ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

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ESCUELA SUPERIOR

POLITÉCNICA DEL LITORAL

“MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN SISTEMA DINÁMICO MEDIANTE EL USO DE

COMPONENETES ANÁLOGOS”

Autor

Roberth Tinoco

Director

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Contenidos

1. Introducción

2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema

3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.

4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.

5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.

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 Problema interesante desde el punto de

vista de control.

 Ilustra muchas de las dificultades

asociadas con problemas de control del mundo real.

Introducción

 Control mediante el empleo de

(4)

Introducción

 Aplicaciones análogas:

• Robótica.

• Posicionamiento satelital con respecto a la

tierra.

• Plataforma para el lanzamiento de cohetes

(5)

Introducción

 Definición: Consiste en un péndulo que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un carro que se mueve sobre una guía rectilínea bajo la acción de una Fuerza de Control.

(6)

Objetivo

 Construir el prototipo utilizando un bajo

presupuesto

•

Diseñar estructuralmente el sistema

•

Elegir sensores y actuador.

•

Uso de componentes análogos

 Controlar el sistema

•

Simular distintos controladores lineales usando MATLAB y SIMULINK

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Contenidos

 1. Introducción

 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema  3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control.

 4. Método de Ubicación de Polos para el

análisis del Sistema de Control.

 5.LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control.

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Modelado Dinámico del Sistema

0 1 x mg 0 0 0 x B o 0 b x 0 m I m m M 2 _ _       

(9)

Modelado Dinámico del Sistema

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Modelado Dinámico del Sistema

q bmg S q mg m M Bb S q m I b m M B S S q m s U s 2 2 3     Donde: q M m I m2 m 2

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Modelado Dinámico del Sistema

Determinación de los Parámetros Físicos:

m M 4 m M g 3 2 n 

Parámetro Descripción Valor

M Masa del Carro 0.425 Kg.

m Masa del Péndulo 0.270 Kg.

l Longitud del Péndulo 0.33 m. b Constante de amortiguamiento debido al Carro 0.1 N/m/s. B Constante de amortiguamiento debida al Péndulo 0.05 N.m/rad/s.

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Modelado Dinámico del Sistema

9.229 s

---s^3 + 7.402 s^2 - 61.83 s – 9.045

(13)

Modelado Dinámico del Sistema

Modelado en el Espacio de Estados:

X X 4 3 2 1   3 1 2 1 X y y y q m I 0 q m0 q m I b 0 q Bm g q m 1 0 0 0 q b m 0 q m M B g q m m M 0 1 0 0 2 4 3 2 1 2 2 4 3 2 1            . 0 0 . 0 1 0 0 0 0 0 1 y y 4 3 2 1 2 1

(14)

Modelado Dinámico del Sistema

(15)

Modelado Dinámico del Sistema

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Modelado Dinámico del Sistema

Estrategia de Control Conjunto Carro-Péndulo Sensor Amplificador mas Actuador Potencia Externa Señal Proporcional a las Variables de Salida

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Contenidos

 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema.  3. Método del LGR para el análisis del

Sistema de Control.

 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de

Control.

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Diagrama de Bloques: CONTROLADOR K(S) PLANTA G(S) r(S) = 0 + + + -(S) U(S) e(S) F_d(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

PLANTA G(S) + -(S) U(S) F_d(S) CONTROLADOR K(S) s F s G s K 1 s G s _d

(19)

Trazo del LGR: Cero = 0 Polos = -12.2973 5.0828 -0.1418

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Especificaciones de Desempeño: 2 2 4 t 4 2% del criterio 4 4 t s n s Tiempo de asentamiento: 1 / 2 e = 05 . 0 ≈ 0.7 Sobrepaso Máximo: Polos Dominantes: -2 2i

(21)

Ley de Control PID: Compensador PD:

Sistema no compensado hasta el polo dominante compensado deseado es -173.12º. 100 s s G_PD s 5 . 0 s s G_PI Compensador PI:

Cualquier compensador integral ideal cero funcionará, mientras el cero se coloque cerca del origen

(22)

Ley de Control PID:

k = 0.0951

ceros = 0 , 0

polos = 0 , -4.2118, -2.0024 +/- 2.0244i

(23)

Ley de Control PID:

(24)

Ley de Control PID: RESPUESTA A LAZO CERRADO SOBRESALTO TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO ERROR EN ESTADO ESTABLE

Kp Incrementa No altera Disminuye

Ki Incrementa Incrementa Incrementa

Kd Disminuye Disminuye No altera

(25)

Ley de Control PID:

9.046 s^2

---s^4 + 188.3 s^3 + 843.1 s^2 + 443.4 s

Kp= 100; Kd= 20; Ki=50

(26)

Diagrama de Bloques: CONTROLADOR K(S) PLANTA 1 G1(S) r(S) = 0 + + + -(S) U(S) e(S) F_d(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

+ -X (S) U(S) F_d(S) CONTROLADOR K(S)

Análisis de la Variable no Controlada

PLANTA 2 G2(S) X(S) PLANTA1 G1(S) PLANTA2 G2(S) s G s K 1 s G s F s x 1 2 d

(27)

Controlador Método del LGR

(28)

Controlador Método del LGR

(29)

Contenidos

Sistema de Control..

Control.

(30)

Controlador por Ubicación de Polos

Controlabilidad y Observabilidad: D Cx y B Ax x

Controlabilidad: Un sistema es controlable en el tiempo to, si se puede llevar de cualquier estado inicial X(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

B A

AB

B    n 1

Condición de Controlabilidad:

(31)

Controlador por Ubicación de Polos

Controlabilidad y Observabilidad: D Cx y B Ax x

Observabilidad: Un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado X(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Condición de Observabilidad:

Matriz de Observabilidad no singular

C A

(32)

Controlador por Ubicación de Polos

Diseño por Ubicación de Polos:

D Cx y B Ax x Kx x A BK x x t e A BK x 0

Los valores característicos de la matriz A-BK se denominan Polos

Reguladores A B A AB B 1 0 0 0 K      n 1 1 I A A A A n ₁ n 1  _n ₁ _n Fórmula de Ackermann: Donde

(33)

Controlador por Ubicación de Polos

Matriz de Realimentación de Estados:

Kx Polos: -2+2*sqrt(3)*i, -2-2*sqrt(3)*i, -20, -20 K = [135.31 12.64 -72.20 -38.85] x 8 . 38 x 2 . 72 6 . 12 3 . 135  

(34)

Controlador por Ubicación de Polos

(35)

Controlador por Ubicación de Polos

Observadores de Estados de Orden Completo:

Cx y

B Ax x

El estado x se aproximará mediante el estado

xˆ C y L B xˆ A xˆ xˆ C Cx L xˆ A Ax xˆ x  xˆ x LC A xˆ x  Definiendo el error x -0 e LC A e

(36)

b a b a bb ba ab aa b a B B x x A A A A x x           b a x x 0 1 y   a b ab a aa a A x A x B x b b bb a ba b A x A x B x

Controlador por Ubicación de Polos

Observadores de Estados de Orden Mínimo:

Ecuación de salida Ecuación de Estado a b aa ba ab bb ab bb LA ~ A LA L A LA y B LB A ~ Ly x ~ ~ b

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Controlador por Ubicación de Polos

Observadores de Estados de Orden Mínimo:

L =

15.0940 -1.2452 78.9617 -16.6433 -1.7567 23.9477 -18.3909 145.4249

(38)

(39)

Contenidos

Sistema de Control.

Control.

(40)

Implementación Final LQR

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Implementación Final LQR

Selección del Actuador:

t 1 Sen e 1 X t x t 2 2 o 1 cos 2 2 dt x d m M dt dx b t F ) t ( v ) t ( F ) t ( Pot

Potencia del Motor

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Tiempo (seg) P o te n c ia ( H P ) MASA AMORTIGUAMIENTO POTENCIA

Potencia Promedio 0.00836 HP [6.23 watts] Potencia Máxima 0,12573 HP [93.8 watts]

(42)

Implementación Final LQR

Modelo dinámico del Motor DC:

a a 1 2 a 2 1 2 0 a 2 a 1 m _e r R . 2 K x r R . 2 K K x r . 2 J R K e r . 2 K r . 2 J F     1 a b a 2 2 2 c m K R dt d K e dt d n J J

(43)

e rq R 2 m I K q Bm q g m x q r R 2 K K b m I x a 2 1 2 2 a 2 1 2         e rq R 2 K m x q m r R 2 K K b g q r 2 J m M m q r 2 J m M B a 1 2 a 2 1 2 o 2 o        2 2 2 o _I _m _m r 2 J m M q   Donde:

Implementación Final LQR

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Implementación Final LQR

Determinación de los Parámetros del Motor:

a b b a 1 i gL M 2 / 1 i T K

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Implementación Final LQR

Determinación de los Parámetros del Motor: 1

K

e [voltios] i_a[A] T [N.m] K₁=T/i_a [N.m/A]

1,812 0,22 0,05978 0,27173 O,27173 3,230 0,44 0,11856 0,27173

2

K

e [voltios] i_a[A] [rpm] K₂=e/ [V/rad/s] 6,3 0,18 370 0,16262 O,15584 12,0 0,19 700 0,16367 15,4 0,44 1080 0,14057 a R

e [voltios] i_a[A] [rpm] R_a=(e-K₂)/i_a[ ]

8,04 0,40 400 3,78 3,69 8,15 0,45 400 3,60

(46)

Implementación Final LQR

Caja Reductora: c m opt J J n

Inercia del Motor DC:

RL m m M R 3 / L m 4 2 / gL m J p ₂ _p 2 2 _m _p _p 2 o m

(47)

Implementación Final LQR

Razón de Reducción Óptima:

Inercia de Carga: 2 p c (M m) r J n J_J 1.34 c m opt

(48)

S q r R 2 K NK mg S q r 2 J m M mg S q r R 2 K NK m I S S rq R 2 NK m S E S 2 a 2 1 2 2 o 3 2 a 2 1 2 4 2 a 1    

Implementación Final LQR

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Implementación Final LQR

Parámetros Físicos del Sistema:

PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR

M Masa del Carro 0,435 Kg. m Masa del Péndulo 0,270 Kg. l Longitud media del Péndulo 0,165 m. b Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro 0,1 N.s/m

B Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo 0,05 N.m/rad/s K₁ Constante del Par Motriz 0,27173 N.m/A K₂ Constante de la Fuerza Contra electromotriz 0,15584 V/rad/s R_a Resistencia de Armadura del Motor 3,69

K Ganancia del Potenciómetro del Péndulo 1,637 V/rad K_x Ganancia del Potenciómetro del Carro 4,244 V/m

d Diámetro de la Polea 0,075 m n Reducción de la caja Reductora 1.5, 3, 7 , 10

(50)

Implementación Final LQR

Regulador Cuadrático Lineal :

control óptimo implica una equidad entre el desempeño y el costo

de control y busca minimizar el valor del índice de desempeño J.

dt R ' Qx ' x 2 1 J 0

El problema de minimizar J con respecto a la entrada de control u(t), es conocido como el problema Regulador Cuadrático Lineal (LQR)

Teorema del Regulador Óptimo

P ' B R K Kx -1 opt Ecuación de Riccati PA A'P Q PBR 1B'P 0

(51)

Implementación Final LQR

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Implementación Final LQR

Matriz de Ganancias de Realimentación de Estados:

K = [87.7593 -31.6228 8.1430 -31.3855];

Matriz de Ganancias del Observador:

L =

7.8260 -0.5693 -0.5693 0.1786

Aplicando la igualdad de la ley de control y del estimador:

2 1 31.39 14 . 8 x 91 . 41 41 . 169 10 . 17 x 46 . 14 82 . 14 39 . 124 62 . 13 ₁ ₂ 1  96 . 3 x 18 . 5 35 . 20 67 . 27 42 . 0 ₁ ₂ 2 

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Implementación Final LQR

(54)

Implementación Final LQR

(55)

Zona Muerta del Motor V _VV ₁1_..₂8_VV Si_SiV_V 0₀ in

in out

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Conclusiones y Recomendaciones

 Dispositivos físicos actúan en estado de saturación..

 Limitación de ganancias que inciden en el estado de saturación.

 Reemplazo del driver analizado por un OPA-548.

 Uso de aisladores y flitros para disminuir el rizado en las señales provenientes de los sensores.

 Uso de frenado dinámico por parte del motor.

 Se delimita la region del actuador por inestabilizar el sistema

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 La realimentación reduce el efecto de las perturbaciones y modera los errores de modelado, no obstante ante la presencia de perturbaciones y ruido en el sensor se debe incluir:

• Desempeño de seguimiento.

•Reducir la sensibilidad a ruido en el sensor, ganancia significativa en la región de baja frecuencia y mínima en la región de alta frecuencia.

• Se debe delimitar la señal de control para futuras mejoras. • Reducir la sensibilidad ante errores en el modelado.

• Establecer una estabilidad robusta.

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1. Potenciómetro Lineal.

2. Cilindro Lineal sin Vástago. 3. Péndulo Invertido. 4. Servopotenciómetro rotacional. 5. Tarjeta de Referencia electrónica. 6. Trasductor de Presión. 7. Válvula proporcional 5/3. 8. Unidad FLR. 9. Válvula de Suministro. 10. Interfase electrónica. 11. PC del Ordenador.

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