el manual de instrucciones del instrumento que está disponible en el laboratorio y el apéndice de está guía.

Si graficamos la fotocorriente en función del potencial de retardo se obtienen curvas del siguiente tipo:

Figura 3. Variación esquemática de la corriente en función del potencial retardador. Un modo de determinar V0 consiste en encontrar por inspección ocular el primer punto donde se nota que la

fotocorriente presenta un apartamiento de las fluctuaciones estadísticas.

A partir de estas curvas, utilizando distintas longitudes de onda, se puede construir el gráfico del potencial retardador V0 en función de ν y de allí se determina h.

Se puede ver que para potenciales de retardo grandes la corriente no es exactamente cero sino que es negativa. Esto se debe al hecho que puede haber depositado potasio (el material del cátodo) en el ánodo. Si la luz incide sobre el potasio depositado en el ánodo se pueden desprender electrones. Estos verán el potencial retardador (para los del cátodo) como acelerador produciendo una corriente negativa y además haciendo difícil determinar el potencial de corte V0.

Para determinar la función trabajo del material se debe graficar la corriente medida como función de la frecuencia con un potencial acelerador fijo. Las curvas son del siguiente tipo:

Figura 4. Variación esquemática de la corriente en función de la frecuencia ν para un potencial aplicado constante V.

Utilizando la ecuación (2) se puede determinar la función trabajo 

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Desarrollo y consignas de la Práctica:

Calibrar el monocromador: Utilizando las líneas conocidas de la lámpara de mercurio, una lámpara de sodio y el láser se debe calibrar la escala del monocromador. Levantar una curva de calibración de frecuencia  en función de la posición del dial, que usarán más adelante. Consultar con el docente sobre las precauciones con los tres tipos de fuentes.

Determinar h: Obtener las curvas de I en función de V para las líneas del mercurio y la lámpara de tungsteno para determinar V0 y así h.

Determinar : Obtener el gráfico de I en función dey determinar  hallando

min.

Apéndices

Amplificador Lock-In

La medición usando amplificadores lock-in es especialmente útil cuando estamos en presencia de señales muy pequeñas. Un amplificador lock-in permite hacer mediciones limpias de señales muy pequeñas obscurecidas por ruido que puede ser miles de veces mayor que la señal misma. Esencialmente, un amplificador lock-in consiste en un filtro pasabanda de ancho angosto, sintonizado con la frecuencia de la señal que queremos medir. Esta sintonía va a hacer que las frecuencias de ruido fuera del ancho de banda sean automáticamente filtradas. Valores típicos son un ancho de banda de 0.01 Hz centrados a 10 Khz. Esto da un factor de mérito para el filtro de ν/ν

=106. Sumado a este efecto de filtro, el amplificador lock-in es un amplificador que provee ganancia, amplificando la señal filtrada.

La técnica de medición con lock-in requiere que el experimento sea excitado a una frecuencia fija para producir una señal a esa frecuencia. El amplificador luego detecta la señal a la frecuencia dada con un ancho de banda angosto.

El lock-in que se usará tiene dos entradas: por una entra la señal que se quiere medir modulada de alguna manera (Por ejemplo con el chopper). Por otro lado el lock- in recibe una señal de referencia a la frecuencia que se quiere filtrar. El amplificador usa esta referencia para determinar que frecuencia debe dejar pasar y amplificar.

Veamos como es el espectro típico (la descomposición de Fourier) de la señal de entrada que le llega al lock-in:

Figura 5. Espectro en frecuencias típico de la señal de entrada.

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En la figura se puede ver que el ruido esta distribuido en todo el espectro. En algunos lugares puede ser más intenso que nuestra propia señal (por ejemplo en los 50 Hz y sus armónicos). Veamos que debe haber un pico en la frecuencia  que corresponde a lo que hayamos modulado. Si escogemos  de manera que en esa parte del espectro el ruido sea chico entonces el lock-in sólo amplificará nuestra señal. Esto mismo no se hubiese podido lograr si lo único que hacemos es amplificar. En este caso amplificaremos todo: señal pero también ruido. Es importante recordar que de alguna manera tenemos que tratar de modular lo que nos interesa medir. Si por equivocación modulamos también el ruido no vamos a lograr mucho con el lock-in.

Puesta a Punto del Lock-In

Parámetros del Lock-In

En el la parte frontal conecte la señal de entrada de la ampolla a “Signal in”, posicione el switch correspondiente en modo I (corriente).

En el la parte frontal conecte la señal de referencia ( proveniente del chopper) en la entrada “Reference in”.

Conecte la señal del potencial retardador a la ampolla. Esta señal se saca de Analog output X5 o X6 en la parte posterior del Lock in.

Configuración del Lock in

 Signal Filters: Son los tres tipos de filtro con los que cuenta el Lock-In. Para la práctica deben estar los tres activados (“in”)

 Sensitividad: Se ajusta constantemente a lo largo de la práctica, conviene tener siempre el mínimo valor posible sin que la señal sature (cuando esto ocurre se enciende una luz de Overload).

 Dynamic Resolution: Es el parámetro asociado con la etapa en que es realizado el filtrado. Para esta práctica debe estar la opción en Low.

 Display: elija X. Cuando se observa X el valor representa la medición de corriente. Si se hace una medición del ruido (noise), se puede estudiar la amplitud del mismo y analizar para que frecuencias del chopper este valor es mínimo (por ejemplo).

 Expand X1

 Rel Off

 Offset Off Lampara

Chopper

Monocromador

Ampolla Fototubo

in Ref

i

X5 RS 232

a PC

Lock in

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 Time Constant: Parámetro asociado con el tiempo de integración, típicamente es 1 segundo para tiempos de adquisición prolongados (mayores a 120 seg.)

 Post 1

 Frequency f ( NO 2f)

Nota: la tasa de adquisición de datos se ajusta mediante el programa de adquisición, el valor máximo en que puede adquirir es de 20 Hz.

Programa de Adquisición de Datos

El Programa se llama Lock-In, y presenta en su pantalla principal el siguiente panel de control:

Run- Stop F1 F2 X-Y Format

Select Y F3 F4 Store/Recall

Scale X F5 F6 Lockin Setup

Scale Y F7 F8 Program D/A

Reset Scan F9 F10 Other

1. F3- Select Y: pulse la tecla F3 para elegir las magnitudes a medir (elija V y la salida X5 (ó X6) que corresponde a donde conecte la señal de tensión retardadora aplicada a la ampolla, según el arreglo experimental puede ser X5 o X6). Mueva el cursor , elija la variable a medir con la flecha hacia abajo (). En el cuadro superior de la pantalla debe ver:

Not Full Locked No Ovld

1 V 2X5 (o X6) 3

2. F5- Scale X: Mediante la función Scale X se elige la escala de tiempo en el eje horizontal. Seleccione una escala de tiempo entre 150 a 300 s. En la ventana de tiempo se visualiza este tiempo (Display Window rango: 10 – 4500 s). Seleccione el Sampling rate = 10 Hz

3. F8- La función Program D/A permite variar los parámetros de la rampa de tensión que servirá como potencial retardador y acelerador durante la experiencia (salidas X5 ó X6). Elija como tensión mínima –5 Volt y como tensión máxima +5 Volts, ( o bien –10 a +10 Volts). Luego elija el tiempo de barrido, se sugiere 150 s. Modo “Single” y escala horizontal “scale linear”.

4. Para una mejor visualización conviene emplear la opción de Escala en el eje Y (F7). Cuando la rampa de tensión alcanzó su valor máximo presionar F1 (Autoescale).

5. Presionando F1 se inicia adquisición y también se detiene la adquisición.

6. Mediante F4 se almacenan los datos en el disco. Los datos se almacena en formato binario. En este formato los datos no pueden ser leídos por los programas estándares (Excel, Origin, etc.). Para transformar a formato

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ASCII los resultados se usa algún programa de conversión de formato: por ejemplo el “Convert.exe”

7. F9 (Clear) se usa “resetear” el “scaneo” de la tensión retardadora.

8. Otras funciones importantes se encuentran presionando F10 (Other), allí nos encontraremos con un panel del siguiente tipo:

Smooth F1 F2 Printer

Calculator F3 F4 Copy

Autophase F5 F6 Cursor

Autogain F7 F8 Exit to Dos

9. Entre estas funciones la opción de Autophase es muy importante para obtener el máximo de señal que podemos medir.

10. Los archivos de salida del programa se reconocen por su extensión “.LID”

(por ejemplo: labo5.lid). Para transformar estos archivos a un formato ASCII y poderlos analizar con cualquier planilla de cálculo se debe emplear el “Convert.exe”

Sugerencias para la puesta a punto del Lock in:

Con la fuente de luz incandescente (Lámpara Dicroica), elija una longitud de onda entre 600 y 500 nm. Observe visualmente si la señal luminosa efectivamente se observa a la salida del monocromador. Coloque la ampolla de modo que reciba esta iluminación sobre su foto cátodo.

Usando F8 elija un potencial retardador positivo, digamos 5V. En esta posición la señal de corriente debería de ser apreciable. Si tiene duda de la presencia de este voltaje, puede usar un multímetro para comprobar su presencia.

Seleccione la escala vertical del Lock in de modo de ver claramente la señal de corriente de la ampolla. Con el selector de fase (Phase) varíe la misma de modo de maximizar la señal. Un modo practico de lograr esto, maximizar la señal, consiste en buscar la fase que minimiza la señal. Una vez encontrada ésta, use el switch 90° y varíe la fase en este valor (90°). Notará que la señal ahora es máxima.

Una vez logrado este estado de operación, ya puede comenzar a medir. Varíe la longitud de onda del monocromador y para cada una de ellas, mida la corriente como función del potencial retardador.

Líneas Características

Usadas para la calibración del monocromador.

Mercurio: azul 435.8 nm

verde 546.0 nm

amarilla 576.9 nm y 579.0 nm

Sodio: amarilla 588.9 nm y 589.5 nm (doblete)

Láser: rojo 632.8 nm

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Apéndice A – Cómo funciona el Lock-in Amplifier

El lock-in amplifier, es un instrumento muy útil en los laboratorios y en la industria. Es particularmente adecuado cuando lo que se pretende medir son señales muy pequeñas en presencia de grandes ruidos. Un requerimiento básico para poder usar un Lock-in es que la señal de entrada esté modulada o tenga una frecuencia 0 bien conocida.

Diagrama esqumatico de un Lock in amplifier

VCO= Voltage Control Oscillator

PSD = Phase Sensitive Detector

Ac Amp= Amplificador lineal de ac, usualmente con un filtro para amplificar selectivamente la señal de frecuencia 0.

Ref. OUT= Salida para monitorear la señal de referencia

Signal Moni= Salida que nos permite monitorear la señal de entrada amplificada y filtrada por el Ac Amp.

Low pass Filter = Filtro pasa bajo, cuyos controles (contante de tiempos) se pueden variar desde el panel de control

DC Amp = Amplificador de la salida de DC proporcional a la señal V0.

Vout= Salida DC proporcional a la señal V0.

Para fijar ideas, supongamos que la señal de entrada consiste en una señal senoidal de frecuencia 0 en presencia de un ruido Vnoise(t) de la forma:

0 0 0 0

0cos ( ) cos ( )cos

)

(t Vt V t Vt V  t d

Vin noise n . (A1)

Suponemos además que el valor cuadrático medio o efectivo del ruido es mucho más grande que la señala de interés, V0, es decir:

2 0 0

2

2 ( )

)

(t V d V

Vnoise

n  . (A2)

Signal Moni Ac Amp

VCO

PSD X

Low Pass

Filter DC

Amp

Ref OUT Ref IN

Signal IN

V OUT

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El símbolo < f(t)>, denota promedio temporal. También supondremos que podemos generar una señal de referencia que puede ser seniodal, cuadrada o triangular, pero que tiene la misma frecuencia que las señales de interés, es decir:

) cos(

) ( )

(tV tE00t

Vref VCO . (A3)

Un componente clave en el lock-in es el módulo Phase Sensitive Detector (PSD) que en esencia lo que hace es multiplicar las señales que recibe, o sea lo que genera el PSD es una señal producto de las señales de entrada y la de referencia. Si suponemos que el amplificador de entrada del lock-in tiene una ganancia G, la señal a la salida del PSD será:

0

0 0

0 0

0 0 0

0

) cos(

cos ) (

) cos(

cos )

( cos

) ( ) ( )

(

d t

t V

GE

t t

E V G t V G t V

G t V t V G t V

n

noise VCO

in PSD

(A4) recordando la relación:

cos cos(2 )

2 ) 1 cos(

cos0t 0t    0t , (A5) como la señal a la salida del PSD pasa por un filtro pasa bajo, que en primera aproximación podemos suponer, da una señal que es el promedio temporal de la salida del PSD, podemos escribir:

0

0 0

0

0 cos ( ) ( )

) 2 ( ) ( )

( GV EGE V     d

t V t V t

VPSD in VCO n , (A6)

o bien:

) ( 2 cos

)

( 0 00 n0

PSD

out GV E GE V

t V

V      . (A7)

Nótese que la única componente del ruido presente en la señal de salida del Lock-in (Vout) es la componente del ruido que tiene exactamente la misma frecuencia que la señal de entrada, es decir de todo el espectro infinito de frecuencias presentes en el ruido, Ec. (A2), ha sido filtrado todas menos la de frecuencia 0. Como en general esta componente, es solo una señal dentro del continuo de ruidos, es de esperar que la misma será menor, o mucho menor, que la señal de interés V0, ya que



0

2 2

0) ( )

( Vd

Vn n . En general la diferencia de fase entre la señal de entrada y la referencia,  es variable; en la práctica se elige dicha fase de modo de maximizar la señal de interés. Una discusión más detallada del funcionamiento de un lock-in puede encontrarse en la ref.(3).

Un aspecto interesante y útil de tener en cuenta, es que el algoritmo descripto más arriba puede aplicarse a situaciones similares. Por ejemplo, imaginemos que usamos un sistema de adquisición de datos por computadora o bien un osciloscópio digital. Por ejemplo el problema en cuestión podría ser determinar la tensión inducida en un secundario o bobina exploradora, a una cierta distancia de otra primaria, que suponemos se excita con una frecuencia conocida 0. Más específicamente, esta señal de referencia:

) cos(

)

(tE00t

Vref . (A8)

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se almacena o guarda en un canal, digamos el canal A. La señal de salida, contaminada con ruido, similar a las señal indicada en la expresión (A1) se almacena en el canal 2.

Por software podemos hacer el producto de estas dos señales ( Vin(t) y Vref(t)) y seguidamente, también por software realizamos el promedio temporal. Claramente este resultado seria el descripto por la expresión (7). Además, si promediamos la señal de entrada con una nueva señal de referencia artificial, de frecuencia ligeramente distinta de 0, digamos0 +d según Eq,. (7) podríamos obtener una estimación del ruido:

)

0 n(

out GE V

V   . (A9)

Si el ruido tiene un espectro suave sin cambios bruscos, la expresión (A9) se podría sustraer de la señal de salida (A9) para la frecuencia de excitación 0 o sea:

 cos

) 2 ( )

(

2 cos 0

0 0

0 0

0

0 GV E

V GE V

GE GV E

Vout     n   n   . (A10)

De este modo podemos medir el valor de la tensión inducida en el secundarios, aún en presencia de mucho ruido. Aquí suponemos que la señal del primario se mide en el canal B. Si en particular, la señal de entrada está relacionada con la de referencia por una admitancia compleja, es decir:

1 2

0

0

0 ( ) E ( ) j ( ) E

V           . (A11)

Por lo tanto

1 0 2 0

0

0 ( ) ( )

)

( E Cos t j Sin t E

Vin               . (A12)

Si ajustamos la fase  para que la señal en fase con la referencia sea máxima, podemos determinar la variación de  como función de la frecuencia. Moviendo el switch de fase a 90º, podemos estudiar la variación de  como función de la frecuencia. De este modo podemos determinar una admitancia compleja usando el lock-in amplifier o bien la técnica correspondiente para analizar los datos, usando como instrumento de medición un osciloscópio digital o un sistema de adquisición de datos por computadora.

Referencias

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