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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4to AÑO DE SECUNDARIA

4t0 AÑO DE SECUNDARIA

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Repaso Criptoaritética Orden de Información Cuadro de Decisiones Repaso Métodos Operativos Métodos Operativos II Resolución de Ecuaciones Planteo de Ecuaciones Edades Repaso Relojes Repaso Fracciones Reducción a la Unidad Tanto por Ciento Repaso Series Numéricas Uso de la Sigma Conteo de Figuras Repaso Análisis Combinatorio I Análisis Combinatorio II Repaso Certezas Probabilidades Situaciones Geométricas Áreas de Regiones Sombreadas Repaso 23 27 32 40 47 52 58 64 69 76 82 86 94 98 105 111 117 121 127 132 138 141 147 154 158 164 171 179 188

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.

Hipatía Objetivos

Situaciones Lógicas

y Recreativas

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:

 Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones proble-máticas.

 Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.

Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones, a veces familiares; pero relacionados con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento.

Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica.

S e v e r á n p r o b l e m a s s o b r e relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.

Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? a) miércoles d) jueves b) martes e) lunes c) sábado ♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato) ♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > jueves

Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana? a) sábado d) miércoles b) lunes e) jueves c) domingo

∴

Rpta.: d ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2

∴

Rpta.: e -2 -1 0 +1 +2 +3 J V S D L M (Piden) (Dato) Reto

Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Puede hacer una sola pregunta a uno de los guardias de las puertas. Uno de ellos siempre miente y el otro dice la verdad. ¿Qué debe preguntar para salvarse?, ¿qué puerta diría tu compañero que debo abrir para salir?

Nociones Previas

I. PROBLEMAS SOBRE

RELACIÓN DE TIEMPOS

Ejemplo 1:

Resolución:

Ejemplo 2:

Piden: Ayer del ayer de anteayer -1 -1 -2 = -1 - 1 - 2 = - 4 jueves - 4 viernes - 3 sábado - 2 domingo - 4 lunes 0 martes +1 retroceder _Dato Incógnita

∴

Rpta.: c

Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila?

a) padre b) tío c) tío abuelo d) abuelo e) suegro

Hagamos un gráfico:

∴

Del gráfico se deduce que el hermano de ese hombre es el abuelo de Camila.

∴

Rpta.: d Si el anteayer de dentro de 5 días

es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana?

a) lunes d) sábado b) martes e) viernes c) jueves Dato: -2 + 5 <> domingo +3 <> domingo ... (I) Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II) ahora de (I) y (II):

viernes sábado domingo

+1 +2 +3

Incógnita

Dato

Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer?

a) lunes d) sábado

b) martes e) viernes c) jueves

Dato:

Anteayer del mañana de pasado mañana <> martes

+1 -2 +2

∴

Rpta.: e

⇒

-2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes

Moviendo solamente un cerillo debemos lograr una igualdad verdadera. No es válido tachar el signo “igual” con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera; la expresión final debe ser una auténtica igualdad.

abuelo Ejemplo 3:

Resolución:

Ejemplo 4:

Resolución:

II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO

Ejemplo 1:

Resolución:

En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo?

a) 30 soles b) 40 soles c) 20 soles d) 50 soles e) 60 soles

En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes. Así por ejemplo una misma persona puede ser padre e hijo a la vez.

Luego haciendo un esquema utilizando la menor cantidad de personas, se tiene:

∴

Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20

∴

Rpta.: b

Hay que cambiar de sitio catorce cerillas de esta “rejilla” para lograr formar tres cuadrados.

La peluquería sucia

Perico iba camino a la costa del sol, a pasar unas vacaciones, cuando, al atravesar un pueblo, se le averió el auto.

Mientras se lo arreglaban, decidió hacerse cortar el cabello. El pueblo sólo tenía dos peluquerías, la de Pepe y la de Tony. Perico echó una ojeada por la luna de la peluquería de Pepe. El espectáculo no fue de su agrado.

Perico: “¡Vaya suciedad! Hay que limpiar el espejo, el suelo está lleno de cabello, el peluquero está sin afeitar y lleva un corte de cabello horrible”. No es de extrañar que Perico se marchara de allí, y fuera a dar un vistazo a la peluquería de Tony. Perico miró a través del escaparate.

Perico: ¡que diferencia! El espejo está limpio, el suelo bien barrido y Tony lleva un corte de cabello perfecto. Pero Perico no entró. Regresó en cambio a la otra peluquería, pese a lo sucia que estaba, para que le corten el cabello allí. ¿A qué obedece su conducta?

a) No le gustó Tony.

b) Pepe le ofreció otro servicio adicional.

c) Escogió al azar.

d) Escogió al mejor peluquero, que en está ocasión es Pepe. e) La de Pepe estaba más cerca de

su casa.

Resolución:

“Como ningún peluquero se corta el cabello a sí mismo y como la villa tiene solamente dos, entonces cada uno de ellos lleva el corte que le hizo el otro. Perico fue prudente al decidirse por la más sucia de las peluquerías pues su dueño le había hecho un corte de cabello perfecto al propietario

de la otra”.

Ejemplo 2:

Resolución:

Debido a un error al escribirse una expresión, se cambió de lugar una cifra y se obtuvo lo siguiente: 82 + 36 = 100. ¿Cuál debió ser la expresión correcta? a) 100 b) 120 c) 150 d) 170 e) 190

Resolución:

∴

Rpta.: a 82 _{+ 36 = 100}

Ubica los números del 1 al 8, uno en cada círculo, de tal manera que la suma de los lados sea 13.

Resolución: 4 8 1 7 5 2 6 3 Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Dado el siguiente conjunto de poleas, si «A» gira en el sentido horario, «B» y «C» ¿en qué sentido giran?

Resolución: A C B a) Giros contrarios b) Giros contrarios c) Giros iguales d) Giros iguales Entonces: A C B H A H H A H A A (Antihorario) H (Horario) B (Antihorario) C (Horario) Ejemplo 3:

Dado el siguiente arreglo de palitos de fósforo.

¿Cuántos debo sacar para que queden dos palitos?

¿Cuántos palitos como mínimo debo mover para que el perrito vea a la derecha y continúe feliz?

Resolución:

Resolución: Ejemplo 4:

Nivel I 3) Con tres cifras "3" y utilizando las operaciones fundamentales (+, -, x, ÷) obtén los números: a) 9 =

b) 11 = c) 12 =

7) ¿En qué condición se cumple que 11 + 3 = 2?

1) Utilizando cuatro veces el número "4" forma todos los números del 0 al 10, inclusive. Usa (+ , - , x , _÷) 0: 44 - 44 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 4 + 4 + 4 - 4 9: 10: 4 4 + 44 4+4+4 4

2) La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares.

1 1 1 +

3 3 3

5 5 5

7 7 7

9 9 9

El problema consiste en tachar nueve cifras, eligiéndolas de manera que al sumar las columnas de las seis restantes se obtenga el número 1111.

6) Con cinco palitos de fósforo forma veintiuno.

4) ¿Cuántas personas como mínimo hay en 4 filas de dos personas por fila?

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

5) La siguiente figura representa seis tazas, las tres primeras están llenas con café y las tres restantes vacías. Moviendo una sola taza deben quedar intercaladas, es decir, una llena y una vacía. ¿Qué taza movería y cómo?

1 2 3 4 5 6

8) Escribe la palabra "DOSIS" en los tres casilleros mostrados (un caracter por casilla).

10) La figura mostrada representa una piscina de forma cuadrada con cuatro árboles en las esquinas. Se desea aumentar el doble del tamaño de la piscina sin sacar los árboles y con la condición de que cada árbol quede siempre al costado de la piscina. ¿Cómo se puede lograr? FRÁGIL 3 1 6 5 Producto Peruano

9) ¿Qué contiene la caja mostrada?

11) Une los puntos con cuatro líneas rectas trazadas sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una misma línea.

Nivel II

12) En una vecindad las casas son demasiado pequeñas y por esa razón los baños están al frente. Dibuja tres caminos que partan de cada una de las casas (A, B y C) y vayan al baño respectivo sin cruzarse con los otros dos caminos y sin salir de la vecindad.

Casa B Casa A Casa C Baño C Baño B Baño A

13) Agrega cuatro palitos de fósforo en la figura para obtener uno.

14) En la siguiente expresión, mueve una cifra para que se verifique la igualdad:

23 + 2 = 10

15) ¿Cuántos cubos iguales (unitarios) hay en la figura?

16) La siguiente distribución de cubos se pinta totalmente. ¿Cuántos cubos quedaron con sólo dos caras pintadas?

17) Completa el siguiente cuadro, sabiendo que el número que va en cada casillero es la suma de los dos de abajo, adyacentes a él.

19

7 20

8

18) Dispón en cada casillero una cifra comprendida entre el 1 y el 6 (sin repetir), de tal manera que la suma en las columnas sea la misma.

19) Coloca los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos correspondientes, para que la suma de los lados sea 10.

20) En la siguiente figura, cambia de posición dos palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

Obs.: No vale dejar cabos sueltos. 21) En la siguiente figura, quita dos

palitos para que queden dos triángulos equiláteros. (No vale dejar cabos sueltos).

22) Retira diez palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

23) Divide la siguiente figura en seis partes con sólo dos líneas rectas.

24) Mediante tres líneas rectas, corta el siguiente cuadro en siete partes, de tal manera que en cada parte haya una flor.

27) Se tiene una tabla de seis metros de largo por tres metros de ancho y se desea (dándole un sólo corte a dicha tabla luego uniendo las dos partes) obtener otra tabla que tenga 9m de largo por 2 m de ancho. ¿Cómo se debe realizar dicho corte?

25) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.

26) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.

28) Usando solamente ocho cifras "8" se debe formar números que al sumarlos resulte 1000. ¿Cómo debemos hacer?

29) Se tiene una balanza de platillos y tres pesas diferentes de 3; 4 y 6 kg. Explica cómo se debe hacer para pesar exactamente 5 kg.

Nivel III

30) Si tengo cinco trozos de cadenas conformados por tres eslabones cada uno, ¿cuántos eslabones debo abrir y cerrar como mínimo para formar una sola cadena?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

I II

31) ¿Cuántas monedas como mínimo se debe mover para pasar de la posición I a la posición II?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 2 e) 1

32) Se tiene dos baldes de 7 y 4 litros de capacidad, respectivamente. Explica cómo se debe hacer para medir 1 litro de agua exactamente.

33) Se quiere medir exactamente 7 litros de kerosene pero solo se dispone de medidas de 3 y 5 litros. ¿Cuántos trasvases como mínimo se debe hacer?

a) 5 b) 6 c) 7

d) 4 e) 3

34) ¿Cuántos fósforos debes agregar como mínimo para formar siete cuadrados?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

35) Sobre una mesa hay 8 dados, uno encima del otro (ver figura). El pequeño Juanito da vueltas alrededor de la mesa y debe averiguar, sin tocar los dados, cuántos puntos en total han quedado ocultos. Podría decir Ud., ¿cuál fue el valor hallado por Juanito? a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

36) Coloca los números del 1 al 9, uno en cada casillero, de tal manera que la suma de las columnas, filas y diagonales sea 15.

18 =

= 18

=18

37) Coloca los números 3; 4; 5; 6; 7 y 8 (sin repetir), de tal manera que la suma de cada lado sea 18.

38) ¿Cuántos fósforos debes mover como mínimo para formar cinco cuadrados? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39) En cada caso, mueve una cifra para que se verifique la igualdad. a) 101 - 102 = 1

b) 432 - 27 = 360

40) En los vértices del cubo adjunto, coloca los números del 0 al 7 (sin repetir) para que la suma de dos números de cada arista sea un número primo.

41) Suprimiendo de la figura ocho palitos, debe obtenerse otra de solo seis cuadrados, que siga siendo simétrica en relación a un eje dado.

A B C D E F G H

42) En la figura, reemplaza las letras por números del 1 al 8 (sin repetir), de tal forma que en níngún caso un número cualquiera sea vecino con su consecutivo. ¿Cuál es el menor valor de «B + C»? a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8

43) Coloca las cifras del 1 al 7 en cada espacio de los círculos para que en cada círculo de la figura, la suma sea 13.

43) Distribuye en las casillas del tridente, los números del 1 al 13, de tal manera que la suma de las filas I, II, III y IV sea la misma.

I II _III

IV

45) Los cinco cubitos mostrados poseen goma en todas sus caras. Para formar un cubo mínimo, se pegan algunos cubitos más. ¿Cuántos de ellos necesitarían goma adicional? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

46) Ubica los números: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Halla el máximo valor que toma cada aspa.

a) 15 b) 17 c) 18 d) 14 e) 16 9 5 3

47) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.

20 12

3 7

2 4

48) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.

Operaciones

Matemáticas

Es el proceso de transformación de una o más cantidades en otras nuevas, mediante una serie de operaciones basadas en las operaciones básicas matemáticas.

Operación Matemática

OPERADOR MATEMÁTICO

Es un símbolo que representa a una operación matemática. Nos da la identificación de una regla o definición.

OPERACIÓN MATEMÁTICA OPERADOR MATEMÁTICO Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Valor Absoluto Sumatoria Máximo entero Límite Integral Derivada + -× ÷ . | | ∑ Lim ∫ dy dx

Las reglas de operación se basan en las operaciones básicas ya conocidas.

a * b = 2a2 _{- 2ab + 5b}

Regla o ley de formación

Operación Matemática Operador Ejemplo: Ejemplo 1: Si a b = , halla 3 2. Resolución: a3 _{+ 2b}2 8b+a 3 2 = 33 + 2(2)2 8(2) + 3 35 19 = Si a * 2b3 _{= ,} halla 3 * 54. Resolución: a + b 2 a * 2b3 _{= 3 * 54} a = 3 _{⇒ a = 9} 2b3 _{= 54} b3 _{= 27 ⇒ b = 3} 3 * 54 = = 6 9 + 3 2 Ejemplo 2: Si a * b = , halla (4 * 2) * (3 * 4) Resolución: 2a + b 2 2(4) + 2 2 (4 * 2) * (3 * 4)

(

)

2(3) + 4 2

(

)

* 5 * 5 2(5) + 5 2 = 7,5 Si = 2x + 5 y , halla Resolución: x x En = 2x + 5 hacemos x = entonces : = 2 + 5 por otro lado: = 8x + 7 igualando: 2 + 5 = 8x + 7 = 4x + 1 x x x x x x x Ejemplo 3: Ejemplo 4: = 8x + 7 x

Ejemplo 5:

Si m ∆ n = m (n ∆ m)2_,

calcula 16 ∆ 2. Resolución:

Debemos hallar la definición de "_∆". En : m _{∆ n = m (n ∆ m)}2 _{... 1} hacemos m = n y n = m obtenemos: n _{∆ m = n (m ∆ n)}2_{... 2} reemplazo

2

en

1

: m _{∆ n = m [n(m ∆ n)}2_]2 m _{∆ n = mn}2 _{(m ∆ n)}4 Despejando: m ∆ n = Luego 16 ∆ 2 = = 1 4 1 mn2 3 1 16 x 22 3

Multiplicación Inaudi

El famoso calculista Inaudi, para multiplicar se sirve de un método particular. Éste es del modo siguiente: Multiplicamos 326 x 618 300 x 600 = 180 000 300 x 18 = 5 400 618 x 20 = 12 360 618 x 6 = 3 708 201 468 Total 1) Si: a * b = 4a + 5b, calcula 2 * 3. a) 21 b) 23 c) 19 d) 25 e) 26 Nivel I 2) Si m # n = m2 _{+ n}2_, calcula 1 # 5. a) 21 b) 18 c) 12 d) 26 e) 15

3) Si _{∆ es un operador, de tal modo} que: x ∆ y = x2 _{+ 5y,} calcula 2 _{∆ 5.} a) 21 b) 29 c) 27 d) 20 e) 17 4) Si a # b = (a + b) (a - b), calcula 7 # 2. a) 46 b) 44 c) 42 d) 45 e) 49 5) Si m * n = (m + n) (m2_-mn+n2_), calcula 2 * 1. a) 6 b) 5 c) 18 d) 3 e) 9 6) Si x = 5x + 1, calcula 2 a) 8 b) 3 c) 15 d) 11 e) 17 7) Sabiendo que m = 2m + 3, halla 5 a) 11 b) 13 c) 16 d) 15 e) 19 8) Sabiendo que: x y = x2 _{+ y}2_, calcula (5 1) (-3 2) a) 742 b) 901 c) 118 d) 845 e) 615 9) Si a # b = (a + b)2 _{- (a - b)}2_, halla (2 # 1) # 3 a) 92 b) 111 c) 96 d) 114 e) 120 10) Se sabe que: a * b = 2a - b y m ∆ n = (m + 1) (n - 1), halla (5 * 1) _{∆ (2 * 1)} a) 20 b) 26 c) 12 d) 9 e) 15 326 x 618 = 201 468

q 2 11) Si 2p * = p - pq, halla 8 * 3 a) -12 b) -20 c) -25 d) 30 e) 32 12) Si a b = ax + 3b 3 2 = 21, calcula 5 4 a) 37 b) 42 c) 38 d) 40 e) 35 a+b 3 a - b 5 2 3 13) Si a b = - , halla x en: x 4 = a) 10 b) 11 c) -11 d) 12 e) -10 14) Si a * b = 2a + b, halla x en: (x * 3) * (1 * 2) = 14 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15) Si a ∆ b = a2 _{- 1 ; si a > b} a ∆ b = b2 _{- a ; si b > a,} calcula: 5 ∆ ( 4 ∆ 17 ) a) 12 b) 14 c) 24 d) 16 e) 20 16) Si se sabe que: x = x2 _{+ 1} calcula: x - x2 _{. x} a) x4 _{+ 2x}2 _{+ 4} b) x4 _{+ 1} c) x2 _{+ 2} d) x2 _{+ 4} e) x2 _{+ 2x + 1} Nivel II 25 3 26 3 16 3 22 3 17) Si se cumple que: p _{∆ q = p + 2q} halla "x" en: (6 _{∆ 3) ∆ 6 = (x + 2) ∆ (x - 2)} a) 24 b) c) d) e) 2n factores 18) Sabiendo que: n = (n)(n+1)(n)(n+1) ... halla 5 + 6 a) 74 088 b) 765 432 c) 4 500 d) 78 588 e) 493 862 "xy" sumandos 19) Sabiendo que: x y = xy + xy + xy + ... halla 3 4 1/36 a) 256 b) 144 c) 72 d) 16 e) 20 20) Si se sabe que: F(x) = x2 _{+ 2x + 1,} halla F(1) + F(-2) + F(F(0)) a) 5 b) 0 c) 9 d)8 e) 10 21) Si se sabe que: F(x) = x2 _{- 1,} halla F(x+1) - F(x) a) 2x + 1 d) 1 b) x2 _{+ 1 e) 2x} c) x2_+2x+1 32 5 19 5 28 5 37 3 23) Sabiendo que: a * (b + 1) = 2a - 3b, halla "x" en: 5 * x = x * ( 3 * 1) a) b) c) d) e) 12

24) En el conjunto de los números enteros se define la operación * del siguiente modo:

* a = 2a; si a es impar * a = a; si a es par E n t o n c e s e l v a l o r d e * (*3) + *[(*5) + 5] es: a) 24 b) 36 c) 48 d) 12 e) -32 22) Si F(x) = Xxxx. ..∞ y , halla "a". a) 2 d) _∞ b) 0 e) 2 c) ... 2 F(a) = 2

25) Definimos la operación entre números enteros: a * b = 2a; si 0 < b < 20 y a * b = b + 1 en otros casos. Entonces: (5 * 21) * 3 es igual a: a) 25 b) 21 c) 44 d) 42 e) 27 a * a a + b 26) Si a ∆ b = y

x * y = x - 2y, entonces 6 _{∆ 2 es:} a) -3/4 b) -1/4 c) 3/4 d) 1/4 e) 4 1 2 1 2 3 2 1 2 1 3 3 4 1 4 2 3 27) Sabiendo que: a b = ab + , halla "x" en: (5 3) = 11 ( x) a) b) c) d) e) m n 29) Si se sabe que: m n = _{∆ m y} a _{∆ b = 3 (a + b),} halla "x" en: (6 2) _{∆ 1 = 20 ∆ x} a) 27 b) 8 c) 12 d) 60 e) 4 30) Si se sabe que: a b c d = ad - bc, halla "x" en: 5 3 x -1 2 8 = 2 4 2 a) 6 b) 3/2 c) 7/3 d) 13/2 e) 5/3 Nivel III

31) Sean x e y números naturales. Si se define x * y = x + 2y, entonces es verdadera: a) (a * b) * a = a + 4b b) a * b = b * a c) (a * b) * b = a + 4b d) (a * b) * (a * b) = (a + 2b)2 e) (a * b) * c = a * (b * c) a - b a2 _{- b}2; para a ≠ b para a = b 0 32) Si: a _{∆ b =} en la expresión 5 _{∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (-2 ∆ 3)]} donde x _{≠ 5, el valor de x es:} a) -1 b) -7 c) -3

d) 3 e) 6

33) Definimos la siguiente operación en el conjunto de los números reales positivos: x * y = yx halla x24 _{en la ecuación:} x * 25 = 2525 * x a) 1 b) -2 c) -1 d) 5 e) 2

34) Si en el conjunto de los números naturales se define el operador _∆ por: a _{∆ b =} 3a - 2b ; si a > b 3b - 2a ; si b > a calcula: E = (3 _{∆ 1) ∆ (1 ∆ 2)} a) 11 b) -10 c) 13 d) 9 e) 8 b a c 1 5 2 x 2 3 4 3 x 3 5 7 = − 35) Si = a + b - c ,

halla el valor de x que satisface a la ecuación: a) 1/3 b) 7 c) 3 d) 13 e) 14/3 1 2 1 3 * *

(

)

1 4 1 5 *

(

-

)

a - b ab 36) Si a * b = , entonces: es igual a: a) -1/9 b) 1/8 c) 2/9 d) -10/9 e) 7/9 a b c 2 5 4 5 28) Si = ba _{. c ,} efectúa: a) 25 b) 100 c) 400 d) 10 e) 50 1 2

a* b* 38) Si m * = m2 _{- 8} y a _{∆ b =} al resultado de (4 _{∆ 3) ∆ 6 es:} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a2_{b + 35b} 4a 1 b

(

)( )

100 operadores 39) Si a # b = , halla: 5# [5 # {5 # (5# (....))}] a) 1 b) 3 c) -2 d) 5 e) 10 m2 _{+ 6} 2 10000 operadores 40) Si m * n = , calcula: E = 4 * (5 * (6 * (...))) a) 1002 b) 10002 c) 10001 d) 102 e) 11 41) Si: x = x2 _{- 1} x = x (x + 2) , calcula:

(

3 + 2

)

2 a) 64 b) 49 c) 81 d) 36 e) 25 a+2 a - 1 95 5 121 6 81 6 105 14 121 16 42) Si: a* = , b∆ = y c = (c - 1)2 _; calcula ((2*)∆₎ a) b) c) d) e) b2 _{- 1} b 1 2 m n

( )

P(n) P(2) 43) Si P = P_(m) - P_(n) , calcula a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1 2 3 4 100 ... 44) Si x = (x - 6)x+1 _, calcula: a) 0 b) 1 c) 100 d) 1201 e) 123 45) Si: a = a2 _{- 1 y} a = a + 5 , calcula:

(

3 + 3 - 2

)

2 a) 64 b) 18 c) 36 d) 81 e) 9 46) Si x = x (x + 1) , calcula m en: m = 42 a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 0 (b a)2 4 47) Si: a b = , calcula 3 5. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 48) Si: a * b = 2 (b * a) - b , calcula 1 * 10. a) 3 b) 8 c) 4 d) 20 e) 23 49) Si: x = 3x + 6 y x + 1 = 3x - 6 , calcula 10 a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 26 1 2 3 4 2 9 37) Si: calcula : a) 15 b) 81 c) d) e)

( )

8 3

( )

10 5 "b" factores a b

(

)

= ,b(b-1)(b-2)...(3)(2)(1)a(a -1)(a - 2)...

Distribuciones y

Analogías

Son ordenamientos en general de tres columnas, cuyo valor central va entre paréntesis.

El objetivo es encontrar una ley de formación.

Analogías

En el presente capítulo, veremos diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. A veces intervienen letras, las cuales representarán un valor numérico.

Son arreglos en filas y columnas, en donde la solución se obtiene en forma vertical (columna) u horizontal (fila).

Distribuciones

S o n a r r e g l o s d e n ú m e r o s , representados en un gráfico. La regla de formación se obtiene en base al gráfico.

Distribuciones

Gráficas

Ejemplo 1: 2 ( 7 ) 3 5 (26) 1 8 ( ) 4 Resolución: Analogías: 1.a _{Fila 2}2 _{+ 3 = 7} 2.a _{Fila 5}2 _{+ 1 = 26} 3.a _{Fila 8}2 _{+ 4 = 68}

(el valor pedido)

Ejemplo 2: 10102 (12) 3 201031 (14) 2 100356 ( ) 4 Resolución: 1.a _{Fila (1 + 1 + 2) (3) = 12} 2.a _{Fila (2 + 1 + 3 + 1) (2) = 14} 3.a _{Fila (1 + 3 + 5 + 6) (4) = 60}

(el valor pedido)

Ejemplo 3: 2 3 5 11 5 2 7 17 8 3 x 25 Resolución: Distribuciones: 2 × 3 + 5 = 11 5 × 2 + 7 = 17 8 × 3 + x = 25 _{∴ x = 1} Ejemplo 4: Resolución:

(De izquierda a derecha)

En la 1.a _{columna 2}3 _{= 4 × 2} En la 2.a _{columna 3}3 _{= 9 × 1} En la 3.a _{columna 4}3 _{= x × 16} ∴ x = 4 2 3 4 3 2 3 4 9 x 2 1 16

Ejemplo 5: Resolución: Distribuciones Gráficas: 1.er _gráfico: (3 + 2 + 1) (3) = 18 1 2 3 3 3 x 1 1 3 5 40 3 2 1 18 2.

°

gráfico: (1 + 1 + 3 + 5) (4) = 40 3.er _gráfico: (1 + 2 + 3 + 3 + 3) (5) = 60 = x CÁNTAROS

Tenemos dos cántaros de barro como los mostrados en la figura, con la particularidad de que ambos carecen de marca alguna; esto es, su contenido no se puede medir. Sólo sabemos que uno tiene once litros de capacidad y el otro siete.

Usando únicamente los dos cántaros y un río caudaloso, ¿como conseguir exactamente seis litros de agua? ¿Cómo lo harías?

Nivel I 1) 2 ( 7 ) 4 5 (14) 3 8 ( ) 3 a) 24 b) 23 c) 21 d) 22 e) 10

En cada caso, halla el valor que falta. 2) 6 (53) 100 18 (22) 24 13 ( ) 113 a) 14 b) 58 c) 63 d) 90 e) 66 3) 2 3 5 5 2 1 4 1 X a) 6 b) 8 c) 11 d) 2 e) 5 4) 3 5 2 2 3 4 9 125 X a) 20 b) 16 c) 17 d) 8 e) 80 5) a) 20 b) 16 c) 10 d) 18 e) 13 2 3 5 5 4 19 7 2 X 14 3 2 4 2 13 2 5 3 1 X 6 2 9 3 6) a) 40 b) 20 c) 39 d) 42 e) 16 7) 5 (26) 1 4 (18) 2 7 ( ) 3 a) 52 b) 58 c) 56 d) 30 e) 55 8) 8 (30) 4 7 (40) 6 9 ( ) 7 a) 65 b) 61 c) 58 d) 30 e) 32 9) 2 3 6 4 5 20 3 6 X a) 20 b) 18 c) 22 d) 21 e) 17 10) 5 (65) 12 8 (45) 5 3 ( ) 7 a) 35 b) 30 c) 26 d) 27 e) 32

Nivel II 11) 1 2 2 0 3 4 4 8 2 2 1 X a) 5 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8 12) 2 5 4 2 3 1 3 2 5 7 17 X a) 12 b) 8 c) 9 d) 13 e) 10 13) a) 12 b) 13 c) 16 d) 17 e) 18 7 5 36 6 8 49 3 4 X 3 13 4 6 6 15 5 4 5 X 8 2 14) a) 10 b) 15 c) 12 d) 13 e) 17 40 2 ₄ 5 36 6 ₃ 2 X 5 ₃ 4 15) a) 60 b) 12 c) 48 d) 55 e) 63 16) a) 24 b) 32 c) 27 d) 36 e) 26 10 14 3 8 20 20 5 8 15 X 7 6 4 28 5 12 9 27 7 10 8 X 5 15 17) a) 60 b) 20 c) 23 d) 32 e) 80 4 5 11 5 12 13 6 20 X 18) a) 20 b) 13 c) 24 d) 16 e) 17 19) a) 12 b) 14 c) 20 d) 22 e) 23 14 5 2 4 3 14 5 8 6 2 X 9 2 2 3 20) 4 6 9 3 4 9 7 10 X a) 15 b) 13 c) 19 d) 17 e) 18 21) 3 5 5 10 4 6 8 16 5 2 2 X a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 22) 4 (24) 3 3 (18) 3 2 ( ) 1 a) 6 b) 4 c) 7 d) 5 e) 2 23) 3 ( 7 ) 2 5 (22) 3 6 ( ) 7 a) 28 b) 33 c) 31 d) 27 e) 29 24) 2 (14) 10 7 (28) 14 5 ( ) 30 a) 40 b) 32 c) 20 d) 48 e) 35 25) 2 (72) 3 4 (1600) 5 5 ( ) 8 a) 8000 b) 7000 c) 4000 d) 5000 e) 6000

26) 5 ( 3 ) 4 10 ( 5 ) 5 25 ( ) 2 a) 6 b) 5 c) 9 d) 3 e) 4 27) 3 4 3 5 1 3 6 X 8 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 28) 7 4 29 3 6 19 4 5 X a) 15 b) 18 c) 21 d) 16 e) 20 29) 5 2 25 2 4 16 X 3 27 a) 8 b) 5 c) 2 d) 4 e) 3 30) 15 13 8 X 20 7 26 2 8 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 31) 5 6 8 6 4 7 4 3 X a) 3 b) 12 c) 7 d) 5 e) 4

En cada caso, halla el valor que falta: Nivel III 6 9 3 5 4 8 2 6 11 X 4 7 32) a) 15 b) 18 c) 21 d) 19 e) 17 5 3 7 4 8 8 4 9 17 4 12 X 5 7 8 33) a) 6 b) 3 c) 7 d) 5 e) 4 4 23 5 7 5 28 12 8 8 X 20 9 34) a) 48 b) 54 c) 50 d) 53 e) 52 48 20 12 56 23 13 26 X 82 35) a) 33 b) 35 c) 37 d) 36 e) 32 12 24 4 8 15 X 3 6 6 X 8 7 2 5 4 3 36) a) 28 - 2 b) 27 - 3 c) 26 - 2 d) 28 - 1 e) 27 - 1 37) 6 (30) 9 5 (26) 8 4 ( ) 11 a) 32 b) 30 c) 28 d) 24 e) 25 12 7 8 15 60 49 ? 5

38) Halla el número que falta en el gráfico: a) 72 b) 82 c) 92 d) 98 e) 102 20 5 3 1 36 3 8 4 90 X 5 5

39) Indica el número que falta en:

a) 6 b) 10 c) 8 d) 12 e) 9 1 2 3 0 5 4 1 3 1 6 9 5 4 -2 4 2 12 11 13 15 X

40) Indica el número que falta en:

a) -5 b) 4 c) 6

41) 1 ( 1 ) 1 2 (72) 3 4 ( ) 2 a) 162 b) 240 c) 128 d) 64 e) 256 42) B (H) D E (Ñ) C G ( ) C a) S b) T c) U d) Z e) Y 3 15 25 5 6 24 12 3 9 ? 21 7 43) a) 21 b) 26 c) 25 d) 27 e) 24 F A B C L C D E ? E F G 44) a) R b) P c) Q d) S e) T G B L B A D E S H C D E ? J A 45) a) T b) S c) U d) V e) W 46) 2 (9) 5 7 (50) 1 5 ( ) 25 a) 30 b) 40 c) 60 d) 50 e) 63 48) 4 (18) 3 16 (16) 2 289 ( ) 5 a) 375 b) 430 c) 425 d) 515 e) 455 47) a) 121 b) 64 c) 72 d) 144 e) 169 49) 2 3 4 1 4 7 3 5 x a) 9 b) 12 c) 8 d) 11 e) 10 2 15 32 35 5 7 101 37 3 9 102 X 50) a) 60 b) 79 c) 83 d) 30 e) 64 LA EXTRAÑA COMPRA Una mujer entra en una tienda y observa atentamente los artículos, numerados y colocados por orden en una estantería. Una vez que los ha visto, le dice al dependiente: "Disculpe, ¿cuánto cuesta ese?". "¿Qué número es señora?", responde el dependiente, que no ha estado atento. "El uno". "Ah. Son cincuenta soles, señora". La mujer se queda pensativa, mira otra vez a la estantería y dice:

"¿Y el número quince?". "Pues serían cien soles, como es natural", responde éste. " C o m p r e n d o . Q u i s i e r a entonces el ciento cincuenta y seis", concluyó la señora. El dependiente le hizo un pequeño descuento de cinco soles, dejándoselo todo por ciento cuarenta y cinco soles.

¿Qué estaba comprando la señora? 2 36 3 4 3 27 6 1 2 x 4 6

Repaso

Nivel I

1) Diez expedicionarios fuimos capturados por una tribu de salvajes caníbales. Nos hicieron formar un círculo y contaban: uno, dos, tres y mataban al tercero, y así iban dando la vuelta matando a uno de cada tres. Como estaba con mi hermano decidimos colocarnos en lugares claves para salvarnos, pues perdonarían la vida a los dos últimos. ¿En qué lugares nos colocamos?

a) 1 y 2 b) 4 y 10 c) 7 y 10 d) 2 y 8 e) 1 y 8

2) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

a) Tía d) Sobrina b) Hija e) Madre c) Hermana

3) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad incorrecta que se da a continuación, se convierta en una igualdad verdadera?

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 6

4) El otro día en los jardines del parque escuché a dos personas la siguiente conversación: "Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre". ¿Qué parentesco une a las 2 personas?

a) Padre - hijo b) Tío - sobrino c) Hermanos d) Abuelo - nieto e) Padrino - ahijado

5) En una reunión se encuentran presentes un abuelo, una abuela, 2 padres, 2 madres, 2 esposos, 2 esposas, una tía, 1 nuera, 1 nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran presentes en la reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 6) Si a2_{; a > b} a * b = b2_{; a < b} halla: (5 * 3) * (2 * 4) a) 625 b) 49 c) 169 d) 400 e) 0 1 3 1 2

( ) ( )

1 3 1 81 7) Si p _{∆ q = p}q _{; p > q} p _{∆ q = q}p _{; p < q} halla: _{∆ 27 ∆ 4 ∆} a) 27 b) 9 c) d) e) 64 8) Si F(x) = x2 _{- 1 ,} halla F(x + 1) - F(x) a) 2x + 1 d) 1 b) x2 _{+ 1 e) 2x} c) x2 _{+ 2x + 1} 1 3 1 4 x x + y 9) Si ; xy > 0 x * y = x.y ; xy < 0 halla (2 * - 1) * - 4 a) 3 b) -1 c) d) -2 e)

10) En los siguientes arreglos, halla x en: 2 ( 9 ) 1 3 (29) 2 4 ( x ) 3 a) 60 b) 6 c) 67 d) 50 e) 70 11) 13 22 31 2 3 10 6 7 x a) 20 b) 10 c) 3 d) 1 e) 4

17) Hace 2 días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasan desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) Lunes d) Sábado b) Martes e) Domingo c) Jueves

Encontrar el número que falta en cada caso: 13) 6 5 31 4 ... 13 5 7 18 a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 14) 1 ( 1 ) 1 2 (72) 3 4 (...) 1 a) 1 b) 24 c) 12 d) 64 e) 36 15) B (H) D E (Ñ) C G (...) C a) S b) T c) U d) Z e) Y Nivel II 16) 2 4 2 1 5 2 0 1 3 3 x 0 a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

18) Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días ?

a) Viernes d) Jueves b) Lunes e) Martes c) Domingo

19) Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del anteayer del ayer del pasado mañana de ayer será jueves, ¿qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace 3 días?

a) Martes d) Domingo b) Jueves e) Lunes c) Miércoles

20) ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para dejar sólo uno?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

21) ¿Qué día será el mañana del anteayer del siguiente día del ayer si el mañana del anteayer del ayer es sábado?

a) Domingo d) Sábado b) Lunes e) Martes c) Miércoles

22) Me preguntaron ¿cuántos hermanos tengo? y respondí: “Tengo 8, pero conmigo no somos 9; porque somos 6 y somos 4 y además porque soy el último y el primero”. ¿De cuántas personas se habla? (sin contarme a mí)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 23) Halla “x”. a) 4 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3 10 6 2 2 15 12 3 1 19 4 x 3 25) En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo? a) 30 soles d) 40 soles b) 20 soles e) 50 soles c) 60 soles 26) Si 2x - 5 = 2x+1 + x+12, halla 3 a) 1 b) 5 c) 7 d) 9 e) 3 a . b b - a 27) Si ab _{# b}a _{= ,} calcula 81 # 64 a) 7 b) 12 c) 6 d) 4 e) 13 24) Halla “x”. a) 24 b) 28 c) 26 d) 30 e) 32 2 13 3 8 3 20 1 7 4 x 6 9 5 2 3 11 12) a) 13 b) 15 c) 17 d) 20 e) 16 5 2 17 6 5 4 3 x

Nivel III 30) 7 ( 7 ) 7 9 ( 6 ) 4 25 ( x ) 4 a) 10 b) 13 c) 17 d) 18 e) 11 31) 2 1 3 7 1 5 3 5 1 8 x 2 a) 6 b) 9 c) 13 d) 12 e) 11 4 2 2 3 17 3 5 4 20 x 8 3 32) a) 12 b) 4 c) 13 d) 6 e) 8

33) Si dentro de 3 días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana será:

a) Lunes d) Domingo b) Miércoles e) Viernes c) Jueves

34) Se sabe que la siguiente operación es incorrecta. ¿Cuántos palitos como mínimo deben cambiar de posición para que la operación sea correcta?

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

35) Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía.

¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? a) Sobrino - Tía

b) Hijo - Madre c) Primo - Prima d) Hermano - Hermana e) No se sabe

36) Emilio invitó a comer al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñado. ¿Cuántos invitados tuvo?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 37) Si m n = m ≠ n; calcula x en x 2 = 2x 3 a) 0 b) 5 c) 2 d) 6 e) 13 m + n m - n 38) Si 3a _{* b . a = a + 2b ,} halla 81 * 8 a) 10 b) 8 c) 13 d) 14 e) 16 39) Halla x en: 5 7 8 4 8 5 7 6 9 4 x 5 a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5 40) Halla x en: 7 (31) 3 9 (37) 1 11 ( x ) 2 a) 42 b) 38 c) 56 d) 64 e) 46 41) Halla x en: 12 (72) 18 6 (48) 24 15 ( x ) 12 a) 70 b) 60 c) 80 d) 72 e) 84 42) Halla x en: 7 (26) 3 5 (42) 8 3 ( x ) 9 a) 36 b) 42 c) 48 d) 24 e) 56 43) Si x * y = x - y + 2 (y * x) , hallar 12 * 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 28) Si (2x - 1) % 3y = (x + 3) (2y - 1), halla 5 % 12 a) 15 b) 21 c) 24 d) 36 e) 42 Enunciado

Halla x en los siguientes arreglos: 29) 12 ( 5 ) 3 43 (15) 3 32 ( x ) 8 a) 37 b) 17 c) 14 d) 31 e) 43

44) Dado: 24 * 31 = 14 36 * 51 = 33 64 * 71 = 34 calcula 59 * 11 a) 47 b) 14 c) 102 d) 46 e) 41 45) Si a ○ b = 3 (b ○ a) - 5b , calcula E = (7 ○ 5) + a) 12 b) 14 c) 16 d) 17 e) 15 3 4

46) Se define el conjunto de los números naturales: Calcula 4 # 9. a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 5 x2 _{# y}y+1 _{= x} 3 y-1 _{( )}y 47) Se define R _{▽ S = 4R}2 _{+ 3} Calcula 6 ▽[7 ▽(8 ▽(9 ▽...))] a) 130 b) 137 c) 125 d) 147 e) No es posible determinarlo 48) Si: x _{▽ y = -1;} x ≠ y; xy ≠ 0 calcula 1 _{▽(1 ▽(1 ▽(1 ▽...)))} a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) F.D. x2 _{- xy} x - y 49) Dado: a b = halla a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 4 (a-b_{) x (-b}-a_{); si a < b} (a-a_{) x (-b}-b_{); si a ≥ b}

{

E = ( 2 2 ) + ( -2 2 ) 2

Hipatia (o Hypatia) nació en Alejandría (Egipto), en el año 370 de nuestra era y murió en esa misma ciudad en el año 415. Fue una mujer científica, filósofa neoplatónica y maestra, que con su sabiduría y sus enseñanzas contribuyó en gran medida al desarrollo de las Matemáticas y la Astronomía. Su padre Teón de Alejandría era un célebre matemático y astrónomo, muy querido y apreciado por sus contemporáneos. Teón fue un sabio que no se contentó con guardar los conocimientos de la ciencia para sí y sus discípulos sino que hizo partícipe de ellos a su propia hija, algo verdaderamente insólito en el siglo IV. Hipatia por su parte era una mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue como se educó en un ambiente académico y culto. En efecto, Teón le transmitió su conocimiento sobre las matemáticas y la astronomía además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido. Los historiadores han llegado a asegurar que incluso superó al padre, y que muchos de los escritos conservados que se suponen de Teón son en realidad de la hija.

La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Por medio de él pudo llegar a conocerse los libros que ella escribió para la enseñanza, aunque ninguno ha llegado a nuestros días. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente en el aspecto político. También se interesaba por la mecánica y ponía en práctica la tecnología. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua. Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana.

En el año 412, para sustituir a su tío Teófilo, el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio, habla de la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro, fueron en su busca, la golpearon, la desnudaron y la arrastraron por toda la ciudad hasta llegar a un templo llamado Cesareo; allí continuaron con la tortura cortando su piel y su cuerpo con caracolas afiladas, hasta que murió; a continuación descuartizaron su cuerpo y lo llevaron a un lugar llamado Cinaron y allí finalmente lo quemaron. De esta manera creyeron dar muerte a lo que ellos llamaban idolatría y herejía.

Criptoaritmética

PROPIEDADES

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: En el presente capítulo, analizaremos

situaciones donde tendremos que averiguar valores escondidos (valores numéricos), los cuales están representados en forma literal o simbólica. CRIPTOARITMÉTICA es una palabra compuesta, que proviene de "Cripto", escondido, y "aritmio", numeral.

Sean:

abc : producto de tres valores abc : numeral de tres cifras aa(2b)c: numeral de cuatro cifras (a+1)(2b)(3a): numeral de tres cifras

1. Si entonces x = 1 a b c + m n r x y z p Halla A + B + C en: ABC + B35 = C81 Resolución: C + 5 = 11 C=6 (en unidades) B + 3 + 1 = 8 B = 4 (en decenas) A + B = C A=2 (en centenas)

∴ A + B + C = 12 A B C + B 3 5 C 8 1 Halla A + B + C en: ABC2 × 7 = 32CBA Resolución: 2 × 7 = 14 A = 4 7C + 1 = 3B C = 5 ; B = 6 7B + 3 = 4C ∴ A + B + C = 15 A B C 2 × 7 3 2 C B A

Halla la suma de cifras del producto:

Resolución: Respuesta : 18 7 * * × 4 * * 4 * * * * 4 0 * * * 7 0 7 3 5 × 4 2 1 4 7 0 2 9 4 0 3 0 8 7 0 2. Si a b + c d p q m n q entonces b + d = 10

Ejemplo 4:

Nivel I

Halla Q + U + E + S + O en QUE + QUE = ESOS

Resolución: Q U E + Q U E E S O S E + E = S 1 1 2 Q + Q = 12 6 6 U + U = O (letra "O") 3 3 6 Halla el cociente. Resolución: 4 8 2 4 4 8 - - 2 4 2 4 - 8 2 4 2 0 1 Cociente : 201 * * * * 4 8 - - * * 2 4 - 8 2 4 * * * Ejemplo 5: 1) Si AB8 + 2BA = 611 , halla A + B. a) 6 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8 2) Si A8GA + 5B1 = 5B95 , halla 2A + B. a) 15 b) 13 c) 11 d) 12 e) 10 4) Si a + b + c + d = 13 , halla abcd+badc+dcba+cdab. a) 13444 b) 14443 c) 15433 d) 15444 e) 14445 5) Halla 12A + BB1 , si 7A3B × 6 = 4AB86. a) 241 b) 250 c) 236 d) 300 e) 352 3) Si ABBC + CCA = 2C35 B ≠ 0 , halla A + 2B + 3C. a) 26 b) 31 c) 27 d) 32 e) 33 6) Halla a + b + c en: 2abc × 3 = abc1 a) 23 b) 30 c) 20 d) 19 e) 18 8) Si 1CABLE×3 = CABLE1 , halla CACA a) 2828 b) 5757 c) 4242 d) 2525 e) 1313 10) Si: AMOR + ROMA = 12562 (O es cero) halla AA + RR + MM a) 163 b) 251 c) 178 d) 136 e) 187 7) Si: ROTA × A = 5041 ROTA × L = 15123 halla ALA × ROTA a) 930371 d) 330671 b) 660371 e) 770361 c) 550371 * 5 * × * 6 * 7 * 8 * * * 9 1 * * 0 * 9) Halla la suma de cifras totales que

faltan en: a) 40 b) 35 c) 18 d) 39 e) 17 PEZ * _{= * ,} 11) Si halla P + E + Z a) 20 b) 13 c) 14 d) 16 e) 17

Nivel II

12) Halla la suma de cifras del dividendo en: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 21 * * * * * 4 - 7 * * * - 1 * * * * 2 3 * 2 2 * 13) Si ALI × 9 = ... 843 , halla A + L + I. a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15 14) Si: m1m+m2m+m3m+...+m7m = pan11 halla p + a + n. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15) Si

UNO + UNO = DOS halla U + N. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Más de una es correcta.

19) Halla el cociente de: ABCABC : ABC a) 11 b) 101 c) 1001 d) 1100 e) 110 A B B C + C C A 2 C 3 5 17) Si: y además B ≠ 0 , halla A + 2B + 3C. a) 26 b) 31 c) 27 d) 32 e) 33 5 4 × 2 9 4 4 6 18) Si:

halla el segundo producto parcial. a) 5344 b) 1544 c) 1844 d) 1644 e) 1744 C A B + C B B C A 4 1 A A 0 20) Si: y además A ≠ 0 , halla A + B + C. a) 14 b) 15 c) 13 d) 18 e) 12 16) Si UU + NN + II = UNI , halla U + N + I. a) 19 b) 18 c) 16 d) 20 e) 15 A M I G A + I M 1 M G I G 6 2 21) Si: halla A + M + I + G + A. a) 26 b) 32 c) 24 d) 28 e) 21 A A B + B A A 1 3 5 2 22) Si: halla A . B a) 35 b) 32 c) 36 d) 30 e) 28 23) Si: halla A + B - C. a) 9 b) 8 c) 6 d) 3 e) 2 6 8 A A B 8 B 5 - C A C A -A B 3 7 A 8 5 2 3 6 B 2 5 B 0 8 - B 7 2 B A A - 2 8 3 6 B3A 24) Si halla A × B. a) 10 b) 20 c) 3 d) 4 e) 6 y O = 2

4 A 5 B 5 2 A A 8 3 5 25) Si: halla A + B. a) 11 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10 26) Si AB2 = 18A9 , halla A × B. a) 15 b) 18 c) 12 d) 16 e) 24 27) Si TOMA + DAME = 7 507 , donde T > D y O = cero halla TODO a) 5010 b) 4020 c) 6010 d) 5020 e) 4030 28) Si ab2 = 17ca , halla a + b + c. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 29) Si x52 = abca , halla x (a + b + c). a) 70 b) 84 c) 91 d) 77 e) 98 30) Sabiendo que: 5 × CUATRO = VEINTE y además "A" es cero, calcula: T + R + E + I + N + T + A a) 20 b) 24 c) 18 d) 21 e) 27 Nivel III 31) Si: BA7808 ÷ 8 = 4BA76 , halla "A + B". a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 4 * × * 7 * * 3 * * * * *

33) Halla la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*).

a) 45 b) 42 c) 44 d) 46 e) 47 * * * * * * * * * * * * - * * * * 1 * * * - * * * * * * * 9 - - * * * * * * * 6 - - * * * * * * -9 7 3 * * * * * * * 34) Si:

halla la suma de las cifras del dividendo.

a) 54 b) 55 c) 56 d) 53 e) 52

35) Halla el mayor valor que puede tomar "M + A + R" si:

AMAR + RAMA = 9328 y además cada letra representa una cifra impar menor que 9. a) 13 b) 15 c) 19 d) 17 e) 22 4 * × * * * * * * * 3 3 * * 7 36) Si: son ciertas:

I. La suma de las cifras del producto es 22.

II. La suma de las cifras r e e m p l a z a d a s p o r l o s asteriscos, tanto en el multiplicando como en el multiplicador, es 19.

III. La suma de las cifras de los productos parciales es 22. a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) Todas e) I y II 37) Si: PENA × 99 = ...1403 , halla "P + A + N + E". a) 24 b) 26 c) 25 d) 22 e) 23 * * * * * * * * * * - - - * * * * - * * * * * * - - 8 * * * * 8 * * 34) Si:

da como respuesta la suma de las cifras del dividendo.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 29 6 8 A A B 8 B 5 - C A C A -32) Si: halla "A + B - C" a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12 A B 3 7

39) Si:

ANITA × 8 = PEPITO donde O : cero

halla "P+E + P + I + T + O". a) 33 b) 25 c) 30 d) 32 e) 28 3 * 4 * * * * - 8 * * * - - * * * 8 - 8 * * * * * * 40) Si:

da como respuesta la suma de las cifras del cociente si éste toma el menor valor posible.

a) 8 b) 4 c) 7 d) 5 e) 3 3 * * * * * - * 5 * * * 0 - * 6 * * * * - * * * * 1 * * , 5 41) Reconstruye la siguiente división

y da como respuesta la suma de las cifras de la parte entera del cociente. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 42) Si: ABC × 6 = C59C , halla "B + C". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 43) Si: A3BB × 8 = 4BA76 , halla "A + B". a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 A B 1 * * C * * * * * - - 2 5 B 1 7 44) Si: halla "A . B . C" a) 252 b) 396 c) 450 d) 198 e) 336 7 * * × 2 * * 6 * * * * * 8 1 * 1 * 0

45) Halla la suma de cifras del producto: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 46) Si: abcde × 99 = ...77232 , halla a + b + c + d + e. a) 40 b) 36 c) 37 d) 38 e) 35 47) Si:

SIN + SIN = NADA , halla N + D + S + A. a) 20 b) 16 c) 17 d) 14 e) 15

48) Halla la suma de cifras de la raíz. a) 8 b) 13 c) 10 d) 9 e) 12 5 * * 5 * * * * - 7 * * * * * -49) Si:

TOC × TOC = ENTRE , calcula T + R + E + N. a) 17 b) 12 c) 13 d) 18 e) 15

50) Si:

PAPA + MAMA = BEBE y además AE _{= A × B ,}

calcula B + E + B + E. a) 22 b) 20 c) 24 d) 26 e) 12

Orden de

Información

Objetivos  Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.  Potenciar la habilidad analítica.  Ejercitar la capacidad r e c r e a t i v a c o n l a matemática.

En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:

 La información que nos da el problema necesita ser ordenada.  Se comienza el ordenamiento

utilizando la información precisa o la más relacionada.

 Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema.

NOCIONES PREVIAS

Ejemplo 2:

a) Creciente o decreciente

A. ORDENAMIENTO LINEAL

En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda.

En una fiesta se encuentran 4 amigos, Sandro, Luis, Pedro y Martín. Además:

Ejemplo 1:

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

 El más alto de los 4 es Luis. ( )  El más bajo es Martín.

( )  Es imposible que Pedro sea el más

alto. ( )

Se sabe que:

 Carlos es 3 cm más alto que Diego.  Juan es 2 cm más bajo que Diego.  Juan es 5 cm más bajo que Carlos.  Lucy es 3 cm más baja que Diego. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

 Diego y Juan son de la misma talla. ( )  Lucy es la más baja. ( )  Diego es el más alto. ( )

Nota Las proposiciones:

 A no es mayor que B, significa que A puede ser menor o igual que B.

 A no es menor que B, significa que A puede ser mayor o igual que B.

 Sandro es más alto que Martín pero más bajo que Luis.

 Pedro es más alto que Sandro.

Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera:  El libro de Aritmética está siempre

junto y a la izquierda del de Álgebra.

 El libro de Física siempre junto y a la izquierda del libro de Química.  El libro de Geometría está a la

izquierda del de Álgebra.

 El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

 El libro que está a la derecha de los demás es el libro de Química.

( )  El libro que está a la izquierda de los

demás es el libro de Aritmética. ( )  El cuarto libro, contando desde

el extremo derecho, es el libro de

Álgebra. ( )

 El quinto libro, contando desde el extremo izquierdo, es el libro de

Física. ( )

b) Lateral

El procedimiento es similar al seguido en el ordenamiento creciente o decreciente. izquierda ↔ derecha oeste ↔ este occidente ↔ oriente Ejemplo 1:

Cinco amigos van al Estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupado, entonces un jugador desde el campo observa que:

 Susy está en el extremo derecho.  Braulio está entre Leandro y

Lucía.

 Boris está a la izquierda de Leandro que está sentado junto a Susy. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

 Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( )  Braulio se sienta junto a Lucía.

( )

 La quinta posición, a partir del extremo derecho, está vacía.

( )  La quinta posición, a partir del

extremo izquierdo, está vacía. ( )

Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Arturo vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy?

Ejemplo 2:

Ejemplo 1:

B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS

En este tipo de ejercicios , algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras. 4 3 2 1 S e g ú n e l p r i m e r d a t o h a y 2 posibilidades: (1) Barrera Aburto Calderón 6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.° (2) Barrera Aburto Calderón Resolución: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ejemplo 2:

Se observa nueve automóviles estacionados en fila, y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que:  El primero es blanco.

 El de color habano está entre el negro y el gris.

 El verde está entre el azul y el rojo.

 El de color arena está al último.  El rojo está entre el verde y el lila.  El negro está después del habano.  El gris entre el lila y el habano.

Ejemplo 3:

Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias, cada familia ocupa un piso, los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?

Puesto que los Durán viven en el 2.° piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.° piso, sino en el 6.° En consecuencia los Muñoz viven en el 4.° piso. En conclusión : 6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.° Aburto Calderón Gómez Durán Barrera Muñoz

Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor?

Resolución:

Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado nos indique; veamos:

“Pedro” es menor que “Pepe”

Pepe Pedro

“Pipo” es menor que “Pino”

Pino Pipo

Nótese que es necesario trazar 2 segmentos debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones.

* Ahora utilicemos, el vínculo que los relacionan:

“Pedro” es menor que “Pipo” Pino

Pipo Pepe Pedro

∴

Se aprecia que el mayor es Pino. Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito, Trilcito).

 Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario.

 Mario llegó después que Cano y éste después que Kilito.

 Trilcito llegó antes que Cano. ¿Quién llegó en cuarto lugar?

Resolución:

Pepe  Ñol  Mario

Mario  Cano  Kilito

Cano  Trilcito

Pepe Ñol _Mario Cano

6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.° “Trilcito” y

“Kilito”

∴

En cuarto lugar Mario.

Dada la siguiente información: I) Aristóteles es menor que José. II) José es un año menor que Walter. III) Walter es 21 años menor que

Renán.

Si resto las edades de Renán y José, obtengo: Resolución:

∴

22 años. Renán Walter José Aristóteles 21 1 = 22 -Ejemplo 6: C. ORDENAMIENTO CIRCULAR

En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).

Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa. - Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana.

- David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos. Entonces es siempre cierto que:

A) Ana y Carlos se sientan juntos. B) David está a la derecha de Julio. C) David está a la izquierda de Julio.

D) Ana y Carlos están separados por un asiento. Resolución Carlos Ana Julio (Primera posibilidad) Ana Julio Carlos (Segunda posibilidad) Al analizar las alternativas, observamos que la que cumple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato).

Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa redonda. David no está al lado de Coquito ni de Silvia. Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito?

Resolución

* Empezando por el último dato, tendremos: R L S P D C

∴

A la derecha de Coquito esta Silvia.

∴

Rpta.: d Ejemplo 1:

Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento;

para que una afirmación sea verdadera debe cumplirse

en todos los posibles ordenamientos.

¡C

uidado

!

Genio e Ingenio

Durante su etapa como profesor activo, al final de un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido:

“¡Las preguntas del examen de este año son las mismas que las del año pasado!”

“Sí” - le contestó Einstein - ,

“pero este año las respuestas son totalmente diferentes”.

Nivel I

1) Se sabe que Juan es mayor que José, Julio es menor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos? a) Juan d) Jesús b) José e) Falta datos c) Julio

2) A es mayor que B y menor que C. C es mayor que D pero menor que E. D es mayor que A.

¿Quién es el mayor de todos?

a) A d) D

b) B e) E

c) C

3) Según el problema anterior, ¿cuántas personas son mayores que A? a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 4) Si A está a la derecha de B, C está al oeste de D y B está a la derecha de D. ¿Quién está sentado a la derecha de las demás?

a) A d) D

b) B e) Faltan datos c) C

5) Según el problema anterior, ¿cuántas personas se sientan a la izquierda de B? a) 0 d) 3 b) 1 e) Faltan datos c) 2 6) Se sabe que: - A es mayor que B. - C es la mayor del grupo. - D es mayor que A. - E es menor que A.

¿Quién es el menor de todos?

a) A d) E

b) B e) Falta

c) D información

7) Se sabe que:

- Harry es mayor que Ron pero menor que Hermione.

- Dobby es mayor que Hagrid pero menor que Draco.

- Harry es un niño, en cambio Hagrid es adulto.

¿Quién es el menor de todos? a) Harry d) Hagrid

b) Ron e) Dobby

c) Hermione

8) Según el problema anterior, Dobby es mayor que «n» personas, halla «n».

a) 2 d) 5

b) 3 e) Falta

c) 4 información

9) Se pesa a 6 amigos y se decide entregar la siguiente información:

- Noño pesa más que el Chavo pero menos que Jaimito el cartero.

- El señor Barriga pesa más que Kiko.

- Don Ramón pesa menos que Kiko pero más que el Chavo. ¿Quién es el que pesa menos? a) Noño d) El Chavo b) Kiko e) Falta c) Don Ramón información

Nivel II

10) Alrededor de una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente se sientan cuatro hermanas: Ana, Bea, Cleo y Deo. Además, se puede observar que: - Ana no se sienta frente a

Cleo.

- Deo se sienta a la izquierda de Ana.

¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

a) Bea está sentada al lado de Ana.

b) Cleo está sentada exactamente frente a Bea.

c) Cleo está sentada a la izquierda de Ana.

d) Deo está sentada exactamente frente a Cleo.

e) Deo está sentada al lado de Cleo.

11) Amelia, Blanca, Carla y Dante están sentados alrededor de una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Se cumple que:

- Dante y Carla se sientan juntos.

- A la izquierda de Blanca se encuentra Amelia.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Dante se sienta frente a

Amelia.

II. Amelia está sentada frente a Carla.

III. A la izquierda de Dante se encuentra Blanca.

a) Sólo d) I y III b) Sólo II e) Ninguna c) Sólo III

12) Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que:

- A se sienta junto y a la derecha de B, y exactamente frente a C.

- D no se sienta junto a B. - E no se sienta junto a C. Podemos deducir con certeza que:

a) D está entre C y A. b) E está al lado de F.

c) E está exactamente frente a F. d) C se sienta junto a B. e) B se sienta a la derecha de D. 13) A invita a B, C, D, E y F a cenar

pero este último no pudo asistir. Los que asisten se sientan en una mesa de 6 asientos debidamente distribuidos.

- A se sienta junto a E. - E está frente a B.

- El asiento vacío no está junto a A, D y E.

¿Entre quiénes está E? a) A y B d) D y C b) B y C e) D y B c) A y C

14) En una mesa cuadrada están Pedro, Pablo, Wilma y Betty uno en cada esquina.

- Frente a Pedro está Betty. - Pablo no está a la izquierda de

Betty.

¿Quién está a la izquierda de Wilma?

a) Betty d) Nadie b) Pablo e) Falta c) Pedro información 15) Cinco amigos A, B, C, D y E se

sientan alrededor de una mesa de 5 sillas distribuidas simétricamente. - A se sienta junto a B.

- D no está junto a C.

Se puede afirmar que: I. D está junto a A. II. E está junto a C. III. B está junto a D. a) Sólo I d) I y III b) Sólo II e) Todas c) I y II

16) En una carrera entre cinco amigas, se sabe que Elvira llegó antes que Mariela, Laura antes que Fabiola, Elvira después de Sonia, y Laura después de Mariela.

¿Quién ganó la carrera? a) Elvira d) Mariela b) Fabiola e) Sonia c) Laura

17) En una competencia de natación, se sabe que Andrés llegó dos segundos después de Daniel, pero un segundo antes que Bruno. Ernesto llegó dos segundos antes que Carlos, quien llegó un segundo antes de Daniel. Si Ernesto tardó 9 segundos en llegar a la meta, ¿cuánto tiempo empleó Bruno en llegar a la meta? a) 15 segundos

b) 13 segundos c) 12 segundos d) 11 segundos e) 10 segundos

18) De una carrera de autos, donde no hubo empates, se obtuvo la siguiente información con respecto a los cinco primeros puestos:

- El auto número 12 llegó tres puestos después del auto número 22.

- El auto número 33 llegó tres puestos después del auto número 47.

- El auto número 12 y el auto número 88 llegaron en puestos consecutivos.

¿Qué auto llegó en primer lugar? a) El auto número 22

b) El auto número 33 c) El auto número 88 d) El auto número 12 e) El auto número 47