Diferencias Finitas. Problemas de Valor Inicial

(1)

Diferencias Finitas

Problemas de Valor Inicial

Modelaci´ on computacional en las ciencias y las ingenier´ıas como apoyo en el proceso ense˜ nanza-aprendizaje

(PAPIME-PE101019)

Instituto de Geof´ısica

Universidad Nacional Aut´ onoma de M´ exico

Esta obra est´a bajo unaLicencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

(2)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

©LMCS (IGEF–UNAM) PAPIME–PE101019 2019–2021 2 / 42

(3)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

(4)

Problemas de Valor Inicial

Las ecuaciones diferenciales que modelan problemas de la ciencia y la ingenier´ıa involucran el cambio de alguna variable con respecto a otra. La mayor´ıa de estos problemas requieren de la soluci´ on de un problema de valor inicial, es decir, la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial que satisface una condici´ on inicial dada:

IVP (Initial Value Problem) Aproximar la soluci´ on y(t) al problema:

dy(t)

dt = f (t, y), para a ≤ t ≤ b sujeto a la condici´ on inicial y(a) = α

En muchos casos las soluciones anal´ıticas a los problemas de valor inicial no pueden encontrarse, por lo que se usan m´ etodos num´ ericos para aproximar sus soluciones.

(5)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

(6)

M´ etodo de Euler

El m´ etodo de Euler es el m´ as sencillo para obtener soluciones

aproximadas al problema de valor inicial bien planteado que se escribe como:

dy

dt = f (t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α (1) Podemos aproximar la soluci´ on en N _t pasos de tiempo igualmente espaciados en [a, b], estos puntos se definen como sigue: t n = a + n ∗ h t

para n = 0, 1, 2, . . . , N t , donde h t = (b − a)/N t es el tama˜ no del paso (stepsize).

(7)

Supongamos que el problema (1) tiene una soluci´ on ´ unica y(t) y que adem´ as tiene dos derivadas continuas en [a, b], de tal manera que para cada n = 0, 1, 2, . . . , N t − 1 tenemos la siguiente expansi´ on en series de Taylor:

y(t _n+1 ) = y(t _n ) + (t _n+1 − t _n ) dy

dt (t _n ) + (t _n+1 − t _n ) ² 2

d ² y dt ² (ξ _n ) para alg´ un n´ umero ξ _n ∈ (t _n − t _n+1 ). Dado que y(t) satisface la ecuaci´ on diferencial (1) y como h t = (t n+1 − t _n ) entonces podemos escribir:

y(t _n+1 ) = y(t _n ) + h _t f (t _n , y(t _n )) + h ² _t

2 y ⁰⁰ (ξ _n ) (2)

(8)

Forward Euler

El m´ etodo de Euler hacia adelante (forward ) consiste en eliminar el

´

ultimo t´ ermino de la ecuaci´ on (2) de tal manera que, definiendo y _n = y(t _n ) tenemos lo siguiente

y ₀ = y(a) = α

y n+1 = y n + h t f (t n , y n ), para n = 0, 1, 2, . . . , N t − 1 (3) La ecuaci´ on (3) proporciona una aproximaci´ on a la soluci´ on del

problema (1) en el paso t _n+1 y se conoce como la ecuaci´ on en diferencias. Este m´ etodo:

• Es expl´ıcito.

• Es barato.

• Es f´ acil de implementar.

• Es condicionalmente estable

(9)

Backward Euler

Es posible derivar un m´ etodo de Euler hacia atr´ as (Backward Euler) el cual se escribe como:

y

₀

= y(a) = α

y

n+1

= y

n

+ h

t

f (t

n+1

, y

n+1

), para n = 1, 2, . . . , N

t

− 1 (4) Obs´ ervese que:

• Esta f´ ormula es impl´ıcita.

• El costo por paso puede ser mayor que en el caso de Forward Euler.

• En general es m´ as dif´ıcil de implementar.

• Este m´ etodo es m´ as estable que el Forward Euler.

(10)

Ejercicio 6: Decaimiento radiocativo

La ley de decaimiento radioactivo dice que la masa de una substancia radioactiva decae a una raz´ on que es proporcional a la cantidad de masa que est´ a presente. Si y(t) expresa la cantidad de substancia en el tiempo t, entonces la ley de decaimiento se expresa como:

dy(t)

dt = −λy(t), para 0 < t < T

max

y(0) = y

0

(condici´ on inicial)

donde y

0

representa la cantidad de susbtancia inicial, T

max

= h

t

∗ N

t

y λ > 0. La soluci´ on exacta es: y(t) = y

0

e

^−λt

.

1 Aproximar el decaimiento radioctivo usando los m´ etodos forward Euler y backward Euler :

a Escribir y analizar las f´ ormulas de los m´ etodos.

b Implementar los m´ etodos en Python.

c Mostrar el comportamiento de ambos m´ etodos para λ = 1.5, y

₀

= 20, T

_max

= 10 y N

_t

= 7, 8, 9, 10, 20.

d ¿Cu´ antos pasos de tiempo (N

_t

) se necesitan para que el error sea menor que 1.0 en cada m´ etodo?

Entregue su c´ odigo documentado en una notebook de nombre E06 decaimiento.ipynb.

(11)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.a

Forward Euler:

y

n+1

= y

n

− h

t

λy

n

=⇒ y

n+1

= (1 − h

t

λ) y

n

Paso 1: y

1

= A y

0

Paso 1: y

2

= A

²

y

0

. . . . . . . . . Paso N

t

: y

n+1

= A

^N^t

y

0

Donde: A = (1 − h

t

λ). Obs´ ervese que si existe un error en y

i

, ese error se multiplica por A al calcular y

i+1

. Si

|A| > 1 dicho error podr´ıa llevar a la no convergencia del m´ etodo.

Backward Euler:

y

n+1

= y

n

− h

t

λy

n+1

=⇒ y

n+1

= (1 + h

t

λ)

⁻¹

y

n

Paso 1: y

1

= B y

0

Paso 1: y

2

= B

²

y

0

. . . . . . . . . Paso N

t

: y

n+1

= B

^N^t

y

0

Donde: B = (1 + h

t

λ)

⁻¹

. Obs´ ervese que

si existe un error en y

i

, ese error se

multiplica por B al calcular y

i+1

, pero

B < 1 en todos los casos, por lo que el

m´ etodo es estable.

(12)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.b

Nota: implemente el siguiente c´ odigo y documente usando docstring. Agregue el c´ odigo corrrespondiente para realizar las gr´ aficas que se muestran en las siguientes p´ aginas.

def m e s h ( a , b , Nt ):

ht = ( b - a ) / Nt r e t u r n ht

def e x a c t S o l u t i o n ( t , y0 , lam ):

r e t u r n y0 * np . exp ( - lam * t )

def f o r w a r d E u l e r ( y , ht , lam ):

A = 1 - ht * lam An = [ A ]

for i , val in e n u m e r a t e( y [ 0 : - 1 ] ) : y [ i +1] = A * y [ i ]

An . a p p e n d ( An [ i ] * A ) r e t u r n An

def b a c k w a r d E u l e r ( y , ht , lam ):

B = 1 /(1 + ht * lam ) Bn = [ B ]

for i , val in e n u m e r a t e( y [ 0 : - 1 ] ) : y [ i +1] = B * y [ i ]

Bn . a p p e n d ( Bn [ i ] * B ) r e t u r n Bn

Nt = 6 T m a x = 10

ht = m e s h (0 , Tmax , Nt ) y0 = 20

lam = 1.5

t = np . l i n s p a c e (0 , Tmax , Nt +1) yf = np . z e r o s ( Nt +1)

yb = np . z e r o s ( Nt +1)

yf [0] = y0 yb [0] = y0

e r r o r _ f = f o r w a r d E u l e r ( yf , ht , lam ) e r r o r _ b = b a c k w a r d E u l e r ( yb , ht , lam )

tl = np . l i n s p a c e (0 , Tmax , 1 0 0 ) y _ e x a c t a = e x a c t S o l u t i o n ( tl , y0 , lam ) y _ e x a c _ p = e x a c t S o l u t i o n ( t , y0 , lam )

e r r o r _ f = np . l i n a l g . n o r m ( yf - y _ e x a c _ p ,2) e r r o r _ b = np . l i n a l g . n o r m ( yb - y _ e x a c _ p ,2)

(13)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.c

0 2 4 6 8 10

t 30

20 10 0 10 20 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 7, h

t

= 1.43, Error: FE = 97.265882144, BE = 4.429308736

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

1 2 3 4 5 6 7

n 3

2 1 0 1 2 3

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

El m´ etodo forward Euler (FE) es inestable y diverge. El m´ etodo backward Euler (BE) es muy estable y se obtiene una buena soluci´ on aunque imprecisa con un error de ∼ 4.43. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, reflejan el

comportamiento de cada

soluci´ on.

(14)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.c

0 2 4 6 8 10

t 30

20 10 0 10 20 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 8, h

t

= 1.25, Error: FE = 35.449598858, BE = 4.428349749

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

1 2 3 4 5 6 7 8

n 1.0 0.8

0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

La h

t

se reduce, por lo que el m´ etodo FE ya no diverge, pero es inestable de tal manera que oscila.

El m´ etodo BE sigue estable, observe que el error es similar al del caso anterior. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, se mantienen entre −1 y 1, es decir |A

ⁿ

| < 1 y

|B

ⁿ

| < 1.

(15)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.c

0 2 4 6 8 10

t 30

20 10 0 10 20 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 9, h

t

= 1.11, Error: FE = 20.592451368, BE = 4.389771777

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

1 2 3 4 5 6 7 8 9

n 0.8 0.6

0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

La h

t

es a´ un menor, pero el m´ etodo FE sigue oscilando, aunque menos que en el caso anterior. El m´ etodo BE sigue estable, observe que el error es del mismo orden que el caso anterior. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, muestran una reducci´ on y se sigue cumpliendo

|A

ⁿ

| < 1 y |B

ⁿ

| < 1.

(16)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.c

0 2 4 6 8 10

t 30

20 10 0 10 20 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 10, h

t

= 1.00, Error: FE = 15.316185442, BE = 4.330108267

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 0.5 0.4

0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

La h

t

es a´ un menor, el m´ etodo FE oscila menos que en el caso anterior y el error se ha reducido. El m´ etodo BE sigue estable, observe que el error es del mismo orden que el caso anterior. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, muestran una reducci´ on y observe ahora que

|A

ⁿ

| < 0.5 y |B

ⁿ

| < 0.5.

(17)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.c

0 2 4 6 8 10

t 30

20 10 0 10 20 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 20, h

t

= 0.50, Error: FE = 5.867683225, BE = 3.612508004

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

Finalmente el m´ etodo FE ya no oscila y su

comportamiento es similar al m´ etodo BE, a partir de ahora parece que los errores comienzan a reducirse en ambos casos conforme se aumenta N

t

. De igual manera las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

tienen un comportamiento similar y se mantienen en

|A

ⁿ

| < 1 y |B

ⁿ

| < 1.

(18)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.d

0 2 4 6 8 10

t 10 5 0 5

10 15 20 25 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 367, h

t

= 0.03, Error: FE = 1.023147849, BE = 0.999034497

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

0 50 100 150 200 250 300 350

n 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

Se requiere de N

t

= 367 para que el m´ etodo BE tenga un error menor que 1. Sin embargo ambos m´ etodos presentan un compartamiento similar con un error muy parecido. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, se mantienen en |A

ⁿ

| < 1 y

|B

ⁿ

| < 1.

(19)

Ejercicio 6: Soluci´ on 1.d

0 2 4 6 8 10

t 10 5 0 5

10 15 20 25 30

y( t)

y(t) = y

0

e

^λt

, N

t

= 384, h

t

= 0.03, Error: FE = 0.999700114, BE = 0.977171230

Sol. Exacta Forward Euler Backward Euler

0 50 100 150 200 250 300 350

n 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

A

n

, B

n

Aⁿ Bⁿ

Decaimiento Radioactivo

Se requiere de N

t

= 384 para que el m´ etodo FE tenga un error menor que 1. Sin embargo ambos m´ etodos presentan un compartamiento similar con un error muy parecido. Las gr´ aficas de los coeficientes de cada m´ etodo, A

ⁿ

y B

ⁿ

, se mantienen en |A

ⁿ

| < 1 y

|B

ⁿ

| < 1.

(20)

Ejercicio 6: C´ odigo para los gr´ aficos

E c u a c i o n = ’ $y(t) = y_0 e ^{\ lambda t}$,’ + ’ $N_t$ ’ + ’= {} ’.f o r m a t( Nt ) + \

’ , $h_t$ ’ + ’= {:03.2 f}’.f o r m a t( ht )

E r r o r = ’ , E r r o r : FE = { : 1 0 . 9 f } , BE = { : 1 0 . 9 f } ’ .f o r m a t( n o r m a _ e r r o r _ f , n o r m a _ e r r o r _ b )

plt . s t y l e . use ([ ’ S o l a r i z e _ L i g h t 2 ’ ]) fig , ( ax1 , ax2 ) = plt . s u b p l o t s (2 ,1)

fig . s u p t i t l e ( ’ D e c a i m i e n t o R a d i o a c t i v o ’ , f o n t s i z e = 1 4 ) ax1 . p l o t ( tl , y _ e x a c t a , ’g - ’ , lw =3 , l a b e l = ’ Sol . E x a c t a ’ ) ax1 . p l o t ( t , yf , ’ C7o - - ’ , l a b e l = ’ F o r w a r d E u l e r ’ ) ax1 . p l o t ( t , yb , ’ C6o - - ’ , l a b e l = ’ B a c k w a r d E u l e r ’ )

ax1 . s e t _ t i t l e ( E c u a c i o n + Error , f o n t s i z e =12 , c o l o r = ’ b l u e ’ ) ax1 . s e t _ x l i m ( -0.5 , t [ - 1 ] + 0 . 5 )

ax1 . s e t _ y l i m ( -30 ,30) ax1 . s e t _ x l a b e l ( ’$t$ ’) ax1 . s e t _ y l a b e l ( ’$y(t)$’)

ax1 . l e g e n d ( loc = ’ u p p e r r i g h t ’ , n c o l =1 , f r a m e a l p h a =0.75 , f a n c y b o x = True , f o n t s i z e = 1 0 ) ax1 . g r i d ( c o l o r = ’ w ’ )

n t i c k s = np . a r a n g e (1 , Nt +1 ,1)

ax2 . p l o t ( nticks , An [: -1] , ’ C7v - ’ , l a b e l = ’$A^n$ ’) ax2 . p l o t ( nticks , Bn [: -1] , ’ C6 ^ - ’ , l a b e l = ’$B^n$ ’) ax2 . s e t _ x l i m ( -0.5 , Nt + 0 . 5 )

ax2 . s e t _ x t i c k s ( n t i c k s ) ax2 . s e t _ x l a b e l ( ’$n$ ’)

ax2 . s e t _ y l a b e l ( ’$A^n$ , $B^n$ ’)

ax2 . l e g e n d ( loc = ’ u p p e r r i g h t ’ , n c o l =1 , f r a m e a l p h a =0.75 , f a n c y b o x = True , f o n t s i z e = 1 0 ) ax2 . g r i d ( c o l o r = ’ w ’ )

plt . s u b p l o t s _ a d j u s t ( h s p a c e = 0 . 3 5 )

plt . s a v e f i g ( ’ d e c a i m i e n t o _ N t _ {}. pdf ’ .f o r m a t( Nt )) plt . s h o w ()

(21)

Ejercicio 7: Decaimiento radiocativo con λ = 2.0

Resuelva el mismo problema del ejercicio 6, pero ahora use λ = 2.0 y conteste lo siguiente:

1 ¿Para qu´ e valor de N

t

el m´ etodo FE converge?

2 ¿Para qu´ e valor de N

t

el m´ etodo FE deja de oscilar?

3 ¿Para qu´ e valor de N

t

el m´ etodo BE tiene un error menor a 3.0?

4 ¿Para qu´ e valor de N

t

el m´ etodo FE tiene un error menor a 3.0?

Entregue su c´ odigo documentado en una notebook de nombre E07 decaimiento.ipynb.

(22)

Ejercicio 8: Equaci´ on log´ıstica

En el estudio de crecimiento de poblaciones, limitadas por competencia por alimentos, se tiene un modelo matem´ atico conocido como la ecuaci´ on log´ıstica:

dy(t)

dt = λy(1 − y), para 0 < t < T

max

y(0) = y

0

(condici´ on inicial)

donde y

0

es la poblaci´ on inicial, λ > 0 y T

max

= h

t

∗ N

t

. Obs´ ervese que en este caso la ecuaci´ on es no lineal, pues del lado derecho aparece un t´ ermino con y

²

. La soluci´ on exacta es: y(t) = y

0

y

0

+ (1 − y

0

)e

^−λt

.

1 Aproximar el crecimiento de la poblaci´ on usando el m´ etodo forward Euler .

1 Escribir la f´ ormula del m´ etodo para este caso e implementarla en Python.

2 Reproducir la gr´ afica que se muestra en la siguiente l´ amina para λ = 10, y

0

= 0.01 y N

t

= 4, 16 y 64.

Entregue su c´ odigo documentado en una notebook de nombre E08 logistica.ipynb.

(23)

Ejercicio 8: Equaci´ on log´ıstica

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y(t)

y(t) = y0

y0 + (1 y0)e

^t

Sol. Exacta

N

t

= 4, Error: 0.74879

N

t

= 16, Error: 0.45282

N

t

= 64, Error: 0.23659

Función logística

(24)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

(25)

M´ etodos de Runge-Kutta

El m´ etodo de Euler es de orden O(h _t ). Es posible obtener m´ etodos de

´

ordenes mayores, varios de ellos son conocidos como m´ etodos de Runge-Kutta.

M´ etodo de Runge-Kutta de orden dos (punto medio)

w ₀ = α (condici´ on inicial) k ₁ = h _t f (t _n , w _n )

w _n+1 = w _n + h _t f (t _n + h _t /2, w _n + k ₁ /2) para n = 0, 1, . . . , N t − 1

Este m´ etodo es de orden O(h ² _t ).

(26)

M´ etodos de Runge-Kutta

M´ etodo de Runge-Kutta de orden tres (Heun)

w ₀ = α (condici´ on inicial) k 1 = h t f (t n , w n )

k 2 = h t f (t n + h t /3, w n + k 1 /3) k 3 = h t f (t n + 2h t /3, w n + 2k 2 /3) w _n+1 = w _n + (k ₁ + 3k ₃ ) /4

para n = 0, 1, . . . , N _t − 1

Este m´ etodo es de orden O(h ³ _t ).

(27)

M´ etodos de Runge-Kutta

M´ etodo de Runge-Kutta de cuarto orden

w 0 = α (condici´ on inicial) k 1 = h t f (t n , w n )

k 2 = h t f

t n + h _t

2 , w n + 1 2 k 1

k 3 = h t f

t n + h t

2 , w n + 1 2 k 2

k 4 = h t f (t n+1 , w n + k 3 ) w _n+1 = w _n + 1

6 (k ₁ + 2k ₂ + 2k ₃ + k ₄ ), para n = 0, 1, . . . , N _t − 1

Este m´ etodo es de orden O(h ⁴ _t ).

(28)

Ejercicio 9: M´ etodos de Runge-Kutta Considere el siguiente problema:

dy

dt = y − t

²

+ 1 en 0 ≤ t ≤ 4 y(0) = 0.5

Cuya soluci´ on exacta es: y(t) = (t + 1)

²

− 0.5e

^t

.

Para h

t

= 1.0, 0.5, 0.25, 0.125 (N

t

= 4, 8, 16, 32), realice lo siguiente:

1 Aproximar la soluci´ on del problema con:

• M´ etodo de Euler.

• M´ etodo de Runge-Kutta de orden 2.

• M´ etodo de Runge-Kutta de orden 3.

• M´ etodo de Runge-Kutta de orden 4.

2 En una figura, grafique la soluci´ on exacta y comp´ arela con las soluciones num´ ericas obtenidas con cada m´ etodo.

3 En otra figura, grafique el error y explique el comportamiento de cada m´ etodo.

Entregue su c´ odigo documentado en una notebook de nombre E09 Runge-Kutta.ipynb.

(29)

Ejercicio 9: Soluci´ on (1)

Nota: implemente el siguiente c´ odigo y documente usando docstring.

def m e s h ( a , b , Nt ):

ht = ( b - a ) / Nt r e t u r n ht

def f ( t , y ):

r e t u r n y - t **2 + 1

def E x a c t a ( t ):

r e t u r n ( t + 1 ) * * 2 - 0.5 * np . exp ( t )

def E u l e r ( f , t , w , ht ):

for i , val in e n u m e r a t e( w [ 0 : - 1 ] ) : w [ i +1] = w [ i ] + ht * f ( t [ i ] , w [ i ]) t [ i +1] = t [0] + ( i +1) * ht

def RK2 ( f , t , w , ht ):

for i , val in e n u m e r a t e( w [ 0 : - 1 ] ) : k1 = ht * f ( t [ i ] , w [ i ]) w [ i +1] = w [ i ] +

ht * f ( t [ i ] + ht * 0.5 , w [ i ] + k1 * 0 . 5 ) t [ i +1] = a + ( i +1) * ht

def RK3 ( f , t , w , ht ):

for i , val in e n u m e r a t e( w [ 0 : - 1 ] ) : k1 = ht * f ( t [ i ] , w [ i ]) k2 = ht * f ( t [ i ] + ht /3 ,

w [ i ] + k1 / 3) k3 = ht * f ( t [ i ] + 2 * ht / 3 ,

w [ i ] + 2 * k2 / 3) w [ i +1] = w [ i ] + ( k1 + 3 * k3 ) / 4 t [ i +1] = a + ( i +1) * ht

def RK4 ( f , t , w , ht ):

for i , val in e n u m e r a t e( w [ 0 : - 1 ] ) : k1 = ht * f ( t [ i ] , w [ i ]) k2 = ht * f ( t [ i ] + ht /2 ,

w [ i ] + k1 / 2) k3 = ht * f ( t [ i ] + ht /2 ,

w [ i ] + k2 / 2) k4 = ht * f ( t [ i ] + ht , w [ i ] + k3 ) w [ i +1] = w [ i ] + ( k1 + 2* k2 +

2* k3 + k4 ) / 6 t [ i +1] = a + ( i +1) * ht

(30)

Ejercicio 9: Soluci´ on (1)

Nota: implemente el siguiente c´ odigo y documente usando docstring. Agreque el c´ odigo corrrespondiente para reproducir las gr´ aficas que se muestran en las siguientes p´ aginas (en azul se muestran los errores obtenidos con cada m´ etodo).

Nt = 8 # 4 , 8 , 16 , 32 a = 0

b = 4

ht = m e s h ( a , b , Nt ) y0 = 0.5

t = np . l i n s p a c e ( a , b , Nt +1) y _ e u l = np . z e r o s ( Nt + 1 ) ; y _ r k 2 = np . z e r o s ( Nt +1) y _ r k 3 = np . z e r o s ( Nt +1) y _ r k 4 = np . z e r o s ( Nt +1)

y _ e u l [ 0 ] = y0 y _ r k 2 [ 0 ] = y0 y _ r k 3 [ 0 ] = y0 y _ r k 4 [ 0 ] = y0

E u l e r ( f , t , y_eul , ht ) RK2 ( f , t , y_rk2 , ht ) RK3 ( f , t , y_rk3 , ht ) RK4 ( f , t , y_rk4 , ht )

yp = E x a c t a ( t )

e _ e u l = np .abs( yp - y _ e u l ) e _ r k 2 = np .abs( yp - y _ r k 2 ) e _ r k 3 = np .abs( yp - y _ r k 3 ) e _ r k 4 = np .abs( yp - y _ r k 4 )

n _ e r r o r _ e u l = np . l i n a l g . n o r m ( e_eul , 2) n _ e r r o r _ r k 2 = np . l i n a l g . n o r m ( e_rk2 , 2) n _ e r r o r _ r k 3 = np . l i n a l g . n o r m ( e_rk3 , 2) n _ e r r o r _ r k 4 = np . l i n a l g . n o r m ( e_rk4 , 2)

(31)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t

2 0 2 4 6

y( t)

E Eul : 4.6382, E RK2 : 1.4779, E RK3 : 0.3717, E RK4 : 0.2793 Euler

RK2 RK3 RK4 Exacta

Solución y aproximación Nt = 4

(32)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 4

1 2 3 4

n 10

¹

10

⁰

Er ro r

E Eul : 4.6382, E RK2 : 1.4779, E RK3 : 0.3717, E RK4 : 0.2793 Euler

RK2 RK3 RK4

Errores Nt = 4

(33)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 8

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t

2 0 2 4 6

y( t)

E Eul : 2.7881, E RK2 : 0.6453, E RK3 : 0.1021, E RK4 : 0.0234 Euler

RK2 RK3 RK4 Exacta

Solución y aproximación Nt = 8

(34)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 8

1 2 3 4 5 6 7 8

n 10

³

10

²

10

¹

10

⁰

Er ro r

E Eul : 2.7881, E RK2 : 0.6453, E RK3 : 0.1021, E RK4 : 0.0234

Euler RK2 RK3 RK4

Errores Nt = 8

(35)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 16

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t

2 0 2 4 6

y( t)

E Eul : 1.8807, E RK2 : 0.2576, E RK3 : 0.0218, E RK4 : 0.0019 Euler

RK2 RK3 RK4 Exacta

Solución y aproximación Nt = 16

(36)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n 10

⁵

10

⁴

10

³

10

²

10

¹

10

⁰

Er ro r

E Eul : 1.8807, E RK2 : 0.2576, E RK3 : 0.0218, E RK4 : 0.0019

Euler RK2 RK3 RK4

Errores Nt = 16

(37)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 32

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t

2 0 2 4 6

y( t)

E Eul : 1.4408, E RK2 : 0.0973, E RK3 : 0.0042, E RK4 : 0.0002 Euler

RK2 RK3 RK4 Exacta

Solución y aproximación Nt = 32

(38)

Ejercicio 9: Comparaci´ on de m´ etodos con N

t

= 32

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 n

10

⁶

10

⁵

10

⁴

10

³

10

²

10

¹

Er ro r

E Eul : 1.4408, E RK2 : 0.0973, E RK3 : 0.0042, E RK4 : 0.0002

Euler RK2 RK3 RK4

Errores Nt = 32

(39)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

(40)

[1] Richard Burden and J. Douglas Faires Numerical Analysis

Ninth Edition, 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning [2] R.J. Leveque,

Finite Difference Method for Ordinary and Partial Differential Equations:

Steady State and Time-Dependent Problems ,

Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 2007.

(41)

Contenido

1 Problemas de Valor Inicial

2 M´ etodo de Euler Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

3 M´ etodos de Runge-Kutta Ejercicio 9.

4 Referencias

5 Cr´ editos

(42)

Diferencias Finitas. Problemas de Valor Inicial