Material complementario e implementación de un tutorial de Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la Transformada de Laplace

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(1)UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DEPARTAMENTO ELECTROENERGÉTICA. Trabajo de Diploma “Material complementario e implementación de un tutorial de Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la Transformada de Laplace.” Autor: Alberto García Duménigo Tutores: MSc. Juan Curbelo Cancio Dr. Avertano Hernández Stuart Santa Clara, Cuba 2011 “Año 53 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Circuitos Eléctricos. TRABAJO DE DIPLOMA Material complementario e implementación de un tutorial de Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la Transformada de Laplace.. Autor: Alberto García Duménigo albertogd @uclv.edu.cu. Tutores: MSc. Juan Curbelo Cancio Dr. Avertano Hernández Stuart Profesores de Circuitos Eléctricos de la facultad de Ing Eléctrica. Santa Clara 2011 “Año 53 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Tutor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. "Después. de. saber. cuándo. debemos. aprovechar. una. oportunidad,. lo más importante es saber cuándo debemos renunciar a una ventaja".. Benjamín Disraeli..

(5) ii. DEDICATORIA. A todos los que de una u otra forma tuvieron que ver en la confección de este tutorial, el cual servirá como base material de estudio a futuros trabajos y estudios sobre este tema. Y a los que me apoyaron durante estos cinco años..

(6) iii. TAREA TÉCNICA.  Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente acerca del análisis y solución de circuitos eléctricos en estado transitorio utilizando la Transformada de Laplace.  Actualizar los contenidos teóricos usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet.  Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que. permitan elevar los. conocimientos del estudiante en el área de la programación usando Matlab.  Resolver,. de. forma. analítica,. ejercicios. típicos,. adecuadamente. seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink.  Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(7) iv. RESUMEN. Se llevó a cabo una amplia revisión de la bibliografía, se plasmaron los conceptos básicos de la Transformada de Laplace y algunos otros que harán falta a lo largo del trabajo, en el cual su resuelven ejercicios de circuitos eléctricos analíticamente, con el programa Matlab y su simulador Simulink. El objetivo fundamental del trabajo de diploma, es elaborar un material didáctico (tutorial), que explique el procedimiento a seguir para resolver problemas de circuitos eléctricos, empleando las técnicas de la transformada de Laplace, con ayuda del Matlab y su simulador Simulink..

(8) ÍNDICE. i. ÍNDICE. DEDICATORIA .................................................................................................................... ii TAREA TÉCNICA ............................................................................................................... iii RESUMEN ............................................................................................................................iv INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 3 Organización del informe ................................................................................................ 4 CAPÍTULO 1.. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA .................................................................. 5. 1.1. Transformada Unilateral de Laplace ............................................................... 7. 1.2. Transformada de Laplace de una función del tiempo simple ..................... 8. 1.3. Criterio de convergencia ................................................................................... 9. 1.4. Función escalón unitario u t. 1.5. Función impulso unitario. (t. Función exponencial. e. t. 1.6 1.7. Función rampa. 1.8. Técnicas de la Transformada Inversa .......................................................... 14. 1.8.1. El teorema de linealidad.................................................................................. 14. 1.9. Transformada Inversa para Funciones Racionales .................................... 15. 1.9.1. Polos distintos ................................................................................................... 16. 1.9.2. Polos repetidos ................................................................................................. 18. ..................................................................... 10. t0 ) ........................................................ 10 .................................................................... 12. tu(t ) ...................................................................................... 13.

(9) ÍNDICE. ii. 1.9.3. Teorema de diferenciación respecto al tiempo ........................................... 19. 1.9.4. Teorema de integración en el tiempo ........................................................... 20. 1.9.5. Teorema de desplazamiento (corrimiento) en el tiempo ........................... 22. 1.9.6. Teorema del valor inicial ................................................................................. 23. 1.9.7. Teorema del valor final .................................................................................... 24. 1.10. Transformada de Laplace de Sinusoides ..................................................... 25. 1.11. Inductores en el dominio de la frecuencia ................................................... 26. 1.12. Modelo para capacitores en el dominio de la frecuencia .......................... 27. 1.13. Función de transferencia H s .................................................................... 29. CAPÍTULO 2.. Ejemplos resueltos ............................................................................. 30. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 87 Conclusiones .................................................................................................................. 87 Recomendaciones ......................................................................................................... 87 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 88 ANEXOS .............................................................................................................................. 90.

(10) INTRODUCCION. 3. INTRODUCCIÓN. Se realizó una revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente, acerca del análisis y solución de circuitos eléctricos en estado transitorio utilizando la Transformada de Laplace. Se elaboró un tutorial de Matlab y Simulink, el cual se emplea en la solución de circuitos eléctricos en estado transitorio, utilizando la Transformada de Laplace. En el tutorial se lleva a cabo la solución de ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustran de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Se lleva a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente se obtiene nuevamente la solución, elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink. La comparación de los resultados le brinda al estudiante una mayor comprensión del ejercicio. El material elaborado resume adecuadamente los contenidos teóricos, empleando textos básicos y materiales de estudio recientemente publicados en Internet. El material contribuye a la elevación de los conocimientos por parte del estudiante, del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, lo que permite elevar el dominio del estudiante en el área de la programación. El material elaborado, constituye una base material de estudio de gran utilidad, no solo para los estudiantes, sino para los profesores que imparten este tema..

(11) INTRODUCCION. Organización del informe Este trabajo consta de las siguientes partes: Dedicatoria Tarea técnica Resumen Introducción Capítulo 1 Capítulo 2 (ejemplos resueltos) Conclusiones Recomendaciones Referencias bibliográficas Anexos. 4.

(12) CAPITULO 1. 5. CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Figura 1.1.

(13) CAPITULO 1. 6. En el análisis de circuitos eléctricos, el objetivo consiste en, dada una función de excitación en algún punto del circuito lineal, determinar la respuesta en algún otro punto. A medida que se avanzó en el uso de la función de excitación sinusoidal, la complejidad de resolver las ecuaciones integro diferenciales, obligaron a tratar de encontrar una manera más fácil de resolver los problemas (la transformada fasorial), lo que llevó a la consideración de una función forzante compleja de la forma. V (0) e j e jwt , lo que teniendo en cuenta que el factor que contiene a t, es. j un factor superfluo, permitió llegar al fasor V (0) e , con lo cual se llega al. dominio de la frecuencia (Weisstein 2006). En el dominio de la frecuencia, entra a jugar un papel principal, la frecuencia compleja s, permitiendo que las funciones de excitación de cd, exponencial y sinusoidal se conviertan en casos especiales: cd (s 0) , exponencial (s sinusoidal (s. jw) y la sinusoidal exponencial (s. ),. jw) (Weisstein 2006).. La Transformada Bilateral de Laplace Se sabe que las funciones forzantes sinusoidales producen respuestas sinusoidales y que las funciones forzantes exponenciales dan como resultado respuestas exponenciales. Sin embargo muchas formas de onda, no son ni sinusoidales ni exponenciales, como las ondas cuadradas, las ondas de diente de sierra y los pulsos que inician en instantes de tiempo arbitrarios. Cuando tales funciones forzantes se aplican a un circuito lineal, la respuesta no es similar a la forma de onda de excitación, ni tampoco es exponencial. La solución en el dominio del tiempo en estos casos es muy compleja (Weisstein 2006)..

(14) CAPITULO 1. 7. Se ha desarrollado un método, que simplifica enormemente el proceso de solución. Este método utiliza lo que se conoce como la Transformada de Laplace, definida para una función general f (x) como:. F ( s). st. e. f x. La deducción matemática de esta operación integral, requiere la comprensión de la serie y de la Transformada de Fourier, sin embargo el concepto fundamental detrás de la Transformada de Laplace, puede entenderse a partir del concepto de la frecuencia compleja y la conversión en ambos sentidos entre los dominios del tiempo y de la frecuencia. De hecho, esto es precisamente lo que hace la Transformada de Laplace: convierte la función general f (x) en el dominio del tiempo a una respuesta correspondiente, F (s) en el dominio de la frecuencia (Weisstein 2006). 1.1. Transformada Unilateral de Laplace. En muchos problemas, las funciones forzantes y de respuesta, no existen para siempre en el tiempo, sino que aparecen en algún instante de tiempo que existe para t. 0 . En aquellas funciones de tiempo cuyo comportamiento para t 0 no es. de interés, la descripción en el dominio del tiempo se considera v t u t . La integral de definición para la Transformada de Laplace se toma con el límite inferior en t. 0 , a fin de incluir el efecto de cualquier discontinuidad en t. 0 , tal. como un impulso o una singularidad de orden superior. La Transformada de Laplace correspondiente es entonces (Weisstein 2006).. F ( s). e. st. f (t )u (t )dt. e 0. st. f (t )dt.

(15) CAPITULO 1. 8. Ésta define la transformada de f (t ) , o simplemente la Transformada de Laplace de. f (t ) , dándose por entendido el término unilateral. La expresión de la. transformada inversa permanece constante, pero cuando se evalúa, se entiende que es válida solo para t. 0 . Aquí radica entonces la definición del par de. Transformadas de Laplace que se utiliza (Weisstein 2006).. F ( s). e. st. f (t )dt. 0. f ( s). f (t ). 0. 1 2. j. j. e st F ( s )ds 0. j. F ( s). 1.1. 1.2 Transformada de Laplace de una función del tiempo simple En esta sección se empieza a integrar un catálogo de Transformadas de Laplace para las funciones del tiempo que se presentan con mayor frecuencia en el análisis de circuitos; se supone por ahora que la función de interés es un voltaje, aunque una elección de este tipo es estrictamente arbitraria. Se crea este catálogo, al menos al principio, utilizando la definición:. e st v(t )dt L{v(t )}. V ( s) 0. la cual, junto a la expresión para la transformada inversa:.

(16) CAPITULO 1. 9 0. 1. v(t ). 2. j. j. e stV ( s ) ds. L 1{V ( s )}. j establece una correspondencia uno a uno entre v (t ) y V (s) . Esto es, para todo 0. v (t ) para el que exista V (s) , hay una V (s) única. Un estudio introductorio de la. teoría de la Transformada de Laplace no requiere la evaluación real de esta integral para la Transformada Inversa. Al ir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y al aprovechar la unicidad que acaba de mencionarse, se genera un catálogo de pares de transformadas, que contiene la función de tiempo correspondiente para casi todas las transformadas que se desee invertir (Hayt 2008). 1.3 Criterio de convergencia Según Hayt (2008) es necesario considerar, si existe alguna posibilidad de que la transformada no exista para algunos v (t ) que sean de interés. Un conjunto de condiciones suficientes para garantizar la convergencia absoluta de la integral de Laplace para Re s. 0. es:. 1. La función v (t ) es integrable en todo intervalo finito 0 t1 t 2 . 2. El. lim e. 0t. v(t ) existe para algún valor. 0. t1. t. t2. donde. .. t. El analista de circuitos rara vez estudia las funciones de tiempo que no satisfacen esta condición. Ejemplo de tales funciones son. e. t2. y. e. et. pero no. t n ni n t ..

(17) CAPITULO 1. 10. 1.4 Función escalón unitario u t. Figura 1.2 Tomando en cuenta la ecuación definida, se escribiría:. e st u (t )dt. L{u (t )} 0. 1 e s. e st dt 0. 1 s. st 0. Re{s} > 0, para satisfacer la condición 2, por lo tanto:. u (t ). 1 s. 1.2. NOTA: La notación de doble flecha se suele usar para indicar pares de Transformadas de Laplace. Con lo anterior se ha establecido el primer par de Transformadas de Laplace con gran facilidad (Nicolaescu 2004).. 1.5. Función impulso unitario. (t. t0 ). Otra función cuya transformada reviste un considerable interés, es la función impulso unitario. (t. t0 ) ..

(18) CAPITULO 1. 11. F(x). Función impulso unitario. (t. t0 ) :. Se usa a menudo para aproximar un pulso de señal cuya duración es muy corta, en comparación con la constante de tiempo del circuito. Figura 1.3 Parece bastante extraña en un principio, aunque es muy útil en la práctica. La función impulso unitario es definida para tener un área unitaria, por lo que:. (t. 0. t. t0 )dt. 1. t0 ). t0. t0. (t t0. donde є es una constante pequeña. Así, esta función, tiene un valor distinto do cero solo en el punto t0 . Para t0. 0 , se encuentra por lo tanto que la. Transformada de Laplace es:. L{ (t. t0 )}. e. st. (t. t0 )dt. e. 0. (t t0 ). e. st 0. En particular, se observa que se obtiene :. 1.3. st0.

(19) CAPITULO 1. (t ). 12. 1. Para t 0. 0 1.4. Otra característica importante de la función impulso unitario, se conoce como la propiedad de filtrado. Si se considera la integral de la función impulso multiplicada por una función arbitraria f (t ) :. f (t ) (t Puesto que la función. t 0 )dt (t. t0 ) es cero en todos lados, excepto en t. t 0 el. f (t 0 ) . La propiedad resulta ser muy útil. valor de la integral es simplemente. para simplificar las expresiones integrales que contienen que contienen la función impulso unitario (Hayt 2008).. 1.6 Función exponencial. e. t. Figura 1.4 Examinamos su transformada:.

(20) CAPITULO 1. 13 t. L{e. u (t )}. t. e. e. st. dt. 0. 1 s. e. s. 1. t 0. s. y por lo tanto:. 1. t. e u (t ). s. Se entiende que Re{s}. 1.7. Función rampa. 1.5. (Hayt 2008).. tu(t ). Figura 1.5 Obtenemos. st. L{tu(t )}. te dt 0. Por tanto. 1 s2.

(21) CAPITULO 1. tu(t ). 14. 1 s2. 1.6. ya sea mediante integración directa por partes o a partir de una tabla de integrales. Se demuestra también que :. 1. t. te u (t ). 1.7. )2. (s. 1.8 Técnicas de la Transformada Inversa 1.8.1 El teorema de linealidad La evaluación adicional de la transformada de Laplace es fácil aplicando varios teoremas fundamentales. Uno de los más simples es el Teorema de Linealidad: la transformada de Laplace de una suma de dos o más funciones del tiempo es igual a la suma de las transformadas de las funciones del tiempo individuales. Para dos funciones de tiempo tenemos:. L{ f1 t. f2 t }. e. st. f1 t. f 2 t dt. 0. e. st. f1 t dt. 0. F1 ( s). e 0. F2 ( s). st. f 2 t dt.

(22) CAPITULO 1. 15. Esta se conoce como la como la propiedad aditiva. de la Transformada de. Laplace (Hayt 2008). Como un ejemplo del uso de este teorema, supóngase que se tiene una transformada de Laplace V (s) y que se desea conocer la función de tiempo correspondiente v (t ) . Muchas veces se podrá descomponer V (s) en una suma de dos o más funciones, digamos, V1 ( s ) y V 2 ( s ) , cuyas transformadas, v1 (t ) y v 2 (t ) , ya están tabuladas. En ese caso, se vuelve un asunto simple aplicar el teorema de linealidad y escribir:. v(t ). L. 1. V ( s). L. 1. V1 ( s ) V2 ( s ). L. 1. V1 ( s ). L. 1. V2 ( s ). v1 (t ). v2 (t ). Otra consecuencia importante del teorema de linealidad resulta evidente al estudiar la definición de la Transformada de Laplace. Puesto que se trabaja simplemente con una integral, la Transformada de Laplace de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la Transformada de Laplace de la función. En otras palabras:. L kv(t ). kv(t ). kL v(t ). kV (s). 1.8. Esta se conoce como la propiedad de homogeneidad de la Transformada de Laplace. Donde k, es una constante de proporcionalidad. Este resultado es en extremo útil en muchas situaciones que se presentan en el análisis de circuitos (Hayt 2008). 1.9 Transformada Inversa para Funciones Racionales Al analizar circuitos con elementos múltiples de almacenamiento de energía, muchas veces nos topamos con expresiones en el dominio de s que son razones.

(23) CAPITULO 1. 16. de polinomios en s. Por ello, se encuentran de manera rutinaria expresiones de la forma:. V (s). N (s) D( s). donde N (s) y D(s) son polinomios en s. Los valores de s que originan que N (s) = 0 se conocen como ceros de V (s) , y los valores de s que dan lugar a D(s) = 0, se conocen como polos de V (s) (Portillo 2005). Muchas veces se descompone esta expresión utilizando el método de residuos en términos más simples, cuyas transformadas inversas ya se conocen. El criterio para lo anterior es que V (s) debe ser una Función Racional para la cual grado del numerador N (s) debe ser menor que el del denominador D(s) . En la práctica rara vez es necesario recurrir a la ecuación. f ( s). 0. 1 2. j. j. e st F ( s )ds 0. j. para funciones que se encuentran en el análisis de circuitos, siempre y cuando se utilicen las distintas técnicas que se presentan en este trabajo. Al emplear el método de residuos, efectuando en esencia un desarrollo en fracciones parciales de V (s) , se centra la atención en las raíces del denominador. De tal manera, se requiere factorizar el polinomio en s que abarca a D(s) en un producto de términos binomiales. Las raíces de D(s) podrían ser cualquier combinación de raíces distintas o repetidas, y pudieran ser raíces reales o complejas. Vale la pena señalar, si embargo, que la raíces compleja siempre aparecen como pares conjugados, siempre que sean reales los coeficientes de D(s) .. 1.9.1 Polos distintos Como un ejemplo específico, se determina la transformada inversa de Laplace de:.

(24) CAPITULO 1. 17. 1. V (s). s. s. El denominador en s, se factorizó en dos raíces distintas,. y β. Aunque es posible. sustituir esta expresión en la ecuación de definición de la transformada inversa, resulta más fácil utilizar el teorema de linealidad. Mediante el uso del desarrollo en fracciones parciales, se divide la transformada particular, en la suma de dos transformadas más simples:. A. V ( s). B. s. s. Donde A y B se determinan mediante cualquiera de los diversos métodos. Tal vez la solución más rápida se obtenga al reconocer que:. A. lim. s. s s. V ( s). s. lim s. 1. B 1. 0. s. En la ecuación, se emplea la variación de una sola fracción (es decir, no desarrollada) de V (s) . De la misma manera:. B. 1. Y, por lo tanto. V (s). 1. 1 s. s. Ya se ha evaluado las transformadas inversas de esta forma, por lo que:. v(t ). 1. e. t. u (t ). 1. e. t. u (t ).

(25) CAPITULO 1. 18. 1. t. (e. t. e. )u (t ). Puede incluirse ahora, lo anterior, como una nueva entrada en el catálogo de pares de Laplace:. 1. t. (e. 1. e t )u (t ). 1.9. s. s. .... a1 (s p). 1.9.2 Polos repetidos Considere la función:. V (s). N (s) (s p)n. Que se desarrolla hasta:. V ( s). an (s p) n. an 1 (s p) n. 1. Para determinar cada constante, multiplicamos primero la versión no desarrollada de V (s) por. s p. n. . La constante. expresión que resulta es s. a n se. determina evaluando simplemente la. p . Las constantes restantes se obtienen, al n. diferenciar la expresión evaluar en s. s p V (s). el número apropiado de veces, antes de. p , y dividiendo entre el término factorial. El procedimiento de. diferenciación elimina las constantes que se encontraron antes, y la evaluación en. s. p elimina las constantes que quedan. Por ejemplo,. evaluar:. an. 2. se determina al.

(26) CAPITULO 1. 19. 1 d2 s 2! ds 2 Y el término. n. p V s an. 1 dk s k! ds k. s p. se obtiene evaluando. k. n. p V s. s p. Teoremas Fundamentales 1.9.3 Teorema de diferenciación respecto al tiempo Considérese primero la diferenciación en el tiempo, al considerar una función del tiempo v(t ) , cuya Transformada de Laplace V (s) se sabe que existe. Se desea la transformada de la primera derivada de v(t ) :. L. dv dt. s. st. 0. dv dt dt. Lo anterior puede integrarse por partes. U e. st. dv dt dt. dV. Con el resultado. L. dv dt. vt e. st. e. 0. st. v t dt. 0. El primer término de la derecha debe tender a cero, conforme t aumenta sin límite; en otro caso, V (s) no existiría. Por consiguiente:. L. dv dt. 0 v0. sV s.

(27) CAPITULO 1. dv dt. 20. sV s. 1.10. v0. Se desarrollaría un procedimiento similar para las derivadas de orden superior:. d 2v dt 2. s 2V s. sv 0. v 0 1.11. d 3v dt 3. s 3V s. Donde v 0 v 0. s 2v 0. sv 0. v 0. es el valor de la primera derivada de v(t ) evaluando en t. 0 ,. corresponde al valor inicial de la segunda derivada de v(t ) , etc. Cuando. todas las condiciones iniciales son cero, se observa que diferenciar una vez con respecto a t en el dominio del tiempo, corresponde a la multiplicación por s en el dominio de la frecuencia; diferenciar dos veces en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por s 2 en el dominio de la frecuencia, etc. Por lo tanto, la diferenciación en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar por s en el dominio de la frecuencia (Hayt 2008). 1.9.4 Teorema de integración en el tiempo Se lleva a cabo el mismo tipo de simplificación al encontrarse con la operación de integración con respecto al tiempo en las ecuaciones de circuito. Al determinarse 1. la Transformada de Laplace de la función de tiempo descrita por se tiene:. 0. v x dx ,.

(28) CAPITULO 1. 21. t. L. t. v x dx 0. e. st. 0. v x dx dt 0. Al integral por partes, establecemos: t. u. v x dx. dv e st dt. 0. du. 1 e s. v. v t dt. st. Entonces: t. L. t. t. v x dx 0. 0. 1 e s Pero, dado que e. 1 e s. v x dx. st. st t 0. t st. v x dx 0. 0. 0. 1 st e v t dt s. 1 V s s. 0 conforme t. , el primer término a la derecha se. anula en el límite superior, y conforme t. 0 , la integral en este término se anula. de manera similar. Lo anterior deja sólo el término V s s , por lo que:. t. v x dx 0. V s s. 1.12. y de esa manera la integración en el dominio del tiempo corresponde a la división entre s en el dominio de la frecuencia. Una vez más, una operación de cálculo relativamente complicada en el dominio del tiempo se transforma en una.

(29) CAPITULO 1. 22. operación algebraica relativamente fácil en el dominio de la frecuencia (Portillo 2005). 1.9.5 Teorema de desplazamiento (corrimiento) en el tiempo Como se señaló anteriormente, no todas las funciones forzantes empiezan en t. 0 . ¿Qué ocurre con la transformada de una función del tiempo si esa función. simplemente se desplaza cierta cantidad en el tiempo? En particular, si la transformada de f t u (t ) es la función conocida F (s) , entonces, ¿Cuál es la transformada de f t. a u (t. a) , la función de tiempo original retasada por a. segundos (y que no existe para t. a )? Trabajando directamente con la definición. de la Transformada de Laplace, se obtiene:. L f t. aut. a. e. st. f t. aut. a dt. 0. para t. aut. st. f t. 0. a . Al elegir una nueva variable de integración. L f t. e. a. e. s. a. f. d. t. e. a , obtenemos as. F s. 0. por tanto. f t a. aut. a. e. as. F s. 1.13. 0. Este resultado se conoce como teorema de desplazamiento (corrimiento) en el tiempo, y establece simplemente que si un función de tiempo se retrasa por un tiempo a segundos en el dominio del tiempo, el resultado en el dominio de la frecuencia es una multiplicación por. e. as. .. a dt.

(30) CAPITULO 1. 23. 1.9.6 Teorema del valor inicial Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo la Transformada de Laplace de la derivada:. L. df dt. sF s. f0. e. st. 0. df dt dt. Se permite ahora que s tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos partes: 0. lim sF s. f 0. s. lim s. df e dt dt 0. 0. e 0. st. df dt dt. Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el límite, puesto que el integrando mismo tiende a cero. Además f 0. no es una función de s, así. que podría eliminarse del límite de la izquierda: 0. lim sF s lim. f 0. s. s. df 0. lim f 0. f 0. f 0. s. y por ultimo:. f 0. lim sF s. s o. lim f t. 0. t. lim sF s. s. Éste es el enunciado matemático del teorema del valor inicial, que establece que el valor inicial de la función de tiempo f (t ) se obtiene a partir de su Transformada. f 0.

(31) CAPITULO 1. 24. de Laplace F (s) multiplicando primero la transformada por s y luego dejando que s tienda a infinito. Se observa que el valor inicial de f (t ) es el limite por la derecha (Wiley 1995). El teorema del valor inicial, junto con el teorema del valor final que se considera a continuación, es útil para verificar los resultados de una transformación o de una transformación inversa. 1.9.7 Teorema del valor final Este teorema no es tan útil como el del valor inicial, pues solo se usa con cierta clase de transformadas. Para determinar si esta transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el denominador de F (s) , a fin de determinar todos los valores de s para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se conocen como los polos de F (s) . Sólo aquellas transformadas F (s) cuyos polos se encuentren por completo dentro de la mitad izquierda del plano s (es decir 0 ), salvo para el polo simple s 0 , son adecuadas para utilizarse con el. teorema del valor final. Se considera de nuevo la Transformada de Laplace para df dt :. e 0. st. df dt sF s dt. f0. Esta vez, en el límite cuando s tiende a cero:. lim. s 0 0. e. st. df dt dt. lim sF s s 0. f 0 0. df dt dt. Se supone que tanto f (t ) como su primera derivada son transformables. Ahora bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como un límite:.

(32) CAPITULO 1. 25 t. df dt dt. 0. lim t. 0. df dt dt. Al reconocer que f 0. lim f. t. f 0. t. es una constante, una comparación de las últimas dos. ecuaciones nos muestra que:. lim f t. t. lim sF s s. 0. Que es el teorema del valor final. Al aplicar este último, se requiere saber que f. , el límite de f (t ) cuando t se vuelve infinito, existe o lo que es equivalente a. la misma cosa que todos los polos de F (s) se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción de un polo simple en el origen. El producto sF (s) tiene a todos sus polos dentro del semiplano izquierdo (Hayt 2008).. 1.10 Transformada de Laplace de Sinusoides A fin de ilustrar el teorema de linealidad y del teorema de diferenciación en el tiempo, sin mencionar la adición de un par más importante a la tabla de Transformadas de Laplace, establecemos la Transformada de Laplace de. sen wt u t . Se podría usar la expresión integral de definición con la integración por partes, pero eso es innecesariamente difícil. En su lugar, utilizaremos la relación :. senwt. 1 jwt e 2j. e. jwt. La transformada de la suma en estos dos términos es justo la suma de las transformadas, así que cada término es una función exponencial para la cual ya se tiene la transformada. Se escribe de inmediato:.

(33) CAPITULO 1. L sen. 26. wt. 1 1 2 j s jw. ut. w. L sen wt u t. 2. w. s. 1 s. w jw. w2. s2. 1.14. 2. A continuación se utiliza el teorema de diferenciación en el tiempo para determinar la transformada de cos. wt u. t , que es proporcional a la derivada de sen. wt .Esto. es:. L cos wt u t. s 2. w. s. 1.15. 2. 1.11 Inductores en el dominio de la frecuencia A continuación se considera un inductor conectado a alguna fuente de voltaje variable en el tiempo v (t ) , como se indica en la figura 1.6 a). Se sabe que:. v(t ). L. di dt. Se toma la Transformada de Laplace de ambos lados de esta ecuación, encontrándose: V s. L sI s. i0. Se tienen ahora dos términos sLI s y Li 0. . En situaciones en que la energía. inicial almacenada en el inductor es nula (es decir i 0 V s. sLI s. por lo que. 0 ), entonces:.

(34) CAPITULO 1. V s I s. Z s. 27 sL. Figura 1.6. a) Inductor en el dominio del tiempo, b) Modelo completo para un inductor en el dominio de la frecuencia, compuesto por una impedancia sL tensión. Li 0. y una fuente de. que incorpora el efecto de condiciones iniciales distintas de cero. en el elemento (Hayt 2008). 1.12 Modelo para capacitores en el dominio de la frecuencia Los mismos conceptos se aplican también a los capacitores en el dominio s. Siguiendo la convención de signos pasiva, como se ilustra en la figura 1.7 a), la ecuación que gobierna el capacitor es:. i. C. du dt. Al tomar la Transformada de Laplace en ambos lados se tiene que:. I s. C sV s. v0. I s. CsV s. Cv 0. cuyo modelo puede ser una admitancia sC en paralelo con una fuente de corriente Cv 0 , como en la figura 1.7 b). Al efectuar una transformación de fuentes en este. circuito (teniendo cuidado de seguir la convención de signos pasiva), se produce.

(35) CAPITULO 1. 28. un modelo equivalente para capacitor compuesto por una impedancia con una fuente de tensión. v0 s. 1 en serie sC. , como se muestra en la figura 1.7 c).. Al trabajar con este equivalente en el dominio s, se debe cuidar de no confundirse con las fuentes independientes que se utilizan para incluir las condiciones iniciales. La condición inicial para un capacitor está dada como v 0 , el término quizás aparezca entonces como parte de una fuente de tensión o una de corriente. Un error muy común de los estudiantes que trabajan con el análisis en el dominio s por primera vez es usar siempre v 0. para la componente de fuente de tensión. del modelo (Hayt 2008).. Figura 1.7. a) Capacitor en el dominio del tiempo, en el que se indican v t e i t . b) modelo en el dominio de la frecuencia de un capacitor con voltaje inicial v 0. . c) modelo. equivalente obtenido a través de una transformación de fuente (Hayt 2008)..

(36) CAPITULO 1. 29. 1.13 Función de transferencia H s Definición. H s. Vsal ( s ) Vent ( s). 2.0. Donde es la función de transferencia del circuito, definida como la proporción entre la salida y la entrada. Podríamos especificar sin ningún problema una corriente particular como la cantidad de entrada o salida, lo que implica una función de transferencia diferente para el mismo circuito . El concepto de función de transferencia es muy importante, tanto para el análisis de circuitos como para otras áreas de la ingeniería. Son dos las razones: 1.. Una vez que se conoce la función de transferencia de un circuito particular, se encuentra con facilidad la salida que resulta de cualquier entrada; todo lo que se necesita es multiplicar H s por la transformada de la entrada y tomar la transformada inversa de la expresión que se produce.. 2.. La forma de la función de transferencia contiene una gran cantidad de información acerca del comportamiento que se podría esperar de un circuito o sistema en particular.. Para evaluar la estabilidad de un sistema se requiere determinar los polos y coros de la función de transferencia H s (Hayt 2008)..

(37) CAPITULO 2. 30. CAPÍTULO 2. Ejemplos resueltos. 1. Use métodos de la Transformada de Laplace para encontrar v t 2008): a) 2. dv dt. d 2v b) dt 2. 8v. 3. dv dt. 6u t , v 0. 2v. 1V. 4 t,v 0. 5. V , v0 s. c) v t es el voltaje indicado en la figura.. Figura 2.1 R: a) L 2. dv dt. 8v. L 6u t. 2 sV s. v0. 2sV s. 2 8V s. 8V s 6 s. 6 s. 0. si (Hayt.

(38) CAPITULO 2. 31. 6 s. V s 8 2s. 6 2s s 8 2s. V s. lim sV. A. s. B. 6 2s s A B s 8 2s. 2. 0. lim 8 s. 6 2s 2s. 6 8. lim s s 8. s. s. 0. lim 8. 2s V s. 4. s. V S. 0.75 0.5 s 8 2s. vt. 0.75u t. vt. 0.75 0.25e. 2s. 4. 0.75 s. 6 2s s 8 2s. 0.75 6 8 4. 2 4. 0.5. 0.25 4 s. 0.25 e 4t u t 4t. ut. b). d 2v dv L 3 2v 2 dt dt s 2V s. sv 0. s 2V s. 5 3sV s. v´ 0. V s s 2 3s 2. lim s. 1V s. lim s. 2V s. S. B. S. 1. 2. v0. 2V s. 4. 9 s 1 s 2. 9. 4. 9. 2. V s. 3 sV s 2V s. 9 s 3s 2 9 s 1 s 2. V s. A. L 4δ t. 9 s 1 s 2 A B s 1 s 2. lim s S. 1. 1. lim s. S. 2. 2. 9 s 1 s 2. 9.

(39) CAPITULO 2. 32. 9. V s. 9. vt. s 1 s 2 L1 VS 9e t u t. vt. 9e. t. e. 2t. 9e 2t u t. ut. c) Aplicando LKC en el nodo superior. v dv 0.01 0 20 dt v dv (t ) u (t ) 0.01 0 20 dt. (t ) u (t ) L. 1 V s s 20. 1. 0.01 sV s. 1 s 20 100. V s. v (0 ). 0. 1 s. 1. 5 s s 1 100 s 100 s 1 A V s s5 s s V s. A. lim sV. s. lim s. 5V s. S. B. S. B s 5. lim s. 0. S. 5. 0. 100 s 1 ss 5. lim s S. 5. 5. 20 100 s 1 ss 5. V s. 20 s. 80 s 5. v(t ). LVS. 20u(t ) 80e 5t u(t ). v(t). 20 80 e. 5t. u(t). 400 5. 80.

(40) CAPITULO 2. R. MATLAB: a). >> laplace(2*diff(sym('v(t)'))+8*(sym('v(t)'))-6*sym('Heaviside(t)')) ans = 2*s*laplace(v(t),t,s)-2*v(0)+8*laplace(v(t),t,s)-6/s >> % v(0-)=1 >> Vs=solve('2*s*Vs-2*(1)+8*Vs-6/s=0','Vs') Vs = (s+3)/s/(s+4) >> vt=ilaplace(Vs) vt = 3/4+1/4*exp(-4*t) b). >>laplace(diff(sym('v(t)'),2)+3*diff(sym('v(t)'))+2*(sym('v(t)'))4*sym('Dirac(t)')) ans = s*(s*laplace(v(t),t,s)-v(0))-D(v)(0)+3*s*laplace(v(t),t,s)3*v(0)+2*laplace(v(t),t,s)-4 >> % Dv(0-)=5, v(0-)=0 >> Vs=solve('s*(s*Vs-(0))-(5)+3*s*Vs-3*0+2*Vs-4=0','Vs') Vs = 9/(s^2+3*s+2) >> vt=ilaplace(Vs). 33.

(41) CAPITULO 2. vt = 9*exp(-t)-9*exp(-2*t). c). >>laplace(-sym('Dirac(t)')sym('Heaviside(t)')+1/20*(sym('v(t)'))+0.01*diff(sym('v(t)'))) ans = -1-1/s+1/20*laplace(v(t),t,s)+1/100*s*laplace(v(t),t,s)-1/100*v(0) >> % v(0-)=0 >> Vs=solve('-1-1/s+1/20*Vs+1/100*s*Vs-1/100*(0)=0','Vs') Vs = 100*(s+1)/s/(5+s) >> vt=ilaplace(Vs) vt = 20+80*exp(-5*t) R. SIMULINK: c). 34.

(42) CAPITULO 2. 35.




(46) CAPITULO 2. 39. 2. Encuentre i(t ) en t t. a). 0.8s si:. di dt. 1.5 i(t )dt 6 0. (t ), i(0 ) 0.5. t. b). A. 0. 10 i(t )dt 4i(t ) 8 2u (t ),. i(t )dt 0,8 C. c) i(t ) es la corriente definida en la figura. Figura 2.2 R: a) t. L 1,5 i (t )dt 6 0. I s s I s 1,5 s 1,5. di dt. 6 sI s 6 sI s. I s. 1,5 6s s. 1 3. I s. 1,5 6 s 2 s. 4. I s. 4s 1,5 6 s 2. L (t ). i 0 3. 1. 4. 0,66s s 0,25 2. 1. 0,66. s s2. 0,25. 2.

(47) CAPITULO 2. 40. i(t ) 0,66 cos 0,5t u (t ). Para t. 0,8s. 180. i(0,8) 0,66 cos 0,5. 0,66 cos 22 ,93 . i (0,8). 0,8 u (t ). 0,66 0,92. 0.61 A. b) t. L 10 i (t )dt 0. L 10. 4i (t ). L 8 2u (t ). t. i (t )dt. i (t )dt. 4i (t ). 0. 0,8 I s 4I s s 8 10 I s 4I s s s 10 10 I s 4 s s. 10. I s. 10. I s. 2 s. 2. 0,5 s 2,5. s 4s. 10. i(0,8). 0,5e. 2 s. 10 s 8 2 s s. 4s. i(t ) L 1 I s Para t. 8 s. s. 2 , 5t. u (t ). 0,8 s. 0,5e. 2 , 5 0 ,8. 0,5. 2. c) Aplicando MCM al circuito:. 0.067 A. L 8 2u (t ).

(48) CAPITULO 2. 41. di(t ) 0 dt di(t ) 5i (t ) 10 t u (t ) 10 0 dt 5 i (t ) 2 t u (t ). 10. L 5i (t ) 10 t u (t ) 10. di(t ) dt. 10 10 s I ( s ) i( 0 s2 10 I( s ) 10s 5 s2. 5I ( s). 10 s 10s 5 1 2 s s 0,5. I( s ). A. lim s S. 0. Restando. 2. s s 0,5 A B C 2 s s 0,5 s. 1. 2. s s 0.5. 2 a ambos miembros s2. 2. s s 0,5 1 2 s 0,5 B 2 s s s 0,5 2s B s s 2 s 0,5 2 I1 ( s ) s s 0,5 B. lim s s s S. C. 0. lim. S. ( 0,5). 2. 2. 1. I1 ( s ). 0. 1. 2. I( s ). ). 0. 2 0,5. s 0,5. 2 B C 2 s s 0,5 s C s 0,5 C s 0,5 B C s s 0,5 4 2 s s 0,5. 4.

(49) CAPITULO 2. I( s ). 2 s2. 4 s. 42. 4 s 0,5. Tomando la transformada inversa:. i(t ) 2t u (t ) 4u (t ) 4e Para t. i(0,8). 0 , 5t. u (t ). 0,8s :. 2 0,8 4 4e. i(0,8) 1,6 4 4e. 0 , 5 0 ,8. 0, 4. i(0,8) 1,6 4 4 0,67. 0.28 A. R. MATLAB: a). >> % no usar la variable i para simbolizar la corriente al utilizar laplace >>. laplace(1.5*int(sym('corriente(t)'),0,'t')+6*diff(sym('corriente(t)'))-. sym('Dirac(t)')) Warning: Explicit integral could not be found. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 ans = 3/2*laplace(int(corriente(t),t = 0 .. t),t,s)+6*s*laplace(corriente(t),t,s)6*corriente(0)-1 >> %corriente(0-)=0.5 >> Is=solve('3/2*Is/s+6*s*Is-6*(0.5)-1=0','Is') Is = 2.6666666666666666666666666666667*s/(1.+4.*s^2) >> it=ilaplace(Is).

(50) CAPITULO 2. 43. it = .66666666666666666666666666666668*cos(.5000000000000000000 0000000000000*t) >> t=0.8; >> valordei=.66666666666666666666666666666668*cos(.500000000000 00000000000000000000*t) valordei = 0.6140 b). >> % no usar la variable i para simbolizar la corriente al utilizar laplace >> laplace(10*(int(sym('corriente(t)'),0,'t')+0.8)+4*(sym('corriente(t)'))-82*sym('Heaviside(t)')) Warning: Explicit integral could not be found. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 ans = 10*laplace(int(corriente(t),t = 0 .. t),t,s)+4*laplace(corriente(t),t,s)-2/s >> Is=solve('10*Is/s+4*Is-2/s=0','Is') Is = 1/(5+2*s) >> it=ilaplace(Is) it = 1/2*exp(-5/2*t).

(51) CAPITULO 2. 44. >> t=0.8; >> valordei=1/2*exp(-5/2*t) valordei = 0.0677 c). >> syms t >> % no usar la variable i para simbolizar la corriente al utilizar laplace >>. laplace(5*(sym('corriente(t)')-. 2*t*sym('Heaviside(t)'))+10*diff(sym('corriente(t)'))) ans = 5*laplace(corriente(t),t,s)-10/s^2+10*s*laplace(corriente(t),t,s)10*corriente(0) >> %corriente(0-)=0 >> Is=solve('5*Is-10/s^2+10*s*Is-10*(0)=0','Is') Is = 2/s^2/(1+2*s) >> it=ilaplace(Is) it = 2*t-4+4*exp(-1/2*t) >> t=0.8; >> valordei=2*t-4+4*exp(-1/2*t) valordei = 0.2813.

(52) CAPITULO 2. R. SIMULINK: c). 45.


(54) CAPITULO 2. 47. 3. Encuentre H(s) y h(t) para el circuito mostrado si la salida es considerada como: a) vC (t ) b). iC (t ).

(55) CAPITULO 2. 48. iS (t ). c). d) Hallar i s (t ) si. v s (t ) 10 u (t ) V. Figura 2.3 R: a) Aplicando LKC en el nodo superior:. VC. VS. VC 1 dvc 0 8 2 dt 0,5VS s 0,125VC s. 2 0,5VC s. VC s 0,5 0,125 0,5s H s ht. VC s VS s L1 H s. 0,5 0,625 0,5s e. 1, 25 t. 0,5Vs s 1 s 1,25. u( t ). b) Aplicando MCM. vS 2is 8 iS iC 10iS 8ic. vS. 0 (1). 0,5 sVC s. VC 0. 0.

(56) CAPITULO 2. 49 t. 8 iC. iS. 2 iC dt vC 0. 0. 0 t. 8iC. 2 iC dt 8iS. 0. (2). 0. Transformando (1) y (2):. 10I S s. 8I C s. 8I S s. 8I C s. 8sI S s Hallando. IC s. VS s. ( I). IC s 0 s I C s 8s 2 0. (II). 2. I C s de (I) y (II): 10. VS s. 8s 10. 0 8. 8sVS s 80s 20 64s. 8sVS s 16s 20. 8s 8s 2. Hs. IC s VS s. 8s 16 s 20. 0,5s S s 1,25. Dividiendo el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador:. H ( s) ht. 0.5. 0,5 t. 0,625 s 1.25. 0,625e. 1, 25 t. u( t ). S. c) Hallando I S s de (I) y (II). IS s. VS s 8 0 8s 2 16s 20. 8s 2 VS s 16s 20.

(57) CAPITULO 2. Hs. IS s VS s. 50. 8s 2 16 s 20. 0,5 s 0,25 s 1,25. S. Dividiendo el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador:. 8. H s. 0,5. ht. L1 H s. 0,5 s 1,25. 0,5. 16 s 20. 0,5 t. 0,5e. S. 1, 25 t. u( t ) S. d) La Transformada de Laplace de v s. I s (s) H (s) *Vs (s). 0,5. 10 u (t ) V es V ( s ). 0,5 10 * s 1,25 s. 10 . s. 5 5 s s(s 1,25). Aplicando expansión en fracciones parciales:. 5 A B s( s 1,25) s s 1,25 5 A lim s 0 s 4 s( s 1,25) 5 B lim s 1, 25 ( s 1,25) s ( s 1,25) 4 4 I1 (s) s s 1,25 I1 (s). 4. Por tanto:. I s ( s). 5 4 4 s s s 1,25. 1 4 s s 1,25. La expresión de la corriente en el dominio del tiempo será:. i(t ) (1 4e. 1, 25t. )u (t ) A.

(58) CAPITULO 2. R. MATLAB:. a) >> syms s >> H=1/(s+1.25) H= 1/(s+5/4) >> h=ilaplace(H) h= exp(-5/4*t) b) >> syms Vcs Vss >> Is=solve('10*Iss-8*Ics=Vss','-8*s*Iss+Ics*(8*s+2)=0','Ics','Iss') Is = Ics: [1x1 sym] Iss: [1x1 sym] >> Ics=Is.Ics Ics = 2*s*Vss/(4*s+5) >> Hs=Ics/Vss Hs = 2*s/(4*s+5). 51.

(59) CAPITULO 2. >> ht=ilaplace(Hs) ht = 1/2*Dirac(t)-5/8*exp(-5/4*t). c) >> syms Vcs Vss >> Is=solve('10*Iss-8*Ics=Vss','-8*s*Iss+Ics*(8*s+2)=0','Ics','Iss') Is = Ics: [1x1 sym] Iss: [1x1 sym] >> Iss=Is.Iss Iss = 1/2*Vss*(4*s+1)/(4*s+5) >> Hs=Iss/Vss Hs = 1/2*(4*s+1)/(4*s+5) >> ht=ilaplace(Hs) ht = 1/2*Dirac(t)-1/2*exp(-5/4*t) d) >> syms s >> Hs=0.5-0.5/(s+1.25). 52.

(60) CAPITULO 2. Hs = 1/2-1/2/(s+5/4) >> Vs=10/s Vs = 10/s >> Is=Hs*Vs Is = 10*(1/2-1/2/(s+5/4))/s >> it=ilaplace(Is) it = 4*exp(-5/4*t)+1. R. SIMULINK:. 53.



(63) CAPITULO 2. 56. 4. En el circuito de la figura determine: a). h t para el circuito de la figura si la salida es. b) Hallar. v L (t ). si. v s (t ) 10 u (t ) V. Figura 2.4 R: El circuito en el domino de la frecuencia:. Figura 2.4.1 a). Aplicando LKC en el nodo superior:. VL s. VS s 4. VL s s 6. VL s 0 96 12 s. vL t. ..

(64) CAPITULO 2. VL s. VS s 4. VL s. VS s 4. 57. VL s VL s 0 s 96 12s 6 s 6VL s VL s s 0 s 96 12s. VL s s 96 12s VS s s 96 12s 6VL s 4 96 12s VL s s 4s 4s 96 12s 96sVL s 12s 2VL s. 96sVS s 12s 2VS s 2304VL s 4s 96 12s. VL s 16s 2 384s 2304 VS s 4s 96 12s. 96s 12s 2. VL s 16 s 2 384 s 2304. VS s. H s. VL s VS s. 12s 2. 96s. 12s 2. 16s 2. 288s 1728. 12 16. 12 192s 1728 2 16 16s 384s 2304 12 12s 108 2 16 s 24s 144. H s. 12 s 108 2 s 12. Fs. A. lim. S. 12. s 12. 96 s 12 s 2. 12s 2 96s 16s 2 384s 2304. 192s 1728. H s. 0. 2. A s 12. 2. 12 s 108 2 s 12. B s 12 36. 384s. 2304. 288sVL s. 0 4s 2VL s. 0.

(65) CAPITULO 2. 12 s 108. F1 ( s ). s 12. F1 ( s ). lim. S. H s. ht ht ht. 36. 2. s 12. 12s 144 2 s 12 12 s 12 2 s 12. F1 ( s ). B. 58. s 12. 12. 12 16. B s 12 B s 12. 36e. 12. 12 s 12. 2. L1 H s 12 t 36 e 16 0,75 t. 2. 12 s 12. 36 s 12. B s 12. 12 t. 12 t. tu t. 12 e. tu t. 12e. 12 t. 12 t. ut. ut. b) La Transformada de Laplace de. V L ( s ) H ( s ) * Vs ( s ). vs. 12 36 16 (s 12) 2. 10 u (t ) V 12 10 * s 12 s. Aplicando expansión en fracciones parciales:. 360 s ( s 12 ) 2. A lim s. 12. A ( s 12 ) 2. B s 12. C s. ( s 12 ) 2. 360 s( s 12 ) 2. I. 30. es Vs ( s). 10 . s. 120 360 16s s(s 12) 2. 120 s(s 12).

(66) CAPITULO 2. Restando. 59. 30 a ambos lados de la igualdad I: ( s 12 ) 2. 360 s( s 12 ) 2. 30 ( s 12 ) 2. 360 30 s s ( s 12 ) 2. B lim s. C. 30 ( s 12 ) s ( s 12 ) 2. 12. lim s. 120 s( s 12 ). ( s 12 ). lim s. s. 0. D s. D lim s 0 s. E. B C s 12 s B s 12. 30 ( s 12 ) s( s 12 ) 2. 30 ( s 12 ) s ( s 12 ) 2. C s. 2,5. 2,5. E s 12. 120 10 s( s 12 ). 12. ( s 12 ). 120 s( s 12 ). 10. Por tanto:. VL ( s). 120 30 16 s ( s 12 ) 2. VL ( s). 30 ( s 12 ) 2. 2,5 2,5 10 ( s 12 ) s s. 10 s 12. 30 ( s 12 ) 2. 7,5 s 12. La expresión de la corriente en el dominio del tiempo será:. v L (t ). 30 e. 12t. tu(t ) 7,5e. R. MATLAB:. >> syms s Vss VLs. 12t. u (t ) V. 120 2,5 10 2,5 10 16 s 12 s.

(67) CAPITULO 2. >> VLs=solve('(VLs-Vss)/4+VLs/(s/6)+VLs/(96/s+12)=0','VLs') VLs = 3/4*Vss/(24*s+s^2+144)*s*(8+s) >> Hs=VLs/Vss Hs = 3/4/(24*s+s^2+144)*s*(8+s) >> ht=ilaplace(Hs) ht = 3/4*Dirac(t)+36*t*exp(-12*t)-12*exp(-12*t) b) >> syms s >> Hs=12/16+36/(s+12)^2-12/(s+12) Hs = 3/4+36/(s+12)^2-12/(s+12) >> Vs=10/s Vs = 10/s >> VLs=Hs*Vs VLs = 10*(3/4+36/(s+12)^2-12/(s+12))/s >> vLt=ilaplace(VLs) vLt =. 60.

(68) CAPITULO 2. -30*t*exp(-12*t)+15/2*exp(-12*t) R. SIMULINK: b). 61.

(69) CAPITULO 2. 62. 5. Para el circuito mostrado en la figura, escriba una ecuación diferencial adecuada, tome la Transformada de Laplace en ambos lados y encuentre v0 t si i s (t ). 10 cos tu (t ) A .. Figura 2.5. R:.

(70) CAPITULO 2. 63. Aplicando LKC:. v1 3. iS t. 1 v1dt 10 0. t. 1 v1 v0 dt i L 0 10 0 v1 3. 0. t. 1 v0 dt 10 0. is. 2. v0 2. 0. v0 2. 2. (1). Aplicando LKC: t. 1 v0 10 0. v1 dt i L 0. t. t. 1 1 v1dt v0 dt 10 0 10 0 t t v 1 1 v1dt v0 dt 0 2 10 0 10 0 2. (2). Derivando (2):. 1 1 1 v1 v0 v0 ' 10 10 2 v1 v0 5v0 '. (3). Sustituyendo 2 y 3 en 1: t v v 1 v0 dt 0 2 0 10 0 2 3. 5v0. t. 5 1 v0 ' v0 dt iS 2 3 10 0. 10 v0 ' 6i S. Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados.. 5V0 s v0 0 5V0 s. 10 sV0 s RiL 0. v0 0. 2 2. 10sV0 s. 40. 6I S s. 4V 6I S s. (4).

(71) CAPITULO 2. 64. iS t. 10 cos t u t A. IS s. 10. s s. 2. 1. Sustituyendo en 4:. 60s s2 1 6s 0,5V0 s sV0 s 4 2 s 1 6s 6s 4 s 2 1 V0 s s 0,5 4 s2 1 s2 1 6s 4s 2 4 6s 4s 2 4 V0 s s j s j s 0,5 s 2 1 s 0,5 5V0 s. 10sV0 s. A. V0 s. A. s. B. s. j. s. j. j. lim. s. C s 0,5. j. j. lim S. V0 s. s. lim S. C. B j. S. 40. s. 6s 4s 2 4 j s j s 0,5. 6j 2 j. s. 6s 4s 2 4 j s j s 0,5. 6j 2 j. 0,5. 0,5. 6j 2 j s j. 6j 2 j s j. s. 6s 4s 2 4 j s j s 0,5 2 1,25 s 0,5. 2 1,25.

(72) CAPITULO 2. s. V0 s. V0 s. V0 s. V0 s V0 s V0 s. v0 t. v0 t. 65. j 2. 6j s j 6j 1,6 j 2 j s j s j s 0,5 6 6 js 6 6 js 1,6 2 j 2 j s j s j s 0,5 6s 12 j125 j 6 12 j125 j 6 6s 2 j 2 j s j s j. 1,6 s 0,5. 12s 24 1,6 5 2 s 0,5 s 1 12 s 24 1 1,6 2 2 5 s 1 5 s 1 s 0,5 s 1 1,6 2,4 2 4,8 2 s 1 s 1 s 0,5. 2,4 cos t u t 1,6e. 0 , 5t. 4,8 sent u t. 2,4 cos t 4,8 sent u t. 1,6e. 0 , 5t. ut. V. R. MATLAB:. >> Vos=solve('5*Vos+10*s*Vos-40=60*s/(s^2+1)','Vos') Vos = 4*(2*s^2+2+3*s)/(s^2+1)/(1+2*s) >> vot=ilaplace(Vos) vot = 8/5*exp(-1/2*t)+12/5*cos(t)+24/5*sin(t).

(73) CAPITULO 2. R. SIMULINK:. 66.





(78) CAPITULO 2. 71. 6. a) Escriba una sola ecuación nodal en el dominio del tiempo en términos de vC t para el circuito de la figura. b) Tome la Transformada de Laplace de la ecuación y úsela para encontrar vC t .. Figura 2.6 R: a) Aplicando LKC para t > 0:. vc. 100u t 30. vc. 100u t. 0,3vc ' 2,5vc. 50. dvc vc dt 20 dv 50 0,3 c 1,5vc dt 150 0 0,01. 0 0.

(79) CAPITULO 2. 72. b). 0,3 sVC s. vC 0. vC 0. 20 30 20. 50. 0,3 sVC s. 20. 0,3sVC s. 2,5VC s. VC s 0,3s 2,5. A. s. B. 0. lim s. 25 3. 1000 25 Vc s. vc t. 60 s. s. 150 s. 0. 150 6 s. 150 6s s. A B s s 25 3. 500 20s 25 s s 3. lim s. 0. 20 V. 2,5VC s. 500 20 s 25 s s 3. VC s. 150 s. 2,5VC s. 60. 25 500 20s 25 3 s s 3. 500. 500 3 25 3. 1500 500 3 25 3. 40 40 25 s 3. 60u t. 40e. 25 t 3. ut. V. Para todos los valores de t:. vc t. 20u t. 60 40e. 25 t 3. ut. V.

(80) CAPITULO 2. R. MATLAB: b) >> laplace(0.3*diff(sym('vc(t)'))+2.5*(sym('vc(t)'))-150). ans = 3/10*s*laplace(vc(t),t,s)-3/10*vc(0)+5/2*laplace(vc(t),t,s)-150/s >> %vc(0-)=20 V >> Vcs=solve('3/10*s*Vcs-3/10*(20)+5/2*Vcs-150/s=0','Vcs') Vcs = 60*(s+25)/s/(3*s+25) >> vct=ilaplace(Vcs) vct = 60-40*exp(-25/3*t) R. SIMULINK:. 73.




(84) CAPITULO 2. 77. 7. Escriba una sola ecuación integrodiferencial en términos de v L t. para el. circuito de la figura, tome su Transformada de Laplace, obtenga v L s obtenga v L t mediante la transformada inversa (A.DeCarlo 2001).. Figura 2.7 R:. vL 5 t 5. t. vl 2u t 20. 1 v L dt il 0 0,2 0. Tomando la Transformada de Laplace:. v s 1 vL s 5 5 L 5 S 4sv L s. vL s 20. 2 0 S. 20s 100v L s sv L s 20s 100v L s 40 20s. 5sv L s. 40 20s 5s 100. vL s. 4s 8 s 20. 4s 8 4 s 80 72. vL s. 4. vL t. 4 t. s 20 4. 72 s 20 72 e. 20 t. ut. V. 40. 0. 0. y.

(85) CAPITULO 2. R. MATLAB:. >>laplace((1/20)*(sym('vl(t)'))-2*sym('Heaviside(t)')+0.2*(sym('vl(t)'))(sym('Dirac(t)'))+5*int(sym('vl(t)'),0,'t')) Warning: Explicit integral could not be found. > In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 ans = 1/4*laplace(vl(t),t,s)-2/s-1+5*laplace(int(vl(t),t = 0 .. t),t,s) >> vl=solve('1/4*vl-2/s-1+5*vl/s','vl') vl = 4*(2+s)/(s+20) >> Vt=ilaplace(vl) Vt = 4*Dirac(t)-72*exp(-20*t). R. SIMULINK:. 78.

(86) CAPITULO 2. 79. 8. Hallar v 0 (t ) para t. 0;. v s (t ). 5u t. V;. v0 0. Figura 2.8 Solución: Aplicando LKV. 2. dV0 dt. v0 t. L 2. dv0 dt. L 2. dv0 dt. vs t. v0 t L v0 t. L vs t L vs t. aplicando la transformada 2 y 3 se obtiene:. 0..

(87) CAPITULO 2. 80. 2 sV0 s como V 0 0. v0 0. V0 s. Vs s. 0 despejando V0 s se tiene:. 1 Vs s 2s 1. V0 s. 0.5 Vs s s 0.5 aplicandole la Transformada de Laplace a la fuente:. Vs s. L 5u t 0.5 5 s 0.5 s. V0 s. 5 s. 5L u t 2.5 s s 0.5. dividiendo en fracciones simples. X1 s. 2 .5 s s 0. 5. V0 s. X2 s 0.5. evaluando V0 s en cero y en (-0.5) se obtiene X 1 y X 2 respectivamente:. X1 X2. s. 2.5 s s 0.5 s. 0.5. 5 s 0. 2.5 s s 0.5. 5 s. 0.5. y V0 s queda como:. V0 s. 5 5 s s 0.5. aplicamos transformada inversa para hallar v 0 t :.

(88) CAPITULO 2. 81. v0 t. L-1 V0 s. v0 t. 5u t. v0 t. 51 e. 5e 0 .5 t. 5L 1 0.5t. 1 s. 5L 1. 1 s 0.5. ut. ut. R. MATLAB:. >> laplace(2*diff(sym('v(t)'))+sym('v(t)')-5*sym('Heaviside(t)')) ans = 2*s*laplace(v(t),t,s)-2*v(0)+laplace(v(t),t,s)-5/s >> Vs=solve('2*s*Vs+Vs-5/s','Vs') Vs = 5/s/(2*s+1) >> vt=ilaplace(Vs) vt = 5-5*exp(-1/2*t) R. SIMULINK:.

(89) CAPITULO 2. 82. 9. Hallar el voltaje en el capacitor para t > 0 si. Figura 2.10. Figura 2.10.1. vs t. 10u t (Davis 1998)..

(90) CAPITULO 2. 83. Solución:. LKC en el nodo superior:. Vc s. Vs s. Vc s 1 s. Vs s. sV c s. 1 Vc s. 1. Vc s 1 s. s 3. s 3 s 1 1 s 3. Vc s. 10 s 3 s s 2 4s 4. Vc s. 10 s s s 2 10. A. s 2. Lim s s. 2. Reatando. 0. Vc s s 3. 0. 10 0 s. Vc s. Vc s. Vc s s 3. 10 s. 3 2. s 2 30. 2. 2. ss 2 30 2 ss 2. 2. 10 2. 2. s 2. A 2. 15. 15 en ampos miembros 2 s 2. s 2. B 2. s 2. C s.

(91) CAPITULO 2. F s F s B C Vc s Vc t Vc t. 84. 30. 15 2. ss 2 30 15s ss. 2. s. s. 2 15 ss 2. 2. 2. B 2. C s. 2. C s. B s. 30 15 7.5 ss 2 2 s 2 30 15 s 7.5 Lim s s 2 2 s 0 10 15 7.5 7.5 2 2 s 2 s s 2 s 2. Lim. 5 te. s. 2t. 2. ut. 7.5 7.5e. 2t. 7.5e. 2t. 5te. 2t. ut. 7.5u t. ut. R. MATLAB:. >> Vcs=solve('Vcs*(1+s+1/(s+3))-10/s=0','Vcs') Vcs = 10/s/(4*s+4+s^2)*(s+3) >> vct=ilaplace(Vcs) vct =.

(92) CAPITULO 2. 15/2-5*t*exp(-2*t)-15/2*exp(-2*t). R. SIMULINK:. 85.


(94) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 87. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Conclusiones . En el trabajo elaborado se cumplió con el objetivo propuesto al resolver analiticamente,utilizando Matlab y Simulink los circuitos eléctricos en estado transitorio utilizando la Transformada de Laplace.. . En la solución de los ejercicios se explicó en detalle la aplicación del Matlab y el Simulink por lo que el trabajo servirá como base material de estudio para los estudiantes y profesores.. Recomendaciones. . Colocar en la red los resultados obtenidos para que sean utilizados, por parte de estudiantes y profesores.. . Resolver,. en. futuros. trabajos,. ejercicios. más. estrechamente vinculados con la práctica profesional.. complejos. y. más.

(95) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 88. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. (2001). "Analisis Circuitos Aplicando Transformada De Laplace." http://www.mitecnologico.com. (2006). transformada de laplace http://www.disa.bi.ehu.es. A.DeCarlo, R. (2001). Liner Circuit Analysis Allyn, W. (2005). Basic Technical Mathematics with Calculus. Appleby, J. (2001). "Laplace Transforms." planetalibro.wordpress.com. Cazelais, G. (2006). Transformada de Laplace. Davis, A. (1998). Linear Circuit Analysis. Dodson, C. T. J. (2007). http://www.ma.umist.ac.uk.. "Introduction. to. Hayt, W. (2008). Análisis de circuitos en ingeniería Hayt, W. (2008). Análisis de circuitos en ingeniería. Laplace. Transforms. for. Engineers.".

(96) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 89. M.Davis (2000). "Linear Circuit Analysis ". Nicolaescu, L. (2004). http://nyjm.albany.edu.. "Laplace. transforms. of. large. powers. of. a. polynomial.". Portillo, E. (2005). "Laplace." http://www.cucei.udg.mx. Raymond DeCarlo, P.-M. L. (2001). Liner Circuit Analysis. Rivera, J. (2006). "Cap8." http://cmap.upb.edu.co. Weisstein, E. (2006). "Laplace Transform." http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform. Wiley, J. (1995). Modeling and Analysis of Dynamic Systems..

(97) ANEXOS. 90. ANEXOS. Anexo I. Pares de Transformadas de Laplace. f t. L1 F s. F s. L f t 1. t u t. 1 s. tu t. 1 s2. tn 1 u t ,n n 1!. e tu t. 1 sn. 1, 2.... 1 s.

(98) ANEXOS. 91. 1. t. te u t tn 1 e n 1!. 1. e. t. t. u t ,n. e. t. 1. 1, 2.... u t. n. s. 1 s. s w. sen wt u t. s. 2. w2 s. cos wt u t. .. 2. s. s2. w2. sen. wt. ut. ssen s2. w cos w2. cos. wt. ut. s cos s2. wsen w2. e. t. e. t. sen wt u t cos wt u t. w s. 2. w2. 2. w2. s s.

(99) ANEXOS. Anexo II. 92. Operaciones de la Transformada de Laplace. f t. Operaciones. f1 t. Adición. Multiplicación. F s f2 t. F1 s. kf t. escalar. kF s. df dt Diferenciación en. d2 f dt 2. el tiempo. d3 f dt 3 t. Integración en el tiempo. 0. t. s2F s. f t dt. 1 F s s. Desplazamiento. f t a u t a ,a 0. f 0. sf 0. s3F s s 2 f 0 1 F s s. f1 t * f 2 t. en el tiempo. sF s. f t dt. Convolución. F2 s. 1 s. sf 0. 0. as. f 0. f t dt. F1 s F2 s e. f 0. F s.

(100) ANEXOS. 93. Desplazamiento. f t e. (corrimiento) en. as. F s. a. frecuencia Diferenciación de. dF s. tf t. frecuencia Integración de frecuencia. f t t. Valor inicial. f 0. ds. s. F s ds. lim sF. s. s. lim sF. f. Valor final. s. 0. s. todos los polos sF s. LHP. Periodicidad en el tiempo. Escalamiento. f t. f t. f at , a. nT. 0. 1 1 e. Ts. F1 s. 1 s F a a. en.

(101) ANEXOS. f t. f t nT. Periodicidad. 94. 1 1 e. Ts. F1 s. en el tiempo n. 1,2...... Donde F1 s. T 0. f t e st dt. Anexo III Equivalente de una función en Matlab (matemática simbólica). Función. Matlab. V(s). sym(„v(t)‟). u(t). sym(„Heaviside(t)‟). δ(t). sym(„Dirac(t)‟). d 2v dt 2. diff(sym(„v(t)‟),2). dv dt. diff(sym(„v(t)‟)). t 0. i (t )dt. Int(sym(„corriente(t)‟),0,‟t‟).

(102)