TUTORÍA 08

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

CURSO DE NIVELACIÓN ONLINE FEBRERO 2022

TUTORÍA No 8 DE MATEMÁTICAS Miércoles 23 de febrero de 2022 Capítulo Secciones

3 NÚMEROS REALES

3.12 Inducción matemática 3.13 Técnicas de conteo 3.14 Binomio de Newton 3.15 Sucesiones

TEMAS

1) Demuestre que para todo número natural mayor o igual que 7, se cumple que:

3^𝑛 < 𝑛!

2) Demuestre que para todos los números naturales se cumple:

1³+ 2³+ 3³+ ⋯ + 𝑛³= [𝑛(𝑛 + 1)

2 ]

2

3) Utilizando el teorema de inducción, demuestre que para todos los números naturales se cumple que: 𝑛³+ 2𝑛 es divisible entre 3.

4) Resuelva los siguientes problemas:

a. En una reunión, se contabilizaron 78 apretones de mano al saludarse todos los asistentes. Determine la cantidad de asistentes a la reunión.

b. Karen quiere organizar una reunión por su cumpleaños. Debido a las restricciones de aforo del local, solamente puede invitar a 11 de sus 20 amigos. Determine la cantidad de formas en que puede seleccionar a sus invitados.

c. Determine la cantidad de números enteros de tres cifras que tienen al menos un 6 como una de sus cifras.

d. Un alumno debe contestar 8 de 10 preguntas de un examen. Determine la cantidad de formas diferentes en que puede contestarlas, si las 3 primeras son obligatorias.

5) Dados los conjuntos 𝑅𝑒𝑥 = 𝑅𝑒_𝑦= ℕ₀ y los predicados de una variable:

𝑝(𝑥): 𝐶₂⁵= 𝑥 𝑞(𝑦): 𝑃₁³= 𝑦 Determine la suma de los elementos de 𝐴𝑝(𝑥) y 𝐴𝑞(𝑦).

6) Determine el término que NO contiene la variable 𝑦 en el desarrollo del binomio:

(𝜋𝑥𝑦³−1 𝑦)

8

7) Determine el término central del desarrollo del binomio:

( √𝑥 √𝑦^{3 3} + √𝑦 √𝑥^{3 3} )

6

8) Dados los siguientes términos de una progresión:

−11, −4, 3, 10, …

Si 𝑎𝑛 es el primer término mayor que 300, aplicando conceptos de progresiones, determine el valor de 𝑛.

9) Considere una sucesión definida de la siguiente manera:

𝑎_𝑛= { 2^𝑛, 𝑛 ≤ 8 𝑛 + 1 , 𝑛 > 8

Determine el valor numérico de 𝑎₁+ 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎₁₉+ 𝑎₂₀.

10) La cantidad de términos de la progresión geométrica:

1

𝑥^5𝑚+10, 1 𝑥^5𝑚+5, 1

𝑥^5𝑚, … , 1 𝑡 ≠ 0, 𝑚 ∈ ℤ es:

a. 10 b. 𝑚 c. 𝑚 + 3 d. 𝑚 + 2 e. 5𝑚 + 10

11) Determine, de ser posible, el valor aproximado de:

1 − √9 √9 √9 √9 √9 ⋯^{3 3}

3 3 3