Al Azar - La Suerte, La Ciencia y El Mundo

Ivar Ekeland

AL AZAR

Grupo: CIENCIAS NATURALESyDEL HOMBRE

Subgrupo:PROBABILIDAD, MATEMÁTICA Y TEORÍA DEL CAOS

Editorial Gedisa ofrece los siguientes títulos sobre

CIENCIAS NATURALES

y

DEL HOMBRE

pertenecientes a sus diferentes coleccionesyseries

(Grupo "Probabilidad, matemáticayteoría del caos")

IVAR EKELAND Alazar

STEPHENR.GRAUBARD La inteligencia artificial

(comp.)

WILLIAM ASPRAY John von Neuman y el origen delacomputación moderna

AL

AZAR

La probabilidad, la ciencia

y

el mundo

por

Título del original en francés:

Au hasard

© 1991 by Éditions du Seuil

Traducción:Alberto Luis Bixio Cubierta:Gustavo Macri

Primera edición, Barcelona, España, 1992

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano

© by Editorial Gedisa, S.A. Muntaner 460, entlo., l' Te!.201 60 00 08006 - Barcelona, España ISBN: 84-7432-432-7 Depósito legal: B-28.914! 1992 Impreso en España Printed in Spain

Impreso en Libergraf, Avda. Constitució, 19,08014 Barcelona

Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio de im-presión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano o cual-quier otro idioma.

Indice

PREFACIO...

9 1.

Alea...

13 2. El destino 45 3. La anticipación 75 4. El caos , 97 5. El riesgo 143 6~ La estadística... 165

CONCLUSION

187

Mientras la Biblia hebraica sitúa la confusión primige-nia, el caos original, en el comienzo de los tiempos, los Eddas escandinavos lo sitúan en un período intermedio. Ese es el momento del Ragnarok, del crepúsculo de los dioses, de la destrucción del mundo que se verifica entre la historia de los hijos de Odín y la nueva edad de oro que surgirá de las rui-nas. Veamos lo que dice de esto la Voluspa, la visión de la si-bila, texto grandioso que abarca el conjunto del ciclo en una visión profética.!

Tiempos de fuego, tiempos de hierro, Hendidos están los escudos.

Tiempos de rayo y de ferocidad,

Antes del derrumbamiento del mundo.

Los gigantes se lanzan al asalto en un barco construido con uñas de muertos. El perro Garm, que ladra en las puer-tas del infierno, rompe su cadena la serpiente Midgard surge del fondo del océano y combate con el dios Thor, el lobo Fen-rir da muerte a Odín, a quien venga su hijo Vidar, el fresno Yggdrasil, a cuyo amparo las tres Nomas fijan los destinos humanos, se rasga de arriba abajo, el sol se oscurece, la tie-rra se hunde en el mar, el incendio lo devora todo hasta las estrellas.

1 Sobre una traducción de la Voluspa, véase Renaud-Krantz,

Antholo-gie delapoésienordique ancienne, París, Gallimard, 1964.

¿Por qué no hemos de pensar que aquellos tiempos son los nuestros y que en medio del caos en que se desarrolla nuestra historia no encontramos, unos junto a otros, frag-mentos del mundo antiguo y de la futura edad de oro, así co-mo la suave arena de una playa revela a través de la lupa una multitud de gránulos multicolores y diversos? Por eso me pareció posible, y en ciertos aspectos necesario, poner en relación dos textos que están separados por un milenio: algu-nas págialgu-nas de una antigua saga y unos fragmentos de un tratado moderno sobre el azar. Si una historia habla de suer-te, de magia o de destino, la otra habla de alea, de caos o de riesgo, pero se trata de la misma historia. Comienza en la época antigua en la que la misma palabra griega roX11 abar-caba todos esos aspectos y expresaba asimismo la existencia. Abrimos el libro, como lectores en busca de distracción o de saber, y progresivamente descubrimos que nosotros somos los actores.

Lo mismo que Jano, el azar tiene varios rostros, y es la riqueza de esas múltiples caras lo que he querido pintar. No quise imponer a esa diversidad el marco artificial de un árbol bien recortado, ni imponer al pensamiento la unidad retórica de una exposición bien hilvanada. Acaso sea también conve-niente que el azar tenga alguna parte en la manera en que se aborde esta obra. Lector, este libro tiene seis capítulos. Torna un dado y ya sabes lo que hay que hacer.

1

Torstein Frode cuenta que en Hising había una ciudad que estaba ligada en su suerte tanto a Noruega como a Sue-cia. Los dos reyes convinieron entonces en echar suertes por ver a quién de ellos les correspondería; arrojarían los dados y el ganador sería aquel que obtuviera el total de puntos ma-yor. El rey de Suecia sacó dos seis y dijo que no valía la pena que el rey Olav probara suerte, pero éste, mientras sacudía en la mano los dados, le respondió: "Hay todavía dos seis en estos dados, y no es difícil que Dios, mi Señor, los haga sa-lir". Tiró los dados y obtuvo dos seis. El rey de Suecia volvió a echar los dados y obtuvo de nuevo dos seis. Luego el rey Olav tornó a jugar y uno de los dados mostró todavía un seis pero el otro se quebró en dos pedazos, con tanta fortuna que

indicó siete. Entonces la ciudad le tocó a él.'

Según una tradición minoritaria pero bien atestiguada, el rey Olav Haraldssen en aquella ocasión había manipula-do el azar. Algunos le atribuyen, desde el comienzo de una vi-da que debía llevarlo a la canonización, poderes milagrosos tales como curar a enfermos e inválidos o alcanzar ayuda del más allá para combatir junto a él. Se dice que también tenía el poder de hacer que los dados se detuvieran en la cara que deseaba. Para otros, lo mismo que ciertos combatientes lla-mados berserher, provistos en las grandes ocasiones de una fuerza sobrehumana que los hacía invulnerables, el rey Olav

r SnorriSturlasson,Saga de saint Olav,pág.94.

Haraldssen era capaz de una destreza sobrenatural que le permitía lanzar los dados tan hábilmente que su carrera ter-minaba naturalmente en la cara del dado que él había elegi-do. Un antiguo cronista hasta asegura que esa aptitud no era innata, y cuenta cómo el rey la adquirió entrenándose con dados cada vez más pequeños. Otros, por fin, lo acusan ro-tundamente de hacer trampas. Sus dados estaban cargados, lo cual explica que el número seis saliera con tanta regulari-dad, y uno de ellos estaba hábilmente astillado de suerte que no quedaba rastro aparente de nada. De manera que Olav Haraldssen había montado así todo el espectáculo hasta lle-gar a la sorpresa final, que sólo lo era para el rey de Suecia y su comitiva.

Verdad es que en una tirada de dados todo puede ser sospechoso: el dado mismo, la forma y la rugosidad del tape-te, la manera de lanzarlo. Si lo analizamos a fondo hasta po-demos preguntarnos dónde está el azar. No está ni en la ca-rrera del dado ni en sus saltos, que están regidos por el determinismo de la mecánica racional. El juego de billar se basa en los mismos principios y a nadie se le ha ocurrido pensar que sea un juego de azar. De manera que, en última instancia, el azar está en la torpeza, la inexperiencia o la in-genuidad del que tira los dados... o en el ojo del observador.

Por lo demás, puede uno imaginar perfectamente una ci-vilización en la cual tirar dados sea un deporte y el billar un juego de azar. Las reglas serían ciertamente diferentes. El dado debería tener las dimensiones y el peso de una bola de billar y la partida se desarrollaría como nuestro actual juego de bochas. El jugador tomaría algunos pasos de impulso y lanzaría su dado con la intención de acercarlo lo más posible a un testigo. La cifra que apareciera en la cara superior figu-raría en la cuenta de los puntos y el lanzador hábil o experi-mentado regularía en consecuencia su tiro.

Por lo que se refiere al billar, nada más fácil que conver-tirlo en un juego de azar. Basta con inclinar la mesa, con pro-veerla de dispositivos que rechacen y desvien la bola y con disponer seis troneras en la parte inferior de la mesa o en otros lugares del billar, de suerte que la bola caiga necesaria-mente en una de ellas. Como aquí no se busca favorecer la

destreza, el gatillo disparador será mecánico, la bola se en-viará contra la pendiente mediante un resorte que el jugador ajustará más o menos. Ese billar mecánico será tan aleatorio como los dados tradicionales. Se presta menos a este uso, pues un cubilete de dados se puede llevar fácilmente en un bolsillo y se puede disponer de él en cualquier circunstancia, pero en el plano de los principios nada impide imaginar a aquellos dos reyes decidiendo sobre la suerte de la ciudad con un aparato de este tipo. Unos siglos después el progreso tec-nológico hará que el billar mecánico se convierta en billar eléctrico y el juego de azar se cambiará de nuevo en juego de destreza.

Yo no comparto esa triste sospecha y quiero creer que en aquella circunstancia, como en tantas otras, el rey Olav Ha-raldssen se mostró digno de su fama de santidad. Recurrir a la suerte puede entonces entenderse de varias maneras, es-pecialmente corno una ordalía, como un juicio de Dios, y sin duda era así como lo entendía el cronista. Un espíritu moder-no preferirá ver en esto una manera de dividir en dos una co-sa indivisible. Como los dos reyes se reconocían derechos iguales sobre la ciudad y como no tenían principios que afir-mar ni intereses que defender, vieron en un condominio más inconvenientes que ventajas y escogieron ese medio para ejercer sus derechos. Dar a alguien la mitad de un objeto o concederle una posibilidad entre dos de tenerlo por entero equivale más o menos a lo mismo, y es esta última solución la única que puede emplearse cuando el objeto en cuestión es indivisible. Este procedimiento es hoy muy bien conocido por los teóricos de la economía, que han recurrido a él para afir-mar que todos los bienes son indefinidamente divisibles.

Semejante procedimiento es de gran flexibilidad y se presta a numerosas generalizaciones. Por ejemplo, si los dos reyes hubieran querido reconocer a uno de ellos dobles dere-chos de los deredere-chos del otro, les habría bastado con hacer ti-rar los dados por una tercera persona y entonces la ciudad hubiera correspondido a uno por un total de ocho o menos y al otro por un total de nueve o más. El primero habría tenido así dos posibilidades entre tres de ganar, contra una posibili-http://www.esnips.com/web/Scientia 17

dad entre tres solamente en el caso del segundo rey, lo cual refleja bien la proporción de la unidad con el doble que se ha-bía convenido. Para respetar la simetría y acallar las suscep-tibilidades, hasta se podría haber confiado un dado a cada uno de los reyes y remitirse al total de los dos juga-dores.

Aun cuando los dos reyes obraran de buena fe y aun cuando la equidad fuera la única preocupación, no es menos cierto que tenían que resolver un problema: ¿cómo echar suertes de una manera perfectamente honesta, exenta de to-da sospecha de fullería? ¿Es siquiera esto posible? ¿Se reduce el azar a una actitud psicológica o a una convención social o bien existe un azar puro, independiente de toda manipula-ción humana? Encontramos debatida esta cuestión de mane-ra muy notable en un manuscrito que desgmane-raciadamente de-sapareció, pero del cual Jorge Luis Borges me dio una copia que él sacó en los archivos del Vaticano. Según Borges, el ma-nuscrito data de los años 1240-1250 y formaba parte sin du-da de los documentos incorporados en el expediente de cano-nización de Olav Haraldssen. Su autor es un hermano Edvin, del monasterio franciscano de Tautra, Noruega, que no nos es conocido por ninguna otra cosa.

Al leerlo no puede uno sino asombrarse. Las audacias del hermano Edvin recuerdan demasiado las de su contempo-ráneo Roger Bacon para que la condenación de este último no alcanzara al hermano Edvin. Tal vez ambos recibieron juntos en Oxford las enseñanzas de Robert Grosseteste y tal vez ter-minó como Bacon sus días en la cárcel. Si el hermano Edvin compuso otros escritos, éstos no sobrevivieron sin duda a la condenación de 1277, de manera que sólo el olvido salvó de la destrucción al manuscrito que nos ocupa, a menos que haya quedado protegido por su condición de documento de atesti-guación.

El hermano Edvin comienza teniendo en cuenta las acu-saciones de fulleria lanzadas contra el rey Olav. Ese rumor se difundió muy tardíamente, mucho después de la desaparición del último testigo ocular, en tanto que a partir de la muer-te del rey Olav se constituyó en el pueblo cristiano una tradi-ción, viva y vigorosa aun hoy, que afirmaba la santidad del

rey en todas las circunstancias. Esa tradición se fundaba en numerosos signos milagrosos, y el episodio que hemos citado no es el menor de ellos pues manifestaba el eficaz sostén da-do por Nuestro Señor a su discípulo. La rotura del dada-do sólo puede interpretarse como un milagro que convertía doce en trece; y aquí acude inmediatamente al espíritu el episodio de la multiplicación de los panes; pero nosotros no evocaremos ejemplos tan grandes para ilustrar una materia tan trivial como el sorteo de una ciudad. En todo caso ésa era la inter-pretación de los testigos, como lo muestra la actitud del rey de Suecia y de su comitiva; nadie informa que se hubiera puesto en tela de juicio el resultado, como no habría dejado de hacerlo el rey si hubiera tenido alguna duda sobre el ca-rácter milagroso del hecho.

Por otro lado, Olav Haraldssen, contra toda probabili-dad, podría haber manipulado las suertes en aquella ocasión y esto no invalidaría en nada su carácter de santo. A nadie se le ocurriría cuestionar la santidad del patriarca Jacob. Sin embargo, como está relatado en el capítuloXXX del Génesis, cuando Jacob ajustó un contrato con su suegro Labán, mani-festó una actitud que en un hombre corriente habría sido ca-lificada de tramposa, pero que en un hombre de Dios ayuda sencillamente a que se manifieste la voluntad del Altísimo. Para satisfacción del copista y edificación del lector, recorde-mos el texto sagrado:

"Yle dijo Labán: '¿Qué te daré?' Y respondi6 Jacob: 'No me des nada; si hicieres por mí esto, volveré a apacentar tus ovejas. Yo pasaré hoy por todo tu rebaño, poniendo aparte to-das las ovejas manchato-das y salpicato-das de

colaP\

y todas las ovejas de color oscuro, y las manchadas y salpicadas de color entre las cabras; y esto será mi salario. Así responderá por mí mi honradez mañana, cuando vengas a reconocer mi sa-lario; toda la que no fuere pintada ni manchada en las ca-bras, y de color oscuro entre mis ovejas,seme ha de tener co-mo de hurto'.

Dijo entonces Labán: 'Mira, sea como tú dices'.

y Labán apart6 aquel día los machos cabríos mancha-dos y rayamancha-dos, y todas las cabras manchadas y salpicadas de http://www.esnips.com/web/Sdentia 19

color,y toda aquella que tenía en sí algo de blanco, y todas las de color oscuro entre las ooejas,y las puso en manos de sus hijos.

y puso tres días de camino entre sí y Jacob; y Jacob apacentaba las otras ooejas de Labán. Thmó luego Jacob ua-ras uerdes de álamo, de auellano y de castaño, y descortezó en ellas mondaduras blancas, descubriendo así lo blanco de las uaras. Y puso las uaras que había mondado delante del ganado, en los canales de los abreuaderos del agua donde ue-nían a beber las ovejas, las cuales procreaban cuando uenian a beber. Así concebían las ouejas delante de las oaras;y pa-rían borregos listados, pintadosy salpicados de diversos co-lores.

y apartaba Jacob los corderos, y ponía con su propio rebaño los listadosy todos los que eran oscuros del hato de Labán. Y ponía su hato aparte, y no lo ponía con las ouejas de Labán.

y sucedía que, cuantas ueces se hallaban en celo las oue-jas más fuertes, Jacob ponía las uaras delante de las oueoue-jas en los abreuaderos, para que concibiesen a la uista de las ua-ras. Pero cuando uenían las ouejas más débiles, no las ponía; así eran las más débiles para Labán, y las más fuertes para Jacob."2

En cuanto a la legitimidad misma de jugar a los dados la posesión de una ciudad, ella se apoya en la más alta autoridad que exista, puesto que la túnica de Nuestro Señor fue echada a suertes, como lo atestiguan unánimemente los cuatro evan-gelistas; San Juan es el más explícito sobre este punto:s

"Entonces los soldados, cuando hubieron crucificado a Jesús, tomaron sus oestidos y los hicieron cuatro partes, pa-ra cada soldado una parte,y también la túnica, mas la túni-ca era sin costura, de un solo tejido de arriba abajo. Dijeron pues entre sí: '[No la rasguemos sino que echemos suertes

so-2 Génesisxxx,31-42.

bre ella a ver de quién será!', para quese cumpliera la escri-tura que dice: 'Diviserunt sibi vestimenta mea, et super ves-tem meam miserunt sorves-tem'."!

Hay que hacer notar que el ganador del sorteo no está citado y que, tanto en la Escritura como en la tradición, se pierden los rastros del precioso objeto a partir de aquel mis-mo mis-momento. Tratábase pues de afirmar un principio antes que de referir un destino particular, y ese principio indica-ba que las cosas indivisibles no deben dividirse. La tradición reconoció desde muy temprano en la túnica inconsútil una imagen de Nuestra Santa Madre Iglesia, cuya unidad debe ser preservada de los herejes, los cismáticos y otros seguido-res del demonio. Pero el mismo principio se aplica también a cosas de menor importancia, como una ciudad que es indivi-sible por su naturaleza, de manera que el proceder de Olav Haraldssen estaba plenamente legitimado.

Asimismo podriamos invocar otros testimonios de menor importancia. "Las suertes se echan en un regazo; pero su en-tera decisión es del Altísimo" (Proverbios XVI, 33). La suerte designa a Matías para completar los Doce (Hechos1,26) y de-signa a Zacarías para entrar en el santuario (Lucas 1, 9). Es mediante la suerte,"urin" o"tummim", como el Todopoderoso designa a los culpables -Ionatán (I Samuel XIV, 37-43), Jonás (Jonás1, 1-10) y Acán (JosuéVII, 10-23), y como designa a Sa-úl rey de Israel (1 Samuel x, 20-24). Según la expresión de San Agustín ("Enarrationes in Psalmos", Ps 30.16 enarr. 2 serm. 2), "Sors non est aliquid mali, sed res, in humana du-bitatione, divinam indicans voluntatem".5

Hasta aquí la demostración del hermano Edvin es irre-prochable tanto desde el punto de vista del razonamiento co-mo desde el punto de vista de la ortodoxia. Pero a partir de ese momento se deja arrastrar visiblemente por su tema y se desvía del camino indicado por la prudencia.

4 "Se dividieron mis vestidos y tiraron a suertes mi túnica",Ps22.19. 5 "En sí misma la suerte nada tiene de malo, sino que es algo que

indi-ca la voluntad divina cuando el hombre duda."

Habiendo establecido firmemente en una primera parte que el resultado de un sorteo bien realizado no puede ser otra cosa que la manifestación de la voluntad divina, el her-mano Edvin plantea enseguida el problema práctico de pre-servar esa manifestación de las interferencias humanas que son siempre posibles. La segunda parte del manuscrito pasa extensamente revista a los diversos juegos de azar conocidos en la época -naipes, dados, lotería- y muestra cómo un manipulador hábil y mal intencionado puede alterar el re-sultado y, por tanto, impedir que se manifieste la voluntad divina. Llega a la conclusión de que el empleo de instrumen-tos materiales suscitará siempre alguna duda sobre la regu-laridad de las operaciones y abre así la puerta a todas las objeciones.

El hermano Edvin propone por fin una solución muy ori-ginal. En las grandes circunstancias, como aquella en que se reunieron Olav Haraldssen y el rey de Suecia, cuando es im-portante para todos que el procedimiento de echar suertes sea irreprochable, cada uno de los participantes elige un número en secreto y lo escribe enunrollo de pergamino sellado. En el día fijado, los dos reyes o sus representantes entregan los per-gaminos a un árbitro, hombre docto y piadoso, asistido por amanuenses capaces de calcular. El árbitro rompe los sellos y lee los dos números; los amanuenses los suman, dividen la su-ma por seis y anuncian el resto. Hay seis posibilidades:

1 2 3 4 5

o

que son el equivalente de los seis resultados posibles de echarundado:

1 2 3 4 5 6

y la posibilidad que es anunciada se considera el resultado de echar suertes. Por ejemplo, si unrey eligió 17 y el otro 3051, la suma será 3068 y el resto 2. Esa es la cifra que anunciará el árbitro. Según nuestra tabla, ese resultado corresponde a una salida de 2 con un dado, pero el procedimiento del her-mano Edvin ofrece la ventaja de no ser afectado ni por la

ha-bilidad ni por la mala intención. Se trata del azar, del azar más puro que pueda imaginar un fraile del sigloXIII.

El hermano Edvin se lanza entonces a consideraciones matemáticas muy interesantes. Hace notar que, si se multi-plicara en lugar de sumar, el procedimiento sería vergonzosa-mente manipulable: 'bastaría que uno de los jugadores eligie-se un múltiplo de eligie-seis para que el resultado fuera un O, cual-quiera que haya sido la elección del adversarío. En efecto, nos encontraríamos aquí frente al producto de los dos núme-ros antes que frente a su suma y, si uno de los factores es di-visible por 6, el producto lo será igualmente. La segunda ob-servación del hermano Edvin es la de que lo único que impor-ta en el resulimpor-tado final es el resto de la división por seis de los dos números escogidos. Así, vimos que si uno elige 17 y el otro 3051, el resultado será 2. Si reemplazamos 17 por 5 y 3051 por 3, que son los restos de las divisiones por 6, tene-mos 5+3 =8, que da de nuevo el resultado de 2. El hermano Edvin llega a la conclusión de que es inútil que los jugadores elijan grandes números pues no se restringen en nada las po-sibilidades al limitarse a números que van de 1 a 6. Sin em-bargo, observa, la elécción de números dentro de un abanico mayor da a los jugadores la ilusión de que enriquecen las po-sibilidades,y es bueno que así lo crean.

La última parte del manuscrito es una discusión de los diversos medios para mejorar el método. Naturalmente se extiende al caso de tres jugadores o más, y el hermano Edvin hace notar que si los participantes son sólo dos, puede haber cierta ventaja en introducir un tercero. Por ejemplo, en los casos en que entran en juego intereses importantes, como el destino de una ciudad, se puede pedir al Santo Padre que en-víe desde Roma un tercer número cuyo sello se rompa en el mismo momento en que se rompan los otros dos. Se hará en-tonces la suma y se tomará el resto de la división por seis pa-ra obtener el resultado. Así, si a los dos números 17 y 3051 se agrega 442, la suma se convierte en 3510 y el resultado es O, que corresponde a una salida de 6 en la tirada de un dado. Introducir al tercer jugador y el hecho de que éste sea inde-pendiente de los otros dos garantizarán mejor aun la impar-cialidad del lance.

Por fin, el hermano Edvin indica que en ciertos casos puede uno verse en situación de jugar solo, y entonces se pre-gunta cómo consultar la suerte sin que intervenga otro ju-gador. Confiesa que no llegó a resolver el problema a su satisfacción, pero propone provisionalmente el siguiente pro-cedimiento. El jugador elige un número de cuatro cifras y lo eleva al cuadrado. Obtiene así un número de siete u ocho ci-fras, del cual suprime las dos últimas y la primera o las dos primeras a fin de obtener un número de cuatro cifras. Repite entonces la operación cuatro veces y toma el resto de la divi-sión por seis del último número obtenido. Por ejemplo, par-tiendo de 8653, lo eleva al cuadrado (74 874 409) Y se queda con las cuatro cifras del medio (8744). Repitiendo la opera-ción obtiene sucesivamente:

8653 8744 4575 9306 6016

y dividiendo el último número por 6 obtiene un resto de 4, que equivale a una salida de 4.

La ventaja del método consiste, salvo excepciones, en que es imposible prever el resultado final si no se efectúan los cálculos del caso, los cuales, como lo subraya el hermano Edvin, no están al alcance de cualquiera, pues se necesita gran práctica con el ábaco, esto es, conocer el "cálculo indio" tal como está expuesto, por ejemplo, en el Liber Aba de Leo-nardo Fibonacci.e De manera que el resto de la división por 6 del número inicialmente elegido es 1, en tanto que el resulta-do final es 4, de suerte que muy listo tendria que ser quien lo hubiera previsto. El hermano Edvin no deja de indicar que el procedimiento puede hacerse aun más seguro aumentan-do el número de cifras conservadas (seis en lugar de cuatro, por ejemplo, y partiendo de un número de seis cifras) o au-mentando el número de operaciones, siempre claro está que ese número se fije al comienzo y que el jugador no se ponga a cambiar la regla en el curso de la partida.

6 La notación griega y la notación romana se prestaban poco para rea-lizar operaciones numéricas, de manera que el menor cálculo simbólico era una gran hazaña.

Pero el hermano Edvin no deja tampoco de mostrar el defecto de su método, defecto que está justamente en la exis-tencia de excepciones. No se necesita gran saber para prever que si uno parte de 0000, los números sucesivos serán todos 0000 y el resultado final, por tanto, O. La aparición de ceros puede perturbar el juego de manera más insidiosa. Si se par-te de 1001, por ejemplo, se dará con 0200 en la primera ope-ración y luego se obtendrá sucesivamente 0400, 1600, 5600, 3600, 9600, 1600, con lo que termina el circuito, es decir que el ciclo 1600, 5600, 3600, 9600, 1600 se reproduce indefinida-mente. Se hace pues perfectamente posible prever el resulta-do de la cuarta tirada, de la decimoséptima o de la millonési-ma y así hacerse trampas a uno mismo.

El hermano Edvin propone algunos paliativos, especial-mente la obligación de elegir el primer número de cuatro ci-fras diferentes y sin ceros. Pero es demasiado perspicaz para no darse cuenta de que además de estas excepciones eviden-tes pueden existir otras más sutiles. Y hasta tal vez esas ex-cepciones sean el indicio de una regularidad más profunda, disimulada a nuestros ojos inexpertos, pero que un análisis mejor inspirado puede sacar a la luz. ¿Cómo saber si no hay una fórmula escondida que dé el resultado de manera simple y directa, no sólo en casos particulares como el del 1001 sino en el caso de todos los números? El hecho de que seamos in-capaces de hallar semejante fórmula no nos garantiza que ella no exista. Si existe, el azar queda eliminado de nuestro juego. Quien la halle podrá guardarla para sí mismo y hacer fortuna aceptando apuestas en cada partida, o bien revelarla y reducir a la nada el resultado de tantos esfuerzos.

El manuscrito termina con esa nota melancólica que qui-zá sea un presentimiento. Es fácil imaginarse los disgustos que el manuscrito podia acarrear a su autor. El hermano Ed-vin maneja los números como si fueran cosas, sin preocuparse por su sentido oculto. ¿Qué cosa positiva puede salir de una intervención tan reductora? Es notorio, por ejemplo, según lo afirma explícitamente San Juan, que el número de la Bestia es 666 (Apocalipsis XIII, 18). ¿Qué ocurriría si ese número apareciera durante los cálculos? ¿No sería ése el signo más explícito de la intervención del demonio? ¿Cómo no pensar http://www.esmps.com/web/Scientia 25

que el resultado estará viciado? Al abandonar las interpreta-ciones tradicionales, el hermano Edvin se exponía a que lo acusaran de practicar la adivinación, y hay motivos para pensar que se lo haya acusado en efecto.

Después de un eclipse de varios siglos, los problemas planteados por el hermano Edvin y sus escrúpulos morales volvieron a ser de actualidad cuando hubo que inculcar el azar a los ordenadores. Ya no se trataba de especulaciones desinteresadas ni de pruebas de santidad, sino que se trata-ba de construir un arma termonuclear, la bomtrata-baH, cuyo pri-mer prototipo se hizo estallar en 1952. Ese éxito era la culmi-nación de un esfuerzo científico y tecnológico sin precedentes, llevado a cabo por los Estados Unidos después de la famosa carta de Einstein dirigida al presidente Roosevelt y marcado especialmente por las bombas lanzadas en Hiroshima y Na-gasaki.

Los cálculos relativos a la bomba A se habían realizado a mano, con la ayuda de reglas de calcular y calculadoras de manivela. ENIAC, la primera calculadora electrónica -un monumento de treinta metros de largo, tres metros de alto, noventa centímetros de ancho, 18 000 tubos de vacío y más de 500 000 soldaduras- ya estaba dispuesta a funcionar a fi-nes de 1947. Durante su largo período de gestación, se había tomado la decisión de utilizarla para simular el comporta-miento de los neutrones en un material fisible, un paso cru-cial en el desarrollo de una bomba termonuclear. Los exper-tos que habían construido la bomba A, especialmente Enrico Fermi y John von Neumann, habían abordado el problema y llegado a la conclusión de que sólo podía tratárselo mediante métodos estadísticos. En cualquier momento, un neutrón tie-ne cierta probabilidad de entrar en colisión y cada colisión tiene cierta probabilidad de producir una simple difusión del neutrón que entra en colisión o bien una fisión que da naci-miento a varios neutrones nuevos. Cada trayectoria indivi-dual es pues el resultado de una partida jugada según reglas complejas pero con probabilidades conocidas.

jugar un gran número de esas partidas, en echar a suertes las decisiones según las probabilidades indicadas y en estu-diar estadísticamente los resultados obtenidos. Así nació el método de Monte Cario. Mientras esperaba que entrara en funcionamiento ENIAC, Fermi había inventado una pequeña vagoneta, bautizada inmediatamente FERMIAC, que se des-plazaba sobre un plano de sección del reactor para materiali-zar una trayectoria neutrónica posible; cada vez se sorteaba la dirección del desplazamiento y la distancia de la próxima colisión. Había también otros ajustes que se modificaban mu-cho según el material que atravesaba el neutrón. Ese peque-ño aparato quedó relegado al depósito de los accesorios cuan-do comenzó a funcionar ENIAC, la cual a su vez llegó a ser caduca a partir de 1952, cuando comenzó a funcionar en Los Ajamos MANIAC. En todas esas máquinas el método de Monte Cario dio excelentes resultados. Ese método consti-tuye hoy uno de los principales instrumentos de cálculo en fisica.

El método de Monte Cario, pues ése es su nombre, es un método simple y versátil. Para tomar un ejemplo de Stanis-law Ulam, supongamos que yo quiera conocer la probabilidad de acertar en un solitario. Por supuesto, esto depende del or-den inicial del paquete de cartas. Ahora bien, hay

52! = 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x ... x 3 x 2 x 1 maneras diferentes de distribuir 52 cartas. Ese número (el factorial de 52, que se indica con el signo de exclamación) es enorme, puesto que se escribe con setenta cifras y es tan grande que queda excluida la posibilidad de examinar siste-máticamente todas las distribuciones posibles para contar las partidas ganadoras. La probabilidad buscada:

número de partidas acertadas número de distribuciones posibles

es, pues, inaccesible mediante un cálculo exacto. En cambio, se puede dar una estimación empírica jugando sólo un núme-ro pequeño de partidas -algunos centenares o algunos mi-http://www.esnips.com/web/Scientia 27

llares- siempre que los naipes sean cuidadosamente baraja-dos entre una distribución y otra. En otras palabras, se esti-ma la probabilidad desconocida lanzando al azar e indepen-dientemente cierto número de distribuciones entre las 52! distribuciones posibles, y tomando nota de la proporción de las partidas ganadas en la muestra así conseguida. Es fácil programar un ordenador para un solitario y, por lo tanto, pa-ra concluir la partida en algunos milisegundos, sea una de-terminada distribución ganadora o no.

Pero todavía falta que el ordenador aprenda a barajar las cartas, es decir, a elegir una distribución entre 52! posi-bles, afectada cada una por la misma probabilidad de l/52!, y esto independientemente de las elecciones anteriores. En la práctica, representaremos los naipes con números y entonces el ordenador deberá sacar al azar un primer número de 1a 52, luego un segundo número entre los 51 restantes, después un tercero entre los 50, y así sucesivamente hasta agotar la serie. ¿Cómo realizar todas esas tiradas de manera equipro-bable e independientemente de las anteriores?

En el bridge esto se hace mezclando las cartas entre ca-da reparto, lo cual es menos sencillo de lo que parece. El fu-llero sabe barajar las cartas de manera tal que le toque a él la mejor mano y el prestidigitador sabe recoger del mazo una carta que se ha deslizado en su interior. Tampoco es suficien-te que el que da las cartas baraje bien; es menessuficien-ter que bara-je durante un buen tiempo, por lo menos siete veces según estudios recientes. Si se reúnen todas esas condiciones, los jugadores no tratarán de recordar el orden de las cartas del reparto anterior para obtener información sobre la distribu-ción en marcha: considerarán los dos repartos como indepen-dientes. Esto no impide que, una vez distribuidas las cartas y cuando tienen en la mano las suyas, los jugadores se hagan una idea de la repartición de los naipes. Esa idea se basa no en los recuerdos que tienen del reparto anterior (el as de pi-que había salido antes del rey; recuerdo perfectamente pi-que el rey seguía inmediatamente al as en la baza, y ahora, como tengo el as de pique en la mano, el rey debe de estar a mi iz-quierda), sino en la hipótesis de que las cartas restantes es-tán uniformemente repartidas (tengo cuatro piques, quedan

nueve distribuidos entre tres jugadores, de manera que es probable que cada uno tenga tres). Esta es la idea que se ex-presa cuando se dice que las tiradas son equiprobables.

Ya se trate de barajar cartas, ya se trate de echar dados, el azar sólo procede de la torpeza humana: somos incapaces de dominarnos suficientemente para inmovilizar un dado a nuestro gusto o para dirigir individualmente las cartas del mazo. La comparación no deja de ser instructiva y hace re-saltar los límites de esta manera de crear el azar. Poco im-porta quién eche los dados, pero no dejaremos que cualquiera baraje las cartas. Alguien demasiado torpe no llegará a ha-cerlo bien y alguien demasiado hábil para dar las cartas des-pertará nuestra desconfianza. ¿Cómo proceder entonces con un ordenador, totalmente inaccesible a la torpeza y cuyo com-portamiento no deja ningún lugar a la incertidumbre? En el fondo éste es el problema que planteaba el hermano Edvin, y si nuestros medios técnicos han alcanzado enormes progre-sos, no cabe decir lo mismo de nuestra reflexión.

El método de íos cuadrados sucesivos fue el primer mé-todcutilizado (hoy lleva el nombre de von Neumann), pero muy pronto se advirtió que al cabo de cierto número de tira-das el método daba infaliblemente el número 2100, luego 4100, luego 8100, luego 6100 y luego de nuevo 2100, y que a partir de ese momento se repetía indefinidamente:

2100, 4100, 8100, 6100, 2100,

y las excepciones son justamente aquellas que había señala-do el hermano Edvin y cuyo defecto consiste en finalmente llegar a un ciclo (por lo demás, diferente del anterior) más rá-pidamente. Un instante de reflexión nos convence muy rápi-damente de esto. El ordenador tomaun número de cuatro ci-fras, lo eleva al cuadrado cierto número de veces y cada vez retiene sólo las cuatro cifras del medio, de manera que el re-sultado final es un nuevo número de cuatro cifras supuesta-mente obtenido al azar. Para sacar varios números al azar, se itera el procedimiento, es decir que se parte del último núme-ro obtenido para obtener el siguiente. Así, cada tirada depen-de entera y exclusivamente depen-de la anterior. Si la primera es http://www.esnips.com/web/Sdentia 29

8653, la segunda 8744 y la tercera 4575, se puede afirmar con certeza que cada vez que salga el 8653 lo seguirán él 8744 Y el 4575. Una de las caracteristicas fundamentales del azar es la independencia de las sucesivas tiradas, indepen-dencia que desaparece en la simulación; por eso se manifies-tan los ciclos.

Consideremos auncroupier sin imaginación que maneje su ruleta con un pedal y que pretenda contrarrestar el azar haciendo salir los números en un orden preciso. El hombre hace pues una lista, lo más aleatoria posible, y se atiene a ella. Después del 7 hará salir siempre el 35, después del 35 el 13, después del 13 el 22 y así sucesivamente, poniendo cuida-do en hacer salir cada vez un número diferente para evitar sorpresas. Pero en la ruleta hay sólo 37 números, contando el O, de modo que al cabo de 37 tiradas, a lo más, el croupier es-tará obligado a repetir un número que ya ha salido, el 7 por ejemplo. A partir de ese momento, vuelve al orden anterior, es decir que hará salir sucesivamente el 35, el 13, el 22, etcé-tera, hasta que el 7 salga de nuevo; luego el 13, el 22, indefi-nidamente. ¿Cuánto tiempo tardarán los jugadores en darse cuenta de ese manejo?

Así como un croupier mecánico produce en la ruleta a lo sumo un ciclo de 37 tiradas, el método de los cuadrados suce-sivos, o cualquier otro método determinista, llegará a un ciclo de a lo sumo 10000 tiradas, pues 10000 es el número total de los números de cuatro cifras. Puede uno buscar paliativos, trabajar con números de cinco cifras, por ejemplo, lo cual nos permite tener la esperanza de poder llegar hasta 100000, pe-ro la limitación fundamental subsistirá. También se puede encubrir la realidad, como hacía el hermano Edvin, al dar co-mo resultado final sólo el resto de la división por 6. Esto per-mite hacer como que uno elige un número entre Oy 5, siendo así que en realidad se elige un número de Oa 9999. De ma-nera que las sucesivas tiradas:

se leerán: 6016 4 1922 2 6940 4 1636, 4,

y se tendrá la ilusión del azar, puesto que un 4 puede estar seguido de un 2 o de un 4, como si las tiradas fueran inde-pendientes. Desgraciadamente el primer 4, que representa 6016, no es el mismo que el segundo 4, que representa 6940. La máquina trabaja con 6016 y 6940 Y muestra 4 y 4, lo mis-mo que un ilusionista que engaña al espectador valiéndose de un juego de espejos.

Para engendrar números aleatorios, en nuestros dias se ha abandonado prácticamente el método de los cuadrados su-cesivos. Se prefiere utilizar generadores aritméticos descritos por fórmulas del tipo:

X, = ax,,-l + e módulo M,

que expresan que la n-ésima tiradaX, se obtiene tomando el resultado de la (n - 1) -ésima tirada Xn_1 , multiplicándolo

por a, agregando e y dividiendo por M. El resto de esta divi-sión es el resultado de la n-ésima tirada. Los números ente-ros

a, e

yM caracterizan al generador y se eligen de una vez por todas.

Estos generadores aritméticos presentan los mismos de-fectos que el método de las cuadraturas. Cada tirada está completamente determinada por la precedente y por lo tanto se observarán Ciclos cuya dimensión máxima es M. En la práctica se elige con preferencia M = 232, que hace muy fácil la división porM en máquinas que trabajan en binario, o se elige M =231 - 1,caso en que la división por M no es más di-ficil y tiene la ventaja de ser un número primo. En el caso de números tan grandes las dimensiones de los ciclos son tales que éstos no se pueden observar en la práctica: el número 230 _{es del orden de mil millones. Se puede, pues, abrigar la}

esperanza de haber contrarrestado el azar de manera satisfactoria.

Desgraciadamente no hay nada de eso. El problema de los ciclos representa sólo el primer escollo y hay muchos otros en nuestro camino. En realidad, el concepto de azar se descompone en una multitud de propiedades tan diversas que a veces parecen contradictorias. Por ejemplo, hemos ha-blado de la independencia de las tiradas sucesivas, pero no http://www.esnips.com/web/Scientia 31

hemos dicho nada de su distribución. Lo que deseamos es que ella sea uniforme, es decir, en el caso del método de las cua-draturas, por ejemplo, que todos los números de O a 99 sal-gan con la misma frecuencia. Ahora bien, se sabe que toda serie de tiradas sucesivas termina por estabilizarse en un ci-clo que será en general

2100, 4100, 8100, 6100, 2100,

yesos cuatro números salen pues con una frecuencia de 114y los otros ya no salen más (frecuencia O). La repartición uni-forme sólo puede existir, pues, en un período transitorio en el que el ordenador no haya tenido aún el tiempo de llegar al ci-clo límite y en el que se puede esperar que las tiradas sucesi-vas se distribuyan más o menos uniformemente entre Oy 9999.

Se pueden ajustar los parámetros ay c de los generado-res aritméticos para que sus ciclos tengan un período muy prolongado. Hasta se puede hacer que haya un solo ciclo que por turno afecte a puntos de OaM - 1. La distribución es en-tonces uniforme en el sentido de que los M números de O a M - 1salen cada uno una vez por ciclo y tienen por lo tanto la misma frecuencia 11M. Pero, después de todo, lo que hace el ordenador en este caso es sencillamente sacar losM prime-ros númeprime-ros en un orden diferente del orden natural; y, ¿cabe hablar de azar en una operación de este género? También aquí el azar está en el ojo del observador; lo que nos hace pa-recer una sucesión como aleatoria es nuestra incapacidad de abarcar de un solo golpe mil millones de números o más, jun-to con nuestra ignorancia de la regla de que se sirve el orde-nador para clasificarlos. Pero un observador más perspicaz sabrá tal vez discernir en esa distribución regularidades ocultas que serán otros tantos indicios de que aquí no se tra-ta del azar.

Veamos un ejemplo simple de semejante situación. Su-pongamos que deseamos echar a suerte un punto del interva-lo(0,1),según una repartición uniforme. En primer lugar de-cidimos sobre la precisión con la cual hemos de trabajar y fi-jamos 32 bits, por ejemplo. Esto quiere decir que el

ordena-dor sólo considerará números cuya representación binaria no comprenda más que 32 signos. Esto equivale a reemplazar el intervalo (O,lJ por una red de M = 232 puntos equidistantes entre O y 1. Una vez hecho esto se echará a suertes uno de ellos utilizando un generador aritmético.

X,+1 =

ax"

+ c módulo M.

Se podrán ajustar las constantesa y c para que haya un solo ciclo (de periodo MJ, lo cual hace que los M puntos del in-tervalo (0,1) salgan cada uno una vez por ciclo. Se puede con-siderar, pues, que todos tienen la misma frecuencia 11M y que así se ha realizado un sorteo uniforme en el intervalo (O,lJ.

Pero ¿qué ocurre si se quiere echar a suertes un punto dentro de un cuadrado siguiendo siempre una distribución uniforme? Digamos que el cuadrado es de lado 1; cada punto del cuadrado está representado entonces por dos números, x ey, ambos comprendidos entre O y 1, representando uno su proyección horizontal (abscisa), el otro su proyección vertical (ordenada). Si se reemplaza, como antes, el intervalo (0,1) por M puntos equidistantes, se obtienen M posibilidades en el caso de la proyección horizontal x y M posibilidades en el caso de la proyección vertical y, lo cual corresponde a M x M = M2 posibilidades para el punto (z, yJ. Por último se obtienen M2 puntos uniformemente repartidos en el cuadra-do. Para echar a suertes uno de esos puntos es suficiente echar sucesivamente sus dos proyecciones x ey. Si esas tira-das son independientes y están uniformemente repartitira-das se puede obtener cualquier punto del cuadrado, cada uno con la misma frecuencia 11M2•

Pero es necesario que las dos tiradas sean independientes, y es esto lo que nos permitirá mostrar el defecto del generador aritmético. Utilicémoslo para echar a suertes las dos proyeccio-nes del punto buscado; primero la horizontal, x, luego la verti-cal, y. Estas dos tiradas parecen independientes. En realidad, sabemos que no lo son, puesto que el generador deduce cada ti-rada de la anterior, y por lo tantoy dex,mediante la fórmula:

y=ax+c móduloM.

Un ejempo de generador aritmético: Trátase aquí de un modelo rudimentario que nos permite sacar "al azar"

un número entero entre O y 9. Partiendo de X=O e iterando se obtiene

sucesivamente: Xg=O Xl=3 X₂=6 X₃=9 ~=2 X¡;=5

Xs=8

X₇= 1

Xs=4

x,-

7 XIO=O=Xg X_{n =}3=Xl

es decir, un ciclo completo que comprende todos los números enteros

en-tre Oy 9. Esto equivale a escribirlos en un orden diferente del orden

na-tural. El ordenador conserva en la memoria la última cifra suministra-da y casuministra-da vez que se apela de nuevo a ella suministra-da la siguiente en la lista. Este generador puede utilizarse para sacar"alazar" un punto del

inter-valo (0,1). Para hacerlo se reemplaza el interinter-valo por 10 puntos equidis-tantes:

O= -, -, -, -,O 1 2 3 _9'4 -, -, -, -,5 6 7 8 9 = 1

9 9 9 9 9 9 9 9 9

que se pueden representar geométricamente:

•

•

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ordenándolos como hemos ordenado los números enteros obtenemos una regla de sucesión que representamos simbólicamente (cada punto está relacionado con su sucesor por una flecha) así:

En diez tiros se recorre todo el intervalo. También aquí el ordenador

x,,+1

=

x"

+ 3 módulo 10

siguiente cada vez que se le pide que ech~a suertes una nueva posición. Esta manera de proceder no es evidentemente aleatoria, pero conserva muchas de las propiedades de una sucesión de tiradas independientes y equirrepartidas que bastan para engañar a un observador poco atento.

Pero las insuficiencias de este generador aritmético se

mani-ª

fiestan de manera flagrante des- 9

7

de el momento en que uno quiere 9 utilizarlo para echar a suertes 6₉ puntos de un cuadrado. El cua- 5

drado (0,1) x (0,1) es reemplaza- 94 do por 10 x 10=100 puntos 9

~

2 9 1 9 1 _~ ;¡ 4 _~ § 1

a

ij _{9 9 9 9 9 9 9}

Y se echan a suertes sucesiva-mente las dos coordenadas de

ca-da punto. Así, si la. coordenaca-da

•

horizontal es 0, la coordena-

•

da vertical deberá ser el sucesor

_•

de 0/9, esto es, 3/9. En total esto

•

solo da diez posibilidades en el

caso de 100 puntos;

•

•

yesta vez nadie podrá engañarse: esos puntos no están equirrepartidos.

Lastiradas no son pues independientes.

Los generadores aritméticos de uso corriente hacen intervenir subdivi-siones mucho más finas yciclos mucho más largos (M - 232) ,Sin

embar-goesos ciclos existenypueden conducir a desagradables sorpresas.

Como hay M posibilidades para x, cada una de las cuales determina perfectamentey, sólo habrá M posibilidades para la pareja(x, y) en lugar de las M2 posibilidades que hubiera dado el azar. El generador aritmético sólo tiene acceso aM de losM2puntos del cuadrado; o sea, una proporción de MfM2=

= 11M. Es decir que la inmensa mayoría de las posiciones le es inaccesible. Además, ya no hay ninguna garantía de que los M puntos posibles estén uniformemente repartidos en el cuadrado. Se forma un ciclo de M puntos, que serpentea en un conjunto de M2 puntos, y es perfectamente posible que ese ciclo se concentre en ciertas regiones del cuadrado y que abandone por completo otras.

Poseemos, pues, un medio de discernir si tiradas sucesi-vas equirrepartidas en (0,1) son verdaderamente indepen-dientes: agruparlos por pares para obtener puntos del cua-drado y examinar si estos puntos están equirrepartidos. Si lo están no se puede objetar nada; tal vez un agrupamiento por paquetes de tres mostraria una dispersión irregular de pun-tos en el cubo y revelaría asi correlaciones que podrían ha-bérsenos escapado. Pero si no están equirrepartidos, se pue-de afirmar que las tiradas consipue-deradas están ligadas, es decir, que el resultado de cada una depende de las anteriores. Esto es lo que se llama un test de independencia. Un ge-nerador aritmético puede pasarlo perfectamente con éxito: es posible elegir el coeficiente a y el entero M (el valor de e no tiene mucha influencia) para que los puntos obtenidos parez-can uniformemente repartidos en el cuadrado. Pero hay mu-chos otros tests de independencia, y un generador que enga-ña a un determinado test puede ser puesto en evidencia por otro. En realidad, cada test tiene sus favoritos, es decir, reco-noce ciertos generadores y no recoreco-noce otros. De conformidad con el viejo adagio, el ordenador puede engañar a un test to-do el tiempo y a toto-dos los tests algún tiempo, pero no puede engañar a todos los tests todo el tiempo.

El problema está aquí en que un generador aritmético no posee la inagotable riqueza del azar. Si Xl> X2, ••• ,

X.

son

tiradas independientes equirrepartidas, si se puede extraer de ellas una de dos, reagruparlas por paquetes de dos o modi-ficarlas, se obtendrán siempre tiradas independientes

equi-rrepartidas; transformaciones más complicadas, tales como

X~,~, ... ,X~ (cada resultado está elevado al cuadrado) darán tiradas aún independientes, según una distribución 'que ya no es uniforme pero que en cambio se puede calcular. En cambio, si un generador aritmético construye una serie Xl>

X2, oo.,X, equirrepartida, esto no quiere decir que

reagrupan-do los términos por paquetes de reagrupan-dos se obtendrá una serie equirrepartida en el plano ni que elevándolos al cuadrado se repartirán según la ley deseada. Por cierto que desde que se concibió el generador aritmético podía hacerse esa objeción; pero, ¿que ocurrirá con agrupamientos por paquetes de tres o con la serie de los cubos Xf,~, oo.,

X3

_n?¿Y que pasará si cae-mos en la fantasía de cambiar el orden de los términos? ¿Se comportará como una serie aleatoria la serie obtenida? Se puede imponer al generador estas tareas suplementarias y otras más, pero se corre siempre el riesgo de que el genera-dor encuentre un test que no había sido previsto a priori y que se traicione. Por otro lado, el azar salta espontáneamen-te por encima de todos los obstáculos que se le pongan en el camino.

En este estadio de nuestra reflexión, cuando nos damos cuenta de que los ordenadores más poderosos son incapaces de reproducir las propiedades que atribuimos espontánea-mente al azar, reaparecen las dudas. ¿Existe realespontánea-mente el azar o somos víctimas de una ilusión?Talvez se trate de una noción esencialmente matemática, de una idealización de la realidad, así como la recta infinita y sin espesor del geómetra es una idealización de la línea trazada en el cuaderno de un escolar.

El físico práctico ya no se plantea esta cuestión. El físico que quiere calcular una integral valiéndose del método de Monte Carlo no trata de imitar el azar en general. La serie de números que le da el ordenador sólo le interesa en la me-dida en que le permita obtener lo más rápidamente posible una buena aproximación al valor buscado. En general, traba-jará en un espacio de dimensiónN y para él será crucial que al reagrupar las tiradas por paquetes de N se obtengan pun-tos equirrepartidos en ese espacio. En cambio, poco le impor-ta el resulimpor-tado de los tests de independencia o de equirrepar-http://www.esnips.com/web/Scientia 37

tición que nada tienen que ver con su problema. De las infini-tas propiedades de una serie de tiradas independientes y de igual ley, el fisico práctico sólo retendrá aquellas que le inte-resen directamente y construirá en consecuencia su genera-dor aritmético; el resultado final alguna vez habrá perdido hasta la apariencia de azar.

Es posible adoptar otra actitud que consiste en tener conciencia de que no podemos construir series verdadera-mente aleatorias y que hay que ir a buscar el azar donde éste se encuentra, es decir, en la naturaleza. Por eso algunos ge-neradores de números sacados "al azar" combinan un proce-dimiento aritmético, semejante a los que hemos descrito, con la operación del reloj, instrumento siempre presente en el co-razón de los ordenadores. En ciertas etapas del cálculo basta con mirar la hora y hacerla intervenir en la serie de las ope-raciones. Por ejemplo, se puede tomar como punto de partida

Xo

de un generador aritmético el tiempo transcurrido desde el 14 de julio de 1900 a las 17 horas, expresado en segundos. De esta manera unalea natural viene a reforzar un alea arti-ficial. Este modo de recurrir al exterior puede llevarse mucho más lejos. Construir un generador aritmético adaptado a las necesidades del fisico es una tarea ardua y utilizar los ins-trumentos accesibles en el comercio entraña riesgos. Puede uno entonces sentirse tentado de utilizar tablas de números aleatorios, obtenidas mediante un montaje experimental an-tes que mediante un algoritmo matemático. Las primeras ta-blas fueron de origen demográfico, pero bien pronto tendie-ron a volverse hacia dispositivos fisicos. Y fue así como la Rand Corporation publicó en 1955 una lista de un millón de cifras, extraídas de un ruido de fondo electrónico. Desgracia-damente, algunos años después se advirtieron errores de montaje que viciaban los resultados y comprometían la inde-pendencia de las sucesivas tiradas. Esto demuestra que aco-rralar al azar con un mecanismo físico no es más fá-cil que hacerlo con un algoritmo matemático, sobre todo cuando se trata de producir series muy largas de tiradas aleatorias.

Nos encontramos, pues, en un callejón sin salida, como los dos reyes de la historia contada por Torstein Frode, cuan-do los seis salieron tres veces seguidas y comenzó a surgir un malestar. Es entonces cuando interviene el azar que perturba la imagen que nos hacíamos de la situación, que rompe el marco estrecho de nuestras previsiones para crear algo ver-daderamente nuevo, algo semejante al modo en que Alejan-dro Magno cortó el nudo gordiano. La realidad se quita su máscara, el elemento indivisible se rompe en dos, la cifra que sólo podía ser un 10un 6 se hace un 7. La naturaleza se bur-la de nosotros, que nos vemos relegados fuera de un mundo que se disimula ante nuestra mirada, y así nos sentimos ex-traños y ridículos.

Ese es el sentimiento que experimentaron los físicos con motivo de la revolución científica que comenzó con el descu-brimiento de la radiactividad, cuando tantos hechos eviden-tes se revelaron engañosos. Establecido como elemento cons-titutivo primero de la materia, el átomo, esa unidad funda-mental cuyo nombre mismo significa indivisible, se revela constituido por electrones que gravitan alrededor de un nú-cleo el cual, a su vez, no tarda en mostrar que está constitui-do por neutrones y protones. Pero muy pronto los hombres de ciencia comprenden que no han llegado aún a la realidad úl-tima. Se destruirán protones y neutrones en aceleradores ca-da vez más potentes y de sus restos aparecerán otras partí-culas, también ellas "elementales": piones, lambdas, sigmas, rhos, más de cuatrocientas actualmente. En la década de 1970 se constituye la cromodinámica cuántica que muestra, por debajo de esta profusión de elementos constitutivos, otros más elementales aun: los quarks. Algunas partículas (los ba-riones) se descomponen en tres quarks; otras (los mesones) en un quark y un antiquark, En el momento en que escribo estas líneas se conocen cinco quarks diferentes y se sospecha la existencia de un sexto, lo cual ya permite entregarse a grandes fantasías. Por lo demás, hay otras seis partículas de espín 1/2 (los leptones), que no se descomponen en quarks, especialmente el electrón y los neutrinos. Si pasamos a las partículas de espín 1, hallamos otras 12: el fotón, los gluones (ocho) y los W (tres). Debemos, pues, atenemos a veintiséis http://www.esnips.com/web/Scientia 39

elementos constitutivos cuyas diversas combinaciones debe-rían permitir explicar todas las variedades de partículas ob-servadas, de modo que por el momento el cuadro parece com-pleto. Hasta el día, claro está, en que una teoría más ambi-ciosa anule este cuadro. Los físicos no han renunciado a su sueño de la "gran unificación", una teoría que abarque la me-cánica cuántica y la relatividad general, de suerte que cada paso dado en esta dirección acarreará una modificación pro-funda en el paisaje.

Cada vez que creemos poseer el elemento constitutivo último de la realidad, el ladrillo elemental de que está construido el universo, dicho ladrillo se quiebra en pedazos como el dado del rey Olav. Para los platónicos esto evoca irre-sistiblemente la octava hipótesis del Parménides. Más pro-saicamente, se trata de una cacería en la que la presa se escurre y escapa perpetuamente, como en esos dibujos ani-mados de la gran época en los que se despliega un verdadero genio para ridiculizar al cazador. Bien comprendemos la ner-viosidad de éste y con cuánta pasión perfecciona trampas ca-da vez más ingeniosas para reducir por fin a la presa que es su martirio. Sabemos bien que todos sus esfuerzos serán va-nos y que se romperá la crisma una vez más, pero él cree tan firmemente en su empresa y se perturba tan poco en cada ocasión que la crueldad y el ingenio con que el dibujante vuelve contra el cazador las situaciones más favorables nos dejan palpitantes y admirados. Nosotros, como conocedores de la cuestión, sabremos apreciar la habilidad con que la na-turaleza se escurre ante nosotros y muy especialmente la manera en que utilizaal azar para disimularse.

Del universo de la molécula pasamos al reino de la me-cánica cuántica. Verdad es que ésta hace algunas incursiones en el dominio macroscópico y que fenómenos como la super-fluidez o la superconductividad forman ya parte de nuestra percepción. La teoría se presenta como el díptico de un reta-blo cuyo primer postigo es puramente determinista. Este pos-tigo pinta la evolución de los sistemas físicos aislados. Cada uno de ellos está representado por un vector de estado toma-do dentro de un espacio de dimensión infinita, el espacio de Hilbert. Es propio de la mecánica cuántica apelar a ese

espa-cio para describir el estado de un sistema físico aislado, y a los físicos les ha costado cierto trabajo habituarse a esto, El malestar se manifiesta especialmente en la terminología, donde la expresión "vector de estado" se impone con dificulta-des frente a su sinónimo "función de onda". Pero la evolución misma es puramente determinista; está regida por una ecua-ción diferencial, la ecuaecua-ción de Schriidinger, y se despliega, pues, en un espacio de Hilbert en lugar de hacerlo en los es-pacios de dimensión finita habituales. Si quisiéramos ser perfectamente rigurosos nos veríamos obligados a abordar una sola función de onda, la del universo en su totalidad, pe-ro, lo mismo que en la física clásica, consentimos en hacer aproximaciones y consideramos que ciertos subsistemas es-tán aislados, por lo menos momenes-táneamente, y que tienen su propia función de onda: partículas, átomos o moléculas.

El otro postigo del díptico es puramente probabilista. Describe las operaciones de medición. Medir una magnitud física, una posición, una velocidad o una energía significa transferir el sistema del primer postigo al segundo. El resul-tado de la medición se obtendrá como un acto de echar a suertes. Más precisamente, el vector de estado puede anali-zarse como una suma de componentes, los "estados propios" de la magnitud considerada, y cada una corresponde a un va-lor bien determinado de la magnitud. La operación de medir tiene misteriosamente el efecto de proyectar el sistema a uno de esos estados propios; lo que decide es un sorteo efectuado según reglas precisas. El estado propio echado a suertes de-terminará el valor que será registrado por el instrumento y será el del sistema después de la medición.

De manera que la mecánica cuántica sería puramente determinista si no fuera por la presencia del observador. So-mos nosotros quienes, en busca de información y efectuando una medición, perturbamos la evolución del sistema e intro-ducimos en él un elemento aleatorio. Lo cierto es que resulta imposible prever el resultado de una sola medición. A lo su-mo, la teoría permite calcular a priori todos los resultados posibles y la probabilidad de cada uno de ellos. Esto no quie-re decir que la mecánica cuántica no sea pquie-recisa

o

no permita hacer ciertas previsiones. Sólo que esas previsiones serán de http://www.esníps.com/web/Sdentia 41

naturaleza estadística, referentes a un gran número de medi-ciones o a fenómenos macroscópicos, lo cual no excluye una gran precisión. Como ejemplo podemos considerar que el mo-mento magnético del electrón tiene un valor experimental de 1,00115965221 (con una incertidumbre del orden de 4 res-pecto de la última cifra) y un valor teórico (por lo tanto, cal-culado a priori) de 1,00115965246 (con una incertidumbre cinco veces mayor). Esto representa una precisión de 4 x 109 , o sea, una desviación del orden de un milímetro en 4000 kiló-metros.

¡Qué extraña es, sin embargo, esta teoría! Examinemos, por ejemplo, el desplazamiento del fotón. Se emite el fotón en un punto E (punto emisor) y volvemos a encontrarlo en un punto R (receptor); entre los dos puntos hay una pantalla perforada con dos agujeros A y B. La óptica geométrica nos dice que para observar luz en el punto R es menester que és-te esté alineado, ya con E y A,ya con E y B. En cambio, la mecánica cuántica nos enseña que cualesquiera que sean las posiciones de los agujeros, y especialmente si no hay alinea-ción, un fotón emitido desde el punto E tiene siempre cierta probabilidad de ir a dar al punto R. Y esto es efectivamente lo que se observa si los agujeros practicados enA y B son su-ficientemente pequeños. Esto contradice, desde luego, la in-tuición grosera según la cual el fotón es un corpúsculo que se propaga en línea recta; sin embargo, no es éste todavía el as-pecto más sorprendente de la situación. Siempre de confor-midad con la mecánica cuántica, el fotón que encontramos en

R tiene cierta probabilidad de haber pasado por A y cierta probabilidad de haber pasado por B, sin que se pueda deter-minar nunca con certeza qué camino siguió efectivamente. Como se trata de una partícula elemental, por esencia indivi-sible, la pregunta parece natura!. Sin embargo la pregunta está desprovista de sentido si creemos en la experiencia, pues se pueden mostrar en el puntoR franjas de interferen-cias cuya única interpretación posible es que el fotón pasó a la vez por Ay por B. Si tratamos de forzarunarespuesta ten-diendo una trampa al fotón, es decir, colocando por ejemplo en A y en B dos detectores que descubran el paso del fotón, se comprueba que éste pasa ahoraya sea porA o por B (uno

só-lo de só-los detectores se activa), ¡pero las franjas de interferen-cias desaparecen!

La intercalación de un instrumento de medición suple-mentario modifica pues el fenómeno. Al tratar de localizar el fotón en A o en B forzamos el sistema, que entra en un esta-do extraño a su evolución espontánea, y al hacerlo introduci-mos un elemento aleatorio. Digaintroduci-mos, por ejemplo, que para realizar una medición es necesaria una interacción tan com-pleja entre el sistema y el observador que parámetros extra-ños a uno y a otro -pero representados en la función de on-da del universo-- desempeñan un papel crucial y que el re-sultado sólo puede ser aprehendido de manera estadística. Esta no es más que una hipótesis y acaso hasta una metáfo-ra. Sólo una cosa es segura: en mecánica cuántica medir es echar suertes.

La pregunta que acude a los labios es: "Muy bien, pero ¿quién echa suertes?" No es el observador y probablemente tampoco la partícula. Hay una respuesta posible, sólo que no gustará a todo el mundo. Puede uno no plantear la cuestión como Niels Bohr, pero si se la plantea como Einstein y si se decide que Dios no juega a los dados con el universo nos en-contramos en un callejón sin salida, si no se demuestra que también ese echar suertes es sólo una ilusión.

De ahí las encarnizadas tentativas de Einstein y de sus discípulos por demostrar la existencia de "variables ocultas" en mecánica cuántica. La tesis que Einstein defendió hasta su muerte es la de que sólo tenemos acceso a ciertas varia- ' bIes que determinan el estado de un sistema cuántico. Si pu-diéramos observarlas todas, podríamos predecir -por lo me-nos en el corto plazo-- la evolución del sistema y el resultado de cualquier medición. Pero ciertas variables se nos ocultan, y es esta ignorancia lo que crea la ilusión del azar; somos co-mo unobservador colocado bajo una mesa de vidrio transpa-rente sobre la cual se desarrolla una partida de naipes; el observador sólo verá el dorso de las cartas y no podrá com-prender la evolución del juego.

A pesar de la íntima convicción de Einstein, la teoría de las variables ocultas no recibió nunca la menor sombra de confirmación. En el plano conceptual, von Neumann y mu-http://www.esnips.com/web/Sdentia 43

chos otros procuraron mostrar que esa teoria era incompati-ble con los fundamentos de la mecánica cuántica. Si no llega-ron a demostrar su imposibilidad absoluta, no dejallega-ron sin embargo de establecer que semejante teoria debía tener pro-piedades por lo menos tan paradójicas como las propro-piedades de la mecánica cuántica. En el plano experimental, Einstein, Podolski y Rosen indicaron un camino que, al correr de los años y gracias principalmente al descubrimiento que hizo Bell de ciertas desigualdades violadas si existieran efectiva-mente variables ocultas, ha culminado en manipulaciones realizables. 'lbdas ellas se inclinaron por la negativa. Nos en-contramos, pues, acorralados con la idea de que el azar que interviene en la mecánica cuántica no puede reducirse a un determinismo subyacente. El determinismo macroscópico, el determinismo que impera en nuestra escala, es reducible al azar cuántico gracias a las leyes de la estadística que se aplican a cantidades inmensas de partículas. De manera que el azar parece ser el dato fundamental, el mensaje último de la naturaleza.

Nos vemos, pues, reducidos a atenemos a alguna enor-me máquina, espía de partículas eleenor-mentales. Tal vez llegue un día en que se domestique el azar cuántico y se lo utilice en dispositivos en miniatura, que veremos en las calculadoras de los escolares y en las máquinas que funcionan con mone-das. 'lbdos, los que calculan así como los que juegan, tendrán entonces acceso a la fuente misma del azar, puro e inaltera-ble. Pero ese azar domesticado ya no será capaz de sorpren-dernos; esperaremos una decisión entre varias opciones que ya conoceremos de antemano. La conmoción ante lo imprevis-to, el júbilo de ver retroceder bruscamente el horizonte y el temor de los peligros que entrañan estas tierras recién des-cubiertas, todos esos sentimientos que nos agitan cuando ve-mos partirse el dado y surgir el siete, debeve-mos buscarlos en nuestra historia y no en nuevas tecnologías.

2

El rey Olav Trygueseen. partió para Tunsberg, donde convocó al ting. Allí en un discurso proclamó que quien se dedicara abiertamente a la magia o a la hechicería o que practicara elseidi deberta abandonar el país. Luego hizo in-vestigar a todos aquellos que en la ciudad oen los alrededo-res se entregaban a esas prácticas. Entre los tales se encon-traba un hombre llamado 0yvind Kjelda, que descendía de Harald el de los Hermosos Cabellos y que era muy versado en el seidy en la magia. El rey Olav los reunió a todos en una gran sala en la que les ofreció un festfn y puso cuidado en que no les faltara naday en que las bebidas fueran fuer-tes. Cuando todos estuvieron ebrios, el rey hizo poner fuego a la casa, que se quemó con todos sus ocupantes, con la excep-ción de 0yvind Kjelda, quien se escapó por el techo. Habien-do llegaHabien-do lejos de la ciudad, el mago se encontró en el cami-no con algucami-nos viajeros que iban a ver al rey. Les pidió que anunciaran al rey que 0yvind Kjelda había escapado del in-cendio, que nunca volvería a caer en manos del rey Olav y que continuaría practicando su arte. Cuando los viajeros se presentaron al reyle contaron todo lo que 0yvind les había encomendado. El rey dijo que ciertamente era una lástima que 0yvind no hubiera perecido.

Llegada la primavera, el rey partió hacia el oeste y se

1 Elseidosejdrera un conjunto de ritos mágicos, destinados especial-mente a la adivinación, que parece haber sido una de las prácticas

esen-ciales del paganismo nórdicoy que desapareció con la cristianización, a

menudo brutal, de los países escandinavos.