Studija slucajeva iz operacionih istrazivanja - ekspozicij…

(1)

Duško Letić

Vesna Jevtić

f f,

123

2007/2008

(2)

_________________________________________________________________________________________________________

UNIVERZITET U NOVOM SADU

TEHNIČ KI FAKULTET "MIHAJLO PUPIN" ZRENJANIN

Duško Letić

Vesna Jevtić

Studija sluč ajeva iz

OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA

ekspozicije u Mathcad-u

p

metode optimizacije

p

ispitni zadaci

p

seminarski radovi

p

programska reš enja

(3)

__________________________________________________________________________________________________________

Studija sluč ajeva iz OPERACIONIH ISTRAŽ IVANJA – ekspozicije u Mathcad-u

Dr Duško Letić Mr Vesna Jevtić

Recenzenti: Prof. dr Mirko Vujošević, Fakultet organizacionih nauka, Beograd. Prof. dr Dragan Radojević, Institut Mihajlo Pupin, Beograd. Izdavač : Tehnič ki fakultet "Mihajlo Pupin" Zrenjanin.

Za izdavač a: Dekan Tehnič kog fakulteta "Mihajlo Pupin" u Zrenjaninu, Prof. dr Momč ilo Bjelica.

Lektor: Mr Srđ an Š erer, lektor. Znak fakulteta: Dr Duško Letić.

_____________________________________________________________________________________________

Ovu knjigu je odobrilo Nauč no-nastavno veće odlukom od 27. 06. 2007. god. kao udž benik za studente Tehnič kog fakulteta "M. Pupin" u Zrenjaninu, Univerziteta u Novom Sadu.

Sva prava zadrž ana. Nije dozvoljeno nijedan deo knjige reprodukovati, uključ ujući fotokopiranje, snimanje, skeniranje ili bilo koji drugi nač in belež enja, bez prethodne pismene dozvole izdavač a.

Ц И П – К атало гизација у публикацији Библио тека М атице српске, Но ви Сад. Л Е Т ИЋ, Д у ш ко СТУДИ ЈА СЛ УЧ АЈЕ В А И З О П Е РАЦ И О НИ Х И СТРАЖ И В АЊ А – експо зиције у М аthcad-у Д у ш ко Л е тић, В е сна Ј е втић, Зрењ ан ин : Техн ички ф акултет Ми х ајл о П упи н, 2007. (Зрењ ан ин : Буд ућ ност ). – 95 стр.; 25 цм . Тираж 200. – Библио граф ија: 94-95. И СБН 978-86-7672-083-5 Ц О БИ СС.СР-И Д а) О перацио н а истраж ивањ а, б) Апликативн и про грам “Mathcad” , в) Рачун арска сим улација.

(4)

Predgovor

Knjiga Studija sluč ajeva iz OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA – ekspozicije u

Mathcad-u predstavlja saž etu materiju nastalu tokom višegodišnjeg drž anja nastave na

Tehnič kom fakultetu “Mihajlo Pupin” u Zrenjaninu. Gradivo ove knjige mož e biti podjednako interesantno studentima više profila ovog fakulteta: Profesorima informatike, Inž enjerima informatike, Profesorima tehnike i informatike, Dipl. inž enjerima za upravljanje tehnič kim sistemima i drugima. Knjiga sadrž i algoritme i metode za rešavanje specifič ne klase problema iz domena operacionih istraž ivanja koji su dobrim delom matematič ki orijentisani. Njena poglavlja se odnose na:

p Linearno programiranje. p Transpotni problem.

p Fazi linearno programiranje. p Problem asignacije radnih mesta. p Dinamičko programiranje. p Lanci Markova.

p Masovno opsluživanje. p Teorija igara.

p Viš ekriterijumska optimizacija. p Nelinearno programiranje. p Heurističko istraživanje.

p Simulaciono modeliranje (Monte-Karlo). p Upravljanje zalihama.

Nakon uvodnog upoznavanja sa istorijom predmetne oblasti slede problemi izlož eni po poglavljima u navedenom redosledu. Svako poglavlje sadrž i matematič ke postupke, bez iscrpnih dokaza, sa naglaskom na pragmatič nost i aplikativnost metoda i postupaka operacionih istraž ivanja. Prateći kompakt disk upotpunjuje sadrž aj knjige i pruž a studentu dovoljnu i potrebnu materiju putem, reprezentativnih fajlova, razvrstanih po poglavljima (folderima).

Autori se zahvaljuju dr Milanu Bojanoviću, direktoru kompanije CPS-CAD Professional Sys. iz Beograda i mr Srđ anu Š ereru prof. engleskog jezika – lektoru, na korisnim sugestijama pri završnoj redakciji ovog udž benika.

Posebnu se zahvaljujemo recenzentima udž benika, prof. dr Mirku Vujoševiću, sa Fakulteta organizacionih nauka iz Beograda i Draganu Radojeviću sa Instituta Mihajlo

Pupin u Beogradu.

(5)

Sadržaj

Str.

Razvoj operacionih istraživanja ... 1

1. LINEARNO PROGRAMIRANJE

... 2

1.1 Optimizacija proizvodnog programa [LP1.mcd] ... 2

1.2 Optimizacija tableta vitamina [LP7.mcd] ... 4

1.3 Optimizacija proizvodnog programa asortiman / količ ina [LP2.mcd] ... 5

1.4 Model linearnog programiranja sa dve promenljive [LP4.mcd] ... 7

1.5 Optimizacija broja raketa [LP9_1.mcd] ... 9

1.6 Optimizacija koli;ine sirovina hemijskih proizvoda [LP8.mcd] ... 11

1.7 Dualni model linearnog programiranja [LP5.mcd]... 13

2. FAZI LINEARNO PROGRAMIRANJE

... ... 15

2.1 Optimizacija proizvodnog programa na osnovu fazi mera [LPF1.mcd] ... 15

3. TRANSPORTNI PROBLEM

... 19

3.1 Transportni zadatak uz minimalne troškove [TP1.mcd] ... 19

3.2 Transportni zadatak uz minimalne troškove [TP2.mcd] ... 21

3.2 Transportni problem maksimuma dobiti [TP6.mcd] ... 23

3.4 Transportni problem maksimuma dobiti [TP4.mcd] ... 25

3.5 Transportni zadatak minimuma troškova [TP5.mcd] ... 28

3.6 Transportni zadatak minimuma troškova [TP6.mcd] ... 30

3.7 Transportni zadatak minimuma troškova [TP8_2.mcd] ... 32

4. PROBLEMI ASIGNACIJE

... ... 35

4.1 Raspodela radnika na poslovima [A1a.mcd] ... 35

4.2 Raspoređ ivanje poslova [A2a.mcd]... 37

4.3 Raspoređ ivanje poslova [A2a_2.mcd]... 39

4.4 Otvoreni problem raspoređ ivanja poslova [A .mcd] ... 42

4.5 Raspoređ ivanje studenata [A7a_2.mcd] ... 44

5. NELINEARNO PROGRAMIRANJE

... 48

5.1 Jedan model nelinearnog programiranja [NP1.mcd] ... 48

5.2 Maksimizacija profita metodom nelinearnog programiranja [NP2.mcd]... 52

5.3 Uslovi optimalnosti proizvodnje [NP3.mcd] ... 53

5.4 Funkcija korisnosti-optimalni obim kupovine dobara [NP4.mcd] ... 53

5.5 Optimizacija produkta enzima [NP5.mcd] ... 55

6. DINAMIČ KO PROGRAMIRANJE

... ... 57

6.1 Jednodimenzionalni proces raspodele resursa [DP1.mcd] ... 57

7. VIŠ EKRITERIJUMSKA OPTIMIZACIJA

... ... 61

7.1 Metoda jednostavnih aditivnih tež ina [VO1.mcd] ... 61

8. HEURISTIČ KO ISTRAŽ IVANJE

... ... 62

8.1 Optimalni preč nik cevovoda [HI1.mcd] ... 62

9. MODELI MARKOVA

... 65

9.1 Model za prognoziranje opredeljenja potrošač a [MM1.mcd] ... 65

9.2 Naplativost potraž ivanja [MM2.mcd] ... 67

10. MASOVNO OPSLUŽ IVANJE

... ... 69

10.1 Sistem opsluž ivanja M/G/beskonač no [MO1.mcd]... 69

(6)

11. SIMULACIONO MODELIRANJE

... ... 71

11.1 Generisanje sluč ajnih brojeva [o16.mcd] ... 71

11.2 Simuliranje vremena pouzdanosti elemenata tehnič kog sistema [SM16a.mcd] ... 74

12. MATRIČ NE IGARE

... 77

12.1 Nesingularne matrič ne igre [MI1.mcd]... 77

13. UPRAVLJANJE ZALIHAMA

... 78

13.1 Optimalne količ ina zaliha sa konstantnom nabavkom [UZ1.mcd] ... 78

13.2 Optimalna količ ina zaliha sa interventnom nabavkom [UZ2.mcd]... 81

14. MREŽ NO PLANIRANJE

... 83

14.1 Primena tehnike mrež nog planiranje PERT [MP1.mcd] ... 83

15. TESTIRANJE STATISTIČ KIH HIPOTEZA

... 85

15.1 Test c2_{za verifikaciju hipoteze o slaganju empirijske sa teorijskom} eksponencijalnom raspodelom [ST1.mcd]... 83

15.1 Testiranje hipoteze o homogenosti uzoraka na osnovu njihovihvarijansi [ST2.mcd]90 Referentni pojmovnik: Operaciona istraž ivanja ... 93

Literatura: Operaciona istraž ivanja ... 94

(7)

Napomena:

Sve tekstualne i/ili slikovne informacije koje su objavljene u ovoj knjizi a koje su preuzete sa sajta PTC-a, preuzete su uz saglasnost kompanije CPS-CAD Professional Sys.– Beograd, koja je zvanič ni distributer softverskog paketa Mathcad za Republiku Srbiju. Izdavač u, tehnič kom fakultetu “Mihajlo Pupin” iz Zrenjanina se odobrava štampanje tako pripremljene knjige.

(8)

u

Razvoj istraživanja operacija

kompjuterskoj matematici se za modele, č esto, veoma slož ene strukture vrlo brzo razvijaju numerič ke metode optimizacije, č iji se zadaci sastoje u prouč avanju ekstremnih vrednosti funkcija kriterijuma pri optimalnim vrednostima argumenata. Posebno treba istaći zadatke matematič kog programiranja, na osnovu kojih se rešavaju mnogi zadaci proizvodnje i poslovanja. U istraž ivanje operacija i nauke o upravljanju spadaju optimizacioni zadaci, kao i odgovarajuće metode koje su razrađ ene za njihovo rešavanje. Stabilnost rač unarskih metoda i algoritama obuhvata jedan od glavnih pravaca u istraž ivanju primene i klasifikacije grešaka različ ite vrste pri implementaciji ovih metoda. Poč etkom 20. veka, 1916. g. poč inje razvoj nauke o upravljanju koju je postavio Frederik Tejlor. Nekoliko bitnih stvari je time rešavano, i one se, prevashodno, odnose na upravljanje resursima. Tih godina je Haris postavio osnovni matematič ki model optimalnog nivoa zaliha. Nastanak teorije redova č ekanja vezuje se za danskog matematič ara Erlanga (1909. g.). Doprinose teoriji optimalnih zaliha dali su, izmeđ u ostalih: Kendal, Li, Hinč in i Polač ek. Teorija igara je matematič ka teorija o donošenju odluka u takmič arskim situacijama suprotnih interesa. Prvi ju je započ eo razvijati Emile Borel 1921. g. a temeljni doprinos dao je 1928. g. Fon Nojman (1903-1957). Prvi primeri modeliranja linearnog programiranja i transportnog problema izlož eni su u radovima Kantorovič a iz 1939. g. i Nojmana iz 1936. g. dok je nagli razvoj ove teorije i prakse usledio posle 2. svetskog rata. U pionire transportnog problema treba izdvojiti i američ kog matematič ara Hič koka iz 1941. g. koji je međ u prvima formulisao i rešio jedan tip transportnog zadatka. Tu su još i radovi Vogela posvećeni aproksimativnoj metodi za nalaž enje poč etnog rešenja transporta, radovi Forda i Falkersona, Č arnesa i Kupera i drugih. Sve su ovo bili preduslovi da se uoč i 2. svetskog rata u Velikoj Britaniji formira tim nauč nika, različ itih struka koji se uključ uju u istraž ivanja mnogostrukih operacija vezanih za koordinaciju i razmeštaj radarskih sistema, transport vojnih resursa i sl. Ovi istraž ivač i operacija su se služ ili matematič kim metodama i time stvorili multidisciplinarnu nauku nazvanu Istraživanje operacija. Nakon rata njene metode su veoma brzo implementirane kod rešavanja problema u proizvodnji i poslovanju, medicini, industriji i sl. Veliki znač aj imala je metoda linearnog programiranja simpleks koju je 1947. g. razvio poznati američ ki matematič ar Dancig [9]. U periodu 1951-1955. g. izvršena je modifikacija metode od strane: Č arensa, Lemkea, kao i samog Danciga. Pedesetih godina je snaž an naglasak stavljen na linearno programiranje i statistič ke metode. U istoj deceniji Nojman i Morgenštern su postavili modernu teoriju igara. Poč ev od Fon Nojmana, termin “igre” se koristi kao nauč na metafora za komunikaciju međ u struč njacima kod kojih je bitan ishod interakcije međ usobnih strategija dve ili više strana, a koje imaju konfliktne interese. Pedesetih godina su Kun i Taker označ ili poč etke nelinearnog programiranja. Ovo je dovelo do burnog razvoja novih metoda i primene istraž ivanja operacija. Poznata metoda numerič ke simulacije Monte-Karlo nastala je 1949. g. kada se pojavio rad Metropolisa i Ulmana na temu sluč ajnih brojeva. Koristi se za rešavanje kako deterministič kih tako i stohastič kih zadataka u mnogim sferama nauke: teorije pouzdanosti, metereologije, proizvodnje, masovnog opsluž ivanja, nuklearne fizike i sl. Kao logič an nastavak primene tredicionalnog Gantovog dijagrama krajem 50-tih godina prošlog veka, razvijen je skup metoda koje se jednim imenom zovu tehnike mrežnog planiranja. Ove metode zasnovane su na rezultatima: algebre, teorije grafova, statistike i rač unarskih nauka. Prvu studiju sa osnovnim postavkama metode objavili su 1958. g. Volker i Kejli. Razvoj PERT metode je započ et 1958. g., a istraž ivanjem je rukovodio Fazar, dok je matematič ke osnove metode postavio Klark 1958. g. [15]. Dinamič ko programiranje (DP) i algoritme optimalnog upravljanja postavio je američ ki matematič ar Belman 1952. g., gde je razvio klasič nu metodologiju za modeliranje i rešavanje

(9)

jedne klase specijalno strukturiranih optimizacionih zadataka vezanih za tzv. viš eetapne procese

upravljanja. Š ezdesetih godina su veliki uticaj imali: mrež no planiranje, linearno programiranje,

teorija grafova u optimizaciji i diskretna stohastič ka simulacija. Sedamdesete godine su karakteristič ne po nelinearnom programiranju i globalnoj optimizaciji, kao i po prodoru kompjuterskih metoda zasnovanih na numerič koj matematici. Tada se znač ajnije razvijaju teorijske osnove sa novim algoritmima u tretiranju neizvesnosti, kada se više ne koriste iskluč ivo, klasič ni statistič ki i probabilistič ki modeli. Znač ajna tehnika poč etkom 70-ih razvijena je i nazvana je PDM ili mrež na metoda “prvenstva” . Algoritmi ove metode ugrađ eni su danas u gotovo sve programske pakete za mrež no planiranje. Time je ova visoko elaborirana tehnika, mož da više od svih iz domena istraž ivanja operacija primenjiva u praksi. Osamdesetih godina se paž nja istraž ivanja operacija usmerava ka višekriterijumskoj optimizaciji i teoriji odluč ivanja. Ekspertni sistemi i sistemi za podršku odluč ivanju omogućuju uvođ enje personalnih rač unara sa odgovarajućom programskom podrškom. Novije metode, zasnovane na teoriji “rasplinutih skupova” u svetu nauke objavljene su 1965. g. od strane Zadeha. Danas postoje mnogobrojne metode bazirane na fazi principu: “Š to se bliž e posmatra realan problem, njegovo rešenje postaje sve više fazi (Zadeh)” , tako da teorija fazi (rasplinutih) skupova nalazi odgovarajuće primene u upravljanju tehnič kim sistemima [3], [25]. Devedesetih godina su napravljeni znač ajni prodori u rešavanju problema celobrojnog, mešovitog i višekriterijumskog programiranja. Ogromni rač unarski resursi postaju masovno raspolož ivi i omogućuju efikasnu primenu metoda operacionih istraž ivanja u svakodnevnim realnim sistemima i procesima. Razvoj novih pristupa za rešavanje takvih problema, obuhvata na osnovu heuristike: genetske algoritme, neuronske mrež e i sl. Vremenom su stvareni alati za rešavanje problema koji će se aplicirati u novim tehnološkim okolnostima, internet okruž enju i elektronskom poslovanju. Pored toga, mož e se reći da je došlo i do delimič ne evolucije u terminologiji, pa se danas paž nja skreće na upravljanje operacijama (operacioni menadž ment), a ne samo na njihovo istraž ivanje.

1. LINEARNO PROGRAMIRANJE

1.1 Optimizacija proizvodnog programa [LP1.mcd]

Primer: Fabrika proizvodi dva tipa proizvoda P1 i P2. Proizvodnja se odvija na dvema mašinama.

Za procesiranje prvog proizvoda operaciona vremena iznose: 4 č as/kom na prvoj mašini i 10 č as/kom na drugoj mašini. Za procesiranje drugog proizvoda ova vremena su: 5 č as/kom na prvoj mašini i 6 č as/kom na drugoj mašini. Efektivni kapaciteti mašina mogu se iskoristiti maksimalno 750, odnosno 850 č asova. Na trž ištu proizvodi se pojavljuju u minimalnoj količ ini od 40 komada za P1 i 65 komada za P2. Odrediti maksimalnu dobit proizvoda i optimalne količ ine proizvoda metodom linearnog programiranja, ako su jedinič ne cene proizvoda c1= 5500 nj/kom za P1 i c2= 2800 nj/kom za P2.

Reš enje:

Funkcija kriterijuma (dobiti): F x( ) :=5500 x× ₀+2800 x× ₁

(10)

Sistem ogranič enja u pogledu proizvodnje i trž išta:

proizvodni: 4 x× ₀+5 x× ₁£ 750 10 x× ₀+6 x× ₁£ 850

trž išni: x₀³ 40 x₁³ 65

Zbog izjednač avanja relacionih operatora sva č etiri ogranič enja, poslednje dve nejednač ine se mogu definisati kao:

A 4 10 1 -0 5 6 0 1 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø := B 750 850 40 -65 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x₁:=50

Blok za rešavanje modela linearnog programiranja:

Given A x× £ B x³ 40

Optimalne količ ine proizvoda P1 i P2 proizvodnog programa:

te su optimalne vrednosti: Xr 46 65 æ ç è ö ÷ ø =

ili pojedinač no: Xr₀= 46 Xr₁= 65

Najveća dobit preduzeća iznosi: D:= C Xr× D =435000

Aritmetič ka i logič ka verifikacija rešenja: A Xr×

509 850 46 -65 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = i A Xr× ³ 0 1 1 0 0 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Dopunske promenljive iznose: Xd:=A Xr× -B Xd

241 -0 6 -0 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Napomena:

: Alternativne postupke za rešavanje ovog problema pogledati u fajlovima LP1_1

(pdf, mcd).

(11)

1.2 Optimizacija tableta vitamina [LP7.mcd]

Primer: Za proizvodnju tableta vitamina T1, T2 i T3 jedna fabrika farmaceutskih proizvoda

koristi sirovine S1, S2, S3 i S4. Broj tableta vitamina koji se mož e dobiti iz jednog kilograma sirovine prikazan je sledećom tabelom [16].

T.1.1 i T T1 8 S1 T2 4 T3 4 j S 6 S2 4 2 4 S3 2 8 4 S4 6 2 18000 Potrebe za tabletama /kom/ 12000 8000

U planiranom periodu potrebno je proizvesti 18000, 12000 i 8000 tableta vitamina T1, T2 i T3. Jedan kilogram sirovine S1, S2, S3 i S4 mož e se kupiti na trž ištu po ceni od 16, 24 15 i 20 /nj/. Ako snabdevanje sirovinama Sj nema ogranič enja, odrediti optimalni plan nabavke sirovina sa najmanjim ukupnim troškovima.

Reš enje:

Ako se sa x1, x2, x3 i x4 označ e broj kilograma sirovine S1, S2, S3 i S4, model nabavke sirovina dobija oblik:

8 x× ₁+6 x× ₂+4 x× ₃+4 x× ₄ 18000

4 x× ₁+4 x× ₂+2 x× ₃+6 x× ₄ 12000

4 x× ₁+2 x× ₂+8 x× ₃+2 x× ₄ 8000

Matrica koeficijenata i vektor ogranič enja na osnovu sistema jednač ina je sada:

A 8 4 4 6 4 2 4 2 8 4 6 2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := B 18000 12000 8000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := ORIGIN:=1

Funkcija kriterijuma se formira kao: F x( ) :=16 x× ₁+24 x× ₂+15 x× ₃+20 x× ₄

gde je vektor cena: C:=(16 24 15 20)

Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x₄:=0

(12)

Optimalne varijanta programa krojenja šipki: X:=Minimize F x( , )

te su optimalne vrednosti: XT =(1250 1000 0 500)

Optimalni plan daje sledeće vrednosti količ ine sirovina /kg/:

X₁= 1250 X₂= 1000 X₃= 0 X₄= 500

Najmanji ukupni troškovi nabavke sirovina za proizvodnju planiranog broja tableta vitamina iznosi /nj/: T:= C X× T =54000 Verifikacija rešenja: A X× 18000 12000 8000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

1.3 Optimizacija proizvodnog programa asortiman/količina [LP2.mcd]

Primer: Proizvodni program se sastoji od pet proizvoda [32]: P1, P2, P3, P4 i P5, č ije su

karakteristike date u tabeli:

p qi – Količ ine koje se mogu planirati za trž ište /kom/god/.

p dj – Dobit po jedinici proizvoda /din/kom/.

T.1.2 P1 Proizvodi P2 P3 P4 P5 Zavojno vreteno

Ure|aj za o{trenje burgija Brusno vreteno

Univerzalni podeoni aparat Odstojni podmeta~i Jedini~na dobit d_j 14 10 7 12 9

Analiza procesa rada pokazala je da je za izradu planiranih pet proizvoda angaž ovano, pored ostalog, pet vrsta tehnoloških sistema i to:

p US – univerzalni strugovi CNC, sa kapacitetom od 50000 č as/god. p OC – obradni centri, sa kapacitetom od 80000 č as/god.

p BK – bušilice koordinatne, sa kapacitetom od 40000 č as/god. p BR – bušilica za ravno brušenje, sa kapacitetom od 50000 č as/god. p BN – brusilica za navoj, sa kapacitetom 20000 č as/god.

(13)

Pri tome normativ vremena za proizvode /č as/kom/ i date vrste operacija tehnoloških sistema, prikazan je u sledećoj tabeli.

T.1.3 US OC BK BR BN 2 4 1 1 5 P1 5 25 20 4 -P2 4 15 5 10 -P3 25 20 2 18 -P4 10 -1 20 -P5 Proizvodi Tehnolo{ki sistemi 50000 80000 40000 50000 20000 Vremenski kapaciteti /~as/

Optimizacija programa proizvodnje će biti izvršena u skladu sa napred opisanim modelom LP u kome je funkcija kriterijuma data kao potreba maksimizacije dobiti.

Sistemska promenljiva: ORIGIN:=1

Funkcija kriterijuma (dobiti) je: F x( ) :=14 x× ₁+10 x× ₂+7 x× ₃+12 x× ₄+9 x× ₅

Ogranič enja koja su određ ena samo vremenskim kapacitetima tehnoloških sistema iznose:

2 x 1 × 5 x 2 × + 4 x 3 × + 25 x 4 × + 10 x 5 × + £ 50000 4 x 1 × 25 x 2 × + 15 x 3 × + 20 x 4 × + £ 80000 x 1+20 x× 2+5 x× 3+2 x× 4+x5 £ 40000 x 1+4 x× 2+10 x× 3+18 x× 4+20 x× 5£ 50000 5 x 1 × £ 20000

Prethodni model LP potrebno je oblikovati u formi matrica i vektora kao: Vektor cena: C:=(14 10 7 12 9)

Matrica koeficijenata (operaciona vremena) A i vektor ogranič enja (vremenski kapaciteti) B:

A 2 4 1 1 5 5 25 20 4 0 4 15 5 10 0 25 20 2 18 0 10 0 1 20 0 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø := B 50000 80000 40000 50000 20000 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

(14)

Rešenje na osnovu definisanog modela putem matrice A i vektora B i C, sledi uz pretpostavljenu inicijalnu vrednost (kao poslednja promenljiva sistemu nejednač ina):

x₅:=0

Blok za rešavanje LP: Given

A x× £ B x³ 0

Optimalno rešenje količ ine proizvoda:

ili pojedinač no:

Xr

1= 4000 Xr2= 1547.61 Xr3= 453.12 Xr4= 925.64 Xr5= 930.84

Maksimalna dobit iznosi: D:= C Xr× D = 94133.24

Verifikacija aritmetič kog i logič kog rešenja: A Xr×

50000 80000 40000 50000 20000 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = A Xr× £ B 1 1 1 1 1 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = (tač no)

Dopunske promenljive iznose: Xd:= A Xr× -B odnosno: Xd 0 0 0 0 0 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø =

1.4 Model linearnog programiranja sa dve promenljive [LP4.mcd]

Primer: Za datu funkciju kriterijuma i sistem nejednač ina sa dve nepoznate primenuti metodu

rešavanja optimuma nepoznatih argumenata i maksimuma kriterijumske funkcije. Na osnovu modela LP formirati grafič ku i animacijsku prezentaciju rešenja.

Funkcija kriterijuma (max): F x( ):=2 x× ₁+2 x× ₂

(ORIGIN:=1) Xr:=Maximize F x( , ) Xr 4000 1547.61 453.12 925.64 930.84 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø =

(15)

Sistem linearnih ogranič enja:

x

1+2 x× 2£ 8 -x1+x2 £ 1 -x1+2 x× 2³ 0

4

5×x1+2 x× 2 ³ 3

Zbog izjednač avanja relacionih operatora poslednje dve nejednač ine se mogu napisati kao:

x 1-2 x× 2 £ 0 4 5 - x 1 × 2 x 2 × - £ -3

Na bazi prethodnog modela LP sledi matrica koeficijenata i vektor ogranič enja:

A 1 1 -1 4 -5 2 1 2 -2 -æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø := B 8 1 0 3 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Na bazi prethodnog modela LP sledi matrica koeficijenata i vektor ogranič enja: Inicijalna vrednost jedne nepoznate (poslednje promenljive): x

2:=1

Blok za rešavanje i sistem LP:

Given

A x× £ B

x³ 0

Optimalno rešenje modela LP: Xr:=Maximize F x( , ) te je: Xr 4 2 æ ç è ö ÷ ø =

Maksimalna vrednost F-kriterijuma je: F:= C Xr× F =12

Verifikacija rešenja: A Xr× 8 2 -0 7.2 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = A Xr× -B 0 3 -0 4.2 -æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Grafič ko i animacijsko rešenje linearnog problema:

a b æ ç è ö ÷ ø 4 2 æ ç è ö ÷ ø := Dobit:=50 FRAME×

(16)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 1 2 3 4 5 4 1 2×X -1 X+ X 2 4 -10×X 3 2 + 6 X -FRAME 10 -X b X X, ,X,X,X,X,a

Sl. 1.1 Grafička interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom najmanje (nulte) i

najveće vrednosti funkcije kriterijuma – dobiti

1.5 Optimizacija broja raketa [LP9_1.mcd]

Primer: Potrebno je izgaditi određ eni PVO sistem. Poznato je da protivnik raspolaž e sa 100

aviona za dejstvo sa malih visina, 150 aviona za dejstvo sa srednjihvisina i 100 aviona za dejstvo sa velikih visina, ali se ne zna sa koje će visine dejstvovati. Mož e se obezbediti dva tipa raketa. prvi tip raketa obara avione sa verovatnoćama: 3/4, 1/2 i 1/4, a drugi tip sa verovatnoćama: 1/4, 1/2 i 3/4, zavisno da li lete na malim, srednjim ili velikim visisnama. Prvi tip staje 25, a drugi 50 /nj/kom/. Koliko kojih raketa je nuž no obezbediti, pa da oč ekivani broj oborenih aviona ne bude manji od broja aviona koji mogu dejstvovati? Pri tome izdatke za nabavku svesti na najmanju moguću meru. rešenje predstaviti grafič ki [20].

Reš enje:

Funkcija kriterijuma (troškova): ORIGIN:=1 F x( ) :=25 x× ₁+50 x× ₂

U tom sluč aju vektor cena koštanja je: C:=(25 50)

Sistem ogranič enja u pogledu broja oborenih aviona:

3 4×x1 1 4×x2 + ³ 100 1 2×x1 1 2×x2 + ³ 150 1 4×x1 3 4×x2 + ³ 100

(17)

Matrica koeficijenata i vektor ogranič enja na osnovu sistema nejednač ina je sada: A 3 4 1 2 1 4 1 4 1 2 3 4 æ ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø := B 100 150 100 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø :=

Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x₂:=0

Blok za rešavanje modela linearnog programiranja: Given A x× ³ B x³ 0

Optimalne količ ine raketa: X:=Minimize F x( , ) X 250 50 æ ç è ö ÷ ø =

Znač i, za izgradnju efikasnog PVO sistema potrebno je obezbediti sledeći broj raketa:

X

1= 250 X2 =50

Najmanja vrednost funkcije kriterijuma je: T:= C X× T =8750

Verifikacija rešenja: A X× 200 150 100 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Programiranje grafič kog rešenja LP i skaliranje ose X: X:=-100..400

f X( ) -3×X+400 if 0£ X£ 50 X - +300 if 50 £ X£ 250 1 -3 ×X 400 3 + if 250 £ X£ 400 := _a b æ ç è ö ÷ ø 250 50 æ ç è ö ÷ ø :=

(18)

100 0 100 200 300 400 500 100 100 200 300 400 500 3 - ×X+400 X - +300 1 -3 ×X 400 3 + f X( ) X 2 -FRAME X 2 -b X X, ,X,X,X,X,a Trosak =0

Sl. 1.2 Grafička interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom nulte i najmanje

vrednosti funkcije kriterijuma – troš kova

1.6 Optimizacija količine sirovina hemijskih proizvoda [LP8.mcd]

Primer: hemijska industrija dobija tri proizvoda P1, P2 i P3 u jednom procesu separacije od dve

vrste sirovina: S1 i S2. Sledeća tabela pokazuje koliko tona proizvoda se mož e dobiti od jedne tone sirovina. Fabrika je obavezna da meseč no isporuč i svojim kooperantima najmanje 30; 25 odnosno 20 tona respektivno od pojedinih proizvoda.

T.1.4 i S S1 0,03 P1 S2 0,6 j P 0,125 P2 0,25 0,4 P3 0,05 Koli~ina proizvoda /ton/ 30 25 20

a) Koliko tona sirovina treba da nabavi komercijalni sektor hemijske industrije po ceni od 500,

odnosno 400 /nj/, da troškovi budu minimalni.

b) Od kog proizvoda se mož e kooperantima više isporuč iti nego što je donji limit. c) Grafič ki i animacijski predstaviti rešenje modela LP.

(19)

Reš enje:

Sistem ogranič enja u pogledu nejednač ina: (ORIGIN:=1₎ 0.03 x 1 × 0.6 x 2 × + ³ 30 0.125 x 1 × 0.25 x 2 × + ³ 25 0.4 x 1 × 0.05 x 2 × + ³ 20

Funkcija kriterijuma (troškova): F x( ) 500 x

1 × 400 x 2 × + :=

U tom sluč aju vektor cena proizvoda je: C:=(500 400)

Matrica koeficijenata i vektor ogranič enja na osnovu sistema nejednač ina je sada:

A 0.03 0.125 0.4 0.6 0.25 0.05 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := B 30 25 20 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø :=

a) Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x

2:=0

Given A x× ³ B x³ 0

Xr:=Minimize F x( , ) te su optimalne vrednosti: Xr 40 80 æ ç è ö ÷ ø =

ili pojedinač no: Xr₁= 40

Xr2= 80

Najmanji troškovi iznose: T:= C Xr× T =52000

Aritmetič ka i logič ka verifikacija rešenja: A Xr×

49.2 25 20 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = A Xr× ³ 0 1 1 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

b) Mogućnost isporuke većeg broja proizvoda

Dopunske promenljive iznose: Xd:=A Xr× -B Xd

19.2 0 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Konstatacija: Od prvog proizvoda P1 se mož e kooperantima isporuč iti za 19,2 tone više nego što je donji limit od 30 tona.

(20)

Programiranje granice oblasti dopustivog rešenja: f X( ) 400-8 X× if 0 £ X£ 40 100 X 2 - 40 £ X 1000 9 £ if 50 X 20 - 1000 9 £ X£ ¥ if := _a b æ ç è ö ÷ ø 40 80 æ ç è ö ÷ ø := Trosak :=400 FRAME×

Napomena:

Za postupke animacije preporuč eni su sledeći parametri: From: 0, To: 130, At: 10

frame/sec. 50 0 50 100 150 50 50 100 50 X 20 -100 X 2 -400 8 X- × f X( ) 5 -4 ×X 5 -4 ×X+FRAME b X X, ,X,X,X,X,a Trosak 0=

Sl. 1.3 Grafička interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom nulte vrednosti

funkcije kriterijuma – troš kova

1.7 Dualni model linearnog programiranja [LP5.mcd]

Primer: Za poznatu funkciju kriterijuma i sistem nejednač ina formirati primarni i dualni model

LP. Pronaći optimalne vrednosti nepoznatih argumenata i minimalne (za primarni model) odnosno maksimalne vrednosti (za dualni model) funkcije kriterijuma.

Primarni model LP:

(21)

Sistem linearnih ogranič enja:

Primarni model opisuje se sledećim vektorima i matricom koeficijenata:

C:=(2 4 2 3) A 4 25 16 2 75 10 5 2 7 8 40 4 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := B 1800 2400 3000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := Iinicijalna vrednost: x₃:=1

Blok za rešavanje prethodnog modela LP: Given A x× ³ B x³ 0

Optimalno rešenje modela LP: Xr:= Minimize F x( , ) Xr

53.991 0 298.694 11.321 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Minimalna vrednost funkcije kriterijuma iznosi: F:= C Xr× F= 739.33

Verifikacija rešenja: A Xr× 1800 2400 3000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = Dualni model LP:

Dualna funkcija kriterijuma:

odnosno: F( )y :=1800 y× ₀+2400 y× ₁+3000 y× ₂

Sistem linearnih ogranič enja:

Dualni model opisan je sledećim vektorima i matricom koeficijenata:

4 x 0 × 2 x 1 × + 5 y 2 × + 8 y 3 × + ³ 1800 25 x 0 × 75 x 1 × + 2 y 2 × + 40 y 3 × + ³ 2400 16 x 0 × 10 x 1 × + 7 y 2 × + 4 y 3 × + ³ 3000 F( )y :=BT×y 4 y 0 × 25 y 1 × + 16 y 2 × + £ 2 2 y 0 × 75 y 1 × + 10 y 2 × + £ 4 5 y× ₀+2 y× ₁+7 y× ₂£ 2 8 y× ₀+40 y× ₁+4 y× ₂£ 3

(22)

BT = (1800 2400 3000) CT 2 4 2 3 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = AT 4 2 5 8 25 75 2 40 16 10 7 4 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Poč etni uslov (inicijalna vrednost): y₂:=1

Blok za rešavanje dualnog modela LP:

Optimalno rešenje modela LP: Yr:=Maximize

(

F,y

)

Yr

0.35015 0.00145 0.0352 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Maksimalna vrednost funkcije kriterijuma iznosi: F:= BT×Yr F =739.33

Obe vrednosti su ekvivalentne, tj: F =F, sa verifikacijom rešenja: AT×Yr

2 1.161 2 3 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

2. FAZI LINEARNO PROGRAMIRANJE

2.1 Optimizacija proizvodnog programa na osnovu fazi mera [o4.mcd]

Primer: U jednom pogonu mogu da se proizvode dva proizvoda, P1 i P2, na kojima se zarađ uje

po 0,3 i 0,4 novč anih jedinica po komadu proizvoda, respektivno. Dnevno snabdevanje sirovina je takvo, da je dovoljno za proizvodnju ukupno 400 jedinica oba proizvoda, ali je moguće obezbediti i dodatno snabdevanje za proizvodnju do 500 jedinica oba proizvoda. Za proizvodnju jedinice proizvoda P1 potrebna su 2 radna č asa rada mašina, a za proizvodnju jedinice proizvoda P2 potreban je 1 radni č as. Ukupan broj mašina i radno vreme je takvo da se raspolaž e sa 500 radnih č asova dnevno, ali je eventualno moguće povećati iskorišćenost mašina tako da se obezbedi najviše 600 radnih č asova. Za proizvodnju jedinice proizvoda P1 koristi se 1 kWh, a za proizvodnju jedinice proizvoda P2 koristi se 2 kWh električ ne energije. Potrošnja električ ne energije u toku dana ogranič ena je na 310 kWh. Treba formirati plan dnevne proizvodnje tako da se maksimizira zarada u pogonu (podaci i model preuzeti su iz reference [25].

Sa: x0 i x1 označ ene su planirane količ ine proizvoda, f1 je zarada, a sa B1=(400,500) i B2=(500,600) rasplinute brojeve koji predstavljaju raspolož ive količ ine sirovina i radnih č asova. Zadatak fazi LP koji odgovara opisanom problemu je naći (x0,x1) tako da se maksimizira kriterijumska funkcija f= 0,4x0+0,3x1.

Funkcija kriterijuma (dobiti): f1 x( ) 0.4 x

0 × 0.3 x 1 × + := Given AT×y£ CT y³ 0

(23)

Sistem ogranič enja: x₀+x₁ £ B1 2 x× ₀+x₁£ B2 x₀+2 x× ₁ £ 310

Matrica koeficijenata i vektor ogranič enja na osnovu sistema nejednač ina iznose:

M 1 2 1 1 1 2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := V 400 500 310 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø :=

Treba napomenuti da u ovom modelu ogranič enje u odnosu na raspolož ivu električ nu energiju nije rasplinuto, ali to nije prepreka za primenu odgovarajućeg pristupa izrač unavanju. Proizvoljno rešenje X=(x0,x1) zadovoljava postavljena rasplinuta ogranič enja sa sledećim stepenima:

m1 x( ) 1 x 0+x1 £ 400 if 500 x 0 - x 1 -100 if 400 £ 0.4 x× 0+0.3 x× 1£ 500 0 x 0+x1 ³ 500 if := m2 x( ) 1 2 x 0 × x 1 + £ 500 if 500 2 x 0 × - x 1 -100 if 500 £ 0.4 x× 0+0.3 x× 1£ 600 0 2 x 0 × x 1 + ³ 600 if :=

Radi određ ivanja f1 i f2 - rezonski najmanje i najveće vrednosti kriterijumske funkcije na rasplinutom skupu dopustivih rešenja, rešavaju se sledeća dva optimizaciona zadatka, P1 i P2, u kojima se određ uju (x1,x2) tako da kriterijumska funkcija ima maksimalnu vrednost pri zadatim oganič enjima.

2.2 Optimizacioni zadatak I

Jedna inicijalna vrednost (poslednji argument): x

1:=65

Blok za rešavanje modela linearnog programiranja: Given x³ 0 1 2 1 1 1 2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø x × 400 500 310 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø £

X1:=Maximize f1 x( , ) te su optimalne vrednosti: X1 230 40 æ ç è ö ÷ ø =

(24)

Najveća dobit preduzeća: f1:= C X1× f1 = 104 Verifikacija rešenja: M X1× 270 500 310 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = M X1× ³ 0 1 1 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = Dopunske promenljive: Xd:=M X1× -V Xd 130 -0 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Rešenje ovih standardnih zadataka LP mogu se dobiti primenom Simplex metode ili npr. u konkretnom sluč aju grafič kom metodom. Za problem P1 dobija se (x11,x12)= (230,40) i f1=104. Za ovo rešenje su u potpunosti iskorišćeni radni sati (500) i električ na energija (310), dok sirovina ima za 130 jedinica više nego što se proizvodi (400-270).

2.3 Optimizacioni zadatak II

Funkcija kriterijuma (dobiti): f2 x( ) :=0.4 x× ₀+0.3 x× ₁

Jedna inicijalna vrednost: x₁:=65

Blok za rešavanje modela linearnog programiranja: Given 1 2 1 1 1 2 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø x × 500 600 310 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø £ x³ 0

X2:=Maximize f2 x( , ) te je: X2 296.67 6.67 æ ç è ö ÷ ø =

Najveća dobit preduzeća: f2:= C X2× f2 =120.667

Verifikacija rešenja: M X2× 303.333 600 310 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = te je: M X2× ³ 0 1 1 1 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = (potvrdno) Dopunske promenljive: Xd:=M X2× -V Xd 96.667 -100 0 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

(25)

Rešenje problema II dobija se (x21,x22)= (296.67,6.67) i f2=120,67. Za ovo rešenje su u potpunosti iskorišćeni radni sati (600) i električ na energija (310), dok sirovina ima dovoljno za proizvodnju još 196,67 jedinica.

Korišćenjem vrednosti f1 i f2 određ uje se funkcija pripadnosti proizvoljnog x rasplinutom skupu optimalnih rešenja. m( )x 0 0.4 x 0 × 0.3 x 1 × + £ f1 if 0.4 x 0 × 0.3 x 1 × + -f1 f2-f1 if f1 £ 0.4 x× 0+0.3 x× 1 £ f2 1 0.4 x 0 × 0.3 x 1 × + £ f2 if :=

Postupajući po opisanoj proceduri, originalni zadatak fazi LP je transformisan u standardi zadatak LP u kome treba odrediti (x1,x2) tako da se ostvari maksimalna pripadnost l.

22.6×l 0.4 x 0 × - 0.3 x 1 × - £ -104 100×l x 0 + x 1 + £ 500 100×l 2 x 0 × + x 1 + £ 600 x 0+2 x× 1 £ 310 l,x0,x1³ 0

p Operativna forma završnog modela FLP

Funkcija kriterijuma (dobiti):

Jedna inicijalna vrednost:

Given _22.6 100 100 0 0.4 -1 2 1 0.3 -1 1 2 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø x × 104 -500 600 310 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø £ x³ 0

X:=Maximize f x( , ) X 0.42 268.37 20.81 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Vektor cena proizvoda: C:=(1 0.4 0.3) f x( ) x

0

:= x₂:=55

(26)

Najveća dobit preduzeća: f:= C X× f =114.02 Verifikacija rešenja: 22.6 100 100 0 0.4 -1 2 1 0.3 -1 1 2 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø X × 104 -331.63 600 310 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = Dopunske promenljive: Xd 22.6 100 100 0 0.4 -1 2 1 0.3 -1 1 2 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø X × 104 -500 600 310 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø -:= Xd 0 168.37 -0 -0 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Rešenje ovog zadatka je (x1*,x2*)= (268,37;20,81), l*= 0.42 i f=114,02. Za ovu proizvodnju potrebno je obezbediti 548 radnih č asova. Sva raspolož iva električ na energija biće iskorišćena, a snabdevanje sirovinama treba da je takvo da omogući proizvodnju ukupno 286 jedinica proizvoda.

3. TRANSPORTNI ZADATAK

3.1 Transportni zadatak uz minimalne troškove [TP1.mcd]

Primer: Za potrebe tri industrijska centra uvozi se jedna vrsta materijala iz tri različ ite zemlje

prema ponudi i traž nji [23]:

Ponuda: P 6000 8000 3000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø :=

å

P= 17000 Traž nja: T 5000 2000 10000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø :=

å

T = 17000

Transportni troškovi po jedinici uvoza dati su u sledećoj tabeli:

T.3.1 A I 2 II 7 III 5 B 3 1 4 C 5 3 7 Tra`nja 5000 2000 10000 6000 Ponuda 8000 3000 S= 17000 Centar Zemlja x₀=? x₃=? x₆=? x₁=? x₄=? x₇=? x₂=? x₅=? x₈=?

(27)

ili putem vektora cena: C:=(2 7 5 3 1 4 5 3 7) a) Naći poč etni transportni program.

b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni troškovi transporta (uvoza) budu

minimalni.

Reš enje: Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti funkcijom troškova: F x( ) 2 x 0 × 7 x 1 × + 5 x 2 × + 3 x 3 × + x 4 + 4 x 5 × + 5 x 6 × + 3 x 7 × + 7 x 8 × + :=

i matricom koeficijenata i vektorom ogranič enja na osnovu sistema jednač ina:

M 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 æç ç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø := V:=stack P T( , ) V 6000 8000 3000 5000 2000 10000 æç ç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø =

Kako je zbir ponuda jednaka zbiru potraž nje, ovaj problem je zatvorenog tipa:

P

å

T =1

(logič ki potvrdno) Jedna inicijalna vrednost rešenja jednog (poslednjeg) č lana: x₈:=0

Blok za rešavanje modela linearnog programiranja: Given

Sistem linearnih jednač ina: M x× V x³ 0

Optimalne količ ine transportnih količ ina X:

X:= Minimize F x( , ) X 5000 0 1000 0 0 8000 0 2000 1000 æç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø =

(28)

Vrednosti optimalnog transporta: X₀ X₃ X₆ X₁ X₄ X₇ X₂ X₅ X₈ æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø 5000 0 0 0 0 2000 1000 8000 1000 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja LP: M X× 6000 8000 3000 5000 2000 10000 æç ç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø =

3.2 Transportni zadatak uz minimalne troškove [TP2.mcd]

Primer: Za potrebe tri poslovna centra uvozi se jedna vrsta materijala iz tri različ ite regije prema

ponudi i traž nji. Transportni troškovi po jedinici uvoza dati su u sledećoj tabeli.

T.3.2 R₁ (25) C₁ (17) 10 C₂(21) 8 C₃(41) 9 R₂ (32) 5 6 4 R₃ (40) 9 7 6 Centar Regija x₁=? x₆=? x₁₁=? x₂=? x₇=? x₁₂=? x₃=? x₈=? x₁₃=? C₄ (14) 6 3 4 x₄=? x₉=? x₁₄=? C₅ (24) 5 8 3 x₅=? x₁₀=? x₁₅=? R₄ (20) 14 x₁₆=? 10 x₁₇=? 8 x₁₈=? 8 x₁₉=? 8 x₂₀=?

a) Naći poč etni transportni program.

b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni troškovi transporta budu minimalni.

Vektor cena se formira na osnovu palete alata Matrix, direktnim unosom podataka:

C:=(10 8 9 6 5 5 6 4 3 8 9 7 6 4 3 14 10 8 8 8)

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije troškova (kriterijuma): ORIGIN:=1 n:=1 20.. F x( ) n CT

( )

_n×x_n

å

:=

sa odgovarajućom matricom koeficijenata i vektorom ogranič enja na osnovu sistema jednač ina. Matrica koeficijenata za ogranič enje po kapacitetima regija iznosi:

(29)

P 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Matrica koeficijenata za ogranič enje po kapacitetima po centrima:

S 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Kompletna matrica se dobija kao spojeni niz: A:=stack P S( , )

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 =

Vektor ogranič enja po regijama i centrima je: B

25 32 40 20 17 21 41 14 24 æç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Jedna inicijalna vrednost (poslednjeg č lana): x₂₀:=0

(30)

Optimalne količ ine transporta: X:=Minimize F x( , )

XT = (0 21 0 0 4 17 0 15 0 0 0 0 6 14 20 0 0 20 0 0)

Najmanji troškovi transporta su: T:= C X× T = 645

Vrednosti optimalnog plana transporta se mogu prikazati pomoću matrice:

X₁ X₆ X₁₁ X₁₆ X₂ X₇ X₁₂ X₁₇ X₃ X₈ X₁₃ X₁₈ X₄ X₉ X₁₄ X₁₉ X₅ X₁₀ X₁₅ X₂₀ æç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø 0 17 0 0 21 0 0 0 0 15 6 20 0 0 14 0 4 0 20 0 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja: (A X× )T = (25 32 40 20 17 21 41 14 24)

ili: A X× B= 1 _{(logič ki potvrdno)}

3.3 Transportni problem maksimuma dobiti [TP6.mcd]

Primer: Elektronska industrija u č etiri svoje osnovne organizacije u toku mesec dana treba da

proizvede 72000 jedinica proizvoda. Ovaj proizvod treba plasirati u č etiri potrošač ka centra. Zarada po jedinici proizvoda je zavisna od mesta proizvodnje i mesta plasmana. Svaki pogon proizvodi po 18000 jedinica proizvoda. Analiza trž išta je pokazala da je potrošač kim centrima P1, P2, P3 i P4 potrebno 8000, 12000, 20000, 32000 jedinica, respektivno [20]. Ova analiza i uslovi transporta pokazali su da zarada po jedinici proizvoda iznosi kao što je dato u tabeli. T.3.3 P₁ (18000) C₁ (8000) 40 C₂(12000) 50 C₃(20000) 80 P₂ (18000) 10 60 40 P3 (18000) 80 90 20 Centar Pogon y₀=? y₄=? y₈=? y₁=? y₅=? y₉=? y₂=? y₆=? y₁₀=? C₄ (32000) 30 50 70 y₃=? y₇=? y₁₁=? P₄ (18000) 40 y₁₂=? 60 y₁₃=? 50 y₁₄=? 20 y₁₅=?

Potrebno je odrediti raspodelu proizvoda po potrošač kim centrima koja će omogućiti najveću zaradu i optimalne vrednosti transporta.

(31)

Reš enje: Vektor vrednosti zarade se unosi na osnovu tabelarnih podataka:

C:=(40 50 80 30 10 60 40 50 80 90 20 70 40 60 50 20)

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije dobiti:

n:=0 15.. D y( ) n CT

( )

_n×y_n

å

:=

i odgovarajućim ogranič enjima u vidu linearnih jednač ina:

y₀+y₁+y₃+y₄+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 18000 0+0+0+0+y₅+y₆+y₇+y₈+0+0+0+0+0+0+0+0 18000 0+0+0+0+0+0+0+0+y₉+y₁₀+y₁₁+y₁₂+0+0+0+0 18000 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+y₁₂ +y₁₃+y₁₄+y₁₅ 18000 y₀+0+0+0+y₄+0+0+0+y₈+0+0+0+y₁₂+0+0+0 8000 0+y₁+0+0+0+y₅+0+0+0+y₉+0+0+0+y₁₃+0+0 12000 0+0+y₂+0+0+0+y₆+0+0+0+y₁₀ +0+0+0+y₁₄+0 20000 0+0+0+y₃+0+0+0+y₇+0+0+0+y₁₁+0+0+0+y₁₅ 32000

Savet:

Formiranje prethodnog sistema jednač ina ogranič enja nije neophodno za rešavanje

transportnog problema, za razliku od unosa sledećih izraza, koji se odnose na vektore C i B i matricu A.

Kompletna matrica koeficijenata se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Nač in dobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard-a iz menija Insert m Component. Razlog formiranja tabele je taj što se ne mož e formirati matrica sa više od 100 elemenata postupkom

Insert Matrix iz palete alata Matrix.

A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 :=

(32)

Vektor ogranič enja po regijama i centrima: B 18000 18000 18000 18000 8000 12000 20000 32000 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Jedna inicijalna vrednost: y₁₅:=2

Sistem linearnih jednač ina: A y× B y³ 0

Optimalne količ ine transportnih količ ina Y: Y:=Maximize D y( , )

YT =(0 0 18000 0 0 0 0 18000 4000 0 0 14000 4000 12000 2000 0)

Najveća dobit preduzeća iznosi: Dobit:= C Y× Dobit = 4620000

Vrednosti optimalnog plana transporta, uređ eni kao matrica 4x4:

Y₀ Y₄ Y₈ Y₁₂ Y₁ Y₅ Y₉ Y₁₃ Y₂ Y₆ Y₁₀ Y₁₄ Y₃ Y₇ Y₁₁ Y₁₅ æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø 0 0 4000 4000 0 0 0 12000 18000 0 0 2000 0 18000 14000 0 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja: (A Y× )T = (18000 18000 18000 18000 8000 12000 20000 32000)

3.4 Transportni problem maksimuma dobiti [TP4.mcd]

Primer: Jedan veliki poljoprovredni kombinat je svoje zemljište, obzirom na sastav, svrstao u šest

kategorijai odredio kako velič inu kompleksa zemljišta koji pripadaju pojedinim kategorijama, tako i prinose 7 glavnih proizvoda u /nj/ po kastarskom jutru kategorisanog zemljišta. Podatke do kojih se došlo prikazuje sledeća tabela [7]:

(33)

T.3.4

i

K Pj Pš enica Ovas Zob Kukuruz Lucerka Krompir Repa Kompleks /kj/

K1 12 18 5 0 20 100 60 4000 K2 8 14 3 40 10 120 0 8000 K3 18 5 5 36 16 60 0 14000 K4 16 12 0 50 4 0 140 2000 K5 4 0 8 25 0 40 230 18000 K6 5 24 0 42 18 80 200 23000 Plan /kj/ 20000 16000 2000 24000 3000 1000 3000 ₆₉₀₀₀ 69000

Prema planu setve predviđ eno je da se pojedinim kulturama zaseje respektivno 20000, 16000, 2000, 24000, 3000, 1000 odnosno 3000 katastarskih jutara (kj). Kakav plan setve treba ostvariti ako je cilj maksimiranje količ ine proizvodnje?

Reš enje: Vektor cena se unosi na osnovu tabelarnih podataka: ORIGIN:=1 C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 12 18 5 0 20 100 60 8 14 3 40 10 120 0 18

:=

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije dobiti:

n:=1 42.. D q( ) n CT

( )

_n×q_n

å

:=

Kompletna matrica koeficijenata se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Nač in dobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard-a iz menija Insert mComponent.

(34)

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 :=

Vektor ogranič enja po regijama i centrima: B

1 1 2 3 4 5 6 7 8 4000 8000 14000 2000 18000 23000 20000 16000 :=

Jedna inicijalna vrednost (poslednja): q

42:=0

Sistem linearnih jednač ina: A q× B q ³ 0

Optimalne količ ine transportnih količ ina Q: Q:=Minimize D q( , )

QT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 0 0 4000 0 0 0 0 2000 0 1000 2000 0 3000 0

=

Najveća dobit preduzeća iznosi: Dobit:= C Q× Dobit =754000

(35)

Q 1 Q 8 Q 15 Q 22 Q 29 Q 36 Q 2 Q 9 Q 16 Q 23 Q 30 Q 37 Q 3 Q 10 Q 17 Q 24 Q 31 Q 38 Q 4 Q 11 Q 18 Q 25 Q 32 Q 39 Q 5 Q 12 Q 19 Q 26 Q 33 Q 40 Q 6 Q 13 Q 20 Q 27 Q 34 Q 41 Q 7 Q 14 Q 21 Q 28 Q 35 Q 42 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 0 0 0 0 0 20000 0 2000 14000 0 0 0 0 0 0 0 0 2000 4000 1000 0 0 18000 1000 0 2000 0 1000 0 0 0 0 0 1000 0 0 0 3000 0 0 0 0 æç ç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø = Verifikacija rešenja: A Q× ( )T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4000 8000 14000 2000 18000 23000 20000 16000 2000 24000 3000 1000 3000 =

Napomena:

Pogledati sadrž aj fajla TP4_1.mcd, gde je rezultujuća matrica programski rešena.

3.5 Transportni problem minimuma troškova [TP5.mcd]

Primer: U narednoj tabeli date su količ ine robe koje treba otpremiti iz otpremnih stanica OC u,

količ ine robe koje se traž e u prijemnim stanicama (PS), kao i cene prevoza od svake otpremne stanice do svake prijemne stanice.

T.3.5 OC A1 5 B1 A2 7 A3 15 12 B2 8 4 1 B3 14 2 4 B4 6 7 36 Koli~ina robe /kom/ 23 29 PS A4 6 11 5 16 12 13 B5 5 9 3 Koli~ina robe /kom/ 13 24 15 21 27 S=100

Kakav plan transporta realizovati ako je cilj minimiziranje ukupnih troškova transporta?

Reš enje: Vektor cena se unosi na osnovu tabelarnih podataka: (ORIGIN:=1₎ C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 5 12 1 4 13 7 8 14 6 5 15 4 2 7 9 6

(36)

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije dobiti: n:=1 20.. T x( ) n CT

( )

_n×x_n

å

:=

Kompletna matrica koeficijenata se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Nač in dobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard-a iz menija Insert mComponent.

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 :=

Vektor ogranič enja po regijama i centrima: B

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 23 29 12 13 24 15 21 27 :=

Jedna inicijalna vrednost (poslednja): x₂₀:=0

Sistem linearnih jednač ina: A x× B x³ 0

Optimalne količ ine transportnih količ ina q: q:=Minimize T x( , )

qT = (5 0 10 21 0 8 0 0 0 15 0 24 5 0 0 0 0 0 0 12)

(37)

Vrednosti optimalnog plana transporta, uređ eni kao matrica 4x5: q₁ q₆ q₁₁ q₁₆ q₂ q₇ q₁₂ q₁₇ q₃ q₈ q₁₃ q₁₈ q₄ q₉ q₁₄ q₁₉ q₅ q₁₀ q₁₅ q₂₀ æç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø 5 8 0 0 0 0 24 0 10 0 5 0 21 0 0 0 0 15 0 12 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja: (A q× )T = (36 23 29 12 13 24 15 21 27)

3.6 Transportni problem minimuma troškova [TP6.mcd]

Primer: Za potrebe sedam poslovnih centara uvozi se jedna vrsta materijala iz osam različ itih

zemalja prema ponudi i traž nji (T.3.6). Transportni troškovi po jedinici uvoza dati su u sledećoj tabeli. T.3.6 S1 P1 1 P2 S2 14 S3 7 Tražnja 170 300 Ponuda 290 280 S= 2120 Centar Zemlja x₁=? x₈=? x₁₅=? S4 35 S5 7 S6 25 x₂₂=? x₂₉=? x₃₆=? S7 10 S8 2 x₄₃=? x₅₀=? P3 P4 P5 P6 P7 270 260 250 240 230 3 12 9 120 x₂=? x₉=? x₁₆=? 22 10 20 x₂₃=? x₃₀=? x₃₇=? 15 5 x₄₄=? x₅₁=? 5 10 13 190 x₃=? x₁₀=? x₁₇=? 4 13 15 x₂₄=? x₃₁=? x₃₈=? 9 8 x₄₅=? x₅₂=? 7 6 17 330 x₄=? x₁₁=? x₁₈=? 26 16 5 x₂₅=? x₃₂=? x₃₉=? 16 8 x₄₆=? x₅₃=? 9 8 21 490 x₅=? x₁₂=? x₁₉=? 23 12 11 x₂₆=? x₃₃=? x₄₀=? 12 3 x₄₇=? x₅₄=? 11 6 24 390 x₆=? x₁₃=? x₂₀=? 20 8 17 x₂₇=? x₃₄=? x₄₁=? 17 15 x₄₈=? x₅₅=? 8 3 29 430 x₇=? x₁₄=? x₂₁=? 20 5 23 x₂₈=? x₃₅=? x₄₂=? 10 21 x₄₉=? x₅₆=?

a) Naći poč etni transportni program.

b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni troškovi transporta budu minimalni.

Vektor cena se formira na osnovu palete alata Matrix, direktnim unosom podataka:

C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 3 5 7 9 11 8 14 12 10 6 8 6 3 7

:=

(38)

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije troškova (kriterijuma): ORIGIN:=1 n:=1 56.. F x( ) n CT

( )

_n×x_n

å

:=

sa odgovarajućom matricom koeficijenata i vektorom ogranič enja na osnovu sistema jednač ina. Matrica koeficijenata za ogranič enje po kapacitetima regija iznosi:

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :=

Broj elemenata u matrici: s

(

last A

( )

á ñ1 +1

)

last A

( )

T 1 á ñ é ë ùû +1 é ë ùû × := s = 912

Vektor ogranič enja po regijama i centrima je:

B

1 1 2 3 4 5 6 7 8 300 290 280 270 260 250 240 230 :=

Jedna inicijalna vrednost (poslednjeg č lana): x₅₆:=0

Optimalne količ ine transporta: X:=Minimize F x( , )

XT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 0 10 0 80 210 0 0 0 0 0 0 0 290 0

=

(39)

Vrednosti optimalnog plana transporta se mogu prikazati pomoću matrice: X 1 X 8 X 15 X 22 X 29 X 36 X 43 X 50 X 2 X 9 X 16 X 23 X 30 X 37 X 44 X 51 X 3 X 10 X 17 X 24 X 31 X 38 X 45 X 52 X 4 X 11 X 18 X 25 X 32 X 39 X 46 X 53 X 5 X 12 X 19 X 26 X 33 X 40 X 47 X 54 X 6 X 13 X 20 X 27 X 34 X 41 X 48 X 55 X 7 X 14 X 21 X 28 X 35 X 42 X 49 X 56 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 0 0 170 0 0 0 0 0 10 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 190 0 0 0 0 80 0 0 0 0 250 0 0 210 0 0 0 0 0 50 230 0 290 0 80 20 0 0 0 0 0 0 0 240 0 190 0 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja: (A X× )T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 300 290 280 270 260 250 240 230 170 120 =

3.7 Transportni problem minimuma troškova [TP8_2.mcd]

Primer: Tri mlina (M1, M2 i M3) snabdevaju brašnom tri pekarska preduzeća (P1, P2, P3 i P4).

U narednom mesecu mlinovi mogu proizvesti 750, 400 i 350 tona brašna, respektivno. U istom periodu pekarska preduzeća su: Troškovi transporta po toni brašna od mlinskih do pekarskih preduzeća su: od prvog mlina 70, 30 i 60 /nj/ po preduzeću Pj, respektivno; od trećeg mlina 10, 50 i 90 /nj/toni/ do preduzeća Pj, respektivno (T.3.7).

T.3.7 M1 P1 70 P2 30 P3 60 M2 40 80 20 M3 10 50 90 Pekare Mlinovi x₁=? x₄=? x₇=? x₂=? x₅=? x₈=? x₃=? x₆=? x₉=? Kapaciteti pekara /t/ a₁=75 a₂=40 a₃=35 b₁=20 Kapaciteti mlinova /t/ b2=45 b3=30 _S₌₉₅ S=150

Iznaći optimalni plan transporta, kome će odgovarati minimalni troškovi.

Reš enje: Matematič ki model je oblikovan u cilju određ ivanja otvorenog transportnog problema

gde treba odrediti vrednost nenegativnih promenljivih xij. Pri pome su poč etni parametri: Broj redova: m:=3 broj kolona: n:=3 (ORIGIN:=1)

(40)

Indeksne vrednosti: i:=1 3.. j:=1 3..

Kapaciteti u vektorskom obliku: a

75 40 35 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := b 20 45 30 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := Suma kapaciteta:

å

a= 150

å

b = 95

å

a ¹

å

b

te je ovo otvoreni transportnog problema. Pošto je veća potraž nja od ponuda, uvodi se fiktivna pekara P4 sa kapacitetom:

b₄:=

å

a-

å

b sledi da je: b₄= 0

Kapaciteti u proširenom vektoru iznose: a

75 40 35 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := b 20 45 30 b₄ æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø := T.3.8 M1 P1 70 P2 30 P3 60 M2 40 80 20 M3 10 50 90 Pekare Mlinovi x₁=? x₅=? x₉=? x₂=? x₆=? x₁₀=? x₃=? x₇=? x₁₁=? Kapaciteti pekara /t/ a₁=75 a₂=40 a₃=35 b₁=20 Kapaciteti mlinova /t/ b2=45 b3=30 _S₌₁₅₀ S=150 P4 0 0 0 x₄=? x₈=? x₁₂=? b₄=55

Vektor vrednosti troškova se formira, direktnim unosom podataka iz proširene tabele T.3.8:

C:=(70 30 60 0 40 80 20 0 10 50 90 0)

Prema datim elementima, transportni problem se mož e izraziti u obliku funkcije troškova (kriterijuma): k:=1..(n+1) m× F x( ) k CT

( )

_k×x_k

å

:=

sa odgovarajućom matricom koeficijenata i vektorom ogranič enja na osnovu sistema jednač ina. Matrica koeficijenata za ogranič enje po svim kapacitetima iznosi:

(41)

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 :=

Vektor ogranič enja po kapacitetima je: B:=stack a b( , )B 75 40 35 20 45 30 0 æ ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø =

Jedna inicijalna vrednost (poslednjeg č lana): x₁₂:=0

Optimalne količ ine transporta X: X:=Minimize F x( , ) XT = (0 45 0 30 0 0 30 10 20 0 0 15)

Najmanji troškovi transporta su: T:= C X× T =2150

Vrednosti optimalnog plana transporta se mogu prikazati pomoću matrice:

X 1 X 5 X 9 X 2 X 6 X 10 X 3 X 7 X 11 X 4 X 8 X 12 æç ç ç ç è ö÷ ÷ ÷ ÷ ø 0 0 20 45 0 0 0 30 0 30 10 15 æ ç ç è ö ÷ ÷ ø =

Aritmetič ka i logič ka verifikacija rešenja: A X× 75 40 35 20 45 30 55 æ ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = i A X× B=1 (logič ki potvrdno).

(42)

4. PROBLEMI ASIGNACIJE

4.1

Raspodela radnika na poslovima [A1a.mcd]

Primer: Proizvodni sistem u kome se izrađ uju finalni proizvodi od drveta raspisao je konkurs za

prijem 5 mašinskih stolara za 5 radnih mesta (rendisaljka, glodalica, strug, bušilica, brusilica). Nakon analize prijava na konkurs sve postavljene uslove zadovoljilo je pet kandidata. radi pravilnog raspoređ ivanja radnika na radna mesta organizovan je probni rad [30]. Svaki kandidat je dobio da obradi po 100 istih komada na svakoj mašini pri č emu je utvrđ en broj dobrih komada koji su škart (T.4.1). Zadatak se sastoji u raspoređ ivanju radnika na radna mesta koje će obezbediti minimalni ukupni škart.

T.4.1 R1 R2 R3 R4 R5 3 8 33 14 9 21 23 14 21 16 12 2 13 19 10 6 5 10 11 15 10 5 7 11 13 Broj poena U~esnici u radu _P1 _P2 _P3 _P4 _P5

Reš enje: Vektor vrednosti nestandardnih delova (loših) proizvoda: ORIGIN:=1

Funkcija kriterijuma, kao funkcija maksimalnih poena: n:=5 m:=5 C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 3 21 12 6 10 8 23 2 5 5 33 14 13 10 7 14 21 19 11 11 9 16 10 15 13

:=

Funkcija kriterijuma, kao funkcija minimalnih škartova:

j:=1 n m.. × D x( ) 1 n m× j CT

( )

_j×x_j

å

= :=

Kompletna matrica koeficijenata ogranič enja se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Nač in dobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard-a iz menija Insert m Component.

Velič ina tabele A: (n+m) n× ×m= 250 velič ina vektora B: m n+ = 10

(43)

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 :=

Vektor ogranič enja kojim je definisano mogućnost da samo jedan radnik mož e raditi na jednoj mašini i samo jedanposao mož e biti dodeljen jednom radniku:

B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø :=

Jedna inicijalna vrednost (poslednja): x₂₅:=0

Optimalni raspored poslova: X:=Minimize D x( , )

XT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

=

Vrednosti optimalnog plana rasporeda poslova, kao matrica 5x5:

(44)

X 1 X 6 X 11 X 16 X 21 X 2 X 7 X 12 X 17 X 22 X 3 X 8 X 13 X 18 X 23 X 4 X 9 X 14 X 19 X 24 X 5 X 10 X 15 X 20 X 25 æç ç ç ç ç ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ø 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 æ ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = Verifikacija rešenja: (A X× )T = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)

Zaključak:

Na osnovu optimalnog rešenja konstatuje se da prvi posao treba poveriti prvom radniku, drugi petom, treći drugom, č etvrti č etvrtom i peti trećem. Takva raspodela poslova će rezultirati najmanjem broju škart proizvoda od 39 komada.

4.2 Raspoređivanje poslova [A2a.mcd]

Primer: Proizvodni sistem u kome se izrađ uju finalni proizvodi od drveta treba da rasporedi 5

radnika na 5 radnih mesta. nakon prijave na konkurs sve postavljene uslove zadovoljilo je 5 kandidata. U cilju njihovog pravilnog raspoređ ivanja na radna mesta organizovana je provera njihove struč ne sposobnosti. na osnovu nekoliko kriterijuma [25]. Struč na sposobnost je izraž ena preko sumarnog broja osvojenih poena datih u T.4.2.

T.4.2 R1 R2 R3 R4 R5 10 20 25 18 10 20 30 20 15 20 8 10 20 15 30 18 15 30 20 30 12 17 16 22 20 Broj poena U~esnici u radu _P1 _P2 _P3 _P4 _P5

Zadatak sesastoji u takvom raspoređ ivanju radnika na radna mesta koje će obezbediti da ukupna efikasnost, izraž ena brojem poena, bude maksimalna.

Reš enje: Vektor vrednosti poena: (ORIGIN:=1)

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 10 20 8 18 12 20 30 10 15 17 25 20 20 30 16 18 15 15 20 22 10 20 30 30 20

:=