! ! ! XIII OLIMPIADA INTERNACIONAL DE LÓGICA
FASE ELIMINATORIA NIVEL LICENCIATURA N° de aciertos: _____
Nombre:__________________________________________ Institución:______________
Tienes una hora y media para resolver el examen ¡Suerte!
1. Dado el siguiente argumento inválido ¿Cuál de las fórmulas que se ofrecen en las opcio- nes hace válido el argumento cuando es agregado a las premisas?
∀x∃y ((Px ⊃ ∼(Qy ⊃ Txy)
∀z(∼Qz ≡ z=a)
∴∃x∃w(x=w ⊃ Twx) a) (∼Pa v Qb) ≡ Qb b) Qr ⊃ ∼Pr c) (Pa ≡ Qb) ≡ ∼Pa
Instrucciones. Responde este examen en la hoja de respuestas que se te ha proporcionado, teniendo en cuenta lo siguiente:
• Su elaboración se ha centrado en el uso apropiado de los principios de la lógica clásica for- mal. Por lo cual, no se requieren más habilidades que las derivadas del estudio de la lógica clásica formal para resolverlo.
• Los ejemplos son ficticios.
• Considera solamente las premisas que están explícitamente escritas.
• Cuando leas la frase ¿Qué se sigue?, el examen se refiere a seguirse según la lógica clásica formal.
• Las disyunciones expresadas en español deberán interpretarse como disyunciones inclusivas a menos que explícitamente se indique que son exclusivas (por ejemplo, incluyendo la expre- sión pero no ambas).
• Las letras del abecedario latino (P, Q, R, etc.) se usan para representar proposiciones; las letras griegas se usan para representar esquemas proposicionales (α, β, etc.) y conjuntos de proposiciones (Γ, Δ, etc.).
• Los símbolos utilizados para las conectivas lógicas negación, conjunción, disyunción inclusi- va, condicional material, bicondicional material, cuantificador existencial y cuantificador univer- sal son: ¬, ∧, ∨, ⊃, ≡, ∃ y ∀, respectivamente.
• Otros símbolos usados son los signos de agrupación, paréntesis y llaves (, ), {, }.
• Cada pregunta tiene una única respuesta correcta. Elige, por tanto, para cada pregunta sólo una opción como respuesta de las cinco posibles. Cada acierto que tengas te dará un punto.
d) (∼Pa ∧ Qb) ⊃ Pa e) ∼(Qb ≡ Tab)
2. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre argumentos no es verdadero?
a) Si no hay una asignación que haga verdadera a todas las premisas entonces el argumento es válido.
b) En argumentos válidos las tautologías como conclusión pueden ser el resultado de pre- misas falsas.
c) Las contradicciones sólo pueden ser derivadas válidamente de conjuntos de premisas in- consistentes.
d) Si la conclusión de mi argumento es verdadera en todos los casos, mi argumento es váli- do.
e) Si la conclusión de mi argumento es falsa en todos los casos, mi argumento es inválido.
3. Si una y sólo una de las siguientes fórmulas es verdadera, ¿cuál es?
a) ((R∨Q)⊃ ¬P)∧¬P) ∨ (¬(S≡ ¬S)⊃ ¬P) b) ((P∧Q)⊃R) ∨ (P⊃ (S∨¬Q)) c) ¬(¬((Q∧ ¬S)⊃¬P)∧ ((P∧Q)∧ ¬R)) d) ((P∨Q)∧(Q⊃¬P))∧¬(¬Q≡P) e) P⊃ ((¬R∧¬Q)⊃ ¬P)
4. Considere el dominio de discurso {a,b,c,d,e} y las asignaciones de valores de verdad:
Pa:V, Qa:F, Pb:V, Qb:F, Pc:F, Qc:V, Pd:V, Qd:V, Pe:F y Qe:V.
¿Cuál de los siguientes enunciados es falso bajo estas condiciones?
a) ∀x((x≠d)⊃(Qx≡ ¬Px)) b) ∀x((¬Qx⊃Px)∧(¬Px⊃Qx)) c) ∀x((Px∧Qx)⊃∀y((x≠y)⊃(Py⊃¬Qy))) d) ∀xƎy(((Px∧Qy)∧ (x≠y))⊃Qx) e) ∀x((¬Px∧Qx)⊃∃y((x≠y)⊃Px))
5. ¿Qué asignación de valores de verdad hace verdadero el siguiente enunciado?
((P⊃Q)≡ ¬R)≡((R∧S)⊃Q) a) P: V, Q: V, R:V, S:F.
b) P: F, Q:V, R:V, S:V.
c) P:V, Q:F, R:V, S:F.
d) P:V, Q:F, R:V, S:V.
e) P:F, Q:F, R:V, S:F.
6. Dado un conjunto de fórmulas Γ, si sabemos que de las siguientes fórmulas una y sólo una no se sigue de Γ, ¿cuál es?
a) (P≡¬S)∧¬Q b) P∧(R⊃(S∨Q)) c) (¬S⊃Q)∨((¬S∧¬Q)⊃¬P) d) P≡(R∧¬Q)
e) S∧¬(¬Q⊃¬P)
7. En la isla de los caballeros y bribones (donde sólo habitan caballeros, que siempre dicen la verdad, y bribones, que siempre mienten), el detective Johnson investiga un crimen. Al interrogar a 5 sospechosos, de los que sabe que tres son caballeros y dos son bribones (pero sin saber quién es quién), le responden:
1. Ana: El culpable es Pedro sólo si María es inocente.
2. Pedro: María es inocente o Juan es culpable.
3. María: Pedro es el culpable y además miente.
4. Juan: María es culpable, yo soy inocente.
5. Carlos: Pedro miente y soy inocente.
Suponiendo que sólo hay un culpable, que todo el que es inocente no es culpable y todo el que es culpable no es inocente, el detective pudo concluir que:
a) La culpable es Ana.
b) El culpable es Pedro.
c) La culpable es María.
d) El culpable es Juan.
e) El culpable es Carlos.
8. Considerando el escenario del ejercicio anterior, ¿quiénes son caballeros y quiénes son bribones?
a) Ana: Caballero, Pedro: Bribón, María: Caballero, Juan: Caballero, Carlos: Bribón.
b) Ana: Bribón, Pedro: Caballero, María: Caballero, Juan: Bribón, Carlos: Caballero.
c) Ana: Caballero, Pedro: Caballero, María: Bribón, Juan: Bribón, Carlos: Caballero.
d) Ana: Caballero, Pedro: Bribón, María: Bribón, Juan: Caballero, Carlos: Caballero.
e) Ana: Bribón, Pedro: Bribón, María: Caballero, Juan: Caballero, Carlos: Caballero.
9. ¿Cuál es la mejor traducción a la lógica de predicados para la siguiente oración?
“Todos los mimos que usan sombrero tienen a un payaso que se los quite”. Tenga en cuenta el siguiente diccionario: Mx: x es mimo. Px: x es payaso. Sx: x es sombrero. Uxy: x usa a y.
Qxyz: x le quita y a z.
a) ∀x∃y∃ z(¬(Uxy∧ (Sx∧My))≡ ¬(Pz∧Qzyx))
b) ∀x∃y(((Mx∧Sy)∧Uxy)⊃ ∃z(Pz∧Qzxy)) c) ∀x∃y(((Mx∧Sy)∧Uxy)⊃ ∀z(Pz∧Qzyx)) d) ∀x∃y∃z (¬(Pz∧Qzxy)⊃ ¬(Uxy∧ (Mx∧Sy))) e) ∃z∀x∃y(¬(Pz∧Qzxy)⊃ ¬(¬Uxy∧ (Mx∧Sy)))
10. Señale si el siguiente argumento es válido o no y si sus premisas son o no consistentes.
1. (P ≡ Q) ⊃ (R∨¬S) 2. (¬R ≡ Q)∧(¬P ⊃ (¬Q∨R)) 3. ((¬R∧S) ⊃ (P ⊃ ¬Q)) ≡ (R ⊃ ¬R) .: ¬S ≡ (P∧Q)
a) Argumento válido con premisas consistentes.
b) Argumento válido con premisas inconsistentes.
c) Argumento inválido con premisas consistentes.
d) Argumento inválido con premisas inconsistentes.
e) No se puede determinar la validez del argumento.
11. ¿Qué fórmula es equivalente a (P∨Q)≡((R∧¬S)∧(T⊃S))?
a) ((R∧¬S)∧¬T)⊃(P∨Q) b) ((R∧¬T)∧¬S)≡(¬P∧¬Q) c) ¬(R⊃(S∨T))≡(¬Q⊃P) d) ¬(¬R⊃(¬S∨¬T))≡(¬Q⊃P) e) ((R∧¬T)∧¬S)≡(¬P⊃¬P)
12. ¿Qué premisa podemos agregar al siguiente argumento de tal manera que éste siga siendo válido o inválido (según sea el caso)?
1. (¬P ≡ Q) ≡ (R∧¬Q) 2. (¬R ⊃ P)∧(Q∨R) .: P∧¬(Q ≡ R) a) P∧¬(¬Q∨¬R) b) R ≡ ¬(¬P⊃R) c) (P∧Q)∧¬R d) ¬Q∧(R ≡ P) e) (¬R⊃(¬R⊃R))⊃¬R
13. ¿Cuál opción es equivalente a la traducción del siguiente diagrama esquemático al len- guaje de la lógica proposicional?
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Tenga en cuenta las siguientes convenciones:
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a) (R∧P)≡(P∧(R⊃¬Q)) b) ¬(P∨(¬Q∧¬R))≡(R∨¬P) c) (R⊃P)⊃((¬P∨Q)∧(P⊃R)) d) ¬(R⊃P)≡((P⊃Q)∧(P⊃R)) e) (¬R∧P)≡((Q∧R)⊃¬P)
14. Pedro le dijo a Juanito, su hermano menor, que si no es el caso que esté en el parque y al mismo tiempo corra o haga un castillo de arena, entonces no hará el castillo de arena, pero estará en el parque. Juanito, que confiaba por completo en la palabra de su hermano y pese a su joven edad tenía impecables habilidades lógicas, pudo deducir que:
a) No correrá y, si está en el parque, correrá.
b) O bien si no corre estará en el parque, o bien si no hace el castillo de arena, correrá.
c) No estará en el parque.
d) Si su mamá viene a buscarlo, no estará en el parque.
e) Correrá y, si está en el parque, hará un castillo de arena.
15. ¿Cuál es la simbolización más adecuada para el enunciado: Algunos cantantes aman a los bateristas, si y sólo si los guitarristas y los bajistas se admiran entre sí? Diccionario: Cx:
x es cantante. Bx: x es baterista. Gx: x es guitarrista. Ex: x es bajista. Axy: x ama a y. Dxy:
x admira a y.
a) ∃x ∃y [(Cx ∧ By) ⊃ Axy] ≡ ∀w ∀z [(Gw ∧ Bz) ⊃ (Awz ∧ Azw)]
b) ∀x ∃y [(Cx ∧ By) ⊃ Axy] ≡ ∀w ∀z [(Gw ∧ Ez) ⊃ Dwz]
c) ∃x [Cx ∧ ∀y (By ⊃ Axy)] ≡ ∀w ∀z [(Gw ∧ Ez) ⊃ (Dwz ∧ Dzw)]
d) ∃x [Cx ∧ ∀y (By ⊃ Axy)] ≡ ∀w ∀z [(Gw ∧ Bz) ⊃ (Dwz ∧ Dzw)]
e) ∀x [Cx ∧ ∃y (By ⊃ Axy)] ≡ ∀w ∀z [(Gw ∧ Bz) ⊃ (Awz ∧ Azw)]
16. Sea Γ un conjunto de premisas consistente. Si le añadimos una nueva fórmula “α” y ob- tenemos un nuevo conjunto de premisas inconsistente, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?
a) α es una fórmula inconsistente.
b) α es la negación de uno de las proposiciones de Γ.
c) α es una fórmula consistente sólo si es la negación de uno de los enunciados de Γ.
d) α es uno de los enunciados en Γ, o bien α es una fórmula inconsistente.
e) α es inconsistente si y sólo si es la negación de una fórmula en Γ.
17. ¿Cuál asignación de valores de verdad prueba que la siguiente proposición no es una tautología?
[(P ∨ ¬P) ∧ (Q ∧ S)] ≡ [(R ⊃ R) ⊃ ¬P]
a) Q: F, S: F, P: V, R: F.
b) Q: V, S: V, P: F, R: V.
c) Q: V, S: V, P: F, R: F.
d) Q: V, S: F, P: V, R: F.
e) Q: V, S: F, P: F, R: V.
18. Hay exactamente un concursante que ganará la carrera. ¿Cuál de las siguientes es la me- jor formalización para la negación de la oración anterior dado el siguiente dominio y dic- cionario? Dominio de discurso: los participantes de la carrera. Diccionario: Gx x ganará la carrera.
a) ∃x ∃y ((Gx ∧ Gy) ∧ ∀z (Gz ⊃ (z=x ∨ z=y))) b) ∃x ∃y ((Gx ∧ Gy) ∧ x≠ y) ∨ ∀z ¬Gz c) ∃x ∃y (Gx ∧ Gy) ∨ ∀z ¬Gz d) ∃x (Gx ∧ ∀y (Gy ⊃ x=y))
e) ∃x ∃y (((Gx ∧ Gy) ∧ x≠y) ∧ ∀z (Gz ⊃ (z=y ∨ z=y)))
19. La marina publicó en el periódico Mizu Mizu el grado de peligrosidad de cuatro piratas en una especie de conteo por puntos, entre más puntos tengan los piratas, más peligrosos son. Los piratas fueron Law alias “El Cirujano”, Kid alias “El Capitán”, Luffy alias “Som- brero de paja” y X Drake alias “Dory”.
Sabemos que X Drake supera a “El capitán” por al menos 3 puntos, “El cirujano” supera a Luffy por 3 puntos y “Sombrero de paja” pierde por 3 puntos contra Kid. Con la informa- ción anterior ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta?
a) Kid y Law tienen el mismo grado de peligrosidad.
b) “El Cirujano” es menos peligroso que “Dory”.
c) Existe al menos un par de piratas con el mismo grado de peligrosidad.
d) “Sombrero de paja” y “Dory” tienen el mismo grado de peligrosidad.
e) X Drake es más peligroso que Luffy.
20. En la búsqueda del tesoro One Piece, el pirata Luffy “Sombrero de paja” arribó a una isla donde sabía que sólo había tres piratas: Marshall alias “Barbanegra”, Doflamingo alias
“Joker” y Bugy alias “El payaso”. Además, sabía que uno de ellos siempre mentía, otro a veces mentía y a veces decía la verdad; y otro siempre decía la verdad. Sin embargo, no sabía quién era quién, con excepción de que el que mentía en ocasiones, comenzaba toda conversación con una mentira. De tal modo, los interrogó por separado para determinar qué tipo de pirata era cada uno y todos comenzaron su conversación de la siguiente manera:
Bugy dijo: No hay piratas que mientan o “Sombrero de paja” es tonto.Doflamingo dijo:
Hay piratas que mienten y Luffy no es tonto.Marshall dijo: Si “Sombrero de paja” es tonto entonces todos los piratas dicen la verdad.¿Con lo dicho por los piratas, cuál de las siguien- tes afirmaciones es verdadera?
a) “Barbanegra” miente o “El payaso” dice la verdad.
b) Marshall no dice la verdad y Doflamingo dice la verdad.
c) Si Doflamingo dice mentiras entonces “Joker” dice la verdad.
d) Bugy no dice la verdad, si Marshall no dice la verdad.
e) No es el caso que “Barbanegra” diga la verdad, pero sí es el caso que “El payaso” mien- te.
21. Aurora y Ariel una pareja de filósofas de la ciencia. Una siempre miente y la otra siem- pre dice la verdad. En una ocasión se dio el siguiente diálogo:
Aurora: Ariel, eres una loca mentirosa.
Ariel: Eso no es cierto.
Aurora: Yo digo la verdad si y sólo si nuestra profesora de lógica siempre miente.
Ariel: Yo digo la verdad si y sólo si nuestro profesor de epistemología siempre dice la ver- dad.
Aurora: Eso es mentira.
Ariel: Es mentira que: tú dices la verdad si y sólo si nuestra profesora de lógica siempre miente.
¿Qué podemos saber luego de escuchar el diálogo?
a) El profesor de epistemología de las chicas siempre dice la verdad.
b) Ariel siempre dice la verdad.
c) La profesora de lógica de las chicas siempre dice la verdad.
d) Aurora siempre dice la verdad.
e) Aurora siempre dice mentiras.
22. “Si huele a peligro, alguien prepara una venganza”, donde: Cx= x es peligro, Pxy=x prepara a y, Lx= x es una venganza, Hxy= x huele a y.
a) ∃x (Cx ∧ ∃y Hxy) ⊃ ∃z ∃w (Lz ∧ Pwz) b) ∃x (Cx ∧ ∃y Hyx) ⊃ ∃z ∃w (Lz ⊃ Pwz) c) ∃x (Cx ∧ ∃y (Cy ∧ Hyx)) ⊃ ∃z ∃w (Lz ∧ Pwz) d) ∃x (Cx ∧ ∃y (Cy ∧ Hyx)) ⊃ ∃z ∃w (Lz ∧ Pzw) e) ¬(∃x (Cx ∧ ∃y Hxy)) ⊃ ∃z ∃w (Lz ∧ ¬Pwz)
23. Harry Potter estaba teniendo dificultades para resolver una pista en la penúltima prueba del Torneo de los Tres Magos. La prueba consiste en revisar la validez del argumento si- guiente: El Patronum lo hizo Snape o, hay que jugar Quidditch y molestar a Ron. Si el Pa- tronum lo hizo Snape, hay que jugar Quidditch. Hay que jugar Quidditch si y sólo si Slyt- herin es la mejor casa de Hogwarts. Por lo tanto, hay que jugar Quidditch y Slytherin es la mejor casa de Hogwarts. Harry pasa a la siguiente fase contestando:
a) El argumento es válido con premisas no contradictorias.
b) El argumento es válido con premisas contradictorias.
c) El argumento es inválido con premisas no contradictorias.
d) El argumento es contradictorio con premisas inválidas.
e) El argumento es inválido con premisas contradictorias.
24. Dado un conjunto Γ de premisas, supongamos que una y sólo una de las siguientes ora- ciones no se sigue de Γ, ¿cuál es?
a) Hay gatos que no son emos.
b) No hay gatos.
c) Todos los gatos son emos.
d) Si hay gatos, entonces algunos no son emos.
e) Ningún gato es emo.
25. Dado el operador binario , que sólo es verdadero en los siguientes dos casos: 1) φ:V y ψ:F, 2) φ:F y ψ:V, ¿cuál de los siguientes es tautológico?
a) ((α β ) ∧ ( β γ )) ⊃ ( α γ )
b) { ( α β ) ∧ [ ( β γ ) ∧ ( γ δ ) ] } ⊃ ( α δ ) c) [ ( α β ) ∧ ¬β ] ⊃ ¬α
d) ((α β ) ∧ ( β α)) ⊃ (α α) e) ( α γ ) ⊃ [(α β ) ∧ ( β γ )]
26. Elija la mejor traducción a la lógica de predicados para el siguiente enunciado: “Algu- nas cosas no son verdades lógicas” Diccionario: Cx= x es una cosa, Vx= x es verdad, Lx= x es lógica.
a) ¬∀y [(Cy) ⊃ (Ly ∧ Vy)]
b) ∃x [(Cx ∨ Lx) ⊃ ¬∀y (Vy)]
c) ∃x [(Cx ∧ Lx) ⊃ ∀y (Vy)]
d) ∀y [(Cy) ⊃ ¬(Ly ∧ Vy)]
e) ∃x(Cx∧¬(¬Lx∧¬Vx)) 27. Si un argumento es válido:
a) Es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
b) El conjunto de premisas y conclusión es necesariamente consistente.
c) Es imposible que haya contradicción en sus premisas.
d) El conjunto de premisas es necesariamente consistente.
e) Es posible que su conclusión sea falsa.
28. ¿Cuál es la mejor simbolización para el siguiente enunciado?: Si hay alguien que no tiene madre, Aristóteles estaba equivocado con respecto al motor inmóvil. Donde: Mxy: x es madre de y, Exy: x está equivocado respecto a y, a: Aristóteles, m: motor inmóvil.
a) ∀x ¬ ( ∀y ¬Myx) v Eam b) Eam ⊃ ∃x (¬∃y Myx) c) ∃x ( ¬∀y Myx) ⊃ Eam d) Eam v ∃x ( ¬ ∃y Myx) e) (∃x ∀y (Mxy)) ⊃ Eam
29. Si mi pokémon usó ember es torchic. Si mi pokémon usó leaf cutter es treecko. Si mi pokpemon usó bubble es mudkip. El enemigo perdió y el enemigo era tipo tierra. Mi poké- mon usó leaf cutter, bubble o ember. No se da que: el enemigo no perdió si y sólo si mi po- kémon no es torchic y además no usó leaf cutter.
a) Es torchic.
b) Es treecko.
c) Es Mudkip.
d) Es torchic o treecko.
e) No sé quién es mi pokémon.
30. Los políticos siempre mienten, en cierta ocasión, Peña Nieto, que es un político, dijo algo que la gente no entendió: ¿Cuál de las siguientes no pudo ser?
a) No es cierto que yo estoy aquí ahora.
b) Ya sé que no aplauden, o no es cierto que: la casa es de Gaviota y no lo es.
c) Si sucede que la casa es de Gaviota y ustedes no aplauden, entonces, si la casa es de Ga- viota, ustedes aplauden.
d) No es cierto que: si Gaviota aplaude, entonces hay alguien que aplaude.
e) Ayer comí frijol con gorgojo.
