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CLASE 5RAICES ENESIMAS Y LOGARITMOS
“Propiedades de los logaritmos”
Nombre del alumno(a):
I. DEFINICIÓN DE LOGARITMOS Y RESTRICCIONES
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂 = 𝒄 ↔ 𝒃
𝒄= 𝒂
En la expresión anterior, b es la base del logaritmo, a es el argumento o antilogaritmo yc es el logaritmo en base b de a
Además si c es un número natural se entiende que:
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂 = 𝒄 ↔ 𝒃
𝒄= 𝒂 ↔ √𝒂
𝒄= 𝒃
Ejemplos:
1. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟖𝟏 = 𝒙 Por definición:
log381 = 𝑥 → 3𝑥 = 81
𝑥 = 4 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 34 = 81 2. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏
𝟖= 𝒙 Por definición:
log21
8= 𝑥 → 2𝑥 =1 8
Por propiedades de las potencias recordemos que con exponente negativo se aplicaba el inverso del número. Por lo tanto debe ser un número negativo, y 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. Entonces:
𝑥 = −3 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2−3=1 8 3. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟓𝟐 = 𝒙
Por definición:
log0,52 = 𝑥 → 0,5𝑥 = 2 → (1 2)
𝑥
= 2
Por propiedades de las potencias recordemos que con exponente negativo se aplicaba el inverso del número. Por lo tanto debe ser un número negativo.
Entonces:
𝑥 = −1 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 (1 2)
−1
= 2
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II. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSSe llama logaritmo común a aquel cuya base es 10. Por conversión se expresa de la siguiente manera:
𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎𝒂 =𝐥𝐨𝐠
𝒂Se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural aquel cuya base es e. Por conversión se expresa de la siguiente manera:
𝐥𝐨𝐠
𝒆𝒂 =𝐥𝐧
𝒂A continuación, se analizarán algunas propiedades de los logaritmos y sus operatorias:
1. Logaritmo de la unidad.
En general, para todo número real positivo b ≠ 0, se tiene que 𝑏0 = 1, luego:
𝐥𝐨𝐠𝒃𝟏 = 𝟎 ↔ 𝒃𝟎 = 𝟏 Observa:
70= 1 200 = 1 120= 1 Luego por definición:
70= 1 ↔ log71 = 0 200 = 1 ↔ log201 = 0 120 = 1 ↔ log121 = 0 Es decir, el logaritmo de 1, en cualquier base es igual a 0.
2. Logaritmo de la base.
En general, para todo número real positivo b ≠ 0, se tiene que 𝑏1= 𝑏, luego:
𝐥𝐨𝐠𝒃𝒃 = 𝟏 ↔ 𝒃𝟏 = 𝒃 Observa:
51= 5 81 = 8 191 = 19 Luego por definición:
51= 5 ↔ log55 = 1 81 = 8 ↔ log88 = 1 191 = 19 ↔ log1919 = 1 Es decir, el logaritmo de la base es igual a 1.
3. Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número. Se tiene entonces que:
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂𝒙= 𝒙𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂Ejemplo 1:
𝐥𝐨𝐠
𝟓𝟏𝟐𝟓𝟑= 𝟑𝐥𝐨𝐠
𝟓𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 · 𝟐 = 𝟔𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝐥𝐨𝐠
𝟒𝟔𝟒𝟓= 𝟓𝐥𝐨𝐠
𝟒𝟔𝟒 = 𝟓 · 𝟑 = 𝟏𝟓El número e es un número irracional, y aunque los logaritmos creados por Napier tienen como base un número cercano a 1/e, se conoce a los logaritmos con base e como neperianos en su honor.
𝑒 = 2,71828182 …
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4. Logaritmo de una raízSe tiene que 𝑛√𝑎𝑚 = 𝑎𝑚𝑛, por lo tanto, se aplica la propiedad anterior:
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒏√𝒂𝒎=𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂𝒎𝒏 =𝒎𝒏
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂 Ejemplo 1:𝐥𝐨𝐠
𝟒𝟐√𝟔𝟒𝟑=𝐥𝐨𝐠
𝟒𝟔𝟒𝟑𝟐=𝟑𝟐
𝐥𝐨𝐠
𝟒𝟔𝟒 = 𝟑𝟐· 𝟑 =𝟗 𝟐 Ejemplo 2:
𝐥𝐨𝐠
𝟐𝟑√𝟏𝟔𝟒=𝐥𝐨𝐠
𝟐𝟏𝟔𝟒𝟑=𝟒𝟑
𝐥𝐨𝐠
𝟐𝟏𝟔 = 𝟒𝟑· 𝟒 =𝟏𝟔 𝟑
5. Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
𝐥𝐨𝐠
𝒃(𝒑𝒒) =𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒑 +𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒒 Ejemplo 1:𝐥𝐨𝐠
𝟑(𝟗 · 𝟒) =𝐥𝐨𝐠
𝟑𝟗 +𝐥𝐨𝐠
𝟑𝟐𝟕 = 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 Ejemplo 2:𝐥𝐨𝐠
𝟔(𝟑𝟔 · 𝟔) =𝐥𝐨𝐠
𝟔𝟑𝟔 +𝐥𝐨𝐠
𝟔𝟔 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑6. Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo (numerador) y el logaritmo del divisor (denominador):
𝐥𝐨𝐠
𝒃(𝒑𝒒) =
𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒑 −𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒒 Ejemplo 1:𝐥𝐨𝐠
𝟑(𝟖𝟏𝟐𝟕) =
𝐥𝐨𝐠
𝟑𝟖𝟏 −𝐥𝐨𝐠
𝟑𝟐𝟕 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 Ejemplo 2:𝐥𝐨𝐠
𝟐(𝟒𝟖) =
𝐥𝐨𝐠
𝟐𝟒 −𝐥𝐨𝐠
𝟐𝟖 = 𝟐 − 𝟑 = −𝟏7. Cambio de base
Las calculadores solo permiten calcular logaritmos de base 10 o e. Para calcular logaritmos de otra base, se utiliza la siguiente propiedad:
𝐥𝐨𝐠
𝑷𝒂 =𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒂𝐥𝐨𝐠
𝒃𝒑Entonces, basta tomar b=10 o b=e para determinar el valor pedido utilizando la calculadora.
Ejemplo 1:
𝐥𝐨𝐠
𝟑𝟓 =𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎𝟓𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎𝟑 Ejemplo 2:𝐥𝐨𝐠
𝟗𝟔 =𝐥𝐨𝐠
𝒆𝟔𝐥𝐨𝐠
𝒆𝟗Página 4 de 5
III. ACTIVIDAD CLASE 9 RAÍCES Y LOGARITMOS Determina el valor de las siguientes expresiones.
a) log 1000 + log31 = 3 + 0 = 3 log 1000 = 10𝑋 = 1000 x=3 log31 = 3𝑥 = 1 x= 0
b) log24 − log327 = 2 − 3 = −1
log
24 = 2
𝑥= 4 → 𝑥 = 2 log
327 = 3
𝑥= 27 → 𝑥 = 3
c) log232 − log3243 = 5 − 5 = 0
log
232 = 2
𝑥= 32 → 𝑥 = 5 log
3243 = 3
𝑥= 243 → 𝑥 = 5
d) log1,54
9+ log1000,0001 = −2 + (−2) = −2 − 2 = −4 log1,54
9= 1,5𝑥=4
9 = (15: 5 10: 5)
𝑥
=4
9 = (3 2)
𝑥
=4
9 → 𝑥 = −2 log1000,0001 = 100𝑥 = 0,0001 → 100𝑥 = 1
10.000→ 𝑥 = −2
e) 3log4 1
32− 5 log1
3
243 + 4 log5
7 343
125= 3 ∙ (−5 ) − 5 ∙ (−5) + 4 ∙ (−3) =
−15 − (−25) + (−12) = −15 + 25 − 12 = −2
log
4321 = 22−𝑥= 132→ 𝑥 = −5
log
13
243 = ( 1 3 )
𝑥
= 243 → 𝑥 = −5
log5
7
343 125= (5
7)
𝑥
=343
125 → 𝑥 = −3
(7 5)
3
=343
125 = (5 7)
−3
=343 125
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f) log0,40,064 − 5 log43 9
16− 2 log3
2 9 4
g) log10100 + log41 − log327 h) log8√2 + log√2√8
i) log1000,001 + log√28