los lenguajes WHILE y LOOP X2 := X1; while X2 0 do X1 := X1 + 1; X2 := X2 1 od

los lenguajes WHILE y LOOP

X2 := X1;

while X2 ≠ 0 do X1 := X1 + 1;

X2 := X2 – 1 od

índice de materias

• introducción histórica

• modelos de cálculo

• • lenguajes lenguajes WHILE WHILE y y LOOP LOOP

• funciones µ-recursivas

• teorema de equivalencia

• indexaciones y universalidad

• problemas no resolubles

sintaxis, sem

sintaxis, semáántica yntica y capacidad expresiva capacidad expresiva

veremos:

- sintaxis

- semántica informal - semántica formal

WHILE y LOOP están basados en el bucle indefinido y el bucle definido

?

WHILE LOOP

15

sintaxis del lenguaje WHILE

identificadores

X₁ , X₂ , X₃ , ... , X_i , ...

instrucciones de asignación código

X_i := X_j secuencia finita no vacía de

X_i := X_i + 1 instrucciones separadas

X_i := X_i − 1 ( 0 − 1 = 0 ) por ";"

X_i := 0

instrucción de control programa

bucle indefinido: (n, p, código)

while X_i ≠ 0 do (cabecera) p ≥ n

código (cuerpo) ambos naturales

od (cola)

Nota: el índice de anidamiento siempre es finito

ejemplo de programa WHILE

• Ejemplo 1:

Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código:

X₂ := X₁ ;

while X₂ ≠ 0 do X₁ := X₁ + 1 ; X₂ := X₂ – 1 od

ejemplo de programa WHILE

• Ejemplo 2:

Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código:

X₁ := X₁ + 1 ; while X₁ ≠ 0 do

X₁ := X₁ od

• trabaja sólo con naturales

• no hay instrucciones de entrada ni de salida

• para un programa (n, p, código)

– n variables de entrada: X₁ , X₂ , ... , X_n – 1 variable de salida: X₁

– p variables de uso: X₁ , X₂ , ... , X_p con p ≥ n

• las variables que no son de entrada se inicializan implícitamente a cero

• una única función (que puede ser parcial) de NNⁿ en NN se puede asociar a cada programa

semántica informal del

lenguaje WHILE

ejemplo de programa WHILE

• Semántica del programa del ejemplo 1:

Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código:

X₂ := X₁ ;

while X₂ ≠ 0 do X₁ := X₁ + 1 ; X₂ := X₂ – 1 od

Este programa tiene una variable de entrada (X₁), usa dos

variables (X₁ , X₂), y X₂ se inicializa implícitamente a cero.

Calcula: f(n)= 2n ∀n∈NN

ejemplo de programa WHILE

• Semántica del programa del ejemplo 2:

Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código:

X₁ := X₁ + 1 ; while X₁ ≠ 0 do

X₁ := X₁ od

Este programa tiene una variable de entrada (X₁), que es la única que usa.

Calcula: f(n)= ↑ ∀n∈NN

(función que siempre diverge)

versión etiquetada de un programa WHILE

Dado un programa WHILE (n, p, código) lo escribimos de manera que cada línea contenga una de las siguientes cosas:

• una instrucción de asignación

• una cabecera de (bucle) while: while X_i ≠ 0 do

• una cola de (bucle) while: od Además:

• numeramos las líneas consecutivamente empezando por el 1

• tras una cabecera de while ponemos el número que le ha correspondido a su cola

• tras una cola de while ponemos el número que le ha correspondido a su cabecera

semántica formal del lenguaje WHILE

ejemplo de programa WHILE

• Versión etiquetada del programa WHILE del ejemplo 1 Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código

1: X₂ := X₁ ;

2: while X₂ ≠ 0 do :5 3: X₁ := X₁ + 1 ;

4: X₂ := X₂ – 1

5: od :2

concepto de configuración de un programa WHILE

• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f , una configuración de Q es una (p+1)-tupla (s, x) con s∈{1, 2, 3,…, f, f +1} y x∈ N N

• una configuración es inicial si s=1 y x

= … = x

= 0

• una configuración es final si s = f +1

• C

denota al conjunto de las configuraciones de Q

ejemplos de configuraciones

Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código 1: X₂ := X₁ ;

2: while X₂ ≠ 0 do :5 3: X₁ := X₁ + 1 ;

4: X₂ := X₂ – 1

5: od :2

(1,3,5) es configuración, no inicial y no final (1,5,0) es configuración, inicial y no final (6,8,3) es configuración final, y no inicial (2,2,2) es configuración, no inicial y no final (0,3,5) no es configuración

concepto de cálculo en un paso

Sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f .

Diremos que la configuración c

=(s, x) se transforma

en la configuración c

=(t, y) en un paso de cálculo

(representado por c

c

) sii

concepto de cálculo en un paso (para la asignación )

< (s, x) Q (t, y) >

• Si s: “asignación” aparece en la versión etiquetada de Q , entonces

– t = s + 1

–

– yr = xr para todo r tal que 1 ≤ r ≤ p y r ≠ i

−

=

+

=

=

=

−

= +

1 :

es

"

asignación

"

si

1 :

es

"

asignación

"

si

: es

"

asignación

"

si

0 : es

"

asignación

"

si

1 1 0

i i

i i

j i

i

i i

j i

X X

X X

X X

X

x x y x

concepto de cálculo en un paso (para el bucle )

< (s, x) Q (t, y) >

• Si s: while X_i ≠≠≠≠ 0 do :s’ aparece en la versión etiquetada de Q , entonces

– y = x

– si xi ≠ 0 entonces t = s + 1 – si xi = 0 entonces t = s’ + 1

• Si s: od :s’ aparece en la versión etiquetada de Q , entonces – y = x

– si xi ≠ 0 entonces t = s’ + 1 ^{( xi} está en la cabecera s’ )

– si xi = 0 entonces t = s + 1

ejemplos de cálculo en un paso

Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código 1: X₂ := X₁ ;

2: while X₂ ≠ 0 do :5 3: X₁ := X₁ + 1 ;

4: X₂ := X₂ – 1

5: od :2

¿ (1, 2, 0) Q (1, 2, 2) ? ¿ (1, 2, 0) Q (2, 2, 2) ?

¿ (3, 4, 6) Q (4, 5, 6) ? ¿ (2, 6, 0) Q (6, 6, 0) ?

(1, 6, 0) Q ? (2, 3, 7) Q ? (5, 4, 2) Q ? (5, 8, 0) Q ?

extendemos el “cálculo en un paso”

función siguiente configuración

• sea Q = (n, p, codigo) un programa WHILE y C

el conjunto de todas las configuraciones de Q

• la función siguiente SIG

: N

→N

es

¬∃

∨

= ∉

' /'

si

' si

) '

( c c C c c c

c c

c c SIG

Q Q

Q Q

siguiente para el programa Q ya visto

>

=

∧

=

≠

∧

=

=

−

= +

=

∧

=

≠

∧

=

=

=

=

5

si )

(

0 5

si )

6 (

0 5

si )

3 (

4

si )

1 5

(

3

si )

1 4

(

0 2

si )

6 (

0 2

si )

3 (

1

si )

2 (

0

si )

(

) (

a a,b,c

c a

,b,c

c a

,b,c

a ,b,c

a ,c

,b

c a

,b,c

c a

,b,c

a ,b,b

a a,b,c

a, b, c

SIG

función cálculo de un programa

(configuración alcanzada tras i pasos)

• sea Q = (n, p, c) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f , la función cálculo del

programa Q es la función CAL

: N

→N

• CAL

(a, i) = (t, b) , siendo a∈N

y (1, a)

c

c

…

c

= (t, b) el cálculo de Q en i pasos, que comienza con valores a de las variables que usa el programa (las de no entrada inicializadas)

• se define recursivamente en función de SIG

>

−

= =

0 si

)) 1 ,

( (

0 si

) , 1 ) (

,

( SIG CAL a i i

i i a

a CAL

Q Q Q

ejemplo de función cálculo

• dado el programa Q ya visto, encontrar el valor de CAL

(6, 0, 4)

solución:

(1, 6, 0)

(2, 6, 6)

(3, 6, 6)

(4, 7, 6)

(5, 7, 5)

CAL

(6, 0, 4) = (5, 7, 5)

función complejidad temporal

(nº de pasos de un programa, según la entrada)

• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas numeradas de 1 a f , la función complejidad temporal de Q es la función T

: N

→N

siendo x ∈N

, 0 un vector de p−n ceros y π

la función proyección de la primera componente de un vector de p+1 componentes

] 1 ))

, 0 , ( (

[ )

(x = j ₁ ⁺¹ CAL x j = f +

T_Q

µ π

ejemplo de función complejidad temporal

• dado el programa Q ya visto, determinar la complejidad temporal

solución:

(1, a, 0)

(2, a, a)

(3, a, a)

Q

(4, a+1, a)

(5, a+1, a−1)

(3, a+1, a−1)

Q

(4, a+2, a−1)

(5, a+2, a−2)

(3, a+2, a−2)

· · · Q

(3, 2a−1, 1)

Q

(4, 2a, 1)

(5, 2a, 0)

(6, 2a, 0)

T

(a) = 3a+2

concepto de función calculada por un programa WHILE

• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, la función calculada f

: N N

→ N se define por N

siendo x ∈N

y 0 un vector de p−n ceros

expresado informalmente: dados unos valores para las variables de entrada (x), se inicializan a cero las demás variables, se realizan pasos de cálculo hasta alcanzar una configuración final, y se toma como resultado la segunda componente

(variable X₁); si no es posible alcanzar tal configuración final, entonces el programa no acaba para esos valores de entrada, y la función está indefinida (diverge)

))) (

, 0 , ( (

)

(x ₂ ¹ CAL x T x

f_Q =

π

la clase de funciones WHILE-calculables

• F

(WHILE) es el conjunto de todas las funciones f: N

→N tales que existe un programa WHILE, con n variables de entrada, que calcula f

• F(WHILE) es la unión de todas las F

(WHILE) , para n≥0

• si f∈F(WHILE) diremos que f es una función

WHILE-calculable

ejercicios de WHILE-calculabilidad

Demostrar (dando programa y funciones SIG , CAL , T y f ) que cada una de las siguientes funciones es WHILE-calculable:

- suma

- resta ( x − y = 0 si x < y )

- valor absoluto de la resta ( x − y si x ≥ y , y − x si x < y ) - signo ( 0 si x = 0 , 1 si x > 0 )

- complementario del signo ( 0 si x > 0 , 1 si x = 0 ) - producto

- función que siempre diverge

- la función identidad de N en N N N

- función constante C

: N N

→ N , C N

(x) = j ∀x∈N N

lenguaje WHILE ampliado

• utilización de denominaciones libres para las

variables de entrada y para la variable de salida (hay que especificar cuáles son de entrada y cuál es de

salida)

• permitiremos en el lenguaje ampliado incluir

instrucciones de asignación cuyo miembro de la derecha implica la activación de otras funciones while-calculables (macroinstrucción)

• inclusión de líneas de comentarios

una función en WHILE ampliado es WHILE-calculable

ejemplo de WHILE ampliado

Ejemplo de “denominaciones libres” y de “comentario”:

Entradas: dato

Salida: doble (* = 2 × dato *) Código:

doble := dato ;

while dato ≠ 0 do

doble := doble + 1 ; dato := dato – 1 od

ejemplo de WHILE ampliado

Ejemplo de “activación de funciones while-calculables”.

Sea el programa doble = (1, 2, código) con código X₂ := X₁ ;

while X₂ ≠ 0 do X₁ := X₁ + 1 ; X₂ := X₂ – 1 od

Sea el programa (macroprograma) exp = (1, 2, código) con código X₂ := X₂ + 1 ;

while X₁ ≠ 0 do

X₂ :=:= doble( X:=:= ₂) ; ←←←← macroinstrucción X₁ := X₁ – 1

od ;

X₁ := X₂ ( exp calcula f(n)=2ⁿ )

conversión a WHILE:

variables y comentarios

• un programa con denominaciones libres para las variables se convierte en un programa WHILE haciendo las siguientes transformaciones:

– reemplazar la primera variable de entrada por X₁ , la segunda por X₂ , …, la n-ésima por X_n

– reemplazar la variable de salida por X_n+1

– reemplazar las variables de uso interno, según su orden de aparición por X_n+2 , …

– añadir al final del código resultante la instrucción X₁ := X_n+1

• los comentarios se eliminan sin efecto para el código

ejemplo de conversión a WHILE

Entradas: dato

Salida: doble (* 2×dato *) Código:

doble := dato ; while dato ≠ 0 do

doble := doble + 1 ; dato := dato − 1

od

(1, 2, código-doble) código-doble:

X

:= X

;

while X

≠ 0 do

X

:= X

+ 1 ; X

:= X

− 1 od ;

X

:= X

conversión a WHILE:

macroinstrucciones

• las macroinstrucciones se eliminan como sigue

– sea la macroinstrucción X_i := f ( X_j1 , …, X_jn ) , donde f es calculada por el programa (n, p, código)

– sea Q un macroprograma que usa q variables en el cual aparece la macroinstrucción anterior, la expansión PQ de la macroinstrucción en Q da lugar a:

X_q+1 := X_j1 ; X_q+2 := X_j2 ; … X_q+n := X_jn ; X_q+n+1 := 0 ; X_q+n+2 := 0 ; … X_q+p := 0 ;

“el código de P sustituyendo X_i por X_q+i , con 1 ≤ i ≤ p ” X_i := X_q+1

• cada macroinstrucción se expande independientemente

ejemplo de conversión a WHILE

exp = (1, 2, cod)

cod: X₂ := X₂ + 1 ; while X₁ ≠ 0 do

X₂ :=:=:=:= doble( X₂ ) ; X₁ := X₁ − 1

od ;

X₁ := X₂ doble = (1, 2, cod) cod: X₂ := X₁ ;

while X₂ ≠ 0 do X₁ := X₁ + 1 ; X₂ := X₂ − 1 od

exp = (1, 4, cod) cod: X₂ := X₂ + 1 ;

while X₁ ≠ 0 do X₃ :=:= X:=:= ₂ ; X₄ :=:= 0 ;:=:=

X₄ :=:= X:=:= ₃ ;

while X₄ ≠≠≠≠ 0 do X₃ :=:= X:=:= ₃ + 1 ; X₄ :=:= X:=:= ₄ −−−− 1 od ;X₂ :=:= X:=:= ₃ ;

X₁ := X₁ − 1 od ;

X₁ := X₂

lenguaje WHILE ampliado

• Podemos combinar variables libres y macroinstrucciones

Ejemplo:

Entradas: x, y

Salida: prod (* = x × y *) Código:

while y ≠ 0 do

prod := suma(prod, x) ; y := y – 1

od

lenguaje WHILE ampliado

• Para las macroinstrucciones relativas a funciones conocidas y con representación infija, estándar en matemáticas, usaremos dicha representación

Así, las macros se escribirán

z := suma(x,y) z := x + y z := resta(x,y) z := x

−

z := producto(x,y) z := x × y

z := exp(x) z := 2^x

• Permitiremos más de una función while-calculable en una macroinstrucción

p.e.: z := x + ( x × (z - y))

ejemplos con WHILE ampliado

Demostrar que las siguientes funciones son while-calculables:

— máximo ( max(x,y) )

— diferencia en valor absoluto ( | x - y | )

— igualdad ( igualdad(x,y) , o bien x=y ) (calcula 1 si son iguales, 0 si son distintos)

— potencia ( x ^y )

soluciones: — potencia:

— max(x,y) := ( x – y ) + y Entradas: x, y

— | x - y | := ( x – y ) + ( y - x ) Salida: z

— igualdad(x,y) := csg( | x - y | ) Código:

( csg ≡ complemento del signo) z := z + 1 ;

while y ≠ 0 do z := z × x ; y := y – 1 od

composición de funciones

sean f y g dos funciones de N en N N , ambas N while-calculables; la composición de ellas g

f

también es una función while-calculable

sea (1, p

, Q) el programa while que calcula f : N N → N N y (1, p

, R) el programa que calcula g: N N → N, el N

siguiente macroprograma calcula g

f Entrada: x

Salida: y Código:

x := f(x) ;

y := g(x)

capacidad expresiva de WHILE:

estructuras de control

do x times od S

z := x;

while z ≠ 0 do S z := z − 1

od

if x ≠ 0 then S fi

y := sg (x);

do y times od S

(* y es una nueva variable *)

if x ≠ 0 then S else T fi

y := sg (x);

z := csg(x);

do y times od S

do z times

od T

capacidad expresiva de WHILE:

expresiones booleanas

C E

X = Y 1 − [(Y − X) + (X − Y)]

X > Y (X − Y) − [(X − Y) − 1]

X < Y (Y − X) − [(Y − X) − 1]

C

∨ C

sg(E

+ E

) C

∧ C

(E

+ E

) − 1

¬C 1 − E

while C do od S

z := E

;

while z ≠ 0 do S z := E

;

od

para cualquier condición booleana C existe una expresión EC

tal que si la condición es verdadera toma el valor 1 y si es falsa toma el valor 0

capacidad expresiva de WHILE:

expresiones con funciones

do f(x) times S od w := f(x); do w times S od

while f(x) ≠ 0 do S od w := f(x); while w ≠ 0 do S; w := f(x) od if f(x) ≠ g(x) then S1 w := |f(x)–g(x)|; if w ≠ 0 then S1 else S2 fi

else S2 fi

if f(x) ≠ 0 then S fi w := f(x); if w ≠ 0 then S fi

siendo f y g funciones de N en N N while-calculables y S , SN 1

y S2 códigos, permitiremos escribir instrucciones de la forma:

instrucción expansión

sintaxis del lenguaje LOOP

identificadores

X₁ , X₂ , X₃ , ... , X_i , ...

instrucciones de asignación código

X_i := X_j secuencia finita no vacía de

X_i := X_i + 1 instrucciones separadas

X_i := X_i − 1 ( 0 − 1 = 0 ) por ";"

X_i := 0

instrucción de control programa

bucle definido: (n, p, código)

do X_i times (cabecera) p ≥ n

código (cuerpo) ambos naturales

od (cola)

Nota: el índice de anidamiento siempre es finito

clase de funciones LOOP-calculables

• F

(LOOP) es el conjunto de las funciones f: N

→ _N tales que existe un programa LOOP, con n variables de entrada, que calcula f

• F(LOOP) es la unión de todas las F

(LOOP) , para todo n ≥ 0

• si f∈F(LOOP) decimos que f es una función

LOOP-calculable

lenguajes LOOP

• para cada i ≥ 0 , se define el lenguaje LOOP

como el sublenguaje de LOOP formado por los programas que tiene nivel de anidamiento de bucles a lo sumo i

• F(LOOP

) es la clase de funciones calculadas por programas LOOP

• si una función pertenece a una clase, entonces

pertenece a todas las que están por encima de ella

F(LOOP

) ⊂ F(LOOP

) ⊂ F(LOOP

) ⊂ … ⊂ F(LOOP)

¿cómo son los programas escritos en LOOP0 y las funciones de F(LOOP0) ?