TUTORIAL CALCULADORA CASIO FX-9860G

(1)

MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON

CALCULADORA GRÁFICA

2. ÁLGEBRA CON LA FX

−9860G SLIM

DIVISIÓN DIDÁCTICA

(2)

ECUACIONES Y SISTEMAS CON LA FX

−9860G SLIM

1. Introducción

Con la FX − 9860G SLIM se pueden resolver fácilmente ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

La calculadora dispone de la herramienta EQUA con la que es posible resolver ecuaciones por métodos discretos.

A continuación se analizarán las posibilidades de la FX− 9860G SLIM para resolver problemas relacionados con listas y ecuaciones

2. Resolución de ecuaciones

Podemos utilizar la FX−9860G SD para resolver ecuaciones lineales y no lineales. Veamos un ejemplo.

ECUACIONES CUADRÁTICAS Y CÚBICAS

•

Selecciona el menú EQUA.

•

Pulsa [F2] (POLY) para indicar que vamos a resolver una ecuación polinómica.

•

Introduce los coeficientes de la ecuación. Para modificar un coeficiente, desplaza el cursor hasta dicho coeficiente, cámbialo y pulsa [EXE]. Si pulsas [F3] (CLR) todos los coeficientes se transforman en ceros.

•

Finalmente, pulsa [F1] (SOLVE) para resolver la ecuación.

JEMPLOS E

) Resuelve la ecuación cúbica: Procedimiento:

1 X3 −2X2−X+2=0

Pantalla de resultado:

(3)

2) (Soluciones múltiples) Resuelve la ecuación cúbica: X 3X 3X 1 0

2

3 ₊ ₊ ₊ ₌

3) (Soluciones complejas) Resuelve la ecuación cúbica: X3+2X2+3X+2=0

de cursor [S] [T] para seleccionar la línea Complex Mode. Pulsa [F1] para seleccionar el Resuelve la ecuación en este modo y obtendrás la siguiente pantalla (una única solución real):

•

Selecciona la pantalla de configuración, pulsando [SHIFT] [MENU] (SETUP). Usa las teclas

•

modo | Real |.

•

siguiente pantalla (dos raíces complejas conjugadas):

•

Selecciona la pantalla de configuración, pulsando [SHIFT] [MENU] (SETUP).

•

Usa las teclas de cursor [S] [T] para seleccionar la línea Complex Mode. Pulsa [F2] para seleccionar el modo | a+bi |.

Resuelve la ecuación en este modo y obtendrás la

•

Selecciona la pantalla de configuración, pulsando [SHIFT] [MENU] (SETUP).

ccionar el modo | r∠θ |.

•

Resuelve la ecuación en este modo y obtendrás

•

Usa las teclas de cursor [S] [T] para seleccionar la línea Complex Mode. Pulsa [F1] para sele

la siguiente pantalla (raíces en forma polar):

(4)

OTRAS ECUACIONES

m n permite resolver cualquier ecuación con una o con más de una variable.

•

introducir la ecuación.

a la variable para la que quieres resolver la ecuación y obtener la solución. “Lft” y “Rgt” indican los lados izquierdo y derecho que se calculan usando la solución. Si son iguales o “casi iguales” el valor correspondiente de la variable se puede tomar como solución aproximada de la ecuación.

EJEM

El odo de cálculo de resolució Los pasos son los siguientes:

•

Pulsa [F3] (SOLVER) para indicar que vamos a resolver una ecuación.

•

Introduce la ecuación. Si no escribes el signo = la calculadora entiende que la expresión escrita es la parte izquierda del signo = y que en el segundo miembro hay un 0. Si se produce un error, pulsa [EXIT] y vuelve a

•

En la tabla de valores de la pantalla, introduce los valores iniciales de la o las variables. También puedes indicar los valores de Upper y Lower (es decir los extremos del intervalo donde se buscará la solución).

•

Seleccion

PLO

Un objeto lanzado al aire con una velocidad inicial V alcanza la altura H en un tiempo T. Sabemos que la fórmula que relaciona V, H y T es: 1 G T2

2 T V

H= ⋅ − ⋅ ⋅ . Si a los T=2 la altura H=14 metros, ¿cuál es la velocidad inicial con la segundos, el objeto ha alcanzado

que se lanzó? (suponemos G=9,8 m/s2). Procedimiento:

(5)

CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 4

. Resolución de sistemas li

3 neales

ra o más ecuaciones lineales con un número de incógnitas comprendido entre

•

a [EXE] para pasar al siguiente coeficiente. Para cambiar asta dicho coeficiente y modificarlo. Si pulsas [F3] se an todos los coeficientes en ceros. Si se produce un error, pulsa [EXIT] y vuelve a introducir la .

•

Pulsa [F1] (SOLVE) para resolver el sistema.

EJEMPLO

Pa resolver un sistema de dos

2 y 6 puedes seguir los siguientes pasos:

•

Pulsa [F1] (SIML) para indicar que vamos a resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. Puedes indicar entre 2 y 6 incógnitas.

•

Introduce los coeficientes de la ecuación. Puls un coeficiente, debes desplazar el cursor h transform ecuación ema de ecuaciones: ⎪⎬ ⎫ = + + − = − + 1 z 3 y 6 x 1 z 2 y x 4 Procedimiento: Resuelve el sist ⎪ ⎭ − = + + −5x 4y z 7 Pantalla de resultado:

(6)

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un comerciante dispone de dos tipos de zumo de 2 euros y 4 euros el litro respectivamente y

ea =número de litros del zumo A (de 2 euros/litro) y=número de litros del zumo B (de 4 euros/litro). Hay que e x+y=1000 ⎫

Una familia dispone de 27500 euros para invert

de

desea obtener 1000 litros de un zumo cuyo precio sea de 2,50 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada uno de los zumos tiene que mezclar?.

S x r solver el sistema: ⎭ ⎬ = +4y 2500

2x . Utiliza para ello el menú EQUA.

ir. Parte de ese dinero lo pone en una cuenta corriente al 5,5 % ; el resto lo invierte en bonos al 11,5 %. ¿Cómo deberá hacer su inversión para obtener una renta anual de 2712,50 euros ?.

En cuenta corriente invertimos x euros y en bonos invertimos y euros. Debe cumplirse: x+y=27500. Además: x euros al 5,5 % dan unos intereses 5,5x

100 = 0,055 x. Por otra parte: y euros al 11,5 % dan unos intereses de y

100 11,5

=0,115 ser : 0,055 x + 0,115 y =

2712,50. Hay que resolver el sistema:

⎫ =

+y 27500 x

Los 1000 gramos de un menú constan de dos alimentos A y B. Cada gramo de A tiene 2 unidades de proteínas y 3 de grasas, mientras que cada gramo de B tiene 5 unidades de

Sean x = gramos de A, y = gramos de B. Debe ser x + y = 1000. Los x gramos de A tienen 2x unidades de proteínas; los y gramos de B tienen 5y. Como en total han de ser 700 unidades, debe cumplirse: 2x + 5y = de grasas; los y gramos de B tienen 2y. Como en total han de ser 300 unidades, debe cumplirse: 3x + 2y = 300. Por consiguiente, hay que resolver el sistema:

⎪ ⎬ ⎫ 2 + 3x 700 = 5y + 2x 1000 = y +

. Resuelve el sistema con el menú EQUA.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ⎪_⎬ ⎫ − 5 = z + y + 2x 2 = 3z y + x , b) ⎪_⎬ ⎫ − − 6 = z + 2y x 0 = 2z y + x , c) 5x+3y+3z=2 1 = z + 2y + 3x ⎪ ⎬ ⎫

Comprueba que el sistema a) no tiene solución (es ompatible), que el b) tiene infinitas soluciones (es y. La renta anual será: 0,055 x + 0,115 y. Debe

⎭ ⎬ =

+0.115y 2712.50

0.055x . Utiliza el menú EQUA.

proteínas y 2 de grasas. El menú debe contener 700 unidades de proteínas y 300 de grasas. ¿Cuántos gramos de A y de B contiene el menú ?.

arte, los x gramos de A tienen 3x unidades 700. Por otra p x ⎪ ⎭ 300 = y ⎪ ⎭ −2z=1 2y + 3x x+4y−5z=−6_⎭⎪ 7x+4y+4z=3⎪_⎭ inc

(7)

4. Distintas técnicas de resolución de ecuaciones con la SLIM

MÉTODOS GRÁFICOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN

Para resolver la ecuación

2 x

3

−

6 x

2

−

6 x

+

6 =

0

, accedemos al menu GRAPH (Editor de funciones) e introducimos la función

y

=

2 x

3

−

6 x

2

−

6 x

+

6

en la calculadora, la representamos gráficamente,

ulsando [F6] (DRAW). Pulsa [SHIFT] [F3] (V p

D

−Window) y cambia los valores -7,7<x<7,7 -3,8<y<3,8. espués pulsa [E

[SHIFT] [F2] (ZOOM) [F4] (OUT) y tendremos la panta hará para valores -15,4<x<15,4; -7,6<y<7,6

XIT] [F6] (DRAW) para volver a dibujar la gráfica. Ahora podemos alejarnos pulsando lla que aparece en quinto lugar y la representación se

L ca

as raíces de la ecuación vienen dadas por los puntos de corte de la función con el eje de abscisas. La

lculadora ) para situarnos con los

cursores izquierda/derecha de la parte central del raíz. Podemos ampliar la zona que deseemos, pulsando [SHIFT] [F

permite que nos movamos sobre la curva con [SHIFT] [F1] (TRACE

teclado en el punto más cercano a la 2] (ZOOM) [F4] (OUT) o bien [F3] (IN).

Cualquiera de los procedimientos descritos se puede realizar repetidamente o utilizar combinaciones de ellos hasta conseguir la aproximación deseada en función de las exigencias de la situación.

Métodos numéricos para resolver ecuaciones

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones se basan en la búsqueda de los lugares en los que la función cambia de signo. En la mayoría de los casos hay que hacer algunas pruebas para encontrar el paso

e los valores positivos a negativos o al contrario. En la misma función anterior

6

2

3

−

_x

−

_x

+

=

x

, seleccionamos

construya una tabla de valores de x e y. En este caso encontramos a primera vista uno de los cambios de signo (hay dos más que no aparecen aquí aunque los hem

d

2

0

el menú TABLE y pulsamos [F6] (TABLE) para que os visto anteriormente en la gráfica).

Para buscar la raíz con más exactitud, tenemos que variar el valor inicial y el incremento pulsando [F5] (SET).

(8)

así sucesivamente hasta alcanzar la precisión deseada. y

Métodos automáticos para el cálculo de raíces

Las calculadoras gráficas incorporan una colección de herramientas muy potentes, que permiten realizar automáticamente cálculos sobre gráficas de funciones para obtener la solución de una ecuación. Podemos btener el punto de corte de la curva anterior, y = 2x3 − 6x2 − 6x + 6, con el eje de abscisas o

pulsando [SHIFT] [F5] (G-SOLVE) cuando se muestra la gráfica en pantalla. Al hacerlo aparece en pantalla un menú de resolución gráfica. Pulsamos [F1] (ROOT) para hallar las raíces de manera gráfica.

Si pulsamos la tecla [X

La calculadora coloca el cursor sobre la primera de las raíces y en la parte inferior nos da las coordenadas. ], el cursor se desplaza a las otras raíces

Podemos encontrar las soluciones desde la pantalla principal RUN•MAT con solve. Para ello, pulsamos [SHIFT] [4] (CATALOG) y buscamos la función Solve( . Al pulsar [EXE] se copia en la pantalla y escribimos solve (2x3-6x2-6x+2, 0, -4, 4) para indicar que tomamos X=0 como valor inicial y queremos que busque la solución de la ecuación en el intervalo [−4, 4]. Al pulsar de nuevo [EXE], el resultado que obtenemos es la raíz de la función más cercana solve (función,

valor inicial de la variable, extremo inferior, extrem

al valor inicial introducido en el intervalo dado. La sintaxis es

o superior).

Para obtener las otras dos soluciones de la ecuación hay que cambiar el valor inicial. Así, poniendo X=−3 y X=3, obtenemos:

(9)

sin

Resumen: distintas opciones para resolver una ecuación:

Si queremos resolver la ecuación

x

−

(

x

−

1 )

=0, tenemos varias opciones: en la representación gráfica tener la raíz de la función

y

sin

x

(

x

1 )

podemos ob

=

−

o bien obtener el punto de corte entre las gráficas

sin

1 y

=

x

e

y

2 =

(

x

−

1 )

También podemos resolver la ecuación en el menú EQUA con el comando solve. En primer lugar pulsamos [F3] (Solver) e introducimos la ecuación en el editor: sinx−x+1, que queremos resolver igualada a 0. En la primera línea por debajo de la ecuación, nos pide un valor inicial que servirá de aproximación; la búsqueda se realiza entre los extremos marcados como inferior y superior, por defecto entre –9*10999 y 9*10999. En esta situación situamos el cursor en la línea del valor inicial de X, mediante las teclas [S] [T] ,

ulsamos [F6] (SOLV) y obtenemos la raíz e p

la

n el valor de x (marcada con un cuadrado a su izquierda). En s dos últimas ; es decir, no hay diferencia entre el miembro de la izquierda y de la derecha de la ecuación.

líneas del editor nos muestra Left=0 Rigt=0

Si hay más de una solución para la ecuación, las en ntraremos dando diferentes aproximaciones al valor de x. Para otras posibilidades del Resolutor de E uaciones es conveniente revisar el manual de la

1) e de iguientes funcion on el co

c calculadora.

5. Actividades

Halla los puntos de cort las s es c eje OX:

a) y=−7x2+5 b) y=4x2+8x−23 c) y=1.2x+7−6x2 d) x 2 7 4x y= 2− e) y=−196x2−28 f) y=2x2+7x+8 2) − = c) y=x3 −

(

x+1

)

2 2₊ ₋ 3) g) y=223x−x2+6 h) y=7−3x+11x2

Halla los puntos de corte de las siguientes funciones con el eje OX: a) y x3 3x−1 b) y=x3+x2 −2x−1

d) y=x3 −7 e) y=3x3 −x 2

Resuelve aproximadamente la ecuación: x5 x 1 6x

−

+ con el menú EQUA, tomando como límites inferior y superior −10 y 10, respectivamente. Comprueba que la solución es, aproximadamente, 0.75. A continuación, en el editor de gráficos, introduce la expresión x5+x−1 y represéntala gráficamente. Si es necesario, modifica las dimensiones de la ventana de visualización. Comprueba en la ventana de gráficos que, efectivamente, la gráfica corta al eje de abcisas en x=0,75.

(10)

(Valor absoluto). Resuelve la ecuación:

4) 2x−3 =7 utilizando el comando Solve ( en el menú EQUA ). Después, abre la ventana del editor de gráficos e introduce la función y1= 2x−3 -7. Representa gráficamen

Comprueba

te la función. Si es necesario, modifica las dimensiones de la pantalla de visualización. que las soluciones de la ecuación se corresponden con los puntos de corte de la gráfica con el eje OX.

(Ecuación irracional). Utilizando el comando Solve, resuelve la ecuación:

5) 6+ 2x+3=x.

(Ecuación bicuadrada). Utiliza el comando Solve para resolver la ecuación: x4 −5x2 +4=0.

7) uelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: a) ln(x)=5; b) ex =3; c) 10x =5; d) x =b. Utiliza para ello el comando Solve.

) −5

s decimales: n⋅log(2)=5. Por tanto: n=5/log(2). Observa que con la SLIM obtienes los mismos resultados:

9) 6)

(Ecuaciones exponenciales y logarítmicas). Res

a

8 (Apilando papel). Supongamos que tenemos un folio de papel con un grosor de 0,1 mm (=10 m). ¿Cuántos folios como éste hemos de apilar para conseguir un grosor de 1 m?.

Hemos de utilizar la función “doblar”, cuya expresión es y=a⋅2n

. Por la condición inicial (n=0, y=10−5), se cumple a=10−5. Por tanto, hemos de resolver la ecuación exponencial 10−5⋅2n =1 (o también:

5 n ₁₀

2 = ). Esta ecuación se puede resolver directamente tomando logaritmo

(Ecuaciones trigonométricas). Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sin(x)= 2 2; b)tan(x)=2; c) sin(x)=cos(x). Utiliza para ello el comando Solve. Comprueba qué ocurre si se trabaja en el modo de grados y en el modo de radianes.

10) x+y=1 ⎫

iones y1= x+1, y2=(1/2)x+1, y represéntalas gráficamente. Si es necesario modifica las la ventana gráfica. Comprueba gráficamente que la solución es la obtenida con el comando Solve.

11) (Sistemas de ecuaciones). Resuelve los sistemas de ecuaciones:

⎭ ⎪ ⎭ = − −y z 1 3x

utilizando el menú EQUA.

a) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + + = + + = − + 2 21z 13y x 0 2z 6y 2x 0 3z y x b) ⎪ ⎭ = + − y z 4 3x 4 c) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + + = + = + + 5 2z 2y 3x -1 z y -2x 2 z y x d) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = − + − = + − = + 2 z y x 1 3z y 2x 3 z -2y x

Resuelve el sistema de ecuaciones:

⎭ ⎬ = +

−x 2y 2 . Utiliza para ello el comando Solve de la aplicación

Principal. Posteriormente, comprueba geométricamente el resultado. Para ello, en el editor de gráficos introduce las func −

dimensiones de ⎬ ⎫ = + = − 12 2y 5x 1 3y 2x ⎪ ⎬ ⎫ = + − = − + 5 3z 2y x 2 z 3y 2x

12) Estudia la compatibilidad de los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

⎪ ⎬ ⎫ = + + = + 2 z 2y x -1 z 3y -2x

(11)

ICES CON LA FX

−9860G SLIM

MATR

. Edición de mat

1 rices

EDITAR UNA MATRIZ

olumnas B= _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

•

Selecciona el menú RUN•MAT.

•

Pulsa [F1] (XMAT). Se visualiza la panta Crea una matriz de 2 filas y 3 c

lla del editor de matrices.

•

Pulsa [T

•

En el cuadro de diálogo dimensión, indica la dimensión de la matriz, pulsando [2] [EXE] [3] [EXE]. ] para seleccionar la línea MatB y pulsa [F3] (DIM).

×

•

Pulsa [EXE] y se muestra una plantilla de matriz 2 3 con todos sus elementos ceros.

•

Introduce cada uno de los elementos de la matriz y pulsa [EXE] para pasar al siguiente elemento.

•

Para salir de la pantalla, pulsa [EXIT]. Observa que en la línea de la matriz B se indica su orden.

BORRAR UNA MATRIZ

•

Si el editor de matrices se muestra en pantalla, para borrar una matriz hay que desplazar e

l cursor con [S] [T] hasta seleccionar dicha matriz y pulsar [F1] (DEL).

En el cuadro de diálogo que aparece, pulsa [F1] (Yes) para confirmar o [F6] (No) para cancelar. Para borrar todas las matrices desde la pantalla del editor de matrices, pulsa [F2] (DEL-A).

) para confirmar o [F6] (No) para cancelar.

•

(12)

PERACIONES POR FILAS Y POR COLUMNAS O

Las operaciones por filas se encuent el menú que ap ntalla cuando se ha seleccionado una matriz en el editor de matrices. La nes de dicho menú as siguientes:

Su ú ran en arece en pa s opcio son l Menú bmen R-OP DEL INS ROW ADD DEL INS COL ADD EDIT A su vez, el menú R-O los si

C o

P tiene guientes comandos:

omand Descripción

Swap Transposición de filas

×Rw Multiplicación de un escalar por una fila concreta ×Rw+ Suma del producto de una fila por un escalar a otra fila

Rw+ Suma de una fila concreta a otra fila

Transponer dos filas

Transponer las filas dos y tres de la siguiente matriz: Matriz A = ⎢ ⎥

⎡ 4 3

2 1

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [F1] (R-OP) [F1] (Swap).

•

Indica el número de orden de las filas que ] [EXE] [3] [EXE].

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣5 6 quieres transponer: [2

la matriz con las dos filas intercambiadas.

•

Pulsa [F6] (EXE) o la tecla [EXE] para obtener

Multiplicar una fila por un escalar

ultiplica por 4 la fila 2 de la siguiente matriz. Matriz A=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 M

(13)

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [F1] (R-OP) [F2] (×Rw).

•

Indica el número por el que hay que multiplicar y el número de orden de la fila: [4] [EXE] [2] [EXE].

•

Pulsa [F6] (EXE) o la tecla [EXE] para obtener la matriz resultante.

Multiplicar una fila por un escalar y sumar el resultado a otra fila

⎥⎦ 6

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [F1] (R-OP) [F3] (×Rw+).

•

Indica el número por el que hay que multiplicar, el la fila que hay que multiplicar y el Multiplica por 4 la fila 2 de la siguiente matriz y suma el resultado a la fila 3: Matriz A= _⎥⎥

⎢ ⎢ ⎢ ⎣5 4 3 ⎤ ⎡1 2 número de orden de

número de orden de la fila donde hay que sumar el resultado: [4] [EXE] [2] [EXE] [3] [EXE].

•

Sumar una fila a otra fila

⎥⎦ ⎢⎣ 65

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [F1] (R-OP) [F4] (Rw+).

•

Indica el número de orden de la fila origen y el número de orden de la fila destino: [2] [EXE] [3] [EXE]. Suma la fila 2 a la fila 3 de la siguiente matriz: Matriz A=_⎢3 4_⎥⎥

⎤ ⎢ ⎡1 2

(14)

•

Borrar una fila

⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 6 2 1

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [T] para seleccionar la fila 2 de la matriz.

fila de la matriz. Borra la fila 2 de la siguiente matriz: Matriz A=_⎢⎢3 4_⎥⎥

⎥ 5

•

Pulsa [F2] (ROW) [F1] (DEL). Observa que desaparece la segunda

•

Insertar una fila

Inserta una fila nueva entre las filas 1 y 2 de la siguiente matriz: Matriz A=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 la fila 2 de la matriz.

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [T] para seleccionar

•

Pulsa [F2] (ROW) [F2] (INS). Observa que aparece la segunda fila de la matriz con elementos nulos.

(15)

Añadir una fila ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ 6 4 2 r la última fila de la matriz.

Añade una fila nueva entre al final de la siguiente matriz: Matriz A=

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 3 1

•

Una vez seleccionada la matriz, se muestran en pantalla sus elementos. Pulsa [T][T] para selecciona

[F3] (ADD). Observa que aparece la segunda fila de la matriz con elementos nulos.

•

Pulsa [F2] (ROW)

Borrar una columna

Borra la columna 2 de la siguiente matriz: Matriz A=

•

Una vez seleccionada la matriz, pulsa [

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

X] para seleccionar la segunda columna de la matriz.

Pulsa [F3] (COL) [F1] (DEL). Observa que desaparece la segunda columna de la matriz.

•

Insertar una columna

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

Inserta una nueva columna entre las columnas 1 y 2 de la siguiente matriz. Matriz A=

•

Una vez seleccionada la matriz, pulsa [X] para seleccionar la segunda columna de la matriz.

(16)

•

Pulsa [F3] (COL) [F2] (INS). Observa que desaparece la segunda columna de la matriz con todos sus elementos nulos.

Añadir una columna

Añade una nueva columna a la derecha de la matriz A=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

•

Una vez seleccionada la matriz, pulsa [X] para seleccionar la última columna de la matriz.

Pulsa [F3] (COL) [F3] (ADD). Observa que aparece la nueva columna de la matriz con todos sus

•

elementos nulos.

EL MENÚ DE MATRICES

Para ver el menú de matrices:

•

Selecciona el menú RUN•MAT y pulsa [OPTN]. Se muestra el menú de opciones.

•

Pulsa [F2] (MAT) pa r los c describen a continuación:

Comando Descripción

ra ve omandos de matrices que se

Mat Especifica o nombra una matriz

M→L Asigna los elementos de la fila seleccionada a una lista Det Calcula el determinante de la matriz

Trn Halla la matriz transpuesta

Aug Enlaza dos matrices Iden Escribe una matriz unidad

Dim Halla la dimensión (orden) de la matriz Fill Valores de celdas idénticos

Editar una matriz

Edita la siguiente matriz: A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 6 4 2 5 3 1

(17)

Editar una matriz identidad

Escribe la matriz identidad de orden 3.

Comprobar las dimensiones de una matriz

Comprueba las dimensiones de la matriz A=⎡1 3 5⎤_⎥

⎦ ⎢

⎣2 4 6

Luego la matriz tiene 2 filas y 3 columnas

Editar un elemento de una matriz

Asigna el valor 10 al elemento de la fila 1 y columna 2 de la matriz A=

⎦ ⎢⎣ 65 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 4 3 2 1

(18)

Multiplicar un elemento de una matriz por un número

Multiplica el elemento (2, 2) de la matriz A= por 5.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

Matrices con elementos idénticos

Llena todas las celdas de la matriz A ( 3×2 ) con el valor 3

Combinar dos matrices

Combina las dos matrices A=

⎦ ⎣ ⎥ y B=⎣ ⎦ ⎤ ⎢ ⎡ 2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 4 3

Transformar una columna de una matriz en una lista

Asigna los elementos de la columna 2 de la matriz A= a la lista List1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

(19)

2. Operaciones con matrices

Suma de matrices

Suma las matrices A= _⎥ y B=

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 3 2

Producto de un escalar por una matriz

Multiplica el escalar 5 por la matriz A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 2 1 Producto de matrices

Efectúa el producto de matrices A×B, siendo A= _⎥ y B=

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 3 2

Efectúa el producto de la matriz A= _⎥ por la matriz unidad 2×2

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 1 1

Determinante de una matriz

Halla el determinante de la matriz A=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −1 2 0 6 5 4 3 2 1

(20)

Transpuesta de una matriz

Halla la transpuesta de la matriz A=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1

Inversa de una matriz

Calcula la inversa de la matriz A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 2 1

Cuadrado de una matriz

Halla el cuadrado de la matriz A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 2 1

Potencia de una matriz

Calcula el cubo de la siguiente matriz A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 2 1

Valor absoluto de una matriz

Halla el valor absoluto de la siguiente matriz A= _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 4 3 2 1

(21)

EDICIÓN DE MATRICES EN EL MODO MATEMÁTICO

En el modo matemático, edita la siguiente matriz, efectúa el cálculo indicado y guarda el

resultado en la matriz Mat J: 8 6 5 4 13 33 2 1 1 × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

•

En el modo RUN•MAT pulsa [SHIFT] [MENU] (SETUP) [F1] (Math) [EXIT] para activar el modo de escritura matemático.

•

Pulsa [F4] (MATH) para ver el menú MATH.

•

Pulsa [F1] (MAT) para ver el menú de matrices. En el puedes ver las opciones 2×2, 3×3, m×n, según que quieras editar una matriz cuadrada de orden 2 o de orden 3, o bien una matriz de otro orden.

•

Pulsa [F3] (m n) para indicar que vamos a editar una matriz rectangular. ×

En el cuadro de diálogo que aparece, introduce las dimensiones de la matriz (2 filas y

•

3 columnas),

pulsando [2] [EXE] [3] [EXE] y después pulsa [EXE]. Aparece una plantilla de matriz 2×3.

•

Introduce los elementos de la matriz, tal como se indica a continuación:

•

Para asignar la matriz resultante a la matriz Mat J sigue los siguientes pasos:

(22)

MATRICES Y SISTEMAS CON LA FX 9860G SLIM

−

MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

Resuelve el sistema de ecuaciones

⎭ utilizando el método de la matriz inversa.

1) En el menú RUN•MAT, edita las matrices de coeficientes A= y de términos independientes: C=

⎠

⎝ . Sea B=⎝ ⎠ la matriz de incógnitas.

2) ltiplicando a la

izquierda por la inversa de la matriz A, obtén la matriz de incógnitas: A⋅B=C → B=A-1_⋅C.

⎬ ⎫ = + − = + 2 2y x 1 y x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −1 2 1 1 ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ 2 1 ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ y x

Como la matriz de coeficientes es cuadrada y regular, det(A)≠0, tiene inversa. Mu

) Por tanto, la solución es x=0 e y=1.

ÉTODO DE GAUSS Y MÉTODO DE GAUSS−JORDAN

3

M

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

⎭ usando la calculadora.

1) En el menú RUN•MAT, edita la matriz A=_⎜⎜⎛1 −3 3 ⎞.

2) 5, suma la fila segunda y coloca el resultado en ésta. La operación es xRw+ y obtenemos la matriz _⎜⎜ ⎞ ⎝ ⎛ − 16 0 3 3 1 . ⎬ ⎫ = + = − 63 y 5x 3 3y x ⎟⎟ ⎠ ⎝5 1 63

Multiplica la fila primera por −

⎟⎟ ⎠

48

3) Multiplica la segunda fila por 1/16. La operación es xRw y obtenemos la matriz _⎜⎜⎛1 −3 3⎞. 4) por 3, suma la primera f

y obtenemos la matriz ⎜⎛1 0 12⎞. En esta matriz podemos leer que la solución del sistema es x = 12, y = 3. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado.

⎟⎟ ⎠

⎝0 1 3

Multiplica la segunda fila ila y coloca el resultado en ésta. La operación es xRw+

⎟ ⎠ ⎜

⎝0 1 3 ⎟

(23)

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales ⎭ on la SLIM. 1) Editamos la matriz ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 1 2 1 1 1 6 1 1 1

A . Para ello usamos el menú de matrices en RUN•MAT. ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + = + − = + + 0 z y x 2 z y x 6 z y x c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2) Multiplica la primera fila por 1, suma la segunda fila y coloca el resultado en ésta. La operación es XRw+ y obtenemos la matriz

3) Multiplica la primera fila por 1, suma la tercera fila y coloca el resultado en ésta. La operación es XRw+ y obtenemos la matriz − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 1 1 1 4 0 2 0 6 1 1 1 . − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 6 2 0 0 4 0 2 0 6 1 1 1 .

4) En la última matriz, utilizando el sistema triangular de Gauss ⎪⎬

⎫ − = − = + + 4 2y 6 z y x , obtenemos la única

solución del sistema: x = 1, y = 2, z = 3. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado.

OS ECUACIONES Y TRES INCÓGNITAS

⎪ ⎭ − = −2z 6 D Resuelve el sistema ⎭

Empezamos por escribir el sistema en forma matricial de la siguiente manera:

_⎜⎜

⎛

1

3 ⎞

esta matriz. Introducimos en primer lugar la dimensión de la matriz y ntramo ⎬ ⎫ = + + = + + 8 4z y 2x 3 z y x

⎟⎟

⎠

⎝

2

1

4

8

Abrimos el Editor RUN y resolvemos e s los elementos de la matriz:

(24)

odemos reducir la matriz del sistema m

P ediante operaciones por filas. Mostramos a continuación cómo

−2 y sumamos el resultado a la fila 2. Sustituimos la fila 2 por lo obtenido.

⎞

⎜⎜

⎛

8

4

1

2

3

1

1 ⎞

⎜⎜

⎛

−

1

2

0

3

1

n la calculadora in diante xRw+ hacerlo con la calculadora FX−9860G SD.

Primero multiplicamos la fila 1 por 1.

⎟⎟

⎠

⎝

⎯

⎯ →

⎯

⎝

⎠

+ −2r1 r2

⎟⎟

E troducimos la información me para obtener la matriz resultante:

2. El siguiente paso consiste e

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

1

2

0

3

1

1 ⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

2

1

0

3

1

ara hacer esto intr

n multiplicar por −1 la fila 2 y sustituir el resultado en la fila 2:

⎠

⎝

⎯

⎯→

⎝

⎠

−r2

P oducimos la información en la calculadora mediante xRw obteniendo la siguiente matriz:

3. A continuación, multiplicamos por

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

2

1

0

3

1

1 ⎯

⎯ →

⎯

−r2+r1

⎠

⎛

−

2

1

0

5

3

0

1

ara ello introducim Rw+ to para obtener la matriz final:

−1 la fila 2 y añadimos el resultado a la fila 1:

⎠

⎝

⎟⎟

⎞

⎜⎜

P os la función x

corresponde al sistema o, equivalentemente,

⎭ ⎬ ⎫ − = + − = 2 2z 5 3z La matriz resultante

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

2

1

0

5

3

0

1

⎭ ⎬ ⎫ − = − = + 2 2z y 5 3z x y x

(25)

El sistema tiene infintas soluciones (-3z+5,2z-2,z) donde z cualquier valor ⎭ ⎬ = + + y 4z 8 2x

espacio tridimensional. Para un sistema de dos ecuaciones con tres variables, una solución existe si los dos planos se cortan en una recta.

es un parámetro y puede tomar

real. La representación gráfica del sistema de ecuaciones x + y +z=3 está formada por dos planos en el

En este ejemplo, el conjunto de soluciones está formado por los puntos de la cta r de ecuación vectorial

(-3z+5,2z-2,z) = (5,-2,0) + z(-3,2,1) a intersección de los dos planos se muestra a continuación:

⎫

re

L

incógnitas solamente si hay tres ecuaciones. Por tanto, no podemos resolver el sistema usando la calculadora directamente. Por otra parte, la matriz de coeficientes

_⎜⎜

⎛

1

1 ⎞

, no es cuadrada y, por tanto,

rsa. Un error de dimensión ocurre cuando intentamos obtener la inversa de la matriz en el ditor RUN:

Nota: El sistema anterior tiene dos ecuaciones y tres incógnitas. La calculadora puede resolver tres

⎠

⎝

2

1

4

no tiene inve

⎟⎟

E

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

8

4

1

2

3

1

Por tanto, el sistema hay que resolverlo transformando la matriz ampliada mediante peraciones por filas.

SCULTURAS DE BRONCE

o

E

tiva al máximo de capacidad, ¿cuántas esculturas de cada tipo puede producir cada semana?

Una compañía produce tres tipos diferentes de esculturas de bronce. El departamento de fundición tiene disponible un máximo de 140 horas de trabajo por semana, y el departamento de acabado tiene un máximo de 180 horas de trabajo semanales. Una escultura del tipo 1 requiere 30 horas de fundición y 10 horas de acabado. Una escultura del tipo 2 requiere 10 horas de fundición y 10 horas de acabado. Una escultura del tipo 3 requiere 10 horas de fundición y 30 horas de acabado. Si la planta está opera

(26)

Sea x = número de esculturas del tipo 1 producidas cada semana y = número de esculturas del tipo 2 producidas cada semana

z = número de esculturas del tipo 3 producidas cada semana

Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

l sistema puede escribirse en forma matr era:

troducimos la matriz en el Editor RUN:

⎭ ⎬ ⎫ = + + = + + 180 30z 10y 10x 140 10z 10y 30x

E icial de la siguiente man

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

180

30

10

140

10

30

In

a siguiente figura muestra las operaciones por filas necesarias para transformar la matriz: L

(27)

Traduciendo la matriz final obtenida a ecuaciones, obtenemos: o, equivalentemente, ⎭ 0 or z

≥

2 . También 20−4z

≥

0 implica z ⎭ ⎬ ⎫ = + − = − 20 4z y 2 z x ⎬ ⎫ − = − = 4z 20 y 2 z x

Las infinitas soluciones del sistema son (z-2,-4z + 20 z). Como las variables x, y, z representan números de esculturas, no pueden ser negativas. Por tanto z-2

≥

,

≤

5. Por nto, los únicos posibles valores de z son 2, 3, 4 y 5.

enemos la siguiente tabla que muestra las diversas posibilidades:

Esculturas tipo 1 Esculturas tipo 2 Esculturas tipo 3 ta T 0 12 2 1 8 3 2 4 4 3 0 5

. Actividades

3

1) Encuentra una matriz C que cumpla 2A+3B−C=0, siendo: A= y B=

2) Determina si existe una matriz X tal que A⋅X=B, con A= y B=

3) Encuentra una matriz X que verifique: AX+B=C, siendo: A= y B= y C=

4) Dadas la matrices A= , B= ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 0 1 0 1 0 1

y C= , estudia la existencia de una matriz X

, hallando la matriz X cuando la respuesta sea afirmativa: a) AXB=C, b) BXA=C, c) XB=AC, d) BX=AC.

5) s siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) ⎭ b) ⎭⎬ ⎫ = − = + 2 y x 1 y 2x . 6)

irá 300 euros más que el tercero. ¿Cómo hacer el reparto si los beneficios ascienden a 3000 euros?. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 6 4 1 5 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 6 5 2 1 3 . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 1 5 1 0 2 0 3 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 0 1 1 1 2 . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 2 1 0 2 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 1 0 2 5 2 0 0 3 . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 1 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ − 10 1

que verifique la igualdad indicada en cada uno de los siguientes casos

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 0 2 1 3

Utilizando el método de la matriz inversa, resuelve lo

⎬ ⎫ − = − = + 4 2y 2x 2 y x

Se quiere realizar el reparto de beneficios de una empresa valorando el tipo de trabajo realizado por cada uno de los tres socios. Se acuerda que el primero reciba 200 euros más que el segundo. Éste a su vez recib

(28)

PROGRAMACIÓN LINEAL CON LA FX

−9860G SLIM

INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

inecuaciones que siguen representa una región del plano cartesiano. Dibuja d

1) x + y < 3 2) 2 x − 3 y ≤ 4 3) 2 x > y − 6 4) x ≤ 3 y − 6 5) x + 5 y = 6 1.

lsa [EXE] para seleccionar la línea y1. Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar

Cada una de las ichas regiones:

En el menú GRAPH, para dibujar la región (1), en el editor de gráficos pulsa [F3] (TYPE) [F6] (Z) [F2] (Y<). Sitúa el cursor en la línea y1 e introduce la expresión y1<−x+3. Pu

la región. Observa el resultado.

Para dibujar la región (2), en el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y≥ pulsando [F3] (TYPE) [F6] (Z) [F2] (Y<) [F3] (Y≥). Sitúa el cursor en la línea y2 e introduce la expresión y2≥

2.

3x− 2

3. Pulsa

[EXE] para seleccionar la línea y2 y quita la selección de la línea y1 situando el curso

4

r en dicha línea y pulsando [F1] (SEL). Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región. Observa el resultado.

Para dibujar la región (3), en el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y<, pulsando [F3] (TYPE) [F6] (Z) [F2] (Y<) [F2] (Y<). Sitúa el cursor en la línea y3 e introduce la expresión y3<2x+6. Pulsa [EXE] para seleccionar la línea y3 y quita la selección de la línea y2, situando el cursor

3.

en dicha línea y pulsando [F1] (SEL). Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región. Observa el resultado.

Para dibujar la región (4), en el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y≥ ,sitúa el cursor en la línea y4 e introduce la expresión y4≥(1/3)x+2. Pulsa [EXE] para seleccionar la línea

4.

y4 y quita la selección de la línea y3. Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región. Observa el resultado.

Para dibujar la región (5), en el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y= , sitúa el cursor en la línea y5 e introduce la expresión y= −(1/5)x+(6/5). Pulsa [EXE] para seleccionar la líne

5.

a y5 y quita la selección de la línea y4. Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región. Observa el resultado.

(29)

Representa gráficamente las soluciones de 1) 3) ⎭ ⎬ ⎫ − −3<y< 1 3 < x 1 4) ⎭ ⎬ ⎫ − − 6 < 3y x 1 < y ⎭ 1)

los sistemas de inecuaciones que siguen:

⎭ ⎬ ⎫ − − 1 < y 3 > y 2) ⎭⎬ ⎫ − ≤ ≤ 7 y 3 x − < 2x 5) ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − 0 > y + x 4 < 2y x 6 < 3y + x

En el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y>. En la línea Y1 introduce la expresión Y1>−3. Selecciona el comando Tipo Y<. En la línea Y2 introduce la expresión Y<−1. Selecciona el cuadro de marcación de las líneas Y1 e Y2 y pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región.

2)

elecciona el cuadro de marcación de las líneas y3 e y4 y pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la región.

En el editor de gráficos selecciona el comando Tipo y≤. En la línea Y3 introduce la expresión y3≤−7, [−1000, 3]. Queremos que se dibuje también la recta X=3. Por tanto, selecciona el tipo X= e introduce en la línea X4 la fórmula X4=3. S

En el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y<. En la línea Y5 introduce la expresión y5<−1. Selecciona el comando Tipo Y>. En la línea y6 introduce la expresión y6>−3, [−1, 3]. Introduce también las formulas X7=−1, X8=3 para ver las rectas verticales. Modifica si es necesario los parámetros de la ventana de visualización. Selecciona el cuadro de marcac

3)

ión de las líneas Y5 e Y6 y pulsa [F6] (DRAW) ara representar gráficament

p e el conjunto de soluciones.

En el editor de gráficos selecciona el comando Tipo Y>. En la línea Y9 introduce la expresión Y9>2X−1. En la línea Y10 introduce la expresión Y10>(1/3)X−2. Selecciona el cuadro de marcació

4)

n de las líneas y9 e y10 y pulsa [F6] (DRAW) para representar gráficamente el conjunto de soluciones.

5) > >−

En la línea y12 introduce la expresión y12>

En el editor de gráficos selecciona el comando Tipo y . En la línea y11 introduce la expresión y11 x.

2

expresión y13<(−1/3)X+2. Selecciona el cuadro de marcación de las líneas y11, y12 e

1_{x−2. Selecciona el tipo Y<. En la línea y13 escribe la}

y13 y pulsa [F6] (DRAW) para representar gráficamente el conjunto de soluciones.

(30)

Queremos comprar café de 5 euros / kg. y café de 4 euros / kg. para mezclarlo. Dispone 4 euros / kg. para mezclarlo. Disponemos únicamente de 30 euros. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café podemos comprar ?.

e ser inferior o igual a 30 euros: 5 x + 4 y ≤ 30. Por tanto, hay que resolver el sistema de inecuaciones:

mos únicamente de 30 euros. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café podemos comprar ?.

e ser inferior o igual a 30 euros: 5 x + 4 y ≤ 30. Por tanto, hay que resolver el sistema de inecuaciones:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≤ ≥ ≥ 30 4y + 5x 0 y 0 x

Sea x el número de kilos de café de tipo A (de 5 euros / kg.). Sea y el número de kilos de café de tipo B (de 4 euros / kg.). Debe ser x≥0, y ≥0. El precio de la mezcla es: 5 x + 4 y. Este precio deb Sea x el número de kilos de café de tipo A (de 5 euros / kg.). Sea y el número de kilos de café de tipo B (de 4 euros / kg.). Debe ser x≥0, y ≥0. El precio de la mezcla es: 5 x + 4 y. Este precio deb

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≤ ≥ ≥ 30 4y + 5x 0 y 0 x

Todos los puntos de esta región (incluyendo los segmentos frontera) son solución del problema.

U s las dos opciones siguientes:

a que la opción b) permita ganar menos de 000 cents y la opción a) más de 20000 cents?.

Como queremos que D<20000 y que D’>20000, deberán cumplirse simultáneamente las

. Este sistema de inecuaciones lineales es equivalente a

Despejando y en cada una de las dos primeras inecuaciones:

⎭

(1) na fábrica oferta a sus trabajadores para el cobro de dieta

a) 20 cents. por artículo vendido más una cantidad fija.

b) 10 cents. por artículo vendido más el doble de la cantidad fija. ¿Cuántos artículos y qué dietas deben fijarse par

20

Sea y la cantidad fija (igual para las dos opciones de cobro). Sea x el número de artículos vendidos. Las dietas correspondientes a la opción a) son D = 20 x + y. Las dietas correspondientes a la opción b) son D’ = 10 x + 2 y. inecuaciones: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ > > > + < + 0 y 0 x 20000 2y 10x 20000 y x 20 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ > > > + < + 0 y 0 x 10000 y 5x 20000 y x 20 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ > > + − > + − < 0 y 0 x 10000 x y 20000 20x y 5 nas dietas de 18000 8000 500 20⋅ + = cents (opción a) y de 10 500 2 8000 21000

La región del plano definida por el sistema de inecuaciones lineales (1) es el triángulo sombreado de la figura, excluyendo los tres lados. Hay, por tanto, infinitas soluciones. Una de ellas es el punto de

), es decir, 500 artícu fijos, lo que da u coordenadas (500, 8000 los vendidos y 8000 cents

= ⋅ +

(31)

CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 30 o máximo 40 horas a la semana, ¿cuántos jarrones y ceniceros puede hacer semanalmente ?.

ros, y cada cinta de cassette 3 euros. ¿Cuántas cintas de cada tipo puede comprar al mes ?.

ROGRAMACIÓN LINEAL

Un artesano posee un taller de alfarería en el cual fabrica ceniceros de cerámica y jarrones. Tarda 2 horas en hacer cada jarrón y media hora para cada cenicero. Si trabaja com

Una persona invierte mensualmente 200 euros, como máximo, en comprar cintas de vídeo y cintas de cassette. Cada cinta de vídeo le cuesta 12 eu

P

ck, no e pueden fabricar más de 500 en total. Suponiendo que es vendida toda la producción:

b) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos?

y = número de copas talladas.

tricciones que podemos expresar en forma de sistema de ecuaciones lineales de la siguiente manera:

⎭

tible o recinto de validez. Cualquiera de los puntos de dicho recinto puede ser solución del

roblema.

de las funciones que queramos eliminar, pulsando [F2] DEL [F1] ES, hasta quedar de la siguiente forma:

Una fábrica de vidrio reciclado va a producir dos tipos de copas: unas sencillas que vende a 4,50 euros y otras talladas a 6 euros. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sencillas, ni más de 300 talladas. Por razones de sto s

a) ¿Cuántas de cada clase convendrá producir para obtener máximos ingresos?

Sea x = número de copas sencillas.

Dichas variables están sometidas a unas res in ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ 400 x 0 500 y x 300 y 0

El conjunto de puntos del plano que son soluciones de este sistema de inecuaciones lineales se llama

región fac

p

Para representar el recinto de validez con la FX−9860G SD, seleccionamos con los cursores el menú GRAPH y pulsamos [EXE]. Aparece la pantalla con la lista de funciones. Borramos todas las que haya en el editor colocando el cursor sobre cada una

Y

Introducimos la primera inecuación y≤300, pulsando [F3] TYPE [F6] Z [F4] Y≤ 300 [EXE]. Automáticamente se selecciona la siguiente función para introducir la nueva inecuación x+y≤500, que la entraremos como y≤500−x.

(32)

quedando seleccionada automáticamente la siguiente inecuación y≥0. Al ser una inecuación de otra forma que las anteriores, hay que modificar el TYPE. Para ello, pulsamos [F3] TYPE [F6] Z [F3] Y≥ 0 [EXE], obteniendo la siguiente pantalla:

¿Cómo hacer para introducir las inecuaciones x≤400 x≥0? Podemos diseñar una estrategia consistente en cotar la última f ci crita en el intervalo [0, 400], para lo cual, volvemos con los cursores

a un ón es sobre la

nción anterior: [c] [f] [f −] ] [EXE]. Con ello obtenemos: fu ] [ , ] [SHIFT] [+] [ 0 [ , ] 400 [SHIFT] [

demás, si queremos que la recta x=400 se visualice, pulsamos: [F3] TYPE [F6] Z [F4] X=c 400 [EXE], con lo que resulta:

A

Ajustamos los parámetros de escala para la visualización de la ventana, pulsando [SHIFT] [F3] V−Window. Unos valores adecuados para este problema pueden ser los siguientes:

Representamos gráficamente el conjunto de restricciones, pulsando [EXE] [F6] DRAW y obtenemos:

os ingresos que se obtendrán por la venta de las copas vienen dados por la función: I(x, y)=4,50x+6y. Esta L

es la función que se quiere maximizar y que se llama función objetivo.

Para maximizar la función objetivo, representaremos gráficamente la función de ingresos nulos: I = 0 → 4,50 x + 6 y = 0 → y = x

6 4,50

− o bien: y = −0,75 x. Para dibujar la gráfica de esta función, primero cambiamos el tipo a Y=. Para ello pulsamos [EXIT] [F3] TYPE [F1] Y= [(−)] 0 [ . ] 75 [x,σ,T] [EXE], obteniendo la pantalla:

(33)

A continuación pulsamos [F6] DRAW para que se dibuje la gráfica, obteniendo la siguiente pantalla:

rece una pantalla donde se señala l punto de intersección y se indican sus coordenadas, X=200 e Y=300.

Todas las paralelas a la recta de ingreso nulo que pasan por el recinto de validez se llaman líneas de nivel. De todas las líneas de nivel, la que tiene mayor ordenada en el origen es la que pasa por el vértice del recinto que es punto de intersección de las rectas y=30, y=500−x. Por tanto, la solución viene dada por las coordenadas de dicho punto. Para obtenerlas, pulsamos [F5] G−SOLVE [F5] ICST. Cuando el cuadradillo esté sobre la recta Y≤300, la validamos, pulsando [EXE]. De la misma forma, cuando el cuadradillo esté sobre la recta Y≤500−X, la validamos, pulsando [EXE]. De esta forma apa

e

[c] [RUN] para elegir el enú RUN y tecleando 4 [ . ] 50 [x] 200 [+] 6 [x] 300 [EXE]. Obtenemos la pantalla:

Por tanto, se deberán fabricar X=200 copas sencillas e Y=300 copas talladas para obtener el máximo beneficio. En este caso, el máximo beneficio se obtiene pulsando [EXIT] [MENU]

m

e el máximo beneficio es de 2700 euros y se obtiene al vender 200 copas pequeñas y 300 opas talladas.

) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones : 1) ⎭ 2) ⎬ ⎫ ≤ −3y 4 4) 5) 6) Lo que indica qu c

. Actividades

4

1 ⎬ ⎫ ≤ ≥ − 0 y + 2x 0 1 2y + x ⎭ ⎬ ⎫ ≥ − ≥ 3 y x 2 y + x 3) 2x ⎭ ≥ 2 2y + 3x _⎭⎬ ⎫ ≥ ≤ 2 6y + 2x 1 3y + x ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≤ ≥ ≥ 3 y x y 2x 0 7) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≥ ≤ − ≥ 2 x 0 y 2x 0 y 8) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≥ ≥ ≥ − ≥ 0 y 0 x 2 1 + y 0 1 + y + x ⎭ ⎬ ⎫ ≥ − ≥ − 4 y 2x 3 y 2x x 3x+ x

(34)

2) El departamento de policía de una ciudad dispone de 60 coches patrulla y 140 agentes para ocuparlos. Existen dos tipos de servicio : el de vigilancia intensiva en zonas de alto riesgo, y el de vigilancia rutinaria y ayuda al ciudadano. Los coches destinados al primer tipo de servicio son ocupados por 3 agentes ; los del segundo por 2 agentes. ¿Puede montarse un servicio de 30 coches de vigilancia intensiva y 30 coches de vigilancia normal ?. Expresa gráficamente las posibles distribuciones de agentes y coches.

3)

20 motocicletas ?.

cuesta 5 euros y cada kg de B 3 euros. ¿Qué composición puede tener la dieta ?.

trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata a equipos de jóvenes

distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero?

500, 3500 y 1000 kg de Una fábrica produce bicicletas y motocicletas. En la planta de montaje se tarda media hora en montar una bicicleta y tres cuartos de hora en una motocicleta. En la planta de acabado se invierte un tiempo de media hora en cada caso. En ambas plantas se trabaja 40 horas a la semana, pero se dispone de un tiempo −variable e impredecible− para poner el sistema en funcionamiento y para dejar la maquinaria en condiciones al acabar la jornada de trabajo. Por otra parte, por razones de mercado, el número de bicicletas no debe ser superior al número de motocicletas. Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones que se puede plantear a partir de los datos del enunciado. ¿Se pueden producir semanalmente 20 bicicletas y 30 motocicletas ?. ¿Y 25 bicicletas y 30 motocicletas ?. ¿Y 10 bicicletas y

4) Una dieta alimenticia debe contener al menos 400 unidades de vitaminas, 500 unidades de minerales y 1400 calorías. El alimento A contiene, por kg, 200 unidades de vitaminas, 100 unidades de minerales y 400 calorías. El alimento B, también por kg y respectivamente, 100, 200 y 400. Cada kg del alimento A

5) Las 20 chicas y los 10 chicos de un club excursionista organizan un viaje para el cual necesitan dinero. Deciden pedir

de dos tipos:

Tipo A: Parejas: una chica y un chico.

ipo B: Equipos de 4, formados por 3 chicas y un chico. T

Se paga a 30 euros la tarde a la pareja y 50 euros la tarde al equipo de 4. ¿Cómo les conviene

6) Dos yacimientos de oro, A y B, producen al año 2000 y 3000 kg de mineral de oro, respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboración, C, D y E, que admiten

mineral, respectivamente, al año. El coste del transporte, en euros por kilo, es C D E

A 10 20 30 B 15 17,50 20

¿Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible?

ual al de cajas grandes, ¿cuántas de cada tipo debe hacer si 7) Un fabricante de chocolate elabora dos tipos de cajas de bombones, de 250 gramos y de 300 gramos respectivamente. Obtiene un beneficio de 5 euros por cada caja de las primeras, y de 6,5 euros por cada caja de las últimas. Si dispone de 100 kg. de chocolate para confeccionar las cajas, y el número de cajas pequeñas debe ser, al menos, ig

desea obtener un beneficio máximo ?.

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Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas ; en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos ; en el segundo pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,5 y 7 euros, respec

8)

tivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene poner de cada tipo para obtener los máximos beneficios ?.

9)

costes de traslados son, por cada una, los que se indican en la tabla (en cientos de decenas de euros): Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas : 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomotoras deben comenzar a prestar servicios en dos estaciones distintas : 11 de ellas en la estación N y 15 en la S. Los

A B C N 6 15 3 S 4 20 5

Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo.

10)

embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar ?.

11)

¿Cuántos frigoríficos y lavadoras interesa poner a la venta durante los 20 días hábiles de la campaña ?.

12)

en bonos, ¿cuánto debe invertir en cada modalidad para que el rendimiento obtenido sea el máximo?

13)

ántos artículos debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.

14)

s. ¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para conseguir la máxima subvención posible ?.

15)

onos B. ¿Cuánto dinero se debe colocar en cada tipo de bonos para que el rendimiento sea máximo ?.

En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a 4,50 euros y contiene 150 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 80 gramos de roscos de vino. El segundo se vende a 5,60 euros y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y 104 kg de roscos de vino. La empresa de

En una tienda de electrodomésticos se quiere lanzar una oferta de frigoríficos a 500 euros y lavadoras a 450 euros. Cada venta de un frigorífico supone 10 minutos del tiempo de un vendedor y 5 minutos del tiempo de un instalador. La venta de una lavadora requiere 8 minutos del vendedor y 12 minutos del instalador. Se dispone de 4 vendedoras y 3 instaladores, que trabajan 4 horas diarias útiles.

Una persona decide invertir su dinero de dos formas distintas en un banco: una cantidad a plazo fijo, con un rendimiento del 5,25%, y otra en bonos, cuyo rendimiento es del 9%. Existen unos topes legales que impiden invertir más de 80000 euros en bonos, aunque le obligan en el banco a una inversión mínima a plazo fijo de 50000 euros. Si dispone de 200000 euros, deseando colocar a plazo fijo, al menos, tanto dinero como

Una fábrica paga a sus representantes 10 cents por artículo vendido más una cantidad fija de 50000 cents. Otra fábrica de la competencia paga 15 cents por artículo y 30000 cents fijos. ¿Cu

En un curso hay 120 chicas y 156 chicos. El centro subvenciona con 180 euros cada equipo de baloncesto, formado por 5 chicos y 8 animadoras, y con 200 euros cada equipo de voleibol, formado por 6 chicas y 6 animadore

Un inversor dispone de 100000 euros. La rentabilidad de los bonos A es del 12% y desgravan, además un 15% en la Declaración de Hacienda. Los bonos B tienen una rentabilidad del 15%, pero no desgravan. Por cada euro invertido en bonos A es preciso invertir dos en b

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Un inversionista dispone de 20000 euros. Puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento del 10 por 100, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por 100. Existen unos topes legales que impiden invertir más de 8000 euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo A, en los cuales la inversión mínima es de 5000 euros. Por otra parte, el inversionista desea colocar en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos de

16)

l tipo B. ¿Cuánto debe invertir en bonos de cada tipo para que el rendimiento obtenido sea máximo ?.

17)

de B 3,50 euros. ¿Cómo debe distribuirse la producción diaria para maximizar el beneficio ?.

18)

hacerlo para que los costes por comisiones sean mínimos ?.

19)

para que el coste sea mínimo, supuesto que los costes de edición son los mismos en cualquier caso ?.

En una empresa se producen dos tipos de artículos, A y B, en cuya elaboración intervienen tres departamentos : cortado, montaje y embalado. Cada departamento trabaja ocho horas diarias, y mientras el producto A requiere sólo una hora de montaje y media de embalado, el producto B requiere 2 horas de cortado y una de embalado. El beneficio que se obtiene por cada unidad de A es de 4 euros, y por cada unidad

Un productor de películas de vídeo lanza al mercado el film “El río” de Jean Renoir. Distribuye las copias en exclusiva al establecimiento Videolux, que percibe una comisión de 10 euros por copia adquirida para la venta al público, y a la cadena de grandes almacenes Baligo, que le exige 15 euros por copia. Por razones comerciales está obligado a vender a la cadena al menos la tercera parte de su producción, mientras que Videolux, debido a limitaciones de almacenaje, puede adquirir como máximo 2000 copias. El productor edita 10000 copias de la película que desea colocar de forma inmediata. ¿Cómo debe

Se planea editar una nueva revista de viajes y gastronomía con un total de 150 páginas por número. Se llega a la decisión de no destinar a publicidad más de 40 páginas. Cada artículo de viajes se paga a 100 euros la página, y cada artículo de gastronomía a 60 euros la página. Por otro lado, se cobran 250 euros por página de publicidad. El número de páginas dedicadas a viajes debe ser, al menos, igual al de páginas dedicadas a gastronomía. ¿Cuál debe ser el número de páginas dedicadas a cada sección, y cuál a publicidad,