Modelo cosmológico anisótropo con métrica Bianchi tipo I axisimétrica en coordenadas esféricas con constante cosmológica distinta de cero

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL. FACULTAD DE CIENCIAS. MODELO COSMOLÓGICO ANISÓTROPO CON MÉTRICA BIANCHI TIPO I AXISIMÉTRICA EN COORDENADAS ESFÉRICAS CON CONSTANTE COSMOLÓGICA DISTINTA DE CERO. PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE FÍSICO. MARIO FRANCISCO LLERENA OÑA mario.llerena01@epn.edu.ec. Director: DR. ERICSON DANIEL LÓPEZ IZURIETA ericsson.lopez@epn.edu.ec. QUITO, MAYO 2016.

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(4) AGRADECIMIENTOS. Quiero agradecer a mi familia por el apoyo recibido a lo largo de estos años pues su soporte permitió que mi educación no se trunque, lo que es privilegio de pocos y deseo de muchos. Quiero agradecer al Observatorio Astronómico de Quito por su apertura al permitirme realizar este proyecto en sus instalaciones, especialmente al Dr. Ericson López quien brindó parte de su valioso tiempo para el desarrollo de esta tesis y cuya experiencia permitió resolver dudas y plantear interrogantes durante el proceso. Quiero agradecer al personal docente de la Facultad de Ciencias de la Escuela Politécnica Nacional por su dedicación en cada clase dictada pues por ellos cuestiono lo que observo. Y por último, agradecer a Sebastián, por su ayuda en momentos de desesperación, por su confianza en momentos de dudas y por su paciencia en momentos de miedo..

(5) DEDICATORIA. A mi familia. A Sebastián..

(6) Índice general Lista de figuras. VIII. Resumen. XII. Abstract. XIII. 1. Introducción. 1. 2. Modelo Cosmológico Isótropo. 6. 2.1. Revisión Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.1. Tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.2. Símbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.3. Tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.1.4. Tensor de Ricci y escalar de curvatura . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.1.5. Tensor Energía-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.1.6. Ecuaciones de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.2. Principio Cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.3. Deducción de la métrica Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker (FLRW) para diferentes geometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.4. Ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.5. Soluciones con Λ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3. Universo anisótropo. 23. 3.1. Anomalías de la CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.2. Estructura a cortas distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. VI.

(7) ÍNDICE GENERAL 3.3. Modelos Anisótropos Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Propuesta de Modelo Cosmológico Anisótropo en el vacío. 32 36. 4.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4.2. Métrica Axisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 4.3. Tensor de Einstein con Λ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 4.4. Solución de las Ecuaciones de Campo en el vacío . . . . . . . . . . . .. 42. 4.4.1. Plano ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4.4.2. Plano φ = π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.4.3. Plano φ = π/6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.4.4. Solución en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 5. Propuesta de Modelo Cosmológico Anisótropo con campos de materia. 51. 5.1. Ecuaciones de Campo con fluido barotrópico . . . . . . . . . . . . . .. 51. 5.2. Época dominada por Polvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 5.3. Época dominada por Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 6. Consecuencias Físicas de las propuestas. 60. 6.1. Cinemática de un fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 6.1.1. Expansión de un fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 6.1.2. Rotación de un fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 6.1.3. Shear de un fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 6.1.4. Parámetro de desaceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 6.1.5. Parámetro de anisotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 6.2. Geodésicas nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 6.3. Corrimiento al rojo cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 6.4. Área del universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 7. Conclusiones. 84. Bibliografía. 88. ′ en SageMath A. Componentes del tensor Gµν. 93. VII.

(8) ÍNDICE GENERAL B. Componentes del tensor Tµν en SageMath. VIII. 95.

(9) Índice de figuras 1.1. Regiones de confianza a 68.3 %, 95.4 % y 99.7 % en el plano (Ω M , ΩΛ ) con las observaciones de la CMB, BAO y supernovas Ia. Esta evidencia sugiere que la geometría espacial del Universo es plana. Imagen tomada de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1. Distribución de 221414 galaxias elaborado por el Anglo-Australian Observatory 2dF Galaxy Redshift Survey. Imagen tomada de [17] . . . . . .. 13. 2.2. Distribución de fuentes de radio. En la imagen superior se encuentran las 4 × 104 fuentes de radio más brillantes del hemisferio norte. En la imagen inferior se encuentran las fuentes a 15◦ del polo norte. Imagen. tomada de [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3. Corte temporal del universo FLRW espacialmente plano para k = 0. Imagen tomada de [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.4. Corte temporal del universo FLRW espacialmente cerrado para k = 1. Imagen tomada de [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.5. Corte temporal del universo FLRW espacialmente abierto para k =. −1. Imagen tomada de [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.1. Mapas de temperatura de la CMB, obtenidos por las misiones COBE y WMAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.2. Mapa de la temperatura de CMB en diferentes frecuencias con los datos del noveno año de operaciones del WMAP. Imagen tomada de [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.3. Fluctuaciones en la temperatura de la CMB medidas por Planck. Imagen tomada de [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IX. 26.

(10) ÍNDICE DE FIGURAS 3.4. Espectro angular de potencias de la variación de temperatura de la CMB con los datos del primer año de operaciones de WMAP. Imagen tomada de [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.5. Alineación entre el momento cuadrupolar y el octopolar de la variación de temperatura de la CMB. Imagen tomada de [25] . . . . . . . .. 28. 3.6. Alineación entre el octopolo y el cuadrupolo restringiendo datos de algunas regiones. Imagen tomada de [7] . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.7. Mapa de vectores de polarización de quásares a diferente redshift. Imagen tomada de [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.8. Mapa de galaxias con brillo mayor a 15.5 y velocidades menores a 12000 km/s realizado por CfA Redshift Survey. Imagen tomada de [40]. 32. 5.1. Evolución temporal del factor de escala a(t) para las épocas de dominio de polvo y radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.2. Evolución temporal de la densidad en las épocas dominadas por polvo y radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 6.1. Evolución temporal del escalar de expansión para las épocas de dominio del polvo y de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 6.2. Evolución temporal de la posición comóvil radial de un fotón en el universo axisimétrico vacío con C6 = 1 y α = 1 . . . . . . . . . . . . .. 70. 6.3. Evolución temporal de la velocidad radial de un fotón en el universo axisimétrico vacío con C6 = 1 y α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 6.4. Evolución temporal de la posición comóvil radial de un fotón en el universo axisimétrico dominado por polvo con Ka = 1 . . . . . . . .. 72. 6.5. Evolución temporal de la velocidad radial de un fotón en el universo axisimétrico dominado por polvo con Ka = 1 . . . . . . . . . . . . . .. 73. 6.6. Evolución temporal de la posición comóvil radial de un fotón en el universo axisimétrico dominado por radiación con Ka = 1 . . . . . .. 73. 6.7. Evolución temporal de la velocidad radial de un fotón en el universo axisimétrico dominado por radiación con Ka = 1 . . . . . . . . . . . .. 74. 6.8. Evolución temporal del corrimiento al rojo cosmológico promedio para el universo axisimétrico vacío con C6 = 1 y distintos valores de C7. X. 75.

(11) ÍNDICE DE FIGURAS 6.9. Evolución temporal del corrimiento al rojo cosmológico promedio para el universo axisimétrico dominado por fluido barotrópico con Λ = 0, Ka = 1 y distintos valores de Kc . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 6.10. Evolución temporal del corrimiento al rojo cosmológico para la solución de vacío con α = 1 y C6 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 6.11. Evolución temporal del corrimiento al rojo cosmológico para la solución de dominio de polvo con Ka = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 6.12. Evolución temporal del corrimiento al rojo cosmológico para la solución de dominio de radiación con Ka = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 6.13. Evolución temporal del área total para la solución de vacío con α = 1, C6 = 1 y cambiando C7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 6.14. Evolución temporal del área total en vacío con α = 1 para tiempos cercanos a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 6.15. Evolución temporal del área total en la época de dominio del polvo con Ka = 1 y distintos valores de Kc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 6.16. Evolución temporal del área total en la época de dominio de la radiación con Ka = 1 y para distintos valores de Kc < 1 . . . . . . . . . . .. XI. 83.

(12) Resumen Los modelos anisótropos son una alternativa para explicar las anomalías halladas en la Radiación Cósmica de Microondas (CMB) que no son explicadas desde el Modelo Cosmológico Estándar, como el bajo valor del cuadrupolo o la alineación entre los momentos cuadrupolar y octopolar, y también para explicar evidencias de anisotropías no vinculadas a la CMB, por ejemplo, la presencia de polarización en radio de radio galaxias y la polarización en el visible de fuentes cuasi-estelares. En este trabajo se planteó analizar el modelo Bianchi tipo I axisimétrico en coordenadas esféricas, cuya métrica es no diagonal, dado que se aprovecha la simetría de la variedad y los resultados obtenidos pueden ser comparables con los resultados obtenidos con el Modelo Estándar. En primera instancia, se planteó la solución en el vacío con constante cosmológica distinta de cero y en segunda instancia, se consideró un universo lleno de fluido ideal barotrópico, en especial, polvo y radiación, con constante cosmológica nula. Se obtuvo que los factores de escala son proporcionales, lo que implica que el escalar de expansión, las componentes del tensor shear, el parámetro de anisotropía y el parámetro de desaceleración, considerando fluido ideal, son indistinguibles del caso isótropo. En cuanto a la rotación se obtuvo que es nula sin importar el contenido de materia. Además, se halló que la expansión anisótropa depende de la diferencia en la tasa de expansión en los ejes cartesianos. Por otro lado, al analizar el comportamiento de las geodésicas nulas, el área total de la variedad y el corrimiento al rojo, se establece que el universo descrito por este modelo es distinto al descrito por el Modelo Estándar pero se hallaron etapas de isotropización.. XII.

(13) Abstract The anisotropic models are an alternative to explain the anomalies found in the Cosmic Microwave Background (CMB) that are not explained from the Cosmological Standard Model as the low value of the quadrupole or the alignment between the quadrupole and octupole moments, and also to explain anisotropies evidence unrelated to the CMB, for example, the presence of polarization of radio galaxies and radio polarization in the visible quasi-stellar sources. In this thesis, because of the symmetry of the manifold and because the results can be comparable with the results obtained with the Standard Model, we analyse a model Bianchi type I axisymmetric in spherical coordinates, which metric is no diagonal. At first, the solution was considered in vacuum with non vanishing cosmological constant and secondly, an universe full of barotropic ideal fluid, especially dust and radiation, with vanishing cosmological constant was considered. It was found that the scale factors are proportional, which means that the scale of expansion, the components of the shear tensor, the anisotropy parameter and the deceleration parameter, considering fluid ideal, are indistinguishable from the isotropic case. The rotation was obtained to be zero. Also, we found that the anisotropic expansion depends on the differences between the Hubble parameters and, in analysing the behaviour of null geodesics, the total area of the manifold and the cosmological redshift, we found that the universe described by this model is different to the one described by the Standard Model but we also found that the universe turns to isotropic model in some aspects.. XIII.

(14) Capítulo 1 Introducción El Modelo Cosmológico Estándar asume que el Universo a grandes escalas, en el orden de 109 pc [30, 54], está descrito, dentro del contexto de la Relatividad General, por la métrica de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) que es isótropa y homogénea. Según el modelo, los elementos que forman parte del Universo son radiación, materia ordinaria (electrones, protones, etc), materia oscura fría no bariónica y energía oscura [54]. La métrica FLRW, que tiene la forma [36] 1 2 2 2 ds = dt ⊗ dt − R (t) dr ⊗ dr + r dΩ ⊗ dΩ 1 − kr2. (1.1). es la métrica que cumple con el Principio Cosmológico de isotropía y homogeneidad, donde R(t) es un factor de escala temporal y k es una constante cuyo valor determina la geometría espacial de la variedad. Cuando k = 0, la geometría espacial es plana y la métrica puede escribirse como ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t) dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ. (1.2). Según los resultados obtenidos sobre la concentración de materia Ω M y la concentración de energía oscura ΩΛ para el Modelo Cosmológico Estándar a partir de las observaciones con el Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) sobre la Radiación Cósmica de Fondo (CMB, por sus siglas en inglés) [54], los resultados de las pruebas con supernovas tipo Ia [3] y los resultados con observaciones de las Oscilaciones Acústicas de Bariones (BAO, por sus siglas en inglés), se tiene evidencia que indica que el Universo es espacialmente plano [54]. En la figura (1.1) se muestran los resultados de las tres pruebas anteriormente mencionadas que sugieren que la. 1.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. Figura 1.1: Regiones de confianza a 68.3 %, 95.4 % y 99.7 % en el plano (Ω M , ΩΛ ) con las observaciones de la CMB, BAO y supernovas Ia. Esta evidencia sugiere que la geometría espacial del Universo es plana. Imagen tomada de [3]. concentración de materia es cercana al 30 % mientras que la concentración de energía oscura es próxima al 70 % [43], y además la geometría espacial del Universo es plana [3]. Por otro lado, entre la evidencia observacional que verifica el Principio Cosmológico está el mapeo de galaxias del Sloan Digital Sky Surveys (SDSS) que ha demostrado que la distribución de galaxias es homogénea a una escala superior a 140Mpc [38]. Con respecto a la isotropía del Universo, se la infiere de resultados observacionales. Por ejemplo, en [16] se determinó que la distribución de las fuentes de radio más brillantes del hemisferio norte que se encuentran a una distancia de ∼ 200Mpc es isotrópica y confirma homogeneidad espacial.. El satélite COsmic Background Explorer (COBE) confirmó que la CMB mostraba un espectro de cuerpo negro con una temperatura de 2.726±0.010K con un nivel de confianza del 95 % [35] pero se determinó que existían pequeñas variaciones en la temperatura de la CMB, del orden de ∆T/T = 10−5 [20, 53].. 2.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Posteriormente, la misión WMAP, que operó desde el 2001 hasta el 2010, halló anomalías en el espectro de potencias para ángulos grandes como el alineamiento. ∼ 1◦ entre el cuadrupolo y el octopolo [7], el mismo que no es una característica del. mapa de temperaturas sino que está íntimamente asociado con la anisotropía a gran. escala en el hemisferio sur del cielo y la distribución estadística de la anisotropía en todo el cielo [7]. El bajo valor del momento cuadrupolar presentada por [53] es otra de las anomalías. La misión Planck, dedicada al estudio de la CMB, en [41] corroboró que las anomalías halladas por el COBE y la WMAP son características de la radiación, no son errores sistemáticos y que las fluctuaciones de temperatura no son aleatorias (esto en referencia a la región fría no gaussiana que se encontró en los mapas de temperatura y que no se explica desde el Modelo Estándar, así como la asimetría a gran escala entre los hemisferios del mapa de fluctuaciones) [20, 41, 45]. Existen otros resultados observacionales que podrían confirmar la violación del principio de isotropía; por ejemplo, la presencia de polarización en radio de radio galaxias, la polarización en el visible de fuentes cuasi-estelares y el flujo de polarización en radio que sugieren direcciones preferenciales [23]. Otro de los indicios para pensar en un Universo anisótropo es que aunque hoy el Universo sea altamente isótropo, en épocas tempranas pudo no serlo y las anisotropías pudieron disminuir con el paso de su evolución [9, 39]. Estas evidencias observacionales sugieren que un Modelo Cosmológico Anisótropo es necesario para la comprensión de la evolución del Universo. Para este fin se puede pensar en introducir fuentes de materia anisótropas en el Modelo Estándar pero también es posible resolver el problema al incluir las anisotropías como propiedades de la variedad, e incluirlas en el tensor métrico. Esto último es lo que se considera en los modelos Bianchi, los cuales describen universos homogéneos pero anisótropos [24].. σ Dado que en [34] se han impuesto cotas del tipo < 6,9 × 10−10 para la exH 0 ω pansión anisótropa y < 10−6 para la rotación del Universo en la época actual H 0 considerando un universo Bianchi I dominado por polvo con los datos obtenidos por COBE, donde σ es el escalar de shear, ω es el escalar de rotación y H es el parámetro de Hubble, se puede establecer que el Universo es altamente isótropo, por lo tanto, es posible plantear como hipótesis que el Universo debe presentar ligeras variaciones con respecto al comportamiento del Modelo isótropo, y por lo tanto, los modelos Bianchi reducibles al caso FLRW serían los primeros modelos anisótropos 3.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN que deberían ser comprendidos [45], en especial en el caso de geometría espacial plana pues estaría en concordancia con los resultados observacionales. Los modelos Bianchi tipo I, en coordenadas cartesianas, tienen una métrica de la forma [19] ds2 = dt ⊗ dt − a2 (t)dx ⊗ dx − b2 (t)dy ⊗ dy − c2 (t)dz ⊗ dz. (1.3). donde a(t), b(t), c(t) son factores de escala que no necesariamente son iguales. Esta métrica es reducible a la métrica FLRW con k = 0 y, por esta razón, se propone este trabajo en torno a un modelo Bianchi tipo I. Se han realizado trabajos sobre estos modelos anisótropos usando la métrica (1.3) y considerando distintas fuentes de materia, por ejemplo, en presencia de fluido perfecto o fluido viscoso, pero en todos los casos, que se enlistarán en el capítulo 3, se usa la métrica en coordenadas cartesianas. En este trabajo se plantea el desarrollo de las implicaciones del modelo de Bianchi I axisimétrico en coordenadas esféricas, dado que se facilitan las nociones geométricas por la simetría de la variedad y porque los resultados son comparables con los resultados que se han obtenido en FLRW en coordenadas esféricas con geometría espacial plana. En el capítulo 2 se introducen las ecuaciones de campo de la Relatividad General y los tensores necesarios para definirlas; además, se deduce la métrica FLRW para distintas geometrías y se establecen las implicaciones más generales de las ecuaciones de Friedmann. En el capítulo 3 se detallan las evidencias halladas que sugieren que el Universo no es isótropo y se introducen los modelos de Bianchi como alternativa al Modelo Cosmológico Estándar para la explicación de las anomalías. La propuesta de Modelo Cosmológico Anisótropo en el vacío se presenta en el capítulo 4, donde se resuelven las ecuaciones de campo en el vacío considerando la métrica del modelo Bianchi I en coordenadas esféricas que se la obtiene como consecuencia de una transformación de coordenadas. La propuesta de Modelo Cosmológico Anisótropo con fuentes de materia se presenta en el capítulo 5, donde se resuelven las ecuaciones de campo considerando como fuente de campo gravitatorio un fluido ideal barotrópico (particularmente, polvo y radiación). En el capítulo 6 se analizan las implicaciones de los modelos propuestos en cuan-. 4.

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN to a la geometría de la variedad y la cinemática de un fluido ideal en reposo, con énfasis en el escalar de shear que caracteriza a los modelos anisótropos. Se comparan los resultados de la propuesta con los obtenidos a partir de la métrica isótropa.. 5.

(19) Capítulo 2 Modelo Cosmológico Isótropo En este capítulo se introducen conceptos como el tensor métrico, los símbolos de Christoffel, el tensor de curvatura de Riemann y demás objetos matemáticos que son necesarios para establecer las ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales de las componentes del tensor métrico que describen al campo gravitatorio. Además, se indica la deducción de la métrica FLRW a partir del Principio Cosmológico y se plantean las ecuaciones de Friedmann con algunas de sus implicaciones, lo cual constituye la base del Modelo Cosmológico Isótropo Estándar. A lo largo de este trabajo se usan letras griegas en los subíndices que van de 0 a 3 mientras que se usan letras latinas para índices que van de 1 a 3.. 2.1.. Revisión Relatividad General. 2.1.1. Tensor métrico Una variedad diferenciable es una estructura matemática que localmente es euclídea, es decir, localmente es R n . El Universo, en la Relatividad General, se modela como una variedad lorentziana 4-dimensional (norma no definida positiva) con signatura (1,3) y en este contexto, el tensor métrico g, que es un tensor simétrico de rango 2, caracteriza la geometría de una variedad introduciendo el concepto de distancia. Dada una transformación homogénea de coordenadas µ. x µ = aν yν 6. (2.1).

(20) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO las componentes del tensor métrico están dadas por gµν = ~Eµ′ · ~Eν′. (2.2). ~Eµ′ = ∂~r ∂yµ. (2.3). n o donde ~Eµ′ es la base tangencial, cuyos elementos se calculan conociendo que. con ~r = x µ~eµ el vector posición en una base ortonormal ~eµ tal que. ~eµ ·~eν = δµν. (2.4). µ. Si los elementos de la matriz de cambio de coordenadas aν son constantes, es decir, se cumple que µ. dx µ = aν dyν. (2.5) µ. o lo que es lo mismo, que los elementos de la matriz de cambio de coordenadas aν son µ. aν = se tiene que. ∂x µ ∂yν. (2.6). α ~Eµ′ = ∂x ~eα = aαµ~eα ∂yµ. (2.7). β ~Eν′ = ∂x ~e β = aνβ~e β ∂yν. (2.8). y. donde se usa el convenio de suma. Por lo tanto, las componentes del tensor métrico están dadas por β. gµν = aαµ aµ~eα ·~e β. Dado que la base ~eµ es ortonormal, se tiene β. gµν = aαµ aν δαβ. (2.9). (2.10). y por lo tanto, los componentes del tensor métrico son gµν = aαµ aαν. (2.11). donde se tiene una sumatoria en α. El cuadrado de la distancia ds2 entre un punto x µ del espacio-tiempo y otro punto. 7.

(21) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO cercano x µ + dx µ está dada por ds2 = gµν dx µ ⊗ dx ν. (2.12). y es una representación del tensor métrico. Si el tensor métrico corresponde al del espacio euclídeo, (2.12) se reduce el teorema de Pitágoras. Por otro lado, ds2 es un invariante de la variedad, es decir, si se realiza un cambio de coordenadas en la variedad, ds2 es el mismo en cualquiera de los dos sistemas coordenados. En este trabajo asumiremos que la signatura del tensor métrico es (+, −, −, −).. 2.1.2. Símbolos de Christoffel En general, el operador derivada parcial ∂µ no es un tensor. Para definir un operador de derivada que cumpla con las leyes de transformación tensoriales y que se encuentre asociado a la geometría del espacio-tiempo se define el operador derivada β. covariante ∇µ , que al aplicarlo a un tensor Aα se obtiene el tensor β. ∇µ Aα =. β. ∂Aα β β + Γµγ Aγα − Γγαµ Aγ ∂x µ. (2.13) β. que cumple con la ley de transformación covariante y donde Γµγ son los símbolos de Christoffel de segunda clase que, en función del tensor métrico, están definidos por β. Γµγ =. 1 βλ g (∂γ gλµ + ∂µ gλγ − ∂λ gµγ ) 2. (2.14). Adicionalmente, se cumple que. ∇λ gµγ = 0. (2.15). β. Los símbolos Γµγ son simétricos con respecto a los índices covariantes, es decir, β. β. Γµγ = Γγµ. (2.16). y, si bien ∇µ es un tensor, los símbolos de Christoffel de segunda clase no son tensores.. Los símbolos de Christoffel son de importancia para entender el movimiento de partículas libres cayendo en un campo gravitatorio. Estas partículas siguen las trayectorias determinadas por las geodésicas. Las geodésicas se determinan por las. 8.

(22) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO ecuaciones. ν γ d2 x µ µ dx dx Γ =0 + νγ dλ dλ dλ2. (2.17). donde λ es un parámetro proporcional a la distancia invariante, es decir, (2.18). dλ ∝ ds. 2.1.3. Tensor de Riemann En un espacio-tiempo plano (Minkowski) se cumple que (2.19). ∇µ = ∂µ. lo que implica que si se hacen dos derivaciones consecutivas a un tensor en un espacio-tiempo plano, la operación es conmutativa. β. Pero esto no ocurre en un espacio-tiempo curvo donde Γµγ 6= 0 y donde ∇µ 6=. ∂µ . Si se realizan dos derivaciones ∇µ y ∇ν a un tensor Aλ y luego se conmuta la. operación, se puede verificar que. ∇ν ∇µ Aλ − ∇µ ∇ν Aλ = Aα Rαλµν. (2.20). es decir, la operación no es conmutativa dado que, en general, Rαλµν no es nulo. El tensor de componentes Rαλµν recibe el nombre de tensor de Riemann-Christoffel o simplemente tensor de Riemann o tensor de curvatura, y sus componentes, en función de los símbolos de Christoffel de segunda clase, están dadas por β. β. Rαλµν = ∂µ Γαλν − ∂ν Γαλµ + Γλν Γαβµ − Γλµ Γαβν. (2.21). En una variedad con geometría plana se tiene que Rαλµν = 0 por lo que el tensor de Riemann es un objeto matemático relacionado con la curvatura. Las componentes del tensor de Riemann cumplen con las siguientes relaciones de simetría β. β. • Rνρσ = − Rνσρ β. β. β. • Rνρσ + Rρσν + Rσνρ = 0 • Rµνρσ = − Rµνσρ • Rµνρσ = Rρσµν = Rσρνµ 9.

(23) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO Dadas las simetrías, en un espacio-tiempo de 4 dimensiones, el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes de sus 256 componentes. Además, las componentes del tensor de Riemann cumplen con la identidad de Bianchi. ∇ β Rαµρσ + ∇ρ Rαµσβ + ∇σ Rαµβρ = 0. (2.22). 2.1.4. Tensor de Ricci y escalar de curvatura Las componentes del tensor de Ricci Rνρ resultan de la contracción de dos índices del tensor de Riemann con respecto a los cuales el tensor no es antisimétrico. Es decir, las componentes del tensor de Ricci vendrán dadas por µ. (2.23). Rνρ = Rνρµ El tensor de Ricci es simétrico, es decir, sus componentes cumplen con. (2.24). Rνρ = Rρν. La traza del tensor de Ricci recibe el nombre de escalar de curvatura R, es decir, R = gνρ Rνρ = Rνν. (2.25). es el escalar de curvatura. Tanto las componentes del tensor de Ricci como el escalar de curvatura cumplen con la identidad de Bianchi . ∇α R. σα. 1 − gσα R 2. . =0. (2.26). y son lo objetos matemáticos necesarios para plantear las ecuaciones de campo.. 2.1.5. Tensor Energía-Momento En la teoría newtoniana, la fuente del campo gravitatorio es la densidad de materia. En Relatividad General, para describir el flujo de energía y el momento lineal de una distribución contínua de materia se utiliza el tensor de energía-momento. Un fluido ideal es un fluido en el cual, un observador comóvil, es decir, un observador en reposo con respecto al fluido, ve el fluido que lo rodea como isótropo. Por lo. 10.

(24) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO tanto, las componentes del tensor métrico de un fluido ideal deben satisfacer T00 = ρ. (2.27). T0i = 0. (2.28). Tij = pδij. (2.29). donde ρ es la densidad de materia y p es la presión del fluido. Para la signatura (+, −, −, −), las componentes Tµν del tensor energía-momento. están dadas por [59]. Tµν = (ρ + p)uµ uν − pgµν. (2.30). donde uµ es la cuadrivelocidad del fluido, que sigue la normalización uµ uµ = 1. (2.31). En este trabajo se considera que la fuente de campo gravitario en un campo de materia está representada por el tensor de energía-momento de un fluido ideal con componentes dadas por (2.30).. 2.1.6. Ecuaciones de Campo La teoría de la Relatividad General busca una descripción geométrica del espaciotiempo y de la gravitación. La evolución de un sistema en esta teoría se determina por las ecuaciones de campo. Cuando se planteó la teoría se buscaba una teoría que. • Coincida localmente con la Relatividad Especial. • Distinga una clase de líneas-mundo preferenciales aceleradas entre sí que representan la caída libre.. • Admita la definición de un tensor de marea relacionado con la densidad de materia a través de una ley similar y consistente con la ley de Poisson.. • Sea capaz de describir la deflexión de la luz. • Cumpla con el principio de covarianza, es decir, en las leyes no hay posiciones preferenciales. 11.

(25) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO. • Describa la geometría de la variedad sólo con el tensor métrico o a partir de. tensores que se obtienen de derivadas del tensor métrico, y que las ecuaciones de campo se complementen con campos de materia.. De la teoría Newtoniana de la gravedad se conoce que el potencial gravitatorio ϕ satisface la ecuación de Poisson ∆ϕ = 4πGρ. (2.32). donde G es la constante de la gravitación universal y ρ es la densidad de materia. Dado que la densidad depende del volumen, por la contracción de Lorentz, ρ depende del observador y no describe el espacio-tiempo como se desea en la teoría. Además, ρ depende del sistema de referencia dado que corresponde a una componente del tensor energía-momento. Por lo tanto, la densidad de materia no describe a la fuente del campo gravitatorio y se propone que el tensor energía-momento T µν describa el comportamiento de los campos de materia y no únicamente la densidad de materia, como en la Teoría de Newton. Conociendo esto, y además sabiendo que en las ecuaciones de campo sólo deben estar tensores que dependen de la métrica para la descripción geométrica del espacio-tiempo, entonces, las ecuaciones deben tener la forma Oµν ( g) = κT µν. (2.33). donde κ es una constante y Oµν ( g) es un tensor simétrico de rango 2 que depende de la métrica. Para evitar que las ecuaciones de campo sean muy restrictivas, se propone que el tensor Oµν ( g) tiene la forma Oµν = Rµν + Agµν R + Λgµν. (2.34). donde Rµν es el tensor de Ricci, R es el escalar de curvatura, A es una constante y Λ recibe el nombre de constante cosmológica. Para que se cumpla con la ley de conservación. ∇µ T µν = 0. (2.35). y con las identidades de Bianchi, se puede comprobar que debe cumplirse que A =. −1/2. Por lo tanto, sea. 1 G µν = Rµν − gµν R 2 12. (2.36).

(26) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO el tensor de Einstein, se tiene que las ecuaciones de campo, con constante cosmológica distinta de cero, son G µν + Λgµν = κT µν. (2.37). El valor de κ se lo determina del límite newtoniano. Para la signatura utilizada en este trabajo, κ = −8πG[37]. Las ecuaciones de campo son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden no lineal. Para un espacio-tiempo de 4 dimensiones se tiene que, por la simetría de los tensores, las ecuaciones de campo son un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. En este trabajo notaremos por G ′µν = G µν + Λgµν. (2.38). al tensor de Einstein con constante cosmológica distinta de cero.. 2.2.. Principio Cosmológico. El Principio Cosmológico es esencial en el planteamiento del Modelo Cosmológico Estándar basado en la métrica FLRW y establece que el Universo, en promedio y a grandes escalas (z>1), es homogéneo e isótropo [61].. Figura 2.1: Distribución de 221414 galaxias elaborado por el Anglo-Australian Observatory 2dF Galaxy Redshift Survey. Imagen tomada de [17]. 13.

(27) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO Existe evidencia observacional que verifica este principio pues el Universo a escalas superiores a 109 pc [30, 54] muestra estas características. En cuanto a la homogeneidad, de los datos de mapeo de 2401952 galaxias y 477161 cuásares del Sloan Digital Sky Surveys (SDSS) de julio de 2014 se ha demostrado que la distribución de galaxias es homogénea a una escala superior a 140Mpc [38]. Para visualizar esta distribución, en la figura (2.1) se puede ver la distribución de 221414 galaxias tomado por el Anglo-Australian Observatory 2dF Galaxy Redshift Survey, en la cual parecería no existir homogeneidad por la presencia de estructura, pero, en promedio, se ha determinado que la distribución es homogénea estadísticamente por encima de los 40Mpc [17]. Con estas pruebas se ha evidenciado que, en promedio, a grandes escalas, el Universo es homogéneo, a pesar de que a escalas cortas el Universo está poblado de galaxias y clusters de galaxias y es aparentemente inhomogéneo. Con respecto a la isotropía del Universo, se la infiere de resultados observacio-. Figura 2.2: Distribución de fuentes de radio. En la imagen superior se encuentran las 4 × 104 fuentes de radio más brillantes del hemisferio norte. En la imagen inferior se encuentran las fuentes a 15◦ del polo norte. Imagen tomada de [16] 14.

(28) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO nales. Por ejemplo, en [16] se determinó que la distribución de las 4 × 104 fuentes de radio más brillantes del hemisferio norte, que se encuentran a una distancia de. ∼ 200Mpc, es isotrópica, como se muestra en la Fig. 2.2. Pero el principio de isotropía se ha puesto en duda con los resultados de la misión Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) con la cual se encontraron anomalías en la CMB que no se explican con el Modelo Cosmológico Homogéneo e Isótropo. Los detalles de las anomalías halladas se encuentran en el Capítulo 3.. 2.3.. Deducción de la métrica Friedmann - Lemaitre Robertson - Walker (FLRW) para diferentes geometrías. La métrica Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) cumple con el Principio Cosmológico. Para deducir la métrica FLWR se hacen las siguientes suposiciones del espacio-tiempo. • El espacio-tiempo se puede foliar por hipersuperficies de tiempo constante que son perfectamente homogéneas e isótropas.. • Los observadores se encuentran en reposo con respecto al promedio de las galaxias.. Por lo tanto, una variedad cuyo tensor métrico tiene componentes gµν donde se tiene que ds2 = gµν dx µ ⊗ dx ν. (2.39). induce en una hipersuperficie donde t = t0 , con t0 una constante, un tensor métrico de componentes hij tal que en la hipersuperficie se cumple ds2t0 = − hij (t0 , x k )dxi ⊗ dx j. (2.40). donde hij (t0 , x k ) es una función de t0 y de las coordenadas espaciales x k . Para un tiempo posterior t = t1 , dada la homogeneidad e isotropía de las hipersuperficies, la métrica inducida debe ser de tal forma que se cumpla ds2t1 = − f (t0 , t1 )hij (t0 , x k )dxi ⊗ dx j. 15. (2.41).

(29) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO Es decir, la métrica en las dos hipersuperficies pueden diferir en una función temporal f (t0 , t1 ) que no depende de las coordenadas espaciales para que haya homogeneidad e isotropía espacial. Por lo tanto, para un tiempo cualquiera, la métrica inducida en las hipersuperficies a tiempo constante deben ser ds2t = − R2 (t)hij ( x k )dxi ⊗ dx j. (2.42). donde R(t) es una función temporal conocida como factor de escala. Por lo tanto, la métrica de la variedad homogénea e isótropa espacialmente es ds2 = g00 dt ⊗ dt + g0i dt ⊗ dxi − R2 (t)hij ( x k )dxi ⊗ dx j. (2.43). Dado que la variedad se puede foliar en hipersuperficies a t constante, entonces g00 no debe depender de las coordenadas y se puede establecer que g00 = 1. Por lo tanto, ds2 = dt ⊗ dt + g0i dt ⊗ dxi − R2 (t)hij ( x k )dxi ⊗ dx j. (2.44). Por la isotropía se tiene que la evolución temporal de una hipersuperficie espacial debe ser perpendicular a todas las direcciones para no inducir direcciones preferenciales en la evolución temporal. Por lo tanto, se debe cumplir que g0i = 0. (2.45). para cualquier coordenada espacial xi . Por lo tanto ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)hij ( x k )dxi ⊗ dx j. (2.46). Dado que las hipersuperficies a t constante son isótropas entonces deben tener simetría esférica pues no hay direcciones preferenciales. En este caso, se sabe que la métricas de variedades Riemanianas con dicha simetría, en coordenadas esféricas, tienen la forma dl 2 = e2∆(r) dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ. (2.47). donde ∆(r ) es una función de la coordenada radial y dΩ ⊗ dΩ = dφ ⊗ dφ + sin2 φdθ ⊗ dθ. (2.48). Por lo tanto, la métrica sería ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)(e2∆(r) dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ). 16. (2.49).

(30) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO Al calcular el escalar de curvatura R de la parte espacial de la métrica se tiene que 2 d −2∆ R = 2 1 − (re ) (2.50) dr r Por la condición de homogeneidad se espera que las hipersuperficies espaciales tengan curvatura constante, por lo tanto, R debe ser constante. Es decir, 2 d −2∆ ) =k 1 − (re dr r2. (2.51). donde k es una constante y es igual al escalar de curvatura. Despejando e−2∆ se tiene e−2∆ = 1 −. kr2 A + 6 r. (2.52). donde A es una constante de integración. Para que no halla una singularidad cónica en la métrica se debe cumplir que A=0 y por lo tanto e−2∆ = 1 −. (2.53) kr2 6. es decir, la métrica isótropa y homogénea es . Redefiniendo k′ = k/6 se tiene. 2. . 2. . ds = dt ⊗ dt − R (t). .  1 dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ  2 kr 1− 6.  ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)   2. (2.54). (2.55). . (2.56). . (2.57). 1 dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ 1 − k′ r2. y llamando k′ = k se tiene 2. ds = dt ⊗ dt − R (t). 1 dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ 1 − kr2. que es la métrica FLRW. La constante k puede tomar los valores -1, 0, 1. Si k = 0, se tiene ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)(dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ). 17. (2.58).

(31) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO. Figura 2.3: Corte temporal del universo FLRW espacialmente plano para k = 0. Imagen tomada de [58]. que se lo conoce como el Universo RW espacialmente plano, dado que ds2t0 = − R2 (t0 )(dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ). (2.59). corresponde a la métrica de Minkowski en coordenadas esféricas, salvo la constante R2 (t0 ). En la figura (2.3) se puede ver una imagen de la geometría plana espacial. Si k = 1, se tiene 2. 2. ds = dt ⊗ dt − R (t). . 1 dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ 1 − r2. . (2.60). Si se hace el cambio de coordenadas r = sin χ, se tiene ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)(dχ ⊗ dχ + sin2 χdΩ ⊗ dΩ). (2.61). que corresponde al Universo RW cerrado espacialmente o esférico. En la figura (2.4) se puede ver una imagen de la geometría esférica espacial. Si k = −1, se tiene 2. 2. ds = dt ⊗ dt − R (t). . 1 dr ⊗ dr + r2 dΩ ⊗ dΩ 1 + r2. . (2.62). Si se hace el cambio de coordenadas r = sinh χ, se tiene ds2 = dt ⊗ dt − R2 (t)(dχ ⊗ dχ + sinh2 χdΩ ⊗ dΩ). 18. (2.63).

(32) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO. Figura 2.4: Corte temporal del universo FLRW espacialmente cerrado para k = 1. Imagen tomada de [58]. Figura 2.5: Corte temporal del universo FLRW espacialmente abierto para k = −1. Imagen tomada de [58]. que corresponde al Universo RW abierto espacialmente o hiperbólico. En la figura (2.5) se puede ver una imagen de la geometría hiperbólica espacial.. 2.4.. Ecuaciones de Friedmann. Las ecuaciones de Friedmann son ecuaciones que se plantean a partir de las ecuaciones de campo. Si de la métrica (2.57) se calculan las componentes del tensor de Ricci se obtiene que las componentes no nulas son[56] ä R00 = −3 a. 19. (2.64).

(33) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO ". ä Rij = − +2 a. 2 # ȧ k gij +2 2 a a. (2.65). donde el punto representa la derivada temporal. Por lo tanto el escalar de curvatura es. ". ä + R = −6 a. 2 # k ȧ + 2 a a. (2.66). Sea uµ = (1, 0, 0, 0). (2.67). la cuadrivelocidad de un fluido en reposo, se puede comprobar que uµ uµ = 1. Por lo tanto, el tensor energía-momento de un fluido ideal en reposo en el universo descrito por la métrica FLRW es a2 p dr ⊗ dr + r2 a2 pdθ ⊗ dθ + r2 a2 p sin2 (θ ) dφ ⊗ dφ Tµν = ρdt ⊗ dt + − 2 kr − 1 (2.68) donde ρ y p son funciones del tiempo únicamente. Por lo tanto, las ecuaciones de campo Gµν + Λgµν = κTµν. (2.69). se reducen a dos y reciben el nombre de Ecuaciones de Friedmann. La primera ecuación de Friedmann se obtiene de. y es. G00 + Λg00 = κT00. (2.70). 2 ȧ k κρ Λ + 2 = − a 3 3 a. (2.71). La segunda ecuación se obtiene de. y es. Gij + Λgij = κTij. (2.72). 2 ȧ 2ä k + + 2 = −κ p − Λ a a a. (2.73). ȧ es el parámetro de Hubble H que se estima en un valor, en la época a actual, de 100h km s−1 Mpc−1 , donde h ≈ 0,7 [11]. El término. 20.

(34) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO. 2.5.. Soluciones con Λ = 0. Considerando Λ = 0 se tiene que las ecuaciones de Friedmann son 2 ȧ k κρ + 2 = a 3 a. (2.74). 2 2ä k ȧ + 2 = −κ p + a a a. (2.75). Además de la ecuación de continuidad. se tiene. ∇µ T µν = 0. (2.76). 3 ( p + ρ) ȧ + aρ̇ =0 a. (2.77). Para fluidos barotrópicos que cumplen con la ecuación de estado p = ωρ. (2.78). donde ω es una constante cuyo valor absoluto es menor a 1, se tiene que la solución de (2.77) es ρ ∝ a −3( ω +1). (2.79). Se pueden considerar los siguientes escenarios para resolver las ecuaciones Friedmann. En la época dominada por polvo, es decir, por materia no colisionante, no relativista y que no ejercen presión, se tenía que ω=0. (2.80). ρ ∝ a −3. (2.81). por lo tanto. indica la forma en que la densidad va decayendo conforme el universo se expande. En la época dominada por radiación, es decir, por fotones o por materia relativista moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz que los hace indistinguibles a los fotones, al menos en la ecuación de estado, se tenía que ω=. 21. 1 3. (2.82).

(35) CAPÍTULO 2. MODELO COSMOLÓGICO ISÓTROPO por lo tanto ρ ∝ a −4. (2.83). indica la forma en que la densidad va decayendo conforme el universo se expande. Por lo tanto la densidad de radiación decae más rápido que la densidad de polvo. En la época dominada por el vacío, es decir, sin fuentes de campo gravitatorio, se tenía que ω = −1. (2.84). ρ∝1. (2.85). por lo tanto. indica que la densidad de energía es constante mientras el universo se expande.. 22.

(36) Capítulo 3 Universo anisótropo Las observaciones de fuentes astrofísicas a grandes escalas han permitido que el Principio Cosmológico sea considerado como cierto, pero los resultados anómalos de la CMB, que no se explican con el Modelo Cosmológico Isótropo y Homogéneo, han sugerido que un modelo anisótropo es necesario. En este capítulo se señalan algunas de las anomalías que se han encontrado por parte de las misiones COBE, WMAP y Planck, además se introducen los modelos Bianchi como alternativas al Modelo Estándar, especialmente los modelos tipo I que son el objeto de estudio de este proyecto.. 3.1.. Anomalías de la CMB. La Radiación Cósmica de Fondo (CMB) es la radiación electromagnética más antigua que puede ser detectada. Tiene su origen en la época de desacople, época en la cual los fotones fueron capaces de viajar sin interactuar con los electrones dispersos en el plasma resultante del Big Bang. Esta radiación fue emitida unos 380000 años después del Big Bang, cuando el plasma alcanzaba una temperatura de casi 3000K. Por la expansión del Universo, la temperatura de la CMB ha ido disminuyendo hasta los 2.7K aproximadamente [46]. La CMB tiene un corrimiento al rojo z > 1000 [16]. A pesar de que la CMB no es emitida por alguna fuente astrofísica en particular, puede ser detectada desde cualquier punto del cielo y en principio, dado el Modelo Cosmológico Estándar, sus propiedades estadísticas no dependen de la región de detección [20]. En 1989, con el satélite COsmic Background Explorer (COBE), se inició la primera 23.

(37) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.1: Mapas de temperatura de la CMB, obtenidos por las misiones COBE y WMAP. misión para estudiar las propiedades de la CMB y fue la responsable de confirmar que esta radiación mostraba un espectro de cuerpo negro con una temperatura de 2.736±0.010K con un nivel de confianza del 95 % [35]. Con estos resultados se tenía. evidencia de que el Universo fue muy caliente en épocas tempranas, lo que servía de prueba para la Teoría del Big Bang. También se determinó que existían pequeñas variaciones en la temperatura del CMB, del orden de ∆T/T = 10−5 [20, 53]. Para obtener datos más precisos de las fluctuaciones de temperatura se planteó. la misión Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) que operó desde el 2001 hasta el 2010 y fue diseñada para medir la anisotropía de la CMB. Fue capaz de producir mapas de la radiación en 5 diferentes frecuencias entre 23 y 94 GHz [22]. En la Fig. 3.1 se muestran los mapas de temperatura de la CMB obtenidos por las misiones COBE y WMAP, donde se puede observar la diferencia en la resolución espacial entre las dos misiones. Una misión iniciada posteriormente fue la llamada misión Planck, la cual, entre sus objetivos está la validación del principio de isotropía y cuyos resultados sugieren que las anomalías encontradas por WMAP son características de la radiación y no son errores sistemáticos [45]. Estas mediciones de alta precisión sobre la CMB han permitido conocer el Universo en su estado actual y en épocas iniciales pero han planteado dudas sobre su isotropía. 24.

(38) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.2: Mapa de la temperatura de CMB en diferentes frecuencias con los datos del noveno año de operaciones del WMAP. Imagen tomada de [29] Dos resultados observacionales son esenciales para pensar en un Universo anisótropo [45]:. • Las desviaciones anisótropas en la temperatura de la CMB de 10−5 . • Las anomalías en el espectro de potencias para ángulos grandes. En cuanto a las fluctuaciones de temperatura de la CMB, la misión WMAP obtuvo mapas en 5 diferentes frecuencias [29]. En la figura (3.2) se muestran los diferentes mapas en las frecuencias de operación obtenidas a partir de los datos del noveno año de operación de WMAP, donde se observan fluctuaciones en la temperatura del orden de 200µK [29]. La misión Planck también obtuvo un mapa de las fluctuaciones de la temperatura con un instrumento más sensible. En la figura (3.3) tomada de [20] se puede ver el mapa obtenido de los datos de Planck. Con las dos misiones se verificaron los resultados de COBE, es decir, las fluctuaciones de temperatura de la CMB se observan en el nivel de ∆T/T ∼ 10−5 entre 25.

(39) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.3: Fluctuaciones en la temperatura de la CMB medidas por Planck. Imagen tomada de [20] regiones del espacio [53]. La misión WMAP halló anomalías en el mapa. Halló una región fría no gaussiana que no se esperaba pues no tenía explicación desde el Modelo Estándar [20, 45]. La mancha está localizada en el hermisferio Sur-este e inicialmente se creyó que eran errores sistemáticos pero los resultados de la misión Planck, que coincidían con los del WMAP, excluyeron esa posibilidad y se considera que es una característica propia de la radiación. Entre las explicaciones a esta anomalía se tiene que es una región larga de vacío [20]. Entre los resultados también se pudo concluir que existe asimetría a gran escala entre los hemisferios del mapa de fluctuaciones [20, 45]. En cuanto al espectro angular de potencias, para analizar las fluctuaciones de b, se planteó hacerlo en b) de la CMB que viene de una dirección n temperatura ∆T (n. términos de una expansión en los armónicos esféricos[9], es decir,. con. ∑ alm Ylm (nb). (3.1). ∗ b)Ylm b) . dΩnb ∆T (n (n. (3.2). b) = ∆T (n alm =. Z. l,m. Se define el espectro de potencias como [9] Cl =<. 1 | alm |2 > 2l + 1 ∑ m. (3.3). Para más detalles ver [32]. Los resultados obtenidos con WMAP acerca del espectro de potencias se muestran en la Figura (3.4) que fue tomada de [20] y es el resultado del primer año de operación del satélite. En el gráfico, la línea contínua. 26.

(40) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.4: Espectro angular de potencias de la variación de temperatura de la CMB con los datos del primer año de operaciones de WMAP. Imagen tomada de [20] es el mejor ajuste según el modelo ΛCDM, la región gris es la región de confianza a r 2 1σ por el término de varianza cósmica ∆Cl = C y los puntos son los datos 2l + 1 l experimentales. La relación entre el multipolo l y la escala angular θ está dada por l ∼ 180◦ /θ. Se. ha calculado, ha partir de las propiedades del plasma en la época de recombinación,. que el horizonte (distancia que ha viajado la luz desde el Big Bang) es actualmente de ∼ 1◦ [20]. De los resultados de WMAP en [20], el primer pico acústico de las. oscilaciones bariónicas se ubica en l ∼ 200 en θ ∼ 1◦ , lo cual sugiere que el Universo es plano espacialmente [54]. En [20] con un nivel de confianza de 68 % se determinó que la densidad de curvatura Ωk < 0,04. Para las mediciones del espectro se consideró el índice multipolar l entre 2 y 1200,. dado que no se considera l = 1 porque está dominado por el movimiento relativo con la radiación [20]. El índice multipolar l da información sobre las características en escala angular de las variaciones de temperatura y el subíndice m da información sobre orientaciones en las escalas angulares. En este caso se hallaron anomalías como el alineamiento entre el cuadrupolo y el octopolo[7], y el bajo valor del momento cuadrupolar [53]. Con los datos de WMAP se determinó que es posible definir direcciones pre27.

(41) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. (a) Cuadrupolo. (b) Octopolo. Figura 3.5: Alineación entre el momento cuadrupolar y el octopolar de la variación de temperatura de la CMB. Imagen tomada de [25] ferenciales tanto para el momento cuadrupolar como para el momento octopolar. Además estas apuntan en la misma dirección aproximadamente, precisamente al cúmulo de galaxias de Virgo formando un ángulo de aproximadamente 27 grados con el eje de la galaxia [39]. En [31] se indica que el eje preferencial puede ser resultado de una expansión anisotrópica del Universo, por la presencia de campos magnéticos o como resultado de un universo intrínsecamente inhomogéneo y anisótropo. En la figura (3.5) tomada de [25] se observa el resultado obtenido de la alineación entre el octopolo y el cuadrupolo de las fluctuaciones de temperatura de la CMB. Dicho alineamiento ∼ 1◦ no es una característica del mapa de temperaturas sino. que está íntimamente asociado con la anisotropía a gran escala en el hemisferio sur. del cielo y la distribución estadística de la anisotropía en todo el cielo [7]. Esto se verifica en la Fig. 3.6 puesto que la alineación entre el cuadrupolo y el octopolo no se debe a una región específica de la esfera. Así mismo, se ha demostrado que el cuadrupolo y el octopolo son planares, esto 28.

(42) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.6: Alineación entre el octopolo y el cuadrupolo restringiendo datos de algunas regiones. Imagen tomada de [7] es, con la mayoría de sus manchas más calientes y frías ubicadas en un plano, con sus dos planos de referencia bastante alineados[9]. La alineación entre los momentos es una anomalía dado que si se considera que la CMB es isótropa y las fluctuaciones de temperatura son aleatorias, los ejes de preferencia deberían ser estadísticamente independientes uno de otro para los distintos momentos y no deberían coincidir o al menos sería poco probable que ocurriese [20]. Estas y otras anomalías se han intentado explicar con fenómenos como emisión galáctica de fondo, estructuras locales y con explicaciones teóricas que van mas allá del Modelo Estándar de la Cosmología como las cosmologías Bianchi [9]. En cuanto al valor menor al esperado en el momento cuadrupolar [53], así como también valores bajos para escalas angulares grandes, en especial para l entre 2 y 30, son valores anómalos que no se explican con el Modelo Isótropo. El valor que más discrepa con el modelo es el valor de la amplitud del cuadrupolo (l = 2)[10, 20] que corresponde a la escala angular más grande que puede observarse[1]. Estas anomalías se pueden ver en la figura (3.4). Este resultado se ha obtenido desde las observaciones del COBE en 1992 y no se 29.

(43) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.7: Mapa de vectores de polarización de quásares a diferente redshift. Imagen tomada de [23] ha corregido con observaciones más precisas posteriores hechas por el WMAP [1, 9]. En los últimos años esta anomalía ha sido sometida a un intenso estudio y varias posibilidades han sido sugeridas para entender este valor tan bajo como la topología no trivial de la geometría del Universo a gran escala. Los universos con simetría axial han sido propuestos para explicar este fenómeno [10]. Esta anomalía podría relacionarse con la naturaleza de la energía oscura [1]. Por otro lado, las anomalías para grandes ángulos han sido explicadas por una época inflacionaria anisótropa, por inhomogeneidad en el espacio, por vacíos locales con simetría esférica, pero, con los datos del Planck del 2013, se ha demostrado que son características propias del mapa de la radiación [2, 45]. Por otro lado, además de las anomalías de la CMB, existen otros resultados observacionales que podrían confirmar la violación del Principio Cosmológico de isotropía. Por ejemplo, en [26], en un estudio de fuentes de radio, se determinó que la posiblidiad de una distribución isótropa en la polarización de dichas fuentes es-. 30.

(44) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO tá entre un 5 % y un 0.1 % [26]. Así también, en [23] se estudió la polarización en 170 cuásares clasificados por rangos de redshift y para z entre 0.7 y 1.5, se hallaron 10 objetos con un ángulo de polarización entre 103◦ y 144◦ , lo cual sugiere la no aleatoriedad en su distribución, como se muestra en la Fig. 3.7. Como se señala en [2], todas estas anomalías en conjunto, que no pueden ser explicadas a partir del Modelo Cosmológico Estándar, ponen en duda la hipótesis de isotropía en el Universo y se buscan modelos más generales como los modelos de Bianchi que pierden simetrías por falta de isotropía pero, como se sugiere en [9], puede tener una explicación para las anomalías. Dado que la CMB es altamente isótropa, el Universo debe ser casi un universo tipo FLRW, como se indica en [45], por lo que los modelos Bianchi reducibles al caso FLRW han sido estudiados para hallar explicaciones a las anomalías.. 3.2.. Estructura a cortas distancias. De las observaciones se ha concluido que, en promedio, el Universo es homogéneo a grandes escalas pero a escalas más cortas (z<<1) se tiene que hay galaxias cuyas densidades son 105 -106 veces superiores al promedio de la densidad del Universo[40], es decir, a cortas escalas el Universo muestra estructura, pues hay superclusters y regiones de vacío, y por lo tanto, anisotropía. Como se indica en [36], la aglomeración de materia en estrellas, galaxias y cúmulos de galaxias se da a escalas de 1 año luz, 106 años luz y 3 × 107 años luz, respectivamente.. La figura (3.8) tomada de [40] muestra uno de los primeros mapeos de galaxias que se realizaron por CfA Redshift Survey. Este mapa se lo realizó considerando galaxias cuyo brillo es mayor a 15.5 y cuyas velocidades son menores a 12000 km/s (z<0.04). Se puede notar que hay una región de vacío que corresponde a la presencia de la Vía Láctea pero hay más regiones donde no hay galaxias y aparentemente son regiones de vacío. Existen más proyectos que se dedican al mapeo de galaxias. Por ejemplo, el SDSS cuyo objetivo es medir las posiciones y corrimientos al rojo de 1 millón de galaxias para analizar la distribución de galaxias a gran escala en el Universo y ha determinado homogeneidad en dicha distribución a escalas superiores a los 140Mpc [38] pero este principio no se cumple para escalas menores debido a la presencia de estructura. 31.

(45) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO. Figura 3.8: Mapa de galaxias con brillo mayor a 15.5 y velocidades menores a 12000 km/s realizado por CfA Redshift Survey. Imagen tomada de [40] La estructura a cortas distancias implica la presencia de anisotropía en el Universo. Por lo tanto, a escalas cortas son necesarios modelos inhomogéneos y anisótropos, pero modelos de esta naturaleza implican una mayor dificultad matemática. Para la inclusión de la anisotropía, los modelos Bianchi se han estudiando y en la siguiente sección se enuncian los avances obtenidos en forma muy general.. 3.3.. Modelos Anisótropos Bianchi. La métrica FLRW, homogénea e isótropa, tiene la propiedad de que tiene el mayor número de simetrías espaciales posibles, es decir, el mayor número de vectores de Killing linealmente independientes [9]. Pero los modelos FLRW no son los únicos homogéneos. Existe una familia de soluciones que cumplen la condición de homogeneidad aunque no cumplen con la condición de isotropía, los cuales son conocidos como universos de Bianchi[9]. 32.

(46) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO Los Modelos Cosmológicos de Bianchi pierden simetría con respecto al Modelo Estándar, es decir, tienen menos vectores de Killing. Sin embargo, en cualquier caso, dadas las propiedades de la derivada de Lie, los vectores de Killing cumplen la relación:. [Ka , Kb ] = C c ab Kc. (3.4). donde C c ab son conocidas como las constantes de estructura [9]. [19] Los modelos de Bianchi se clasifican entonces de acuerdo al tipo de constantes de estructura que los caractericen. Se puede mostrar que las constantes de estructura dependen, en definitiva, de 4 parámetros: a, n1 , n2 , n3 [9]. Por otro lado, la identidad de Jacobi. [Ka , [Kb , Kc ]] + [Kb , [Kc , Ka ]] + [Kc , [Ka , Kb ]] = 0. (3.5). impone la condición an1 = 0. (3.6). por lo que debe cumplirse que a = 0 o n1 = 0 o ambos son nulos. Dadas estas condiciones, se tienen 12 tipos posibles de modelos de Bianchi [19]. Solo algunos tipos de cosmologías de Bianchi contienen a la métrica FLRW como un caso especial. La tipo I la tiene para el caso de curvatura nula k = 0, la IX para k = +1 y la V para k = −1. El resto no contiene a FLRW como un caso particular.. De estudios anteriores se ha demostrado que los modelos Bianchi que no contienen a FLRW se vuelven altamente anisótropos mientras transcurre el tiempo [9].. Los modelos de Bianchi son importantes para entender las etapas tempranas del Universo, en especial para procesos de formación de galaxias donde se requiere de la presencia de anisotropía en la densidad de materia[42]. Estos modelos pueden ser alternativas al modelo FLRW que podrían explicar las anomalías de la CMB con ligeras correcciones en la isotropía [45]. En este trabajo se estudia de forma particular un modelo Bianchi tipo I, el cual, en coordenadas cartesianas, tienen una métrica de la forma ds2 = dt ⊗ dt − a2 (t)dx ⊗ dx − b2 (t)dy ⊗ dy − c2 (t)dz ⊗ dz. (3.7). donde a(t), b(t), c(t) son factores de escala que no necesariamente son iguales [33]. Se toma este tipo de modelo puesto que se reduce al modelo FLRW con geometría espacial plana, lo cual está en concordancia con las observaciones acerca de la 33.

(47) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO concentración de materia. Previamente se han realizado trabajos en torno a los modelos de Bianchi I usando la métrica (3.7) y considerando distintas fuentes de materia como fluido perfecto o fluido viscoso [51]. Por ejemplo, se ha caracterizado el shear (tendencia a expandirse con anisotropía) que se espera que sea no nulo en este modelo [42, 51], y se ha encontrado que si se considera un fluido perfecto y la época de dominio de la materia, se tiene que el shear es no nulo pero, mientras se incrementa el tiempo se va acercando al valor nulo, es decir, el universo se vuelve isótropo [57]. La isotropización es un resultado frecuente en estos modelos (fluido ideal)[45]. Por ejemplo, se ha considerado el modelo Bianchi I con fluido perfecto más energía oscura y se ha concluido que la anisotropía va disminuyendo rápidamente hasta volverse nula [47] y el mismo resultado se repite al considerar un fluido viscoso [5]. Tomando el caso axisimétrico, de la misma forma, se ha concluido que el valor del factor de escala es diferente en cada dirección pero con el tiempo se igualan, es decir, el universo se vuelve isótropo [44]. Del mismo modo, se ha determinado que los modelos Bianchi tipo I describen universos en expansión acelerada al incluir, por ejemplo, energía oscura en el modelo con fluido ideal [47]. El mismo resultado se repite al considerar un fluido viscoso [5]. Se han estudiando los procesos disipativos por efecto de la viscosidad y se ha hallado que la expansión del universo se debe a la contribución de la constante cosmológica [51]. En el contexto de este modelo, se ha considerado que tanto la constante cosmológica Λ como la constante de gravitación G varían en el tiempo y se ha encontrado una solución de universo en expansión no rotante [42]. Esta dependencia temporal trae conclusiones como que la constante de gravitación se incrementa con el tiempo y el comportamiento temporal del universo depende del comportamiento temporal de la constante cosmológica [48, 49, 52]. En cuanto a la variación de Λ en un universo Bianchi tipo I con fuentes viscosas se concluye que Λ tiene un valor bastante alto en etapas iniciales pero, para tiempos posteriores, ese valor va disminuyendo a un valor bastante pequeño [5, 27, 28], que coincidiría con el valor estimado de la constante cosmológica en el presente de 10−122 en unidades naturales[6]. También se tienen estudios del parámetro de desaceleración. Por ejemplo, se ha tomado que la materia está descrita por el tensor energía-momento de una nube de cuerdas masisas y fluido ideal con constante cosmológica nula y se ha concluido 34.

(48) CAPÍTULO 3. UNIVERSO ANISÓTROPO que el parámetro de desaceleración es variable y además, se va acercando a un valor constante como en el caso de FLRW [12]. En cuanto a la utilidad de este modelo se ha sugerido que la anomalía del bajo momento cuadrupolar puede ser explicada por medio de un modelo Bianchi I que implica una evolución anisótropa en el universo temprano [45]. En todos los casos citados anteriormente, se usa la métrica en coordenadas cartesianas. En este trabajo se plantea el desarrollo de las implicaciones del modelo de Bianchi I axisimétrico en coordenadas esféricas, dado que se facilitan las nociones geométricas por la simetría de la variedad y porque los resultados son comparables con los resultados que se han obtenido en FLRW en coordenadas esféricas con geometría espacial plana.. 35.

(49) Capítulo 4 Propuesta de Modelo Cosmológico Anisótropo en el vacío En este capítulo, por medio de una transformación de coordenadas, se plantea la métrica para el Modelo Anisótropo Axisimétrico en coordenadas esféricas. Se considera, para la resolución de las ecuaciones de campo, un universo vacío (Tµν =0) y que la constante cosmológica no es nula. Con esto, se obtiene la métrica que describe una variedad axisimétrica anisótropa en el vacío cuyas propiedades físicas más generales se describen en el Capítulo 6.. 4.1.. Transformación de coordenadas. La métrica de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) con geometría espacial plana viene dada por ds2 = dt ⊗ dt − a2 (t)[dr ′ ⊗ dr ′ + r ′2 sin2 φdθ ⊗ dθ + r ′2 dφ ⊗ dφ]. (4.1). donde a(t) es un factor de escala temporal. La métrica puede ser derivada al realizar un cambio de coordenadas en la parte espacial de la métrica desde coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, cumpliendo con la condición x 2 + y2 + z2 = r ′2 a2 ( t ) donde r′ =. r a(t). 36. (4.2). (4.3).