E X E R C I C I S P E R A E N T R E N A R - S E
Polígons
Classifica els polígons següents.
a) b) c) d)
a) Pentàgon irregular còncau. b) Heptàgon regular convex. c) Octògon irregular còncau. d) Hexàgon irregular convex.
Quants angles iguals té un octògon regular?
Com que és un polígon regular, té tots els costats iguals i tots els angles iguals. Per tant, té 8 angles iguals.
El costat d’un quadrat mesura 3,5 centímetres i el d’un altre, 35 mil·límetres. Raona si són iguals. Si la mesura dels costats s’expressa amb la mateixa unitat, centímetres, els dos mesuren igual, 3,5 cm.
Per tant, si tenen els costats i els angles iguals, els dos quadrats són iguals.
Calcula quantes diagonals té un heptàgon. Siga n el nombre de costats d’un polígon.
El nombre de diagonals d’un polígon de 7 costats, és a dir, l’heptàgon, és:n (n 2
3) 7 (72 14 3)
Completa en el quadern les frases següents.
a) El quadrilàter que té dos parells de costats paral·lels i els angles iguals és un ...
b) El polígon amb dos costats iguals que formen angle recte i un tercer costat distint és un ... c) El polígon amb els quatre costats iguals i els angles iguals dos a dos és un ...
d) El triangle amb els tres costats distints és ...
a) Rectangle c) Rombe
b) Triangle rectangle isòsceles d) Escalè
Vertader o fals?: “Si les diagonals d’un quadrilàter són perpendiculars es tracta d’un rombe”. Dibuixa les figures corresponents per a raonar la resposta.
És fals perquè el trapezoide també compleix aquesta condició. 12.49
12.48 12.47 12.46 12.45 12.44
Rombe Trapezoide
Construcció de polígons regulars
Construeix un enneàgon regular sabent que el diàmetre de la seua circumferència circumscrita mesu- ra 7 centímetres.
Traça un pentàgon regular de 3 centímetres de costat.
Construeix un octògon regular en una circumferència circumscrita de 8 centímetres de diàmetre. Uneix amb segments els vèrtexs no consecutius de l’octògon. La figura que obtens d’aquesta manera, és re- gular?
Obtenim un triangle equilàter.
Suma dels angles d’un polígon
Calcula l’angle Ap en els triangles següents.
a) b)
a) Ap 63 49 180 ⇒Ap 180 63 49 ⇒ Ap 68 b) Ap 65 80 180 ⇒Ap 180 65 80 ⇒ Ap 35 12.53
12.52 12.51 12.50
63º 49º
A
80º 65º
A
En el trapezi rectangle següent falta un angle. Quant mesura?
La suma dels angles d’un quadrilàter és 180 (4 2) 360. Els 3 angles coneguts sumen: 90 90 30 210
Si volem saber l’angle que falta, obtenim: Ap 360 210 150
Calcula la suma dels angles interiors d’aquests polígons.
a) Trapezoide c) Octògon regular
b) Dodecàgon d) Enneàgon regular
a) Té 4 costats. Aleshores, 180 (4 2) 360 c) Té 8 costats. Aleshores, 180 (8 2) 1 080 b) Té 12 costats. Aleshores, 180 (12 2) 1 800 d) Té 9 costats. Aleshores, 180 (9 2) 1 260
Contesta les preguntes següents sobre un decàgon. a) En quants triangles es pot dividir?
b) A partir del resultat anterior, quant mesuren els angles del polígon? a) En 2 unitats menys que el nombre de costats que té. Per tant, en 8 triangles. b) Els angles fan: 180 (10 2) 1 440
Classifica els dos angles aguts d’un triangle rectangle segons la suma dels angles.
Com que és un triangle rectangle, un dels angles mesura 90, i la suma dels altres angles aguts és de 90. Per tant són com- plementaris.
Un triangle té dos costats iguals i un dels angles mesura 60. Es pot afirmar que és un triangle equi- làter?
Si l’angle que formen els dos costats iguals mesura 60, aleshores els angles de la base mesuraran igual: Ap ⇒180 60 2 · Ap ⇒Ap 1802 60 60 Per tant, el triangle és equilàter.
Si té dos costats iguals, els angles de la base han de ser iguals, i si un és el de 60, l’altre també ha de mesurar 60. Aleshores el tercer angle també fa 60. Per tant, el triangle també és equilàter.
En un triangle se sap que un angle és igual a la suma dels altres. Quina classe de triangle és? Siguen Ap, Bp i Cp els tres angles.
Com que Ap Bp Cp i 180 Ap Bp Cp⇒180 2Ap⇒Ap 182 90. Per tant el triangle és un rectangle.0 12.59
12.58 12.57 12.56 12.55 12.54
30º 90º
90º
a
a 60o
a
60o a
Igualtat de polígons
Són iguals els romboides següents? Per què?
Sí que són iguals perquè tenen els costats i angles iguals.
Estudia si són iguals els triangles següents.
En el triangle ABC es coneixen un costat i els dos angles contigus.
Si en el triangle DEF un costat i els dos angles contigus coincidiren amb l’anterior, serien iguals segons el tercer criteri d’igualtat.
En DEF es coneixen dos angles. Es pot calcular el tercer:
60 77 Fp 180⇒Fp 180 60 77⇒Fp 43
Aleshores, DEF, el costat conegut i els angles contigus a aquest coincideixen amb els de ABC. Per tant són iguals.
El costat d’un triangle mesura 48 mil·límetres i els angles contigus, 35 i 80. En un altre, un costat fa 0,48 decímetres i l’angle oposat, 65. Es pot afirmar que són iguals?
El costat que coneixem mesura igual, 0,48 dm 48 mm. Fem una ullada per si mesuren igual els angles contigus. 180 Ap Bp 65⇒Ap Bp 115; aleshores, en el segon triangle, entre els dos angles desconeguts sumen 115. Això no significa que l’un siga de 35 i l’altre de 80º: podrien ser també de 40 i de 75.
En aquest cas, els angles contigus al costat conegut no coincidirien. Per tant, no es pot afirmar que siguen iguals.
Simetries en les figures planes
En un rectangle, són eixos de simetria les seues diagonals? Hi ha algun eix de simetria? – No són eixos de simetria les seues diagonals.
– Sí, les rectes que uneixen els punts mitjans dels costats oposats. 12.63
12.62 12.61 12.60
77º 60º
F E
D
4,5 cm 60º 43º
4,5 cm
A C
B
Dibuixa les figures següents i assenyala, si els tenen, els eixos de simetria.
a) Trapezi rectangle. b) Triangle isòsceles.
a) b)
No té eixos de simetria.
Dibuixa un quadrat i traça-hi tots els seus eixos de simetria. Per quin punt passen tots aquests eixos?
Passen tots pel centre del quadrat.
Rectes i punts en un triangle
Dibuixa un triangle equilàter de 8 centímetres de costat i traça-hi les mediatrius, les bisectrius, les mit- janes i les altures. Assenyala els punts de tall corresponents. Què hi observes?
Mediatrius Bisectrius Altures Mitjanes
O Circumcentre O Incentre O Ortocentre O Baricentre
Observem que el circumcentre, l’incentre, l’ortocentre i el baricentre són el mateix punt, O. 12.66
12.65 12.64
8 cm O
C A
B
8 cm
8 cm
8 cm O
C A
B
8 cm
8 cm
8 cm
O C A
B
8 cm
8 cm
8 cm O
C A
B
8 cm
8 cm
Els costats d’un triangle mesuren 6, 4 i 7 centímetres.
a) Dibuixa una circumferència que passe pels tres vèrtexs del triangle. Quin n’és el centre? b) Traça la circumferència que és tangent als tres costats.
a) El centre de la circumferència és el circumcentre (punt de tall de les mediatrius), i el radi és la distància del centre a un dels vèr- texs del triangle.
b) El centre de la circumferència és l’incentre (punt de tall de les bi- sectrius), i el radi és la distància del centre a un dels costats del triangle.
El triangle de la figura és rectangle en B.
Calcula els angles indicats amb lletres.
M és el punt on s’interseca l’altura des de B, amb el segment AC. ABM i BMC són triangles rectangles.
En ABM: Dp 32 90 180 ⇒pD 180 32 90 58⇒pD 58 En ABC, Dp i Ep són complementaris: Dp Ep 90 ⇒Ep 90 58 32⇒Ep 32 En BMC, Ep i Cp són complementaris: Ep Cp 90⇒Cp 90 32 58⇒Cp 58 12.68
12.67
4 cm
7 cm I
6 cm 4 cm
7 cm C
6 cm
C
A B
D C
E 32º
