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MUESTREO MUESTREO IDEAL

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Academic year: 2021

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(1)

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas(?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

MUESTREO IDEAL

s(t) es un tren de impulsos de período Ts(intervalo de muesteo)

∞ −∞ = − = n nT t t s( )

δ

( s) -2Ts -Ts 0 Ts 2Ts 0 0.5 1 1.5 tiempo p( t) xs(t) = x(t) · s(t)

[

ω

( )

ω

]

π

ω

X S Xs = ( )∗ 2 1 ) (

− = k s s T X k X ( ) 1 ( ) s

ω

ω

ω

− = k s k T S( ) 2 ( ) s

ω

ω

δ

π

ω

ω

s = 2

π

/Ts= 2

π

fs

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒ x(t)

xs(t) s(t)

(2)

X(

ω)

S(

ω)

X

s

(ω)

(3)

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas(?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

si

ω

s < 2

ω

m existesolapamiento (ALIASING). Si

ω

s ≥ 2

ω

m se puede recuperar X(

ω

) con un LPFideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL

s(t) es un tren de impulsos de período Ts(intervalo de muesteo)

∞ −∞ = − = n nT t t s( )

δ

( s) -2Ts -Ts 0 Ts 2Ts 0 0.5 1 1.5 tiempo p( t) xs(t) = x(t) · s(t)

[

ω

( )

ω

]

π

ω

X S Xs = ( )∗ 2 1 ) (

− = k s s T X k X ( ) 1 ( ) s

ω

ω

ω

− = k s k T S( ) 2 ( ) s

ω

ω

δ

π

ω

ω

s = 2

π

/Ts= 2

π

fs fs= frecuencia de Nyquist

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒ x(t)

xs(t) s(t)

(4)

X(

ω)

S(

ω)

X

s

(ω)

(5)
(6)

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas(?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

si

ω

s < 2

ω

m existesolapamiento (ALIASING). Si

ω

s ≥ 2

ω

m se puede recuperar X(

ω

) con un LPFideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL

Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitadaes muestreada a una frecuencia de

por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla

unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.

s(t) es un tren de impulsos de período Ts(intervalo de muesteo)

∞ −∞ = − = n nT t t s( )

δ

( s) -2Ts -Ts 0 Ts 2Ts 0 0.5 1 1.5 tiempo p( t) xs(t) = x(t) · s(t)

[

ω

( )

ω

]

π

ω

X S Xs = ( )∗ 2 1 ) (

− = k s s T X k X ( ) 1 ( ) s

ω

ω

ω

− = k s k T S( ) 2 ( ) s

ω

ω

δ

π

ω

ω

s = 2

π

/Ts= 2

π

fs fs= frecuencia de Nyquist

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒ x(t)

xs(t) s(t)

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MUESTREO PRACTICO

9 Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and HoldS&H) ⇒RetenedorOrdenCero

⇒ P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ≡ efecto de apertura.Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

¾La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

¾Los mensajes son limitados en tiempo⇒no pueden ser limitados en banda.

¾Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

x[t] ROC xp[t] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ∗ = − ⋅ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ) ( s n s s n s p t x nT p t nT p t x nT t nT x

δ

X (f) P(f) f X(f kf ) P(f) Xs(f) k s s p ⎥ = ⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =

x(t) xs(t) s(t) xp(t) p(t) Ts t 1

(8)

X(

ω)

X

p

(ω)

X

s

(ω)

P(

ω

)

Para el ROC: p(t) Ts t 1 ⎩ ⎨ ⎧ ∀ ≤ ≤ = t T t t p s 0 0 1 ) ( ( )= − /2⎢⎣⎡2sin

(

/2

)

⎥⎦

ω

ω

ω

e jωT Ts P s ) ( 1 ) ( Heq

ω

= P

ω

⇒ 1

ω

ω

s /2 -

ω

s /2 Heq(

ω

)

(9)

MUESTREO PRACTICO

9 Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and HoldS&H) ⇒RetenedorOrdenCero

9 Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad ⇒ incrementar ωs

⇒ P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ≡ efecto de apertura.Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

¾La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

¾Los mensajes son limitados en tiempo⇒no pueden ser limitados en banda.

¾Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

9 Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a

ω

s/2 ⇒ se aplica un filtro pasabajos en la entrada≡Filtro anti-aliasing(es el peor inconveniente porque modifica la información).

x[t] ROC xp[t] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ∗ = − ⋅ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ) ( s n s s n s p t x nT p t nT p t x nT t nT x

δ

X (f) P(f) f X(f kf ) P(f) Xs(f) k s s p ⎥ = ⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =

x(t) xs(t) s(t) xp(t) p(t) Ts t 1

(10)

Submuestreo

Sea la señal x(t) = cos(ω0t)

muestreada a ωSconstante (ωS< 2ω0). Se analiza que sucede a medida queω0↑ Para ω0> ωS/2 se produce el

traslape y la frecuencia original

original asume la identidad de

una frecuencia inferior (ωS-ω0). Para ωS/2 < ω0 < ωS , a medida

que ω0↑ la frecuencia de salida (ωS-ω0)↓ ≡ efecto estroboscópico (uso: osciloscopio de muestreo,

(11)

INTERPOLACION

Interpolaciónreconstrucción(aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0 0.5 1 Señal muestreada tiempo Am plitud

¾Retenedor de Orden Cero: retiene el valor de la muestra hasta la próxima. Es el más simple. 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0 0.5 1

Interpolación Orden Cero

tiempo Amplitud 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0 0.5 1

Interpolación Primer Orden

tiempo

Amplitud

¾Interpolación Lineal: los puntos adyacentes se conectan con una línea recta.

¾Interpolación de mayor Orden: los puntos se unen mediante polinomios de grado mayor u otras funciones matemáticas.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0 0.5 1 Interpolación Sinc tiempo Amplitud

¾Interpolación Sinc: cada muestra corresponde al peso de unasinc

centrada en el instante de muestreo,

(12)

INTERPOLACION SINC

Xs(ω)

Xr(ω) H(ω)

Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal

⇒ Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect

[

f /( 2fc)

]

y fc = fs/2

− ⋅ = − ⋅ ∗ = ∗ = n s s n s s s t r nT t h nT x nT t nT x t h t h t x x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

δ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

π

ω

π

ω

t T t hr( ) s csinc c ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − =

π

ω

π

ω

( ) sinc ) ( ) ( s c c s n s r t x nT T t nT x considerando fc= fs/2:

(

f t n

)

nT x t x s n s r( )=

( )⋅sinc − -0.5 0 0.5 1 tiempo

(13)

CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC

¾ Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal ⇒n_muestras ¾ Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos ⇒n_puntos

¾ Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal ⇒n_historia

Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable contínua t por su equivalente discreta:

(

f t n

)

nT x t x s n s r( )=

( )⋅sinc −

Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos:

x

x

Ts= (n_puntos+1)·Δt

Δt Ts

+ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⋅ = Δ ⋅ n_historia 1 n_historia n_puntos 1 sinc ) ( ) ( n n k nT x t k xr s

Reemplazando t por k·Δt (1 ≤ k ≤ n_puntos):

Debe agregarse otro índice para el desplazamiento

dentro del registro de valores adquiridos (j) ⇒ =−

+ ⎥⎦

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + = Δ ⋅ + n_historia 1 n_historia n_puntos 1 sinc ) ) (( ) ( n n k T n j x t k jT xr s s

(14)

%programa para reconstruir señales muestreadas %reconstructor de orden cero

clear n0=99;

f=10; %frecuencia

hist=4; %cantidad de sinc para reconstrución

d=0.2; % distancia entre puntos interpolados (0 y 1- 0.2 indica 5 puntos)

n=0:n0; Y=[];

y=sin(2*pi*f*n/(n0+1)); subplot(2,2,1) plot(y,'.')

title 'Puntos Muestra'

fork=1:n0+1, fori=1:(1/d)-1; y1(i)=y(k); end Y=[Y y1]; end subplot(2,2,2) plot(Y)

title 'Reconstructor de Orden 0'

%reconstructor lineal Y2=[]; fork=1:n0, i1=1; fori=1+d:d:2, y2(i1)=(y(k+1)-y(k))*i-y(k+1)+2*y(k); i1=i1+1; end Y2=[Y2 y2]; end subplot(2,2,3) plot(Y2)

title 'Reconstructor lineal'

%reconstructor sinc Y5=[]; fork=1+hist:n0-hist, for u=0:d:1-d; sum=0; fors=-hist:hist, sum=sum+y(k+s)*sinc(u-s); end Y5=[Y5 sum]; end end subplot(2,2,4) plot(Y5)

(15)

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO

Ejemplo: si

ω

s= 4

ω

max, el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2

La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fsobteniendo

una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: x[n] xc(t) x’[n] (complejo!!)

fs fs

DAC +

Filtro Interp. ADC

¾DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cadaMvalores). xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] ≡compresorde frecuencia de muestreo

⇒ xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts

x[n] xd[n] Ts Ts’= M·Ts ↓M

− = − = k k s T k X T k X T X( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) s s s

π

ω

ω

ω

ω

Recordando el espectro X(

ω

) de la secuencia x[n] (valores muestra):

análogamente puede escribirse el espectro Xd(

ω

) para xd[n] : =

− =

r s s r s s d M r X MT T r X T X ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ' '

ω

ω

π

ω

ω

(16)

Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar que la señal no tenga un contenido espectral mayor que

ω

s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital . Diezmado con M = 2.

Se verifica que no existe

solapamiento. x[n] Ts Ts ↓M Ts’= M·T LPF G =1 ωc=π/M ] [ ~ nx ~xd[n]=~x[nM]

(17)

Diezmado con M = 3.

Aparece solapamiento.

Diezmado con M = 3 y

filtrado previo para evitar

(18)

⇒ La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada.

¾INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertandoLvalores entre muestras).

los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción≡ LPF de ganancia L y

ω

c= π/L ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ± ± = resto el en 0 2 , , 0 ] / [ ] [ L L n L n x n xe ≡ =

⋅ − k e n x k n kL x [ ] [ ] [ ]

δ

El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:

) ( ] [ ] [ ] [ ) ( x k n kL e x k e X L X u Lu j u n j k e

ω

δ

⎟ ω = ⋅ ω =

ω

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑ ∑

⋅ − = n n j e n x X(

ω

) [ ] ω x[n] xe[n] xi[n] Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/LL LPF G =L ωc=π/L

Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L

xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] ≡ expansorde frecuencia demuestreo

La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es:

L n L n sen n hi / ) / ( ] [

π

π

=

En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ = resto 0 / 1 ] [ L n L n n hi

(19)
(20)

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO

Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación.

Funciones utilizadas en Matlab®:

¾DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering. ¾INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation ¾RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.

L LPF G =L ωc=π/L ↓M LPF G =1 ωc=π/M ] [ ~ nxi ~ nxd[ ] xc[n] Interpolador x[n] xi[n] Ts T Ts/L TsM/L s/L Ts/L Diezmador Ts LPF G =L ωc=min(π/L, π/M)L ↓M x[n] TsM/L ] [ ~ nxd

(21)

//Programa que efectua la conversión ADC - DAC // Declaración de las variables

unsigned int VIK=0;

// Ajuste de los conversores ADC y DAC void setup()

{

analogReadResolution(12); analogWriteResolution(12); }

// Lazo de ejecución continua void loop() { VIK = analogRead(A0); analogWrite(DAC0, VIK); }

LABORATORIO

1-Muestreo

Referencias

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