Se
Se llama llama eelliippssee, , al al lugar lugar geométrico geométrico de de los los puntos puntos de de un un plano plano cuya cuya ssuummaadede distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar
acostumbran a llamar focos.focos.
y y x x )) ,, (( x x yy P P )) ,, (( 11 cc oo F F −− F F 22((cc,,oo)) Ecuación: Ecuación: Considerando
Considerando los los focos focos sobre sobre el el eje eje \ \ y y la la distancia distancia constante constante la la denotaremos denotaremos por por ##++ß ß + + !!ß ß sea sea T ÐBT ÐBß Cß CÑÑ un un punto punto cualquiera cualquiera que que pertenece pertenece a a dicho dicho lugar lugar geométrico
geométrico y y sean sean J J " "
a b
a
--ßß ! !b a
y y J --ßß ! J ##a bb
! ß ß - - !!ß ß las coordenadas las coordenadas de de los los focosfocosßß entonces de la definición se tieneentonces de la definición se tiene T J
T J " " T J T J œ ## œ ##++
È
È
ÐÐB B --Ñ C Ñ C ## ## ÐÐB È
È
B --Ñ Ñ C ## C œ ## œ ##++ dede donde donde se se obtiene obtiene la la ecuaciónecuación -
- B # # # B # + + œ % % œ + + B # # # B # + + - # # # - # + + C # # ##C
a a bb
"" NóteseNótese que que en en el el triángulo triángulo J J T" " T J J ## se se tiene tiene queque T J
T J "" T J T J ## J J J J Ê "" ## Ê + + --A
Ahohora ra dde e
a a bb
" " reressulultataÀ ÐÐ+ À + - # # - ÑÑB # # # B + # + C # # # C œ # œ ÐÐ+ + - # # - ÑÑ+# # ##+ seasea , , œ ## œ + #+ # - Í - Í + ## + - - + y y + , , en tal en tal caso caso , B , ##B ## + + C ##C œ ##œ , , + ##+## y de y de aquíaquí
Capítulo 2
Capítulo 2
"
"
La elipse y la hipérbola
La elipse y la hipérbola
12
Definición
12
""Definición
B B CC + + ,, œœ "" ## # # ## # # ##
a a bb
DiscusiónDiscusión de de la la ecuación ecuación
a a bb
## y y gráficográfico InterseccionesIntersecciones con con los los ejes ejes coordenadoscoordenados Intersección
Intersección con con el el eje eje \\ß ß B B œ œ „ + „ + de donde de donde Z Z Ð " " Ð ++ßß !!Ñ Ñ y y Z Z ÐÐ+## +ßß !!ÑÑ son lasson las coordenadas de los vértices, y la longitud del eje
coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que esmayor que es #+Þ#+Þ Intersección
Intersección con con el el eje eje ]] ß ß C C œ œ „„ , , de donde de donde F F !!ß " "
a b
a
ß , ,b a
y y F F !!ßß ,,##a bb
son lasson las coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud escoordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ#,Þ Simetrías
Simetrías Al
Al sustituir sustituir B B por por BBß ß la la ecuación ecuación
a a bb
## no no varía varía lo lo que que indica indica que que la la curva curva tienetiene simetríasimetría con con respecto respecto al al eje eje ]] ßß analogamente analogamente si si se se sustituye sustituye CC por por CCßß es decir es decir lala curva
curva es es simétrica simétrica con con el el eje eje \ß \ß lo lo mismo mismo sucede sucede cuando cuando se se sustituyen sustituyen a a la la vezvez BB por
por B B C e e C por por CCß ß la ecuación la ecuación
a a bb
## no varía, luego tiene simetría con el origenno varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que elde coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de origen recibe el nombre de centro de simetría.simetría. Dominio
Dominio Despejando
Despejando C C en términos en términos de de BBß ß se tiene se tiene C C œ „ œ „ ,, + + B B ßß lo lo que que nos nos conduceconduce + +
È
È
# # ## a: a: + Ÿ B + Ÿ B Ÿ +Ÿ +ÞÞ Recorrido Recorrido DespejandoDespejando B B en términos en términos de de CCß ß se tiene se tiene B B œ œ „ „ ++ , , C C ßß lo lo que que nos nos conduceconduce ,,
È
È
# # ## a: a: , Ÿ C , Ÿ C Ÿ ,Ÿ ,ÞÞ Concavidad Concavidad NóNótetese se tatambmbiéién n quque e À À si si + + Ÿ Ÿ B B Ÿ Ÿ + + Í Í , , + B + B ÐÐ+ ,, + B BÑÑßß lo qulo que e nonoss +
+
È
È
++# # ##
indica que la curva es cóncava hacia abajo
indica que la curva es cóncava hacia abajo aC !ÞaC !Þ
y y x x 11 V V a a a a c c cc b b 22 V V 11 B B 22 B B 11 F F F F 22
Elementos de una elipse:
1. Sean J "y J # los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focal en donde ß J -ß ! "
a b a b
y J -ß ! ß - !Þ#2. El eje focal corta a la curva en dos puntos Z " y Z # llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z +ß ! "
a b a b
y Z +ß !#El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, se llama eje
$Þ Z" #Z ß
mayor cuya longitud es #+Þ El valor de + se llama semieje mayor.
El punto medio del segmento que une los focos, se llama centro de simetría
%Þ G
de la curvaÞ
La recta que pasa por y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.
&Þ G
6. El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, F F ß" # se llama eje menor cuya longitud es #,Þ El valor de se llama semieje menor.,
Cualquier recta que pasa por el centro de simetría se llama diámetro de la
(Þ Gß
elipse.
8. El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos E " y E# se llama cuerda focal.
9. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llama radio focal.
10. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a #,
+
#
Por convenio, tomaremos siempre si es el caso , los
""Þ + ,ß B C œ "
+ ,
# # # #
vértices de la elipse yacen sobre el eje \ß y si fuese B œ C "ß los vértices se
, +
# # # #
encuentran sobre el eje ] Þ
Se define por excentricidad de la elipse al cuociente entre la distancia desde
"#Þ ß
un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir note que siempre
/ œ ß - / " +
Observe que si / Ä ! la elipse tiende a una circunferencia y si / Ä " la elipse tiende a un trazo.
Sea el punto Ð2ß5Ñ el centro de simetría de una elipse, por tanto las ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: B œ B 2 w e C œ C 5ßw y la
ecuación de la elipse con respecto a los nuevos ejes \ ] w w cuyo origen es el punto
Ð2ß5Ñ, es: de donde B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ + , œ " + , œ " w# w# # # # # # #
Obsérvese que los vértices son: Z Ð2 +ß 5 Ñ " y Z Ð2 +ß 5 Ñ# y los focos: J Ð2 -ß 5 Ñ " y J Ð2 -ß 5 Ñ# y x 1 V a a c c b 2 V 1 F F 2 h k
Analogamente para el caso de
ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ + , œ " # # # # cuyo gráfico es y x h k O
Se llama hipérbola, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos.
y x ) , ( x y P ) , ( 1 c o F − F 2(c,o) Ecuación:
Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por #+ß + !ß sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar geométrico y sean J -ß ! "
a b a b
y J -ß ! ß - # !ß las coordenadas de los focosß entonces de la definición se tiene| T J T J œ #+" # |
¹
È
ÐB -Ñ C ÐB -Ñ C œ #+# #È
# #¹
de donde se obtiene la ecuación
- B + œ + B + - + C # # % # # # # # #
a b
" Nótese que en el triángulo J T J " # se tiene quelT J T J l J J Ê - +" # " #
Ahora, de
a b
" resultaÀ Ð- + ÑB + C œ Ð- + Ñ+# # # # # # # #sea , œ - + Í - + - , # # # y en tal caso , B + C œ , +# # # # # # y de aquí
B C
+ , œ " #
# #
# #
a b
Discusión de la ecuación
a b
# y gráfico Intersecciones con los ejes coordenadosIntersección con el eje \ß B œ „ + de donde Z Ð +ß !Ñ " y Z Ð+ß !Ñ# son las coordenadas de los vértices.
Intersección con el eje ] ß no tiene. Simetrías
Al sustituir B Bß por la ecuación
a b
# no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por Cß es decir la curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez B por B C e por Cß la ecuacióna b
# no varía, luego tiene simetría con el origende coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría. Dominio
Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „ , B + ß lo que nos conduce +
È
# #a: B Ÿ + ” B + Recorrido
Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „ + , C ß lo que nos conduce ,
È
# #
a: _ Ÿ C Ÿ _Þ Concavidad
Nótese también que À si B Ÿ + ” B + Í , B + ÐB +Ñß, lo que
+
È
+# #
nos indica que la curva es cóncava hacia abajo aC !Þ
y x a a b b c c 1 F V 1 V 2 F 2 x y a b = x y a b − =
Elementos de una hipérbola:
1. Sean J "y J # los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasverso en donde ß J -ß ! "
a b a b
y J -ß ! ß - !Þ#2. El eje real corta a la curva en dos puntos Z " y Z # llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z +ß ! "
a b a b
y Z +ß !#El valor de se llama semieje real. El valor de se conoce por semieje
$Þ + ,
conjugado o imaginario.
El punto medio del segmento que une los focos, se llama centro de simetría
%Þ G
de la curvaÞ
La recta que pasa por y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario.
&Þ G
6 Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Þ Gß se llama diámetro de la hipérbola.
7. El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos E " y E#
se llama cuerda focal.
8. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hipérbola se llama radio focal.
9. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a #,
+
#
0 Si es el caso , los vértices de la hipérbola yacen sobre el eje
" Þ B C œ " \ß
+ ,
# # # #
y si fuese C B los vértices se encuentran sobre el eje
+ , œ "ß ] Þ
# # # #
1 Se define por excentricidad de la hipérbola al cuociente entre la distancia
" Þ ß
desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir / œ ß - note que siempre / "
+
2 Las rectas se llaman asíntotas de la hipérbola , en
" Þ C œ „ , Bß B C œ "
+ + ,
# # # #
tanto que C œ „ + Bß son las asíntotas de la hipérbola C B œ "
, + ,
# # # #
Sea el punto Ð2ß5Ñ el centro de simetría de una hipérbola, por tanto las
ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: e
B œ B 2 w C œ C 5ßw
12 2 Otra forma de la ecuación de una
Þy la ecuación de la hipérbola con respecto a los nuevos ejes \ ] w w cuyo origen es el punto Ð2ß5Ñ, es: de donde B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ + , œ " + , œ " w# w# # # # # # #
Obsérvese que los vértices son: Z Ð2 +ß 5 Ñ " y Z Ð2 +ß 5 Ñ#
y los focos: J Ð2 -ß 5 Ñ " y J Ð2 -ß 5 Ñ# y x a a b b c c 1 F V 1 V 2 F 2 ) ( x h k y ab − = − ) ( x h k y ab − − = − h k
Note que las ecuaciones de sus asíntotas son en este caso C 5 œ „ ÐB 2Ñ,
+ Analogamente para el caso de
ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ + , œ " # # # # cuyo gráfico es y x a a b b c c 1 F 2 F 1 V 2 V ) ( x h k y b a − = − ) ( x h k y− =−ba − h k
La ecuación de la tangente a la elipse o hipérbola B C en el punto + „ , œ " # # # # T ÐB ß C Ñ! ! ! de ella es B ! B C!C + # „ ,# œ "
En efecto, T ÐB ß C Ñ! ! ! pertenece a estas curvas entonces B C
+ „ , œ "
! ! # #
# #
a b
"sea C C œ ! 7ÐB B Ñ !
a b
#la ecuación de la tangente en cuestión, entonces efectuando la intersección de esta tangente con las curvas resulta
, B „ + ÒC 7ÐB B ÑÓ œ + ,# # ! ! # # #
imponiendo la condición de tangencia ? œ !ß resulta 7 œ … , B ß por tanto de
+ C
# #
! !
se tiene de aquí ocupando se obtiene
a
#b
C C œ … , B ÐB B Ña
"b
+ C ! ! # # ! ! B ! B C!C + # „ ,# œ "por supuesto que el signo " " para la elipse y el " " para la hipérbola
Para los casos de
ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ
+ „ , œ "
# #
# #
las ecuaciones de las tangentes en T ÐB ß C Ñ ! ! ! son respectívamenteß
ÐB 2ÑÐB 2Ñ ÐC 5ÑÐC 5Ñ
+ „ , œ "
! !
# #
la demostración se deja propuesta.
Una ecuación de la forma
EB GC HB IC J œ ! # #
a b
"12 Tangenci
Representa el lugar geométrico de una elipse real, si y solo si
con y
EG ! E Á G J H I ß
%E %G
# #
note que si E œ G y %EJ H I ß# # el lugar, es el de una circunferencia
con y entonces el lugar se resume a un punto
EG ! E Á G J œ H I ß
%E %G
# #
con y entonces se dice que no hay un lugar
EG ! E Á G J H I ß
%E %G
# #
geométrico real
Para el caso de una hipérbola,
y entonces el lugar geométrico es el de una hipérbola
EG ! J Á H I ß
%E %G
# #
real
y entonces el lugar geométrico es el de rectas que
EG ! J œ H I ß #
%E %G
# #
se cortan.
La demostración de estas afirmaciones, se deja al estudiante.
1. Determine: vértices, focos y las ecuaciónes de las asíntotas de la hipérbola #B C )B #C $ œ !# #
Solución.
Completando cuadrados se obtiene ÐB #Ñ ÐC "Ñ de aquí se
# % œ "
# #
deducen: + œ #ß , œ #
È
y - œ 'È
con lo que yZ Ð# #ß "Ñß Z Ð# #ß "Ñ ß J Ð# 'ß "Ñ J Ð# 'ß "Ñ"
È
#È
"È
#È
y las ecuaciónes de sus asíntotas C " œ „ #ÐB #Ñ
È
2. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
Š ‹
È
#(ß $ ß tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje \ y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.Solución.
La ecuación pedida es de la forma B donde entonces
, + œ "ß + œ #,
C
#
# # #
como el punto pertenece a la elipse se debe tener
B , %, œ " C # # # #
È
( # ß $ con lo que ( % # # # # # , %, œ " Ê , œ %ß % "' œ " * B C3. Los vértices de una hipérbola son los puntos
a b a b
"ß $ y $ß $ y su excentricidades $. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y las
#
longitudes de sus ejes transverso, conjugado y de cada lado recto.
Solución.
Nótese que su centro de simetría es el punto
a b
"ß $ entonces su ecuación es de laforma , donde ÐB "Ñ ÐC $Ñ + , œ " + œ % # # # # #
como / œ œ - + , œ Ê $ , œ &ß entonces ÐB "Ñ ÐC $Ñ œ "
+
È
+ # % &# #
# # #
Ahora como - œ $ Ê J Ð #ß $ Ñ J Ð%ß $ Ñ" y #
Longitud del eje trasverso #+ œ %ß longitud del eje conjugado #, œ # &
È
y lalongitud de cada lado recto #,
+ œ &
#
%Þ Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos
de la elipse B C , y luego encuentre las ecuaciones de sus asíntotas.
#& * œ " # # Solución. x 4 4 3 3 5 5 1 V V 2 x y 4 3 = x y 4 3 − = Para la elipse y + œ #& # , œ * Ê - œ "'# #
Para la hipérbola
+ œ # 16 y - œ * Ê , œ "'# #
Por tanto la ecución pedida es B
"' * œ " C
# #
Las ecuaciones de sus asíntotas son C œ „ B$
%
5. Demostrar que el triángulo formado por una tangente cualquiera a una hipérbola y sus asíntotas tiene un área constante
Demostración.
Sin perder generalidad se puede tomar la hipérbola de ecuación B
+ , œ " C # # # # y x a b c 1 F 2 F 1 V x y= ab x y a b − = 0 P A B O
Sea T ?ß @ que pertenece a la hipérbola, entonces ? œ " "
+ , @ ! # # # #
a
b
a
b
La ecuación de la tangente en T ! está dada por , ?B + @C œ + , # # # #
a b
#Las ecuaciones de las asíntotas son: C œ „ B , $
+
a b
Resolviendo el sistema formado por
a b a b
# y $ ß obtenemos las coordenadas de Ey Fß es decir À
y
EÐ + , ß +, Ñ FÐ + , ß +, Ñ
?, @+ ?, @+ ?, @+ ?, @+
# # # #
Ahora, el área del triángulo SEF está dado por
E</+ œ " œ + , # ? , @ + ! ! " + , +, ?, @+ ?, @+ " + , +, ?, @+ ?, @+ "
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
# # # # $ $ # # # #6. Demuestre que la normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos, es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
Solución.
No se pierde generalidad al tomar la elipse cuya ecuación es , B + C œ + , # # # # # #
a b
" Sea ( la normal a la elipse en un punto T ?ß @!a b
de la curva.0 P 1 F F 2 x y α β η
Sean ! el ángulo formado por J"T! y ß( y " el ángulo entre J#T! y , vamos (
a demostrar que ! œ Þ"
Sabemos que la ecuación de la tangente en T ß ! está dada por , ?B + @C œ + ,# # # #
en que su pendiente es 7 œ , ? por tanto 7 œ + @
+ @ , ?
>
# #
# ( #
Por otra parte las pendientes de los radios vectores J T " ! y J T # ! son
respectivamenteÀ @ y @ ß entonces ? - ? ->1 œ œ @ + @ ? - , ? " @ + @ ? - , ? , ?@ + ?@ + -@ , ? , -? + @ ! # # # # # # # # # # # #
imponiendo la relación - œ + , # # # y la condición , ? + @ œ + ,# # # # # #
y simplificando resulta >1 œ -@ "
,
! #
a b
Analogamente se obtiene también que >1 œ -@ #
,
" #
a b
Por tanto por
a b a b
" y # se tiene ! œ " Þ7. Demostrar que las tangentes a la elipse , B + C œ + ,# # # # # # y a la circunferencia
en y respectivamente, se cortan en un
B C œ + # # # T Ð?ß @ Ñ U ?ß @ ? Á !! " !
a b
#mismo punto sobre el eje \Þ
Demostración.
y
, ?B + @ C œ + , # # " # # ?B @ C œ +# #
intersecando cada una con el eje \ß se obtiene el punto Ð ß !Ñ+ en ambos casos.
?
#
8. Demostrar que las tangentes a la elipse , B + C œ # # # # + , # # en una dirección 7 son:
C œ 7B „ 7 + ,
È
# # #Demostración.
Sea el haz de rectas tangentes dadas por: C œ 7B 8ß intersecando con la elipse
dada se tiene
Ð, + 7 ÑB #78+ B + Ð8 , Ñ œ !# # # # # # # #
Ahora, imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! resulta
%7 8 + % Ð, + 7 Ñ+ Ð8 , Ñ œ !# # % # # # # # #
de donde resolviendo para 8ß se obtiene 8 œ „ 7 + ,
È
# # # luego la tangente es .C œ 7B „ 7 + ,
È
# # #9. Determine el lugar geométrico de los puntos desde donde se puedan trazar tangentes perpendiculares entre si a la elipse , B + C œ + ,# # # # # #.
Solución.
Sean C œ 7B „ 7 + ,
È
# # # las tangentes a la elipse dada en cierta dirección7ß 7 Á ! C œ B „ + ,
7 7
con y sus perpendiculares serán de la forma
Ê
## #Eliminando el parámetro 7 entre ambas familias, obtenemos los puntos de
intersección, que es el lugar geométrico en cuestión
De la primera se obtiene C 7B œ „ 7 + ,
È
# # #De la segunda se obtiene B 7C œ „ 7 , +
È
# # #De donde elevando al cuadrado cada una y sumando miembro a miembro se tiene Ð" 7 ÑC Ð" 7 ÑB œ + Ð" 7 Ñ , Ð" 7 Ñ# # # # # # # #
y de aquí resulta la circunferencia con centro en el origen y radio
È
+ ,# # es decirque es la ecuación del lugar geométrico pedido. B C œ + , ß# # # #
10. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de las proyecciones de los focos de la
elipse ,# # B +# # C œ +# #, sobre las tangentes a la misma en una dirección 7ß
Solución.
Sabemos que la familia de tangentes a la elipse dada en cierta dirección 7ß están
dadas por
C œ 7B „ 7 + , Í C #7BC 7 B œ + 7 ,
È
# # # # # # # # # ßa b
" Las perpendiculares a estas tangentes porlos focos, están dadas porC œ " ÐB „ -Ñ Í 7C B œ … - Í 7 C #7BC B œ - œ + , 7
# # # # # #
Eliminando el parámetro 7 entre esta última ecuación y
a b
" se obtiene la ecuacióndel lugar geométrico pedido, que resulta ser À B C œ + Þ# # #
11. El punto medio de la cuerda de una elipse es
a b
&ß # Þ Hallar la ecuación de la cuerda, si la elipse tiene por ecuación B %C 'B )C $ œ !Þ# #Solución.
Sea C # œ 7ÐB &Ñ la ecuación de la cuerda en cuestión, intersecando con la
ecuación de la elipse dada, obtenemos:
Ð" %7 ÑB Ð)7 %!7 'ÑB "!!7 %!7 $ œ !# # # #
sabemos que si B "y B# son las raíces de ésta última ecuación, se cumple que
por otra parte también 10
B B œ )7 %!7 'ß B B œ
" %7
" # " #
# #
entonces, ' %!7 )7 œ "!Ð" %7 Ñ de aquí se obtiene 7 œ " por #
# #
tanto la ecuación de la cuerda resulta ser C # œ ÐB &ÑÞ" #
12. Sea 6 la tangente en T ?ß @
a b
a la elipse , B + C œ # # # # + , # #. Sean X X " y # lasintersecciones de 6 con las tangentes trazadas desde los vértices de la elipse.
Demostrar que la circunferencia que tiene por diámetro el trazo X X " # pasa por los
focos Demostración. y x 1 T 2 T ) , (uv P • 1 • F F 2
Primero determinamos las coordenadas de ß X" y X#ß intersecando la ecuación de la tangente en T ß que está dada por , ?B + @C œ + , # # # # con B œ „ +ß de donde resultan: X +ß , " ? y X +ß , " ?
@ + @ +
"
# #
Œ Œ
Š ‹
2Š ‹
Por otra parte la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos X " y X # diametralmente opuestos, esta dada por
ÐB +ÑÐB +Ñ ÒC , " ? ÓÒC , " ? Ó œ !
@ + @ +
# #
Š ‹ Š ‹
Esta circunferencia cuando corta al eje B se debe tener C œ !ß así resulta
pero como satisface la ecuación de la
B + , " ? œ !ß T ?ß @
@ +
# # % #
#
Œ
#a b
elipse, entonces , ? + @ œ + , Í " ? œ @ así se tiene
+ ,
# # # # # # # # # #
luego la circunferencia pasa B + , œ ! Í B œ + , œ - Í B œ „ -ß# # # # # # #
por los focos.
13. Demuestre que el producto de las distancias desde los focos de una elipse, a una tangente cualquiera de ella, es constante.
Demostración. ) , (uv P O A x y 1 F F 2
Sabemos que la ecuación de la tangente en el punto TÐ?ß@Ñ de la elipse, está
dada por , ?B # + @C œ # + , # #, por tanto las distancias . ." y # desde los focos J -ß ! "
a b a b
y J -ß !# son: y . œ l -?, + , l . œ l-?, + , l ? , @ + ? , @ + " # # # # # # # % # % # % # %È
2È
Así, pero y . . œ l- ? , + , lß , ? + @ œ + , - œ + , ? , @ + " # # # % % % # % # % # # # # # # # # # Entonces,. . œ , l- ? + l œ , l- ? + l œ , l- ? + l ? , + ? , Ð" Ñ+ ? , + ? + " # # # # # # % # # % # # % # # @ % # # ? % , + # # % # # # # # # œ , l- ? + l œ , + - ? œ , ? Ð, + Ñ + - ? + # # # % # % # # # # # # % # # %
14. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto
a b
$ß " a la elipse cuya ecuación es: #B $C B C & œ !Þ# #Solución.
Las ecuaciónes de la tangentes mencionadas son de la forma intersecando con la elipse se obtiene: C " œ 7ÐB $Ñß
Ð# $7 ÑB Ð ")7 (7 "ÑB #(7 #"7 " œ !# # # # Imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! Ê
Ð ")7 (7 "Ñ %Ð# $7 ÑÐ#(7 #"7 "Ñ œ !# # # #
resolviendo para 7 se obtiene: 7 œ " ” 7 œ * con lo que resultan
"*"
" #
y
B C # œ ! *B "*"C #") œ !
15. Los extremos de la base de un triánguloson los puntos E !ß !
a b a b
y F $ß ! ÞHallar laecuación del lugar geométrico del vértice G si se mueve de modo que el ángulo de
la base GFE es siempre igual al doble del ángulo GEF
Solución. ) , ( x y C α 2α A B x y
De la figura se tiene que: >1 œ C • >1 # œ C ß Á ! parámetro
B $ B
! ! !
Eliminando el parámetro ! se obtendrá la ecuación del lugar geométrico del
vértice GÞ Sabemos que À >1 # œ #>1 Í C œ Í ÐB "Ñ œ "C " >1 $ B $ #C B " C B ! ! ! # # # # #
16. Probar que la normal en
a b
?ß @ a la hipérbola equilátera B C œ # # +# es @B ?C œ #?@ÞPrueba.
La tangente en
a b
?ß @ está dada por la ecuación ?B @C œ +# por tanto supendiente es 7 œ ? entonces la pendiente de la normal en dicho punto resulta
@
>
7 œ Þ@ ?
(
Por tanto la ecuación de la normal en dicho punto es C @ œ ÐB ?Ñ@ de aquí
? se tiene @B ?C œ #?@Þ
17. Demostrar que en una hipérbola equilátera la distancia de un punto de ella , al centro de simetría es media proporcional geométrica entre sus distancias focales.
Demostración. y x a a c 1 F F 2 x y= x y=− ) , ( x y P o
La ecuación de la hipérbola es B C œ # # + # y se cumple que - œ # #+ # De la figura À ST œ B C# # #,
T J † T J œ ÖÒÐB -Ñ C ÓÒÐB -Ñ C Ó×" # # # # # "#
œ ÒÐB C Ñ - #- ÐB C ÑÓ# # # % # # # "#
œ B C œ ST ß # # # pues - #- ÐB C Ñ œ !% # # #
18. Demostrar que la parte de la normal de una hipérbola comprendida entre los ejes
coordenados queda dividida por la curva en la razón +
,
# #
y x a b 1 P P(u,v) A B O
Vamos a demostrar que
T E T E T F œ T S œ , + " " # #
Determinemos las coordenadas de Eß para lo cual obtenemos la ecuación de la
normal en el punto de tangencia T ?ß @ ß
a b
que esintersecando con el eje resulta
@+ B ?, C œ ?@Ð+ , Ñ # # # # Cß
por otra parte note que entonces se tiene
E !ß + , @ ß T Ð!ß @Ñ ,
Œ
# #
# " T E œ + , @ @ œ + @ß T S œ @ß luego œ + , , T S , T E " " # # # # # # # " "19. La tangente en un punto T de la hipérbola , B + C œ # # # # + ,# # corta al eje
transversal en X ßy la recta ST corta en V a la tangente en Eß demostrar que
VX es paralela a T EÞ Solución. y x a b P(u,v) A R T O
intersecando con el eje se tiene ahora
, ?B + @C œ + , ß B X + ß ! ß
?
# # # #
Œ
#intersecando B œ + con la recta ST cuya ecuación es C œ @ B, resulta
? V +ß + ß @ 7 œ œ @ œ 7 ß VX llT EÞ ? ? + @ ?+ + + ?
Š ‹
entonces VX # EX por tanto20. Sea una cuerda cuyo punto medio es
a b
%ß " de la hipérbola B $C œ '# # , Hallar su ecuación.Solución.
Sea la ecuación de la cuerda C " œ 7 B %
a b
intersecando con la hipérbola setiene:
a b
" $7 B Ð#%7 '7ÑB %)7 #%7 * œ !# # # #de aquí se sabe que B B œ #%7 '7 de donde "ÐB B Ñ œ %ß luego
" $7 #
" # " #
# #
por tanto es la ecuación en
% œ "#7 $7 Í 7 œ ß % C " œ B %%
" $7 $ $
#
#
a b
cuestión.
21. Desde el foco de la hipérbola , B + C œ + ,# # # # # # se traza una perpendicular a una
de sus asíntotas. Demostrar que su pie tiene las distancias + y , al centro de
simetría y al foco de la hipérbola respectivamente.
Demostración. y x a b ) 0 , ( 1 c F 1 d d 2 O
La ecuación de la asíntota que se muestra en la figura es ,B +C œ !ß por tanto
. œ l, † - + † !l œ œ ,- ,
+ ,
-#
# #
È
La recta por el foco y perpendicular a la asíntota es C œ ÐB -Ñ+ de aquí
,
. œ l+ † ! , † ! +-l œ +- œ +
+ ,
-"
# #
È
22. Desde el foco de una hipérbola, como centro se describe una circunferencia con radio igual al semieje conjugado. Demostrar que ésta circunferencia es tangente a las asíntotas en los puntos que cortan a la directriz.
Demostración.
La ecuación de la circunferencia mencionada es
a b
B - C œ ,# # # y lasecuaciones de las asíntotas son: C œ „ Bß, efectuando la intersección con la
+
circunferencia se tiene
a b
B - B œ , , y resolviendo B œ Ê++
-# # #
#
# #
C œ „ +,ß
- solo dos interseccciones una por cada asíntota y además es tangente en
los puntos de intersección con la directriz pues recordemos que su ecuación es
B œ +
-#
.
23. Bajo que ángulos se cortan la hipérbola equilátera B C œ +# # # y la circunferencia B C œ *+ Þ# # #
Solución.
Efectuando la intersección de ambas curvas obtenemos 4 puntos, que son: y
T "
Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š
È
&+ß #+ ß TÈ
# &+ß #+ ß T &+ß #+ $È
T &+ß #+%È
‹
basta considerar T ß" determinamos las tangentes a ambas curvas en este punto, es
decir > À &+B #+C œ + Ê 7 œ " & # "
È
# "È
> À &+B #+C œ *+ Ê 7 œ " & # #È
# #È
Luego el ángulo en cuestión estará dado por
° >1 œ 7 7 œ % & Ê œ )$ß '#
" 7 7
) # " )
# "
È
24. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola B C œ +# # # a sus asíntotas es constante.
Solución.
Sea T B ß C!
a b
! ! un punto cualquiera de la hipérbola, entonces: . . œ lB C l lB C l œ l B C l œ " + ß # # # # " # ! ! ! ! # # ! ! #È È
pues T ! pertenece a la hipérbola.25. Determine la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus asíntotas son las rectas B C " œ ! ß C B $ œ !ß cuyo eje real es paralelo al eje ] y que pasa por el punto
a b
!ß % ÞSolución.
El centro de simetría de la hipérbola en cuestión, está en la intersección de sus asíntotas, dado por la solución de
B C " œ ! C B $ œ ! que resulta ser
a b
" ß # así la ecuación pedida esÐC #Ñ ÐB "Ñ
+ , œ "
# #
# #
pero como C œ B $ Ê œ " Í + œ ,+ , y como la hipérbola pasa por el punto
,
a b
!ß % Ê Ð% #Ñ Ð! "Ñ œ " Í , œ $Þ, ,
# #
# #
# Así resulta la ecuación dada por
ÐC #Ñ ÐB "Ñ
$ $ œ "
# #
26. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de
tal manera que su distancia al eje ] es siempre igual a la mitad de su distancia al punto
a b
$ß# ÞGrafique la curva.Solución. 2 3 ) , ( x y P O Y X Y X 2 1 − debe cumplir T B ß C
a b
lBl œ ÐB $Ñ ÐC #Ñ Í ÐB "Ñ ÐC #Ñ œ " % "# " # # # # #È
1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
Œ
"ß $È
$ y tiene una # excentricidad de # &ÞÈ
Respuesta. %B #!C œ "$*# #2. Los puntos
a b a b
$ß ! y $ß ! son los focos de una elipse y la longitud decualquiera de sus lados rectos es *ÞHallar la ecuación dela elipse.
Respuesta.
#(B $'C œ "!&$# #
3. Si T Ð?ß @Ñ es un punto cualquiera de la elipse , B + C œ # # # # + , Þ# # Demostrar que los radios vectores son: < œ + /? < œ + /?Þ" y #
%Þ Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia B C œ "' # # en la razón " À %Þ
Respuesta.
. B #&C œ "'# #
5. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje BÞ Hallar
su ecuación sabiendo que pasa por los puntos
Š ‹ Š ‹
È
'ß " y #ß # ÞÈ
Respuesta.
. B #C œ )# #
6. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos
a b
!ß ! ya b
'ß ! Þ Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto quese mueve de modo que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a %Þ
Respuesta.
. %B C #%B œ !# #
7. Los extremos de un diámetro de la elipse , B + C œ + , # # # # # # son T y T Þ Si J
" #
es uno de los focos de la elipse. Demostrar que la suma de los radios vectores J T "
y J T # es igual a la longitud del eje mayor.
8. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B# %C# œ 5 representa a una familia de elipses, cuya excentricidad es ."
#
9. El centro de una elipse es el punto
a b
#ß % ß el vértice y el foco de un mismo ladodel centro son los puntos
a b a b
#ß % y "ß % respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto.Respuesta.
( B # "' C % œ ""#ß / œ !Þ(&ß # , œ # (ß ( #
a b a b
# #È
10. Dada la elipse B %C 'B "'C #" œ !ß# # determine:
La ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad.
Respuesta.
a b a b a b a b
B $ % C # œ %à $ß # à &ß # ß Ð"ß #Ñ à $ $ß # ß# #Š
È
‹
Š
$ $ß # à % #à "àÈ
‹
È
$Þ# y
11. Desde cada punto de la circunferencia B C %B %C ) œ !# # se traza una
perpendicular al diámetro paralelo al eje BÞ Hallar la ecuación del lugar gemétrico
de los puntos medios de estas perpendiculares.
Respuesta.
B %C %B "'C % œ !# #
12. Demostrar que las tangentes a una elipse trazadas desde los extremos de un diámetro cualquiera son paralelas entre si.
13. Desde el punto
a b
#ß ( ß se trazan paralelas a la elipse #B C #B $C # œ !Þ# # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.Respuesta.
a b Œ
"ß " à ß"$ #*
* *
14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a a elipse $B C %B #C $ œ !# # y que son perpendiculares a la recta B C & œ !Þ
Respuesta.
B C " œ !à $B $C "$ œ !
Note que no pertenece a la elipse. , B + C œ + , ß # # # # # #
a b
?ß @Respuesta.
, ?B + @C œ + ,# # # #
16. Demostrar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmente opuestos, son paralelas.
17. Para que valores del parámetro >ß los puntos de la forma
a b
" >ß #> se encuentran en el interior de la elipse.Respuesta.
" Ÿ > Ÿ % &
18. Dadas: la elipse , B + C œ + , # # # # # #, la circunferencia B C œ ,# # # y la recta
C : œ !ß ésta ultima interseca al eje C en el punto Rß a la circunferencia en U
y a la elipse en T ÞDemostrar que se verifica RT œ + Þ
RU ,
19. Si U y Uw son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, de
modo que un punto T de la elipse tiene la ordenada de U y la abscisa de UwÞ
Demostrar que la recta UUwpasa por el origen de coordenadas.
20. El punto medio de una cuerda de la elipse , B + C œ + , # # # # # # es
a b
?ß @ Encontrar la ecuación de la cuerda.Respuesta.
C @ œ , ?ÐB ?Ñ + @
# #
21. Demostrar que el módulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el punto donde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad.
22. El lado recto de una elipse corta a ella en Vß se traza una cuerda por el foco J -ß ! "
a b
y por el punto Ð!ß ,Ñ que corta en T a dicha elipse. Demostrar queJ T J V
J F œ J V
" " " #
siendo J # el otro foco.
23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidiámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes.
24. Un segmento EF de longitud ' unidades se desliza de forma que sus extremos se
apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos E y F se elige un
Respuesta.
"'B %C œ '%# #
25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a los
vértices E y Ew ÞEstas rectas cortan al eje FFw en los puntos Q y R Þ Probar que
SQ † SR œ ,#.
26. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos
a b a b
$ß # y (ß ' ß tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje BÞRespuesta.
%B &C œ "'Þ# #
27. Los vértices de una hipérbola son los puntos
a b a b
#ß ! y #ß ! si sus focos sona b a b
$ß ! y $ß ! Þhallar su ecuación y su excentricidad.Respuesta.
&B %C œ #!à "Þ&# #
28. Los vértices de una hipérbola son los puntos
a b a b
#ß # y #ß % y la longitudde su lado recto es # ÞHallar su ecuación, las coordenadas de sus focos y su
excentricidad.
Respuesta.
$ C " * B # œ #(à Ð #ß " $Ñà Ð #ß " $Ñà # $ $
a b a b
# #È
È È
29. Dada la hipérbola #&B $'C œ *!!# # Determine: los focos, sus asíntotas y el área
del triángulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice Z Ð'ß !ÑÞ
Respuesta.
J Ð '"ß !Ñß J Ð '"ß !Ñà ' C œ „ &Bà $!Þ"
È
#È
30 Dada la hipérbola Þ B %C 'B "'C #" œ !ß# # determine:
Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas , longitud de su lado recto y excentricidad.
Respuesta.
% C # B $ œ "'à $ß # à $ß ! ß Ð"ß #Ñ à $ß # & ß
a b a b a b a b
# #Š
È
‹
Š
$ß # & à #C % œ „ ÐB $Ñà %àÈ
‹
È
&#
31. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B# $C# œ 5 representa
32. Hallar los puntos de intersección de la recta #B *C "# œ ! con las asíntotas de la hipérbola %B *C œ ""Þ# #
Respuesta.
a b a b
$ß # à "Þ&ß "33. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre si, la hipérbola es equilátera.
34. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por el punto
a
"ß &b
y tiene por asíntotas a los ejes coordenados.Respuesta.
BC œ &
35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera a su centro es media proporcional geométrica entre las longitudes de los radios vectores del punto.
36. La excentridad de la hipérbola , B + C œ + , # # # # # # es / Þ" Si la excentricidad de su hipérbola conjugada es / Þ # Demostrar que / À / œ , À +Þ" #
37. Si ! es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola
, # # B + # # C œ + # #, . Demostrar que su excentricidad es igual a =/- Þ
38. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola, corta a la curva solamente en un punto.
39. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos
a b
!ß ! ya b
%ß ! Þ Hallar e identificar el lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro.Respuesta.
$B C "'B "' œ !à $B C )B œ !Þ# # # #
40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola B #C %B )C ' œ !# #
que son paralelas a la recta %B %C "" œ !Þ
Respuesta.
B C " œ !à B C " œ !
41. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas desde el punto
a b
$ß ' alahipérbola B C %B #C & œ !Þ# #
Respuesta.
° '. #$ #$
42. Demostrar que la elipse #B C œ "! # # y la hipérbola %C B œ %# # son ortogonales entre sí, en sus puntos de intersección.
43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hipérbola en cualquier extremo de sus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad.
44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de tangente comprendido entre las asíntotas.
45. En cualquier punto T ß excepto uno de sus vértices de una hipérbola equilátera, se
traza una normal que corta al eje focal en el punto UÞ Si S es el centro de simetría
de la hipérbola, demostrar que lST l œ lTUlÞ
46. Demostrar que en una hipérbola equilátera dos diámetros ortogonales tienen longitudes iguales.
47. Por un punto T de una hipérbola se traza una recta 6ß paralela al eje transversal y
ésta recta corta a las asíntotas en los puntos U y Vß demuestre que se cumple que
T U † T V œ + # y cuano es paralela al eje conjugado se verifica6 T U † T V œ , #Þ 48. Sean dos hipérbolas equiláteras y concéntricas de modo que los ejes de una de ellas
sean las asíntotas de la otra. Demostrar que las hipérbolas se cortan ortogonalmente.
49. Estudiar para que valores de +ß ,ß - la ecuación BC +B ,C - œ ! representa
a una hipérbola con asíntotas paralelas a los ejes coordenadosÞ
50. Determinar el área de un rectángulo formado por las perpendiculares bajadas desde los focos de la hipérbola , B + C œ + ,# # # # # # a una tangente cualquiera de ella. 51. Una tangente a una hipérbola se prolonga hasta sus puntos de intersección con sus
asíntotas. Encuentre la magnitud ST † ST " # siendo T " y T # los puntos de
intersección y S el centro de la hipérbola.
52. Si las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de #=, demuestre que
>1 œ / "=
È
#donde / es su excentricidad.
53. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos
de la elipse %B *C %)B (#C "%% œ !# # respectívamente.
Encuentre las asíntotas de la misma. Grafique ambas cónicas.
54. Determine la ecuación de la elipse que tiene por vértices los puntos de intersección
de las asíntotas de la hipérbola *B %C $'B $#C '% œ ! # # con el eje ] ß
y que pasa por el punto Ð $ $ß $Ñ
#
È
Þ55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse: B % C œ # # % sea paralela a la recta C œ BÞ
Respuesta.
B œ … % ß C œ „ "
& &
!
È
!È
56. Por el punto T #ß (
a b
se trazan tangentes a la elipse #B C #B $C œ # # # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.Respuesta.
a b Œ
"ß " ß ß"$ #*
* *
57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse $B C %B #C $ œ !# # que
son perpendiculares a la recta B C & œ !
Respuesta.
B C "à $B $C "$ œ !
58. Dados los focos J #ß $ "
a b a b
y J #ß " y la longitud del eje mayor que es 8, obtener la ecuación y los elementos de la elipse.Respuesta.
"#B %BC "&C )B '!C ""' œ !# #
59. Una circunferencia móvil es tangente a las circunferencias: G À B C %B œ ! " # # ; G À B C "'B $' œ !# # #
Identifique el lugar geométrico que describe el centro de la circunferencia móvil.
Respuesta.
$B %C $!B $$ œ !# #
60. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola B #C #B )C $ œ !# #
en el punto
a b
"ß % Þ Determine también las ecuaciones de sus asíntotas.Respuesta.