Prefacio
Este libro presenta los elementos de la teor´ıa de la relatividad. El texto se dirige especialmente a estudiantes de pregrado; pensando en ellos, he intentado presentar la teor´ıa as´ı como yo habr´ıa deseado leerla cuando la estudi´e por vez primera, hace a˜nos.
La primera parte del libro se dedica a la relatividad especial, y la segun-da parte a la general. La funsegun-damentaci´on de la teor´ıa especial, en el primer cap´ıtulo, se apoya fuertemente en el experimento de Michelson y Morley. Esta ruta es probablemente cuestionable desde un punto de vista hist´ori-co, pero tiene la ventaja de aprovechar las ense˜nanzas y sugerencias que se derivan de ese experimento, y lo hacen pedag´ogicamente valioso.
Para algunos la esencia de la relatividad especial est´a en las transforma-ciones de Lorentz, y la covariancia de las ecuatransforma-ciones de Maxwell resulta al final, como una virtud de las transformadas. Este punto de vista tiene ven-tajas pedag´ogicas, y por eso lo he seguido en los primeros cap´ıtulos, que se dedican a mostrar la estructura de la teor´ıa.
Pero tambi´en se puede pensar que la esencia del proyecto relativista es el empe˜no por extender el principio de la relatividad al electromagnetismo: que las ecuaciones de Maxwell sean las mismas para todos los observadores in-erciales; en busca de este objetivo se encuentran, como un paso intermedio, las transformaciones de Lorentz y la constancia de la velocidad de la luz. Me gusta este punto de vista, aunque admito que tiene dificultades did´acticas. El lector interesado puede ir al ap´endice, donde se ejecutan en detalle los pasos correspondientes.
Los cap´ıtulos 5 y 9 dan los fundamentos del c´alculo tensorial que se usa en la relatividad especial, y en la general, respectivamente. Si bien la teor´ıa especial puede estudiarse sin tensores, la general se entiende con el uso
de-cidido del c´alculo tensorial.
El cap´ıtulo 11 es crucial, y desarrolla la idea de que la gravitaci´on puede entenderse como un hecho geom´etrico. El 12 construye la ecuaci´on de los campos gravitacionales, de Hilbert-Einstein, y el cap´ıtulo 13 est´a dedicado a la soluci´on de Schwarzschild. En este ´ultimo cap´ıtulo se enfatiza el asunto de las part´ıculas en ca´ıda libre, que siguen trayectorias geod´esicas. As´ı se justifica que se haya dedicado antes todo un cap´ıtulo, el 10, al estudio de las l´ıneas geod´esicas.
La teor´ıa de la relatividad es la gloria de la f´ısica te´orica. Si hay un lec-tor que, inici´andose en el camino de esa teor´ıa, encuentra que este libro es de alguna ayuda, yo sentir´e que mi trabajo ha sido bien pagado.
Lorenzo de la Torre
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Indice General
Prefacio I
1. El origen de la relatividad 1
1.1. Corp´usculos y ondas . . . 3
1.2. El ´eter . . . 5
1.3. El experimento de Michelson y Morley . . . 8
1.4. La transformaci´on de Galileo . . . 11
1.5. La constancia de la velocidad de la luz . . . 12
1.6. El principio de la relatividad . . . 13
1.7. Homogeneidad del espacio y el tiempo . . . 14
1.8. El concepto de observador . . . 15
1.9. Transformaciones de coordenadas . . . 17
1.10. Las transformaciones de Lorentz . . . 20
2. Propiedades del espaciotiempo 31 2.1. Las separaciones espacial y temporal son relativas . . . 32
2.2. El intervalo es absoluto . . . 32
2.3. Clases de intervalos . . . 33
2.4. La simultaneidad es relativa . . . 36
2.5. Tiempo propio . . . 37
2.6. Longitud propia . . . 41
2.7. Comparaci´on de longitud propia y tiempo propio . . . 44
2.8. Un caso de simultaneidad . . . 44
2.9. La adici´on de velocidades . . . 45
2.10. La adici´on de aceleraciones . . . 49
2.11. Gr´aficos . . . 50
3. Mec´anica 61
3.1. La conservaci´on del momentum . . . 62
3.2. Las nuevas cantidades din´amicas . . . 65
3.3. La energ´ıa en la relatividad especial . . . 69
3.4. E = mc2 . . . 73
3.5. La velocidad l´ımite . . . 75
3.6. Las transformaciones de p , E , m , F . . . 76
3.7. Masa y potencial electrost´atico . . . 82
3.8. La aceleraci´on . . . 83
3.9. Movimiento circular . . . 85
4. El campo electromagn´etico 93 4.1. Transformaci´on de los campos E y B . . . 93
4.2. Dos cantidades invariantes . . . 99
4.3. El campo electromagn´etico total . . . 101
4.4. Una carga con velocidad uniforme . . . 102
4.5. Un alambre recto con corriente . . . 104
4.6. Anulando el campo menor . . . 108
4.7. La corriente el´ectrica . . . 110
4.8. Covariancia de la electrodin´amica . . . 111
5. Tensores en la relatividad especial 119 5.1. Sub´ındices y super´ındices . . . 119 5.2. Los vectores . . . 123 5.3. Otros tensores . . . 128 5.4. Matrices . . . 135 5.5. Ecuaciones tensoriales . . . 137 5.6. El principio de la relatividad . . . 139 5.7. Los tensores m0, xµ, dτ, Uµ, pµ, kµ y Jµ . . . 140
5.8. Aberraci´on de la luz y efecto Doppler . . . 143
6. La electrodin´amica manifiestamente covariante 147 6.1. El cuadripotencial Aµ . . . 148
6.2. Las dos ecuaciones de Maxwell . . . 150
6.3. La fuerza de Lorentz . . . 152
6.4. El tensor electromagn´etico . . . 155
6.5. La transformaci´on de los campos . . . 158
7. Las leyes de conservaci´on 161
7.1. La nube de part´ıculas . . . 161
7.2. Otras corrientes . . . 164
7.3. El tensor de energ´ıa y momentum . . . 165
7.4. ∂µTmecµν = 0 , ∂µTmecµν 6= 0 . . . 166
7.5. La corriente de momentum angular . . . 172
7.6. Generalizaci´on . . . 173
8. Din´amica lagrangiana 177 8.1. Teor´ıa lagrangiana para una part´ıcula . . . 177
8.2. Teor´ıa lagrangiana para coordenadas continuas . . . 185
8.3. El tensor energ´ıa-momentum . . . 188
8.4. Formulaci´on lagrangiana del campo electromagn´etico . . . 193
9. Transformaciones generales de coordenadas 199 9.1. Sub´ındices y super´ındices . . . 199 9.2. Transformaciones generales . . . 202 9.3. Los vectores . . . 203 9.4. Otros tensores . . . 207 9.5. La derivada . . . 210 9.6. Matrices . . . 213 9.7. Coordenadas esf´ericas . . . 214 9.8. La relatividad especial . . . 217 9.9. Ecuaciones tensoriales . . . 218 9.10. Covariancia general . . . 220
9.11. El elemento invariante de volumen . . . 221
9.12. El s´ımbolo de Christoffel . . . 222
9.13. La derivada covariante . . . 226
9.14. El tensor de Riemann . . . 230
9.15. Plano y curvo . . . 233
9.16. Coordenadas adaptadas . . . 236
9.17. Las identidades de Bianchi . . . 238
9.18. El tensor de Riemann es el ´unico . . . 240
9.19. Obligar a gµν a que tome el valor que queramos . . . 244
9.20. Dos transformaciones sucesivas . . . 246
10. Las geod´esicas 253
10.1. La ecuaci´on diferencial . . . 253
10.2. Par´ametros afines . . . 256
10.3. Constantes del movimiento . . . 258
10.4. Las ecuaciones algebraicas . . . 260
10.5. Derivada a lo largo de una curva . . . 267
10.6. Rαβµν y la curvatura . . . 269
11. El principio de equivalencia 273 11.1. El postulado de las geod´esicas . . . 274
11.2. El principio de Galileo . . . 275
11.3. Coordenadas geod´esicas . . . 276
11.4. El principio de equivalencia . . . 277
11.5. El acople m´ınimo . . . 281
11.6. Ejemplos . . . 282
12. La ecuaci´on del campo gravitatorio 287 12.1. El l´ımite newtoniano . . . 288
12.2. Los 10 potenciales gµν . . . 288
12.3. El potencial g00 en coordenadas cartesianas . . . 290
12.4. La ecuaci´on de Hilbert-Einstein . . . 292
12.5. Las coordenadas . . . 298
13. La soluci´on de Schwarzschild 301 13.1. Campo is´otropo est´atico . . . 301
13.2. La geometr´ıa del espaciotiempo . . . 307
13.3. Subespacios . . . 308
13.4. Relojes . . . 311
13.5. Corrimiento hacia el rojo . . . 316
13.6. Constantes del movimiento . . . 317
13.7. Una tercera constante del movimiento . . . 319
13.8. J y D en t´erminos de r, v y vϕ . . . 320
13.9. Las cuatro variables t, T, τ y λ . . . 323
13.10. La ca´ıda vertical . . . 324
13.11. Potencial efectivo . . . 328
13.12. Puntos de retorno . . . 332
13.13. Eliminaci´on del par´ametro af´ın λ . . . 335
13.14. La variable u . . . 336
13.15. Deflexi´on de un rayo de luz . . . 338
13.17. Coordenadas temporaloides y espacialoides . . . 344
13.18. El cono de la luz . . . 345
13.19. Singularidades . . . 347
13.20. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres . . . 349
A. La constancia de la velocidad de la luz 357 A.1. El principio de la relatividad . . . 358
A.2. Transformaciones . . . 360
A.3. La velocidad de la luz . . . 361
A.4. Las transformaciones de Lorentz . . . 366
A.5. Regreso al campo . . . 367
A.6. Conclusiones . . . 369
Cap´ıtulo 1
El origen de la relatividad
En este primer cap´ıtulo nos proponemos construir las primeras bases de la teor´ıa especial de la relatividad. Comenzamos mostrando algunas de las di-ficultades en que se hallaba la f´ısica a fines del siglo XIX; es all´ı, en la crisis del electromagnetismo, donde se encuentra el origen hist´orico de la relativi-dad. Antes de revisar las dificultades de la f´ısica en esa ´epoca, conviene que presentemos un recuento breve de la pol´emica ondas-corp´usculos que acom-pa˜naba a la ´optica desde siglos atr´as.
Para darle fundamento a la teor´ıa ondulatoria de la luz, los cient´ıficos de los siglos XVIII y XIX se apoyaron en aquella otra onda que conoc´ıan bi-en, el sonido, en un intento por sacar de all´ı los elementos conceptuales que pudieran servirles para la luz. Ellos ten´ıan muy claro que la onda ac´ustica se propaga en medios el´asticos como el aire, el agua, los cuerpos s´olidos, etc., y que, sin el medio, la onda no puede propagarse. Para trasladar este concepto al estudio de la luz, era necesario aceptar la existencia de un medio (al que llamaron ´eter) que soportara la propagaci´on de la onda luminosa.
El concepto del ´eter penetr´o con dificultad en la f´ısica te´orica; para ajus-tarlo al conocimiento de la ´epoca, los cient´ıficos tuvieron que admitir que ´el deb´ıa tener un conjunto de propiedades extra˜nas, absurdas y contradictorias. A´un as´ı, los f´ısicos se aferraron a su creencia en el ´eter, ese medio curioso que cumpl´ıa una doble funci´on: de un lado, supuestamente soportaba a las ondas electromagn´eticas, y de otro lado era como una corporizaci´on del es-pacio absoluto en que se apoyaba la mec´anica newtoniana. Era importante que la idea del ´eter tuviera un respaldo experimental, y el instrumental ´opti-co de fines del siglo XIX ´opti-contaba ya ´opti-con la precisi´on suficiente para medir la velocidad v que nuestro planeta supuestamente ten´ıa respecto al ´eter. El experimento de Michelson y Morley dio un resultado sorpresivo: v debe ser
cero. Este resultado no es il´ogico, pero s´ı es incre´ıble.
Nuestra presentaci´on se basa fuertemente en el experimento de Michelson y Morley. Hemos preferido esta ruta did´actica porque el an´alisis del experi-mento trae unas ventajas pedag´ogicas que no podemos despreciar. Tal como veremos, el estudio de este experimento dispara una variedad de ideas sug-estivas que se conectan con el principio de la constancia de la velocidad de la luz y con el principio de la relatividad. No se nos escapa que nuestra presentaci´on es cuestionable, en cuanto los historiadores aceptan1 que el
ex-perimento no fue decisivo en las motivaciones que tuvo el joven Einstein en aquellos a˜nos de creaci´on de la teor´ıa.
El principio de la relatividad, que dice que lo que ocurre para un observador inercial tambi´en puede ocurrir para cualquier otro observador inercial, lo aceptaron los cient´ıficos desde el siglo XVIII, cuando se dieron las bases de la ciencia. Pero lo aceptaban ´unicamente para experiencias de mec´anica, co-mo las que se realizan con resortes, p´endulos, planos inclinados, etc. Hab´ıa otro conjunto de experiencias para las cuales no cre´ıan que valiera el prin-cipio de la relatividad: las de la electricidad y el magnetismo. ¿Por qu´e los cient´ıficos anteriores a 1905 pensaban que el Principio no se aplica a los fen´omenos electromagn´eticos? Porque ellos cre´ıan, equivocadamente, que el espacio y el tiempo tienen una estructura galileana. La teor´ıa de la rela-tividad encuentra la verdadera estructura y demuestra que, dentro de esta estructura, el principio de la relatividad s´ı abarca los fen´omenos del electro-magnetismo, asuntos que estudiaremos en los cap´ıtulos 4 y 6.
Se puede pensar que la parte fuerte de la teor´ıa de la relatividad es en-contrar la estructura verdadera del espaciotiempo y que, despu´es, la teor´ıa electromagn´etica resulta v´alida para todos los observadores inerciales; este es el punto de vista que se sigue en el cap´ıtulo presente. Pero tambi´en se
1Einstein conoci´o antes de 1905 los resultados del experimento de Michelson y Morley.
Decimos esto porque se sabe que ´el hab´ıa estudiado el art´ıculo [1] de Lorentz de 1895 en el que el f´ısico holand´es discut´ıa en detalle los resultados del experimento. El experimento impresion´o a muchos, pero no a Einstein. ¿Por qu´e no? Porque ´el ya sab´ıa que el resul-tado del experimento ten´ıa que ser nulo, simple y llanamente porque el ´eter era, para ´el, inexistente. El Michelson-Morley no fue lo que condujo a Einstein hacia la relatividad. Cuando, a˜nos despu´es, le preguntaron a Einstein sobre las motivaciones que hab´ıa tenido para formular la relatividad especial, respondi´o que la aberraci´on y el experimento de Fizeau le mostraron el camino, y que ellos dos “fueron suficientes”. Estas dos palabras de Einstein son, seg´un Pais, “la declaraci´on m´as crucial que Einstein jam´as hiciera acerca de los or´ıgenes de la teor´ıa de la relatividad”[?].
puede pensar que la parte fuerte de la teor´ıa es su motivaci´on: que las leyes electromagn´eticas sean v´alidas para todos los observadores inerciales; y que para darle cumplimiento a esa motivaci´on es necesario averiguar cu´al es la estructura verdadera del espaciotiempo. Este segundo punto de vista se sigue en el ap´endice.
1.1
Corp´
usculos y ondas
La ´optica moderna naci´o en el siglo XVII, cuando los cient´ıficos lograron controlar, en el laboratorio, los fen´omenos b´asicos de la luz. Animados por el esp´ıritu experimental, estudiaron la propagaci´on rectil´ınea de un rayo de luz, la descomposici´on espectral, la polarizaci´on, difracci´on e interferencia. Esta fase inicial de la ´optica se dio dentro de un debate intenso respecto a la naturaleza de la luz, ya que unos cre´ıan que la luz estaba compuesta de corp´usculos, mientras otros prefer´ıan pensar a la luz como un fen´omeno ondulatorio.
La interpretaci´on ondulatoria mostr´o su eficacia al explicar los fen´omenos de difracci´on y de interferencia en l´aminas delgadas. La base te´orica de la visi´on ondulatoria est´a en el principio de Huygens, seg´un el cual todo punto
de un frente de onda origina una onda esf´erica secundaria, y el frente de on-da est´a formado por la envolvente de las onon-das secunon-darias emition-das por el frente anterior. La potencia explicativa de este principio se manifest´o
r´apida-mente, porque condujo a una visi´on cuantitativa y exacta de la interferencia y la difracci´on, y permiti´o deducir, con argumentos elementales, la ley de refracci´on de Snell. La interpretaci´on ondulatoria de la luz tuvo numerosos adeptos, aunque se debe tener en cuenta que la palabra onda no significaba lo mismo para todos. Huygens, por ejemplo, no conceb´ıa la onda como una perturbaci´on continua, con longitud de onda, sino m´as bien como pulsos de duraci´on finita.
Los primeros seguidores de la interpretaci´on ondulatoria se encontraron con un escollo que no pudieron vencer, que es la polarizaci´on de la luz. La teor´ıa ondulatoria inicial, con ondas longitudinales, no pudo explicar la po-larizaci´on, ya que ´esta pone de manifiesto unas propiedades perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on. En cambio, los seguidores de la interpretaci´on corpuscular s´ı ten´ıan al menos un intento de explicaci´on, propuesto por New-ton: “la luz tiene lados”, enunciado que hoy se interpreta como si ´el hubiera querido decir que los corp´usculos luminosos son ovalados y se pueden ajustar
as´ı a las exigencias de las placas de polarizaci´on.
Que la teor´ıa ondulatoria inicial fuera incapaz de explicar la polarizaci´on de la luz incomodaba a muchos, y fue lo que condujo a Newton a preferir la teor´ıa corpuscular. Es justo anotar, sin embargo, que ´el nunca tom´o partido decidido por ninguna de las dos teor´ıas de la luz, y por eso carece de funda-mento la creencia, altamente generalizada, de que Newton fuera el padre de la teor´ıa corpuscular.
Uno de los seguidores m´as importantes de la interpretaci´on corpuscular fue Bradley quien, con una serie de observaciones astron´omicas, descubri´o la aberraci´on de la luz de las estrellas. Interpretando la luz como corp´usculos, el ingl´es explic´o este efecto, midi´o la velocidad de la luz y demostr´o, por primera vez, que la Tierra se mueve anualmente alrededor del Sol. Estas ob-servaciones astron´omicas y la explicaci´on subsecuente aportada por Bradley, se dieron en un per´ıodo dominado por la interpretaci´on corpuscular. En efec-to, ´esta se impuso durante casi todo el siglo XVIII.
Pero en los primeros a˜nos del XIX resurgi´o vigorosamente la idea ondu-latoria, debido, en parte, a la gran precisi´on, nunca antes vista, que se es-taba logrando en los experimentos de interferencia y difracci´on. A Young se le ocurre una idea que habr´ıa de cambiar radicalmente el rumbo de la ´optica: la polarizaci´on se entiende f´acilmente si las ondas de la luz no son longitudinales, sino transversales. Fresnel toma esta idea y en poco tiempo reconstruye toda la teor´ıa de interferencia, difracci´on, refracci´on y polar-izaci´on a partir de ondas transversales. Renovada, la teor´ıa ondulatoria fue capaz de explicar una gran variedad de fen´omenos de interferencia y difrac-ci´on, y tambi´en pudo hacer predicciones, como por ejemplo esta: Si un haz de luz que ha pasado por un agujero bien peque˜no se dirige hacia un disco opaco, como una moneda por ejemplo, entonces detr´as del disco, en el eje ´optico, no todo es obscuridad, sino que en cierto lugar deber´a aparecer un punto brillante; en la zona de la sombra debe aparecer un punto brillante. Una predicci´on de estas, tan puntual y precisa, no puede pasar desapercibida a los rivales de la teor´ıa ondulatoria, entre los que se contaba Poisson. Este matem´atico y f´ısico franc´es piensa que no puede haber un punto brillante en la regi´on de las sombras y que, por consiguiente, la predicci´on debe estar equivocada.
La teor´ıa undulatoria substituy´o a la corpuscular tan s´ubitamente, que po-dr´ıamos decir que el cambio se efectu´o “de un d´ıa para otro”. Fresnel
presen-ta su teor´ıa ondulatoria a la Academia Francesa en 1815. Poisson se opone a esta teor´ıa y, para atacarla, trae a cuento la predicci´on del punto brillante en la sombra de la moneda. Arago recibe la objeci´on de Poisson como un reto y se dispone a montar un experimento para establecer si tal punto brillante verdaderamente existe o no; y mostr´o a los acad´emicos pasmados, en una escena memorable de la historia de la f´ısica, el puntico brillante en medio de la sombra. La teor´ıa ondulatoria fue acatada desde ese momento.
1.2
El ´
eter
Anotamos arriba que el sonido era bien conocido y se le entend´ıa, correc-tamente, como las vibraciones longitudinales de un medio material, bien sea gaseoso, l´ıquido o s´olido. Tambi´en apuntamos que los primeros ´opticos partidarios de la teor´ıa ondulatoria trasladaron a la luz las propiedades cono-cidas del sonido: la luz debe de ser una vibraci´on longitudinal. Pero, ¿qu´e es lo que vibra en los fen´omenos luminosos? Hoy por hoy se acepta que lo que vibra es el campo electromagn´etico, y que esta ondulaci´on puede darse en el vac´ıo, pero en la cultura de los siglos anteriores la idea del vac´ıo era dif´ıcil de aceptar. Que el espacio entre los astros pueda estar vac´ıo era inadmisible, porque los hombres ten´ıan horror a la idea del vac´ıo. Prefirieron pensar en una substancia que rellena tal espacio, un medio a trav´es del cual viajan los astros y la luz: estas son las caracter´ısticas principales de lo que se ha denominado2 el ´eter3.
No hay una definici´on precisa4 de en qu´e consiste este medio transmisor de
la luz, el ´eter, pero podemos rese˜nar algunas de sus propiedades. El ´eter debe invadir todo el universo, porque de lo contrario no podr´ıamos recibir la luz que proviene de las estrellas. Debe ser suficientemente r´ıgido para transmitir las ondas con una velocidad tan grande. Un medio con estas caracter´ısticas debe causar rozamiento en los planetas, motivando as´ı un frenado, un retar-do en sus trayectorias. Sin embargo, un frenaretar-do acumularetar-do ser´ıa f´acilmente
2La palabra ´eter tiene varios significados. El que estamos discutiendo es el ´eter
lu-min´ıfero. Este se debe distinguir del ´eter et´ılico, que es un gas usado en medicina como antiespasm´odoco y anest´esico.
3La teor´ıa corpuscular se basa en la supuesta existencia de las part´ıculas lumin´ıferas;
dado que ´estas podr´ıan perfectamente propagarse en el vac´ıo, la teor´ıa corpuscular no necesita ´eter. Pero la ondulatoria es hermana del ´eter.
4El Diccionario de la Real Academia Espa˜nola de 1780 trae esta definici´on de ´eter: /La
esfera, ´o cielo del fuego/Se toma tambien muy freq¨uentemente por la substancia celeste y pura desde la atm´osfera arriba, por la cual caminan los astros.
detectable en las observaciones astron´omicas y, dado que los astr´onomos no han notado el m´as m´ınimo indicio de frenado, se concluye que el ´eter debe ser un gas delgad´ısimo, muy sutil: cuando los astros viajan en el espacio no lo notan, porque el ´eter se cuela a trav´es de ellos libremente, as´ı “como la brisa fluye entre los ´arboles con poca o ninguna oposici´on”. Mientras la luz sea ondas longitudinales, el ´eter como un gas sutil no est´a mal; pero, tal co-mo heco-mos mencionado, la teor´ıa ondulatoria pas´o de ondas longitudinales a transversales y aqu´ı hay un problema, ya que los gases no transmiten ondas transversas. Para que el ´eter transmita las nuevas ondas transversas de la luz, debe ser un s´olido. Y como la velocidad de la luz es tan alta, el s´olido debe ser muy el´astico y muy r´ıgido. En conclusi´on, el ´eter lumin´ıfero es una substancia que no atrae ni es atra´ıda gravitacionalmente, inm´ovil, transpar-ente, s´olida, r´ıgida, el´astica y se cuela entre los objetos m´oviles sin rozarlos. Debemos entender que un medio transmisor tan contradictorio se presta a m´ultiples interpretaciones. Se propusieron toda clase de explicaciones. Fres-nel5 dice que un medio ´optico de ´ındice de refracci´on n, cuando se mueve
con velocidad v, arrastra parcialmente al ´eter consigo y le imparte6 una
ve-locidad (1 − n−2)v. Para Stokes el ´eter es completamente arrastrado por un cuerpo en movimiento. Lorentz propone que no hay arrastre de ´eter, sino que hay un par´ametro temporal efectivo dado por t0 = t−vx/c2. Planck dice
que probablemente el ´eter es compresible y se acumula con gran densidad alrededor de los cuerpos grandes.
En el siglo XIX se dan los grandes avances del electromagnetismo, no s´olo en el lado experimental, sino adem´as en el te´orico. A fines de ese siglo se pro-duce una compilaci´on de la teor´ıa electromagn´etica, una reuni´on expresada en las cuatro ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones hacen una predicci´on definitiva: debe haber ondas electromagn´eticas, y ´estas tienen una velocidad
c que es la misma en todas las direcciones. Con esto queremos decir que la
velocidad c de un pulso de luz tiene una magnitud c que no depende de la direcci´on del vector c. En pocas palabras, la velocidad de la luz es is´otropa. Pero hay un detalle crucial acerca de esta isotrop´ıa, y es que como las ecua-ciones de Maxwell se consideraban v´alidas ´unicamente para un observador inercial O en reposo respecto al ´eter, la velocidad de la luz se consideraba,
5Fresnel fue quien m´as empe˜no puso en fundamentar el concepto del medio transmisor
de la onda luminosa, y se le considera el padre de la hip´otesis et´erea. Es ´el quien introduce la idea del ´eter en reposo absoluto en 1818, y quien hace los esfuerzos iniciales para someterlo a la observaci´on experimental.
tambi´en, que era is´otropa ´unicamente respecto a O: se pensaba que para los otros observadores inerciales la velocidad de la luz no pod´ıa ser is´otropa. Veamos esto.
Consideremos un observador inercial O0 que se mueve con velocidad v re-specto a O. Llamaremos c0 a la velocidad del pulso de luz respecto a O0. Quiz´as no sea equivocado pensar que
c0 = c − v (1.1)
Esta ecuaci´on implica que:
c02= c2+ v2− 2vc cos θ , (1.2)
donde θ es el ´angulo que se forma entre c y v . La Figura 1.1 muestra los vectores c, v y c0, el ´angulo θ, y el ´angulo θ0 que se forma entre c0 y v . En esta figura se ve claramente que c cos θ = v + c0cos θ0. Remplazando este valor en el lado derecho de (1.2) se llega a:
c02 = c2 + v2 − 2v(v + c0cos θ0)
c02 + 2v cos θ0c0 − (c2− v2) = 0
Esta ´ultima es una ecuaci´on de segundo grado, y sus dos soluciones son
c0 = c " −v ccos θ 0 ± r 1 −v2 c2 sen2θ0 #
La soluci´on con el signo inferior da una c0 negativa, y por eso es inaceptable. Queda la soluci´on del signo superior:
c0 = c " −v ccos θ 0 + r 1 −v2 c2 sen2θ0 # (1.3)
anis´otropa. En O se cumplen las ecuaciones de Maxwell y por consiguiente la velocidad de la luz es is´otropa. En O0la velocidad de la luz es anis´otropa, o sea que para ese observador no se deben cumplir las ecuaciones de Maxwell. Hemos llegado a una idea importante: si la f´ormula (1.1) es v´alida, las
ecua-ciones de Maxwell se cumplen ´unicamente para un observador inercial. Este
observador es especial, privilegiado.
Ser´ıa interesante averiguar la velocidad v de la Tierra respecto a O. Si dec-imos que O0 es un laboratorio fijo en la Tierra, la ecuaci´on (1.1) podr´ıa utilizarse para medir v: la anisotrop´ıa de la velocidad c0 indicar´ıa la mag-nitud de v. La gran dificultad experimental se centra en el hecho de que en (1.1) ocurre la fracci´on v/c que, presumiblemente, es muy peque˜na. En efecto, las velocidades involucradas con nuestro planeta son muy bajas en comparaci´on con c; por ejemplo, la velocidad de la Tierra respecto al Sol es tan s´olo 30 km/s, es decir, 104 veces m´as peque˜na que c. Se necesitar´ıa un
instrumental sumamente fino para averiguar la v de la Tierra a trav´es de la f´ormula (1.1). Ocurr´ıa, felizmente, que a fines del siglo XIX los instrumentos ´opticos ya hab´ıan alcanzado un nivel de precisi´on suficiente.
1.3
El experimento de Michelson y Morley
El interfer´ometro de Michelson est´a capacitado para mostrar la supuesta anisotrop´ıa de la velocidad c0. La luz incide sobre un espejo semitranspar-ente P colocado a 45o, de modo que en P emergen dos rayos perpendiculares.
Uno de los rayos va hacia el punto A, donde hay un espejo; el otro rayo va hacia el punto B, donde hay otro espejo. Los rayos reflejados en los espejos
A y B se re´unen finalmente en una pantalla de observaci´on, como muestra la Figura 1.2.
En la pantalla se observa la interferencia de las se˜nales que provienen de los espejos que hay en A y B. Llamemos t0
P AP al tiempo total que tarda la luz para recorrer el trayecto P AP , y t0P BP para el trayecto P BP . La interferencia en la pantalla depende del retardo t0
P AP − t0P BP de una se˜nal respecto a la otra. Si t0
P AP− t0P BP es un n´umero entero de per´ıodos, hay in-terferencia constructiva y la pantalla muestra mucho brillo, alta intensidad. Y si t0
P AP − t0P BP es un n´umero impar de semiper´ıodos, se observa interfer-encia destructiva: cero intensidad y pantalla opaca. En el experimento se usa un interfer´ometro cuyos brazos P A y P B tienen la misma longitud L. Si la velocidad c0 de la luz fuera la misma en todas las direcciones, la luz
demor-ar´ıa el mismo tiempo recorriendo los trayectos P AP y P BP , y se observdemor-ar´ıa interferencia constructiva en la pantalla. Pero la f´ormula (1.3) afirma que c0 es anis´otropa y, en consecuencia, el retardo t0
P AP − t0P BP tambi´en debe ser anis´otropo: esto significa que el grado de interferencia en la pantalla debe depender de la orientaci´on que se le d´e al interfer´ometro.
Veamos el an´alisis que hace un observador en reposo respecto a la Tier-ra. Llamamos α al ´angulo formado por v y la direcci´on P A, como muestra la Figura 1.2. Para el recorrido P A hacemos θ0= α en la f´ormula (1.3):
c0 = c " −v c cos α + r 1 −v2 c2 sen2α #
El tiempo que demora la luz en este trayecto es L/c0:
t0P A = L c " −v ccos α + r 1 −v2 c2 sen2α #−1
Para el trayecto AP hacemos θ0 = α + π en la f´ormula (1.3). Para el trayecto
P B hacemos θ0 = α + π/2 y para BP se tiene θ0 = α − π/2. Llegamos a
t0AP = L c " +v ccos α + r 1 −v2 c2 sen2α #−1 t0P B = L c " +v c sen α + r 1 −v2 c2 cos2α #−1 t0BP = L c " −v c sen α + r 1 −v2 c2 cos2α #−1 El retardo t0P AP − t0P BP es la diferencia (t0P A+ t0AP) − (t0P B+ t0BP): t0P AP − t0P BP = 2L/c 1 − v2/c2 "r 1 −v2 c2 sen2α − r 1 −v2 c2 cos2α # (1.4)
Al mirar esta ecuaci´on, concentremos nuestra atenci´on en tres de las vari-ables que en ella participan: t0
P AP − t0P BP corresponde al grado de interfer-encia, α es la orientaci´on que se le da al interfer´ometro y v es la velocidad de la Tierra. Escogiendo un α y midiendo el grado de interferencia, deber´ıamos ser capaces de deducir el valor de v. El problema es que el grado de inter-ferencia no es una cantidad f´acil de medir. Por tal motivo, no es aconsejable que se use un s´olo valor de α, sino permitir que α tome todos los valores dentro de un rango continuo. En tal caso nos interesa tomar la derivada de
t0 P AP − t0P BP respecto a α: d dα(t 0 P AP − t0P BP) = −(Lv2/c3) sen 2α 1 − v2/c2 r 1 1 −v2 c2 sen2α + r 1 1 −v2 c2 cos2α (1.5)
Podr´ıamos utilizar esta ecuaci´on si α cambiara a medida que pasa el tiempo, es decir, si el interfer´ometro, como un todo, se hiciera rotar continuamente. En tales circunstancias el patr´on de interferencia deber´ıa ir cambiando a medida que pasa el tiempo. Michelson y Morley efectivamente montaron el interfer´ometro sobre un “lago” de mercurio, lo que les permiti´o rotar-lo suave y continuamente. ¿Qu´e esperaban elrotar-los? Elrotar-los esperaban que, a medida que rotaran el espectr´ometro, el patr´on de interferencia fuera cam-biando paulatinamente. Pero, para su sorpresa, el patr´on de interferencia permaneci´o inmutable, sin mostrar ning´un cambio paulatino. Esto significa que la derivada (1.5) tiene que ser cero para todos los valores del ´angulo α. Haciendo (1.5) igual a cero se llega a:
v2 r 1 −v2 c2 cos2α = −v2 r 1 −v2 c2 sen2α (1.6)
Esta ecuaci´on corresponde al resultado experimental. Hay dos posibilidades: La primera es v = 0. La segunda posibilidad es v 6= 0; pero si v 6= 0 la ecuaci´on (1.6) es absurda; no puede ser v´alida, porque implica que una can-tidad positiva iguale a una cancan-tidad negativa.
la Tierra estar´ıa en reposo respecto al ´eter; la Tierra ser´ıa ese ´unico y priv-ilegiado observador en el que se cumplen las ecuaciones de Maxwell, ese observador en el que la velocidad de la luz es is´otropa. Eso es incre´ıble. Como el an´alisis de los resultados del experimento conduce a una conclusi´on incre´ıble, nos vemos impulsados a pensar que alguna de las suposiciones en que se basa el an´alisis est´a probablemente equivocada. Volviendo sobre los pasos del estudio reci´en hecho, nos damos cuenta de que la suposici´on (1.1) es el paso d´ebil, el que podemos abandonar. De ahora en adelante vamos a pensar que (1.1) es falsa. En nuestro haber tenemos un hecho experimental y una gu´ıa te´orica:
El hecho experimental: la velocidad de la luz es is´otropa respecto a la Tierra. La gu´ıa te´orica: la ecuaci´on (1.1) es falsa.
El hecho experimental trae consigo una pregunta inmediata: ¿acaso el plan-eta Tierra es el ´unico observador respecto al cual la velocidad de la luz es is´otropa? Nos parece prudente responder de esta manera: No vemos ninguna raz´on que nos lleve a pensar que este planeta es especial; si la velocidad de la luz es is´otropa respecto al observador inercial O0, se espera que tambi´en sea is´otropa respecto a todos los otros observadores inerciales O00, O000, ...etc: todas las velocidades c, c0, c00, c000, ... etc. deben ser is´otropas. Demos un salto adicional: supongamos que c = c0 = c00 = c000... El salto, en palabras, dice que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales. Este enunciado es El Principio de la Constancia de la Velocidad de la Luz. De otro lado, la frase escrita en bastardilla en la p´agina 8 se˜nala que la ecuaci´on (1.1) es un impedimento; si ahora adoptamos la gu´ıa te´orica reci´en mencionada, desaparece el impedimento y se nos abre un camino interesante:
la posibilidad de que las ecuaciones de Maxwell sean v´alidas para todos los observadores inerciales.
1.4
La transformaci´
on de Galileo
El siguiente conjunto de ecuaciones:
t0 = t
recibe el nombre de la transformaci´on de Galileo7. Tomando una derivada temporal se llega a la f´ormula galileana para la adici´on de velocidades:
u0 = u − v , (1.8)
y tomando otra derivada temporal:
a0 = a (1.9)
Estas ecuaciones son tradicionales en la f´ısica cl´asica. Han tenido gran pres-tigio por dos razones: primero, porque la ecuaci´on (1.8) es cercana a nuestra intuici´on, nos parece “natural” y razonable; y segundo, porque la teor´ıa de la mec´anica newtoniana es invariante bajo las transformaciones (1.7). N´otese de paso que haciendo u = c y u0 = c0, la ecuaci´on (1.8) se convierte en (1.1). Esto muestra que en el fondo de (1.1) est´a (1.8); dado que queremos abandonar (1.1), lo que verdaderamente queremos abandonar es la transfor-maci´on de Galileo (1.8). La teor´ıa de la relatividad repudia la transfortransfor-maci´on de Galileo.
Queremos substituir la transformaci´on de Galileo por otra que est´e de acuer-do con la isotrop´ıa de u0 que resulta en el experimento de Michelson y Mor-ley. Para encontrar la nueva transformaci´on nos basaremos en estos tres postulados:
1) El Principio de la Constancia de la Velocidad de la Luz. 2) El Principio de la Relatividad.
3) El Principio de la Homogeneidad del Espacio y el Tiempo.
(1.10)
Las pr´oximas secciones est´an dedicadas a la descripci´on de estos tres postu-lados.
1.5
La constancia de la velocidad de la luz
La velocidad de la luz en el vac´ıo es la misma para todos los observadores inerciales: ´este es el principio de la constancia de la velocidad de la luz.
El sentido de este principio se puede entender con el siguiente ejemplo. Supongamos que alguien apunta una linterna hacia el norte, la prende, y un instante despu´es la apaga; de este modo se forma un pulso de luz que viaja hacia el norte. La velocidad de este pulso es 300.000 km/s. Pensemos en un observador inercial que tambi´en viaja hacia el norte en un cohete de alta velocidad; si este observador mide la velocidad del pulso de luz, obtiene 300.000 km/s. Pensemos en otro observador inercial que viaja hacia el sur en un cohete de alta velocidad; si este observador mide la velocidad del pul-so de luz, obtiene 300.000 km/s. Pensemos a´un en otro observador inercial que viaja hacia el oriente; si mide la velocidad del pulso de luz, obtiene 300.000 km/s. Todos los observadores inerciales, los lentos, los veloces, los que viajan en esta direcci´on, los que viajan en esa otra direcci´on, todos ellos registran que la velocidad del pulso de luz es 300.000 km/s. Cualquiera que sea el estado de movimiento del observador inercial, ´el siempre registra que la velocidad del pulso es 300.000 km/s. Si el observador persigue al pulso con intenci´on de darle alcance, nunca lo logra, porque el pulso se aleja con velocidad 300.000 km/s. Y si el observador huye del pulso de luz, de nada le vale viajar muy r´apido porque el pulso siempre tendr´a velocidad 300.000 km/s.
El principio que estamos discutiendo afirma que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad relativa entre el observador y la fuente de luz. Si este principio es v´alido, el resultado del experimento de Michelson y Mor-ley no presenta ninguna paradoja y es enteramente entendible: la luz tiene la misma velocidad en los dos brazos del interfer´ometro y por consiguiente tarda lo mismo en recorrer ambas rutas, o sea que las franjas de interferencia no tienen por qu´e mostrar variaciones. No hay tal cosa como “la velocidad de la luz respecto al ´eter”, ´este queda devaluado y se puede incluso considerar la posibilidad de erradicarlo de la f´ısica.
1.6
El principio de la relatividad
La experiencia de viajar en autom´ovil en l´ınea recta y a velocidad constante es muy simple: no se siente nada especial. Uno puede comer, tomar caf´e y recoger un l´apiz que se cay´o, del mismo modo como se realizan esas activi-dades en casa. En realidad las experiencias en el carro y en casa son iguales. Estamos poniendo de manifiesto una de las observaciones m´as importantes de la f´ısica, al establecer que todos los observadores inerciales son equiva-lentes. Esto, que ning´un observador inercial es preferido, es lo que afirma el
Principio de la Relatividad: lo que ocurre para un observador inercial tam-bi´en puede ocurrir para cualquier otro observador inercial. Las leyes de la f´ısica son las mismas para todos los sistemas inerciales.
¿C´omo se aplica este principio, de qu´e modo se implementa en las ecua-ciones de la f´ısica? Para responder esta pregunta presentemos un ejemplo: la ley de la conservaci´on del momentum debe ser v´alida en todos los sistemas inerciales. Esta ley de conservaci´on se expresa mediante una ecuaci´on; lo que el principio de la relatividad afirma es que tal ecuaci´on se cumple para todos los observadores inerciales. M´as concretamente, pensemos en el choque de dos part´ıculas, llamando paal momentum total antes del choque, y pdal mo-mentum total despu´es del choque. La ley de la conservaci´on del momo-mentum dice que
pa = pd (1.11)
Esto es lo que registra un observador inercial O. Ahora introducimos otro observador inercial O0. El nuevo observador registra que el momentum antes del choque es p0
a, y despu´es p0d; este observador tambi´en registra que se
conserva el momentum:
p0a = p0d (1.12)
N´otese que las ecuaciones (1.11) y (1.12) tienen la misma forma. La ecuaci´on que expresa la ley de conservaci´on tiene la misma forma para todos los observadores inerciales. Este ejemplo del choque de dos part´ıculas nos ha servido para ver la manera como se expresa, formalmente, el principio de la relatividad: las ecuaciones que representan las leyes de la f´ısica tienen la misma forma para todos los observadores inerciales.
1.7
Homogeneidad del espacio y el tiempo
La observaci´on directa nos permite afirmar que la Luna da una vuelta alrede-dor de la Tierra en 28 d´ıas, y ´esta da una vuelta alredealrede-dor del Sol en 365 d´ıas. Si el sistema solar en pleno se trasladara a otro lugar B del universo, all´a funcionar´ıa como funciona aqu´ı, sin ninguna modificaci´on: la “nueva” Luna tomar´ıa 28 d´ıas para darle una vuelta a la “nueva” Tierra, y ´esta dar´ıa una vuelta alrededor del “nuevo” Sol en 365 d´ıas. Pensamos que el sistema solar funcionar´ıa lo mismo en un lugar A y en otro B. Respecto al tiempo
tenemos una idea similar: si el sistema solar se trasladara en pleno al futuro o al pasado, funcionar´ıa como funciona ahora, sin ninguna modificaci´on. Conviene anotar que las ideas reci´en expresadas se basan en la suposici´on de que el sistema solar est´a aislado del exterior, o al menos suficientemente aislado. En general, cualquier sistema aislado funcionar´ıa lo mismo si se le trasladara en el espacio, y tambi´en funcionar´ıa lo mismo si se le trasladara en el tiempo. Dicho de otra manera, todos los puntos del espacio son equiv-alentes, y todos los instantes son equivalentes: ´este es el principio de la homogeneidad del tiempo y el espacio.
Las interacciones que se dan entre los objetos f´ısicos que pueblan el universo hacen que en un lugar ocurran fen´omenos diferentes de los que ocurren en otro lugar: no es lo mismo pararse en la superficie de la Luna y pararse en la superficie de la Tierra. La diferencia entre estos dos lugares no indica que esos puntos del espacio sean inequivalentes; la diferencia proviene de las interacciones que se dan entre los objetos f´ısicos que hay en el universo.
1.8
El concepto de observador
Las coordenadas (x, y, z) de los puntos del espacio se pueden establecer con relojes y pulsos de luz, como explicaremos enseguida. En un punto del espa-cio tenemos un reloj; enviamos un pulso de luz a otro punto donde hay un espejo, y esperamos a que el pulso regrese al punto inicial. Registramos el tiempo ∆t que toma el pulso en el viaje total de ida y vuelta, y finalmente decimos que la distancia entre los dos puntos es 12c∆t. De esta manera se
establecen las distancias entre todos los puntos y podemos calibrar o marcar las escalas de los tres ejes cartesianos. Todo punto en el espacio se caracter-iza por medio de sus tres coordenadas (x, y, z).
Ahora suponemos que en todo punto del espacio hay un reloj en reposo, form´andose as´ı una gran red tridimensional, r´ıgida e infinita. A esta gran malla r´ıgida de relojes se le llama observador. Si suponemos que todos los relojes son igualmente construidos, podemos afirmar que marchan a la mis-ma frecuencia. A pesar de que tengan la mismis-ma frecuencia, los relojes podr´ıan estar descuadrados, es decir, podr´ıa ser que marquen horas diferentes por haber comenzado a marchar en diferentes instantes. Es preciso sincronizar-los. Para sincronizar dos relojes, el reloj uno env´ıa un pulso de luz hacia el reloj dos, y mide el tiempo ∆t que tarda el pulso en ir y regresar.
Supong-amos que ∆t = 6 minutos. M´as tarde, cuando en el reloj uno sean las 3:57 p.m., el reloj uno env´ıa otra se˜nal luminosa hacia el reloj dos con la siguiente instrucci´on: “en el instante en que reciba esta se˜nal, cuadre las manecillas de su reloj en la hora 4:00 p.m.”. De esta manera se pueden sincronizar todos los relojes de un observador inercial. En lo sucesivo, siempre que hablemos de observador inercial, hemos de entender que sus relojes est´an sincroniza-dos.
Veamos de qu´e manera este observador registra el vuelo de una part´ıcula puntual. A medida que transcurre el tiempo, la part´ıcula visita un punto, y otro, y otro, y los relojes de los puntos visitados registran a qu´e hora fueron visitados. Luego se recogen todos los registros y se reconstruye la trayec-toria: la part´ıcula pas´o por tal punto en tal instante, pas´o por aquel otro punto en este otro instante, etc. As´ı se establece la posici´on de la part´ıcula como funci´on del tiempo. N´otese que los relojes no necesitan enviar datos a un computador central ni hay un reloj principal: el observador no es un ser humano que usa la vista, sino que es un l´atice infinito con un reloj en cada punto.
Llamemos O a un observador inercial, y O0 a otro observador inercial que se mueve con cierta velocidad (constante) v respecto a O. Nos imaginamos dos mallas de relojes, una para O y otra para O0; las dos mallas se cuelan una a trav´es de la otra, y cada una de ellas tiene su propio sistema de co-ordenadas. En cada punto del espacio hay dos relojes, uno pertenece a O y el otro pertenece O0, de manera que el de O0 se desplaza con velocidad v respecto al de O. Podemos pensar que hay un n´umero infinito de obser-vadores inerciales, y cada uno es una malla r´ıgida de relojes; estas mallas se cuelan unas entre las otras; en cada punto del espacio hay un n´umero infinito de relojes que pertenecen a todos los observadores inerciales. Todos los observadores inerciales son igualmente dignos, no hay ninguno preferido, todos registran las mismas leyes de la f´ısica: las ecuaciones que expresan las leyes de la f´ısica tienen la misma forma para todos estos observadores. Como todos los observadores inerciales est´an en un plano de igualdad, no habiendo ninguno que sea especial, desaparecen las nociones de espacio y tiempo absolutos. Cada observador tiene pleno derecho a medir distancias y tiempos, y los resultados de sus mediciones son distancias verdaderas y tiempos verdaderos. Aqu´ı se establece una diferencia radical con la f´ısica preeinsteiniana. En esa f´ısica la variable t se refiere al tiempo absoluto, ese flujo imperturbable dentro del cual se supon´ıa que las cosas del mundo f´ısico
est´an inscritas. En la relatividad especial t es lo que marca un reloj. Nota. Antes de concluir esta secci´on queremos hacer un comentario ac-erca de la velocidad que puede tener un observador inercial respecto a otro. El lector notar´a, obviamente, que esta nota desubicada introduce un elemen-to de desorden, pero a´un as´ı queremos presentarla desde ya, porque pronto nos ser´a ´util. Supongamos que deseamos acelerar una part´ıcula masiva con el prop´osito de que adquiera la velocidad de la luz c. Tal como veremos en la secci´on 3.5, cuando estudiemos la din´amica relativista, para realizar este proceso habr´ıa que darle a la part´ıcula una energ´ıa infinita, y por eso es imposible: no se puede acelerar una part´ıcula masiva hasta darle la veloci-dad c. Esta afirmaci´on est´a de acuerdo con el hecho de que no se observan part´ıculas masivas que viajen a la velocidad de la luz. Los laboratorios (los laboratorios constan de objetos masivos como relojes) tienen velocidades que son menores que c: la velocidad relativa entre dos observadores inerciales es
siempre menor que c.
1.9
Transformaciones de coordenadas
Un evento es un punto en el espaciotiempo. Un evento no es un suceso, no es algo que ocurre, sino que es un simple punto en el cuadriespacio. En un evento pueden ocurrir fen´omenos, como por ejemplo la desintegraci´on de una part´ıcula. Para caracterizar un evento, el observador O usa cuatro n´umeros (t, x, y, z) de la manera siguiente; supongamos que una part´ıcula se desintegra en el evento (9,2,4,6); esto quiere decir que el fen´omeno ocurre en aquel lugar cuyas coordenadas espaciales son (2,4,6) y que el reloj que se encuentra en ese punto marca t = 9 en el instante de la desintegraci´on. As´ı como en la secci´on anterior, pensemos en dos observadores inerciales
O y O0 tales que el segundo se mueve respecto al primero con cierta ve-locidad (constante) v . Un evento cualquiera, gen´erico, tiene coordenadas (t, x, y, z) en el sistema O y tiene coordenadas (t0, x0, y0, z0) en el sistema O0. Con t y t0 queremos decir que en el sitio y en el instante del evento hay dos relojes que pertenecen a O y O0.
(t, x, y, z) y (t0, x0, y0, z0) son las coordenadas de un mismo evento para dos observadores diferentes. Debe existir una manera de averiguar las cuatro coordenadas (t0, x0, y0, z0) cuando se conocen v y las cuatro coordenadas (t, x, y, z). Pero, y aqu´ı radica la importancia, no se trata de encontrar
las f´ormulas de conexi´on para un evento particular, sino las f´ormulas de conexi´on para todos los eventos; en t´erminos matem´aticos, se debe recono-cer que (t, x, y, z) y (t0, x0, y0, z0) son variables algebraicas. Las coordenadas primadas deben ser funciones de las no primadas:
t0 = t0(v , t, x, y, z)
x0 = x0(v , t, x, y, z)
y0 = y0(v , t, x, y, z)
z0 = z0(v , t, x, y, z)
(1.13)
A cualquier conjunto de cuatro ecuaciones como (1.13) se le llama
transfor-maci´on de coordenadas. Hay, por supuesto, un n´umero infinito de transfor-maciones de coordenadas, pero s´olo una es verdadera. Es decir, hay s´olo una transformaci´on que verdaderamente corresponde a los registros de las dos mallas infinitas de relojes (la red primada y la no primada).
En las pr´oximas secciones concentraremos el esfuerzo en encontrar la trans-formaci´on verdadera. Ese es nuestro prop´osito a corto plazo. No podemos olvidar, sin embargo, el prop´osito a largo plazo, el gran objetivo del proyec-to relativista: que se cumpla el principio de la relatividad: que las leyes de la f´ısica se expresen mediante ecuaciones que tengan la misma forma para todos los observadores inerciales. Por ejemplo, para los observadores O y O0 la ecuaci´on de Maxwell ∇ · B = 0 se escribe
∂Bx ∂x + ∂By ∂y + ∂Bz ∂z = 0 ∂B0 x ∂x0 + ∂B0 y ∂y0 + ∂B0 z ∂z0 = 0
Debemos ser capaces de pasar de una ecuaci´on a la otra: que las dos ecua-ciones sean equivalentes. Para que se pueda ejecutar la conversi´on de una de las ecuaciones en la otra, la teor´ıa de la relatividad debe suministrar: 1) La f´ormula que permita averiguar las variables (Ex0, Ey0, Ez0, Bx0, By0, Bz0) cuando se conocen las (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz) (a esa f´ormula se le dice “la transformaci´on del campo electromagn´etico”, y la deduciremos en el cap´ıtu-lo 4).
2) La f´ormula que permita averiguar las variables µ ∂ ∂x0, ∂ ∂y0, ∂ ∂z0 ¶ cuan-do se conocen las µ ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z ¶
. M´as precisamente, la f´ormula que permite averiguar las variables (t0, x0, y0, z0) cuando se conocen las (t, x, y, z); esta f´ormula se llama “la transformaci´on verdadera de las coordenadas”, y la de-duciremos enseguida.
El prop´osito 2) de encontrar la transformaci´on verdadera de coordenadas es v´alido de por s´ı; pero ese prop´osito cobra una gran importancia cuan-do se inscribe dentro del principio de la relatividad 1), que pide que las ecuaciones que expresan las leyes de la f´ısica sean las mismas para todos los observadores inerciales (que las ecuaciones sean invariantes). La transforma-ci´on verdadera de coordenadas deja invariantes las ecuaciones que describen las leyes de la f´ısica.
Hay dos m´etodos para encontrar la transformaci´on verdadera de coorde-nadas:
M´etodo a): Acudir a las ecuaciones que expresan las leyes de la f´ısica y averiguar la transformaci´on de coordenadas que las deja invariantes (esta ruta se explora en el ap´endice).
M´etodo b): Establecer un conjunto de primeros principios, como por ejemplo (1.10), deducir una transformaci´on de coordenadas a partir de ellos y luego estudiar si las ecuaciones de las leyes f´ısicas son covariantes: si lo son, en-tonces la transformaci´on es muy probablemente la transformaci´on verdadera de coordenadas.
En la pr´oxima secci´on seguiremos el m´etodo b) y encontraremos:
t0 = t − v c2 x p 1 − v2/c2 x0 = px − vt 1 − v2/c2 y0 = y z0 = z (1.14)
Einstein dedujo estas transformaciones en su c´elebre art´ıculo [2] de 1905 en el que funda la relatividad especial. Ellas son quiz´a las ecuaciones m´as importantes de la f´ısica del siglo XX, y se conocen como las
transforma-ciones de Lorentz. El origen de este nombre es curioso, porque las ecuatransforma-ciones
(1.14) ya hab´ıan sido obtenidas, usando el m´etodo a), por Hendrik Antoon Lorentz [4] unos meses antes, cuando el holand´es prob´o la covariancia de los campos el´ectrico y magn´etico bajo la transformaci´on (1.14) (sin embargo, por un error de c´alculo, s´olo pudo probar la covariancia hasta primer orden en v/c). Einstein, que no conoc´ıa este trabajo de Lorentz, dedujo indepen-dientemente las transformaciones (1.14). Lorentz no le dio al t0 de estas ecuaciones la importancia que luego habr´ıa de lograr en la relatividad; en efecto, Lorentz pensaba en 1904 que mientras t es el tiempo verdadero, la variable t0 era simplemente una cantidad auxiliar.
1.10
Las transformaciones de Lorentz
Einstein [2] se basa en los tres principios (1.10) para derivar las transforma-ciones de Lorentz. Aqu´ı seguiremos la presentaci´on de Resnick [6] que nos parece m´as ordenada y pedag´ogica. As´ı como en las secciones anteriores, suponemos que la velocidad de separaci´on v es paralela al eje com´un xx0. Comencemos el estudio demostrando que las ecuaciones (1.13) deben ser lineales. Para tal efecto consideremos dos eventos que son iguales en todo, excepto en la coordenada x; en estas condiciones podemos decir que los dos eventos son (t, x, y, z) y (t, x + δx, y, z). Asumiendo que δx es infinitesimal nos preguntamos cu´al es la separaci´on δx0 de acuerdo con el observador O0. Tomando diferenciales δ en la segunda de las ecuaciones (1.13) escribimos:
δx0 = ∂x 0 ∂tδt + ∂x0 ∂xδx + ∂x0 ∂yδy + ∂x0 ∂z δz,
pero δt = δy = δz = 0, entonces
δx0 = ∂x0
∂xδx (1.15)
valor δx0 debe ser igual en todas las regiones del espacio, o sea que ∂x0/∂x debe ser independiente de x, y, z. As´ı mismo, la homogeneidad del tiem-po dice que δx0 debe ser igual en todas las ´epocas, o sea que ∂x0/∂x es independiente del tiempo. En conclusi´on, la derivada ∂x0/∂x es una con-stante. Consideraciones parecidas, invocando la homogeneidad del espacio y del tiempo, nos llevan a afirmar que ∂x0/∂t, ∂x0/∂y, ∂x0/∂z son tambi´en constantes. La segunda funci´on (1.13) debe ser:
x0 = a10t + a11x + a12y + a13z, (1.16)
con a10, a11, a12, a13 constantes. Se puede repetir este razonamiento para
las otras tres funciones de (1.13), con resultados similares a (1.16):
t0 = a00t + a01x + a02y + a03z (1.17) x0 = a10t + a11x + a12y + a13z (1.18) y0 = a20t + a21x + a22y + a23z (1.19) z0 = a30t + a31x + a32y + a33z (1.20)
Aqu´ı los 16 coeficientes aµν son constantes. Ahora procedemos a averiguar los valores de estos coeficientes utilizando los tres principios (1.10). Primero vamos a averiguar los ocho coeficientes de las dos ´ultimas ecuaciones (1.19) y (1.20), y luego atacaremos las dos primeras ecuaciones (1.17) y (1.18). Los puntos que pertenecen al eje x (los que tienen y = z = 0) tambi´en pertenecen al eje x0, es decir, tienen y0 = z0 = 0. Formalmente, las condi-ciones {y = z = 0} y {y0 = z0 = 0} se implican mutuamente:
{y = z = 0} ⇔ {y0 = z0= 0}
De aqu´ı podemos concluir que a20= a21= a30= a31= 0.
Los puntos que pertenecen al plano xy (los que tienen z = 0) tambi´en pertenecen al plano x0y0, es decir, tienen z0 = 0. Formalmente:
De aqu´ı se deduce que a32= 0. Un razonamiento similar (con el plano xz)
nos lleva a que a23= 0 .
Vamos a probar que a22= 1 al comparar estas dos situaciones:
Situaci´on 1: En t = 0 hay una varilla en reposo respecto a O parada en
el eje y, con sus extremos en los puntos y = 0 y y = L; o sea que los dos extremos tienen coordenadas no primadas (0, 0, 0, 0) y (0, 0, L, 0). Veamos de qu´e manera el observador O0 registra este objeto: claramente se trata de una varilla que viaja hacia la izquierda y cuyos extremos tienen, de acuerdo con (1.19), coordenadas primadas y0 = 0 y y0= a
22L.
Situaci´on 2: En t0 = 0 hay una varilla en reposo respecto a O0 parada en el eje y0, con sus extremos en los puntos y0 = 0 y y0 = L; o sea que los dos extremos tienen coordenadas primadas (0, 0, 0, 0) y (0, 0, L, 0). Veamos de qu´e manera el observador O registra este objeto: claramente se trata de una varilla que viaja hacia la derecha y cuyos extremos tienen, de acuerdo con (1.19), coordenadas no primadas y = 0 y y = L/a22.
De acuerdo con el principio de la relatividad (1.10), la Situaci´on 1 y la
Situaci´on 2 son equivalentes. Entonces a22L = L/a22, de donde a22= 1. Un
an´alisis parecido nos permitir´a concluir que a33 = 1. Ya hemos averiguado los ocho coeficientes de las ecuaciones (1.19) y (1.20), ecuaciones que ahora se escriben:
y0 = y , z0 = z (1.21)
Nos falta estudiar las ecuaciones (1.17) y (1.18). Comencemos considerando dos eventos (t, x, y, z) y (t, x, −y, z). Por la homogeneidad del espacio, ambos eventos deben tener la misma coordenada temporal t0. En vista de (1.17) concluimos que a02 = 0. Un an´alisis parecido nos conduce a que a03 = 0.
Hasta el momento la ecuaci´on (1.17) se ha convertido en
t0 = a00t + a01x (1.22)
Pensemos en los eventos del plano x = 0; de acuerdo con la ecuaci´on (1.22), los eventos de este plano cumplen la ecuaci´on t0 = a00t. Para estos eventos
la condici´on t > 0 debe implicar que t0 > 0, o sea que a
a00 > 0 (1.23)
Sean (T, X, Y, Z) las coordenadas no primadas de un evento cualquiera en el plano x0= 0. Haciendo x0 = 0 en (1.18) escribimos:
a10T + a11X + a12Y + a13Z = 0 (1.24)
Si hacemos T = X = 0 en (1.24) se obtiene
a12Y + a13Z = 0
Como esta ´ultima ecuaci´on debe cumplirse para todos los (arbitrarios) val-ores de Y y de Z, entonces a12= a13= 0. Con este resultado regresamos a
(1.24) para escribir
a10T + a11X = 0 (1.25)
No olvidemos que (T, X, Y, Z) pertenece al plano x0 = 0, cuyos puntos cumplen la condici´on X = vT ; claramente la ecuaci´on (1.25) dice que
a10T + a11v T = 0, de donde a10= −va11.
Hasta el momento la ecuaci´on (1.18) se ha convertido en
x0 = a11(x − vt) (1.26)
Demostraremos enseguida que a11 debe ser positiva. Para tal efecto consid-eremos aquellos eventos que est´an a la derecha del origen de O0; esos eventos cumplen las condiciones x0 > 0 y x > vt. En otras palabras, x > vt ⇒ x0> 0. Al poner esto en (1.26) encontramos:
a11 > 0 (1.27)
t0 = a00t + a01x x0 = a11(x − vt)
y0 = y
z0 = z
(1.28)
Hasta aqu´ı se llega usando los principios de la relatividad y de la homogenei-dad del espacio y del tiempo. Pero todav´ıa hay tres coeficientes desconocidos
a00, a01, a11, o sea que (1.28) no es una transformaci´on particular, sino una
familia de transformaciones. Para individualizar una transformaci´on partic-ular es necesario dar los valores de a00, a01y a11, lo que se logra imponiendo alguna condici´on suplementaria.
Por ejemplo, la transformaci´on de Galileo (1.7) pertenece a la familia de transformaciones (1.28). Para obtener Galileo a partir de (1.28) se impone la condici´on suplementaria a01 = 0, a00 = a11 = 1.
La transformaci´on de Lorentz tambi´en pertenece a la familia de transforma-ciones (1.28). Einstein obtiene la transformaci´on de Lorentz usando, como condici´on suplementaria, el principio de la constancia de la velocidad de la luz. En efecto, tal como veremos enseguida, al implementar este principio quedan un´ıvocamente determinados los tres coeficientes a00, a11, a01.
Supongamos que un pulso de luz sale del origen de coordenadas cuando los or´ıgenes de O y O0 coinciden. Un tiempo despu´es, este pulso llega a un evento E. Las coordenadas no primadas de E son (t, x, y, z), y las primadas son (t0, x0, y0, z0). Para O la velocidad del pulso es c = px2+ y2+ z2/t, y
para O0 la velocidad del pulso es c0 =px02+ y02+ z02/t0. Pero c0 = c, por el principio de la constancia de la velocidad de la luz:
c = p x2+ y2+ z2 t c = p x02+ y02+ z02 t0
Estas dos ecuaciones pueden escribirse as´ı:
c2t2− (x2+ y2+ z2) = 0 (1.29)
Usar ahora las cuatro ecuaciones (1.28) en (1.30) para que (1.30) quede en t´erminos de cantidades no primadas:
(c2a200− v2a211)t2− (a211− c2a201)x2− y2− z2
+ 2 (c2a00a01 + va211) xt = 0 (1.31) Vamos a comparar, t´ermino a t´ermino, las ecuaciones (1.29) y (1.31); igua-lando los coeficientes correspondientes se llega a:
c2a200− v2a211 = c2
a211− c2a201 = 1
c2a00a01+ va211 = 0
Este es un sistema de tres ecuaciones para las tres inc´ognitas a00, a01, a2 11.
Hay dos soluciones:
Primera soluci´on: a211 = 1 1 − v2/c2, a01 = v/c2 p 1 − v2/c2, a00 = − 1 p 1 − v2/c2 Segunda soluci´on: a211 = 1 1 − v2/c2, a01 = − v/c2 p 1 − v2/c2 , a00 = 1 p 1 − v2/c2
En vista de (1.23), la primera soluci´on est´a descartada. Adoptamos entonces la segunda soluci´on, utilizando (1.27) al tomar la ra´ız cuadrada de a2
11: a11 = a00 = p 1 1 − v/c2, a01 = − v/c2 p 1 − v/c2
He aqu´ı el factor 1/p1 − v2/c2, que aparece innumerables veces en la
γ = p 1
1 − v2/c2 (1.32)
Los tres coeficientes son, entonces, a11= a00= γ, a01 = −γv/c2 y el
resul-tado final de las transformaciones queda:
t0 = γ (t − v
c2 x) x0 = γ (x − vt)
y0 = y , z0 = z
(1.33)
Estas son las transformaciones de Lorentz. Las hemos presentado como una consecuencia directa de los tres postulados de la relatividad, y en este sentido ellas son del ´ambito de la f´ısica te´orica. Lo importante es que ellas tambi´en son del ´ambito de la f´ısica experimental: innumerables experimentos real-izados durante el siglo XX han confirmado, una y otra vez, y sin ninguna excepci´on, que las transformaciones de Lorentz son buenas.
Anotemos que las transformaciones de Lorentz se confunden con las de Galileo a bajas velocidades. En efecto, las ecuaciones (1.33) se convierten en (1.7) cuando v ¿ c. Esta observaci´on deja en claro que la relatividad especial abarca al pensamiento newtoniano, y que este ´ultimo es un caso l´ımite del pensamiento relativista. El espaciotiempo relativista es diferente del newtoniano para todos los valores de v, pero la diferencia es notoria ´
unicamente a altas velocidades.
Si queremos expresar las coordenadas no primadas en t´erminos de las pri-madas, podemos resolver estas cuatro ecuaciones simult´aneas y despejar
t, x, y, z. Pero hay otra manera m´as simple, que consiste en lo siguiente: en
cada una de las cuatro ecuaciones se cambia v por −v y se intercambian coordenadas primadas y no primadas:
t = γ (t0+ v
c2 x0) x = γ (x0+ vt0)
y = y0, z = z0
(1.34)
Generalizaci´on. Hemos asumido que O0 se mueve, respecto a O, con una velocidad v que apunta en la direcci´on del eje com´un x x0. Enseguida
t0 = γ(t − 1 c2v · r) r0 = r + µ γ − 1 v2 v · r − γt ¶ v (1.35) t = γ(t0+ 1 c2 v · r0) r = r0+ µ γ − 1 v2 v · r0+ γt0 ¶ v (1.36)
Los diferenciales. En diferenciales, las dos primeras ecuaciones (1.33)
son:
∆t0 = γ(∆t − v
c2∆x) (1.37)
∆x0 = γ(∆x − v∆t) (1.38)
Y las inversas proceden de (1.34):
∆t = γ(∆t0+ v
c2∆x0) (1.39)
∆x = γ(∆x0+ v∆t0) (1.40)
Tambi´en podemos escribir las ecuaciones (1.35) en diferenciales:
∆t0 = γ(∆t − 1 c2 v · ∆r) (1.41) ∆r0 = ∆r + µ γ − 1 v2 v · ∆r − γ∆t ¶ v (1.42)
Las derivadas: A partir de las transformaciones (1.33) calculamos estas
seis derivadas: ∂t0 ∂t = ∂x0 ∂x = γ, ∂t0 ∂x = − γv c2, ∂x0 ∂t = −γv, ∂y0 ∂y = ∂z0 ∂z = 1 (1.43)
∂ ∂t = ∂t0 ∂t ∂ ∂t0 + ∂x0 ∂t ∂ ∂x0 + ∂y0 ∂t ∂ ∂y0 + ∂z0 ∂t ∂ ∂z0 ,
entonces, utilizando las derivadas (1.43):
∂ ∂t = γ ∂ ∂t0 − γv ∂ ∂x0,
que escribimos cortamente ∂t = γ ∂t0 − γv ∂x0. De la misma manera se cal-culan ∂x, ∂y, y ∂z: ∂t= γ ∂t0 − γv ∂x0 ∂x= γ ∂x0 − γv c2 ∂t0 ∂y = ∂y0 ∂z = ∂z0 (1.44) c c' q q' v
Figura 1.1 Las velocidades c, v
y c0 tales que c = v + c0
Luz a
Figura 1.2 Interfer´ometro de
Michelson. En P la luz se reparte hacia A y B. Despu´es de refle-jarse en los espejos, los haces se encuentran de nuevo en P y de all´ı salen juntos hacia el detector.
y y' z x z' x'
Figura 1.3 Definici´on de los
sis-temas coordenados. Los ejes x y
x0 coinciden, los ejes y y y0 son
paralelos y los ejes z y z0
tam-bi´en son paralelos. La velocidad de separaci´on v apunta en direc-ci´on x.
