FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CURSO DE NIVELACIÓN ONLINE FEBRERO 2022
TUTORÍA No 8 DE MATEMÁTICAS Miércoles 23 de febrero de 2022 Capítulo Secciones
3 NÚMEROS REALES
3.12 Inducción matemática 3.13 Técnicas de conteo 3.14 Binomio de Newton 3.15 Sucesiones
TEMAS
1) Demuestre que para todo número natural mayor o igual que 7, se cumple que:
3𝑛 < 𝑛!
2) Demuestre que para todos los números naturales se cumple:
13+ 23+ 33+ ⋯ + 𝑛3= [𝑛(𝑛 + 1)
2 ]
2
3) Utilizando el teorema de inducción, demuestre que para todos los números naturales se cumple que: 𝑛3+ 2𝑛 es divisible entre 3.
4) Resuelva los siguientes problemas:
a. En una reunión, se contabilizaron 78 apretones de mano al saludarse todos los asistentes. Determine la cantidad de asistentes a la reunión.
b. Karen quiere organizar una reunión por su cumpleaños. Debido a las restricciones de aforo del local, solamente puede invitar a 11 de sus 20 amigos. Determine la cantidad de formas en que puede seleccionar a sus invitados.
c. Determine la cantidad de números enteros de tres cifras que tienen al menos un 6 como una de sus cifras.
d. Un alumno debe contestar 8 de 10 preguntas de un examen. Determine la cantidad de formas diferentes en que puede contestarlas, si las 3 primeras son obligatorias.
5) Dados los conjuntos 𝑅𝑒𝑥 = 𝑅𝑒𝑦= ℕ0 y los predicados de una variable:
𝑝(𝑥): 𝐶25= 𝑥 𝑞(𝑦): 𝑃13= 𝑦 Determine la suma de los elementos de 𝐴𝑝(𝑥) y 𝐴𝑞(𝑦).
6) Determine el término que NO contiene la variable 𝑦 en el desarrollo del binomio:
(𝜋𝑥𝑦3−1 𝑦)
8
7) Determine el término central del desarrollo del binomio:
( √𝑥 √𝑦3 3 + √𝑦 √𝑥3 3 )
6
8) Dados los siguientes términos de una progresión:
−11, −4, 3, 10, …
Si 𝑎𝑛 es el primer término mayor que 300, aplicando conceptos de progresiones, determine el valor de 𝑛.
9) Considere una sucesión definida de la siguiente manera:
𝑎𝑛= { 2𝑛, 𝑛 ≤ 8 𝑛 + 1 , 𝑛 > 8
Determine el valor numérico de 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ⋯ + 𝑎19+ 𝑎20.
10) La cantidad de términos de la progresión geométrica:
1
𝑥5𝑚+10, 1 𝑥5𝑚+5, 1
𝑥5𝑚, … , 1 𝑡 ≠ 0, 𝑚 ∈ ℤ es:
a. 10 b. 𝑚 c. 𝑚 + 3 d. 𝑚 + 2 e. 5𝑚 + 10
11) Determine, de ser posible, el valor aproximado de:
1 − √9 √9 √9 √9 √9 ⋯3 3
3 3 3