1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

(1)

---

- Página 1 -

1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

1 Calcule los siguientes determinantes:

a) 4 1

7 5

− −

−

Solución

: 27 b)

1 0 3 2 1 4 1 3 −1

Solución

: 2 c)

3 2 1

4 2 1

0 1 2

−

Solución

_: ₋₃₅

2 Resuelva la ecuación

1 3 5

4 2 x x 0

1 1 3

−

+ =

− −

. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución x

: =0

3 Calcule la matriz adjunta de cada matriz: a) 3 1 2 5

 − 

 

 

5 2

: 1 3

 − 

 

 

Solución

b)

2 2 2

2 1 0

3 2 2

−

 

 

 − 

 

2 4 7

: 0 2 2

2 4 6

− −

 

 − − 

 

− 

 

Solución

c)

2 4 1

1 2 3

5 0 1

 

 − 

 

 − 

 

2 16 10 : 4 7 20

14 5 8

 

 − 

 

 − − 

 

Solución

2.- MATRIZ INVERSA

4 Usando la definición, calcule, si es posible, la inversa de cada matriz:

a) 1 3 2 1

 

 

 

1 3

5 5

: 2 1

5 5

− 

 

 − 

 

Solución

b) 6 2 3 1

 

 

 

Solución

^{: ∃} 5 Sean las matrices 2 4

A 2 6

 

= − −  y 1 0 1

B 1 2 0

 

=  − 

Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: AB , AB^t , BA⁻¹, B^tA + A⁻¹. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

: Sólo se puede realizar (AB)2x3

Solución

6 Sea la matriz A = ³ ^m

1 m m 1

 

 − + 

  . Calcule los valores de m para que dicha matriz sea invertible.

: A es invertible para todo valor de m

Solución

7 Sea la matriz

3 1 0

A 1 2 a

2 1 1

 − 

 

=  

 − − 

 

a) Halle la matriz inversa de A para a = 8.

6 1 8

: 17 3 24

5 1 7

− −

 

 − − 

 

− 

 

Solución

b) ¿Tiene inversa A cuando a = 7?

Solución

: No, porque det A =0

(Propuesto PAU Andalucía 2000) 8 Sea la matriz

2 1 1

A 0 m 6 3

m 1 2 0

 − 

 

= − 

 + 

 

. Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga

inversa. (Propuesto PAU Andalucía 2002)

Solución

: m≠5 y −3 9 Calcule la matriz inversa de

1 0 1 0 1 0 1 2 0

 

 

 

0 2 1

: 0 1 0

1 2 1

 − 

 

 − 

 

Solución

10 Sean las matrices 2 1 1 2

A y B

2 0 2 4

   − 

=−  = . Calcule A^–1(B – A^t). − − 

 

 

12 2 :

0 4

Solución

(Propuesto PAU Andalucía 2006)

(2)

- Página 2 -

3.- ECUACIONES MATRICIALES

11 Sean las matrices 0 2

A 3 0

 

=  

  y a b

B 6 1

 

=  

 

Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial XB – A = I2. (Propuesto PAU Andalucía 2017) : X 11 2

3 1

− 

=  − 

Solución

A 1 3

 

= − −  2 1 3

B 4 0 1

 − 

=  

  y 1 1 0

C 2 3 2

 − 

=  − 

Resuelva la ecuación matricial A²X + C = 2B. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

45 19 58

: 12 5 16

 − 

− − 

 

Solución

13 Calcule la matriz X que verifica (A^t A)X = In en el caso en que

1 1

A 1 1

1 1

 

 

= − 

 

 

y calcule, si es posible,

el producto A(A^tA). (Propuesto PAU Andalucía 2016) ^t

4 4

3 1

8 8

: X AA A 2 2

3

18 8 4 4

 

 − 

 

=−  = − 

Solución

A 1 2

 

=  

 , B= −

(

2 3

)

y 1

C 1

− 

=  − . Calcule la matriz X en la ecuación

AX + B^t = 4C . (Propuesto PAU Andalucía 2016)

23 : X 19

6

 − 

 

=− 

 

Solución

A 1 0

 − 

=  

  1 1

B 1 1

 

=  

  2 1

C 3 2

 

=  

 . Resuelva la ecuación AX + BX = C (Propuesto PAU Andalucía 2015) 2 1

: X 1 0

 

= − 

Solución

A 1 1

 

= −  2 3

B 5 1

 − 

=  

 .

Calcule las matrices X e Y si X + Y = 2A y X + B = 2Y. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

2 5 2 1

: X Y

3 1 1 1

   

=−  = 

Solución

A B

1 0 3 1

   

=  = 

   . Resuelva la ecuación matricial AX + I2 = 5B^t – A². (Propuesto PAU Andalucía 2013) 10 3

: X 3 15

 

=  

 

Solución

18 Sean las matrices

1 1

2 1 1

A B 2 0

1 0 1

2 1

 − 

− −

   

=−  =− 

. Halle la matriz X que verifique ABX = 4 2

  

 

(Propuesto PAU Andalucía 2005) 2 : X 3

0

− 

=  

 

Solución

(3)

---

- Página 3 -

19 Dadas las matrices 1 2 2 1

A y B

3 4 4 2

   − 

=  =− 

a) ¿Existen las matrices inversas de A y B? Justificar la respuesta.

: A∃ ⁻1 porque det A= − ≠2 0 pero ∃

Solución

B⁻¹ porque det B=0

b) Si es posible, calcular dichas matrices inversas.

1 1 4 2 2 1

: A 2 3 1 32 12

− = − − −  = − − 

Solución

c) Resolver la ecuación matricial AXA^t = B (Siendo A^t la matriz traspuesta de la matriz A).

(Propuesto PAU Andalucía 1999)

20 14

: X 25 35

2 4

 − 

= − 

 

Solución

A 0 3

 

=  − ,

1 1

B 0 2

1 1

 − 

 

=  

 − 

 

y 1 4 0

C 2 3 1

 

=  − . Resuelva la ecuación matricial

CBX − 2AX = A^t. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

3 3

2 2

: X 5 1

6 2

 − 

 

= − 

 

Solución

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1 Calcule los siguientes determinantes: a) 10 6

5 3

−

− ^b)

3 2 1

0 2 5

2 1 4

−

c)

1 3 2

5 2 7

4 0 1

−

: a) 0 b) 63 c) 85

Solución

2 Calcule la matriz adjunta de cada matriz: a) 1 2 2 4

 

 

  b)

7 17 2 5

 

 

  ^c)

1 0 2

2 1 3

4 1 8

 

 − 

 

 

11 4 6

4 2 5 2

: a) b) c) 2 0 1

2 1 17 7

2 1 1

− −

 

− −

     − 

−  −   

     − 

Solución

3 Sea la matriz

1 2 1

A 0 1 0

1 3 0

 − 

 

=  

− 

 

. Determine la matriz inversa de A. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

1

0 3 1

: A 0 1 0

1 1 1

−

 − 

 

=  

 − 

 

Solución

4 Dada la matriz 1 2

M 1 1

 

=  

 calcule la matriz (M^–1 M^t)². (Propuesto PAU Andalucía 2008)

8 3

: 3 1

 

− − 

 

Solución

(4)

- Página 4 -

5 Se considera la matriz

1 x 1

A 1 1 1

x x 0

 − 

 

=  

 

 

. a) Calcule los valores de x para los que no existe la inversa de A.

Solución

:

x

=0 ,

x

=1

b) Para x = 3, calcule, si es posible, A^–1. (Propuesto PAU Andalucía 2001)

1

1 1 2

2 2 3

1 1 1

: 2 2 3

0 1 1 3

−

− −

 

 

 − 

= 

 − 

 

A Solución

6 Se consideran las matrices 2 1

A 3 2

 

=  −  3 2

B 1 4

 − 

=  

 . a) Determine la matriz X tal que A + 2X = B 3

12 2

: X

1 3

 − 

= − 

Solución

b) Calcule la matriz Y, sabiendo que BY =

6 9

   

 

(Propuesto PAU Andalucía 2015) 3

: Y 3 2

 

=  

Solución

A 1 2

 

= − 

1 2 2

B 1 1 2

 

= − − 

8 4

C 12 8

8 4

 − 

 

= −  a) Calcule A². 1 4

: 3 2

− 

− 

 

Solución

b) Resuelva la ecuación matricial AX + 4B = C^t. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

2 4 6

: X 1 4 5

− −

 

=  − 

Solución

8 Resuelva la ecuación matricial 2 1 1 1 ₂

X I

1 2 0 2

   − 

+ =

   

    . (Propuesto PAU Andalucía 2015)

0 1

: X 0 1

 − 

=  

 

Solución

9 Se consideran las matrices ^A ^{1 a} ^B

(

^{1 1}

)

0 1

 

=  = −

 

Para a = 2, resuelva la ecuación matricial XA = B. (Propuesto PAU Andalucía 2014) : X =(1 3)

Solución

( )

2 2 0 1

A 1 2 3 B 1 C 1 1 1

1 1 3 2

   − 

   

= − = −  = − 

   

   

Resuelva, si es posible, la ecuación matricial BA + 2X = C. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

0 2 72

: X 1 12 1

5 1

0 2 2

 − 

 

 − 

= 

 − 

 

Solución

(5)

---

- Página 5 -

11 Se consideran las matrices 3 1 2 1

A B

5 2 3 2

   

=  = 

   

a) Determine la matriz X que verifica BX = 3A + A^t. 8 8

: X 4 8

 

= − − 

Solución

b) Calcule la matriz Y que verifica

2 5 6

1 5 Y 12

2 1 6

   

 −  = − 

   

 −   − 

   

: Y 2 2

− 

=  

 

Solución

2 3 3 5 3 8 5

A B C 3 D

3 5 0 2 1 3

0

−  

       

=  =  =    =  

a) Calcule A³. 89 144 : 144 233

 

 

 

Solución

b) Determine la matriz X para que AX + BC = D. (Propuesto PAU Andalucía 2013) : X 11

6

− 

=  

 

Solución

13 Sea la matriz 1 6

A 2 4

− −

 

=  

 . Resuelva la ecuación matricial AX – A² = I2. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

1 21

2 4

: X 7 31

4 8

− −

 

 

= 

 

Solución

14 Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A²X = A – BC, siendo A, B y C las matrices

1 1 1 0 1 1 0

A B y C 1 1

0 2 1 1 4

2 0

− 

     

=  =−  = − 

 

6 14 : X 2 14

 

 

=− 

Solución

15 Sea la matriz 1 1

A 2 1

 − 

=  − . Resuelva la ecuación matricial AX + A^t = I2.

(Propuesto PAU Andalucía 2012) 1 4 : X 1 6

 

=  

 

Solución

16 Sean las matrices 0 1 0 3 1

A y B

1 0 1 1 2

   − 

=  = 

   .

Resuelva la siguiente ecuación matricial AA^tX = B. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

3 1

: X 12 1

 − 

=  

Solución

(6)

- Página 6 -

1 4 1 2 1 3 5 2 6

A 0 1 0 B 0 2 1 y C 0 3 2

3 1 2 1 0 1 2 0 1

− − − − −

     

     

= −  = −  = − 

    − − 

     

Determine X en la ecuación matricial XA – 2B = C. (Propuesto PAU Andalucía 2009)

2 9 1

: X 0 1 0

3 13 1

 

 

= − 

− − − 

 

Solución

18 Dadas las matrices 2 0 1 3 1 1

A B y C

1 1 2 1 1 0

− −

     

= −  = −  =− , calcule la matriz X que

verifique la ecuación XA^–1 – B = C. (Propuesto PAU Andalucía 2008) 0 4 : X 1 1

 

=  

 

Solución

19 Halle la matriz X que verifica la ecuación ^X ^{2 5} ¹

(

^{3 4}

)

1 3 2

   

   =

    . (Propuesto PAU Andalucía 2008)

5 7

: X 10 14

 − 

=  − 

Solución

20 Sean A y B las matrices siguientes: 1 2 0 1

A B

0 1 2 4

   − 

=  = 

   

Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial (A+ 2B) X = 3I2.

(Propuesto PAU Andalucía 2008) 3 0

: X 4 1

3 3

 

= − 

Solución

A y B

2 1 0 5

  − 

=−  = . Halle la matriz X que verifica (AA^t)X = B.

(Propuesto PAU Andalucía 2007) 0 : X 21

29

 

=  

Solución

22 Sean las matrices A ² ² B

(

1 1

)

5 4

 

=− −  = − . Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuación matricial XA + 2B = (1 0). Resuelva dicha ecuación.

(Propuesto PAU Andalucía 2006) _2x1 7

: X 3

=   

Solución

 

1 2

2 1 0 2 1

A B C 0 2

0 2 1 1 2

2 0

 − 

 −     

= −  =  =− 

Calcule la matriz P que verifica BP − A = C^t. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

8 2 1

: P 3

1 3 0

3

− −

 

 

= 

 

Solución

24 Determine la matriz X, de orden 2, que verifica la igualdad 1 3 1 5 1 7

X 2

0 1 1 2 1 1

 −   = − 

  −   − 

     

(Propuesto PAU Andalucía 2003) 50 17

: X 10 3

− 

= − 

1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

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