TEORÍA DE COLAS: MODELOS M/M/1/k - M/M/s/k

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(1)

Instrumentos Estadísticos Avanzados

Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada

Profesor: Santiago de la Fuente Fernández

TEORÍA DE COLAS: MODELOS M/M/1/k - M/M/s/k

ƒ Modelo de Cola M/M/1/k

ƒ Modelo de Cola M/M/s/k

(2)
(3)

MODELO DE COLAS  M/M/1/k

Este tipo de sistemas de colas se caracterizan por tener una cola finita, como indica la cuarta inicial de la notación de Kendall.

El número máximo de clientes en el sistema en estos modelos se encuentran limitado a k , que coincide con la suma del número de servidores y el tamaño de la cola, por lo que la capacidad de la cola es (k s)−

El modelo M/M/1/k  es aquel en el que un servidor atiende todas las peticiones, por lo general este modelo se etiqueta como M/M/s/k  para un número genérico de

servidores.

Otra interpretación de este sistema es aquel en la que los clientes que llegan dejan la cola a partir de una determinada longitud ya que no están dispuestos a soportar una larga espera.

En esta situación, sí el sistema está lleno (la capacidad es k) no se permite la entrada de nuevos clientes al sistema. En consecuencia, la tasa de llegada efectiva no es constante y varía con el tiempo (dependiendo sí el sistema está o no lleno):

       λ = λ −ef (1 p )k      donde  

k n

n 0 k

n 0

p . p para n 0, 1, ... , k p 1

=

= ρ =

=

El factor de saturación ρ = λ

μ  determina como varían las probabilidades p  de quen haya n clientes en el sistema.

Sí   1 Los estados más probables son los de menor número de clientes,        dado que la oferta de servicio supera a la demanda.

ρ < →

Sí  ρ = →1 Todos los estados son equiprobables.

Sí   1 Los estados más probables son los de mayor número de clientes,        pues la demanda de servicio supera a la oferta.

ρ > →

Probabilidades del estado: 

n k 1 n

(1 ) .

n 0 , 1, 2, ... , k  

p 1

0 n k 1 , k 2, ...

+

⎧ − ρ ρ

⎪ =

=⎨ − ρ

⎪ = + +

En este caso,  la solución para el estado estacionario existe incluso sí ρ ≥1.

Intuitivamente esto se debe a que la limitación de la capacidad del sistema provoca que éste no se desborde.

Tasa de llegada efectiva: 

(1 ) . k

. (1 p ) ⎡1 − ρ ρ+

λ = λ − = λ ⎢ − ⎥

(4)

Número promedio de clientes en el sistema:   

k

s n

n 0

L n . p

=

=

Número promedio de clientes en el sistema: 

k 1 k 1 s

(k 1).

(1 ) 1 1

L k

2 1

+ +

⎧ ρ + ρ

− ρ ≠

⎪⎪ −ρ − ρ

= ⎨⎪⎪⎩ ρ =

Número medio de clientes en cola:  

k

q n

n 2

L (n 1) . p

=

=

Número promedio de clientes en la cola: 

k

s k 1

q s 0

(1 ) .

L 1

L L (1 p ) 1

k . (k 1) 2 . (k 1) 1

+

⎧ − − ρ ρ ρ ≠

⎪ − ρ

= − − = ⎨⎪⎪ − ρ =

⎪ +

Tiempo promedio de estancia en el sistema:   s s

ef

W = L λ

Tiempo promedio de espera en la cola:   q s 1 W =W −

μ    o    q q

ef

W = L λ Longitud de la cola:   Lq = λef.Wq

(5)

MODELO DE COLAS  M/M/s/k

En algunos sistemas la cola no puede albergar a un número indefinido de clientes. En este caso se dice que el sistema es de capacidad limitada.

El límite lo fija el parámetro k que incluye a los servidores.

Las tasas de llegada y servicio son:

n n

n 0 , , k s 1      n. n 1 , , s      

0 n k s , k s 1 , s . n s 1 , s 2 ,

λ = + − μ =

⎧ ⎧

λ = ⎨⎩ = + + + μ =⎨⎩ μ = + +

" "

" "

Las probabilidades de cada estado del sistema: 

s .

⎛ λ ⎞

⎜ρ = μ⎟

⎝ ⎠

0 s n k n

n s

n 0 n s 1

p 1

k! k! 1

. . .

(k n)! n! (k n)! s! . s

= = +

=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠λμ +

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠λμ

n 0

n n

n s 0

k! . . p 0 n s

(k n)! n!

p k! 1

. . . p n s

(k n)! s! . s

⎧ ρ ≤ ≤

⎪ −

= ⎨⎪

⎪ ρ ≥

⎪ −⎩

Número medio de clientes en cola:  

k

q n

n s 1

L (n s) . p

= +

=

s

k s k s

q 2 0

L 1 . . . p . 1 (k s) . . (1 )

s! (1 )

⎛ ⎞λ ρ ⎡ ⎤

= ⎜ ⎟⎝ ⎠μ − ρ ⎣ − ρ − − ρ − ρ ⎦

Número medio de clientes en el sistema:  

k

s n q ef

n 0

L n . p L

=

= = + λ

μ Tasa efeciva:   λ = μef . (Ls− L )q

Tasa media de llegada (entrada efectiva):  λ = λef . (k L )− s Tiempo medio de clientes en cola:   q q

ef

W = L λ

Tiempo medio de clientes en el sistema:   s s

ef

W = L λ

(6)

  En un taller mecánico llegan vehículos para una puesta a punto antes de pasar la ITV, las llegadas siguen un proceso de Poisson de promedio 18 vehículos/hora.

Las dimensiones del taller sólo permiten que haya 4 vehículos, y las ordenanzas

municipales no permiten esperar en la vía pública. El taller despacha un promedio de 6 vehículos/hora de acuerdo con una distribución exponencial. Se pide:

a)  ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún vehículo en el taller?

b)  ¿Cuál es el promedio de vehículos en el taller?

c)  ¿Cuánto tiempo pasa por término medio un vehículo en el taller?

d)  ¿Cuánto tiempo esperan por término medio los vehículos en la cola?

e)  ¿Cuál es la longitud media de la cola?

Solución:

a)  Es un modelo de cola  M/M/1/k   con  k=4 vehículos

Hay un sola cola, con disciplina FIFO, la capacidad del sistema es limitada, de modo que sólo puede haber 4 vehículos como máximo en el taller, con lo cual el número máximo de vehículos en la cola es (4 1)− . Las llegadas siguen un proceso de Poisson de

parámetro λ =18 vehículos/hora, los tiempos entre llegadas se distribuyen exponencialmente Exp(λ =18), los tiempos entre servicios se distribuyen

exponencialmente Exp(μ =  siendo 6) μ =6 vehículos/hora el número medio que el taller (servidor) es capaz de atender.

El factor de saturación   18 6 3 ρ = =λ =

μ   determina como varían las probabilidades pn de que haya n vehículos en el sistema.

Probabilidad de que no haya ningún vehículo en el taller:

0 k 1 5

1 1 3

p 0,008264

1 3

1 +

− ρ −

= = =

− ρ

b)  Promedio de vehículos en el taller (sistema):

k 1 5

s k 1 5

(k 1) . 3 5 3x 3 1215

L 3,5207 vehículos

1 1 1 3 1 3 2 242

+ +

ρ + ρ

= − = − = − + =

− ρ − ρ − −

c)  Tiempo promedio de un vehículo en el taller:   s s

ef

W = L λ Tasa de llegada efectiva:

k 4

ef k 1 5

(1 ) . (1 3) . 3

1 18 1 5,9501 vehículos/hora

1 + 1 3

⎡ − ρ ρ ⎤ ⎡ − ⎤

λ = λ ⎢⎣ − − ρ ⎥⎦= ⎢⎣ − − ⎥⎦=

(7)

s s ef

L 3,5207

W 0,5917 horas

5,9501

= = =

λ

d)  Tiempo medio de espera en la cola de vehículos:

q s

1 1

W W 0,5917 0,4250 horas

= − = − =6

μ

e)  Longitud de la cola:   Lq = λef . Wq =5,9501 x 0,4250 2,5289 vehículos= o bien,  

k 4

q s k 1 5

(1 ) . (1 3 ) . 3

L L 3,52 2,5289 vehículos

1 3

1 +

− ρ ρ −

= − = − =

− ρ

(8)
(9)

COLA FINITA:  INVESTIGACIÓN

Un grupo de investigadores, formado por seis personas, dispone de dos terminales para realizar cálculos. El trabajo promedio de cálculo requiere de 20 minutos de tiempo de terminal, y el tiempo promedio entre solicitudes de servicio es de 30 minutos. Se supone que estas solicitudes están distribuidas exponencialmente. Se desea saber:

a) Número estimado de investigadores que esperan utilizar una terminal.

b) Tiempo total perdido diariamente si se considera una jornada de 8 horas.

c) Medidas de rendimiento.

Se trata de una modelo de cola M/M/2/k  con k=6investigadores Tasa de llegada:  60

2 clientes/hora

λ = 30 =        Tasa de servicio:  60

3 clientes/hora μ = 20 =

a)

Número medio de investigadores que esperan utilizar una terminal:

        

k 6

q n n 3 4 5 6

n s 1 n 3

L (n s) . p (k 2) . p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . p

    1 . 0,2380 2 . 0,2380 3 . 0,1587 4 . 0,0529 1,4017 investigadores

= + =

= = = + + + =

= + + + =

∑ ∑

  b)  Tiempo perdido diariamente 8 . Lp =8 . 1,4017 11,2136 horas=

(10)

c)  Número medio de investigadores que esperan utilizar una el sistema:

6

s n 1 2 3 4 5 6

n 1

L n . p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . p 5 . p 6 . p

    1 . 0,1071 2 . 0,1785 3 . 0,2380 5 . 0,1587 6 . 0,0529 3,2410 investigadores

=

= = + + + + + =

= + + + + =

Tasa efeciva:   

k

ef

s n q ef s q

n 0

L n . p L . (L L )

=

= = +λ → λ = μ

μ

ef . (Ls L )q 3 . (3,241 1,4017) 5,518

λ = μ = =

Tasa media de llegada (entrada efectiva):  λ = λef . (k L ) 2 . (6 3,2410) s = =5,518

Tiempo medio de clientes en cola:   q q

ef

L 1,4017

W 0,2540 horas

5,518

= = =

λ Tiempo medio de clientes en el sistema:   s s

ef

L 3,2410

W 0,5873 horas

5,518

= = =

λ

(11)

   Un taller utiliza 10 máquinas idénticas. Cada máquina deja de funcionar en promedio una vez cada 7 horas. Un operario puede reparar una máquina en

4 horas en promedio, pero el tiempo de reparación real varía según una distribución exponencial.

Interpretar y comparar las respuestas:

a)   El número mínimo de mecánicos que se necesita para que el número estimado de máquinas que fallan sea menor que 4

b)   El número mínimo de mecánicos que se necesita, de manera que la demora esperada hasta que se repare una máquina sea menor que 4 horas

Solución:

a) Es un modelo de cola  M/M/1/k   con k 10 máquinas= 1 maquina/hora 0,1428 maquina/hora

λ = 7 =

1 maquina/hora 0,25 maquina/hora

μ = 4 =

Factor de saturación:   4

0,5714 7

ρ = = =λ μ

Número promedio de máquinas en el sistema:

k 1 11

s k 1 11

(k 1) . 0,5714 11 . 0,5714

L 1,3098

(1 ) 1 (1 0,5714) 1 0,5714

+ +

ρ + ρ

= − = − =

− ρ − ρ − −

Tiempo promedio de estancia en el sistema:

s s

L 1,3098

W 9,1722

0,1428

= = =

λ  horas

Con 1 mecánico hay 1,31 máquinas que no funcionan en el sistema, es menor que 4 b)  Tiempo promedio de estancia en la cola:   Wq < horas4

Si es un mecánico:   q s 1 1

W W 9,1722 5,1722

= − = −0,25=

μ

•  Si son 2 mecánicos es un modelo de cola M/M/2/10  con población finita

0 s k

n n

n s

n 0 n s 1

p 1

k! k! 1

. . .

(k n)! n! (k n)! s! . s

= = +

=

ρ + ρ

− −

∑ ∑

(12)

n 0

n n

n s 0

k! . . p 0 n s

(k n)! n!

p k! 1

. . . p n s

(k n)! s! . s

⎧ ρ ≤ ≤

⎪ −

= ⎨⎪

⎪ ρ ≥

⎪ −⎩

0 2 10

n n

n s

n 0 n 3

p 1

10! 10! 1

. 0,5714 . . 0,5714

(10 n)! n! (10 n)! 2! . 2

1 1

    0,00115

20,4064 847,6732 868,0796

= =

= =

− + −

= = =

+

∑ ∑

2

n 2

n 0

10! 10! 10! 10!

. . 0,5714 . 0,5714 20,40641

(10 n)! n! 10! 10! 9! 1! 8! 2!

=

• ρ = + + =

10

n 3 4

n s 2

n 3

10! 1 10! 1 10! 1

. . 0,5714 . . 0,5714 . . 0,5714

(10 n)! 2! . 2 7! 2! . 2 6! 2! . 2

=

• = + +

5 6 7

3 4 5

10! 1 10! 1 10! 1

. . 0,5714 . . 0,5714 . . 0,5714

5! 2! . 2 4! 2! . 2 3! 2! . 2

= + + +

8 9 10

6 7 8

10! 1 10! 1 10! 1

. . 0,5714 . . 0,5714 . . 0,5714 847,6732

2! 2! . 2 1! 2! . 2 0! 2! . 2

+ + + =

2

1 2

10! 10!

p . 0,5714 . 0,00115 0,0065 p . 0,5714 . 0,00115 0,0169

9! 1! 8! 2!

• = = = =

3

3 3 2

4

4 4 2

5 6 7 8 9 10

10! 1

p . . 0,5714 . 0,00115 0,0386

7! 2! 2

10! 1

p . . 0,5714 . 0,00115 0,0772

6! 2! 2

p 0,1324 p 0,1892 p 0,2162 p 0,1853 p 0,1059 p 0,0302

• = =

= =

= = = = = =

Número promedio de máquinas en el sistema:

k 10

s n s n

n 0 n 0

L n . p L n . p 6,513

= =

=

→ =

=

Tasa de no funcionamiento efectivo:  λ = λef . (k L ) 0,1428 (10 6,513) 0,4979− s = − = Tiempo promedio de estancia en el sistema:   s s

ef

L 6,513

W 13,081

0,4979

= = =

λ  horas

(13)

  Un asesor fiscal dispone de un local para atender a sus clientes, los cuales se concentran mayoritariamente entre los meses de mayo y junio. El local tiene una capacidad máxima de 8 asientos en espera, el cliente se va si no encuentra un asiento libre, y el tiempo entre llegada de clientes se puede considerar distribuido

exponencialmente según un parámetro λ =20 clientes por hora en período punta.

El tiempo de una consulta esta distribuido exponencialmente con una media de 12 minutos.

¿Cuántas consultas por hora realizará en promedio?

¿Cuál es el tiempo medio de permanencia en el local?

Solución:

Es un modelo M/M/1/9     k 8 clientes espera   1 cliente atendido= + 20 clientes/hora 60 5 clientes/hora

λ = μ = 12 =

El factor de saturación  20 5 4 ρ = =λ =

μ  determina como varían las probabilidades p  den que haya n clientes en el sistema.

Probabilidades del estado:  

n 9

n k 1 9 10

(1 ) . (1 4) . 4

p p 0,75

1 4

1 +

− ρ ρ −

= → = =

− ρ Tasa media de llegada (entrada efectiva):

ef .(1 p ) 20 . (1 0,75) 5k

λ = λ − = − =  clientes/hora

Promedio de clientes en el sistema:

k 1 10

s k 1 10

(k 1) . 4 10 4x

L 8,6667 clientes

1 1 1 4 1 4

+ +

ρ + ρ

= − = − =

− ρ − ρ − −

Tiempo promedio de estancia en el sistema:   s s

ef

L 8,6667

W 1,7333  horas

= = 5 =

λ

(14)
(15)

9

s n

n 0

L n . p 3 . 0,0002 4 . 0,0007 5 . 0,0029 6 . 0,0117 7 . 0,0469 8 . 0,1875        9 . 0,7500 8,6667

=

= = + + + + + +

+ =

9

q n

n 2

L (n 1) . p 1 . 0,0000 2 . 0,0002 3 . 0,0007 4 . 0,0029 5 . 0,0117 6 . 0,1875        7 . 0,1875 8 . 0,7500 7,6667

=

= = + + + + + +

+ + =

ef .(1 p ) 20. (1 0,75)9 5

λ = λ = =

s s

ef

L 8,6667

W 1,7333  horas

= = 5 =

λ

q q

ef

L 7,6667

W 1,5333  horas

= = 5 =

λ

(16)
(17)

Instrumentos Estadísticos Avanzados

Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada

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