1. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa, justificando su determinación. r r r r r r

Texto completo

(1)

10.8 Vectores geométricos

Análisis de elementos teóricos

1. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa, justificando su determinación.

1.1 Si ar,br∈

E

3, con ar = br y ar // , entonces, br ar = br r

1.2 Si ar = b , entonces, ar =br

1.3 Si ar = br y ar ≠ , entonces, necesariamente ar y br son opuestos br

r r r r 1.4 Si a //b y a = b y ar ≠br, entonces ar −= br r r 1.5 Si c =−ar, entonces, c+(−ar =) or r r

1.6 Si a,bE3, entonces, siempre se cumple que ar+br = ar +br

r r r

1.7 Si a+b = a + br para ar ≠,br or, entonces, necesariamente a br // r

r r

1.8 Si cr > dr , entonces, siempre que se cumpla que cr+dr = cd

1.9 Si er, fr≠ory er+ rf = fr −er ≠0, entonces er + fr tiene el mismo sentido de fr

r r r r 1.10 Si a,b,coy ar+br+cr = cr −br −ar entonces: r r r Necesariamente a//b//c. r • c b

ar ,, r tienen distinta dirección. r r

a y b tienen sentido opuesto, al sentido de cr r r • b a c > + r necesariamente. • c b a c b ar+r−r = r + r + r •

2. En la figura se tiene un paralelogramo y puede asumirse que los vectores que se observan como paralelos, evidentemente lo son. Si ur =P rA y tr =PBr, expresar los vectores que aparecen con incógnitas en función de ur y tr. (A y B son puntos medios de los lados respectivos).

3. Si ar > br y los vectores tienen sentidos opuestos, entonces:

tr ur P ? ? ? ? ? ? ? A B

3.1. Exprese el sentido de cada uno de los siguientes vectores en términos de los sentidos de ar o de br

(2)

3.2 Calcule la magnitud de cada uno de los vectores anteriores en términos de ar y br .

4. En las representaciones siguientes determine:

¿Cuando uno de los vectores corresponde a la suma de los otros dos? •

• ¿Cuando uno de los vectores corresponde a la diferencia de los otros dos?

4.1 ar 4.3 sr r c r b m r hr 4.2 4.4 r dr ur r t r f n r l

5. En las expresiones siguientes, determine el vector resultante: 5.1 CK→+HM→−HF→−FK→+MD→

5.2 CD→−FD→−KF→+DA→−CK→

6. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa, justificando su determinación.

6.1 Si arE3yλ∈R, entonces, λ y ar pueden ser vectores opuestos. ar

r r

6.2 Si a ll b y λ>0,β >0, entonces necesariamente λ y ar β tienen el mismo br

sentido.

6.3 Si λ≠0, entonces, necesariamente λar > ar

r

6.4 Si a ll bry λar=θbr, entonces, necesariamente λ=θ =0 r

6.5 Si λ y ar β tienen sentidos opuestos, entonces, necesariamente b λ>0y 0β < ó

0 <

λ y β >0.

7. Utilice el criterio de colinealidad para determinar en cada numeral si los tres puntos diferentes de O ("O" es un punto de referencia) son o no colineales.

7.1 OA→ + 2 1 + → OC 2 1 = → OB BO+ OC→ 5 6 5 4 7.2 2OC→ +5FO→ =3DOIlustración 35

(3)

En el trapecio ABCD, M, N son puntos medios de los lados no paralelos AD y BC respectivamente:

Demuestre vectorialmente que:

MN = ( ) 2 1 → → + DC AB N M D C → MN = ( ) 2 1 → → + DC ABMN // AByMN→ //CD→ A B Hipótesis i) ABCD trapecio ii) AB// DC

iii) M punto medio de AD, N punto medio de BC

Demostración

1. MN=MD+DC+CN→ Suma generalizada en E3

2. MN→ =MA→ +AB→ +BN→ Suma generalizada en E3

3. 2MN→ =MD→ +DC→ +CN→ +MA→ +AB→ +BN→ Sumando 1 y 2, Ley uniforme de la suma 4. . Conmutatividad y asociatividad en la suma en E3. → → → → → → → + + + + + = MD MA CN BN AB DC MN ( ) ( ) 2 5. MD→ +MA→ =→o y CN→ +BN→ =→o ¿Por qué? 6. 2MN→ =→o+→o+AB→ +DC→ Sustitución 5 en 4.

7. 2MN→ =DC→ +AB→ Propiedad modulativa de la suma en E3.

8. ( ) 2 1 → → → + = DC AB

MN . Propiedad, producto de un real por un vector libre.

9. ( ) 2 1 → → → + = AB DC

MN Definición igualdad de vectores libres en 8.

10. MN→ = AB→ +DC

2 1

Propiedad de un producto de un real por un vector libre en 9. 11. ( ) 2 1 → → → + = AB DC

MN Teorema desigualdad triangular en 10. Por tener y el mismo sentido.

AB DC

12.DC= ABλ → Teorema. Criterio del paralelismo de la hipótesis ii).

13.       + = → → → AB AB MN λ 2 1 Sustitución de 12 en 8.

(4)

14.MN→ = + AB→ 2

) 1 ( λ

Propiedad del producto de un real por vector libre en 13. 15. MN→ // AB→ Teorema. Criterio del paralelismo en 14.

16. MN→ // DC→ Transitividad en le paralelismo de la hipótesis ii) y de 15.

Ilustración 36

El cuadrilátero PQRS es un paralelogramo, A es el punto medio de PS ,

2 1 =

TQ AT

Demuestre vectorialmente que RT→= ( → + →) 3 2 RQ RS Q R S T A P Demostración 1.       + = → → →  RA RQ RT 2 3 1

Teorema de la proporción, de la hipótesis 2. RA→=RS→+SA→ Suma en E 3

3. SA→= SP→ 2 1

Criterio del paralelismo, de la hipótesis. 4. RA→=RS→+ SP→

2 1

Sustitución de 3. en 2.

5. SP→= RQ→ Teorema Propiedad del paralelogramo, de la hipótesis. 6. RA→=RS→+ RQ→ 2 1 Sustitución de 5. en 4. 7.             + + = → → → →  RQ RS RQ RT 2 1 2 3 1 Sustitución de 6. en 1. 8.       + = → → →  RQ RS RT 3 2 ¿Por qué? Ilustración 37

(5)

En el triángulo ABC de la figura se tiene:

{ }

3 2 1 2 2 1 1 , 5 2 , 3 1 P BP CP C P AP B P AP = = = I

Determine vectorialmente la razón en la que el punto P3 divide al segmento CP1 y al segmento BP2. B λ β P1 P3 A P 2 C Demostración. 1. Designemos la razón β λ = 2 3 3 P P BP Convención adoptada 2.

(

)

      + + = → → →  CB CP CP λ β β λ 2 3 1 Teorema de la proporción de 1

3. CP→3CP→1 Teorema Criterio del paralelismo

4.       + = → → →  CA CB CP 3 4 1

1 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

5.       + = → → →  CA CB CP 3 4 3 θ Sustitución 4 en 3 6. CP→= CA→ 7 5

2 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

7.

(

)

      + + = → → →  CB CA CP λ β β λ 7 5 1 3 Sustitución 6 en 2 8.

(

)

      + + =       + → → → →  CB CA CA CB λ β β λ θ 7 5 1 3 4 Transitividad entre 5 y 7 9. →

(

)

→      − + =       + − CB CA 4 3 7 5 4 θ β λ λ β λ β θ

Propiedad del producto de un real por un vector libre. 10. c

(

)

0

4 − λ+β = β θ

(6)

d

(

)

0 4 3 7 5 = + θ β λ λ 11. 5 21 = β λ Despejando en 10. 12. 13 10 = θ Despejando en 10. 13. En consecuencia: 5 21 2 3 3 = P P BP y 13 10 1 3 = CP CP esto es, 3 10 1 3 3 = P P CP PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Demuestre vectorialmente el teorema de la paralela media.

2. Demuestre vectorialmente que los puntos medios de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo.

3. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

4. Demuestre vectorialmente que las medianas en cualquier triángulo se cortan en un punto ubicado sobre cada mediana a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado sobre el cual la

mediana incide.

5. Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un vértice con los puntos medios de los lados opuestos, dividen la diagonal en tres segmentos de igual medida.

6. En un cuadrilátero ABCD sean: E, F, G, H los puntos medios de los lados

DA y CD BC

AB, , . Demuestre vectorialmente que: AF→+BG→+CH→+DE→ =→O 7. En el trapecio ABCD, M, N son los puntos medios de las diagonales. Demuestre

vectorialmente: 7.1 ( ) 2 1 → → →  − = DC AB MN 7.2 ( ) 2 1 → → →  − = DC AB MN 7.3 MN→ ||AB→,MN→ || DC→

(7)

8. En la figura se tiene: O Punto de referencia, P Punto medio de AD, DB CD =2/1 C

Demuestre vectorialmente que OP =OA→ + OB→ + OC

6 1 3 1 2 1 O P A D B

9. En la pirámide triangular de base en el ∆ ABC y vértice Q, M, N y L son puntos medios de AB, BC y AC

+

QB

respectivamente. Demuestre vectorialmente que

→ → → → → + = + +QN QL QA QC QM M N L Q A C B

10. Sean →s,t ∈ E3, // , →sts,t ≠ o→ y tales que sr tr sr tr sr

7 3 3 5 θ θ λ       − + = + −

Determine vectorialmente los valores de λ y θ.

10.9 Vectores Coordenados

Ilustración 38

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector DT→, siendo D(4, 0, -1) y T(2, -3, 1).

(8)

Solución

Designemos esta recta por 

     → DT A L ,

Sea P(x, y, z) tal que P∈ ; esto es P representa un punto genérico de la recta.       → DT A L ,

Determinemos los vectores de posición Ar y rPrespectivamente.





→

DT

A

L

,

D A A T P z P y O x

Tenemos ahora que: 1. P = A + AP

2. AP = λDT Con λ ∈ a R. ¿Porqué? 3. P = A + λDT Sustitución de 2 en 1. 4. DT = T – D ¿Porqué?

5. P = A + λ(T - D), λ∈R} Ecuación vectorial de esta recta. 6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ(T - D), λ∈R}

Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, -1); esto es DT (-2,-3,2)

Por la correspondencia entre vectores de posición y vectores coordenados tenemos de 5: 7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)

(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: c x = -2 -2λ

d y = 1 - 3λ λ ∈ R. Ecuaciones paramétricas de esta recta. e z = 3 + 2λ

(9)

8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por la transitividad en la igualdad tenemos:

2 3 3 1 2 2 = − − − = − + y z x

Ecuaciones simétricas de esta recta.

Ilustración 39

Determine para la recta de la ilustración anterior:

Sus interceptos con los planos xy, x↔z, y↔z

Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5 •

Solución:

La ecuación cartesiana del plano xycorresponde a: 0x +0y+z=0; y sustituyendo las coordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas en esta ecuación tenemos: 3 + 2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, las ecuaciones paramétricas, se obtiene: X=-2+2 (3/2) =1

Y= 1 + 3(3/2)= 11/2 Z=0

En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la recta con el plano xy.

Determine el intercepto con los otros dos planos.

Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=5 2(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5

-4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=5

4+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor, obtenemos el punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección.

Ilustración 40

Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones: c x = -2 +3λ L1: d y = 5 - λ λ ∈ R. e z = 2λ c x = 3 - β L2: d y = 5 +2β β ∈ R. e z = β

(10)

Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo determina. •

• •

Sea u (3,-1,2) con // L1 ¿Porqué?

→ 1 ↔ → 1 u Sea u2 ↔(-1,2,1) con u2 //L2 L1//L2 si y solo si u1// u ¿Porqué? 2

Pero u1// u2 si y solo si u1u2 . Teorema. Criterio del paralelismo.

Asumamos, a prueba de hipótesis u . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto se diera tendríamos que: → → = 2 1 θu → 1 → 2 u L1 L2

Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir que u ╫ y en consecuencia ╫

c 3= -θ d -1= 2θ e 2 = θ

Procedemos ahora a determinar L1L2. 1) −2+3λ=3−β 1) 3λ+β =5 2) 5−λ=5+2β 2) −λ−2β =0 3) 2λ=β 3) 2λ−β =0

Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:

     − − − 1 2 2 1 1 3 0 5 5      0 5 → E12      −1 2 1 3 2 1      0 0    → −3E1+E2      − − 5 0 5 0 2 1      0 0    → −E2 E+ 3      − 0 0 5 0 2 1      − 5 5 0

Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia ∩ = . 1 L 2 L Φ -E1 -2E1+ E3

Este ultimo resultado y la conclusión previa de que ╫ , nos permite concluir, según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.

1 L L2 1

L L2

Ilustración 41

Dados los planos π1, π2 y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden:

π1 : x – y +2z = 1

π2 : x + 3y – z = 2

(11)

Determine e interprete geométricamente 1. π1 ∩ π2

2. π2 ∩ π3

3. π1 ∩ π2 ∩ π3

Veamos para el primer conjunto.

Por el método de reducción de Gauss Jordan    − − 1 3 1 2 1 1   2 1    → −E1 E+ 2    − − 3 4 0 2 1 1    1 1   → 1/4E2    − − 4 / 3 1 0 2 1 1    4 / 1 1   → E2+ 1E    − 43/ 1 0 4 / 5 0 1   4 / 1 4 / 5

Sistema equivalente reducido. 1. x +5/4z = 5/4 2. y -3/4z = 1/4 x = 5/4 - 5/4λ

1. y = 1/4+ 3/4λ λ ∈ R Solución del sistema 2. z = λ

Esto significa que π1 ∩ π2 = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4, 1)

tt

Ilustración 42

Dados S (-4,-2,6) y →n ↔(2,1,2) Determine:

1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al vector ; que designamos por π( , S).

n

n

2. La ecuación cartesiana de este plano.

3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano.

4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q sobre el mismo plano.

5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial. 6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3 →n Solución:

1. Sea P(x, y, z)

π( , S). →n

(12)

n

S P → SP . = o n Ecuación vectorial. 2. SP→ = →P− S→ ↔( x+4, y+2, z-6) SP→ . = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0 →n 2x + y +2z = 2 Ecuación cartesiana. 2x + y +2z = 2 3. Sea A

π( , S); en particular →n A (0, 0, 1) está en el plano d(Q, π( , S)) = HQ →n               • =         = = →  →  →  →  →  →  →  2 n n AQ n AQ pr AT HQ Por tanto → → → → →             = n n n AQ HQ 2. = → → n n AQ.. = 1.33 9 4 =

Calculemos las coordenadas del punto H

Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué? →nn

• Si P (x, y, z) ∈ L (Q, ), entonces P = Q + λ y sus ecuaciones paramétricas son:

(13)

1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ λ∈R 3. z = -2 +2λ

(

3 2

) (

4

) (

2 2 2

)

2 2 + λ + +λ + − + λ = ∴λ =−4/9 y       − = 9 22 , 9 32 , 9 19 H

Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se cumple en consecuencia que: → n Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué? Q´ = Q + 2QH ¿Porqué? QH = H – Q ↔ (−8/9,−4/9,4/9) Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9) Q´ = (11/9, 28/9, -10/9) → n H O A Q Q´ H ´

Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en particular ; y por lo tanto el ángulo entre los planos corresponde a:

t

(

5,−2,1

)

↔ → t             = → → − t n t n. cos 1 α ¿Por qué?

(14)

52,51º 30 9 10 cos 1 =      × = − α Ilustración 43

Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz. Si a,bE3, entonces, →a.b ab.

Demostración

1. →a.→b = →ab cosα Definición de producto escalar. 2. →a.→b = →abcosα Tomado de valor absoluto en 1

3. →a.→b = →ab cosα Propiedad de valor absoluto y magnitud de un vector libre.

4. −1≤cosα ≤1 Rango de la función coseno 5. cos α ≤1 Propiedad del valor absoluto de 4 6. →ab cosα ≤ →ab ¿Por qué?

7. →a.→b ≤ →ab ¿Por qué?

Ilustración 44

Sea ∆ABC con ángulo recto en BAˆC;AH altura. Demuestre vectorialmente que: 1. AB→ 2 = CBHB→ 2. AC→ 2 = CBCH→ 3.

AH

=

BH

CH

2

A B C H

(15)

Solución

1. AB→ 2 = AB.AB→ Definición de producto escalar.

2.

AB

=

CB

CA

Diferencia de E3 3.

AB

=

HB

HA

Diferencia de E3 4. De 2 y 3             → − → → − → = → → HA HB CA CB AB AB. .

5. Propiedad distributiva del producto

escalar respecto a la suma

→ → → → → → → → → → + − − =CB HB CB HA CA HB CA HA AB AB. . . . . 6. CB→ .HA→ =0 ¿Por qué? 7. AB→ .AB→ =CB→ .HB→ −CA→ .HB→ +CA→ .HA→ Sustitución de 6 en 5

8. Distributividad del producto escalar

respecto a la suma.       + + = → → → → → → → HA HB CA HB CB AB AB. . . 9.HA→ −HB→ =BA→ ¿Porque? 10.AB→ .AB→ =CB→ .HB→ +CA→ .BA→ Sustitución de 9 en 8 11. CA→ .BA→ =0 ¿Por qué? 12.AB→ .AB→ = CBHBCos0º Sustitución de 11 en 10. y definiciones de producto escalar. 13. AB→ = CBHB

2

¿Por qué?

(16)

Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ) 3 , 1 , 9 ( ), 1 , 2 , 3 ( ), 2 , 0 , 5 ( − ↔ − ↔ − − ↔ → → → c b a Solución:

Volumen de este paralelepípedo determinado por los vectores = (→a,→b,→c)

(Producto mixto de →a ,,→bc) ¿Por qué?

3 1 9 1 2 3 2 0 5 ) , , ( − − − − = → → → c b a = 5

Luego el volumen del paralelepípedo es igual a 5 unidades cúbicas.

Calcular el volumen del tetraedro, determinado por estos mismos vectores.

Ilustración 46

Si A, B, C son puntos distintos y no colineales, demuestre que una ecuación vectorial para el plano π (A, B, C) es:

0

) , ,

(ABACAP→ = ; siendo P un punto genérico del plano.

Demostración ) , , (A B C Π 1. Sea P(x, y, z) , P∈π(A, B, C) B 2. Determinemos AB→,AC→,AP→ 3. AB→,AC→,AP→⊂

π

(A,B,C) P A de la hipótesis y de 1. 4. AB→•(ACxAP→ )=0 ¿Por qué? C

5. La ecuación vectorial anterior Corresponde al plano

π

(A,B,C)

etermine, utilizando este resultado, una ecuación vectorial y la ecuación cartesiana del D

plano

π

(M,N,S); cuando M(-5, 2, 1), N

Ilustración 47

(3, -1, 0), S(4, -3, -1).

emuestre vectorialmente que para ;

Demostración D →a,bE3 , , =0       − +→ → → → →  b b a b a

(17)

1. Definición producto mixto.

2. .

Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.

3.

. Sustitución 3 en 2

5. . Distributividad

del producto escalar respecto a la suma.

6. ición del producto vectorial.

y

8. Sustitución de 7 en 5.

ustración 48

de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas (transversal ínima).         ×       − •       + =      + − →  →  →  →  →  →  →  →  → b b a b a b b a b a , , .  a + b , a − →        × − × •       + =     → → → → → → → → → → → b b b a b a b b , -→b ×→b = →O ¿Por qué? 4.  b , b =       × •      +     − +→ → → → → → → → →  b a b a a b a ,  →  →       × • +       × • =       − +→ → → → → → → → →  b a b b a a b b a b a , , ⊥ × b a a → → y a × bb . Defin →  → → → 7. =0 × b =0 ¿Por qué?      × • → → →  b a a      • → → →  a b  → 0 , , =     − +→ → →  →  b b a b a Il

Para las rectas m

Solución.

1. Designemos por A y

t

un punto particular y un vector paralelo a la primera recta obteniendose A(-2, 5, 0) y

t

↔ (-1,2,1).

Designemos por B y s elemen álogos en

2. tos an la segunda recta, obteniéndose

3. →  , 2 , 1 B(3, 5, 0) y →s

(

− 1

)

 , →  →  →  →  →  →  →  ×      =                     s t s t AB s B L t A L d , , , , , ¿Por qué?

(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación) 4. AB→= →B −→A

(

5,0,0

)

(18)

25 ) 5 ( 5 1 2 1 2 1 3 0 0 5 , , = − =− − − =      → → → s t AB 5. → → → →  →  →  →  →  + − − = − − = × i j k k j i s t ( 5) (5) (5) 1 2 1 2 1 3 ) 5 , 5 , 5 (− − ↔ ×→ →  s t ; →t ×→s = 75 6. 2.88 75 25 )) , ( ), , ( (L A →t L B →s = − = d unidades de longitud Ilustración 49

En el ∆ABC, P y Q son puntos medios de AB y BC respectivamente, G es el baricentro.

Demuestre vectorialmente que: Área (∆PQG)= 1/ 12 Área (∆ABC) C Q G A B P Solución 1. Área (∆PQG) = PQ→× PG→ 2 1 ¿Por qué? 2. PQ→= AC→ 2 1

Teorema de la paralela media. 3. PG→ = PC→=− CP→ 3 1 3 1 ¿Por qué? 4.       + = → → →  CB CA CP 2 1

(19)

5. Área (∆PQG) =       + − × → → →  CB CA AC 6 1 2 1 2 1 Sustitución 2, 3 y 4 en 1 6. Área (∆PQG) =       + − × → → →  CB CA AC 24 1

Propiedad del producto vectorial y magnitud de un vector. 7. Área (∆PQG) =       − × +       − × → → → →  CB AC AC AC 24 1

Distributividad del producto vectorial, respecto a la suma.

8. AC→×−AC→= →O ¿Por qué? 9. AC→×−CB→= CA→×CB→ ¿Por qué? 10. Área (∆PQG) = CA→× CB→ 24 1 Sustitución 8 y 9 en 7 11. Área (∆PQG) = 12

1 Área (∆ABC) ¿Por qué?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean →a

(

0,−1,1

)

,→b

(

1 ,12,−12,

)

,→c

(

0,0,−1

)

,→d

(

1,2,−1

)

Determine las coordenadas de los vectores: →s = →a −2→b +3→c y

→  →  →  →  →  + − − = a b c d t 2 2

Determine los cosenos y los ángulos directores de →s

Determine el ángulo entre →s y →t .

Determine un vector de magnitud igual a 5/2 en la dirección y en el sentido de

t

2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R2 2.1

{

( )

x,y /(x,y)=(1−θ)(−3,0)+θ(4,7),θ ∈R

}

2.2       → = + R P P P y x P( , )/ (1 β) 1 β 2,β 2.3       x y y= ,xR 5 3 / ) , ( 2.4

{

(x,y)/(x,y)=(−3,1)+θ(2,5),θ ∈

[

0,+∞

)

}

2.5

{

(x,y)/(x,y)=(−3,1)+θ(2,5),θ ∈

[ ]

0,1

}

(20)

3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente las coordenadas del

punto medio del segmento P1P2.

4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cada uno de los siguientes planos.

4.1π (A,C,K), siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2). 4.2 π (D,→u,→t), siendo D ( -1,1,2), →u ↔(3,0,−1),→t ↔(−2,1,5) 4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta

L: 1. x = 3-λ 2. y =2λ λ∈R 3. z = 1-5λ 5. Sean:

π

1:a1x+b1y+c1z+d1 =0 π2:a2x+b2y+c2z+d2 =0

Demuestre que π1//π2 si y solo si existe λ∈R tal que = = =λ

1 2 1 2 1 2 c c b b a a

6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno.

7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular. Para a→,→b,→cE3,→a+→b ≤ →a + →b

9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cubo y una diagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales.

10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntos distintos del espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio para determinar si A ( 1,2,1), B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) son coplanarios.

11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD. Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene:

P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .

12. Demuestre la identidad de Jacobi: →a×(→b×→c)+→b×(→c×a→)+→c×(a→×b→) =O

sug: Utilice la relación de Gibas

13. Resuelva para X el siguiente sistema.

(21)

2.X→•→a =α sugerencia: Utilice la relación Gibbs

14. Dado el tetraedro ABCP.

Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la cara respectiva. 4 3 , 2 ,, 1 , → → → → n n n n Demuestre que 1, 2 3 4= O → → → → + + +n n n n → → 2 → n C A 3 → n B P 1 → n 4 n 15. Demuestre la identidad de Lagrange.

Para a,b,c,dE3 → → → → → → → → → → → → • • • • = × • × d b c b d a c a d c b a ) ( )

( Sugerencia: Utilice las propiedades del

Producto mixto.

16. Sean →a ,,→bc linealmente independientes y →d =λ→a+β→b+γ→c

Demuestre que ) , , ( ) , , ( , → → → → → → = c b a c b d λ ; β = ) , , ( ) , , ( , → → → → → → c b a c d a ; ) , , ( ) , , ( , → → → → → → = c b a d b a γ

17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema: ( Regla de Cramer ) .

1. 5λ+2β −3γ = 2. −2λ+β−2γ =2 3. 3−λ+4β−γ =

Figure

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