TEORIA Y PROBLEMA DE TRANSFORMACIONES LINEALES.

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Naren Castellon 1

TEORIA Y PROBLEMA DE

TRANSFORMACIONES LINEALES.

NAREN CASTELLON.

ABRIL 2018.

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Introducción.

El presente material es una colección de problemas lo suficientemente amplias con la teoria necesaria, De manera que cubra el nivel de prácticas de la etapas inicial en el estudio de la Teoria de Transformaciones lineales.

Esta colección, es fruto de una esmerada recopilación de ejercicios y cuestiones, en las listas de la bibliografias básicas de tal teoría.

En esta primera parte de este material, esta destinada a comprender bien la idea y definición de la teoria de transformación lineal, en la mayor parte de los caso propuesto son muy sencillos en su soluciones.

Se han tocado temas relacionado única y exclusivamente con la interrelación de transformaciones lineales, el cual dará paso a la clasificación de un homomorfismo (monomorfismo, epimorfismo,ispomorfismo, endomorfismo y automorfismo), etc.

Los conocimientos previo exigidos para la comprensión de esta tematica son: La definición de una función, clasificación de una función, en inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, definición de imagen de una función, definición de núcleo, definición de función compuesta, función inversa, entre otros y, salvo a los resultado dados al comienzo del tema, se componen en su totalidad de definiciones elementales propia de transformaciones lineales, así como consecuencia de éstas, que por su sencilles o trivialidad hemos considerado exponerlos.

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Nuestro objetivo con la realización de este minicurso es:

 Consolidar los conceptos adquiridos

previamente.

 Profundizar en los métodos propios de la materia.

 Abordar de forma gradual ejercicios y problemas más complicados.

¿A quién va dirigido este material?

A todos los estudiantes que, además de aprender;

deseen entrenarse en la tarea de hacer pruebas tipo test.

Managua,10 de Abril 2018.

Naren Castellon.

Primera edición e impresión.

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Transformación lineal o Aplicación lineal.

Definición 3.1. 𝑉₁(𝐾) y 𝑉₂(𝐾) dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾. Se dice que una aplicación 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ es lineal, si satisface las condiciones siguientes:

1. ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉₁ 𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) 2. ∀ 𝑎 ∈ 𝐾, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉₁ 𝑓(𝑎𝑢) = 𝑎𝑓(𝑢)

Las aplicaciones lineales también se denominan Homomorfismo entre espacios vectoriales.

Proposición 3.2. Sean 𝑉₁(𝐾) y 𝑉₂(𝐾) dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación. Entonces 𝑓 es lineal, sí y solamente sí

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 y ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉₁ 𝑓(𝑎𝑢 + 𝑏𝑣) = 𝑎𝑓(𝑢) + 𝑏𝑓(𝑣)

Proposición 3.3. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Entonces se verifica:

a) 𝑓(0_𝑉1) = 0_𝑉2. Nótese que se ha tomado el cero (0) del primer espacio vectorial 𝑉₁, debido a la aplicación definida se obtiene el cero (0) del segundo espacio vectorial 𝑉₂, no necesariamente tienen que ser iguales, ya que son dos espacios vectoriales diferentes.

b) 𝑓(𝑢 − 𝑣) = 𝑓(𝑢) − 𝑓(𝑣)

c) 𝑓(∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖𝑣_𝑖) = ∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖𝑓(𝑣₁) ∀𝑛 ∈ ℕ

d) Si 𝐿 es un subespacio de 𝑉₁, 𝑓(𝐿) es un subespacio de 𝑉₂. e) SI 𝑀 es un subespacio de 𝑉₂, 𝑓⁻¹(𝑀) es un subespacio de 𝑉₁.

𝑓⁻¹(𝑀) es la imagen recíproca o el conjunto de originales por 𝑓 de los vectores del subespacio 𝑀.

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Definición 3.4. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación.

1. Se dice que 𝑓 es un epimorfismo, si 𝑓 es lineal y sobreyectiva.

2. Se dice que 𝑓 es un monomorfismo, si 𝑓 es lineal e inyectiva.

3. Se dice que 𝑓 es un isomorfismo, si 𝑓 es lineal y biyectiva.

4. Se dice que 𝑓 es un endomorfismo, si 𝑓 es lineal y 𝑉₁ = 𝑉₂.

5. Se dice que 𝑓 es un automorfismo, si 𝑓 es lineal, biyectiva y 𝑉₁ = 𝑉₂ Definición 3.5. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Al subespacio 𝑓(𝑉₁) de 𝑉₂ se llama imagen de la aplicación y lo denotamos 𝐼𝑚 𝑓, es el conjunto de puntos imagen en 𝑉₂:

𝐼𝑚 𝑓 = {𝑤 ∈ 𝑉₂: 𝑓(𝑣) = 𝑢 para algún 𝑣 ∈ 𝑉₁}

El núcleo de 𝑓, escrito ker 𝑓, es el conjunto de elementos de 𝑉₁ que se aplica en 0 ∈ 𝑉₂:

ker 𝑓 = {𝑣 ∈ 𝑉₁: 𝑓(𝑣) = 0}

Proposición 3.6. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal y 𝐴 ⊂ 𝑉₁ un sistema generador de 𝑉₁. Entonces 𝑓(𝐴) es un sistema generador de 𝑓(𝑉₁) o 𝐼𝑚 𝑓.

Proposición 3.7. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal y 𝐿 ⊂ 𝑉₁ un sistema ligado de 𝑉₁, entonces 𝑓(𝐿) es un sistema ligado en 𝑉₂.

Corolario 3.8. Si 𝐿 ⊂ 𝑉₁ es un sistema de vectores de 𝑉₁, tal que 𝑓(𝐿) es un sistema libre en 𝑉₂, entonces 𝐿 es un sistema libre en 𝑉₁.

Proposición 3.9. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, 𝑉₁ de dimensión finita y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Entonces:

dim[𝑓(𝑉₁)] = dim 𝑉₁ − dim[ker(𝑓)]

O

dim[𝐼𝑚 (𝑓)] + dim[ker(𝑓)] = dim 𝑉₁

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Definición 3.10. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, 𝑉₁ de dimensión finita y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Se llama rango de la aplicación lineal a la dimensión de 𝑓(𝑉₁).

Proposición 3.11. una aplicación lineal 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ entre los espacios vectoriales 𝑉₁ y 𝑉₂ sobre el mismo cuerpo 𝐾 es inyectiva, si y solamente si:

ker 𝑓 = 0_𝑉1

Proposición 3.12. (Corolario de proposición 3.9). Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, 𝑉₁ de dimensión finita y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Entonces se tiene:

a) 𝑓 es sobreyectiva, si y solamente si dim[𝐼𝑚 (𝑓)] = dim 𝑉₂. b) 𝑓 es inyectiva, sí y solamente si dim[𝐼𝑚 (𝑓)] = dim 𝑉₁.

Proposición 3.13. Sean 𝑉₁, 𝑉₂ y 𝑉₃ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ y 𝑔: 𝑉₂ → 𝑉₃ aplicaciones lineales. Entonces 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₃ es una aplicación lineal.

Proposición 3.14. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación. Entonces se tiene:

1. La aplicación ℎ₁: 𝑉₁ → 𝑉₁/ ker 𝑓 del espacio vectorial 𝑉₁ en el espacio vectorial cociente 𝑉₁/ ker 𝑓 definida por ℎ₁(𝑣) = 𝑣 + ker 𝑓, 𝑣 ∈ 𝑉₁ llamado homomorfismo canónico es un epimorfismo.

2. La aplicación ℎ₂: 𝑉₁/ ker 𝑓 → 𝑖𝑚(𝑓) = 𝑓(𝑉₁) del espacio vectorial cociente 𝑉₁/ ker 𝑓 en el espacio 𝑖𝑚(𝑓) definido por ℎ₂[𝑣 + ker(𝑓)] = 𝑓(𝑣), ∀𝑣 + ker(𝑓) ∈ 𝑉₁/ ker 𝑓 es un isomorfismo. A esta propiedad se le llama primer teorema de isomorfía.

3. La aplicación ℎ₃: 𝑓(𝑉₁) → 𝑉₂ del espacio vectorial 𝑖𝑚 (𝑓) en el

espacio vectorial final 𝑉₂ definida por ℎ₃(𝑤) = 𝑤, ∀ 𝑤 ∈ 𝑓(𝑉₁), es un monomorfismo.

En virtud de esto, es claro que toda aplicación 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ se descompone en: 𝑓 = ℎ₃∘ ℎ₂∘ ℎ₁ llamada descomposición canónica del homomorfismo 𝑓.

Proposición 3.15. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾 y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal, 𝑤 un subespacio de 𝑉₁

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complementario de ker(𝑓) y 𝑔 la aplicación restricción de 𝑓 al subespacio 𝑤.

Entonces la aplicación 𝑔: 𝑤 → 𝑓(𝑉₁) ⊂ 𝑉₂ es un isomorfismo.

Proposición 3.16. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, n-dimensionales y 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones.

a) 𝑓 es biyectiva, b) 𝑓 es inyectiva, c) 𝑓 es suprayectiva

Proposición 3.17. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, la dim 𝑉₁ = 𝑛, 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ una aplicación lineal, tal que dim 𝑓( 𝑉₁ ) = 𝑟, 𝐵 = {𝑢₁, . . . , 𝑢_𝑛} una base de 𝑉₁, tal que {𝑢_𝑟+1, 𝑢_𝑟+2, . . . , 𝑢_𝑛} es una base del núcleo de 𝑓. Entonces {𝑓(𝑢₁), 𝑓(𝑢₂), . . . , 𝑓(𝑢_𝑟)} es una base de 𝑓( 𝑉₁ ).

Proposición 3.18. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ dos espacios vectoriales de dimensión finita y sobre el mismo cuerpo 𝐾, entonces 𝑉₁ y 𝑉₂ son isomorfos, si y solamente si ellos tienen la misma dimensión.

Corolario 3.19. Todo espacio vectorial 𝑉, sobre el cuerpo de los reales ℝ, n - dimensional es isomorfo al espacio vectorial ℝ^𝑛(ℝ).

Definición 3.20. (Coordenada de un vector respecto de una base 𝑩).

Sean 𝑉(𝐾) un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝐾, 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, . . . , 𝑒_𝑛} una base de 𝑉, 𝐾^𝑛(𝐾) el espacio vectorial de las n-uplas de elementos del cuerpo 𝐾 y 𝐶: 𝑉 → 𝐾^𝑛 la aplicación definida por:

𝑢 ⟼ 𝐶(𝑢) = (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛)

Donde 𝑢 = 𝑥₁𝑒₁+ 𝑥₂𝑒₂+ . . . + 𝑥_𝑛𝑒_𝑛. La aplicación ℎ es un isomorfismo entre 𝑉 y 𝐾^𝑛.

Se llaman coordenada de 𝑢 ∈ 𝑉 respecto de la base 𝐵 a la n-upla (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛) asociada por la aplicación 𝐶 al vector 𝑢.

Observación.

Como la aplicación 𝐶 es lineal, si 𝑢 y 𝑣 respecto de la base 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, . . . , 𝑒_𝑛} tienen de componentes o coordenadas (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛) e (𝑦₁, 𝑦₂, . . . , 𝑦_𝑛) respectivamente, para todo par de elementos de 𝑎 y 𝑏 de 𝐾 las coordenada de 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣, respecto de 𝐵, son:

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(𝑎𝑥₁ + 𝑏𝑦₁, 𝑎𝑥₂+ 𝑏𝑦₂, . . . , 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏𝑦_𝑛)

Proposición 3.21. Sean 𝑉₁ y 𝑉₂ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝐾, 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, . . . , 𝑒_𝑛} una base de 𝑉₁ y 𝑤₁, 𝑤₂, . . . , 𝑤_𝑛 𝑛 vectores arbitrarios de 𝑉₂. Entonces, existe una aplicación lineal 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂, tal que:

𝑓(𝑒_𝑖) = 𝑤_𝑖 ∀𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}

Proposición 3.22. Sean 𝑉(ℝ) un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales ℝ, ℝ^𝑚(ℝ) el espacio de las m-uplas de los números reales y 𝑓: 𝑉 → ℝ^𝑚 una aplicación.

Para cada vector 𝑣 ∈ 𝑉 ⟼ 𝑓(𝑣) ∈ ℝ^𝑚, luego 𝑓(𝑣) es una m-uplas de números reales, sea esta 𝑓₁(𝑣), 𝑓₂(𝑣), . . . , 𝑓_𝑚(𝑣). Entonces, para cada entero 𝑖 con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, la correspondencia 𝑣 ⟼ 𝑓_𝑖(𝑣) ∀𝑣 ∈ 𝑉 define una función real:

𝑓_𝑖: 𝑉 → ℝ

Sobre el espacio vectorial 𝑉. Esta función se denomina función i-ésima componente de 𝑓.

Recíprocamente, sean 𝑚 funciones reales arbitrarias 𝑔_𝑖: 𝑉 → ℝ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚 sobre el espacio vectorial 𝑉. Entonces, se puede definir una aplicación 𝑔: 𝑉 → ℝ^𝑚 tomando 𝑔(𝑣) = (𝑔₁(𝑣), 𝑔₂(𝑣), . . . , 𝑔_𝑚(𝑣)) para cada 𝑣 ∈ 𝑉. Evidentemente las 𝑚 −funciones 𝑔_𝑖 son las funciones componentes de 𝑔.

Con estos conceptos enunciamos:

“Una aplicación 𝑓: 𝑉 → ℝ^𝑚 es lineal, si y solamente si sus 𝑚 −funciones 𝑓_𝑖: 𝑉 → ℝ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚 son aplicaciones lineales”.

Proposición 3.23. Una aplicación lineal 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ es un isomorfismo, si y solamente si ∃𝑔: 𝑉₂ → 𝑉₁ (g aplicación) tal que:

1. 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ 𝑉₁ → 𝑉₁ es la aplicación identidad en 𝑉₁;es decir 𝑔 ∘ 𝑓 = 1_𝑉1.

2. 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝑉₂ → 𝑉₂ es la aplicación identidad en 𝑉₂; es decir:

𝑓 ∘ 𝑔 = 1_𝑉2.

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Ejercicios Transformación lineal.

1. Sea 𝑉 un espacio vectorial real 𝑤₁ y 𝑤₂ dos subespacios vectoriales de 𝑉 y 𝑓 una aplicación de 𝑤₁ × 𝑤₂ definida por:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦

a. Demostrar que 𝑓 es una aplicación lineal.

b. Demostrar que ker 𝑓 = {(𝑥, −𝑥)/𝑥 ∈ 𝑤₁∩ 𝑤₂} c. Demostrar que ker 𝑓 es isomorfo a 𝑤₁∩ 𝑤₂. 2. Estudiar si las siguiente aplicaciones son o no lineales.

i. 𝑓: ℝ² → ℝ² definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥) ii. 𝑓: ℝ² → ℝ² definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑦) iii. 𝑓: ℝ² → ℝ³ definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑥 + 𝑦) iv. 𝑓: ℝ² → ℝ definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥²𝑦²

v. 𝑓: ℝ² → ℝ² definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0)

3. Se tiene el conjunto 𝐺 = {𝐼, 𝑆_𝑥, 𝑆_𝑦, 𝑆₀} de aplicaciones de ℝ² en ℝ² definidas de la siguiente forma:

 𝐼(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) I= la identidad

 𝑆_𝑥(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦)

 𝑆_𝑦(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, 𝑦)

 𝑆₀(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦)

a. Demostrar que estas aplicaciones son lineales.

b. Demostrar que 𝐺 con la operación composición de aplicaciones es un grupo conmutativo.

c. Dar una interpretación geométrica en el plano euclídeo de estas transformaciones.

4. Se tiene el conjunto 𝐺 = {𝐼, 𝑆_𝑥, 𝑆_𝑦, 𝑆₀} de aplicaciones de ℝ² en ℝ² definidas de la siguiente forma:

 𝐼(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦)

 𝑆₁(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥)

 𝑆₂(𝑥, 𝑦) = (−𝑦, −𝑥)

 𝑆₀(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦)

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a. Demostrar que estas aplicaciones son lineales.

b. Demostrar que 𝐺 con la operación composición de aplicaciones es un grupo conmutativo.

c. Dar una interpretación geométrica en el plano euclídeo de estas transformaciones.

5. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝐾, 𝐵 = (𝑢₁, 𝑢₂) una base y 𝑓 y 𝑔 endomorfismo de 𝑉 tales que

𝑓(𝑢₁) = 𝑢₂, 𝑓(𝑢₂) = 𝑢₁, 𝑔(𝑢₁) = −𝑢₁, 𝑔(𝑢₂) = 𝑢₂ Demostrar que los endomorfismo 𝑓 ∘ 𝑔 y 𝑔 ∘ 𝑓 son distintos.

6. Se dice que un endomorfismo 𝑓 de un espacio vectorial 𝑉 es recíproco si su cuadrado es la identidad, es decir, 𝑓² = 1.

a. Demostrar que si un endomorfismo ℎ es idempotente, es decir, ℎ² = ℎ, entonces 𝑓 = 2ℎ − 1 es recíproco.

b. Recíprocamente, demostrar que si un endomorfismo, 𝑓 de 𝑉 es recíproco puede ponerse bajo la forma de 𝑓 = 2ℎ − 1, con ℎ² = ℎ.

7. Sean 𝑉 y 𝑉´ dos espacio vectoriales sobre el cuerpo 𝐾 y sea 𝑓 una aplicación lineal de 𝑉 en 𝑉´. Se llama núcleo de 𝑓 y se designa por ker 𝑓, al conjunto de los vectores de 𝑉 que se transforma en el cero, es decir,

ker 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑉/𝑓(𝑥) = 0}

Demostrar que ker 𝑓 es un subespacio vectorial de 𝑉.

8. Sean 𝑉 y 𝑉´ dos espacio vectoriales, 𝑓 un aplicación lineal de 𝑉 en 𝑉´.

Se llama imagen de 𝑓, y se designa por 𝑖𝑚 𝑓 o por 𝑓(𝑉), al conjunto de los vectores de 𝑉´ imágenes de algunos de 𝑉, es decir,

𝑖𝑚 𝑓 = {𝑥´ ∈ 𝑉´/ existe un 𝑥 ∈ 𝑉 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥´}

Demostrar que 𝑖𝑚 𝑓 es un subespacio vectorial de 𝑉´.

9. Demostrar que si 𝑓 es una aplicación lineal de 𝑉 en 𝑉´ y 𝑔 es una aplicación lineal de 𝑉´ en 𝑉´´, entonces:

1. ker(𝑔 ∘ 𝑓) = 𝑓⁻¹(ker 𝑔) 2. 𝐼𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = 𝑔(𝐼𝑚 𝑓)

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10. Dada la aplicación de 𝑓 en ℝ² en ℝ² definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥). Se pide:

a. Demostrar si 𝑓 es un aplicación lineal. En caso afirmativo:

b. Calcular ker 𝑓, dimensión de ker 𝑓 y sus ecuaciones.

c. Calcular 𝑖𝑚 𝑓, dimensión de 𝑖𝑚 𝑓 y sus ecuaciones.

11. Sea 𝑉 un espacio vectorial y 𝑓 un endomorfismo de 𝑉. Se llama invariante de 𝑓, y se designa por 𝐼𝑛𝑣 𝑓, al conjunto de los vectores que se transforman por 𝑓 en si mismo, es decir,

𝐼𝑛𝑣 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑉/𝑓(𝑥) = 𝑥}

Demostrar que 𝐼𝑛𝑣 𝑓 es un subespacio vectorial de 𝑉.

12. Sea 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ un homomorfismo de espacios vectoriales. Demostrar que si 𝑓 es inyectivo y 𝑆 un conjunto de vectores linealmente independiente de 𝑉₁, entonces 𝑓(𝑆) es un conjunto de vectores linealmente independiente de 𝑉₂

13. Sean 𝑉 y 𝑉´ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo 𝐾 y 𝑓 una aplicación de 𝑉 en 𝑉´. Se considera el espacio vectorial 𝑉 × 𝑉´ y la aplicación

𝑔: 𝑉 × 𝑉´ → 𝑉 × 𝑉´

Definida por (𝑥, 𝑦) → 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥)) Demostrar que 𝑔 es un automorfismo de 𝑉 × 𝑉´.

14. Sea 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ un homomorfismo de espacios vectoriales. Demostrar que si 𝑓 es suprayectivo y 𝑆 un conjunto de generadores de 𝑉₁, entonces 𝑓(𝑆) es un conjunto de generadores de 𝑉₂.

15. Sean 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ un homomorfismo de espacios vectoriales. Demostrar que

dim(ker 𝑓) + dim(𝐼𝑚 𝑓) = dim 𝑉₁

16. Sea 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ un homomorfismo de espacios vectoriales y 𝑊₂ un subespacio de 𝑉₂. Demostrar que.

dim(𝑓⁻¹(𝑊₂)) + dim(𝐼𝑚 𝑓) = dim 𝑉₁+ dim(𝑖𝑚 𝑓 ∩ 𝑊₂)

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17. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝐾, de dimensión mayor o igual a 2, es decir, dim 𝑉 ≥ 2. Demostrar que :

a. Si 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑_𝐾(𝑉) entonces

𝑓 ∈ 𝑍(𝐸𝑛𝑑_𝐾(𝑉)) ⇔ 𝑓 es una hometecia de 𝑉

𝑍(𝐸𝑛𝑑_𝐾(𝑉)) representa el centro del anillo de endomorfismo.

b. ¿Qué sucede si dim 𝑉 = 1?.

18. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝐾 de dimensión finita, 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝐾 un homomorfismo no nulo. Demostrar que 𝑓 es un epimorfismo y su núcleo es un hiperplano de 𝑉.

19. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾, 𝑓 y 𝑔 endomorfismo de 𝑉, es decir, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸𝑛𝑑_𝐾(𝑉). Demostrar que:

𝐾𝑒𝑟(𝑔 ∘ 𝑓) = 𝑓⁻¹(ker 𝑔 ∩ 𝐼𝑚𝑓)

20. Demostrar que si 𝑓: 𝑉 → 𝑉´ es un homomorfismo de espacios vectoriales y si dim 𝑉´ < dim 𝑉 entonces 𝑓 no puede ser inyectivo, es decir, 𝑓 no puede ser monomorfismo.

21. Sean 𝑉₁, 𝑉₂, 𝑉₃ tres espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo 𝐾; sean 𝑓: 𝑉₁ → 𝑉₂ y 𝑔: 𝑉₂ → 𝑉₃ dos aplicaciones lineales. Demostrar que

dim(𝐾𝑒𝑟 (𝑔 ∘ 𝑓)) ≤ dim(ker 𝑔) + dim (ker 𝑓) 22. Se considera la aplicación 𝑓 de ℝ³ en ℝ³ dada por

𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) = (𝑥₁+ 𝑥₂, 𝑥₂, 0) Se pide:

1. Demostrar que 𝑓 es un homomorfismo.

2. Hallar ker 𝑓.

3. Hallar 𝑖𝑚 𝑓.

23. Demostrar que 𝑓 es un endomorfismo del espacio vectorial 𝑉(𝐾), entonces

i) ker 𝑓 ⊂ ker 𝑓² ⊂ ker 𝑓³ ⊂ . . . ii) 𝑓(𝑉) ⊃ 𝑓²(𝑉) ⊃ 𝑓³(𝑉) ⊃ . ..

24. Demostrar que si 𝑓 es un endomorfismo de un espacio vectorial 𝑉(𝐾), entonces

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𝑓² = 0 si y sólo si, 𝑓(𝑉) ⊂ ker 𝑓

25. Sean 𝑉 y 𝑉´ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo 𝐾, 𝑓: 𝑉 → 𝑉´ un homomorfismo. Demostrar que son equivalentes las condiciones siguientes,

1. ker 𝑓 = {0}

2. 𝑓 es monomorfismo ( esto es un homomorfismo inyectivo).

3. Para todo espacio vectorial 𝑊 tal que dim 𝑊 = dim 𝑉, y para todo

ℎ, 𝑔 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝑊, 𝑉) se tiene que 𝑓 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔 ⇒ ℎ = 𝑔.

26. Sean 𝑉 y 𝑉´ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo 𝐾, 𝑓: 𝑉 → 𝑉´ un homomorfismo. Demostrar que son equivalentes las condiciones siguientes,

1. Im 𝑓 = 𝑉

2. 𝑓 es epimorfismo ( esto es un homomorfismo suprayectivo).

3. Para todo espacio vectorial 𝑊 y para todo ℎ, 𝑔 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝑉´, 𝑊) se tiene que

𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ ⇒ 𝑔 = ℎ.

27. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾, dimensión finita.

Demostrar que:

a. 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑 𝑉 y ker 𝑓 = {0}

b. 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑 𝑉 y coker 𝑓 = {0}

c. 𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡 𝑉 son equivalente.

Como consecuencia deducir que si 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑 𝑉 y 𝑔 ∈ 𝐸𝑛𝑑 𝑉 son tales que 𝑔 ∘ 𝑓 = 1_𝑉, entonces 𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡 𝑉.

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28. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾. Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes para dos endomorfismo 𝑓 y 𝑔 de 𝑉:

1) ker 𝑓 ⊂ ker 𝑔

2) Existe un endomorfismo ℎ de 𝑉 tal que 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓.

29. Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo 𝐾, y sean 𝑊₁ y 𝑊₂ dos subespacio de 𝑉. Demostrar que la condición necesaria y suficiente pára que exista un 𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡_𝐾𝑉 tal que 𝑓(𝑊₁) = 𝑊₂ es que 𝑑𝑖𝑚_𝐾𝑊₁ = 𝑑𝑖𝑚_𝐾𝑊₂.

30. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾, y sean 𝑊₁ y 𝑊₂ dos subespacio de 𝑉. Demostrar que son equivalentes las siguientes condiciones:

1) 𝑊₁ ⊕ 𝑊₂

2) 𝑥 + 𝑦 = con 𝑥 ∈ 𝑊₁ y 𝑦 ∈ 𝑊₂ implica 𝑥 = 𝑦 = 0, y además 𝑉 = 𝑊₁ + 𝑊₂.

3) Todo vector de 𝑉 se puede escribir de forma única como suma de un vector 𝑊₁ y otros de 𝑊₂.

4) Existe un homomorfismo 𝑝: 𝑉 → 𝑉 tal que ker 𝑝 = 𝑊₁, 𝐼𝑚 𝑝 = 𝑊₂ y

𝑝² = 𝑝 ∘ 𝑝 = 𝑝.

31. Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo 𝐾, 𝐵 = (𝑢₁, 𝑢₂, . . . , 𝑢_𝑛) una base de 𝑉 y {𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑟} vectores de 𝑉 con 𝑟 ≤ 𝑛.

Demostrar que {𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑟} es un conjunto de vectores linealmente independiente si, y sólo si, existe un automorfismo de 𝑉, f tal que para todo 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 se verifica 𝑓(𝑢_𝑖) = 𝑥_𝑖 .

32. Sea 𝑉 un endomorfismo de un espacio vectorial 𝑉 de dimensión finita.

Demostrar que si ker 𝑓 e 𝐼𝑚 𝑓 tienen la misma dimensión, entonces el espacio vectorial 𝑉 es de dimensión par.

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¿Puede ser 𝑓 un automorfismo?. Razonar la respuesta.

33. Un endomorfismo 𝑓: 𝑉 → 𝑉 se dice idempotente si 𝑓² = 𝑓. Demostrar que si 𝑓 es idempotente se verifica:

𝑉 = ker 𝑓 ⊕ 𝐼𝑚 𝑓

34. Demostrar que si un endomorfismo de 𝑉 es idempotente, es decir, 𝑓² = 𝑓, entonces se verifica,

1) 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝑓 ⇔ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

2) 1 − 𝑓 es idempotente.

3) ker(1 − 𝑓) = 𝐼𝑚 𝑓.

4) ker 𝑓 = 𝐼𝑚 (1 − 𝑓) si 𝑓² = 𝑓, 𝑓 se llama proyector.

35. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝐾, 𝑝 un proyector y 𝑓 un endomorfismo de 𝑉. Demostrar que las relaciones siguientes son equivalentes:

a) 𝑝𝑓𝑝 = 𝑝𝑓.

b) 𝑓(𝑝 (𝑉)) ⊂ 𝑝(𝑉).

36. Sean 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝐾, y sea 𝑓 un endomorfismo de 𝑉, demostrar que las proposiciones siguientes son equivalentes:

a) 𝑓 es proyector, es decir, 𝑓² = 𝑓.

b) 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝑓 implica 𝑓(𝑥) = 𝑥, es decir, todo vector de la imagen de 𝑓 es invariante.

c) 𝐼𝑚 𝑓 ⊂ ker(1 − 𝑓).

d) 𝐼𝑚 (1 − 𝑓) ⊂ ker 𝑓.

37. Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝐾, y sean 𝑝 y 𝑞 dos proyectores de 𝑉.

Demostrar que las proposiciones siguientes son equivalentes a. 𝑝𝑞 = 𝑞𝑝.

b. 𝑞(𝑝(𝑉)) ⊂ 𝑝(𝑉) y 𝑞(ker 𝑝)

38. Dada la siguientes aplicación 𝑓 definida entre los espacios vectoriales ℝ y ℝ³ por

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𝑓(𝑥) = (𝑥, 1, −𝑥)

Decir si 𝑓 es un homomorfismo y en caso afirmativo estudiar su núcleo e imagen.

39. Estudiar la linealidad de la aplicación 𝑓: ℝ² → ℝ definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 + 1

40. Se considera la aplicación 𝑓: ℝ² → ℝ² definida 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦) se pide:

1. Demostrar que es una aplicación lineal.

2. Hallar su núcleo.

3. Hallar su imagen.

41. Dada la siguiente aplicación 𝑓 entre los espacios ℝ³ y ℝ³ definida por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥, 𝑥 + 𝑦, 0) decir si es un homomorfismo y en caso afirmativo estudiar su núcleo e imagen.

42. Comprobar que la aplicación

𝑓: 𝑉₂(ℝ) → 𝑉₂(ℝ)

Siento 𝑉₂ el conjunto de polinomios de grado igual o menor que 2, definida por:

𝑓(𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐) = 𝑎𝑥² Es una aplicación lineal y determinar su núcleo.

43. Dada la aplicación

𝑓: 𝑉₃(ℝ) → 𝑉₂(ℝ) Dada por: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑦 − 𝑧) se pide:

1. Demostrar que 𝑓 es un homomorfismo de 𝑉₃ en 𝑉₂. 2. Matriz asociada al homomorfismo.

3. Determinar las dimensiones de 𝐼𝑚 𝑓 y 𝐾𝑒𝑟 𝑓.

𝑓: ℝ³ → ℝ²

(17)

Se pide:

1) Comprobar que 𝑓 es lineal.

2) Hallar la imagen de la base canónica.

3) Hallar la imagen del vector (1, 2, 3).

45. Sea 𝑓 el homomorfismo

𝑓: ℤ³ → ℤ² Definido por:

𝑓(1,0, 0) = (2, −1) 𝑓(0,1, 0) = (−3, 2) 𝑓(0,0, 1) = (1, 5) Calcular

𝑓⁻¹(4,1)

46. Del conjunto de ℝ³ se considera el endomorfismo 𝑓 definido por:

𝑓(𝑒₁) = 𝑒₂+ 𝑒₃ 𝑓(𝑒₂) = 𝑒₁ + 𝑒₃ 𝑓(𝑒₃) = 𝑒₁+ 𝑒₂

Donde 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃} es una base canónica de ℝ³. Se pide:

1. Construir la matriz asociada al endomorfismo.

2. Probar que 𝑓 es inyectiva.

47. Sea 𝑓: ℝ³ → ℝ³ un endomorfismo definido por los transformado de los vectores:

𝑓(−1, 1,3) = (6, −4,16) 𝑓(−2, 1,1) = (−2, −5, 1) 𝑓(3, 2, −1) = (1, 14, −12) Hallar:

1. Las ecuaciones de la aplicación lineal 2. ¿Es un automorfismo?

(18)

48. Sean los homomorfismo 𝑓 y 𝑔 de ℝ² en ℝ³ definidos por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 2𝑥 + 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑦) Calcular:

1) Matriz asociada al homomorfismo 𝑓.

2) Matriz asociada al homomorfismo 𝑔.

3) Matriz asociada al homomorfismo 𝑓 + 𝑔.

49. Sea 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄} una base del espacio vectorial 𝑉₄ de dimensión 4 y sea 𝑓 un endomorfismo de 𝑉₄ dado por:

𝑓(𝑒₁) = 𝑒₁+ 𝑒₂− 𝑒₃ 𝑓(𝑒₂) = 𝑒₁ + 𝑒₄ 𝑓(𝑒₃) = 𝑒₂ − 𝑒₄

ker 𝑓 = {𝑒₁ + 𝑒₄} Determinar:

1) La matriz del endomorfismo.

2) Dimensión de ker 𝑓 e 𝐼𝑚 𝑓.

3) Ecuaciones del núcleo y de la imagen.

50. Sea 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃} una base del espacio vectorial 𝑉₃ de dimensión 4 y sea 𝑓 un endomorfismo de 𝑉₃ dado por:

𝑓(𝑒₁) = 𝑒₁− 𝑒₂ 𝑓(𝑒₃) = 𝑒₂

ker 𝑓 = {𝑒₁ + 𝑒₂} Determinar:

1) La matriz del endomorfismo.

2) Dimensión de ker 𝑓.

3) Dimensión de 𝐼𝑚 𝑓.

51. En un espacio vectorial 𝑓 de dimensión 3 se consideran las bases

(19)

𝐵 = {𝑒₁ = (1,2,0); 𝑒₂ = (0,1,1); 𝑒₃ = (2, −1,0)}

𝐵̅ = {𝑢₁ = (−1,0, −1); 𝑢₂ = (1,0,0); 𝑢₃ = (0,1,1)}

Si un vector 𝑥 respecto de la base 𝐵̅ tiene como componentes (1, 2, 3), ¿qué componentes tiene respecto de la base 𝐵?

52. Encontrar las componentes de un vector de ℝ³, respecto de la base 𝐵 = {(1,2,3); (3,4,0); (1,1,0)} sabiendo que sus componentes respecto de

la base

𝐵´ = {(1,1,0); (0,1,1); (1,0,1)} son (2, 1, 1)

53. Consideremos un espacio vectorial 𝑉₃ y en él una base 𝐵 formada por los vectores 𝑒₁ = (1,2,1); 𝑒₂ = (0,1,2) y 𝑒₃ = (1,2, 0) se pide:

1) Encontrar otra base 𝐵̅ en 𝑉₃.

2) Si las componentes del vector 𝑥 son (3,2,1) referidas a la base 𝐵,

¿cuáles serán sus componentes referidas a la nueva base 𝐵̅?

54. Sea 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄} una base del espacio vectorial 𝑉₄ y 𝐵̅ = {𝑒₁, 𝑒₁+ 𝑒₂, 𝑒₁+ 𝑒₂+ 𝑒₃, 𝑒₁+ 𝑒₂+ 𝑒₃ + 𝑒₄}. Se pide:

1. Demostrar que 𝐵̅ es una base de 𝑉₄.

2. Encontrar las fórmulas del cambio de base.

3. Determinar las componentes del vector 𝑥 en base 𝐵 sabiendo que la base 𝐵̅ son (1,2,3,4).

55. 55. En el espacio vectorial 𝑉₃(ℝ) tenemos dos bases 𝐵 y 𝐵´ y conocemos las expresiones de tres vectores 𝑥, 𝑦, 𝑧 referidas a ambas bases. En la primera base 𝐵 las componentes de estos tres vectores son 𝑥 = (1,2,3); 𝑦 = (0,1,2); 𝑧 = (1, 0, −1). En la base 𝐵´ las componentes son 𝑥´ = (1,0,1); 𝑦´ = (0,1,1), 𝑧´ = (1, 0, 2). Hallar la matriz 𝐶 del cambio de base.

56. Sea un homomorfismo 𝑓: ℝ² → ℝ⁴ determinado por:

𝑓(3, −1) = (1,0,1,0) 𝑓(−2,1) = (0,1,0,1)

(20)

Se pide:

1. Hallar la matriz asociada al homomorfismo.

2. Hallar la ecuación de la imagen de 𝑓.

57. En 𝑉₃ se considera la 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃} y el endomorfismo 𝑓 definido respecto a la base 𝐵 por:

𝑓(𝛼₁𝑒₁+ 𝛼₂𝑒₂+ 𝛼₃𝑒₃) = (𝛼₁+ 𝛼₃)𝑒₁+ (𝛼₂+ 𝛼₃)𝑒₂+ (𝛼₂− 𝛼₁)𝑒₃ Calcular:

1) Expresión analítica del endomorfismo 𝑓.

2) Las ecuaciones del endomorfismo.

3) Las ecuaciones del núcleo.

4) Dimensiones del núcleo y de la imagen.

58. Se considera un homomorfismo del espacio vectorial 𝑉₃(ℝ) en 𝑉₃(ℝ) dado por

𝑦₁ = 𝑥₂− 𝑥₃ 𝑦₂ = −𝑥₁ + 4𝑥₃ 𝑦₃ = 2𝑥₂− 2𝑥₃ Calcular:

1) El núcleo del homomorfismo.

2) El transformado del vector 𝑧 = (2, −1, 0) en el homomorfismo.

59. Se establece un homomorfismo 𝑓 entre los espacios vectoriales 𝑉₃ y 𝑉₄^´ de tal forma que los vectores 𝑥 = (1, 2, 0), 𝑦 = (1, −1, −2), 𝑧 = (0, 1, 1) tienen como imágenes por 𝑓: 𝑥´ = (1,2,0,1), 𝑦´ = (3,1,4,0), 𝑧´ = (2,3,1,1). Se pide:

1) Hallar la matriz del homomorfismo.

2) Hallar la ecuación del núcleo.

60. Se establece un homomorfismo 𝑓 entre dos espacios vectoriales ℝ³ y ℝ² tal que los vectores

(21)

𝑥 = (1, 2, 1) 𝑦 = (0, −1, 0)

𝑧 = (1, 5, 0)

} tienen por imagen {

𝑥´ = (1, 1) 𝑦´ = (2, 1) 𝑧´ = (1, −1) Determinar:

a) La matriz del endomorfismo.

b) Dimensiones de la imagen y del núcleo.

c) Ecuación del núcleo.

𝑓: ℝ³ → ℝ³ Mediante

𝑓(𝑒₁) = 𝑒₁− 𝑒₂ 𝑓(𝑒₂) = 𝑒₁

𝑓(𝑒₃) = 𝑒₂− 𝑒₃ Calcular:

a) Matriz de la aplicación.

b) Probar que 𝑓 es lineal.

c) Ecuaciones del núcleo.

62. Dada la transformación

𝑡: ℝ³ → ℝ³ Determinada por

𝑡(𝑒₁) = 𝑒₃ 𝑡(𝑒₂) = 𝑒₁ 𝑡(𝑒₃) = 𝑒₂

1) Probar que 𝑡 es transformación lineal.

2) Escribir la transformación 𝑡 ∙ 𝑡 ∙ 𝑡.

3) Obtener el transformado por esta transformación compuesta del vector

𝑥 = (1, 2,3).

(22)

63. Se establece un homomorfismo 𝑓 entre el espacio vectorial 𝑉₃ y el espacio vectorial 𝑉₄ dado por:

𝑓(1,0,1) = (1,2, −1,0) 𝑓(0,1,1) = (1, 0,0, 1)

𝑓(1,0,0) = (0,1,1,0) Hallar:

1) Las ecuaciones del homomorfismo.

2) Si en 𝑉₃ se establece una nueva base 𝐵´ y en 𝑉₄ se establece también una base nueva 𝐵´̅ siendo las matrices de cambio de base

𝐶 = [1 0 0

0 1 1

1 −1 0] y 𝐶₁ = [ 1 00 1

2 1 0 1

0

−1 1 1

0 01 0

]

Respectivamente. Hallar la expresión del homomorfismo referida a las nuevas bases y la imagen del vector 𝑣 = (1, 1, 0).

64. Un homomorfismo 𝑓 establecido entre dos espacios vectoriales ℝ³ y ℝ² viene dado por la matriz

𝐴 = [ 2 1

0 −1

−1 1 ]

En ℝ³ se establece una nueva base siendo 𝐶 la matriz del cambio. En ℝ² se establece una nueva base siendo 𝐶₁ la matriz del cambio

𝐶 = [1 2 1 0 −1 0

1 1 0] 𝐶₁ = [ 1 0

−1 1] Se pide:

1) Determinar la expresión del homomorfismo referida a las nuevas bases.

2) La imagen del vector 𝑥 = (1, 1, 1) en las nuevas bases

65. Consideremos ℝ³ y ℝ² con su estructura de espacio vectorial sobre ℝ con base 𝐵 = {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃} y 𝐵´ = {𝑣₁, 𝑣₂} respectivamente.

(23)

Sea 𝑓: ℝ³ → ℝ² un homomorfismo tal que:

𝑓(𝑢₁) = 𝑣₁+ 3𝑣₂ 𝑓(𝑢₂) = −𝑣₁+ 2𝑣₂

𝑓(𝑢₃) = 𝑣₁− 3𝑣₂

Calcular:

1) Dimensión de imagen y núcleo del homomorfismo.

2) Sea 𝐵̅ = {¹₂(𝑣₁+ 𝑣₂),¹

2(𝑣₁− 𝑣₂)}. Calcular la matriz del homomorfismo referida a las bases 𝐵 y 𝐵̅.

66. Sean ℝ³ y ℝ² dos espacios vectoriales referidos a bases canónicas 𝐵 = {𝑒₁ = (1,0,0), 𝑒₂ = (0,1,0), 𝑒₃ = (0,0,1)} y 𝐵´ = {𝑢₁ = (1,0), 𝑢₂ = (0,1)}. Se efectúa un homomorfismo 𝑓 de ℝ³ en ℝ² dado por:

𝑓(𝑒₁) = 𝑢₁+ 𝑢₂ 𝑓(𝑒₂) = 𝑢₁− 𝑢₂ 𝑓(𝑒₃) = 𝑢₁ Se pide:

i) Calcular la matriz del homomorfismo y las ecuaciones del núcleo y de la imagen.

ii) En ℝ³ se efectua un cambio de base pasando de 𝐵 a 𝐵̅ = {𝑒₁ = (2,1,0), 𝑒₂ = (−1,0,1), 𝑒₃ = (0,1, −1)}. Calcular la matriz del homomorfismo referida a las bases 𝐵̅ y 𝐵´.

67. Se considera un homomorfismo del espacio vectorial 𝑉₂ en 𝑉₃ dado por 𝑓(1,2) = (1, 0,1)

𝑓(0,1) = (2, 1,0)

En 𝑉₂ efectuamos un cambio de base pasando de 𝐵 = {𝑒₁, 𝑒₂} a 𝐵̅ = {𝑒̅₁, 𝑒̅₂} dado por:

𝑒̅₁ = 𝑒₁+ 𝑒₂

(24)

𝑒̅₂ = 𝑒₁− 𝑒₂

En 𝑉₃ efectuamos un cambio de base pasando de 𝐵₁ = {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃} a 𝐵̅₁ = {𝑢̅₁, 𝑢̅₂, 𝑢̅₃} dado por:

𝑢̅₁ = 𝑢₁ + 𝑢₃ 𝑢̅₂ = 𝑢₁− 𝑢₂ 𝑢̅₃ = 𝑢₂ Se pide:

1) Expresar la matriz del homomorfismo en las bases primitivas.

2) Expresar la matriz del homomorfismo en las nuevas bases.

68. Una aplicación 𝑓 de ℝ² en ℝ² viene dada por:

𝑓(1,1) = 𝑓(3, −1) 𝑓(2,3) = (2,4)

Hallar la matriz del homomorfismo

1) Respecto a la base canónica.

2) Respecto a la base 𝐵̅ = {𝑢₁, 𝑢₂} siendo 𝑢₁ = 𝑒₁+ 𝑒₂

𝑢₂ = 𝑒₁− 𝑒₂

69. En los siguientes problemas determine si la siguientes aplicaciones dadas es una transformación lineal.

𝑇: ℝ² → ℝ¹; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 𝑥 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (1 𝑦) 𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 (

𝑥 𝑦

𝑧) = (𝑥

𝑦) 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑥 0)

(25)

𝑇: ℝ³ → ℝ¹; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 𝑥 + 1 𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥

𝑦𝑧) = (0 𝑦)

𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥

𝑦𝑧) = ( 𝑥

𝑦 + 𝑧) 𝑇: ℝ² → ℝ²;

𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑥² 𝑦²)

70. En los siguientes problemas estúdiese si la siguientes aplicaciones dadas es una transformación lineal.

𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑦

𝑥) 𝑇: ℝ² → ℝ¹; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 𝑥𝑦

𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥𝑦

𝑧) = (1

𝑧) 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥 𝑦) = ( 𝑥

𝑥/𝑦)

𝑇: ℝ² → ℝ⁴; 𝑇 (𝑥

𝑦) = ( 𝑥 𝑥 + 𝑦

𝑦 𝑥 − 𝑦

) 𝑇: ℝ^𝑛 → ℝ¹; 𝑇 (

𝑥₁ 𝑥₂ . .. 𝑥_𝑛)

=

𝑥₁+ 𝑥₂+ . . . +𝑥_𝑛

71. En los siguientes problemas compruébese si la siguientes aplicaciones dadas es una transformación lineal.

𝑇: 𝑀_𝑛𝑛 → 𝑀_𝑛𝑛; 𝑇(𝐴) = 𝐴𝐵, donde 𝐵 es una matriz fija de 𝑛 × 𝑛.

𝑇: 𝑀_𝑛𝑛 → 𝑀_𝑛𝑛; 𝑇(𝐴) = 𝐴^𝑇𝐴.

𝑇: 𝑀_𝑝𝑞 → 𝑀_𝑝𝑞; 𝑇(𝐴) = 𝐴^𝑇.

𝑇: 𝑀_𝑚𝑛 → 𝑀_𝑞𝑛; 𝑇(𝐴) = 𝐵𝐴, donde 𝐵 es una matriz fija de 𝑞 × 𝑚

(26)

𝑇: 𝐷_𝑛 → 𝐷_𝑛; 𝑇(𝐷) = 𝐷² ( 𝐷_𝑛 es el conjunto de matrices diagonales de 𝑛 × 𝑛)

72. Demostrar que las siguientes aplicaciones dadas es una transformación lineal.

𝑇: 𝑃₂ → 𝑃₁; 𝑇(𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²) = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 . 𝑇: 𝑃₂ → 𝑃₁; 𝑇(𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²) = 𝑎₁ + 𝑎₂𝑥 . 𝑇: ℝ → 𝑃_𝑛; 𝑇(𝑎) = 𝑎 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥²+. . . +𝑎𝑥^𝑛. 𝑇: 𝑃₃ → 𝑀_2×2; 𝑇(𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥² + 𝑎₃𝑥³) = (𝑎₀+ 𝑎₁ 𝑎₁+ 𝑎₂

𝑎₂+ 𝑎₃ 𝑎₃+ 𝑎₀).

𝑇: 𝑃₂ → 𝑃₄; 𝑇[𝑝(𝑥)] = [𝑝(𝑥)]².

𝑇: 𝑃₂ → 𝑃₄; 𝑇[𝑝(𝑥)] = 𝑝(𝑥) + 𝑥²𝑝(𝑥).

73. Comprobar que las siguientes aplicaciones dadas es una transformación lineal.

𝑇: 𝐶[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓(𝑥) = 𝑓²(𝑥).

𝑇: 𝐶[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1.

𝑇: 𝐶[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑓(𝑥) + 𝑥𝑓(𝑥).

𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ; 𝑇𝑓 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥₀¹ , donde 𝑔 es una función fija en 𝐶[0,1].

(27)

𝑇: 𝐶¹[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓(𝑥) = ^𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)), donde 𝑔(𝑥) es una función fija en 𝐶¹[0,1].

𝑇: 𝐶[0,1] → 𝐶[1,2]; 𝑇𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 1).

𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ; 𝑇𝑓 = 𝑓 (¹₂).

𝑇: 𝐶¹[0,1] → ℝ; 𝑇𝑓(𝑥) = (_𝑑𝑥^𝑑 𝑓(𝑥))

𝑥=1/2. 𝑇: 𝑀_𝑛𝑛 → ℝ; 𝑇(𝐴) = det 𝐴.

74. Encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de las siguientes transformaciones lineales.

𝑇: ℝ² → ℝ; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 𝑥 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑥 0)

𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥 𝑦

𝑧) = (𝑧

𝑦) 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (−4𝑦 𝑦 )

𝑇: ℝ³ → ℝ; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑇: ℝ⁴ → ℝ²;𝑇 ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑤

) = (𝑥 + 𝑧 𝑦 + 𝑤)

𝑇: 𝑀₂₂ → 𝑀₂₂; 𝑇(𝐴) = 𝐵𝐴, donde 𝐵 = (1 03 1) 𝑇: ℝ → 𝑃₃; 𝑇(𝑎) = 𝑎 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥²+ 𝑎𝑥³.

𝑇: ℝ² → 𝑃₃; 𝑇 (𝑎

𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + (𝑎 + 𝑏)𝑥²+ (𝑎 − 𝑏)𝑥³.

75. Estúdiese el núcleo, imagen, rango y nulidad de las siguientes transformaciones lineales.

𝑇: 𝑀_𝑛𝑛 → 𝑀_𝑛𝑛; 𝑇(𝐴) = 𝐴^𝑇 + 𝐴.

(28)

𝑇: 𝐶¹[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓 = 𝑓´.

𝑇: 𝐶²[0,1] → 𝐶[0,1]; 𝑇𝑓 = 𝑓´´.

𝑇: 𝐶[0,1] → ℝ; 𝑇𝑓 = 𝑓(0).

𝑇: ℝ² → ℝ² ; 𝑇 Es una rotación de^π₃.

76. En los siguientes problemas encuentre la representación matricial 𝐴_𝑇 de la transformación lineal 𝑇, 𝑛𝑢 𝑇, 𝑖𝑚 𝑇, 𝑣(𝑇) y 𝜌(𝑇).

𝑇: ℝ² → ℝ; 𝑇 (𝑥

𝑦) = 3𝑥 − 2𝑦 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑥 − 2𝑦

−𝑥 + 𝑦)

𝑇: ℝ² → ℝ³; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (

𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦

2𝑥 + 3𝑦) 𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑦 𝑥)

𝑇: ℝ³ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥 𝑦

𝑧) = ( 𝑥 − 𝑦 + 𝑧

−2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧) 𝑇: ℝ² → ℝ²;𝑇 (𝑥

𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

𝑇: ℝ² → ℝ³; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (

𝑥 + 𝑦 3𝑥 − 2𝑦

𝑦 − 𝑥 ) 𝑇: ℝ³ → ℝ³;𝑇 ( 𝑥𝑦

𝑧) = (

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 5𝑥 − 𝑦 + 8𝑧)

𝑇: ℝ³ → ℝ³; 𝑇 ( 𝑥

𝑦𝑧) = (

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧

−3𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧) 𝑇: ℝ⁴ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑤

) =

( 𝑥 + 𝑧 5𝑤 − 4𝑦)

(29)

77. En los siguientes problemas encuentre la representación matricial 𝐴_𝑇 de la transformación lineal 𝑇, 𝑛𝑢 𝑇, 𝑖𝑚 𝑇, 𝑣(𝑇) y 𝜌(𝑇). A menos que se especifique otra cosa, suponga que 𝐵₁ y 𝐵₂ son bases canónicas.

𝑇: ℝ⁴ → ℝ⁴; 𝑇 ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑤

) = (

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑤

−𝑥 + 𝑧 + 2𝑤 𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 + 4𝑤

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑤

)

𝑇: ℝ⁴ → ℝ²; 𝑇 ( 𝑥 𝑦𝑧 𝑤

) = (𝑎𝑤 + 𝑏𝑥 𝑐𝑦 + 𝑑𝑧 )

𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = ( 3𝑥 + 2𝑦

−5𝑥 − 4𝑦) 𝐵¹ = 𝐵₂ = {( 3−2) , (−11 )}

𝑇: ℝ² → ℝ²; 𝑇 (𝑥

𝑦) = ( 4𝑥 − 𝑦

3𝑥 + 2𝑦) 𝐵¹ = 𝐵₂ = {(−1 1 ) , (4

3)}

𝑇: ℝ³ → ℝ²;𝑇 ( 𝑥

𝑦𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑦 − 3𝑧) 𝐵₁ = {(1

0 1

) , (1 1 0

) , (1 1 1

)} ; 𝐵₂ = {( 1−1) , (23)}

𝑇: ℝ² → ℝ⁴; 𝑇 (𝑥

𝑦) = (

2𝑥 + 3𝑦

−5𝑥 − 4𝑦

−6𝑥 − 9𝑦 𝑥 + 𝑦

)

𝐵₁ = {( 3−2) , (−11 )} ; 𝐵₂ = {(

1 10 0

) , ( 0 11 0

) , ( 0 01 1

) , ( 0 00 1

)}

78. Si 𝑓: ℝ → ℝ³ es una aplicación tal que, 𝑓(𝑥) = (𝑥, 1, −𝑥), es cierto que:

A) 𝑓 conserva la suma.

(30)

B) 𝑓 transfomar el neutro de (ℝ, +) en el neutro de (ℝ³, +).

C) 𝑓 conserva el pruducto por un escalar.

D) 𝑓 es una aplicación lineal.

79. Si 𝑓: ℝ → ℝ³ es una aplicación tal que, 𝑓(𝑥) = (𝑥, 0, −𝑥), es cierto que:

B) 𝑓 transfomar el neutro de (ℝ, +) en el neutro de (ℝ³, +).

C) 𝑓 conserva el pruducto por un escalar.

80. 𝑓: ℝ² → ℝ²/ 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂) = (𝑥₁+ 2, 𝑥₂) verifica:

A) Es una aplicación lineal.

B) No es aplicación lineal.

C) En cualquier aplicación lineal de ℝ² → ℝ² la imagen de (0,0) puede no ser (0,0).

D) Ninguna de ellas.

81. Cuando se define la aplicación 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥²) = (𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥²) + (𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥²) del espacio vectorial de polinomios e grado menor o igual que dos en sí mismo, es cierto que:

B) 𝑓 conserva el producto de polinomios.

C) 𝑓 conserva el producto por un escalar.

82. Dada la aplicación 𝑓: ℝ → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥, es cierta la afirmación:

A) A la suma originales corresponde la suma de imágenes (conserva la suma).

B) Al producto de un escalar por un vector corresponde el escalar por la imagen del vector (conserva el producto por escalar).

C) Es una aplicación lineal.

D) Ninguna de las anteriores.

(31)

83. Si 𝑓: ℝ² → ℝ³ es una aplicación lineal, tal que 𝑓(1,0) = (1, 2, 0) y 𝑓(0,1) = (0, 3, 1) se verifica:

A) 𝑓(5,7) = (5, 31, 7) B) 𝑓(1,1) = (1, 0, 1)

C) Las imágenes de todos los vectores de ℝ² están en el plano de ecuación 2𝑥₁− 𝑥₂ + 3𝑥₃ = 0.

84. Si 𝑓: ℝ² → ℝ² es una aplicación lineal, tal que 𝑓(1,1) = (1, 4) y 𝑓(2, −1) = (−2, 3), la imagen de (3, −1) es:

A) (¹₃,⁴₃) B) (−⁷₃,¹⁶₃) C) (−⁸₃,¹²

3)

85. Si 𝑓: ℝ² → ℝ³ es una aplicación lineal en la que se conocen las imágenes de los elementos de una base de ℝ², se verifica:

A) Es posible obtener la imagen de cualquier vector de ℝ². B) Cualquier vector de ℝ³ tiene un original en ℝ².

C) La imagen de ℝ² es ℝ³. D) Ninguna de las anteriores.

86. Si 𝑓 es una aplicación lineal de un espacio vectorial 𝑉 en 𝑉, se verifica:

A) Es falso que 𝑓(0̅) = 0̅ y 𝑓(−𝑥̅) = −𝑓(𝑥̅), siendo 𝑥̅ cualquier vector de 𝑉.

B) Es falso que si 𝑓(𝑥̅) = 𝑓(𝑦̅) ⇒ 𝑓(𝑥̅ − 𝑦̅) = 0̅.

C) Si 𝑆 es subespacio de 𝑉, entonces 𝑓(𝑆) es un subespacio de 𝑓(𝑉).

87. Si 𝑓: ℝ³ → ℝ² esla aplicación lineal 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) = (𝑥₁, 𝑥₂), verifica:

A) Si 𝑥̅, 𝑦̅ son linealmente independientes, entonces 𝑓(𝑥̅), 𝑓(𝑦̅) son linealmente independientes.