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Operaciones con matrices

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Academic year: 2022

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(1)

Objetivos:

• Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas.

Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones.

Introducción:

30 minutos.

Tiempo aproximado de estudio:

Operaciones con matrices

(2)

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas Las operaciones

matriciales básicas son

(3)

Dada una matriz de tamaño m x n, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

a

11

a

12

… a

1n

a

21

a

22

… a

2n

. . . . a

m1

a

m2

… a

mn

A=

a

11

a

12

… a

1m

a

21

a

22

… a

2m

. . . . a

n1

a

n2

… a

mn

At =

Trasposición de matrices

(4)

1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.

2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A. a (At)t = A.

La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At.

Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Propiedades de la trasposición de matrices

El procedimiento para su obtención es:

(5)

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, dan otra matriz.

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij).

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

1 1/2 - 4 0

3 1/4 0 -2

+

1+3 = 4 ½ + ¼ = ¾

-4 -2

=

A B A + B

Se suman estos dos Ejemplo

(6)

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

1 1/2 - 4 0

A

1/4

+

-2

B

= NO ES POSIBLE SUMARLAS

Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la misma dimensión.

Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.

(7)

I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C II. Conmutativa: A + B = B + A

III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:

V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Propiedades de la suma y adición de matrices

VI. Si A + C = B + C  A = B

VII. Si kA = kB  A = B si k es distinto de 0 VIII. Si Ka = hA H = K SI a es distinto de 0

(8)

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A+ B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

1 2 3 4 5 6

A=

1 4 2 5 3 6

At = Se invierte su posición Ejemplo

(9)

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

(k)(a) = (k)(aij) = k = = (kaij)

ka

11

ka

12

ka

13

ka

21

ka

22

ka

23

ka

31

ka

32

ka

33

Producto de un número por una matriz

(10)

1 0 -1 2 1/4 9 -5 -4 5/7

(3) = =

(3)(1) (3)(0) (3)(-1) (3)(2) (3)(1/4) (3)(9) (3)(-5) (3)(-4) (3)(5/7)

3 0 -3

6 1/4 27 -15 -12 15/7

Se multiplica cada uno por 3

Ejemplo

(11)

I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA III. Elemento neutro: 1 · A = A

IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Propiedades de la multiplicación de un número por una matriz

(12)

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas).

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.

Pij = aik · bkj con k=1,….n

Producto de matrices

(13)

   

   

   

4 7 9 -2

A = , B =

3 5 6 8

   

   

   

(4)(9) + (7)(6) (4 ) (-2) + (7)(8) 78 48

AB = =

(3) (9) + (5)(6) (3) (-2) + (5)(6) 57 34

1. Se multiplica cada uno

2. Se suman después

Ejemplo

(14)

 

 

 

 

   

 

 

5 8 -4 -3

A = 1 0 , B =

2 0 2 7

   

   

   

   

   

5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0 -4 -15 AB = 1 x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0 = -4 -3 2 x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0 6 -6

Ejemplo

(15)

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(a

ij

)

m,n

(b

ij

)

n,p

=

Posible

filas

columnas

(c

ij

)

m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

(16)

Propiedades del producto de matrices

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que:

A . (B . C) = (A . B) . C

II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

(17)

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r.

Tenemos que:

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p.

Se cumple que:

(A + B) . C = A . C + B . C Propiedad distributiva

(18)

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ... . A

An = A … A = A  A n-1 = = n- veces

1 1 0 1

1 n-1 0 1

1 n

0 1

(19)

1 1 0 1

A =

1 1 0 1

A2 =

1 1

0 1

A2 =A A =

1 1

0 1

1 2 0 1

A2 =

Ejemplo

(20)

Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en:

http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166 Referencias Bibliográficas

Referencias

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