Unidad I Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes (1).pdf

(1)

PROGRAMA WORKING ADULT

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

Ciclo 2016 – 5

(2)

PROGRAMA WORKING ADULT

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected] PROGRAMA WORKING ADULT

SEDE LIMA CENTRO

Ciclo 2016 – 5

(3)

 Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL)

 Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros.  Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes.

 Unidad II: Programación Entera y Programación Dinámica Determinística. (2)

 Tema 4: Introducción a la Programación Entera PE, tipos de variables, y restricciones.  Tema 5: Introducción a la Programación Dinámica Determinística (PDD).

 Unidad III: Programación Dinámica Probabilística y Procesos Estocásticos. (3)

 Tema 6: Aplicación de la Programación Dinámica Probabilística PDP en situaciones problemáticas empresariales.  Tema 7: Introducción a los Procesos Estocásticos..

(4)

Introducción a la Programación Lineal y Casos

Especiales de Transporte y sus variantes

(5)

• Primera sesión:



Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL).



Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros.

• Segunda sesión:



Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes.

Logro de Aprendizaje:

Al término de la unidad, el estudiante recuerda la formulación y resolución de problemas de Programación Lineal

y de problemas de transporte y algunas de sus variantes, utilizando el Excel Solver, sustentando técnicamente sus

respuestas.

(6)

Introducción

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected]

¿La PL, permite resolver casos reales conocidos de

Administración e Ingeniería?

(7)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

Un estudio de IO se basa en la labor de equipo, donde los analistas de IO y el cliente trabajan hombro con hombro. Los analistas, con sus conocimientos de modelado, deben complementarse con la experiencia y la cooperación del cliente para quien hacen el estudio. Como herramienta de toma de decisiones, la IO es una ciencia y un arte. Es una ciencia por las técnicas matemáticas que presenta, y es un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático depende mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de IO.

Las fases principales de la implementación de la IO en la práctica comprenden: 1. La definición del problema.

2. La construcción del modelo. 3. La solución del modelo. 4. La validación del modelo.

5. La implementación de la solución.

De las cinco fases, sólo la número tres de la solución del modelo es la que está mejor definida y es más fácil de implementar en un estudio de IO, porque maneja principalmente modelos matemáticos precisos. La implementación de las demás fases es más un arte que una teoría.

La mayor parte del curso está dedicado a los métodos matemáticos de IO. Una manera de resumir las fases usuales de un estudio de IO es la siguiente:

1. Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes. 2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema.

3. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución para el problema a partir del modelo. 4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades.

5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración. 6. Implementación.

(8)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

Problema de IO resuelto Fase 1: Definición del problema

Fase 5: Implementación de la solución Fase 2: Construcción del modelo

Fase 3: Solución del modelo Fase 4: Validación del modelo

La definición del problema implica definir el alcance del problema que se investiga. Es una función que se debe hacer entre todo el equipo de IO. Se identificará tres elementos principales del problema de decisión: 1) Descripción de las alternativas de decisión.

2) Determinación del objetivo del estudio.

3) Especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

(9)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

La construcción del modelo implica traducir la definición del problema a relaciones matemáticas. Si el modelo que resulte se ajusta a uno de los modelos matemáticos, como la programación lineal, se puede llegar a una solución empleando los algoritmos disponibles. En caso las relaciones matemáticas sean demasiado complejas, se opta por simplificar el modelo y usar un método heurístico, o se recurre al uso de una simulación, si es aproximada.

(10)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

La solución del modelo, supone el uso de algoritmos bien definidos de optimización.

(11)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

La validación del modelo comprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere que haga, esto es, ¿predice el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se estudia? Es decir:

 ¿Tiene sentido la solución?

 ¿Se pueden aceptar intuitivamente los resultados?

Desde el lado formal, un método frecuente para comprobar la validez de un modelo es comparar su resultado con datos históricos.

(12)

Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

La implementación de la solución de un modelo validado implica la traducción de los resultados a instrucciones de operación, emitidas en forma comprensible para las personas que administrarán al sistema recomendado. La carga de esta tarea la lleva principalmente el equipo de IO.

(13)

Ejemplo Prototipo

Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de PL, como en cualquier modelo de IO, tiene tres componentes básicos.

1. Las variables de decisión que se trata de determinar. 2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.

3. Las restricciones que se deben satisfacer.

(14)

Ejemplo Prototipo

Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables Solución

(15)

Ejemplo Prototipo

Definir las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda.

Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue:

Uso de una materia prima para ambas pinturas ≤ Disponibilidad máxima de materia prima Según los datos del problema:

Uso de la materia prima M1, por día: 6 x₁ + 4 x₂ toneladas Uso de la materia prima M2, por día: 1 x₁ + 2 x₂ toneladas

(16)

Ejemplo Prototipo

(17)

Ejemplo Prototipo

Ejercicios: Ver Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks)

1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina cada una de las siguientes restricciones y exprésela con una constante del lado derecho: a) La demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exteriores en al menos 1 tonelada.

b) El uso diario de la materia prima M2 es 6 toneladas cuando mucho, y 3 toneladas cuando menos. c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores. d) La cantidad mínima que se debe producir de pinturas para interiores y para exteriores es de 3 toneladas.

e) La proporción de pintura para interiores entre la producción total de pinturas para interiores y para exteriores no debe ser mayor que 0.5.

2. Determine la mejor solución factible entre las siguientes soluciones (factibles y no factibles) del modelo de Reddy Mikks: a) x₁ = 1, x₂ = 4.

b) x₁ = 2, x₂ = 2. c) x₁ = 3, x₂ = 1.5. d) x₁ = 2, x₂ = 1. e) x₁ = 2, x₂ = - 1.

3. Para la solución factible x₁ = 2, x₂ = 2, del modelo de Reddy Mikks, determine a) La cantidad no usada de la materia prima M1.

b) La cantidad no usada de la materia prima M2.

4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un mayorista, con un descuento por volumen. La utilidad por tonelada es $5000 si el mayorista no compra más de 2 toneladas diarias, y de $4500 en los demás casos. ¿Se puede traducir esta situación a un modelo de programación lineal?

(18)

Introducción

Repasemos la resolución de los modelos matemáticos

de PL, pero…

(19)

Modelo de programación lineal con dos variables

Un Problema de Programación Lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:

 Se intenta maximizar (minimizar) una función lineal de las variables de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar se llama función objetivo.

 Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación lineal o una desigualdad lineal.

 Se relaciona una restricción de signo con cada variable. Para cualquier variable x_i, la restricción de signo especifica que x_i no debe ser negativa (𝑥_𝑖 ≥ 0) o no tener restricciones de signo.

La Región Factible para un PL, es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las limitaciones y las restricciones de signo de la PL. Para un problema de maximización, una Solución Óptima para un PL, es un punto con el valor de la función objetivo más grande en la región fatible. De igual modo, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto con el valor de la función objetivo más pequeño en la región factible.

(20)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 1

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Formule un modelo de programación lineal.

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected] Solución

(21)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 2

La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B y los recursos Q, R y S que se requieren para producirlos.

Todos los supuestos de programación lineal se cumplen.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva el modelo.

(22)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 3

Resolver el siguiente modelo de PL:

Modelo PL (Modelo Matemático)

Maximizar z = 500x₁ + 300x₂ Sujeto a 15x₁ + 5x₂ ≤ 300 10x₁ + 6x₂ ≤ 240 8x₁ + 12x₂ ≤ 450 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(23)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 4

Resolver los siguientes modelos de PL:

Solución

Maximizar z = 15x₁ + 20x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≥ 10 2x₁ - 3x₂ ≤ 6 x₁ + x₂ ≥ 6 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(24)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 5

Maximizar z = 3x₁ + 2x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≤ 12 2x₁ + 3x₂ = 12 2x₁ + x₂ ≥ 8 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(25)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 6

Solución

Maximizar z = 40x₁ + 50x₂ Sujeto a 2x₁ + 3x₂ ≥ 30 x₁ + x₂ ≥ 12 2x₁ + x₂ ≥ 20 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(26)

Modelo de programación lineal con dos variables

(27)

Introducción

Excel, es una herramienta conocida para analizar y resolver problemas pequeños de programación lineal.

Es sencillo introducir en una hoja de cálculo las características principales de un modelo de programación lineal, entre ellas, todos sus parámetros.

(28)

Ejemplos

Ejemplo 1

Se dispone de 210 000 euros para invertir en bolsa. Se recomienda dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Se decide invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, se tiene que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

(29)

Ejemplos

Ejemplo 2

Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.

La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento 9 horas diarias, mientras que la de pintura solo 8 horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

(30)

Ejemplos

Ejemplo 3

Un quiosco vende bolígrafos a S/. 0.20 y cuadernos a S/. 0.30. Si llevo S/. 1.20 y pretendo comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será el número máximo de bolígrafos y cuadernos que puedo comprar?

(31)

Ejemplos

Ejemplo 4

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.

Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.

(32)

Ejemplos

Ejemplo 5

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Solución Oferta A (x1) Oferta B (x2)

Camisas 1 3 200

(33)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 1

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Formule un modelo de programación lineal.

(34)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 2

La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B y los recursos Q, R y S que se requieren para producirlos.

Todos los supuestos de programación lineal se cumplen.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva el modelo.

(35)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 3

Resolver el siguiente modelo de PL:

Solución

Maximizar z = 500x₁ + 300x₂ Sujeto a 15x₁ + 5x₂ ≤ 300 10x₁ + 6x₂ ≤ 240 8x₁ + 12x₂ ≤ 450 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(36)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 4

Maximizar z = 15x₁ + 20x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≥ 10 2x₁ - 3x₂ ≤ 6 x₁ + x₂ ≥ 6 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0 Solución

Minimizar z = 15x₁ + 20x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≥ 10 2x₁ - 3x₂ ≤ 6 x₁ + x₂ ≥ 6 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(37)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 5

Solución

Maximizar z = 3x₁ + 2x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≤ 12 2x₁ + 3x₂ = 12 2x₁ + x₂ ≥ 8 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0 Solución

Minimizar z = 3x₁ + 2x₂ Sujeto a x₁ + 2x₂ ≤ 12 2x₁ + 3x₂ = 12 2x₁ + x₂ ≥ 8 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(38)

Ejemplos adicionales

Ejemplo 6

Maximizar z = 40x₁ + 50x₂ Sujeto a 2x₁ + 3x₂ ≥ 30 x₁ + x₂ ≥ 12 2x₁ + x₂ ≥ 20 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0 Solución

Minimizar z = 40x₁ + 50x₂ Sujeto a 2x₁ + 3x₂ ≥ 30 x₁ + x₂ ≥ 12 2x₁ + x₂ ≥ 20 𝑥₁≥ 0, 𝑥₂≥ 0

(39)

Modelo de Transporte

¿La PL, permite resolver problemas de transporte,

asignación de recursos, logística, entre otros?

(40)

Modelo de Transporte

El modelo de transporte es una clase especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un artículo desde sus fuentes

(es decir, fábricas) hasta sus destinos (es decir, bodegas). El objetivo es determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. En el modelo se supone que el costo de transporte es proporcional a la cantidad de unidades transportadas en determinada ruta. En general, se puede ampliar el modelo de transporte a otras áreas de operación, entre otras el control de inventarios, programación de empleos y asignación de personal.

(41)

Modelo de Transporte

Ejemplo 1

Una empresa agroindustrial tiene tres plantas: en Trujillo, Chiclayo y Piura; y dos centros principales de distribución en Arequipa y Lima. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre serán 1000, 1500 y 1200 toneladas de ají páprika. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son 2300 y 1400 toneladas de ají páprika. El kilometraje entre las fábricas y los centros de distribución se ve en la tabla siguiente.

Arequipa Lima

Trujillo 1000 2690

Chiclayo 1250 1350

Piura 1275 850

La empresa transportista cobra 8 centavos de dólar por kilometro y por tonelada de ají páprika. El costo de transporte por tonelada de ají páprika, en las distintas rutas y redondeado hasta el $ más próximo, se calcula como se ve en la siguiente tabla:

Arequipa (1) Lima (2)

Trujillo (1) 80 215

Chiclayo (2) 100 108

El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda.

(42)

Modelo de Transporte

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected] Ejemplo 1

El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

(43)

Modelo de Transporte

Ejemplo 2

Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres centrales eléctricas con capacidades de 25, 40 y 30 megawatts (MW). Las demandas máximas en las tres ciudades se estiman en 30, 35 y 25 MW. El precio por MW en las tres ciudades se muestra en la tabla siguiente:

Se desea determinar el plan más económico para distribuir y comprar la energía adicional.

a) Formule el problema como un modelo de transporte.

b) Resuelva el problema con SOLVER y determine un plan óptimo de distribución para la empresa eléctrica.

c) Determine el costo de la electricidad adicional comprada por

El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. Solución Ciudad 1 2 3 Plan ta 1 600 700 400 2 320 300 350 3 500 480 450

Durante el mes de agosto hay un aumento de 20% en la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red, a una tasa elevada de $1000 por MW y con capacidad de 13 MW. Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3.

(44)

Modelo de Transporte

Solución

Durante el mes de agosto hay un aumento de 20% en la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red, a una tasa elevada de $1000 por MW y con capacidad de 13 MW. Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3.

(45)

Modelo de Transporte

Ejemplo 2 Solución

(46)

Modelo de Transporte

Hay tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, que abastecen a tres áreas de distribución cuyas demandas diarias son 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta por una red de oleoductos a las tres áreas de distribución. El costo de transporte es 10 centavos por 1000 galones por kilómetro de oleoducto. En la tabla de abajo se ven las distancias en kilómetros entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada con el área de distribución 3.

a) Formule el problema como un modelo de transporte.

b) Resuelva el problema con SOLVER para determinar el programa óptimo de transporte en la red.

El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. Solución Áreas de distribución 1 2 3 Ref in ería 1 120 180 -2 300 100 80 3 200 250 120

(47)

Modelo de Transporte

Ejemplo 3

Solución Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3 A. Distribución 1 A. Distribución 2 6 mm gl 5 mm gl 8 mm gl 4 mm gl 8 mm gl A. Distribución 3 7 mm gl

(48)

Modelo de Transporte

(49)

Modelo de Transporte

Ejemplo 4 (Control de producción e inventarios)

Boralis fabrica mochilas para excursionistas exigentes. La demanda de su producto se presenta desde marzo hasta junio de cada año. Boralis estima que la demanda durante los cuatro meses es 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La empresa emplea mano de obra de tiempo parcial para fabricar las mochilas y, en consecuencia, su capacidad de producción varía cada mes. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Como no coinciden la capacidad de producción y la demanda en los distintos meses, la demanda de determinado mes se puede satisfacer de uno de tres modos:

1. La producción del mes en curso.

2. La producción sobrante en meses anteriores. 3. La producción sobrante en meses posteriores.

En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses.

La aplicación del modelo de transporte no se limita a transportar artículos entre fuentes y destinos geográficos. Se aplican también a las áreas de control de producción e inventarios, y mantenimiento de equipo.

El caso se puede representar como modelo de transporte reconociendo los siguientes paralelismos entre los elementos del problema de producción e inventarios, y los del modelo de transporte.

Transporte Producción

Fuente i Período de producción i Destino j Período de demanda j Cantidad suministrada en la fuente i

Capacidad de producción del período i

Demanda en el destino j Demanda en el período j Costo unitario de transporte desde

la fuente i hasta e destino j

Costo unitario (producción + retención + penalización) en el período i para el período j

(50)

Modelo de Transporte

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected] Ejemplo 4 (Control de producción e inventarios)

Boralis fabrica mochilas para excursionistas exigentes. La demanda de su producto se presenta desde marzo hasta junio de cada año. Boralis estima que la demanda durante los cuatro meses es 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La empresa emplea mano de obra de tiempo parcial para fabricar las mochilas y, en consecuencia, su capacidad de producción varía cada mes. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Como no coinciden la capacidad de producción y la demanda en los distintos meses, la demanda de determinado mes se puede satisfacer de uno de tres modos:

1. La producción del mes en curso.

2. La producción sobrante en meses anteriores. 3. La producción sobrante en meses posteriores.

En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses. 1 Marzo 2 Abril 3 Mayo 1 Marzo 2 Abril 50 180 280 100 200 Solución 3 Mayo 180

𝑥_𝑖𝑗 𝑖 = 1,2,3,4; 𝑗 = 1,2,3,4 son el número de mochilas producidas desde el mes de producción i al mes de demanda j a un mínimo costo.

4 Junio

270

4 Junio

(51)

Modelo de Transporte

Ejemplo 4

El costo de transporte por unidad, desde el periodo i hasta el periodo j se calcula como sigue:

Solución

𝑐_𝑖𝑗 =

Costo de producción en 𝑖, 𝑖 = 𝑗

Costo de producción en 𝑖 + Costo de retención de 𝑖 a 𝑗, 𝑖 < 𝑗 Costo de producción en 𝑖 + Costo de penalización de 𝑖 a 𝑗, 𝑖 > 𝑗

1 Marzo 2 Abril 3 Mayo 1 Marzo 2 Abril 50 180 280 100 200 3 Mayo 180 4 Junio 270 4 Junio 300

En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses.

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Capacidad Marzo (1) 40 40.5 41 41.5 50

Abril (2) 42 40 40.5 41 180

Mayo (3) 44 42 40 40.5 280

Junio (4) 46 44 42 40 270

(52)

Modelo de Transporte

Solución 1 1 Marzo 2 Abril 3 Mayo 1 Marzo 2 Abril 50 180 280 100 200 3 Mayo 180 4 Junio 270 4 Junio 300

Abril (2) 42 40 40.5 41 180

Mayo (3) 44 42 40 40.5 280

Junio (4) 46 44 42 40 270

(53)

Modelo de Transporte

Ejemplo 4 Solución 1

(54)

Modelo de Transporte

Abril (2) 42 40 40.5 41 180

Mayo (3) 44 42 40 40.5 280

Junio (4) 46 44 42 40 270

(55)

Modelo de Transporte

(56)

Modelo de Transporte

Abril (2) 42 40 40.5 41 180

Mayo (3) 44 42 40 40.5 280

Junio (4) 46 44 42 40 270

(57)

Modelo de Transporte

(58)

Modelo de Transporte

Supongamos que una empresa productora de barras de pan tiene dos almacenes A1 y A2 desde los cuales debe enviar pan a tres panaderías P1, P2 y P3. Las ofertas, las demandas y los costes de envío se dan en el siguiente grafo:

A1 A2 P1 P2 2000 2500 1500 2000 Solución P3 1000 8 6 10 10 4 9

(59)

Modelo de Transporte

Ejemplo 5 Solución

(60)

Modelo de Transporte

Una empresa produce un único artículo en tres plantas, A1, A2 y A3. La capacidad de producción mensual de la empresa está limitada a 1500 unidades mensuales en cada una de las plantas. La empresa tiene cuatro clientes mayoristas cuyas demandas mensuales son 1000, 1200, 1500 y 1000 unidades respectivamente. El beneficio unitario que le proporciona su producto, considerados los costos de producción y el precio de venta, es de 110 unidades. Los costos de envío a los 4 clientes mayoristas que la empresa tiene vienen dados por la siguiente tabla:

Solución

𝑥_𝑖𝑗 𝑖 = 1,2,3; 𝑗 = 1,2,3,4 son el número de artículos producidos en la planta de producción 𝐴_𝑖 y enviado al cliente j a un mínimo costo.

El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de los meses para obtener el máximo beneficio.

Los valores𝑏𝑖𝑗 = 𝑝 − 𝑐𝑖𝑗, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 de la siguiente

tabla son los beneficios de producir una unidad en la planta 𝐴_𝑖 y enviarlo al cliente j para su venta.

1 2 3 4 A1 30 10 25 20 A2 15 25 30 10 A3 20 30 15 20 1 2 3 4 Oferta A1 80 100 85 90 1500 A2 95 85 80 100 1500 A3 90 80 95 90 1500 Demanda 1000 1200 1500 1000

(61)

Modelo de Transporte

Ejemplo 6 Solución

El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de los meses para obtener el máximo beneficio.

1 2 3 4 Oferta A1 80 100 85 90 1500 A2 95 85 80 100 1500 A3 90 80 95 90 1500 Demanda 1000 1200 1500 1000

(62)

Modelo de Transporte

(63)

Modelo de Transporte

Ejemplo 6 Solución