Problemas resueltos de mecanica de fluidos I

Texto completo

(1)

II..

P

PR

RO

OB

BL

LE

EM

MA

AS

S..

GRUPO 1

GRUPO 1

Ejercicio 1

Ejercicio 1

Se da un campo Bidimensional de un flujo constante, incompresible y estacionario de Se da un campo Bidimensional de un flujo constante, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy:

velocidad por las siguientes componentes en el plano xy: u = 1.1 + 2.x + !."#y

u = 1.1 + 2.x + !."#y v = !.$ % 2.1x % 2.y v = !.$ % 2.1x % 2.y

&alcule el campo de aceleraci'n, para las componentes a

&alcule el campo de aceleraci'n, para las componentes axx y a y ayy, de la aceleraci'n en el, de la aceleraci'n en el

punto (x, y) = (*2,

punto (x, y) = (*2, ). a partir de su definici'n en coordenadas cartesiana). a partir de su definici'n en coordenadas cartesianass

Solución:

Solución:

ara un campo de velocidades -emos de calcular la aceleraci'n. ara un campo de velocidades -emos de calcular la aceleraci'n. ntonces los componentes de velocidad son (u, v).

ntonces los componentes de velocidad son (u, v). /as compo

/as componentenentes del s del campcampo de o de acelaceleraceraci'n se obtienei'n se obtienen a n a partpartir de ir de su definisu definici'n enci'n en coordenada

coordenadas s cartesianas:cartesianas:

a a x x

=

=

∂∂

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

∂ ∂ t t 

+

+

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

 ∂  ∂

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

∂ ∂ xx

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x x – – 2.82.8 y y

))

 ∂ ∂

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

∂ ∂ yy

+

+

ww  ∂  ∂

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

∂ ∂ zz

/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero /os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero porue

porue se se trata trata de de un un flujo flujo bidimensiobidimensional.nal.

a

a x x

=

=

00

+

+

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

) ) ((

2.82.8

))

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x –  x – 2.82.8 y y

) ) ((

0.650.65

))

+

+

00

a

a x x

=

=

3.083.08

+

+

7.847.84 x x

+

+

1.821.82 y y

+

+

0.6370.637

1.3651.365 x x

1.821.82 y y

or lo tanto

or lo tanto la componente de aceleraci'n en x es:la componente de aceleraci'n en x es:

a a x x

=

=

3.7173.717

+

+

6.4756.475 x x a a y y

=

=

∂∂ vv ∂ ∂ t t 

 +

 +

uu  ∂  ∂ vv ∂ ∂ xx

 +

 +

vv ∂ ∂ vv ∂ ∂ yy

 +

 +

ww  ∂  ∂ vv ∂ ∂ zz a

a y y

=

=

∂∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x x – – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ t t 

+

+

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

))

 ∂  ∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x x – – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ xx

(2)

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x x – – 2.82.8 y y

))

 ∂ ∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x  x – – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ yy

+

+

ww  ∂  ∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x –  x – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ zz

/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero /os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero porue

porue se se trata trata de de un un flujo flujo bidimensiobidimensional.nal.

a

a y y

=

=

00

+

+

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

) ) ((

2.12.1

))

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x –  x – 2.82.8 y y

) ) ((

2.82.8

))

+

+

00

a

a y y

=−

=−

2.312.31

5.885.88 x x

1.3651.365 y y

2.7442.744

+

+

5.885.88 x x

+

+

7.847.84 y y

or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es: or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es:

a

a y y

=−

=−

5.0545.054

+

+

6.4756.475 y y

n el punto (*2,),

n el punto (*2,), sus componentes de la aceleraci'n son:sus componentes de la aceleraci'n son:

a a x x

=

=

3.7173.717

+

+

6.4756.475

((

22

))

=−

=−

9.239.23 a a y y

=−

=−

5.0545.054

+

+

6.4756.475

((

33

))

=

=

14.414.4

Ejercicio 2

Ejercicio 2

&alcule la rapide3 del

&alcule la rapide3 del flujo del volumen maximflujo del volumen maxima de aceite combustible a 4#5& a la cual ela de aceite combustible a 4#5& a la cual el flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1!

una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1!*2*2 a.sa.s

 6nali3and  6nali3ando:o:

7max=8max

7max=8max . . 6 6 9e2!!!9e2!!! ;ado a ue

;ado a ue la velocidad y el la velocidad y el numero de 9eynolds son directamente proporcionales sinumero de 9eynolds son directamente proporcionales si ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un flujo

flujo laminar(9e=laminar(9e=2!!!)2!!!) <luido

<luido de de 6ceite &ombustible a 6ceite &ombustible a 4#5&4#5& ;=1!!mm (!.1m) ;=1!!mm (!.1m) =4x1! =4x1!*2*2a.sa.s >ravedad especifica= !,$# >ravedad especifica= !,$# =>s =>s x x ??

ƿ

ƿ

ƿ

ƿ

22@ = @ = !,$#x1!!!A!,$#x1!!!Agmgm= $#Agm= $#Agm

;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad: ;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad:

(3)

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x x – – 2.82.8 y y

))

 ∂ ∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x  x – – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ yy

+

+

ww  ∂  ∂

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x –  x – 2.82.8 y y

))

∂ ∂ zz

/os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero /os t0rminos son ceros, porue se trata de un flujo constante y el t0rmino  es cero porue

porue se se trata trata de de un un flujo flujo bidimensiobidimensional.nal.

a

a y y

=

=

00

+

+

((

1.11.1

+

+

2.82.8 x x

+

+

0.650.65 y y

) ) ((

2.12.1

))

+

+

((

0.980.98 –  – 2.12.1 x –  x – 2.82.8 y y

) ) ((

2.82.8

))

+

+

00

a

a y y

=−

=−

2.312.31

5.885.88 x x

1.3651.365 y y

2.7442.744

+

+

5.885.88 x x

+

+

7.847.84 y y

or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es: or lo tanto la componente de aceleraci'n en y es:

a

a y y

=−

=−

5.0545.054

+

+

6.4756.475 y y

n el punto (*2,),

n el punto (*2,), sus componentes de la aceleraci'n son:sus componentes de la aceleraci'n son:

a a x x

=

=

3.7173.717

+

+

6.4756.475

((

22

))

=−

=−

9.239.23 a a y y

=−

=−

5.0545.054

+

+

6.4756.475

((

33

))

=

=

14.414.4

Ejercicio 2

Ejercicio 2

&alcule la rapide3 del

&alcule la rapide3 del flujo del volumen maximflujo del volumen maxima de aceite combustible a 4#5& a la cual ela de aceite combustible a 4#5& a la cual el flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice flujo seguira siendo laminar en un conducto de 1!!mm de diametro. ara el aceite utilice una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1!

una gravedad especifica de !.$# y una viscosidad dinamica de 4x1!*2*2 a.sa.s

 6nali3and  6nali3ando:o:

7max=8max

7max=8max . . 6 6 9e2!!!9e2!!! ;ado a ue

;ado a ue la velocidad y el la velocidad y el numero de 9eynolds son directamente proporcionales sinumero de 9eynolds son directamente proporcionales si ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un ueremos la velocidad maxima usaremos el numero de 9eynolds maximo para un flujo

flujo laminar(9e=laminar(9e=2!!!)2!!!) <luido

<luido de de 6ceite &ombustible a 6ceite &ombustible a 4#5&4#5& ;=1!!mm (!.1m) ;=1!!mm (!.1m) =4x1! =4x1!*2*2a.sa.s >ravedad especifica= !,$# >ravedad especifica= !,$# =>s =>s x x ??

ƿ

ƿ

ƿ

ƿ

22@ = @ = !,$#x1!!!A!,$#x1!!!Agmgm= $#Agm= $#Agm

;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad: ;e la ecuacion del numero de 9eynolds despejamos la velocidad:

(4)

9e=

9e=

V V . D. D ..µµ  ƿ ƿ

8=

8=

.. µµ  D  D .. ƿ ƿ

8max=

8max=

  2000.4  2000.4.. 10 10−−22

((

 Kg Kg ..mm ss22

))

m m22 .. ss 0,1 0,1mm.895.895 Kg Kg

//

mm33

=!,$4ms

=!,$4ms

7max= !,$4ms .

7max= !,$4ms .

π π 

//

44

.(!,1m)

.(!,1m)

22

= C,!2x1!

= C,!2x1!

**

m

m



s

s

7max=C,!2x1!

7max=C,!2x1!

**

m

m



s

s

Ejercicio 3

Ejercicio 3

;etermine el tamaDo del tubo de

;etermine el tamaDo del tubo de cobre, mas peueDo ue llevara 4/min de loscobre, mas peueDo ue llevara 4/min de los siguientes fluidos en un

siguientes fluidos en un flujo turbulento.flujo turbulento.

 6nali3and  6nali3ando:o: 7=4 7=4 ll min min.. 1 1minmin 3600 3600

=

=

6.676.67 x x1010 *#*# m m33 ss

Si la seccion del tubo debe de ser minima entonces el numero de 9eynolds sera el Si la seccion del tubo debe de ser minima entonces el numero de 9eynolds sera el minimo para un flujo turbulento

minimo para un flujo turbulento  9e=4!!!  9e=4!!!

9e=

9e=

V V . D. D .. ƿ ƿ µ µ

9e=

9e=

V V .. DD ˠ  ˠ 

  E(1)

  E(1)

7=8

7=8 .

. 6

6

8=

8=

Q Q

((

π π  4 4

))

.. DD 2 2

  E(2)

  E(2)

9eempla3a 9eempla3amos mos (2) (2) en en (1):(1):

9e=

9e=

 D D4.4.22QQ.. D. v . π  . v . π  D

=

=

4. 4.QQ  D  D..vv .. π π 

;=

;=

4. 4.QQ

. v . π  . v . π  

 F ;=

 F ;=

4. 4.QQ.. ρρ

. μ . π  . μ . π  

(5)

AGUA A 40°

AGUA A 40°

v=".#" x

v=".#" x

1010−−77

 m

 m

22

s

s

;

;

=

=

4 4

((

6,676,67

))

 x x1010−−55mm33

//

ss π  π 

((

40004000

))

..6,566,56 x x1010−−77mm22

//

ss

=

=

!.!24 m=2.4mm

!.!24 m=2.4mm

GASOLI!A"G#$0%&'( ) 2*°

GASOLI!A"G#$0%&'( ) 2*°

=2,Cx1!

=2,Cx1!

*4*4

a.s

a.s

 ρ

 ρ

=>s.

=>s.

ρH ρH 22OO

= !,#x1!!!Agm

= !,#x1!!!Agm



="!Agm

="!Agm



;

;

=

=

4. 4.QQ .. ρρ

. μ . π  . μ . π  

=

=

4.6,67 4.6,67 x x1010−−55mm33 ss ..680680 Kg Kg

//

mm 3 3 4000.2,87 4000.2,87 x x1010−−44.. ππ ..

((

 Kg  Kg ..mm ss22

))

m m22 .. ss

=

=

!.!#!=#!.mm

!.!#!=#!.mm

EJERCICIO 4 EJERCICIO 4

Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional,

Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional,

simétrico respecto al eje y

simétrico respecto al eje y, dirigido en sentido contrario

, dirigido en sentido contrario al positivo del mismo, que choc

al positivo del mismo, que chocaa

contra un placa horizontal contenida en el plano x,z cuyo campo de velocidades está

contra un placa horizontal contenida en el plano x,z cuyo campo de velocidades está

definida por las

definida por las componentes

componentes

V  V  x x

=

=

33 x x V 

 y y

=−

=−

33 y y V 

(6)

SOLUCION:

!e sabe que la ecuación de línea de corriente está dada de la siguiente manera

⃗ v x dr⃗

=

0 ⃗ v x dr⃗

=

|

⃗ i  j⃗ k ⃗ V  xy z dx dy dz

|

" #

i

$

V  ydz

V  zdy

¿−

 j

(

V  xdz

V  zdx

)+

⃗k 

(

V  xdy

V  ydx

)=

0 V  y dy

=

 z dz V  x dx

 =

 z dz V  x dx

 =

 y dy

%gualamos valores&

 x dx

 =

 y dy

 =

 z dz

'emplazamos valores en la ecuación de línea de corriente en el campo de velocidad

v x dr⃗

=

|

⃗i  j⃗ ⃗k 

3 x

3 y 0

(7)

i

$

3 ydz

0dy

¿−

 j

(

3 xdz

0dx

)+

(

3 xdy

+

3 ydx

)=

0

(

3 xdy

+

3 ydx

)=

0 3 xdy

+

3 ydx

=

0 3 xdy

=−

3 ydx

Gntegramos para -allar la ecuaci'n de la lHnea de corriente:

3dx x

=

dy

3 y lnx

=−

lny

+

 lnx

=−

lny

+

ln lnx

=

ln   y 

=

 xy EJERCICIO 5

Ina tobera estJ diseDada de manera tal ue la velocidad varHa en funci'n de la longitud x, o sea

u

=

u0

(8)

;onde la velocidad u0  es la de entrada y / es la longitud de la tobera. /a

velocidad de entrada es 1! ms y la longitud de !.# m. /a velocidad es uniforme a trav0s de cada secci'n.

ncuentre la aceleraci'n media a trav0s de la tobera (x/ = !.#)

SOLUI+!

?ay aceleraci'n, entra a 1! ms, y sale a 2! ms.

*Ko -ay aceleraci'n local porue el flujo es estable, de manera ue la aceleraci'n es debida a la aceleraci'n convectiva.

a x

=

u du dx du dx

=

u0

(

1.0

0.5 x  !

)

2

(

0.5  !

)

=

1  ! 0.5u0

(

1.0

0.5 x  !

)

2 u du dx

=

0.5 u0 2  ! 1

(

1.0

0.5 x  !

)

3 Sustituyendo en x/ = !.# m, se obtiene a x

=

1.185u0 2  !

=

1.185 102 0.5

=

237m

/

s 2

a x  9esult' positiva, luego entonces esta tiene direcci'n positiva.

(9)

EJERCICIO 6

Se tiene el siguiente campo de velocidades ⃗V 

=

6 x

2

 yzi⃗

+

8 x y2 z j⃗

+

w⃗

k  . ?allar el componente L, sabiendo ue para 3 = !F se tiene L = ! y ue la divergencia de dic-o campo es de 4! xy3.

Solución:

∇⦁V 

=

40 xyz

(

∂ ∂ x ⃗ i

+

∂ ∂ y ⃗  j

+

∂ ∂ z⃗k 

)

(

V  "  ⃗ i

+

 y j⃗

+

V   z⃗k 

)

=

40 xyz ∂V  "  ∂ x

+

∂ V  y ∂ y

+

∂ V  z ∂ z

=

40 xyz ∂ ∂ x

(

6 x 2  yz

)

+

∂ ∂ y

(

8 x y 2  z

)

+

∂ V  z ∂ z

=

40 xyz

(

12 xyz

)

+

(

16 xyz

)

+

∂V  z ∂ z

=

40 xyz ∂V  z ∂ z

=

12 xyz ∂ V  z

=

12 xyz ∂ z

0 V  z ∂ V  z

=

12 xy

0  z  z ∂ z V  z

=

12 xy z 2 2 V  z

=

6 xy z 2

(10)

 z

=

EJERCICIO 7

In tanue cilindro de agua gira en rotaci'n de un cuerpo s'lido, dando "! revoluciones por minuto.

&alcule la vorticidad de las partHculas del agua del tanue.

Solución:

stamos para calcular la vorticidad de partHculas de fluido en un tanue girando en rotaci'n alrededor de su cuerpo s'lido verticales al eje. ntonces deducimos ue:

l flujo es constante.

l eje 3 estJ en la direcci'n vertical.

/a vorticidad $  auH es el doble de la velocidad angular M.

(11)

⃗ %

=

360 r&t  min

(

1min 60s

)(

2πrad r&t 

)

k ⃗

=

37.70 ⃗k rad

/

s

;onde ⃗k   es el vector unitario en la direcci'n vertical (3) /a vorticidad es: ⃗ $ 

=

2⃗%

=

2'37.70 ⃗k   rad s

=

75.4 ⃗k   rad s EJERCICIO 8

Dado el siguiente potencial de velocidad&

=

5 x2t 

+

5 y2t 

8 y

+

7t 3

10 z2t 

a( )omprobar si la función es *aplaceana

 b( +allar la expresión del campo vectorial de velocidades

 Solución:

a) Comprobación de la !nción Laplaceana:

∇2∅

=

0 Ec!ación de Laplace ∇2∅

=

∂ 2 ∅ ∂ x2

+

 ∂2∅ ∂ y2

+

∂2∅ ∂ z2

=

0 ∂2∅ ∂ x2

=

(

10 xt 

)

∂ x

=

10t  ∂2∅ ∂ y2

=

(

10 yt 

8

)

∂ y

=

10t  ∂2∅ ∂ z2

=

(−

20 zt 

)

∂ z

=−

20t  ∇2 ∅

=

10t 

+

10t 

±

20t 

(12)

∇2∅

=

0∴

s una función armónica

b) "e#erminación del Campo $ec#orial de %elocidade&'

´

=−

∇∅

=

0

)ondición de )ampo potencial, %rrotacional $pues si la función es armónica, entonces el

campo es potencial o %rrotacional(

´

=−

(

 ∂∅ ∂ x

´

i

+

∂∅ ∂ y  j

´

+

∂∅ ∂ z k 

´

)

´

=−

(

(

10 xt 

)

´

i

+

(

10 yt 

8

)

 j

´

+

(

20 zt 

)

 ´

)

´

=

(

10 xt 

)

´

i

(

10 yt 

8

)

 j

´

+

(

20 zt 

)

´

GRUPO 2

En un c),-o e /lujo #e c)r)ceri) -or l) /unción e corriene

=

 xy

.

El /lujo e# irro)cion)l.

SOLUCION

Se sabe que según la defnición de una unción de corriente, las

componentes de elocidad !u" # !" est$n dadas por%

u

=

∂ (  ∂ y

¿

∂ ∂ y

 [

 xy

]

¿

 x v

=−

∂ (  ∂ x

∂ ∂ x

 [

 xy

]

(13)

¿−

 y

Como el &u'o es bidimensional el rotacional del ector elocidad es%

∇ x) 

=

[

∂ v ∂ x

∂ u ∂ y

]

¿

[

0

0

]

¿

0

(ste resultado indica que el &u'o es irrotacional)

L) /unción e corriene e un /lujo en o# i,en#ione# e# )) -or 

=

9

+

6 x

4 y

+

7 xy

. Encunre#e l) /unción e -oenci)l e l)

eloci) -)r) e#e /lujo.

SOLUCION

∂ϕ ∂ x

=

∂ (  ∂ y

 =−

4

+

7 x ϕ

=−

4 x

+

7 2 x 2

+

 (

 y

)

,, .

(

a

)

*e igual orma mediante la aplicación de las ecuaciones se debe cumplir

que

∂ϕ

∂ y

=−

∂(  ∂ x

(l primer t+rmino de esta igualdad es entonces

∂ϕ ∂ y

=

∂ ∂ y

[

4 x

+

7 2 x 2

+

 (

 y

)

]

=

+ - 

(

 y

)

(l segundo t+rmino es igual que%

∂ (  ∂ x

=−

6

7 y ∂ϕ ∂ y

=−

∂(  ∂ x + 

 (

 y

)

=−

6 y

7 2 y 2

+

 

(14)

Si la unción #- se reempla.a en la ecuación a-, se obtiene que la

unción de potencial es%

ϕ

=−

4 x

6 y

+

7

2

[

 x

2

 y2

]

+

 

Se iene el #i5uiene c),-o e eloci)e#6

=

2

+

+

V 6x yzi 8xy z j W k  

7)ll)r el co,-onene 8% #)9ieno ue -)r) ; $ 06 #e iene 8 $ 0 < ue

l) ier5enci) e ic=o c),-o e# 40 ><.

SOLUCI/N

∇ • =

V 40 xyz  

(

)

+ +

 

• + +

÷

 

r r ur r r ur  x y z  i j k i V j V k V    x y z  4! y   x V  z  V V   xyz   x y z 

+

+

=

( ) (

)

+

+

=

2 2  V z  6 x yz 8xy z 40 xyz    x y z 

+

+

=

z  V 

12 xyz 16 xyz 40 xyz   z 

=

z  V  12xyz  z 

∂ =

V 12xyz z  z 

∂ =

V z 

∫ 

z  z  0 V 12 xy z z  0 

(15)

=

2  z  z  V 12xy   2  2 " z  V

=

xyz   2 " W xyz  

∴ =

?@u rel)ción e9en ener )% 9% c% -)r) ue el c),-o eloci)

8

 #e) un

c),-o #olenoi)l

(

)

$ ( $ ( 

=

2

+ +

2

+ + + + + −

2 2 2 2

V a x by c z i x b r y z j c 2r z k  

SOLUCI/N

#

∇ • =

 Condición de campo solenoidal

#-

+

+

=

 y  x V  z  V V   x y z   Donde $ ( $ ( $ (

 =

+ +



= + + +

=



2 2  x 2 2  y 2 2  z  V a x by c z   V x b r y z   V c 2r z   Dónde: . .

=

=

 x V  a a  x . . $ . .(

= +

= +

 y V  b r b r    y

(16)

$ ( $ (

∂ = −

= −

2 2 2 2  z  V  c 2r c 2r    z   $ ( $ (

∴ + + = + + + − =

+ + =

 y 2 2 2 2 2  x z  2 2 2 2 V  V  V  a b r c 2r 0  x y z  a b c r  

El campo solenoidal tiene la característica de un movimiento esférico.

@ue )lore# e9en ener )% 9 < c% -)r) ue el c),-o ecori)l

 #e) un

c),-o -oenci)l6 #i #e #)9e:

(

)

(

)

=

− − +

+ + +

F 2a x 4b 5c 11 y 2a 4b c z i  

(

)

(

)

2 2 C 21 + # ax by c z j x a b y cz k  

+ + + −

+ + − +

SOLUCI/N

Condición del campo potencial

!

∇ × =

*ónde%

i j k   x y z 

∇ =

+

+

ur r r ur

(17)

=

 x

+

y

+

z  F F i F j F k   !  x y z  i j k  F   x y z  F F F 

∇ × =

=

ur ur

*esarrollando el determinante%

! y y  z F x z F  x   F F F F   i j k  y z z x x y  

+

 

+

=

 

∂ ∂

÷

∂ ∂

÷

 

∂ ∂

÷

 

r r ur

*onde%

(

)

(

)

=

− − +

+ + +

 x  F 2a x 4b 5c 11 y 2a 4b c z  

(

)

= + + −

y  F ax 2 by 2c 7 z  

(

)

=

+ − +

z  F 21x 3a b y 5cz  

(

) (

)

( ) y  z  F  F  3a b 2c 7 0 3a 2c b 7 I   y z 

∂ − = − − − = → − − = −

 

÷

 

(

) ( )

( )  x z  F F  2a 4b c 21 0 2a 4b c 21 II   z x 

 

= + + −

= → + + =

÷

 

(18)

( )

(

4 # 11 !

)

4 # 11 ( ) y  x  F  F  a b c a b c III    x y 

 

= − −

− + = → + − = −

÷

 

0esoliendo por m+todos num+ricos las ecuaciones I-, II- # III-, resulta%

2 + # a b c 

=

=

=

1) Un campo de &u'o est$ dado por la unción corriente

=

3 x2 y

 y3

) (s el

&u'o irratocional dibú'ese la l2nea de corriente para

 3 4

Solución%

Como con el problema anterior las componentes de elocidad en 5, e 6 est$n

dadas por

u

=

∂ (  ∂ ( 

=

∂ ∂ y

 [

3 x 2

 y

 y3

]=

3 x2

3 y2

v

=−

∂ (  ∂ x

=−

∂ ∂ x

 [

3 x

2

 y

 y2

]

=−

6 xy

7or lo tanto el rotacional ser$

vxu

=

[

∂ v ∂ x

∂ u

∂ y

]

3

[

6 y

−(

6 y

)

]

=

0

(cuaciones &u'o es ir rotacional

7ara tra.ar la cuera que representa la l2nea de corriente cuando

=

2

basta

con despe'ar la arbible

 x

 # dar alor a

 y

 ) 8s2

(19)

[

3 x3 y

 y3

]

=¿

2

+

 y 2 3 y

 6

1

9

4

:

:);

<

<);

4

4); =

La l2nea de corriente para

> 3 4

N? 9 *ibu'ar la red de &u'o para un campo de elocidad dado por

u

=−

grad

(

ϕ

)

=

∂ϕ

∂ y ϕ

=

)x,,..

(

a

)

*e igual manera la unción de corriente queda defnida por)

u

=−

∂ ( 

∂ y

=−

d( 

3

)dy ( 

=

)y

+

 , ,

(

/

)

 @8AL8

B8LO0(S 7808 *IAU80 L8 0(* *( DLUO

DUNCI/N

7O@(NCI8L

7O@(NCI8 *( CO00I(N@(

5

ϕ

 6

E4

E4U

E4

E4U

E<

EU

E<

EU

:

:

:

:

(20)

Si se asume que la unción de corriente es cero cuando #3:, la constante C

tambi+n ser$ igual que cero por lo que)

=

)y

7ara establecer # dibu'ar la correspondiente red de &u'o es necesario dar alor

tanto a 5 como a # en La ecuación a- # c- respectaimiento) Si ello es reali.a

se obtienen los datos que muestra la tabla

La red del &u'o resultante

GRUP !

>3F

>34

>3U

>3E

ϕ

=−

3)  ϕ

=−

2)  ϕ

=

)  ϕ ϕ

=−

3)  ϕ

=−

2) 

>3E

>3EFU

(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

GRUP 4

/ *a figura muestra un tanque de agua con una válvula en el fondo !i ésta válvula se

abre, 0cuál es la altura máxima alcanzada por el chorro de agua que salga del lado

derecho del tanque1 !uponga que h"/##m, *".##m, y 2"3#4 y que el área de

sección transversal en 5 es muy grande en comparación con la que hay en 6

SOLUCI/N%

<

 

*8@OS%

0

=

10m v2  !

=

2m

3

 y1

4

0 1  2 3

>

24  y2 01 

=

5

G- 8plicamos la ecuación de Aernoulli en los puntos < # 4%

 61

+

1 2 ρ v1 2

+

 ρg y1

=

 62

+

1 2 ρ v2 2

+

 ρg y2

(28)

 61

=

 62

=

 60

(

 6 . atm&s+7ria

)

 y1

=

0 8 y2

=

 ! . s9n

(

:

)

8 v1

=

0

 G- Simplifcando # reempla.ando%

 ρg0

=

1 2 ρ v2 2

+

 ρg! . s9n

(

:

)

G- *espe'ando

v2 v2

=

√ 

2g

(

0

 ! . s9n

(

:

)

)

v2

=

√ 

2 x9.81

(

10

2 x s9n

(

30;

)

)

v2

=

13.29m

/

s

8nali.ando el punto 4%

V+  y

=

0 V  ˳ yv2 4 F:? 0 1   @raba'ando en el e'e !#" V  ˳ y

=

v2

s9n

(

30

)

V  ˳ y

=

13.29

s9n

(

30

)

V  ˳ y

=

6.645m

/

s 8plicando la órmula% V+ y 2

=

V  ˳ y2

2g0 1  0

=

V  ˳ y2

2g0 1  *espe'ando H

(29)

01 

=

V  ˳ y 2 2g 01 

=

(

6.645

)

2 2

9.81 01 

=

2.25m

. sta fluyendo agua a 7#4 8, hacia abajo n el punto 5 la

velocidad es de /# pies9s y la presión es de :#lb9pul. )alcule

la presión en el punto 6

!;*<)%=>&

D5?;!&

va

=

10+t 

/

s  6 3

=

60 <si  64

=

5

(30)

5plicamos la ecuación de 6ernoulli en el punto 5 y 6, tomado con

línea de referencia el punto 6

 6 3

+

1 2 ρ v 3 2

+

 ρ g z 3

=

 64

+

1 2 ρ v4 2

+

 ρ g z4

@ara hallar la presión en 6, tenemos que saber la velocidad en este

 punto, para ello aplicamos la ecuación de continuidad&

v 3

2 3

=

v4

24 v4

=

(

2 3 24

)

v 3 π 

∗¿

4 π 

42 4

¿

¿

v4

=¿

v4

=

40+t 

/

s

0eempla.ando datos%

 6 3

+

1 2 ρ v 3 2

+

 ρ g z 3

=

 64

+

1 2 ρ v4 2

+

0 10+t 

/

s

¿

¿

40+t 

/

s

¿

¿

60l/+ 

/

 <ulg2

+

1 2

(

62.4l/m +t 3

)¿

(31)

60 l/+   <ulg2

+

3120 l/m +t 

s2

+

60278.4 l/m +t 

s2

=

 64

+

49920 l/m +t 

s2

60 <si

+

260 <si

+

5023.2 <si

=

 64

+

4160 <si

 64

=

1183.2 <si

F) 7ara el medidor de la fgura, el coefciente entre

las $reas 8< # 84 es <:, # la dierencia de alturas

entre los dos tubos erticales es 4:cm) Si el

l2quido es agua, calcular% a- La rapide. en la parte

ancHa b- La rapide. en el estrecHamiento

a"

Utili#ando la ecuación de la continuidad$ tenemos:

 31

v1

=

 32

v2

v2

=

(

 31  32

)

v1

(32)

 61

+

 ρ g 01

+

1 2 ρ v1 2

=

 62

+

 ρ g 02

+

1 2 ρ v2 2

Como

01

=

02  61

+

1 2 ρ v1 2

=

 62

+

1 2 ρ v2 2

Reemplazamos (1) en (2):

 61

+

1 2 ρ v1 2

=

 62

+

1 2 ρ

(

 31  32

)

2

v1 2  61

 62

=

1 2 ρ v1 2

∗(

(

 31  32

)

2

1

)

Como

 61

 62

=

 ρg0  ρg0

=

1 2 ρ v1 2

∗(

(

 31  32

)

2

1

)

(

 31  32

)

(

10

)

[¿¿

2

1

]=

3.92m 2

/

s2 99

[¿ ¿

2

1

]=

2

(

9.81m s2

)

∗(

0.2m

)

¿

v1 2

=

2

¿

g0 v1

=

0.2m

/

s

%" &plicando la ecuación '1"

(33)

v2

=

(

 31  32

)

v1 v2

=

10

(

0.2 m s

)

v2

=

2m

/

s

7 nla figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmosfera @r un

flujo masico de /ABg9s determine la presion en el manometro

Solución%

m

)

3 pB

4

8

4

B

4

3

15 "  4 1000 xπx0.052 () * +.,4 m-s

B

<

3

15 " 4 1000 xπx0.082

B

<

3 4)JK ms

87LICN*O L8 (CUCION *( A(0NOULLI (N@0( < 6 4 @(N(MOS)

 61  <

 g<

V  12 2

=

 62  <

+

g=  2

+

V  22 2

7

<

3 <::P

105 1000

+

9.8 x12

+

7.642 2

2.982 2

Q

P1* )4).! /Pa * P1a%s

(34)

P1mano*14).!0Pa

GRUP 

9@B/N6 1.

*eterminar el gasto que circula en el sistema mostrado en la

fgura) (l di$metro de la tuber2a es de 9") (st$ HecHa de ferro

undido, nueo) La iscosidad del agua es

1,4 x10−6m2

/

s

) Los

bordes de la entrada son ligeramente redondeados) (l cHorro

descarga libremente a la atmosera)

!!!!!!!

Solución%

8plicando el teorema de Aernoulli entre : # < # la

ecuación de la energ2a entre < # 4 se obtiene)

= 0

= 2

=

V 2

2g

(

+  !

(35)

0empla.ando los alores conocidos # siguiendo el

m+todo general

=

3,6 m

s Q

=

0.029m3

/

s >29l

/

s

La longitud de tuber2a equialente del mismo

di$metro # rugosidad es 4<4,49 m)

Luego,

0

=

0,0254 212,24

(

3,6

)

3

0,1016 2g

=

35,08m

Con lo que queda erifcado el problema

9@B/N6 2.

Una tuber2a de agua de <4 pulg tiene un gasto de <J: litros

por segundo) (n una sección !8" de la tuber2a, la presión es

9: lbspulg4, mientras que en otra sección !A" donde la

tuber2a esta 4)9: m, m$s aba'o, la presión es 94); lbs

pulg4 )calcular la presión en c)

(36)

;atos:

(37)
(38)

9@B/N6 

Calcule la potencia que trasmite el aceite al motor de &uido

de la fgura si el &u'o olum+trico es :)4; mFs) en el sistema

Ha# una p+rdida de energ2a de <)9m) Si el motor tiene una

efciencia de ;T calcule la potencia de salida)

(39)

roblema 4

Una bomba sumergible de po.o proundo en2a 9; galH de

agua cuando opera en el sistema de la fgura, si e=iste

perdida de energ2a de <:); pie calcular%

a- La potencia que trasmite la bomba al agua

(40)

Soluci'n:

(41)

0U7O 1

1. Se utili3a un modelo de un autom'vil a una escala de 1:1! para medir el retardo en un diseDo propuesto. ;ebe simular una velocidad del prototipo de $! Om-. P7u0 velocidad se deberJ utili3ar en un tQnel de viento si se igualan los nQmeros de 9eynoldsR n esta condici'n, PcuJl es la relaci'n de las fuer3as de retardoR

Soluci'n

xiste el mismo fluido en el modelo y prototipo, por lo tanto si se igualan los nQmeros de 9eynolds se obtiene:

mlm V m

=

V  <l < V m ∴V m

=

 < l < lm

(42)

m

=

90 x10

m

=

900km

/

0

sta velocidad, desde luego, introduce efectos de compresibilidad, efectos ue no existen en el prototipo. or consiguiente el estudio del modelo propuesto es inapropiado. Si se utili3a esta velocidad en el modelo, la relaci'n de las fuer3as de retardo es:

(

 ?  D

)

 <

(

 ?  D

)

m

=

ρ <V  2  <l 2  <  ρmV 2ml2m

(

 ?  D

)

 <

(

 ?  D

)

m

=

1

or tanto, vemos ue la fuer3a de retardo en el modelo es la misma ue en el prototipo si se utili3an los mismos fluidos al utili3ar los nQmeros de 9eynolds.

(43)

2. n el ejercicio anterior, si se -ubieran igualado los nQmeros de 9eynolds, la velocidad en el modelo estudiado -abrHa resultado en el r0gimen de flujo

compresible

9s d9ir @ 

>

0,3& V 

(¿¿

m

>

360km

/

0

)

¿

. ara conducir un estudio aceptable del

modelo, Pse utili3a una velocidad de $! Om- en un modelo con una longitud caracterHstica de 1! cmR Suponga ue el coeficiente de retardo

(

  D

=

?  D

1 2 ρ V 

2

 3

A d&nd9 39s 9l B r9a <r&y9tada

)

A

es independiente de 9e

cuando

ℜ>

10

5

.   ;e ser asH P7u0 fuer3a de retardo en el prototipo corresponde a una fuer3a de retardo de 1,2K medida en el modeloR

Soluci'n

l estudio del modelo propuesto en un tQnel de viento -a de ser reali3ado con V m

=

90km

0 y C m

=

0,1m.  &on v

=

1,6 x10

−5

m2

/

s A  el nQmero de 9eynolds es

m

=

V mlm vm

m

=

90 x1000 3600 x0,1 1,6 x10−5

m

=

1,56 x10 5

ste nQmero de 9eynolds es mayor ue 10

5

, asH ue se supone ue existe similitud entre modelo y prototipo. /a velocidad de $! Om- es suficientemente alta.

/a fuer3a de retardo en el prototipo ue viaja a $! Om- correspondiente a 1,2 K en el modelo se encuentra como sigue:

(

 ?  D

)

 <

(

 ?  D

)

m

=

ρ <V  2  <l 2  <  ρmV 2ml2m

(

 ?  D

)

 <

=

(

 ?  D

)

m x ρ <V  2  <l 2  <  ρmV 2ml2m

(44)

(

 ?  D

)

 <

=

1,2 x10

2

(

 ?  D

)

 <

=

120  

@bserve ue en este ejemplo se supuso ue el coeficiente de retardo es independiente de 9e con 9e  10

5

.  Si el coeficiente de retardo continua variando por encima de 9e = 10

5

 (esto es evidente con datos experimentales), el anJlisis anterior tendrHa ue ser modificado en conformidad).

. In cuerpo sumergido debe moverse -ori3ontalmente a trav0s de aceite

(

=

52 l/

+t 3 A μ

=

0,0006 l/.s

+t 2

)

  a una velocidad de 4# fps. ara estudiar las caracterHsticas de este movimiento, se reali3an pruebas con un modelo ampliado del cuerpo en agua a "! 5<. /a relaci'n del modelo F   es :1. ;etermine a u0 velocidad debe moverse por el agua este modelo aumentado para conseguir la semejan3a dinJmica.

Soluci'n

l cuerpo estJ sumergido, por tanto no influye la acci'n de las olas. l criterio de 9eynolds debe satisfacerse, por lo ue:

(

 DV  v

)

 <

=

(

 DV  v

)

m , , , , .

(

 C 

)

  ;atos: •  Dm  D <

=

8 1 • V  6

=

45+t 

/

s • vm

=

1,217 x10 −5 +t 2

/

s • v 6

=

 μ E 

=

0,0006l/.s

/

+t 2 52l/

/

+t 3 32,2s2

/

+t 

=

0,000372+t 2

/

s

(45)

 D <

(

45

)

0,000372

=

8 D <V m

1,217 x10−5

m

=

0,1843+t 

/

s

4. ;edu3ca una expresi'n para el caudal TU ue fluye por el vertedero ue se muestra en la figura adjunta, por pie del vertedero, perpendicular al plano del dibujo. Suponga ue la capa de agua es relativamente gruesa, por lo ue los efectos de la gravedad son muc-os mJs importantes ue el efecto de la viscosidad de forma ue este Qltimo se puede despreciar.

(46)

&on estas -ip'tesis las variables ue afectan a TU serHan la altura ?, la aceleraci'n de la gravedad g, y posiblemente la altura del vertedero . or  tanto:

G

=

 (

 H A g A 6

)

+ 1

(

G A H A g A 6

)

=

0

n este caso -ay n = 4 variables y m = 2 dimensiones. Se pueden -allar  fJcilmente dos variables ue no se puedan formar en un grupo adimensionalF por tanto O = m = 2, y -ay n % O = 2 grupos pi

(

π 1A π 2

)

=

0

Itili3ando  y ? como las variables primarias π 1

=

Ga1  H /1 g π 2

=

G a2  H /2  6 Vrabajando con π 1  F  ! 0 I 0

=

(

 ! 3 I!

)

a1  !/1 ! I 2 /: 0

=

2a1

+

/1

+

1 V: 0

=−

a1

2 or tanto: a1

=−

28 /1

=

3 9eempla3ando: π 1

=

G −2  H 3g π 1

=

 H  3 g G2 Vrabajando con π 2  F  ! 0 I 0

=

(

 ! 3 I!

)

a2  !/2  ! /: 0

=

2a2

+

/2

+

1

(47)

V: 0

=−

a2 or tanto a2

=

08 /2

=−

1 9eempla3ando: π 2

=

G 0  H −1 6 π 2

=

 6  H 

<GK6/NKV, 

(

π 1A π 2

)

=

0 , S I; S&9GBG9 &@N@:

π 1 −1/2

=

(

π 2 −1

)

 H 3g G2

=

(

 H   6

)

G

=

(

 H   6

)

√ g H  3/2

or tanto, el anJlisis dimensiona indica ue el caudal por unidad de longitud de vertedero es proporcional a √ g y a  H 

3/2

. l caudal es afectado tambi0n por  la relaci'n  H 

/

 6 .

Figure

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Referencias

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