Ejemplo 2.4-4
Ejemplo 2.4-4 (Modelo(Modelo dede nivelaciónnivelación de lade la producciónproducción parapara múltiplesmúltiples periodos)periodos)
Una
Una compañíacompañía estáestá planeando planeando fabricar unfabricar un producto producto para para marzo, marzo, abril, abril, mayo mayo y junio y junio deldel próximo próximo año. Las
año. Las cantcantidadidades demanes demandaddadasas son 52, !2, 52 y "2son 52, !2, 52 y "2 unidades, respecti#amente.unidades, respecti#amente. LaLa compañía
compañíatiene una fuerza detiene una fuerza de trabajo permanentetrabajo permanente de $de $ empleadosempleados pero pero puede puede satisfacer satisfacer laslas necesidades
necesidadesdede producción fluctuantes producción fluctuantes contratandocontratando yy despidiendo trabajadores temporales.despidiendo trabajadores temporales. LosLos costos
costos adi%adi%cionales decionales de contratarcontratar yy despedirdespedir unun trabajador temporaltrabajador temporal enen cual&uiercual&uier mes son demes son de '2 y '(,
'2 y '(,respecti#amente.respecti#amente. UnUn trabajadortrabajador de plade plantanta produce produce $2$2 unidadesunidades por por mes) mes) y y unouno temporal,
temporal,&ue&ue nonotiene la mismatiene la misma experiencia, produceexperiencia, produce $. La$. La compañíacompañía puede puede producir producir más demás de lo
lo necesarionecesario enen cual&uiercual&uier mes ymes y *uardar*uardar elel excedenteexcedente para para el el mesmes subsi*uientesubsi*uiente a un costo dea un costo de retención
retención de '5 por unidad por mes.de '5 por unidad por mes. +esarrolle+esarrolle una política óptima deuna política óptima de contratacióncontratación y despidoy despido
durante
duranteelel ori%ori%zonte dezonte de planificaci planificaciónónde (de (mesesmeses.. Modelo matemático:
Modelo matemático: -ste modelo es-ste modelo es semejantesemejanteal del ejemplal del ejemplo o 2.(% 2.(% en el en el sentido sentido de &uede &ue cadacada mes tiene su
mes tiene su producción, demanda producción, demanda ee in#entarioin#entario final. final. La /nica excepción La /nica excepción es es el el manejo manejo dede unauna fuerza de
fuerza de trabajo permanente comparadatrabajo permanente comparada con una fuerza decon una fuerza de trabajo temporal.trabajo temporal. -l
-l trabajo realizadotrabajo realizado por por loslos trabajadores permanentestrabajadores permanentes se toma en cuentase toma en cuenta restandorestando laslas uni%uni% dades &ue
dades &ue producen producen de lade lademandademandamensualmensual respecti#a.respecti#a.LaLa demanda restantedemanda restante se satisfacese satisface enton%enton% ces
cescontratandocontratando yydespidiendo trabajadores temporales.despidiendo trabajadores temporales. 0or lo0or lotantotanto +emanda restante
+emanda restante para para marzomarzo 11 52 $252 $2.. $$ 11 ((unidadesunidades +emanda restante
+emanda restante para para abrilabril 11 !2 $2!2 $2.. $$ 11 ""unidadesunidades +emanda restante
+emanda restante para para mayomayo 11 52 $252 $2.. $$ 11 ((unidadesunidades +emanda restante
+emanda restante para para juniojunio 11 "2 $2"2 $2.. $$ 11 55unidadesunidades Las #ariables del modelo para el mes
Las #ariables del modelo para el mes iise definen comose definen como si*uesi*ue x
xii 11 3antidad3antidadneta deneta de trabajadores temporalestrabajadores temporales al inicio del mesal inicio del mes i despuési después dede cual&uier cual&uier contratación
contrataciónoodespidodespido S
S ii 11 3antidad3antidaddede trabajadores temporales contratadostrabajadores temporales contratados oodespedidosdespedidosal inicio del mesal inicio del mes ii I
0or definición, xi e I i son no ne*ati#as, en tanto &ue S i es irrestricta en cuanto a signo por&ue es i*ual a la cantidad de trabajadores contratados o despedidosen el mes i. 4ste es el primer caso en este capítulo del uso de una #ariable irrestricta. 3omo se #erá en bre#e, sere&uiere una susti% tución especial para permitirlacontratación y despido en elmodelo.
-n este modelo, el desarrollo de la función objeti#o re&uiere construir primero las restric% ciones. La cantidad de unidades producidas en el mes i por xi trabajadores temporales es $ xi. sí pues, tenemoslas si*uientes restriccionesdel in#entario6
$x$ 1 ( 7 8 $ 9:arzo; 8 $ 7 $x2 1 " 7 82 9bril; 8 2 7 $x 1 ( 7 8 9:ayo; 8 7 $x( 1 5 9<unio; x$, x2, x, x( = ,8 $,82,8 =
0ara contratacióny despido, la fuerza de trabajo temporal se inicia con x$ trabajadores a princi% pios de marzo. principios de abril x$ se ajustará 9acia arriba o acia abajo; con S 2 trabajado% res temporales para *enerar x2. La misma idea se aplica a x y x(, lo &ue conduce a lassi*uientes ecuaciones de restricciones
x$ 1 >$
x2 1 x$ 7 >2 x 1 x2 7 > x( 1 x 7 >(
>$, >2, >, >(8rrestrictasen cuanto a si*no x$, x2, x, x( =
continuación desarrollamos la función objeti#o. La meta es minimizar el costo del in#en% tario más el costo de contratacióny despido. 3omo en el ejemplo 2.(%.
3osto de retenciónde in#entario 1 59 I $ 7 I 2 7 I ;
-l modeladodel costo de contratacióny despido es un poco complicado.+ado &ue los costos de contratar ydespedir a un trabajador temporal son de '2 y '(,respecti#amente,tenemos
3osto de contratación
0
y despido ?1 2 3antidadde trabajadores temporales contratados al
0
principio de cada mes ?7 ( 3antidadde trabajadores temporales despedidos al
0
principio de cada mes ?>i la #ariable S i es positi#a, la contrataciónocurre en el mes i. >i es ne*ati#a, entoncesocurre el despido. -sta #aloración @cualitati#aAsetraduce matemáticamente aplicandola sustitución
% 7 % 7
>i 1 >i % >i, donde >i, >i =
ora la #ariable irrestricta S i es la diferencia entre las dos #ariables no ne*ati#as S
2
y S $.
i i
0odemos pensar en S 2como lacantidadde trabajadores temporales contratados, y en S $como la
de despedidos. 0or ejemplo, si S 25 5 yS $5 , entonces S 1 5 B 1 7 5, lo &ue representa
i i i
contratación.>i S 25 y $5 !,entonces S 1 B !1 B!,lo &ue representa despido. -n el pri%
i i i
%
mer caso, el costo de contratación correspondiente es 2>i 7
1 2 C 5 1 '$, y en el se*un%
La sustitución>i 1 >% % >7 es la base para eldesarrollo del costo de contrataciónydespi%
% 7
do. 0rimero tenemos &ue responder una posible pre*unta6 E?uF pasa si tanto >i y como >i son positi#osG La respuesta es &ue esto no puede suceder por&ue implica tanto contratación como despido en el mismo mes. +e manera interesante, la teoría de la 0L 9capítulo!; nos dice &ue >%y >7 no pueden ser positi#os al mismo tiempo, un resultado matemático confirmado por intuición.
ora podemos escribir el costo total de contratacióny despido como
% % % % 3osto de contratación 1 29>$ 7 >2 7 > 7 >(; 7 7 7 7 -l modelo completo es 3osto de despido 1 (9>$ 7 >2 7 > 7 >(; % % % % :inimizar z 1 598 $ 7 82 7 8 7 8(; 7 29>$ 7 >2 7 > 7 >(; 7 7 7 7 sujeto a 7 (9>$ 7 >2 7 > 7 >(; $x$ 1 ( 7 8 $ 8 $ 7 $x2 1 " 7 82 8 2 7 $x 1 ( 7 8 8 7 $x( 1 5 x$ 1 >% % >7 % 7 x2 1 x$ 7 >2 % >2 % 7 x 1 x2 7 > % > % 7 x( 1 x 7 >( % >( %7% 7 % 7 % 7 i i i i $ $
>$, >$, >2, >2, >, >, >(, >( = x$, x2, x, x( =
8
$,82,8 =
Solución:
La solución óptima 9obtenida utilizando el arci#o amplEx2.4-4.txt) es z 1 '$H,5, x$ 1 5,
% 7
x2 1 5, x 1 (5, x( 1 (5, >$ 1 5, > 1 5, 8$ 1 $, 8 1 5. Iodas las demás #ariables son cero. La solución re&uiere contratar 5trabajadores temporales en marzo 9>% 1 5;, yconser% #ar la fuerza de trabajo permanente asta mayo, cuando se despida a 5trabajadores temporales9>7 1 5;. Jo se recomienda nin*una otra contratación o despido asta finales de junio cuando, presuntamente, todos los trabajadores temporales serán despedidos. -sta solución re&uiere &ue se
conser#en$unidadesde in#entarioasta mayo, y 5unidadesasta junio.
$
