DE MONTERREY
CAMPUS ESTADO DE M ´EXICO
PROPUESTA DE UN NUEVO MODELO PARA LA TRANSICI ´ ON DE FASE L´IQUIDO-S ´ OLIDO EN MATERIALES DE CAMBIO DE FASE
TESIS PRESENTADA POR
MSc. SUSET GRACIELLA RODR´IGUEZ ALEM ´ AN
COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL T´ITULO DE DOCTOR EN CIENCIAS DE INGENIER´IA
ATIZAP ´AN DE ZARAGOZA, ESTADO DE M ´EXICO, M ´EXICO , NOV 2020
Agradecimientos
A mi familia:
A Rodolfo por su amor infinito y su apoyo incondicional. Este es un logro de los dos.
A mis padres y mi hermano por creer y confiar en mi.
A mis asesores el Dr. Jos´e A. Otero y el Dr. Ernesto M. Hern´andez Cooper por su amistad, ense˜nanzas y conoci- mientos.
A las muchachitas: Martha Lina, Yoha, Ivet e Ivette por los ´animos desde la distancia.
A Isidro por ser ese amigo que siempre est´a.
A los amigos y colegas del Departamento de Ciencias.
Al Tecnol´ogico de Monterrey por la oportunidad.
Al Conacyt por el apoyo.
III
Resumen
El comportamiento incorrecto de las soluciones num´ericas en sistemas t´ermicamente aislados se ha explicado recientemente al considerar cambios de volumen durante la transici´on de fase l´ıquido-s´olido a trav´es de la con- servaci´on de masa total. En este trabajo se encuentran ejemplos donde las soluciones num´ericas a´un muestran un comportamiento incorrecto en sistemas t´ermicamente aislados. Las soluciones en el equilibrio termodin´amico reve- lan la existencia de casos patol´ogicos en algunos materiales, aunque se conserve la masa total del sistema. A trav´es de los ejemplos mostrados en este trabajo, se encuentra un error conceptual en la ecuaci´on de movimiento de la interfaz. El tama˜no del sistema y la cantidad de masa fundida o solidificada obtenida de un balance de masa-energ´ıa local en la interfaz no son invariantes y pueden sobrestimar o subestimar los valores del estado estacionario cuan- do el sistema se encuentra t´ermicamente aislado. La ecuaci´on de movimiento propuesta para la interfaz se halla imponiendo la conservaci´on de energ´ıa en sistemas adiab´aticos y los valores en el equilibrio termodin´amico se re- producen bien a trav´es de la ecuaci´on propuesta. La conservaci´on de energ´ıa conduce a un t´ermino adicional en la ecuaci´on de movimiento para la interfaz que es proporcional a la diferencia de densidad entre las fases l´ıquida y s´olida. Adicionalmente, se propone el balance t´ermico total a trav´es de todo el sistema en sistemas con condiciones de contorno isot´ermico-adiab´atico. El balance t´ermico total tambi´en conduce a un t´ermino adicional en la ecuaci´on de movimiento para la interfaz que puede tener contribuciones significativas seg´un el tipo de material y las condicio- nes de operaci´on. Finalmente, la din´amica de la transici´on de fase se puede representar mediante la introducci´on de un calor de fusi´on latente equivalente que incorpora los efectos del equilibrio t´ermico total. La soluci´on de num´erica del modelo propuesto consiste en emplear un m´etodo h´ıbrido que trata la variable espacial y la temporal indepen- dientemente. Primero se discretiza el espacio usando Elementos Finitos lo cual lleva a la soluci´on de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para solucionar el EDO resultante se usa un M´etodo Impl´ıcito en Diferencias Finitas. Se calcula el problema de transici´on de fase para distintos PCM y se comparan los resultados obtenidos con los brindados por el M´etodo Integral de Balance de Calor reportados en [114].
IV
´Indice general
Glosario 1
1. Introducci´on 2
1.1. Motivaci´on . . . 2
1.2. Antecedentes: Materiales de cambio de fase . . . 4
1.3. Pregunta de Investigaci´on . . . 5
1.4. Hip´otesis . . . 5
1.5. Objetivo General . . . 5
1.5.1. Objetivos espec´ıficos . . . 5
1.6. Principales aportes . . . 5
1.7. Organizaci´on de la disertaci´on . . . 5
2. Estado del Arte 7 2.1. Materiales cambio de fase . . . 7
2.2. Transici´on de fase l´ıquido-s´olido en problemas unidimensionales . . . 11
2.2.1. Aplicaciones de la transici´on de fase en PCM . . . 12
2.3. M´etodos de soluci´on . . . 13
3. Modelo de Balance T´ermico Total 15 3.1. Casos Patol´ogicos . . . 16
3.2. Modelo de Balance T´ermico Total . . . 20
3.2.1. Condiciones de frontera adiab´aticas . . . 20
3.2.2. Otros tipos de condiciones de frontera . . . 24
3.3. Diferencias con el Modelo de Stefan cl´asico y el Modelo de Conservaci´on de Masa Total . . . 31
4. Soluci´on num´erica 35 4.1. M´etodo H´ıbrido . . . 36
4.2. Discretizaci´on en el espacio . . . 39
4.2.1. Discretizaci´on del dominio . . . 39
4.2.2. Formulaci´on d´ebil del problema . . . 40
4.2.3. Aproximaci´on de la soluci´on . . . 41
4.2.4. Sistema global . . . 50
4.2.5. Condiciones de contorno . . . 53
4.3. Discretizaci´on en el tiempo . . . 53
V
5. Implementaci´on Computacional 56
5.1. Concepci´on y dise˜no de la soluci´on computacional . . . 56
5.2. Implementaci´on . . . 57
5.2.1. M´etodo de Elementos Finitos . . . 57
5.2.2. M´etodo Impl´ıcito en Diferencias Finitas . . . 60
6. Resultados y discusi´on 62 6.1. Condiciones de frontera Neumann / Dirichlet . . . 63
6.2. Condiciones de frontera Dirichlet / Neumann . . . 66
Conclusiones 69
Recomendaciones 71
Referencias 72
A. Expresiones anal´ıticas para las variables din´amicas en el estado estacionario 83 B. Forma diferencial del cambio de energ´ıa interna. Condiciones adiab´aticas condxdtl = 0 88 C. Forma diferencial del cambio de energ´ıa interna. Condiciones adiab´aticas condxdts = 0 91 D. Forma diferencial de la tasa de cambio de energ´ıa. Condiciones adiab´atica/isot´ermica condxdtl = 0 93 E. Forma diferencial de la tasa de cambio de energ´ıa. Condiciones adiab´atica/isot´ermica condxdts = 0 96 F. Forma diferencial de la tasa de cambio de energ´ıa. Condiciones isot´ermica/adiab´atica con dxdtl = 0 98 G. Forma diferencial de la tasa de cambio de energ´ıa. Condiciones isot´ermica/adiab´atica condxdts = 0 100
H. Aproximaci´on de segundo orden de la derivada 102
VI
´Indice de cuadros
2.1. Caracter´ısticas de los PCM . . . 9
4.1. Relaci´on entre etiquetas locales y globales . . . 51
6.1. Propiedades termof´ısicas de algunos PCM . . . 62
6.2. Temperatura de operaci´on TCy THpara algunos PCM . . . 63
6.3. ∆M y DPR para diferentes valores de las temperaturas TC. Solidificaci´on KN O3 . . . 64
6.4. DPR para diferentes instantes de tiempo. Solidificaci´on KN O3. . . 65
6.5. ∆M y DPR en t = tmaxpara diferentes sales. Solidificaci´on . . . 66
6.6. ∆M y DPR para diferentes valores de las temperaturas TH. Fusi´on KN O3/N aN O3 . . . 67
6.7. DPR para diferentes instantes de tiempo. Fusi´on KN O3/N aN O3 . . . 67
6.8. ∆M y DPR en t = tmaxpara diferentes sales. Fusi´on . . . 68
VII
´Indice de figuras
1.1. PCM absorbe/libera energ´ıa . . . 4
1.2. Estructura del texto . . . 6
2.1. Almacenamiento de energ´ıa vs temperatura . . . 8
2.2. Clasificaci´on de los PCM . . . 8
3.1. Modelo unidimensional con dos fases . . . 15
3.2. Solidificaci´on de KN O3. Modelo Conservaci´on de Masa Total . . . 18
3.3. Fusi´on de KN O3. Modelo Conservaci´on de Masa Total . . . 19
3.4. Solidificaci´on de KN O3. Modelo de Balance T´ermico Total . . . 22
3.5. Fusi´on de KN O3. Modelo de Balance T´ermico Total . . . 23
3.6. Barra con condiciones de frontera mixtas. Solidificaci´on . . . 26
3.7. Solidificaci´on de KN O3cuando dxdtl = 0. Comparaci´on entre MCMT y MBTT . . . 27
3.8. L∗f/Lfpara condiciones de contorno adiab´atica-isot´ermica . . . 27
3.9. Solidificaci´on de KN O3cuando dxdts = 0. Comparaci´on entre MCMT y MBTT . . . 28
3.10. Barra con condiciones de frontera mixtas. Fusi´on . . . 29
3.11. L∗f/Lf para condiciones de contorno isot´ermica-adiab´atica . . . 30
3.12. Fusi´on de KN O3/N aN O3cuandodxdtl = 0. Comparaci´on entre modelos . . . 30
3.13. Fusi´on de KN O3/N aN O3cuandodxdts = 0. Comparaci´on entre modelos . . . 31
3.14. Solidificaci´on KN O3. No se cumple la invarianza . . . 34
3.15. Fusi´on KN O3/N aN O3. No se cumple la invarianza . . . 34
4.1. Dominio espacio-temporal . . . 38
4.2. Nodos del elemento c´ubico . . . 42
4.3. Funciones c´ubicas de Lagrange . . . 43
4.4. Flujo t´ermico discontinuo . . . 44
4.5. Funciones c´ubicas BSpline . . . 48
4.6. Flujo t´ermico continuo . . . 49
5.1. Dise˜no de la soluci´on computacional . . . 56
5.2. Discretizaci´on de la regi´on Ω en elementos . . . 57
5.3. Discretizaci´on de Ω en el tiempo usando un n´umero fijo de elementos en cada fase . . . 58
5.4. Discretizaci´on de Ω en el tiempo usando selecci´on autom´atica de elementos en cada fase . . . 59
5.5. Posici´on de la interfaz usando n´umero de elementos fijo y la selecci´on autom´atica de elementos . . 59
VIII
IX
Glosario
Nomenclatura Siglas
A Area de la secci´on transversal´ BEM M´etodo de Elementos de Contorno
C Capacidad calor´ıfica espec´ıfica CAD Dise˜no Asistido por Computadora
E Energ´ıa interna total del sistema DPR Diferencia porcentual relativa
E0 Energ´ıa inicial del sistema DPRHBIM DPR obtenida usando el HBIM como m´etodo num´erico
fs Fracci´on de l´ıquido solidificado (s´olido derretido) FDM M´etodo en Diferencias Finitas f1(x) Perfil inicial de temperaturas de la fase l´ıquida para t = 0 FEM M´etodo de Elementos Finitos
f2(x) Perfil inicial de temperaturas de la fase s´olida para t = 0 FEM+BSpline M´etodo de Elementos Finitos con funciones de forma BSpline
F(e) Vector de flujo del elemento FEM+Lagrange M´etodo de Elementos Finitos con funciones de forma de Lagrange
K(e) Matriz de conductividad del elemento FVM M´etodo de Vol´umenes Finitos
L Longitud de la barra HBIM M´etodo Integral de Balance de Calor
Leq Longitud de la barra en el equilibrio termodin´amico HTPCM Materiales de cambio de fase de alta temperatura
Lf Calor latente de fusi´on IFDM M´etodo Impl´ıcito en Diferencias Finitas
L∗f Calor latente equivalente IGA An´alisis Isogeom´etrico
L0 Longitud inicial de la barra LHS Almacenamiento por calor latente
Ml0 Masa inicial de la fase l´ıquida MBP Problema de frontera m´ovil
Ms0 Masa inicial de la fase s´olida MBTT Modelo de Balance T´ermico Total
M(e) Matriz de capacidad del elemento MCMT Modelo de Conservaci´on de Masa Total
t Tiempo MH M´etodo H´ıbrido
teq Tiempo en el cual las soluciones num´ericas se aproximan al equilibrio termodin´amico NURBS BSpline Racionales No-Uniformes tmax Tiempo del modelo con mayor tasa de solidificaci´on (fusi´on) PCM Material de cambio de fase
TC Temperatura m´as baja del sistema SHS Almacenamiento por calor sensible
Tf Temperatura de fusi´on TH Temperatura m´as alta del sistema Tl(x, t) Temperatura de la fase l´ıquida Ts(x, t) Temperatura de la fase s´olida xl Posici´on inicial de la barra xs Posici´on final de la barra α Coeficiente de difusividad t´ermica
∆M Masa transformada
∆Mc Cantidad de masa solidificada (fundida) seg´un el MCMT
∆Meq Cantidad de masa transformada en el equilibrio termodin´amico
∆Mp Cantidad de masa solidificada (fundida) seg´un el MBTT
∆U Cambio total de energ´ıa interna κ Conductividad t´ermica V Espacio de las funciones de prueba ξ Posici´on de la interfaz
ξeq Posici´on de la interfaz en el equilibrio termodin´amico ξ0 Posici´on inicial de la interfaz
ρ Densidad
Ω Dominio espacial de la barra Ωe Elemento unidimensional Ωl Dominio de la fase l´ıquida Ωs Dominio de la fase s´olida
1
Cap´ıtulo 1
Introducci´on
1.1. Motivaci´on
El uso indiscriminado de combustibles f´osiles (entre los que se encuentran: el carb´on, el petr´oleo y el gas natural) tiene graves consecuencias para el medio ambiente. Los combustibles f´osiles con los que contamos en la actualidad se formaron a partir de restos de plantas y animales muertos mediante un largo y complejo proceso, por lo cual tardan millones de a˜nos en reponerse. Las reservas de combustible f´osiles son recursos no renovables, limitados y se consumen a un ritmo mucho mayor del que se producen. Adem´as, la quema de combustibles f´osiles produce la emisi´on de gases contaminantes hacia la atm´osfera; los cuales son los causantes del cambio clim´atico, las lluvias
´acidas, la alteraci´on del efecto invernadero entre otros problemas ambientales que preocupan a la humanidad.
Existen alternativas distintas a los combustibles f´osiles que el hombre ha empleado con el fin de reducir el im- pacto ambiental, como por ejemplo las energ´ıas renovables. Las energ´ıas renovables son aquellas que se obtienen a partir de fuentes naturales que se regeneran continuamente, m´as r´apido de lo que podemos consumirlas. A dife- rencia de las energ´ıas no renovables, las energ´ıas renovables se caracterizan por ser inagotables. Entre las energ´ıas renovables encontramos la geot´ermica, la e´olica, la marina, la hidr´aulica, la solar y la biomasa. Las energ´ıas limpias, tambi´en llamadas verdes, son aquellas que al obtenerse o al utilizarse no emiten ninguna sustancia contaminante ni implican ning´un proceso que tenga un impacto negativo para el medio ambiente. La biomasa es una energ´ıa re- novable ya que proviene de residuos org´anicos. No se considera una energ´ıa limpia porque, aunque es inagotable, al quemarse genera una contaminaci´on considerable, emitiendo gases como el di´oxido de carbono o el ´oxido de nitr´ogeno. Es por ello que se hace apremiante el uso de energ´ıas renovables y limpias.
La energ´ıa solar es la energ´ıa obtenida a partir del aprovechamiento de la radiaci´on electromagn´etica procedente del sol. La radiaci´on solar que alcanza la Tierra ha sido utilizada por el ser humano desde la antig¨uedad mediante diferentes tecnolog´ıas que han ido evolucionando. Hoy en d´ıa, el calor y la luz del sol pueden aprovecharse por medio de diversos captadores como c´elulas fotoel´ectricas, heliostatos o colectores solares, pudiendo transformarse en energ´ıa el´ectrica o t´ermica.
Las diferentes tecnolog´ıas para el aprovechamiento de la radiaci´on solar se pueden clasificar en activas o pasivas seg´un como capturan, convierten y distribuyen la energ´ıa solar. Las activas son aquellas que emplean diferentes t´ecnicas para captar y procesar la energ´ıa del sol. Las tecnolog´ıas pasivas son el conjunto de t´ecnicas dirigidas al aprovechamiento de la energ´ıa solar de forma directa, sin transformarla en otro tipo de energ´ıa, para su utilizaci´on inmediata o para su almacenamiento sin la necesidad de sistemas mec´anicos ni aporte externo de energ´ıa. Entre
2
las tecnolog´ıas pasivas se encuentran diferentes m´etodos enmarcados en la arquitectura bioclim´atica: la orientaci´on de los edificios al sol, la selecci´on de materiales con una masa t´ermica favorable o que tengan propiedades para la dispersi´on de luz, as´ı como el dise˜no de espacios mediante ventilaci´on natural. Adaptar los edificios a la climato- log´ıa de la zona para conseguir una temperatura perfecta en cada momento ha sido de las formas m´as antiguas de aprovechar la energ´ıa solar [59].
La energ´ıa solar fotovoltaica consiste en obtener directamente la electricidad a partir de la radiaci´on solar. Esto se consigue gracias a la instalaci´on de paneles solares fotovoltaicos. Los paneles solares fotovoltaicos cuentan con c´elulas de silicio que transforman la luz y calor del sol en electricidad. Estos paneles o placas solares pueden instalarse tanto a nivel dom´estico, en edificios y casas, como a gran escala, por ejemplo en instalaciones como plantas fotovoltaicas. Sin embargo, la energ´ıa solar es intermitente, impredecible y disponible solo durante el d´ıa.
Las placas fotovoltaicas aprovechan la energ´ıa solar pero no son capaces de almacenarla por s´ı solas, por lo que su rendimiento se ver´a afectado dependiendo de las condiciones clim´aticas. Adem´as, su aplicaci´on requiere de un almacenamiento eficiente de energ´ıa t´ermica para que el exceso de calor recolectado durante las horas de sol pueda almacenarse para su uso posterior durante la noche.
La energ´ıa solar t´ermica (tambi´en energ´ıa cal´orica o energ´ıa calor´ıfica) es la manifestaci´on de la energ´ıa solar en forma de calor. Los ´atomos que forman las mol´eculas de cualquier material se encuentran en continuo movimiento, ya sea traslad´andose o vibrando. Por lo tanto, cuando aumenta la velocidad de las mol´eculas, el cuerpo se calienta y, cuando disminuye dicha velocidad, el cuerpo se enfr´ıa. La energ´ıa interna de un sistema termodin´amico se pue- de cambiar de dos maneras: realizando un trabajo en el sistema o mediante el intercambio de calor con el medio ambiente. La energ´ıa que el cuerpo recibe o pierde en el proceso de intercambio de calor con el medio ambiente se denomina cantidad de calor o simplemente calor. La energ´ıa solar t´ermica consiste en aprovechar la energ´ıa del sol para producir calor, que posteriormente se usa como fuente de energ´ıa. Por ejemplo, en el caso dom´estico, se pueden emplear colectores o captadores solares instalados en el techo o en una parte soleada del edificio. Los colectores solares capturan la radiaci´on solar y la convierten en calor, que se hace pasar por un circuito de tubos met´alicos que genera suficiente energ´ıa para el uso habitual en un hogar: agua caliente y calefacci´on. La energ´ıa solar t´ermica tambi´en se puede aprovechar a gran escala. Un ejemplo de esto son las plantas termosolares o centrales t´ermicas solares, que son grandes extensiones de terreno con colectores de energ´ıa solar de alta temperatura. Estas instalacio- nes operan a temperaturas superiores a 500◦C y transforman la energ´ıa t´ermica en energ´ıa el´ectrica para abastecer a la red el´ectrica tradicional, pudiendo abarcar grandes zonas de territorio. Adem´as, las tecnolog´ıas actuales permi- ten almacenar el calor aprovechando las propiedades de los materiales. La energ´ıa t´ermica se puede almacenar en forma de calor sensible, de calor latente, por procesos termoqu´ımicos o por combinaciones de estos. Los sistemas termoqu´ımicos se basan en la ruptura y cambios moleculares en reacciones qu´ımicas completamente reversibles, es decir, utilizan el calor para favorecer una reacci´on qu´ımica reversible de la que luego puede aprovecharse el calor desprendido en su reacci´on inversa. El almacenamiento por calor sensible (SHS, por sus siglas en ingl´es) se basa en elevar la temperatura del medio elegido (por ejemplo un l´ıquido o un s´olido) para almacenar calor y liberarlo con la disminuci´on de la temperatura cuando sea necesario. El calor latente es la cantidad de calor agregado o eliminado de una sustancia para producir un cambio en fase.
Existen sustancias que almacenan una gran cantidad de energ´ıa t´ermica al cambiar de estado, usualmente en el cambio l´ıquido-s´olido, lo que se conoce como almacenamiento por calor latente (LHS, por sus siglas en ingl´es). Un ejemplo de estas sustancias son los materiales de cambio de fase. La principal motivaci´on para la realizaci´on de este trabajo es el estudio de los materiales de cambio de fase para el almacenamiento de energ´ıas limpias, espec´ıficamente la energ´ıa t´ermica solar.
1.2. Antecedentes: Materiales de cambio de fase
Los materiales de cambio de fase (PCM, por sus siglas en ingl´es) son sustancias inteligentes con un alto calor latente, capaces de almacenar una gran cantidad de energ´ıa t´ermica. Los materiales de cambio de fase tienen como caracter´ıstica que absorben o ceden calor cuando alcanzan la temperatura de cambio de fase. La figura 1.1 muestra el comportamiento de un PCM dependiendo de las condiciones t´ermicas del entorno. Durante la transici´on de fase, la temperatura se mantiene constante y el material sigue absorbiendo energ´ıa, por lo que pueden ser utilizados como almacenamiento de energ´ıa. Los ciclos de cambio de estado son reversibles. La energ´ıa t´ermica se absorbe o se libera cuando la temperatura a la cual est´a sometido el material es mayor o menor que su temperatura de fusi´on. Es por ello que resulta importante estudiar el proceso de cambio de fase de estos materiales.
Figura 1.1: El PCM absorbe energ´ıa mientras pasa del estado s´olido al l´ıquido y la libera cuando pasa del estado l´ıquido al s´olido
Los problemas de transici´on de fase o problemas de frontera m´ovil han sido ampliamente estudiados en la li- teratura. Para modelar el proceso de cambio de fase en medios continuos se puede utilizar la ecuaci´on de Stefan o ecuaci´on de movimiento de la interfaz l´ıquido-s´olido. Varios autores han tenido en cuenta los efectos volum´etricos provocados por la diferencia de densidad entre ambas fases en la din´amica del proceso [22, 23, 84, 91, 123]. Para incorporar estos efectos se introduce la conservaci´on total de la masa. Es posible encontrar ejemplos en sistemas t´ermicamente aislados donde las soluciones num´ericas subestiman o sobrestiman los valores en el equilibrio ter- modin´amico si no se consideran dichos efectos volum´etricos [123]. El equilibrio termodin´amico es el estado donde las magnitudes f´ısicas no dependen del tiempo. La conservaci´on de masa ha llevado a explicar la din´amica del proceso de cambio de fase en sistemas m´as complicados donde el material se encuentra confinado por una pared el´astica [22, 23, 43, 84, 151, 152]. La aplicaci´on inconsistente de la conservaci´on de la masa total puede conducir a la creaci´on de masa, lo que produce errores en la estimaci´on de las variables termodin´amicas cuando el sistema est´a cerca del r´egimen isoc´orico [22, 45]. Sin embargo, es posible encontrar ejemplos para algunos materiales en sistemas t´ermicamente aislados donde las soluciones num´ericas a´un muestran un comportamiento incorrecto aun- que se conserve la masa total del sistema. En estos casos, el tama˜no del sistema y la cantidad de masa fundida o solidificada obtenida al aplicar el balance de masa-energ´ıa local en la interfaz no son invariables y pueden sobresti- mar o subestimar los valores del estado estacionario. Estos ejemplos ser´an estudiados en el cap´ıtulo 3. Debido a las inconsistencias que a´un es posible encontrar en las soluciones aunque se conserve la masa del sistema fue que se dio lugar la pregunta de investigaci´on, hip´otesis y el objetivo general de esta tesis.
1.3. Pregunta de Investigaci´on
¿Qu´e efecto ocasiona en el proceso isob´arico de transici´on de fase emplear un balance t´ermico total en lugar de un balance t´ermico en la interfaz (condici´on de Stefan) en problemas unidimensionales con diferentes tipos de condiciones de frontera?
1.4. Hip´otesis
Emplear un balance t´ermico total en el problema isob´arico unidimensional de frontera m´ovil cambia el pro- ceso de transici´on de fase obteni´endose aproximaciones del movimiento de la interfaz m´as cercanas a los valores esperados en el equilibrio termodin´amico.
1.5. Objetivo General
Estudiar el proceso isob´arico de transici´on de fase l´ıquido-s´olido en una barra unidimensional compuesta por un material de cambio de fase para diferentes tipos de condiciones de frontera.
1.5.1. Objetivos espec´ıficos
Proponer un nuevo modelo f´ısico para estudiar los problemas de frontera m´ovil en PCM empleando un balance t´ermico total de energ´ıa para sistemas con condiciones de frontera adiab´aticas y mixtas.
Realizar la formulaci´on matem´atica para el nuevo modelo f´ısico.
Proponer una soluci´on num´erica para el modelo matem´atico propuesto con el objetivo de obtener soluciones aproximadas al problema de transici´on de fase l´ıquido-s´olido.
Implementar una soluci´on computacional que permita determinar el movimiento de la interfaz, la longitud de la barra, la cantidad de masa solidificada o derretida, entre otras variables de inter´es.
1.6. Principales aportes
El principal aporte de la tesis es el planteamiento de un nuevo modelo f´ısico (Modelo de Balance T´ermico Total) para el problema unidimensional de transici´on de fase l´ıquido-s´olido. El modelo propuesto resuelve los casos patol´ogicos que se presentan al emplear la soluci´on de Stefan cl´asica y el Modelo de Conservaci´on de Masa. El Modelo de Balance T´ermico Total garantiza adem´as la invarianza que debe existir en la longitud y en la cantidad de masa derretida o solidificada, independientemente de la direcci´on hacia donde se expanda o contraiga la barra, cuando el sistema se encuentra t´ermicamente aislado.
1.7. Organizaci´on de la disertaci´on
La figura 1.2 muestra la estructura por cap´ıtulos del texto de la tesis y la relaci´on de cada cap´ıtulo con los objetivos propuestos.
Figura 1.2: Estructura del texto en relaci´on con los objetivos generales y espec´ıficos
El cap´ıtulo 2 comprende una revisi´on bibliogr´afica de los temas que conforman el marco te´orico para el desa- rrollo de la presente tesis. En especial se abordan los materiales de cambio fase, los problemas de frontera m´ovil y su aplicaci´on a los PCM. Adem´as, se realiza un recorrido por diferentes modelos matem´aticos y m´etodos num´ericos empleados en el estudio de los problemas de transici´on de fase. En el cap´ıtulo 3 se propone una nueva ecuaci´on para describir el movimiento de la interfaz en sistemas con condiciones de frontera adiab´aticas. La ecuaci´on propuesta se obtiene al imponer la condici´on de conservaci´on de energ´ıa total al sistema. Posteriormente, se generaliza el resultado obtenido a sistemas con condiciones de frontera mixtas. En este cap´ıtulo tambi´en se compara el Modelo de Balance T´ermico propuesto con dos de los modelos empleados en la soluci´on de problemas de frontera m´ovil: el Modelo de Stefan cl´asico y el Modelo de Conservaci´on de Masa Total. El cap´ıtulo 4 describe el m´etodo num´erico empleado en la soluci´on matem´atica del modelo propuesto: el m´etodo h´ıbrido. Adem´as, se muestran dos versiones para la implementaci´on de este m´etodo (una emplea las funciones Lagrange como funciones de forma y la otra utiliza funciones BSpline) y se se˜nalan las diferencias existentes entre ambas variantes. El cap´ıtulo 5 presenta la concepci´on y dise˜no de la soluci´on computacional realizada. Se exponen los principales aspectos tomados en cuenta a la hora de la implementaci´on para lograr resultados m´as precisos y menor tiempo de ejecuci´on. En el cap´ıtulo 6 se ilustran los resultados alcanzados al aplicar el modelo propuesto a la transici´on de fase para diferentes PCM. Se comparan dichos resultados con los que se obtienen usando el Modelo de Conservaci´on de Masa y, se comentan y explican las diferencias que existen entre los resultados obtenidos con ambos modelos. Tambi´en, se comparan los resultados obtenidos al emplear m´etodo h´ıbrido como m´etodo num´erico para soluci´on del nuevo modelo planteado con los resultados alcanzados utilizando el M´etodo Integral de Balance de Calor. Posteriormente se plantean las con- clusiones de la tesis y se brindan recomendaciones enfocadas en mejorar el desempe˜no computacional del trabajo y en las l´ıneas de investigaci´on futuras. Finalmente se listan los anexos del trabajo.
Cap´ıtulo 2
Estado del Arte
Este cap´ıtulo comprende una revisi´on bibliogr´afica de los principales temas que son el pilar para el desarrollo de la presente investigaci´on. Se repasan brevemente los materiales de cambio fase, as´ı como los problemas de frontera m´ovil y su aplicaci´on a los PCM. Adem´as, se realiza un recorrido por diferentes modelos y m´etodos de soluci´on empleados en el estudio de los problemas de transici´on de fase l´ıquido-s´olido.
2.1. Materiales cambio de fase
Los materiales de transici´on de fase (PCM, por sus siglas en ingl´es) poseen un alto calor latente, lo cual los hace capaces de almacenar una gran cantidad de energ´ıa t´ermica. Los ciclos de cambio de estado de un PCM son reversibles y la energ´ıa t´ermica se absorbe (o se libera) cuando la temperatura a la cual est´a sometido el material es mayor (o menor) que su temperatura de fusi´on. Al comparar el almacenamiento de calor sensible y latente se encuentra que, este ´ultimo, puede alcanzar densidades de almacenamiento de 5 a 10 veces mayores [128].
El almacenamiento de calor latente se puede lograr a trav´es de transformaciones de fase l´ıquido-gas, s´olido-gas, s´olido-s´olido y l´ıquido-s´olido siendo las dos ´ultimas las de mayor inter´es pr´actico [141]. Las transiciones s´olido- gas y l´ıquido-gas tienen mayor calor latente de fusi´on, pero sus grandes cambios de volumen en la transici´on de fase est´an asociados con problemas de contenci´on y descartan su utilidad potencial en sistemas de almacenamiento t´ermico. En las transiciones s´olido-s´olido, el calor se almacena cuando el material se transforma de un cristalino a otro. Esta transici´on generalmente tiene cambios de volumen y calor latente m´as peque˜nos que la transici´on s´olido-l´ıquido. Las transformaciones s´olido-l´ıquido tienen un calor latente comparativamente menor que el l´ıquido- gas. Sin embargo, estas transformaciones implican solo un peque˜no cambio de volumen ( < 10 % ). La transici´on s´olido-l´ıquido ha demostrado ser econ´omicamente atractiva para su uso en sistemas de almacenamiento de energ´ıa t´ermica [128]. La figura 2.1 muestra el comportamiento t´ıpico de un PCM con cambios l´ıquido-s´olido, relacionando el almacenamiento de energ´ıa t´ermica con los cambios de temperatura.
Clasificaci´on de los PCM
Existe un gran n´umero de materiales con capacidad de almacenamiento de energ´ıa t´ermica por calor latente.
Ejemplos de ellos son el hielo, que es un material de cambio de fase utilizado desde la antig¨uedad y la sal de Glauber (N a2SO4), que por su capacidad de almacenamiento por calor latente fue utilizada en aplicaciones en el campo de la construcci´on en la d´ecada del cincuenta [67].
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Figura 2.1: Comportamiento de los PCM: relaci´on almacenamiento de energ´ıa t´ermica - temperatura Tomada de [115]
Los PCM l´ıquido-s´olido se pueden clasificar seg´un su origen en: org´anicos, inorg´anicos o mezclas eut´ecticas.
Cada clasificaci´on se subdivide en subtipos, como se aprecia en la Figura 2.2.
Figura 2.2: Clasificaci´on de los PCM
El rango de temperatura de 20 ◦C a 80 ◦C es atractivo para ciertas aplicaciones como, por ejemplo, la cons- trucci´on. Los materiales de cambio de fase l´ıquido-s´olido m´as comunes en este rango son las ceras de parafina, sales hidratadas, mezclas eut´ecticas y los ´acidos grasos. Las sales hidratadas est´an disponibles en el mercado y son m´as baratas que las ceras de parafina pero tienen algunas desventajas como las bajas temperaturas de fusi´on o la corrosi´on al contacto con metales. Las ceras de parafina tambi´en est´an disponibles en el mercado, pero su calor latente (hasta 200 kJ/kg) es s´olo la mitad del de las sales hidratadas. Los ´acidos grasos tienen un calor latente de
aproximadamente 200 kJ/kg, al igual que las ceras de parafina, pero son m´as caros. Las mezclas eut´ecticas son combinaciones estables de dos o m´as materiales de cambio de fase, cada una de las cuales se funde y solidifica de manera congruente. En las mezclas eut´ecticas intervienen dos o m´as componentes con punto de fusi´on m´as bajo que el que poseen los compuestos individualmente. Esto hace que la mezcla alcance el punto de congelaci´on m´as bajo posible y ambos se solidifiquen a la temperatura eut´ectica.
Los compuestos org´anicos, en contraposici´on a los inorg´anicos, no presentan problemas de subenfriamiento y son m´as estables [41]. Los materiales org´anicos, especialmente sustancias como las ceras, grasas y ´esteres, han sido recomendados como acumuladores. La tabla 2.1 muestra una las principales ventajas e inconvenientes de los PCM org´anicos e inorg´anicos [101].
Cuadro 2.1: Caracter´ısticas de los PCM
PCM Org´anicos PCM Inorg´anicos
Ventajas - F´aciles de usar.
- Estabilidad t´ermica y qu´ımica.
- No sufren subenfriamiento.
- No son corrosivos.
- No necesitan agente nucleador para solidificar.
- Reciclables y ecol´ogicamente inocuos.
- Generalmente baratos.
- Elevada conductividad t´ermica.
- No inflamables.
- Reciclables y biodegradables.
- Densidad de almacenamiento t´ermico elevada.
- Temperatura de cambio de fase claramente definida.
Inconvenientes - Calor latente y entalp´ıa m´as bajos.
- Baja conductividad t´ermica.
- Amplio rango de fusi´on.a
- Reacci´on potencial con el hormig´on.
- Potencialmente combustibles.
- M´as caros.
- Grandes cambios de volumen durante el cambio de fase.
- Su uso prolongado necesita de aditivos.
- Son susceptibles de subenfriamiento.
- Potencialmente corrosivos para algunos metales.
- El encapsulado y preparaci´on para su uso ocasionan algunos problemas.b
- Los aditivos utilizados para evitar una fusi´on incongruente reducen su capacidad de almacenamiento latente por unidad de volumen en m´as de un 25 %.
Ejemplos Hexadecano, Heptadecano, N a2SO4· 10H2O, CaCl2· 6H2O, Octadecano, Parafina, RT25 KF · 4H2O
aEspecialmente las parafinas, por las diferentes longitudes de sus cadenas de carbono.
bLas sales hidratadas absorben agua f´acilmente y necesitan un encapsulado semipermeable [101]
Aplicaciones de los PCM
Durante los a˜nos setenta y ochenta aument´o el inter´es en la utilizaci´on de PCM para el almacenamiento de energ´ıa t´ermica en grandes plantas solares y en aplicaciones dom´esticas m´as peque˜nas, como es el caso de los sistemas de agua caliente sanitaria. Tambi´en en estos a˜nos inici´o el concepto de incrustar PCM en varios tipos de materiales de construcci´on como tableros para paredes y pisos. El prop´osito principal fue crear casas y oficinas con
cargas de calefacci´on y refrigeraci´on m´as bajas, obteni´endose as´ı una mayor eficiencia energ´etica. De esta forma, los PCM act´uan como termorreguladores, reduciendo las oscilaciones t´ermicas en el ambiente interior de forma pasiva. De ah´ı que se diga que son materiales inteligentes ya que son capaces de responder adecuadamente a las variaciones de las condiciones t´ermicas del entorno. El funcionamiento a lo largo del d´ıa se describe a continuaci´on.
Durante el d´ıa cambian del estado s´olido al l´ıquido al absorber el exceso de calor. De esta manera los usuarios no notar´an el aumento de la temperatura, reduciendo as´ı la dependencia de los sistemas de refrigeraci´on. En la noche ocurrir´a lo contrario, cuando la temperatura comience a descender, el material empezar´a a liberar calor al aire interior de la habitaci´on. Al liberar calor, el material pasar´a de estado l´ıquido a s´olido. En ambos escenarios la temperatura ambiente al interior de la habitaci´on permanecer´a constante durante el cambio de fase sin tener que recurrir a sistemas de climatizaci´on.
El uso de PCM para la administraci´on t´ermica transitoria tiene la ventaja de mantener un sistema a temperatura constante durante todo el proceso de cambio de fase independientemente del flujo de calor aplicado. Esta carac- ter´ıstica los hace aprovechables en el campo de la log´ıstica para mantener cadenas de fr´ıo, por ejemplo en el traslado de medicamentos, productos farmac´euticos o alimentos perecederos. Por otro lado, PCM con altos puntos de fusi´on, son utilizados para mantener calientes los alimentos pre-cocinados o los platillos ya listos en espera de ser servidos.
Tambi´en pueden ser empleados en el campo de los servicios m´edicos en el mantenimiento de la temperatura de la mesa de operaciones, en bolsas de enfriamiento para el tratamiento de quemaduras o en terapias de fr´ıo-calor. Otra ventaja es que los PCM son livianos, port´atiles y altamente confiables porque solo dependen de las caracter´ısticas del material.
Los PCM encuentran aplicaci´on en la industria textil. La incorporaci´on de micro-c´apsulas con PCM en los textiles mejora el rendimiento t´ermico [98]. Esta t´ecnica fue desarrollada en la d´ecada del ochenta bajo un programa de investigaci´on de la NASA, con la intenci´on de utilizar las telas en trajes espaciales y proporcionar una mejor protecci´on t´ermica contra las fluctuaciones de temperatura extremas en el espacio. Hoy en d´ıa se comercializan como Smart Textiles, los cuales, incorporando PCM con un cambio de fase justo por encima y por debajo de la temperatura de la piel humana, regulan la sensaci´on t´ermica dependiendo del nivel de actividad f´ısica del cuerpo y de la temperatura exterior. Actualmente se utilizan en ropa deportiva, ropa de cama (edredones, almohadas y fundas de colchones) y en trajes para bomberos. Esto es posible mediante la adici´on de micro-c´apsulas con PCM a una soluci´on de pol´ımeros antes de la extrusi´on de la fibra. De esta forma, el PCM viene integrado directamente dentro de la propia fibra.
Tambi´en son ´utiles en el ´area de la electr´onica [5]. Durante 1980 y 1990 los circuitos integrados comenzaron a disipar cantidades significativas de calor. La mayor´ıa de los paquetes de chips est´an limitados a operar por debajo de los 85 ◦C por motivos de fiabilidad. Todo el calor generado debe disiparse al ambiente mientras el equipo se encuentra en funcionamiento o reposo. La vida ´util de los componentes electr´onicos se reduce a la mitad por cada 10 ◦C de operaci´on por encima de la temperatura ambiente. La tendencia en la actualidad y a futuro es de un incremento en los niveles de calor en los equipos el´ectricos. Esto se debe a la creciente necesidad del mercado de mayores capacidades y velocidades de procesamiento de la informaci´on. Normalmente se utiliza un disipador de calor junto con un ventilador para enfriar los componentes. La mayor´ıa de los dispositivos electr´onicos port´atiles se utilizan en ciclos de trabajo pico, por lo que el uso de PCM para la gesti´on t´ermica es factible. Muchas tabletas y tel´efonos inteligentes est´an en modo de espera de bajo consumo la mayor parte del d´ıa, con r´afagas aleatorias de actividad que provocan la elevaci´on de la potencia de procesamiento al pico. Los PCM se pueden utilizar para absorber estas r´afagas de energ´ıa y luego disipar el calor almacenado una vez terminado el ciclo de pico.
La idea es que cuando comience el ciclo de pico, el PCM absorba el calor mientras se derrite. De esa forma se mantiene una temperatura constante de funcionamiento. La duraci´on del ciclo de fusi´on del PCM debe coincidir con
los intervalos de tiempo de uso com´un. Al emplear los PCM de la forma antes descrita se mantiene la temperatura de la electr´onica constante durante el ciclo de pico, siendo una soluci´on t´ermica pasiva: sin piezas mec´anicas como ventiladores o bombas. Cuando el PCM se funde completamente, comienza a liberar su calor al medio ambiente a medida que se solidifica y recarga para el siguiente ciclo. Los PCM utilizados en estas aplicaciones t´ıpicamente tienen temperaturas de fusi´on entre 36◦C y 56◦C para mantener la temperatura de la electr´onica muy por debajo de los 85◦C permitidos en circuitos integrados.
En la electr´onica port´atil no solo es importante mantener baja la temperatura interior, sino tambi´en la temperatura de la carcasa para proteger al usuario de quemaduras. En general, la temperatura de la carcasa debe estar por debajo de los 40–45 ◦C para un uso seguro. Los PCM basados en parafinas son los m´as empleados en estos sistemas, aunque a veces se utilizan mezclas de metales l´ıquidos. Las aplicaciones en el ´area de la electr´onica mencionadas no utilizan los PCM como una soluci´on de almacenamiento de energ´ıa sino que los usan como gesti´on t´ermica. El calor almacenado durante los ciclos de pico no se aprovecha de manera productiva en otras partes del sistema.
Cada aplicaci´on mencionada de los PCM requiere de materiales con diferentes temperaturas de fusi´on y duraci´on del cambio de fase. Por lo tanto, es muy importante estudiar el proceso de transici´on de fase en estos materiales sujetos a diferentes condiciones ambientales para alcanzar los resultados deseados al momento de su aplicaci´on.
2.2. Transici´on de fase l´ıquido-s´olido en problemas unidimensionales
Cuando la materia est´a sujeta a un gradiente de temperatura, presi´on, concentraci´on, voltaje o potencial qu´ımi- co, puede ocurrir un cambio de fase. En los procesos din´amicos las fases adyacentes estar´an separadas por una frontera m´ovil. Las propiedades de transporte var´ıan considerablemente entre las fases. Cualquier cambio de fase puede modificar la velocidad de transporte de energ´ıa, momento, carga o materia, que son fundamentales para el funcionamiento de muchos sistemas f´ısicos. Los problemas din´amicos multifase se conocen, por razones hist´oricas y matem´aticas, como problemas de Stefan o problemas de frontera m´ovil (MBP, por sus siglas en ingl´es) [155].
Un ejemplo com´un de este tipo de problemas es el derretimiento o congelaci´on del hielo/agua que fue estudiado por primera vez por el f´ısico esloveno Josef Stefan (1889) y que da nombre a esta clase de problemas [132]. Sin embargo, con el inicio de la revoluci´on inform´atica, los MBP fueron el foco de una intensa investigaci´on durante los a˜nos setenta y ochenta [6, 7, 20, 21, 29, 75, 86, 104, 107, 117–120]. En la actualidad, los problemas de frontera m´ovil siguen siendo muy estudiados debido al gran n´umero de aplicaciones que presentan, como por ejemplo, en la biolog´ıa [48, 85, 139, 144] y el almacenamiento t´ermico [57, 62, 63, 65, 69, 116].
Los problemas de transferencia de calor en los proceso de fusi´on y solidificaci´on son ejemplos de problemas de frontera m´ovil. Los problemas de este tipo son especialmente complicados debido al hecho de que la interfaz l´ıquido-s´olido se mueve dependiendo de la velocidad a la que se absorbe o pierde el calor latente. La posici´on de la interfaz no se conoce a priori y forma parte de la soluci´on. Los modelos f´ısicos que describen este tipo de problemas se basan generalmente en la ecuaci´on del calor y la ecuaci´on de Stefan. La ecuaci´on del calor caracteriza el comportamiento t´ermico del material en el tiempo mientras que la ecuaci´on de Stefan es una ecuaci´on de balance de energ´ıa en la interfaz que permite especificar el movimiento temporal de la interfaz.
La ecuaci´on de movimiento para la interfaz ha sido utilizada para modelar procesos de cambio de fase en medios continuos. Existen muy pocos casos donde se tienen soluciones anal´ıticas exactas para los problemas de transici´on de fase. Estos casos corresponden a problemas unidimensionales definidos en regiones finitas o seminfinitas [9,10,137].
Es por ello que para la b´usqueda de soluciones aproximadas a estos problemas se emplean m´etodos num´ericos como el M´etodo de Diferencias Finitas, el M´etodo de Elementos Finitos, el M´etodo de Goodman o de la Integral de Balance de Calor, entre otros. Generalmente, las soluciones aproximadas se verifican compar´andolas con las
pocas soluciones exactas existentes [25, 58, 146, 153]. La principal desventaja en emplear las soluciones exactas para validar los m´etodos num´ericos es que estas soluciones proveen informaci´on sobre la din´amica de la interfaz para dominios semi-infinitos. Varios trabajos en este campo tienden a eludir los efectos de tama˜no finito al comparar sus soluciones en el dominio del tiempo, donde la interfaz todav´ıa est´a dentro del grueso del sistema [58]. En algunos trabajos se eligen el tipo de condiciones de frontera que emulan un sistema semi-infinito, por lo que la soluci´on num´erica muestra el comportamiento parab´olico cl´asico [146], mientras que otros trabajos usan parte de la soluci´on exacta como condici´on de frontera [153]. El objetivo principal en todos estos trabajos ha sido el desarrollo de m´etodos num´ericos m´as precisos, estables y r´apidos. Adem´as de los efectos del tama˜no finito, el impacto de la dilataci´on t´ermica y los cambios de volumen durante la transici´on de fase hab´ıan sido pr´acticamente ignorados [27].
En la ref. [44] se estudia un sistema sujeto a condiciones de frontera isot´ermicas homog´eneas y en la ref. [102]
el sistema se encuentra sujeto a condiciones de frontera adiab´aticas homog´eneas. En ambos trabajos se emplea la ecuaci´on de Stefan cl´asica para predecir el movimiento de la interfaz en el tiempo y se proponen expresiones anal´ıticas exactas para calcular la posici´on de la interfaz en el estado estacionario. Esto se logra empleando la teor´ıa del transporte de calor y la conservaci´on de la energ´ıa. Las expresiones anal´ıticas exactas propuestas pueden ser utilizadas para validar las soluciones proporcionadas por los m´etodos num´ericos y semianal´ıticos.
Varios autores han tenido en cuenta los efectos volum´etricos causados por la diferencia de densidad entre ambas fases en la din´amica del proceso [22, 23, 84, 91, 123]. Para incorporar estos efectos se introduce la conservaci´on total de la masa. En la ref. [123] se ilustra la importancia de considerar los efectos volum´etricos a trav´es de un ejemplo donde las soluciones num´ericas subestiman o sobrestiman los valores en el equilibrio termodin´amico. Al incluir la conservaci´on de la masa total dichas inconsistencias desaparecen.
2.2.1. Aplicaciones de la transici´on de fase en PCM
El estudio de los procesos de cambio de fase a trav´es del modelado de problemas similares al problema de Stefan tiene aplicaciones atractivas. Algunas de estas aplicaciones se basan en el uso de los PCM en plantas de concentraci´on de energ´ıa solar [37, 89] para generaci´on termoel´ectrica. Tambi´en se basan en el uso de PCM como energ´ıa solar concentrada para sistemas dom´esticos de agua caliente [11, 148].
Los materiales de cambio de fase de alta temperatura (HTPCM, por sus siglas en ingl´es) se utilizan como uni- dades de almacenamiento de energ´ıa t´ermica de calor latente en sistemas de respaldo para generaci´on termoel´ectri- ca [12, 37, 89]. Se han empleado PCM con temperaturas de fusi´on entre 50◦C y 60◦C en tanques de agua caliente para aplicaciones dom´esticas [11]. Adem´as, los PCM con temperaturas de fusi´on m´as bajas encuentran aplicacio- nes para el aislamiento t´ermico en la industria de la construcci´on [40, 150]. Se han propuesto varios modelos para estudiar la din´amica de la transici´on de fase en sistemas confinados para las aplicaciones mencionadas anteriormen- te [12,22,43,77,84]. En la ref. [83] se puede encontrar una revisi´on bibliogr´afica de los modelos que se han utilizado para determinar el comportamiento de los PCM durante los procesos de carga y descarga en aplicaciones de energ´ıa renovable. En dichos trabajos, la ecuaci´on de movimiento de la interfaz se obtuvo mediante un balance t´ermico local en la interfaz (ecuaci´on de Stefan). Las aplicaciones en la producci´on de energ´ıa han motivado el estudio de los procesos de cambio de fase en nanopart´ıculas [113]. Para estos casos, la ecuaci´on de movimiento para la interfaz l´ıquido-s´olido tambi´en se deriva a trav´es del balance t´ermico local, donde se incorporaron los efectos confirmados experimentalmente del tama˜no de las nanopart´ıculas sobre la temperatura de fusi´on [34] y el calor latente [71]. Estos efectos pueden modelarse mediante un calor latente efectivo en el equilibrio t´ermico local en la interfaz [113].
2.3. M´etodos de soluci´on
Como se mencion´o anteriormente, una de las formas de modelar f´ısicamente los problemas de frontera m´ovil es mediante la ecuaci´on de difusi´on del calor y la condici´on de Stefan. A partir de ahora llamaremos a este modelo como Stefan cl´asico. La aplicaci´on del Modelo de Stefan cl´asico consiste en resolver la ecuaci´on del calor para cada fase, sujeta a condiciones iniciales y de frontera dadas. La temperatura en la interfaz (en el cambio de fase) corresponde con la temperatura de fusi´on del material. Para cerrar el sistema matem´atico se requiere una ecuaci´on adicional: la condici´on de Stefan. Esta condici´on es un balance de energ´ıa que define la posici´on de la interfaz m´ovil.
La condici´on de Stefan es una expresi´on de la conservaci´on de la energ´ıa en la interfaz en funci´on de la variaci´on de temperatura.
La no-linealidad introducida en este tipo de problemas por la interfaz m´ovil ha atra´ıdo el inter´es de los inves- tigadores por estudiar este fen´omeno. Dado que existen muy pocas soluciones anal´ıticas exactas, se han utiliza- do diferentes m´etodos num´ericos y semi-anal´ıticos para encontrar soluciones aproximadas a este tipo de proble- mas [27,66,125]. Los problemas pr´acticos de ingenier´ıa se resuelven de manera eficiente hoy en d´ıa mediante el uso de m´etodos num´ericos. En un muchos trabajos se emplean t´ecnicas num´ericas para encontrar soluciones que permi- tan predecir la posici´on de la interfaz l´ıquido-s´olido a trav´es del uso de la entalp´ıa [36, 93, 100, 134]. Para rastrear la posici´on de la interfaz en un PCM finito se han utilizado tambi´en m´etodos de malla fija, malla adaptativa y de diferencias finitas de malla m´ovil en diferentes sistemas de coordenadas (rectangulares, esf´ericas y cil´ındricas) [4].
El M´etodo de Elementos Finitos (FEM, por sus siglas en ingl´es) es uno de los m´etodos num´ericos m´as popula- res para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales [157]. Existe una gran cantidad de investigaci´on dedicada a desarrollar soluciones precisas y eficientes para los fen´omenos relacionados con la transferencia de calor a trav´es del FEM, incluida la din´amica de las transiciones de fase de primer orden [66]. Se han propuesto FEM expl´ıcitos para encontrar soluciones para la distribuci´on de temperatura en problemas de transferencia de calor no lineal, donde se tomaron en consideraci´on la dependencia de la temperatura de las variables termodin´amicas calor espec´ıfico y con- ductividad t´ermica [156]. Tambi´en se han utilizado modificaciones al FEM para encontrar soluciones m´as precisas para la transici´on de fase l´ıquido-s´olido [66, 80, 112]. Recientemente se ha desarrollado un FEM suavizado para obtener soluciones a los problemas de transferencia de calor m´as precisas que las brindadas por el FEM est´andar, con los mismos grados de libertad [81]. Adem´as, el FEM se ha utilizado para encontrar soluciones para el movi- miento de la interfaz l´ıquido-s´olido en geometr´ıas que resultan atractivas debido a sus aplicaciones relacionadas con el almacenamiento de energ´ıa t´ermica a trav´es de PCM [13, 56].
Se han empleado m´etodos expl´ıcitos e impl´ıcitos en diferencias finitas (FDM, por sus siglas en ingl´es) para encontrar soluciones para el problema unidimensional de Stefan [44, 102, 125]. Considerando fases con densidades iguales, en la ref. [125] se utiliz´o un esquema expl´ıcito de diferencias finitas para encontrar soluciones aproximadas al problema cuando el sistema unidimensional est´a sujeto a condiciones de contorno peri´odicas. En las refs. [44, 102] se consideraron las condiciones de frontera isot´ermica y adiab´atica para encontrar soluciones aproximadas al problema unidimensional mediante el uso de un FDM de cuarto orden impl´ıcito. Los enfoques semi-anal´ıticos basados en el M´etodo Integral de Balance de Calor (HBIM, por sus siglas en ingl´es) han sido utilizados ampliamente [94,95,111,114,121,123,145]. Tambi´en se han empleado otros m´etodos semi-anal´ıticos como son el HBIM refinado [43, 45, 124] y las expansiones de Fourier de los campos de temperatura en cada fase [39, 92, 127].
En las refs. [72] y [92] se desarrollaron soluciones anal´ıticas para el problema de transici´on de fase l´ıquido-s´olido en PCM finitos con diferentes tipos de condiciones de frontera. En esos trabajos se estudian condiciones de frontera peri´odicas, las cuales son de gran inter´es en el caso de los PCM aplicados a la construcci´on. La raz´on es que con ellas es posible simular la exposici´on a cambios peri´odicos de la temperatura exterior causados por variaciones t´ermicas
d´ıa/noche [92]. La mayor´ıa de los trabajos verifican la precisi´on de las soluciones propuestas compar´andolas con las pocas soluciones exactas que existen, con las obtenidas empleando otras soluciones num´ericas existentes o con resultados experimentales [2, 32, 42, 60].
Cap´ıtulo 3
Modelo de Balance T´ermico Total
En este cap´ıtulo se propone una nueva ecuaci´on para el movimiento de la interfaz en sistemas unidimensionales con condiciones de frontera adiab´aticas. Dicha ecuaci´on se obtiene al imponer al sistema la conservaci´on total de la energ´ıa y la masa. Posteriormente, se generaliza el resultado para sistemas con condiciones de frontera mixtas.
Tambi´en se se˜nalan las diferencias matem´aticas y f´ısicas que existen entre el Modelo de Balance T´ermico Total pro- puesto con dos de los modelos frecuentemente empleados en la soluci´on de problemas de frontera m´ovil: el Modelo de Stefan cl´asico y el Modelo de Conservaci´on de Masa Total.
El estudio se realiza en una barra unidimensional finita de secci´on transversal A con una interfaz l´ıquido-s´olido a presi´on constante. La barra est´a definida en el dominio Ω × [0, tmax] → R y puede estar sujeta a condiciones de frontera adiab´aticas, isot´ermicas o mixtas. Se asume que A = 1 y que las variables termodin´amicas (conductividad t´ermica k, capacidad calor´ıfica espec´ıfica C y densidad ρ) son constantes en cada fase y no dependen de la tempe- ratura. Se utilizan los sub´ındices l y s para denotar el valor de cada variable termodin´amica en las fases l´ıquida y s´olida respectivamente. Adem´as, se asume que la fase l´ıquida se encuentra a la izquierda de la barra y la s´olida a la derecha. Las coordenadas xly xsrepresentan la posici´on de los l´ımites izquierdo y derecho de la barra unidimen- sional y ξ representa la posici´on de la interfaz. Las variables xl, xsy ξ son variables din´amicas del movimiento.
La longitud de la barra en un tiempo t se puede calcular como L(t) = xs(t) − xl(t). El calor latente de fusi´on se denota por Lf, mientras que Tf corresponde a la temperatura de fusi´on del material que compone el sistema. Las temperaturas en las fases l´ıquida (Tl(x, t)) y s´olida (Ts(x, t)) son funciones que dependen del espacio y del tiempo.
Independientemente de las condiciones de frontera a las cuales se encuentre sometida la barra, siempre se cumple que la temperatura en la interfaz es igual a la temperatura de fusi´on del material Tl(ξ, t) = Ts(ξ, t) = Tf, es decir, la Tf es isot´ermica. En la figura 3.1 se muestra el esquema de una barra unidimensional con dos fases: una l´ıquida (azul) y una s´olida (negro) para un tiempo t. Se se˜nala la posici´on de la interfaz ξ(t), las posiciones extremas de la barra xl(t) y xs(t) y la temperatura de fusi´on en la interfaz.
Figura 3.1: Esquema de una barra unidimensional con dos fases
15
La ecuaci´on de difusi´on para cada fase (l´ıquida o s´olida) se expresa como
∂Ti
∂t = αi
∂2Ti
∂x2, i = l, s (3.1)
donde αi= ρki
iCi es el coeficiente de difusividad t´ermica para cada fase.
Como se mencion´o anteriormente, el sistema puede estar sujeto a:
condiciones de frontera adiab´aticas:
kl
∂Tl
∂x x=x
l
= 0, ks
∂Ts
∂x x=x
s
= 0, (3.2)
condiciones de frontera isot´ermicas:
Tl|x=xl= TH, Ts|x=xs = TC, (3.3)
o condiciones de frontera mixtas, que se obtienen al combinar las anteriores.
Adem´as, se conoce la posici´on inicial de la interfaz ξ(0) y los perfiles iniciales de temperaturas en ambas fases:
Tl(x, 0) = f1(x), Ts(x, 0) = f2(x)
3.1. Casos Patol´ogicos
En la ref. [123] se realiza una modificaci´on al Modelo de Stefan cl´asico con el objetivo de tener en cuenta los cambios volum´etricos que ocurren en el sistema durante la transici´on de fase. Una forma de preservar la masa es cambiar la longitud del sistema a medida que se realiza la transici´on de fase. Cuando el sistema experimenta un proceso de fusi´on (el s´olido se derrite), la cantidad de l´ıquido transformada ocupa un volumen mayor que el que ocupaba cuando era s´olido, por lo tanto la longitud de la barra aumentar´a. Si el sistema experimenta un proceso de solidificaci´on (el l´ıquido se convierte en s´olido), la cantidad de s´olido transformada ocupa un volumen menor que el que ocupaba siendo l´ıquido, por lo tanto, la barra se encoge. El modelo planteado en la ref. [123] conduce a una generalizaci´on del problema cl´asico de Stefan al proporcionar una ecuaci´on diferencial adicional para la conservaci´on de la masa:
ρlA dξ dt −dxl
dt
+ ρsA dxs
dt −dξ dt
= 0 (3.4)
Como consecuencia de introducir la ecuaci´on (3.4) al Modelo de Stefan cl´asico ocurre un cambio sutil en la ecuaci´on que describe el movimiento para la interfaz. Teniendo en cuenta la direcci´on hacia donde crece (o decrece) la barra, la ecuaci´on de movimiento para la interfaz en el Modelo de Conservaci´on de Masa Total (a partir de ahora MCMT) resulta:
Si la barra crece hacia la derecha: xses la variable din´amica y el extremo l´ıquido se mantiene fijodxdtl = 0 ρlLf
dξ
dt = −kl
∂Tl
∂x x=ξ+ ks
∂Ts
∂x x=ξ (3.5)
ρldξ
dt + ρs dxs
dt −dξ dt
= 0 (3.6)
Si la barra crece hacia la izquierda: xles la variable din´amica y dxdts = 0 ρsLf
dξ
dt = −kl
∂Tl
∂x x=ξ+ ks
∂Ts
∂x x=ξ (3.7)
ρl dξ dt −dxl
dt
− ρsdξ
dt = 0 (3.8)
Las ecuaciones de movimiento propuestas (3.5)-(3.8) junto con la ecuaci´on del calor (3.1) constituyen el MCMT [123]. Dicho modelo describe correctamente la din´amica de los procesos de cambio de fase l´ıquido-s´olido isob´aricos cuando las variables termodin´amicas no dependen de la temperatura del material. Este modelo impone un balance de masa-energ´ıa local en la interfaz. En la ref. [123] se obtienen tambi´en expresiones anal´ıticas para los valores en el equilibrio termodin´amico de la posici´on de la interfaz (ξeq), la longitud de la barra (Leq) y la cantidad de masa derretida o solidificada (∆Meq) cuando el sistema presenta condiciones de frontera adiab´aticas. Dichas expresiones est´an dadas por:
ξeq = ξ(0) + ∆U
ρiLf (3.9)
Leq = L(0) + 1 ρl − 1
ρs
∆U
Lf (3.10)
∆Meq = |∆U |
Lf (3.11)
donde ξ(0) es la posici´on inicial de la interfaz y L(0) es la longitud inicial de la barra. En la ecuaci´on (3.9), ρi= ρl cuando dxdtl = 0 y ρi = ρs cuando dxdts = 0. Adem´as, ∆U es el cambio total de energ´ıa interna entre el estado inicial del sistema y el equilibrio termodin´amico (donde la temperatura de toda la muestra es igual a la temperatura de fusi´on Tf) y se calcula como:
∆U = ρlCl Z ξ
xl
Tl(0)− Tf
dx − ρsCs Z xs
ξ
Tf− Ts(0) dx
En el Ap´endice A se muestra c´omo obtener las expresiones (3.9)-(3.11). Los valores de Leq y ∆Meq no deben depender de la direcci´on hacia donde crezca (o decrezca) la barra, es decir, sus valores deben permanecer invariantes a la frontera que se establezca como variable din´amica.
El MCMT proporciona la din´amica correcta porque se reproduce el equilibrio termodin´amico con condiciones de frontera adiab´aticas. Pero es posible encontrar algunos ejemplos patol´ogicos en sistemas t´ermicamente aislados donde las soluciones num´ericas muestran un comportamiento incorrecto aunque se conserve la masa total del siste- ma. Adem´as, en estos casos, el tama˜no del sistema y la cantidad de masa fundida o solidificada obtenida al aplicar el balance de masa-energ´ıa local en la interfaz no son invariantes y pueden sobrestimar o subestimar los valores del estado estacionario. A continuaci´on se presentan dos ejemplos donde la soluci´on aproximada obtenida al aplicar el MCMT falla al predecir los valores en el equilibrio termodin´amico. Se calculan las soluciones teniendo en cuenta que la barra puede crecer hacia la derecha (dxdtl = 0) o hacia la izquierda (dxdts = 0).
Para ambos ejemplos, el sistema est´a compuesto por una barra de KN O3 constituida por una mezcla l´ıquido- s´olido con una longitud inicial de L = 1.0 m. Este es un material de cambio de fase de altas temperaturas (HTPCM) que se usa en aplicaciones de concentraci´on de energ´ıa solar. La sal KN O3 tiene una temperatura de fusi´on de Tf = 607 K [28]. El calor latente de fusi´on se obtiene calculando la entalp´ıa de formaci´on como Lf = (Cl − Cs) Tf donde Cl = 1517 J/kg · K (Cs = 1400 J/kg · K) es el calor espec´ıfico a presi´on cons- tante del l´ıquido (s´olido) en la temperatura de saturaci´on Tf [28]. La densidad del l´ıquido (s´olido) de la sal es
ρl= 1800 kg/m3 (ρs = 1870 kg/m3) [28] y la conductividad t´ermica del l´ıquido (s´olido) es kl= 0.425 W/m · K (ks = 0.5 W/m · K) [82]. Inicialmente, el perfil de temperaturas en la fase l´ıquida (s´olida) tiene una dependencia cuadr´atica en la variable espacial x [123]. La sal se encuentra t´ermicamente aislada en cada frontera y las condicio- nes de contorno que definen el problema son las siguientes:
kl∂Tl
∂x x=x
l
= 0, Tl|x=ξ = Ts|x=ξ = Tf,
ks∂Ts
∂x x=x
s
= 0, (3.12)
Con este tipo de condiciones de frontera, la sal se a´ısla t´ermicamente y la transferencia de calor solo tiene lugar dentro de las fases l´ıquida y s´olida, sin intercambio de calor con el entorno. Los resultados que se muestran m´as adelante fueron obtenidos usando como m´etodo num´erico el M´etodo H´ıbrido (MH), que ser´a explicado con detalle en el siguiente cap´ıtulo.
El primer caso patol´ogico corresponde a la solidificaci´on de la barra de KN O3. La posici´on inicial de la interfaz es ξ(0) = 0.7 m y la temperatura en el extremo izquierdo (derecho) de la frontera es igual a Tl|x=xl = 680 K (Ts|x=xs = 300 K).
(a) Posici´on de la interfaz con xs como variable din´amica y xlse fija en xl= 0 m
(b) Posici´on de la interfaz con xl como variable din´amica y xsse fija en xs= 1.0 m
(c) Tama˜no del sistema L (d) Cantidad de masa solidificada ∆M
Figura 3.2: Solidificaci´on de KN O3. Evoluci´on temporal obtenida usando el Modelo de Conservaci´on de Masa Total
En la figura 3.2 el l´ıquido se solidifica hasta que se alcanza el equilibrio termodin´amico. La figura 3.2a muestra la soluci´on num´erica obtenida mediante el MCMT, donde xs es la variable din´amica de movimiento y xlse fija en x = 0 m. La figura 3.2b ilustra la soluci´on num´erica obtenida usando el mismo modelo pero, en esta ocasi´on, xl cambia en el tiempo y xs se fija en x = 1.0 m. En ambas im´agenes se se˜nala tambi´en el valor l´ımite de la posici´on de la interfaz en el estado estacionario calculado a trav´es de la expresi´on (3.9). Ninguno de los dos casos logra reproducir los valores correctos de la posici´on de la interfaz en el equilibrio termodin´amico. En la figura 3.2a (3.2b), la soluci´on num´erica sobrestima (subestima) la posici´on en el equilibrio termodin´amico. Las figuras 3.2c y 3.2d muestran las soluciones para L y ∆M cuando dxdtl = 0 y dxdts = 0, cuyos valores en el equilibrio termodin´amico no deben depender de la frontera escogida como variable din´amica. Los resultados mostradas no se acercan a los valores pronosticados en el equilibrio termodin´amico por las expresiones (3.10) y (3.11). Tambi´en es notorio que las soluciones de L y ∆M no son invariantes, o sea, predicen valores completamente diferentes en el estado estacionario, lo cual es contradictorio con la f´ısica en sistemas t´ermicamente aislados. El tiempo se expresa en m´ultiplos de teq= 107s que es la cantidad de tiempo en la cual las soluciones num´ericas se aproximan al equilibrio termodin´amico.
El segundo ejemplo corresponde a la fusi´on de la barra de KN O3. Las condiciones iniciales se eligen para producir la fusi´on del s´olido de forma tal que la posici´on inicial de la interfaz es ξ(0) = 0.3 m y la temperatura en el extremo izquierdo (derecho) de la frontera es igual a Tl|x=xl = 973 K (Ts|x=xs= 535 K).
(a) Posici´on de la interfaz con xs como variable din´amica y xlse fija en xl= 0 m
(b) Posici´on de la interfaz con xl como variable din´amica y xsse fija en xs= 1.0 m
(c) Tama˜no del sistema L (d) Cantidad de masa derretida ∆M
Figura 3.3: Fusi´on de KN O3. Evoluci´on temporal obtenida usando el Modelo de Conservaci´on de Masa Total
