UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEMA: PENDULO SIMPLE
ALUMNO:
ROQUE CHARCA, Rosand
COD: 103291
DOCENTE:
Lic. Ciro William TaipeHuaman
PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 01
GRUPO
Nº
208
INTRODUCCIÓN
Iniciamos este pequeño trabajo de investigación viendo la necesidad de muchos estudiantes interesados en el campo de la física experimental sobre todo centrando nuestro interés en el tema PENDULO SIMPLE.
Como se sabe el péndulo simple se define en física como un punto material (de masa m) suspendido de un hilo (de longitud l y masa despreciable) en el campo de la gravedad de la tierra. Cuando hacemos oscilar la masa, desplazándola de modo que el hilo forme un ángulo muy pequeño con la vertical, describe aproximadamente un movimiento armónico simple.
Nuestro informe del péndulo simple del laboratorio de físicaII, responde a una serie de preguntasde cuestionario donde se detallan de forma precisa todas las respuestas posibles, Como colofón quiero agradecer al Lic.Ciro William TaipeHuamanpor su tarea motivadora que en todos nosotros va dar buenos frutos en el área de física experimental; por último en este trabajomonográfico hemos atendido más a su claridad y sencillez, que su profundidad complicada de conocimientos.
Atte.
I. OBJETIVOS:
Determinar la aceleración de la gravedad en Puno, mediante la comprobación experimental de la ley del péndulo simple.
Estudiar los efectos anarmonicos.
II. FUNDAMENTO TEORICO:
Un efecto de movimiento armónico simple (M.A.S.) es el movimiento de un péndulo simple, el cual se define como una partícula puntual de masa m suspendida del punto O, por una cuerda inextensible del longitud L, y masa despreciable (figura1) cuando la mas m se deja en libertad, desde un ángulo inicial θ, con la vertical, oscila a un lado y otro con periodo T. Se desea determinar el periodo T.
Comenzaremos diciendo que el movimiento de péndulo simple no siempre es armónico. Lo cual queda demostrado de manera siguiente: La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
Esta ecuación diferencial no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.
Ahora por el método de LAGRANGE: El lagrangiano del sistema es
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:
Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.
III. INSTRUMENTOS DE LABORATORIO:
Software Data Studio instalado Interface Science Workshop 750 Una cuerda delgada de 1.00m de largo Sensor de fotopuerta
Una esfera maciza Una regla métrica Un soporte universal
IV. PROCEDIMIENTO:
2. Trasladamos la esfera maciza de la posición de equilibrio a una nueva posición que haga un ángulo
10º
con la vertical.3. Hacemos variar la longitud de la cuerda L de 10cm en 10cm, hasta 1.00m
4. Para cada valor de la longitud, registramos el tiempo correspondiente a una oscilación completa.
Registramos los datos obtenidos en la tabla nº 1 TABLA Nº 1
Todos los datos han sido tratados en el software EXCEL 2010 Nº DE EVENTOS L(m) (longitud) T(s) (periodo) 01 10 0,6312 02 20 0,9065 03 30 1,1028 04 40 1,2913 05 50 1,4276 06 60 1,5845 07 70 1,6862 08 80 1,7964 09 90 1,8241 10 100 1,9023
V. CUESTIONARIO:
1) Utilizando la tabla nº 1 elabore la tabla nº 2 TABLA Nº 2
Todos los datos han sido tratados en el software EXCEL 2010 Nº DE EVENTOS L(m) (longitud) T(s) (periodo) Ln L Ln T 01 0,1 0,6312 -2,302585093 -0,460133 02 0,2 0,9065 -1,609437912 -0,098164 03 0,3 1,1028 -1,203972804 0,0978524 04 0,4 1,2913 -0,916290732 0,2556495 05 0,5 1,4276 -0,693147181 0,3559947 06 0,6 1,5845 -0,510825624 0,4602689 07 0,7 1,6862 -0,356674944 0,5224775 08 0,8 1,7964 -0,223143551 0,5857847 09 0,9 1,8241 -0,105360516 0,6010867 10 1 1,9023 0 0,6430637
2) Utilizando la tabla nº 2, calcule la aceleración de la gravedad (g) utilizando la ecuación (8) y el método de los mínimos cuadrados.
2 2 4. . 2 L; L T g g T
Calculamos la aceleración de la gravedad con la ecuación nº 8 y después aplicamos el promedio para datos no agrupados
TABLA Nº 3
Todos los datos han sido tratados en el software EXCEL 2010 Nº DE EVENTOS L(m) (longitud) T(s) (periodo) T2 4*PI*PI*L g 01 0,1 0,6312 0,39841344 3,94784176 9,90890709 02 0,2 0,9065 0,82174225 7,895683521 9,608467279 03 0,3 1,1028 1,21616784 11,84352528 9,73839703 04 0,4 1,2913 1,66745569 15,79136704 9,470336835 05 0,5 1,4276 2,03804176 19,7392088 9,685379951 06 0,6 1,5845 2,51064025 23,68705056 9,434665346 07 0,7 1,6862 2,84327044 27,63489232 9,719403379 08 0,8 1,7964 3,22705296 31,58273408 9,786865749 09 0,9 1,8241 3,32734081 35,53057584 10,67836987 10 1 1,9023 3,61874529 39,4784176 10,90942148 SUMA TOTAL 98,94021401
Entonces la aceleración de la gravedad promedio en Puno es de:
98.94021401
9.894021401 9.89
10
EXPLICACIÓN: Como sabemos el periodo es dependiente de la aceleración de la gravedad o sea: Si aumenta “g” (como en los polos por ejemplo, el periodo disminuye y el péndulo oscila más rápido), Si disminuye “g” (en el ecuador, en el espacio, en otro planeta más pequeño… etc.) el periodo aumenta y el péndulo oscila más lento. Ahora bien la ciudad de Puno se encuentra muy cerca de la línea del Ecuador entonces esto hace que la aceleración no sea muy alta también.
USAMOS EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS para estimar aproximaciones de la aceleración de la gravedad. El método de los mínimos cuadrados consiste en minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas
residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los
datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger; entonces:
Para ello utilizamos la siguiente analogía: 2. 1/2
. n 2. . L .( ) T k L L g g
aplicamos logaritmo natural:( )
(
2.
)
1
( )
2
Ln T
Ln
Ln L
g
entonces tiene la forma de la ecuaciónlineal: 2 2
4
BY
B
AX
g
e
Entonces: TABLA Nº 4Todos los datos han sido tratados en el software EXCEL 2010 Nº DE
EVENTOS
L(m) (longitud)
T(s)
(periodo) Ln L Ln T Xi*Yi Xi2 01 0,1 0,6312 -2,302585093 -0,460133 1,059494 5,301898 02 0,2 0,9065 -1,609437912 -0,098164 0,157989 2,59029 03 0,3 1,1028 -1,203972804 0,0978524 -0,11781 1,449551 04 0,4 1,2913 -0,916290732 0,2556495 -0,23425 0,839589 05 0,5 1,4276 -0,693147181 0,3559947 -0,24676 0,480453 06 0,6 1,5845 -0,510825624 0,4602689 -0,23512 0,260943 07 0,7 1,6862 -0,356674944 0,5224775 -0,18635 0,127217 08 0,8 1,7964 -0,223143551 0,5857847 -0,13071 0,049793 09 0,9 1,8241 -0,105360516 0,6010867 -0,06333 0,011101 10 1 1,9023 0 0,6430637 0 0 -7,921438357 2,9638813 0,003149 11,11083
2 2 2
.
i(
i)
10(11.11083) ( 7.921438357)
i iD
N
X
X
111.1083 62.7491856437
48.3591143563
D
Luego calculamos: 1 ( ) k k k i i i i i i i A N X Y X Y D
1 (10*0.003149 ( 7.921438357)(2.9638813)) 48.3591143563 A 0.0206786251(0.03149 23.4782030154) A 0.486148128082
A
21
(
)
k k k k i i i i i i i i i iB
X
Y
X
X Y
D
1 ((11.11083)(2.9638813) ( 7.921438357)(0.003149)) 48.3591143563 B 0.0206786251(32.9311812645 0.024944609386) B 0.0206786251(32.9561258739) B0.681487371695
B
2 2 1.362974743394
39.4784176044
39.4784176044
10.102464353
3.90780073307
BY
AX
B
g
e
e
DIFERENCIA DE ERROR EN AMBOS METODOS: Como podemos observar es más efectivo el método de mínimos cuadrados por trabajar con varios puntos discretos.
10.102464353 9.894021401 0.208442952
3) Justifique: ¿Por qué se exige que el desplazamiento angular
para esta práctica sea menor a 10º con respecto a la posición de equilibrio?Si el ángulo de oscilación
no es pequeño, como exigen las condiciones de aproximarsen
solo asíS
.
l
, el movimiento del péndulo deja de ser armónico. Se dice quees anarmónico, y además de la frecuencia fundamental, aparecen otras que son múltiplos de ella. Como consecuencia, el periodo T medido experimentalmente depende del valor del ángulo inicial. El cálculo de T, más complejo que el de las fórmulas anteriores, da una expresión que consiste una suma de términos cada vez
más pequeños o desarrollo en serie de potencias. Quedándonos con los tres primeros términos que son los más importantes, se escribe:
2 4 1 9 (1 ...) 4 2 64 2 anarm arm T T sen
sen
Si hacemos el experimento se observará que para ángulos grandes, la amplitud θ va disminuyendo rápidamente durante las oscilaciones debido al rozamiento.
4) Explique: ¿Qué es el efecto anarmónico?
El movimiento anarmónico es el movimiento de péndulo plano para el cual la amplitud de movimiento no es pequeña y por consiguiente no se puede tratar como movimiento armónico simple.
VI. APLICACIONES EN LA INGENIERIA CIVIL:
¿DONDE NACIO EL PENDULO SIMPLE?
El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del
péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad. El movimiento pendular es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas fiscos como aplicación práctica al movimiento armónico simple. A continuación hay
tres características del movimiento pendular que son: péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico.
EL PÉNDULO DE NEWTON
El péndulo de Newton es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y movimiento. Está constituido por una serie de péndulos (normalmente 5) adyacentes. Cada péndulo está adjunto a un marco por medio de dos cuerdas de igual longitud inclinadas al mismo ángulo en sentido contrario la una con la otra. Si las cuerdas no son del mismo tamaño, las esferas estarán desequilibradas. Este arreglo de las cuerdas permite restringir el movimiento del
péndulo a un mismo plano.
.
El péndulo de Newton ha sido un popular juguete de escritorio desde su invención, nombrado y producido en 1967 por el actor inglés Simon Prebble. En un principio se vendía una versión en madera del péndulo por Harrods de Londres y luego se diseñó una versión cromada creada por el escultor y luego director de cine Richard Loncraine.EL PÉNDULO SIMPLE EN LA INGENIERÍA CIVIL
TAIPEI 101
Taipei 101 es un edificio de 509 metros de altura. Está diseñado para resistir fuertes vientos y pequeños terremotos. 36 columnas soportan el peso de la inmensa torre, 8 de las cuales son grandes columnas llenas de concreto, que hacen de esta torre de uno de las más estables rascacielos construidos hasta el momento.
Con el fin de minimizar las oscilaciones causadas por el viento en los puntos más altos del edificio, los ingenieros del Taipei 101 crearon un péndulo de 662 toneladas de acero que cuelga del 92º piso. Este péndulo se mueve para compensar los efectos del viento, y por lo tanto, la torre se mantiene estable.
LA RESONANCIA MECANICA
La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.
En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.
Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.
Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo.
LA CAÍDA DEL VIEJO PUENTE TACOMA NARROWS
E
l colapso inducido por el viento ocurrió el 7 de noviembre de 1940 a las 11.00, a causa de un fenómeno aerodinamico flutter o flameo en español. Leonard Coatsworth, un conductor sorprendido sobre el puente durante este hecho, lo relató así:Apenas había atravesado las torres, el puente comenzó a retorcerse en forma violenta de lado a lado. Antes de que pudiera darme cuenta, la inclinación se hizo de tal magnitud que perdí el control de mi coche. Frené y salí del vehículo, y caí de cara sobre el pavimento. Podía escuchar el sonido del hormigón resquebrajándose... El auto comenzó a desplazarse de lado a lado de la vía.
Me arrastré sobre mis manos y rodillas durante 450 m hasta llegar a las torres. Estaba muy agitado; mis rodillas estaban peladas y sangraban, tenía las manos lastimadas e hinchadas de intentar agarrarme al pavimento de cemento. Hacia el final, me arriesgué a ponerme de pie y correr en pequeños tramos. Una vez que alcancé la seguridad del puesto de peaje presencié el derrumbe final del puente y cómo mi coche se precipitaba sobre el Narrows.
VII. CONCLUSIONES:
Todas las formulas anteriores deben ser aplicadas siempre y cuando la amplitud de oscilación sea pequeña
10º
, así también disminuyen las pérdidas por rozamiento por ser menor la velocidad media del movimiento. Como las masa no es puntual, la longitud del péndulo es la distancia desde elpunto de sujeción hasta el centro de masas de la bola, es decir la longitud del hilo más el radio de la bola.
Para que el péndulo se comporte como un oscilador armónico, es necesario evitar cualquier rozamiento del hilo.
VIII. SUGERENCIAS:
Los resultados obtenidos experimentalmente no son muy variados a los resultados obtenidos teóricamente, esto tal vez se debe a que las mediciones realizadas se hacen utilizando sensores muy buenos.
Los instrumentos utilizados son óptimos para el aprendizaje de determinar la aceleración de la gravedad en el laboratorio.
IX. BIBLIOGRAFIA:
[1]Alonso M. y Finn. E. J. “Fisica II”
[2] Leyva N. Humberto, Física II, Primera Edición 1995, Distribuidora - Imprenta - Librería Moshera S.R.L.
[3] Ramírez S. Y Villegas R., “Investiguemos Física”, onceava edición, editorial voluntad S.A. 1989. Bogotá – Colombia.
[4] Sears- Zemansky- Young- Freedman, Física Universitaria, volumen2, Novena Edición, impreso en México.
[5] Miguel Piaggio Henderson, Fisica con ejercicios. Edición1998, La Católica del Perú.
