Unidad 1: ¿Que son las Finanzas?
Tema 1
Conceptos básicos de Finanzas
Las finanzas son una disciplina que estudia la forma en cómo las personas y empresas asignan sus recursos disponibles a lo largo del tiempo y bajo condiciones de incertidumbre, no se tiene la información disponible.
El término finanzas proviene del latín "finis", que significa acabar o terminar. Por lo tanto finanzas significa la finalización de una transacción económica con la transferencia de recursos financieros.
Son tres los pilares analíticos en los que se basa esta disciplina:
1 El concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y la Optimización en el tiempo, es decir, como distribuir de mejor manera los recursos a través de los distintos períodos de tiempo de manera de maximizar el consumo intertemporal.
2 La Valoración de Activos.
3 La Administración del Riesgo.
En base a estos tres pilares analíticos se encuentra la Teoría Financiera, es decir, el conjunto de principios y leyes que se aplican a todas las áreas de estudio de las finanzas.
Para darle más sentido a estos tres pilares nos adentraremos en brevedad a cada uno de estos en particular.
1. Valor del Dinero en el tiempo.
No es difícil darse cuenta que a lo largo del tiempo el valor de la mayoría de los activos se modifica, no es lo mismo tener 1 peso hoy que tener ese mismo 1 peso en 1 año más. Lo más seguro es que los activos que podía comprar con ese mismo peso ha variado. Esto se debe a que existen un sinfín de factores que pueden incidir en que haya variado el valor de ese peso, dentro de los cuales pueden influir la tasa de interés, la inflación, u cualquier otra variable macroeconómica que pueda haber incidido en que el valor de la moneda hay caído.
Sin embargo, lo anterior no reviste mayor interés para lo que nos interesa ver durante esta unidad, lo que si adquiere importancia es el hecho de que los individuos deben maximizar su consumo, optimizando los recursos disponibles a través de los períodos.
Para ver esto nos focalizaremos en la historia de Robinson Crusoe, en el cuento de este personaje es un solo agente que dispone de recursos limitados (los que pueda conseguir de acuerdo a sus medios, y los que dispone en la isla) por lo cual no existe posibilidad de intercambio, y lo que pueda consumir dependerá de lo que cultive en cada período, y solo podrá ahorrar aquellos bienes que no son perecibles.
A simple vista tal vez esta ecuación puede verse un poco engorrosa, pero lo que dice es que el consumo que realice hoy dependerá de los alimentos que pueda conseguir hoy, mas aquellos que pueda haber ahorrado tomando en consideración que solo puedo ahorra parte de los alimentos, aquellos no perecibles.
Un aspecto importante en esta economía es que el individuo no conoce lo que va a ocurrir en los próximos períodos, tal vez pase un huracán y destruya todos los cultivos con lo que la capacidad de ahorro se merma y el consumo para dicho período también.
Por lo tanto el hecho de que el individuo pueda ahorrar toma más fuerzas ante la
incertidumbre a la cual se enfrenta, bajo dicho escenario el individuo tenderá aa aplanar su consumo1 con el objetivo de que el consumo entre períodos sea similar.
En la siguiente figura se ve una línea de tiempo donde se tienen N períodos, donde el tiempo actual es T. La flecha verde muestra un shock en la economía, en el caso de nuestra pequeña economía puede ser algún cambio climático que desordene el estado actual, limitando las posibilidades de producción y ahorro.
T T + 1 T + 2 T + K N
En el caso de análisis expuesto, no existe la posibilidad de intercambio entre los agentes de la economía, ya que solo existe un individuo. Sin embargo este marco podría cambiar ante el ingreso de otro agente, que sería el caso de Viernes2. Este suceso permite que exista la posibilidad de intercambio entre las partes, facilitando el comercio. Bajo este nuevo escenario es posible que exista préstamo entre las partes entregando alimentos al otro agente por medio del compromiso que se devolverán en el futuro.
Otro tema importante en la economía de Robinson Crusoe, es que la capacidad de ahorro del individuo se ve mermada por la perecibilidad de los alimentos. Y esto puede ser un símil a lo que ocurre en los mercados, cuando no existe la tasa de interés. La tasa de interés es un vehículo que les permite a los agentes ahorrar como pedir prestado.
Sin embargo en nuestra economía de análisis aun queda al debe el tema del ahorro, y la existencia de una “tasa de interés”. Para que en la economía básica de Robinson Crusoe pueda existir ahorro es necesario que los bienes que posean se puedan guardar sin que se descompongan, y este sería el caso en donde los agentes posean
1 Como el individuo distribuya su consumo dependerá de las preferencias que tenga por consumo presente y futuro, si el individuo es muy ansioso el consumo en el primer período será mucho mayor al del segundo período.
2 Personaje del libro de Robinson Crusoe, es un hombre de raza negra que conoce un día viernes Robinson Crusoe.
algún tipo de nevera que les permita congelar la carne y los pescados de manera que puedan ser guardados para consumo futuro.
Con esta economía un tanto simplista y alejada en alguna medida de la realidad es que podemos darnos cuenta del valor de la tasa de interés en el mercado, y los beneficios que trae.
Con la existencia de mercados de capitales (presencia de tasa de interés), podemos ver a grandes rasgos como los individuos maximizan su consumo a través de los períodos. Para poder ver en mejor medida este punto, es que podemos plantear la siguiente restricción intertemporal.
Donde C1 es el consumo del período 1 y C2 es el consumo en el período 2 traído a valor presente. Mientras Y1 es el ingreso (en el caso de nuestra pequeña economía, seria los bienes que produce) y Y2 son los ingresos del período descontados a la tasa de interés, se descuenta a 1 + r porque es traído a un solo período.
El supuesto básico adoptado, es que los individuos solo viven dos períodos, el ahorro para el período 1 será igual a: Y1 – C1 = S1
Como dijimos anteriormente el individuo también puede pedir prestado, por lo tanto la ecuación anterior nos dice que si S1 es positivo el individuo ahorrará, mientras si S1 es negativo, el individuo desahorrará por lo que tendrá que necesariamente haber pedido un préstamo.
Para ver el proceso de maximización al cual se ven enfrentados los individuos es que analizaremos el siguiente gráfico
En el eje C1 se tiene la riqueza total del individuo en el período 1 (W1), mientras en el eje C2 se tiene la riqueza total del individuo en el período 2 (W2), cualquier punto por sobre esta restricción indicaría que los individuos piden prestado. Otro punto interesante que muestra este gráfico es que los individuos maximizan su utilidad sujeto a la restricción presupuestaría a la cual se ven enfrentados.
El grafico anterior no mostraba la existencia de mercados de capitales donde los individuos podían expandir su restricción mediante la inversión de sus recursos.
En el gráfico siguiente se puede ver que la restricción presupuestaría a la cual se enfrentan los individuos cambia cuando existen los mercados de capitales, esto es gracias al intercambio que se produce entre las partes que se ve reflejado en un desplazamiento de la riqueza de los individuos, la economía crece producto del intercambio.
Mediante el análisis de la economía de Robinson Crusoe, tuvimos 3 grandes hallazgos;
primero que el valor del dinero varía en el tiempo. Segundo, que la tasa de interés es relevante ya que facilita el intercambio entre los agentes. Y por último y no menos importante que las condiciones del entorno afectan las decisiones financieras de los agentes.
2. Valoración de Activos
Como vimos en el punto anterior el valor que tiene el dinero en el tiempo varía, es así como el valor que tenga un peso hoy es distinto de un peso mañana. Teniendo en cuenta este punto es que podemos adentrarnos de dos conceptos muy utilizados en finanzas, valor presente y valor futuro.
• Valor presente: El Valor Presente PV de un flujo CF que se recibirá en el futuro es el Valor Máximo que los inversionistas están dispuestos a pagar hoy por tener derecho a recibir ese flujo futuro.
Por lo tanto la formula de valor presente, es
De forma genérica podemos expresar la ecuación anterior como:
Esta ecuación nos dice que cada flujo se descontará de acuerdo al período que corresponda.
Además, la ecuación se conoce como factor de descuento.
El valor presente es muy utilizado para calcular el valor de proyectos que pagan flujos durante el año, y la manera como se calcula es muy simple. De la corriente de flujos futuros se traen a valor presente cada uno de los flujos y se suma, con lo cual se obtiene la suma de valores presentes de los flujos.
Para el cálculo, cada flujo futuro F se descuenta a la tasa de descuento r Con lo que se obtiene lo siguiente:
Valor Presente de la Corriente de Flujos:
VP total = VP (F1) + VP (F2) + VP (F3)+ …. +VP(Fn) =
• Valor futuro: Bajo la existencia de mercado de capitales, al depositar un monto C en el banco el valor de monto al cabo de un año será igual al monto más los intereses recaudados al cabo del año, es decir VF= C + r.
Bajo estas condiciones un concepto de suma importancia es el del costo de oportunidad. Ya que para el inversionista el hecho de guardar la plata en el banco tiene asociado un costo de oportunidad, que es el mejor uso alternativo de este. En este caso, podría ser la rentabilidad que podría generar un proyecto con inversión inicial igual a C.
El valor futuro permite ver cuál será el valor de un activo en un determinado periodo de tiempo. Y al igual que en el caso anterior, podemos expresar una ecuación genérica.
3. Administración de Riesgo
Utilizamos las palabras riesgo e incertidumbre como sinónimos para caracterizar un evento cuyo resultado es variable y, por lo tanto, desconocido de antemano. No obstante, existe una diferencia sutil, pero importante, entre ambos términos. Un evento es incierto cuando no es posible determinar los resultados que se pueden originar a partir de él, y tampoco es posible estimar la probabilidad con que estos resultados podrían ocurrir. Por otro lado, un evento es riesgoso cuando su resultado final está sujeto a variaciones, no obstante, se pueden estimar los posibles resultados y asignar a cada uno de ellos una determinada probabilidad de ocurrencia.
En síntesis, cuando existe incertidumbre o riesgo, en ambos casos no se conocen con exactitud los futuros resultados de un evento determinado. Sin embargo, en el segundo caso es posible hacer una estimación de esos resultados y asignar a cada uno de ellos una probabilidad de ocurrencia, lo que permite identificar el resultado esperado o el resultado más probable.
A continuación se presentan y analizan diferentes medidas de riesgo, las cuales son ampliamente utilizadas en la evaluación de activos financieros.
Si analizamos un activo cualquiera, su riesgo puede visualizarse como la variabilidad que presenta su rentabilidad a lo largo del tiempo. Luego, si se asume que la variabilidad es sinónimo de riesgo, podríamos medir la primera para, de esta forma, contar con una estimación del riesgo asociado a la inversión.
Existen dos medidas estadísticas típicas para medir la variabilidad de una serie de retornos históricos: la varianza (σ2) y la desviación estándar (σ). La primera de estas medidas se define como el valor esperado del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto a la rentabilidad esperada, y su fórmula de cálculo es la siguiente:
Varianza [Rj] = σ2j = E[ Rj - E(Rj) ]2
donde Rj es el retorno del activo j; E[Rj] es la rentabilidad esperada del activo j; y n es el número de observaciones.
Las medidas de riesgo como la varianza y las desviación estándar permiten generar una cartera de inversiones donde se optimice por medio del retorno asociado a los títulos.
Uno de los autores más destacados en la administración de Riesgo es Harry Markowitz, con su teoría de carteras. Harry Markowitz, en su trabajo artículo “ Portfolio Selecion “ aparecido en el Journal of Finance en 1952, nos entrega un modelo formal para resolver las decisiones en administración de riesgo.
El modelo utiliza la distribución de probabilidad del rendimiento de una cartera para cuantificar el compromiso entre el riesgo y el rendimiento esperado. El rendimiento esperado se identifica como la media de la distribución y su riesgo como la desviación estándar s.
La teoría de H. Markowitz propone buscar primero aquellas carteras o títulos que proporcionan el mayor rendimiento para un riesgo dado y al mismo tiempo determinar cuales son las carteras que soportan el mínimo riesgo para un rendimiento conocido: a estas carteras se les denomina “carteras eficientes”.
Para determinar el conjunto de carteras eficientes se debe resolver cualquiera de los siguientes problemas:
Al hacer esta operatoria se obtiene el siguiente gráfico
Donde rho igual a menos 1 nos dice que los activos de la cartera están negativamente correlacionados, rho igual a 1 nos dice que los activos están positivamente correlacionados, mientras rho igual a menos un medio nos da cierta relación de correlación de los activos.
Entonces para construir un portfolio diversificado, más que preocuparnos por el número de activos, debemos centrar la atención sobre qué acciones debe comprar el inversionista. Un inversionista hábil y calificado puede ser capaz de construir un portfolio diversificado con aproximadamente 20 activos, asumiendo que los eligió cuidadosamente a través de un amplio rango de industrias, países, capitalizaciones de mercado y tipos de instrumentos. Un inversor menos hábil y calificado podría mantener un portfolio compuesto por cientos de activos y aún así no lograr diversificar su riesgo.
Debido a que es difícil y costoso lograr la diversificación manteniendo activos individuales, Ibbotson recomienda invertir entre 8 y 10 fondos mutuos, y mantener una parte del fondo de inversión en efectivo. El beneficio de la diversificación adicional que se logra al mantener más de 10 fondos es relativamente pequeño.
En resumen, el riesgo de un portfolio diversificado depende del riesgo de mercado de los títulos que lo conforman, por lo que será importante analizar la contribución adicional que cada título hace al riesgo del portfolio de inversión.
Tema 2
Matemáticas Financieras
En el área de finanzas las formulas matemáticas son de gran utilidad, es por esto que es importante ver en detalle cada una de estas fórmulas y saber sus aplicaciones.
Para empezar vamos a ilustrar las formulas más comunes y mayormente utilizadas en el día cotidiano.
• Interés simple: es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial.
Esta fórmula nos dice que el activo se compondrá de la siguiente manera.
Donde r es la tasa de interés y T es el tiempo por el cual al el capital estuvo invertido.
Mediante la siguiente línea de tiempo se puede apreciar la composición, la cual se genera al final del período.
• Interés compuesto: es el que se obtiene cuando al capital invertido se le suman periódicamente3 los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo.
Esta fórmula se deriva de la siguiente operatoria:
3 Los períodos pueden ser semanales, mensuales o anuales. La diferencia de la composición radica en la tasa correspondiente a cada tipo de período.
Por lo que la generalización de los períodos nos lleva a la fórmula planteada.
En el siguiente gráfico se ve la composición compuesta, en el ejemplo propuesto se ve una composición trimestral.
• Valor presente:la suma que se recibirá en una fecha futura es aquel capital que a una tasa dada alcanzará en el período de tiempo, contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la fecha convenida.
La formula general para valor presente es:
Fn es el flujo recibido en cada período y se descuenta a la tasa (1 + r) correspondiente a cada período.
• Valor futuro: es el valor que se obtendrá a una tasa de reinversión establecida, con el objeto de llegar a conocer cuál será la utilidad extra que genera un proyecto al reinvertir los beneficios netos anuales
La formula general para valor futuro es:
• Perpetuidad: es el valor que adquiere los flujos cuando se capitaliza continuamente por T períodos. Esto quiere decir que el flujo se está componiendo en cada período del tiempo.
La formula de valor a perpetuidad tiene una nueva variable que no habíamos visto que es , esta es la variable matemática exponencial y es una constante que es aproximadamente 2,718.
• Perpetuidad creciente: al igual que en el punto anterior esta es una capitalización continua de flujo, pero estos crecen a una tasa g.
• Anualidad: es una corriente de flujos de caja constantes por un plazo fijo.
Donde A es el valor de los pagos individuales en cada periodo de pago.
• Anualidad creciente: es una corriente de flujos de caja creciente por un plazo fijo.
Para el mejor desarrollo de estas formulas es recomendable hacer los ejercicios propuestos al final de la unidad.
Tema 3
Teoría de Riesgo
1. Introducción
Utilizamos las palabras riesgo e incertidumbre como sinónimos para caracterizar un evento cuyo resultado es variable y, por lo tanto, desconocido de antemano. No obstante, existe una diferencia sutil, pero importante, entre ambos términos. Un evento es incierto cuando no es posible determinar los resultados que se pueden originar a partir de él, y tampoco es posible estimar la probabilidad con que estos resultados podrían ocurrir. Por otro lado, un evento es riesgoso cuando su resultado final está sujeto a variaciones, no obstante, se pueden estimar los posibles resultados y asignar a cada uno de ellos una determinada probabilidad de ocurrencia.
En síntesis, cuando existe incertidumbre o riesgo, en ambos casos no se conocen con exactitud los futuros resultados de un evento determinado. Sin embargo, en el segundo caso es posible hacer una estimación de esos resultados y asignar a cada uno de ellos una probabilidad de ocurrencia, lo que permite identificar el resultado esperado o el resultado más probable.
La razón por la cual resulta interesante el estudio de la Teoría del Riesgo es que, al momento de tomar una decisión de inversión, inevitablemente debemos hacer comparaciones: al momento de estimar cuánto vale un activo, se debe buscar una alternativa de inversión comparable que sirva como parámetro de referencia en la evaluación. Pero, ¿comparable en qué sentido? Principalmente en un aspecto: el riesgo.
2. Aversión al Riesgo
Teorema de von-Neumann-Morgenstern: Demuestra que utilidades esperadas mayores representan situaciones más deseables. Por tanto, la utilidad esperada es una representación razonable de las preferencias de los individuos bajo condiciones de
incertidumbre. En otras palabras, las decisiones de un individuo bajo incertidumbres pueden modelizarse como el resultado de maximizar la utilidad esperada.
Bajo el teorema de Von-Neumann-Morgensten es que el tema de la aversión al riesgo resulta relevante. Se entenderá por aversión al riesgo la disposición a pagar por aminorar la exposición al riesgo, una persona mas aversa al riesgo tendrá menos tolerancia a enfrentar una situación de incertidumbre.
Así, cuando se evalúa el equilibrio entre los costos en que se incurre para aminorar el riesgo y los beneficios que se obtiene por aminorarlo, los aversos al riesgo elegirán siempre la opción que tenga el menor riesgo para un mismo coste de aminoración de riesgo entre distintas alternativas riesgosas.
La intuición de este concepto tiene relación con que la utilidad marginal del ingreso es decreciente, si se lanza una moneda de 100 pesos, se puede ganar o perder solo 100, por lo que probablemente la utilidad total no cambie mucho. Sin embargo, si se lanza la moneda por 1000 veces, el bienestar que se puede perder podría superar al bienestar que se puede ganar. Por lo que en juegos repetidos, un agente averso al riesgo no estaría dispuesto a jugar.
Para ilustrar de mejor manera esta idea, es que vamos a ver el siguiente gráfico.
Lo que nos dice el gráfico, es que la utilidad para un averso el riesgo de jugar un juego es menor que no jugar ese juego, esto se debe a que el agente no le gusta exponerse
al riesgo, por lo que estaría dispuesto a pagar por no jugar.
Otro punto importante del gráfico anterior, es el tema del Equivalente Cierto (E.C). El E.C. es el monto de riqueza segura que entrega la misma utilidad que una determinada lotería.
3. Medición de aversión al riesgo
La medida más utilizada para medir la aversión al riesgo, es la medida a aversión de Arrow-Pratt.
• Aversión absoluta al riesgo:
Donde u(w) es la función de utilidad sobre la riqueza, w. Y u´(w) es la primera derivada de la función de utilidad con respecto a la riqueza, mientras que u´´(w) es la segunda derivada.
• Aversión relativa al riesgo:
En ambas medidas si la ecuación es mayor a cero, el individuo es averso al riesgo. Si es igual a cero es neutro al riesgo, mientras que si es menor a cero es amante al riesgo. Esto último es porque los individuos amantes al riesgo, les trae beneficios jugar y de hecho están dispuestos a pagar por jugar.
4. Medidas de Riesgo
Si analizamos un activo cualquiera, su riesgo estará asociado a una medida de dispersión de sus flujos a lo largo de un período de tiempo. Existen dos medidas estadísticas generalmente utilizadas, que son la varianza y la desviación estándar.
• La varianza se define como la esperanza de las distancias entre las observaciones y el valor observado elevadas al cuadrado.
También se puede escribir como Propiedades de la varianza
( )
2( )
Y X
V Y V X α β
β
= +
=
• La desviación estándar, se define como la raíz cuadrada de la varianza
Así, la desviación estándar permite conservar la unidad de medida de los datos con los que estamos trabajando. En consecuencia, si estamos trabajando con rentabilidades, la desviación estándar estará expresada en términos de retornos; y si estamos trabajando con dólares, la desviación estándar estará expresada en unidades monetarias, facilitando así su interpretación y su comprensión. No olvide que, a pesar de lo engorroso que puede resultar la fórmula de cálculo de la varianza y de la desviación estándar, la interpretación de estos estadísticos es simple: ambas son medidas de la variabilidad histórica de una serie de retornos y, por lo tanto, son medidas de riesgo.
Es importante tener presente que la varianza no mide el riesgo de una serie, sino que su variabilidad histórica. Por ello, cuando esta variabilidad es comprendida y se logra desarrollar la capacidad predictiva, entonces se hace posible eliminar el riesgo, al menos parcialmente. Así, existen series que, a pesar de fluctuar, no son riesgosas, ya que sus variaciones futuras pueden ser pronosticadas. No obstante, el supuesto que existe detrás del cálculo de la varianza es que no se tiene capacidad predictiva, es decir, se asume que el mercado es incapaz de predecir los eventos futuros, por lo que la varianza plantea que si existe variabilidad, entonces también existe riesgo.
Ahora podemos establecer la relación existente entre riesgo y desviación estándar.
Cabe señalar que tanto la varianza como la desviación estándar reconocen la
incapacidad predictiva. Además, el uso de estas medidas todavía es acertado, ya que actualmente el aporte de los modelos de proyección es relativamente pequeño.
• La covarianza, mide el grado de asociación existente entre dos variables. Una covarianza positiva indica que si una variable experimenta un alza, entonces la otra también se incrementará, en mayor, igual o menor proporción. Por otro lado, una covarianza negativa señala que si una variable experimenta un alza, entonces la otra disminuirá, en mayor, igual o menor proporción.
Además existe otro medida de asociación de variables que es la correlación
• La correlación, mide lo mismo que la covarianza pero tiene la propiedad de estar estandarizado, lo que facilita su comparación e interpretación.
Todas las anteriores medidas de riesgo nos son útiles para tomar decisiones con respecto a la mejor manera de diversificar las carteras de inversión. Se puede llevar a cabo una diversificación del riesgo cuando se toman riesgos cuyos resultados positivos o negativos están inversamente correlacionados.
Sin embargo, aunque se añadan todas las acciones del mercado al portfolio de inversión, no es posible eliminar por completo las fluctuaciones que afectan su rendimiento. Aquella porción de riesgo que puede eliminarse mediante el proceso de diversificación se conoce como riesgo único, propio o diversificable, mientras que aquella porción de riesgo que no se puede eliminar recibe el nombre de riesgo sistemático o riesgo de mercado
Riesgo total, riesgo diversificable y riesgo de mercado.
Tema 4
Riesgo y Retorno, Teoría de Carteras
Los administradores de fondos de inversión deben decidir en qué invertir el dinero de las personas que ahorran en el sistema, así como también deben decidir en qué activos deben desinvertir. El conjunto de activos en los cuales los administradores han decidido invertir recibe el nombre de cartera o portfolio de inversión. Estos portfolios de inversión deben ser conformados y luego administrados, para que la rentabilidad y el riesgo de éstos se adecuen a las expectativas de riesgo-retorno de los inversionistas.
En aquellos períodos en que el mercado registra una alta volatilidad, las decisiones de compra-venta de activos deben ser tomadas con mucho cuidado, a fin de aprovechar las oportunidades de ganancia y/o acotar el potencial de pérdidas. En este contexto, resulta útil contar con modelos y herramientas de análisis que guíen las decisiones de inversión, especialmente en aquellos momentos en que la volatilidad de los mercados financieros es tan elevada que se hace difícil confiar en la intuición. En términos más específicos, el problema al cual nos enfrentamos al formar un portfolio de inversión consiste en encontrar la composición óptima de activos que entregue la mayor rentabilidad esperada para un determinado nivel de riesgo.
1. Teoría de carteras de Harry Markowitz
Para conformar una cartera de inversión es necesario encontrar la composición óptima de títulos que nos entreguen el menor riesgo para un máximo retorno. Se debe resolver cuales son los títulos a considerar y cuanto de cada título comprar. Como vimos en el capítulo anterior las medidas de riesgo de la cartera, son la varianza o la desviación estándar de los retornos. Por lo que maximización de los retornos de la cartera estará asociado a un riesgo dado.
Entonces la teoría de H. Markowitz propone buscar primero aquellas carteras o títulos que proporcionan el mayor rendimiento para un riesgo dado y al mismo tiempo determinar cuales son las carteras que soportan el mínimo riesgo para un rendimiento conocido, a estas carteras las denomina “carteras eficientes”.
Para determinar el conjunto de carteras eficientes se debe resolver cualquiera de los siguientes problemas:
O sea el administrador debe minimizar la varianza de la cartera sujeta a un retorno dado, o maximiza el retorno sujeto a un nivel de riesgo dado.
La solución a cualquiera de los dos problemas da como resultado una curva convexa que recibe el nombre de Frontera Eficiente
Las carteras A,B y C son eficientes puesto que entregan un mínimo riesgo para un retorno dado. La cartera D no es eficiente ya que entrega un retorno E(Rp2) menor que el de B para un mismo nivel de riesgo s1. El trazo ABC de la figura se denomina Frontera Eficiente.
La elección óptima entre riesgo y retorno dependerá de las preferencias del inversionista, las que pueden graficarse por medio de curvas de indiferencia. Su forma dependerá de las preferencias de cada individuo.
Para esto podemos ver las curvas de indiferencia de los individuos, que reflejan las combinaciones de bienes que le entregan igual utilidad al individuo.
En el grafico anterior las curvas reflejan lo siguiente:
I1:Individuo adverso al riesgo I2:Individuo indiferente al riesgo I3: Individuo propenso al riesgo
Para que podamos ver de mejor manera el análisis de la cartera eficiente es que revisaremos unos tópicos básicos de economía.
1.1. Función de Utilidad
Partiremos por ver el tema de la función de utilidad.
Decimos que Una función es una función de utilidad que representa la relación de preferencias, si para todo x0, x1 que pertenece
u(x0) ≥ u(x1), x0 es preferido ax1. E(Rp)
σσσσ(Rp)
I1
I3
I2
Por lo tanto, la función de utilidad no hace más que ordenar las canastas de bienes de acuerdo a las preferencias. Mientras más preferida sea una canasta, mayor será el número que la función le asignará.
Ahora bien, el número que u le asigne a x no tiene ningún valor conceptual. Lo relevante es que la función de utilidad ordena las canastas asociando a ellas números reales, los cuales sólo tienen sentido al ser comparados entre sí. Entonces, diremos que la función de utilidad es de carácter ordinal.
1.2. Utilidad Marginal
La utilidad marginal es un concepto de cuanto es la satisfacción que entrega el consumir una unidad adicional de un bien x.
Si la función de utilidad es derivable, podemos definir la función de utilidad del bien i como:
A partir de lo anterior podemos definir los siguientes conceptos:
• Si , es un bien económico
• Si , es un mal económico
1.3. Curvas de Indiferencia
En un mundo de dos bienes, una curva de indiferencia es una curva de nivel de u(x1, x2), es decir, una función en el plano (x1, x2) descrita por:
x2 = f(x1) tal que u(x1, f(x1)) = constante.
En otras palabras, una curva de indiferencia está conformada por todas las combinaciones de x1 y x2 que permiten alcanzar un mismo nivel de utilidad.
Propiedades de las curvas de indiferencia:
1. Las curvas no se pueden cortar.
2. Si la curva es estrictamente monotónica, tienen pendiente menor o igual a cero. Por ejemplo si tuviéramos una curva de indiferencia con pendiente positiva entonces estaríamos violando el axioma de monotonicidad estricta porque dentro de la misma curva de indiferencia habrían canastas con más de todos los bienes, lo que implicaría que más es tan preferido como menos.
3. Por cada punto del plano (x1, x2) pasa una curva de indiferencia.
4. Son (estrictamente) convexas si y sólo si u es (estrictamente) cuasicóncava.
1.4. Tasa Marginal de Sustitución (TMS)
La tasa marginal de sustitución entre xi y xj muestra el número de unidades del bien j que un consumidor estaría dispuesto a entregar por una unidad del bien i, manteniendo el mismo nivel de utilidad.
Del párrafo anterior podemos decir que la TMS entre dos bienes es la valoración marginal. Para obtener la TMS entre los bienes, es necesario diferenciar la utilidad.
Para obtener la tasa marginal de sustitución entre los bienes x1 y x2, dejaremos constante tanto el nivel de utilidad (du = 0), como las cantidades de los otros bienes (dx3 = dx4 =· · · = dxn = 0) y obtenemos
Reordenando los términos de la ecuación anterior, tenemos que la TMS entre el bien 1 y el 2 será:
2. Determinación de la cartera óptima
Si se superpone la frontera eficiente con las curvas de indiferencia del inversionista se obtendrá la cartera óptima del mismo. La elección óptima se determina por la condición de tangencia: TMSE(Ri),s=TMT E(Ri),s
Done la TMT representa la tasa marginal de transformación, que en el contexto económico presenta cuanto se debe sacrificar de un producto X para generar una unidad mas del producto Y. En el contexto del gráfico anterior muestra la sustitución entre distintas carteras, muestra cuanto debo sacrificar de riesgo por aumentar en una unidad mas el retorno o viceversa, dependiendo de lo que se quiera maximizar.
El gráfico anterior muestra la tangencia entre las preferencias del individuo y las carteras que tiene a su disposición, el punto señalado por la flecha es el óptimo para el individuo que estamos analizando.
2.1 Portfolio eficiente con un activo libre de riesgo
El desarrollo anterior sólo involucró activos riesgosos. Ahora se llevará a cabo un análisis donde se realizan inversiones en carteras de un mundo formado por un activo libre de riesgo y una gran cantidad de activos riesgosos.
E(Rp)
σσσσ(Rp)
I1
TMSE(Ri)σσσσi = TMTE(Ri)σσσσi
Bajo este nuevo escenario el rendimiento esperado de un portfolio y su varianza quedan expresados como:
E(Rp) = (1-x)Rf + Ra VAR(Rp) = X2VARa donde:
x: proporción invertida en cartera a (1-x): proporción invertida en Rf
Ra: rendimiento esperado de la cartera a Rf: activo libre de riesgo
Veamos el siguiente gráfico que nos servirá de ilustración.
El inversionista 2 invierte parte de su presupuesto en Rf y otra parte en la cartera B, lo que da como resultado la cartera B’.
El inversionista 1 invierte en la cartera 2, la que tiene el mismo riesgo que B’, pero proporciona menor retorno. Es decir, la cartera B’ es preferible a la A.
E(Rp)
σσσσ(Rp)
Rf A
B B’
E(RA) E(RB’)
σσσσ(RA)=σσσσ(RB’)
I1
I2
2.2 Línea de Mercado de Capitales
La combinación de carteras eficientes de títulos riesgosos y el activo libre de riesgo, genera el conjunto eficiente de todos los títulos.
Entonces bajo expectativas homogéneas los inversionistas identificarán a la cartera M como la mejor de todas. Invertirán parte de su presupuesto en M y el resto en activos sin riesgo.
Los inversionistas elegirán una cartera dependiendo de su grado de aversión al riesgo.
A la izquierda de M: se ubicarán los agentes que busquen menor riesgo y prestarán al tipo Rf (B). A la derecha de M: desean mayor rentabilidad y pedirán prestado al tipo Rf (Z). La línea recta RfMZ se denomina Línea del mercado de capitales.
E(Rp)
σσσσ(Rp)
Rf
M
E(Rp)
σσσσ(Rp)
Rf
M Z
B
La ecuación de la curva de mercado de Capitales (CML) se define como:
Donde r es igual
que es la pendiente de la curva
Si sustituimos r en la ecuación original:
que es la ecuación que estábamos buscando.
Ejercicios Tema 2
Matemáticas Financieras
Ejercicios de Interés Simple y Compuesto
1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25. 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Resolución:
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I = 25 000·0,06·4 = 6 000 = C·i·t
El interés es de 6 000 peso
2. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en
concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Resolución:
El saldo medio ha sido de 48 500 pesos.
3. Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos.
¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Resolución:
Los intereses han ascendido a:
22 400 - 20 000 = 2 400 pesos Aplicando la fórmula I = C · i · t
La tasa de interés es del 12 %.
4. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Resolución:
Aplicando la fórmula I = C · i · t
12 000 = 300 000 =: 0,08 · t
El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.
5. Considere una deuda al 12% anual por un monto de 1.000 UF, a ser pagada en tres años. ¿Cuál es el valor que habría que pagar?
• Con interés simple:
– Por concepto de devolución de capital, 1.000 UF
– Por concepto de pago de intereses, 3 x 0,12 x 1.000=360 UF – Total: 1.360 UF.
• Con interés compuesto:
– Deuda acumulada año 1: 1.000 (1+0,12) = 1.120 UF – Deuda acumulada año 2: 1.120 (1+0,12) = 1.254 UF – Deuda acumulada año 3: 1.254 (1+0,12) = 1.405 UF
– Método rápido: 1.000 (1+0,12)3 = 1.405 UF Ejercicios de Valor presente y valor futuro
1. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente :
$14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?
Solución: 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78
2. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años.
a. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
Solución: VP = 53.680.651,19
b. Se estima que al agotarse la mina habrá actives recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.
Solución: 694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03
3. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
Solución: VF =46.204,09
4. Deposito 200 semanales empezando dentro de una semana al 38%
capitalizable mensualmente. Cuanto tendrá en 6 semanas. Obtener tasa equivalente cap. Semanalmente.
Solución: VF = 1221.8674
Tema 3
Teoría del Riesgo
1. ¿Cómo se define el riesgo?
Solución: El riesgo se entiende intuitivamente, como la probabilidad de perder. En el caso de un activo cualquiera, su riesgo puede visualizarse como la variabilidad que presentan sus flujos a lo largo del tiempo.
2. ¿Cómo se mide el riesgo?
Solución: Existen dos médidas estadísticas típicas. La varianza y la desviación estándar.
Donde la primera se define como:
Mientras que la desviación estándar es:
3. ¿Qué se entiende por riesgo único?
Solución: Es aquella porción de riesgo que puede eliminarse mediante diversificación.
Se conoce también como riesgo propio o diversificable.
4. ¿Qué se entiendo por riesgo sistemático?
Solución: El riesgo sistemático o de mercado es aquella porción del riesgo que no puede ser eliminado mediante la diversificación.
Tema 4
Riesgo-Retorno, Carteras Eficientes
1. ¿Qué se entiende por carteras eficientes?
Solución: Son todos aquellas carteras que proporcionan el mayor rendimiento para un riesgo dado o que soportan el riesgo mínimo para un rendimiento conocido.
2. ¿Qué es la Frontera eficiente?
Solución: Es el conjunto de carteras eficientes, es decir, en ella se encuentran todas las carteras que proporcionan el máximo rendimiento con un riesgo mínimo.
3. ¿Cuáles son las actitudes que puede adoptar un inversionista frente al riesgo?
Solución:
• Averso al riesgo: el inversionista acepta una unida más de riesgo adicional si obtiene rendimientos marginales cada vez más grandes.
• Neutro al riesgo: por cada unidad de riesgo adicional hay que prometerle el mismo rendimiento marginal.
• Amante al riesgo: por un mínimo de rendimiento adicional está dispuesto a correr cada vez mayores riesgos.
4. ¿Por qué se dice que el mercado sólo premia el riesgo sistemático?
Solución: El mercado solo premia el riesgo sistemático porque el riesgo diversificable o específico puede eliminarse por medio de una diversificación sin costo, es decir, combinando un alto número de activos dentro de una cartera para que sus términos independientes de error se anulen entres sí.
