Simulación dinámica de los trasformadores

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(1)Titulo : “Simulacion Dinamica de los Trasformadores”. Autor : Dianelis Aberu Almeida Tutor: Ing . Arian Ramos Martinez Santa Clara. 2010 “Ano 52 de al Revolucion ”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética TRABAJO DE DIPLOMA Título: Simulacion Dinamica de Transformadores Autor: Dianelis Abreu Alemida E-mail: [email protected] Tutor: Ing .Arian Ramos Martinez E-mail: [email protected] Dpto. de Eléctroenergética Facultad de Ing. Eléctrica. UCLV. Santa Clara 2010 "Año 52 de la Revolución".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Eléctrica autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. __________________ Firma del Autor. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. _____________________ Firma del Tutor. _____________________ Firma del Jefe de Dpto donde se defiende el trabajo. _____________________ Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) Pensamiento. “Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado .Un esfuerzo total es una victoria completa.” Mahatma Gandhi.

(5) Dedicatoria. Este Trabajo de diploma pone fin a seis años de estudio y sacrificio en la especilidad Ingenieria Electrica y va dedicado especilmente a mis padres , por el amor y apoyo que siempre me han brindado.

(6) Agradecimiento. A mis padre y familia , a mi tutor por su apoyo incondicional en la elaboracion del trabajo, a todos los profesores por ensennarme de una forma a ser un buen profesional , al Cento de Capacitacion de Etecsa , a todos mis amigos que de una forma u otra han colaborado , a todos ustedes Muchas Gracias.

(7) Tarea Técnica.. Trabajo de diploma: Título a desarrollar por el diplomante: “Simulación dinámica de transformadores”. 1. Búsqueda, organización y análisis de la información sobre modelos dinámicos con énfasis en transformadores. 2. Implementación de modelos dinámicos de transformadores, para diferentes. estados. de. operación,. empleando. las. herramientas. disponibles en el Simulink del Matlab. 3. Búsqueda de parámetros reales de diferentes transformadores y efectuar simulaciones de los ficheros confeccionados con dichos parámetros. 4. Escritura del Trabajo..

(8) Resumen Este trabajo aborda la teoría y aspectos generales de los transformadores. Su objetivo general es la confección e implementación de diferentes modelos dinámicos en el Simulink, que no es más que un paquete de programas, para realizar análisis virtuales en MATLAB, capaces de simular los diferentes estados de operación de los transformadores, para contribuir a ampliar el material docente e investigativo utilizado por los estudiantes de 3er año de la carrera de Ingeniería Eléctrica y como apoyo a la disciplina de Máquinas Eléctricas en el nuevo plan de estudio..

(9) Indice . Introducción........................................................................................................... Capitulo. 1.. Transformadores. Monofásicos………………………………………………….. I.1Introducción…………………………………………………………………………… 1.2. Constitución y clasificación……………………………………………………….. 1.3. El transformador ideal…………………………………………………………….. 1.4. El transformador real……………………………………………………………… 1.4.1 La relación de tensión a través de un transformador………………………... 1.4.2 Corriente de magnetización……………………………………………………. 1.5. Circuitos equivalentes……………………………………………………………… 1.6. Transformadores trifásicos………………………………………………………. 1.6.1 Introducción……………………………………………………………………… 1.6.2 Constitución……………………………………………………………………… 1.6.3 Grupos de conexión……………………………………………………………. 1.6.4 Trabajo en paralelo……………………………………………………………. 1.6.5 Transformadores de protección, de medida y autotransformadores……… Capitulo 2……………………………………………………………………………….. 2.1. Introducción……………………………………………………………………….. 2.2. Transformador ideal……………………………………………………………… 2.3. Modelo de un transformador de dos devanados………………………………. 2.3.1 Ecuaciones del flujo magnético…………………………………………………...

(10) 2.4. Modelo del transformador de dos devanados…………………………………… 2.5. Ecuación de voltaje…………………………………………………………………. 2.6. Representación del cirquito equivalente………………………………………… 2.7. Simulación de un transformador de dos devanados…………………………… 2.8. Condiciones terminales……………………………………………………………. 2.9. Representación del cirquito equivalente…………………………………………. 2.10. Simulación de un transformador de dos devanados…………………………... 2.11. Condiciones terminales…………………………………………………………… 2.12. Incorporación de la saturación magnética en la simulación………………….. 2.13. Conexiones trifásicas……………………………………………………………... 2.13.1. Conexión estrella – estrella……………………………………………………. 2.13.2. Conexión delta - estrella………………………………………………………...

(11) Introducción Con los cambios de planes de estudios, los hoars clases presenciales en la ahora llamada signatura transformadores se reducen, dando al estudiante más horas de estudio individual. En la actualidad la disciplina de Máquinas Eléctricas cuenta con muy poco material docente para realizar análisis virtuales en MATLAB, es por esto que desde el curso pasado se viene trabajando en la confección de modelos dinámico de las diferentes máquinas eléctricas. Por estas razones nos planteamos la siguiente situación problémica: ¿Cómo contribuir a ampliar el material docente utilizado por los estudiantes de 3er año de la carrera de Ingeniería Eléctrica en los temas de transformadores con la confección de diferentes modelos dinámicos en MATLAB? Para dar respuesta a este problema de investigación se lleva a cabo este trabajo de diploma que tiene como objetivo general el siguiente: Confeccionar en MATLAB diferentes modelos dinámicos capaces de simular los diferentes estados de operación de transformadores. Para cumplir dicho objetivo general se definió un conjunto de objetivos específicos, estos son: 1. Búsqueda, organización y análisis de la información sobre modelos dinámicos con énfasis en los transformadores. 2. Autopreparación en MATLAB y en especial el SimPower System Tool Box del Simulink. 3. Implementación de modelos dinámicos de transformadores, para diferentes estados de operación, empleando las herramientas disponibles en el MATLAB Simulink..

(12) 4. Búsqueda de parámetros reales de diferentes tipos de transformadores y efectuar. simulaciones. de. los. ficheros. confeccionados. con. dichos. parámetros. 5. Escritura del Trabajo. En general el trabajo consistió en confeccionar en MATLAB de cuatro proyectos, los cuales brindan la posibilidad de hacer un análisis dinámico de los transformadores, bajo diferentes estados de operación. El proyecto uno permite el análisis de las condiciones de operación de un transformador monofásico en cortocircuito, circuito abierto y con carga RL conectada; el segundo permite realizar un análisis utilizando la transformada de Fourier de la corriente de arranque (Inrush Current), el tercero la operación de los autotransformadores y el cuarto la operación de los transformadores trifásicos. La estructura establecida para este informe de trabajo de diploma consta de tres secciones fundamentales: la introducción, el cuerpo del trabajo y la conclusiva. La sección introductoria abarca la terea técnica, el resumen y la introducción del trabajo. El cuerpo del trabajo se dividió en tres capítulos que dan respuesta a los objetivos específicos el capítulo una aborda los aspectos teóricos fundamentales de transformadores, sus características constructivas y ecuaciones fundamentales. En el capítulo dos se da una descripción del procedimiento seguido para la confección de los proyectos y de las características de éstos, también se brinda una guía de cómo trabajar con los proyectos y los resultados que se pueden obtener. El capítulo tres muestra diferentes resultados obtenidos de las simulaciones realizadas con uno de los proyectos, se presentan las principales características que brinda y otras que pueden ser obtenidas si se desean. La sección conclusiva contiene las conclusiones, recomendaciones y la bibliografía..

(13) Para analizar las temáticas abordadas en este trabajo se consultaron diferentes fuentes documentales lo que posibilitó una mejor comprensión de la temática y con ello un esclarecimiento de la estrategia a seguir. El análisis teórico de los transformadores y su operación en diferentes estados de trabajo se desarrollo tomando como referencia los textos: An Introduction To Electrical Machines ans Transformers de George McPherson y Direct-current Machinery de Charles S. Siskind. La confección de los programas en MATLAB y de los ficheros en Simulink se efectúa a partir de lo planteado en Dinamic Simulation of Electric Machinery de Chee-Mun Ong. Otros aspectos se toman de diversos artículos y textos que aparecen referenciados en el cuerpo del trabajo..

(14) Capítulo 1. Revisión bibliográfica 1. Transformadores Monofásicos I.1Introducción Los transformadores son dispositivos que se encarga de transformar la tensión de corriente alterna que tiene a la entrada en otra diferente a la salida. Este dispositivo se compone de un núcleo de material ferromagnético sobre el cual se han arrollado varias espiras (vueltas) de alambre conductor. Este conjunto de vueltas se llaman bobinas y se denominarán: primario a la que recibe la tensión de entrada y secundario a aquella que dona la tensión transformada.. Figura 1.1.Estructura de un transformador El devanado primario recibe una tensión alterna que hará circular, por ella, una corriente alterna. Esta corriente tiene asociado a ella un flujo magnético el cual cierra sus líneas a través del núcleo ferromagnético. Como el devanado secundario está arrollado sobre el mismo núcleo, el flujo magnético circulará a través de las espiras de éste. Al haber un flujo magnético que atraviesa las espiras del secundario se inducirá en él una tensión. Habría corriente si hubiera una carga (si el secundario estuviera conectado a una resistencia, por ejemplo). La razón de la transformación de tensión entre el devanado primario y el secundario depende del número de vueltas que tenga cada uno..

(15) La relación de transformación es de la forma: N 1 V1 = [1.1] N 2 V2. Donde: N1: Número de vueltas del devanado primario. N2: Número de vueltas del devanado secundario. V1: Voltaje nominal del devanado primario. V2: Voltaje nominal del devanado Entonces: V2 = V1 ⋅. N2 [1.2] N1. Un transformador puede ser elevador o reductor, dependiendo del número de vueltas de cada devanado. Si se supone que el transformador es ideal (la potencia que se le entrega es igual a la que se obtiene de él, se desprecian las pérdidas por calor y otras), entonces: Potencia de entrada (P1) = Potencia de salida (P2). P 1 = P2 Aplicando este concepto al transformador y se deduce que la única manera de mantener la misma potencia en los dos devanados es que cuando la tensión se eleve la intensidad disminuya en la misma proporción y viceversa. Entonces: N1 I 2 [1.3] = N 2 I1.

(16) Siendo: I1: Corriente por el devanado primario. I2: Corriente por el devanado secundario. Así, para conocer la corriente en el secundario cuando se conocen: la corriente por primario, se puede utilizar la fórmula siguiente: I 2 = N1 ⋅. I1 N2. [1.4]. 1.2. Constitución y clasificación Durante el transporte de la energía eléctrica se originan pérdidas que dependen de su intensidad. Para reducir estas pérdidas se utilizan tensiones elevadas, con las que, para la misma potencia, resultan menores intensidades. Por otra parte es necesario que en el lugar donde se aplica la energía eléctrica, la distribución se efectúe a tensiones más bajas y además se adapten las tensiones de distribución a los diversos casos de aplicación. La ventaja que tiene la corriente alterna frente a la continua radica en que la corriente alterna se puede transformar con facilidad. La utilización de corriente continua queda limitada a ciertas aplicaciones, por ejemplo, para la regulación de motores. Sin embargo, la corriente continua adquiere en los últimos tiempos una significación creciente, por ejemplo para el transporte de energía a tensiones muy altas. Para transportar energía eléctrica de sistemas que trabajan a una tensión dada a sistemas que lo hacen a una tensión deseada se utilizan los transformadores. A este proceso de cambio de tensión se le llama transformación. El transformador es un dispositivo que convierte energía eléctrica de un cierto nivel de voltaje, en energía eléctrica de otro nivel de voltaje, por medio de la.

(17) acción de un campo magnético. Esta constituido por dos o más bobinas de alambre, aisladas entre si eléctricamente por lo general y arrolladas alrededor de un mismo núcleo de material ferromagnético. El devanado que recibe la energía eléctrica se denomina devanado primario, con independencia si se trata de mayor tensión (alta tensión) o menor tensión (baja tensión). El devanado del que se toma la energía eléctrica a la tensión transformada se denomina devanado secundario. En concordancia con ello, los lados del transformador se denominan lado de entrada y lado de salida. Los devanados primario y secundario se envuelven la misma columna del núcleo ferromagnético. El núcleo se construye de de material ferromagnético porque tiene una gran permeabilidad, o sea, conduce muy bien el flujo magnético. En un transformador, el núcleo tiene dos misiones fundamentales: •. Desde el punto de vista eléctrico, y esta es su misión principal, es la vía por que discurre el flujo magnético. A través de las partes de la culata conduce el flujo magnético siguiendo un circuito prescrito, de una columna a otra.. •. Desde el punto de vista mecánico es el soporte de los devanados que en él se apoyan.. Para generar el flujo magnético, es decir, para magnetizar el núcleo de hierro hay que gastar energía eléctrica. Dicha energía eléctrica se toma del devanado primario. El constante cambio de magnetización del núcleo de hierro origina pérdidas. Estas pérdidas pueden minimizarse eligiendo tipos de chapa con un bajo coeficiente de pérdidas. Además, como el campo magnético varía respecto al tiempo, en el hierro se originan tensiones que dan origen a corrientes parásitas, también llamadas de Foucault. Estas corrientes, asociadas a la resistencia óhmica del hierro, motivan.

(18) pérdidas que pueden reducirse empleando chapas especialmente finas aisladas entre sí (apiladas). El factor de apilamiento se halla comprendido entre 0,95 y 0,9 para espesores de láminas comprendidos 0,63 a 0,35 mm. Para láminas más delgadas, de entre 0,025 a 0,12 mm de espesor, debido a la mayor dificultad existente de sujetar láminas y reducir las rebabas ya que la capa aislante es proporcionalmente más gruesa, el factor de apilamiento se halla comprendido entre 0,4 y 0,75, pudiendo mejorarse mediante procedimiento de fabricación especiales. En cambio, en un núcleo de hierro macizo se producirían pérdidas por corrientes parásitas excesivamente grandes que motivarían altas temperaturas. Los transformadores pueden ser clasificados de diferentes formas, una muestra de ello puede verse en la tabla siguiente: Tabla I.1 Clasificación de transformadores Transformadores de potencia Según funcionalidad. Transformadores de comunicaciones Transformadores de medida Monofásicos Trifásicos Trifásicos-exafásicos. Por los sistemas de tensiones. Trifásicos-dodecafásicos Trifásicos-monofásicos Elevadores. Según tensión secundario. Reductores Interior. Según medio. Intemperie En seco. Según elemento refrigerante. En baño de aceite.

(19) Con pyraleno Natural Según refrigeración. Forzada. 1.3. El transformador ideal Un transformador ideal es una máquina sin pérdidas, con una bobina de entrada y una bobina de salida. Las relaciones entre las tensiones de entrada y de salida, y entre la intensidad de entrada y de salida, se establece mediante. dos. ecuaciones. sencillas. La figura I.2 muestra un transformador ideal.. Figura I.2. Esquema de un transformador ideal. El transformador tiene N1 vueltas de alambre sobre su lado primario y N2 de vueltas de alambre en su lado secundario. La relación entre voltaje primario V1 aplicada al lado primario del transformador y el voltaje V2 inducido sobre su lado secundario es: V1 N 1 = =a V2 N 2. [1.5]. En donde a se define como la relación de transformación del transformador. La relación entre la corriente que fluye en el lado primario del transformador y la corriente que fluye hacia fuera del lado secundario del transformador es: N1 ⋅ I1 = N 2 ⋅ I 2 I1 I2. =. 1 a. [1.6].

(20) El ángulo de fase del voltaje de alimentación es el mismo que el ángulo del voltaje de salida y el ángulo de fase de la corriente que consume el transformador es el mismo que el ángulo de fase de la corriente por secundario. La relación de espiras del transformador ideal afecta las magnitudes de las tensiones e intensidades, pero no sus ángulos. Las ecuaciones anteriores describen la relación entre las magnitudes y los ángulos de las tensiones y las intensidades sobre los lados primarios y secundarios del transformador, pero dejan una pregunta sin respuesta: dado que la tensión del circuito primario es positiva en un extremo específico de la espira, ¿cuál sería la polaridad de la tensión del circuito secundario? En los transformadores reales sería posible decir la polaridad secundaria, solo si el transformador estuviera abierto y sus bobinas examinadas. Para evitar esto, los transformadores usan la convección de puntos. Los puntos que aparecen en un extremo de cada bobina muestran la polaridad de la tensión y la corriente sobre el lado secundario del transformador. La relación es como sigue: Si la tensión primaria es positiva en el extremo punteado de la bobina con respecto al extremo no punteado, entonces el voltaje secundario será también positivo en el extremo punteado. Las polaridades de tensión son las mismas con respecto al punteado en cada lado del núcleo. Si la intensidad primaria del transformador fluye hacia dentro del extremo punteado de la bobina primaria, la corriente secundaria fluirá hacia fuera del extremo punteado de la bobina secundaria. La potencia suministrada al transformador por el circuito primario se expresa por medio de la ecuación Pent = V1 * I1 * cos ϕ. [1.7]. La potencia que el circuito secundario suministra a sus cargas se establece por la ecuación:.

(21) Psal = V2 * I2 * cos ϕ. [1.8]. Puesto que los ángulos entre la tensión y la intensidad no se afectan en un transformador ideal, las bobinas primaria y secundaria de un transformador ideal tienen el mismo factor de potencia. La potencia de salida de un transformador ideal es igual a su potencia de entrada. La misma relación se aplica a la potencia reactiva y la potencia aparente S Qent = V1 *I1 *sen ϕ = V2 *I2 *sen ϕ = Qsal. [1.9]. Sent = V1 *I1 = V1 *I1 = Ssal. [1.10]. La impedancia de un elemento se define como la relación fasorial entre la tensión y la intensidad que lo atraviesan: ZL = V L / I L. [1.11]. Una de las propiedades interesantes de un transformador es que puesto que cambia los niveles de tensión o intensidad, también cambia la relación entre la tensión y la intensidad y, por consiguiente, la impedancia aparente de un elemento. 1.4. El transformador real Para entender el funcionamiento de un transformador real, refirámonos a la figura (I.4.) Esta nos muestra un transformador que consiste en dos bobinas de alambre enrolladas alrededor de un núcleo del transformador. La bobina primaria del transformador está conectada a una fuente de tensión de corriente alterna y la bobina secundaria está en circuito abierto.. Figura I.3. Transformador ideal.

(22) Figura I.4. Circuito del transformador ideal. La base del funcionamiento del transformador se puede derivar de la ley de Faraday:. e=. dφ dt. [1.12]. En donde φ es el flujo magnético ligado de la bobina, a través de la cual se induce la tensión. El flujo ligado total es la suma de los flujos que pasan por cada vuelta de la bobina, sumando tantas veces cuantas vueltas tenga dicha bobina. El flujo magnético total que pasa por entre una bobina no es sólo Nf , en donde N es el número de espiras en la bobina, puesto que el flujo que pasa por entre cada espira es ligeramente diferente del flujo en las otras vueltas, y depende de la posición de cada una de ellas en la bobina. Sin embargo, es posible definir un flujo promedio por espira en la bobina. Si el flujo magnético total de todas las espiras es l y si hay N espiras, entonces el flujo promedio por espira se establece por f=l/N.

(23) Figura I.5 Curva de histéresis del transformador 1.4.1 La relación de tensión a través de un transformador Si la tensión de la fuente es alterna, entonces esa tensión se aplica directamente a través de las espiras de la bobina primaria del transformador. ¿Cómo reaccionará el transformador a la aplicación de esta tensión? La ley de Faraday nos explica que es lo que pasará. Cuando la ecuación anterior se resuelve para el flujo promedio presente en la bobina primaria del transformador, el resultado es: f = (1/N1) ò v1(t) dt Esta ecuación establece que el flujo promedio en la bobina es proporcional a la integral de la tensión aplicada a la bobina y la constante de proporcionalidad es la recíproca del número de espiras en la bobina primaria 1/NP. Este flujo está presente en la bobina primaria del transformador. ¿Qué efecto tiene este flujo sobre la bobina secundaria? El efecto depende de cuánto del flujo alcanza a la bobina secundaria; algunas de las líneas del flujo dejan el hierro del núcleo y más bien pasan a través del aire. La porción del flujo que va a través de una de las bobinas, pero no de la otra se llama flujo de dispersión. El flujo en la bobina primaria del transformador, puede así, dividirse en dos componentes: un flujo mutuo, que permanece en el núcleo y conecta las dos bobinas y un pequeño.

(24) flujo de dispersión, que pasa a través de la bobina primaria pero regresa a través del aire, desviándose de la bobina secundaria.. φ1 = φ M + φ disp1. [1.13]. donde: Φ1: Flujo promedio total del primario. ΦM: Componente del flujo que concatena con las bobinas primaria y secundaria. Φdisp2: Flujo de dispersión del devanado primario Hay una división similar del flujo en la bobina secundaria entre el flujo mutuo y el flujo de dispersión que pasa a través de la bobina secundaria pero regresa a través del aire, desviándose de la bobina primaria:. φ 2 = φ M + φ disp 2. [1.14]. donde: Φ2: Flujo promedio total del devanado secundario. ΦM: Componente del flujo que concatena con las bobinas primaria y secundaria. Φdisp2: Flujo de dispersión del secundario. Con la división del flujo primario promedio entre los componentes mutuos y de dispersión, la ley de Faraday para el circuito primario puede ser reformulada como:. V1 (t ) = N 1. dφ disp1 dφ1 dφ = N1 M + N1 dt dt dt. [1.15]. El primer término de esta expresión puede denominarse e1(t) y el segundo edisp1(t). Si esto se hace, entonces la ecuación anterior se puede escribir así:.

(25) vP (t) = eP (t) + eLP (t) La tensión sobre la bobina secundaria del transformador, puede expresarse también en términos de la ley de Faraday como:. V2 (t ) = N 2. dφ disp 2 dφ 2 dφ = N2 M + N2 dt dt dt. [1.16]. La tensión primaria, debido al flujo mutuo, se establece por: e1 (t ) = N 1. dφ M dt. [1.17]. y la secundaria debido al flujo mutuo por:. e2 (t ) = N 2. dφ M dt. [1.18]. Obsérvese de estas dos relaciones que:. e1 (t ) dφ M e2 (t ) = = N1 dt N2. [1.19]. Por consiguiente,. e1 (t ) N 1 = =a e2 (t ) N 2. [1.20]. Esta ecuación significa que la relación entre la tensión primaria, causada por el flujo mutuo, y la tensión secundaria, causada también por el flujo mutuo, es igual a la relación de espiras del transformador. Puesto que en un transformador bien diseñado ΦM » Φdisp, la relación de tensión total en el primario y la tensión total en el secundario es aproximadamente:.

(26) V1 (t ) N 1 ≈ =a V2 (t ) N 2. [1.21]. Cuanto más pequeños son los flujos dispersos del transformador, tanto más se aproxima la relación de su tensión total al transformador ideal. 1.4.2 Corriente de magnetización Cuando una fuente de potencia de corriente alterna se conecta a un transformador fluye una corriente en su circuito primario, aun cuando su circuito secundario esté en circuito abierto. Esta corriente es la corriente necesaria para producir un flujo en el núcleo ferromagnético real y consta de dos componentes: 1. La corriente de magnetización IΦ, que es la corriente necesaria para producir el flujo en el núcleo del transformador. 2. La corriente de pérdidas en el núcleo Ih+e, que es la corriente necesaria para compensar las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas. La corriente de magnetización en el transformador no es sinusoidal. Los componentes de más alta frecuencia en la corriente de magnetización se deben a la saturación magnética en el núcleo del transformador. Una vez que la intensidad máxima de flujo alcanza el punto de saturación en el núcleo, un pequeño aumento en la intensidad pico de flujo requiere un aumento muy grande en la corriente de magnetización máxima. La componente fundamental de la corriente de magnetización retrasa la tensión aplicada al núcleo en 90°. Los componentes de más alta frecuencia en la corriente de magnetización pueden ser más bien grandes, comparados con la componente fundamental. En general, cuanto más se impulse un núcleo de transformador hacia la saturación, tanto más grandes se volverán los componentes armónicos..

(27) La otra componente de la corriente en vacío en el transformador es la corriente necesaria para producir la potencia que compense las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas en el núcleo. Esta es la corriente de pérdidas en el núcleo. Supongamos que el flujo en el núcleo es sinusoidal. Puesto que las corrientes parásitas en el núcleo son proporcionales a dΦ /dt, las corrientes parásitas son las más grandes cuando el flujo en el núcleo está pasando a través de 0 Wb. La pérdida por histéresis es no lineal en alto grado, pero también es la más grande mientras el flujo en el núcleo pasa por 0. La corriente total en vacío, en el núcleo, se llama la corriente de excitación del transformador. Es, simplemente, la suma de la corriente de magnetización y la corriente por pérdidas en el núcleo. Iexc = IΦ + Ih+e. [1.22]. 1.5. Circuitos equivalentes Las pérdidas que ocurren en los transformadores reales tienen que explicarse en cualquier modelo fiable de comportamiento de transformadores: 1. Pérdidas en el cobre. Las pérdidas en el cobre son pérdidas en las resistencias de los devanados primario y secundario del transformador. Son proporcionales al cuadrado de la corriente que circula por dichos devanados. 2. Pérdidas debido a la circulación de corrientes parásitas. Las pérdidas por corrientes parásitas son pérdidas por resistencia en el núcleo del transformador. Son proporcionales al cuadrado de la tensión aplicada al transformador. 3. Pérdidas por histéresis. Las pérdidas por histéresis están asociadas a los reacomodamientos de los dominios magnéticos en el núcleo durante cada medio ciclo. Ellos son una función compleja, no lineal, de la tensión aplicada al transformador..

(28) Es posible construir un circuito equivalente que tenga en cuenta todas las imperfecciones principales de los transformadores reales. Cada imperfección principal se considera a su turno y su efecto se incluye en el modelo del transformador. Aunque es posible construir un modelo exacto de un transformador, no es de mucha utilidad. Para analizar circuitos prácticos que contengan transformadores, normalmente es necesario convertir el circuito entero en un circuito equivalente, con un nivel de tensión único. Por tanto, el circuito equivalente se debe referir, bien a su lado primario o bien al secundario en la solución de problemas. La figura (I.6.) muestra el circuito equivalente del transformador referido a su lado primario.. Figura I.6. Circuito Equivalente referido a primario Los modelos de transformadores, a menudo, son más complejos de lo necesario con el objeto de lograr buenos resultados en aplicaciones prácticas de ingeniería. Una de las principales quejas sobre ellos es que la rama de magnetización de los modelos añade otro nodo al circuito que se esté analizando, haciendo la solución del circuito más compleja de lo necesario. La rama de magnetización tiene muy poca corriente en comparación con la corriente de carga de los transformadores. De hecho, es tan pequeña que bajo circunstancias normales causa una caída completamente desechable de tensión en RC y Xm..

(29) Como esto es cierto, se puede confeccionar un circuito equivalente simplificado y funciona casi tan bien como el modelo original. La rama de magnetización simplemente se mueve hacia la entrada del transformador y las impedancias primaria y secundaria se dejan en serie entre sí. Estas impedancias se adicionan, creando los circuitos equivalentes aproximados, como se ve en las siguientes figuras (I.7.) (a) y (b). En algunas aplicaciones, la rama de excitación puede desecharse totalmente sin causar ningún error serio. En estos casos, el circuito equivalente del transformador se reduce a los circuitos sencillos de las figuras (I.8.) (c) y (d) Figura I.7 Circuitos Equivalentes aproximados. Figura I.8 Circuito equivalente simplificados.

(30) 1.6. Transformadores trifásicos 1.6.1. Introducción Casi todos los sistemas importantes de generación y distribución de potencia del mundo son, hoy en día, sistemas de corriente alterna trifásicos. Puesto que los sistemas trifásicos desempeñan un papel tan importante en la vida moderna, es necesario entender la forma como los transformadores se utilizan en ella. Los transformadores para circuitos trifásicos pueden construirse de dos maneras. Estas son:. • Tomando tres transformadores monofásicos y conectándolos en un grupo trifásico.. • Haciendo un transformador trifásico que consiste en tres juegos de devanados enrollados sobre un núcleo común Para el análisis de su circuito equivalente, conviene representar cada uno de los transformadores monofásicos que componen un banco trifásico por un circuito equivalente. Como los efectos de las capacidades de los devanados y de los armónicos de las corrientes de excitación suelen ser despreciables, podrá utilizarse cualquiera de los circuitos equivalentes deducidos para el caso de los monofásicos. En ellos, el transformador esta representado, como en el teorema de Thévenin, por su impedancia en cortocircuito en serie con su tensión en circuito abierto; la razón de las tensiones en circuito abierto está representada por un transformador ideal; y las características de excitación están representadas por la admitancia en circuito abierto. Los valores de los parámetros pueden obtenerse a partir de los datos de diseño o ensayos en circuito abierto o en cortocircuito tomados a uno u otro lado del transformador, y estos valores se pueden emplear, sin modificación, o en el circuito equivalente de la figura (I.9.) a (en el cual se coloca la admitancia de.

(31) excitación en el lado primario) o en el circuito equivalente de la figura (I.9.) b (en el cual se coloca la admitancia de excitación en el lado del secundario) En muchos problemas, los efectos de la corriente de excitación son tan pequeños que puede despreciarse por completo la corriente de excitación y representarse el transformador por su impedancia equivalente en serie con un transformador ideal. Si se quiere, las impedancias equivalentes y admitancias de excitación se puede referir al otro lado del transformador multiplicando o dividiendo, según sea el caso, por el cuadrado de la razón de transformación. El circuito equivalente de un banco trifásico de transformadores puede trazarse conectando los circuitos equivalentes de las unidades de acuerdo con las conexiones del banco. Por ejemplo, en la figura a puede verse el circuito equivalente de un banco estrella-estrella y en la figura b un circuito equivalente de un banco triángulo. Las Y representan las admitancias en circuito abierto o de excitación y las Z las impedancias en cortocircuitos o equivalentes.. Figura I.9 Circuitos Equivalentes de un banco trifásico 1.6.2 Constitución Al tratar del transformador trifásico suponemos que sus devanados, tanto de alta como de baja tensión, se hallan conectados en estrella. Según la aplicación a que se destine un transformador, deben considerarse las posibilidades de establecer.

(32) otras conexiones distintas, las cuales ofrecen sobre todo especial interés desde el punto de vista del acoplamiento en paralelo con otros transformadores. 1.6.3 Grupos de conexión Las combinaciones básicas que han de ser tenidas en cuenta por lo que se refiere a sus particularidades para los acoplamientos en paralelo, forman esencialmente cuatro grupos. Cada grupo se caracteriza en particular por el desfase que el método de conexión introduce entre la f.e.m. primaria y las homólogas secundarias. Tabla 2. Grupos de conexiones normalizados para transformadores de potencia trifásicos Símbolo. Conexionado. Primario Secundario. Primario Secundario. Nº Grupo. Dd0. 0. Yy0. Dz0. Dy5. 5 Yd5. Yz5. 6 Dd6.

(33) Yy6. Dz6. Dy11. 11 Yd11. Yz11. En la tabla se detallan los grupos de conexiones normalizados para transformadores de potencia trifásicos. Debe tenerse en cuenta que el esquema de conexionado es válido solamente en el caso que los devanados tengan el mismo sentido de arrollamiento. 1.6.4 Trabajo en paralelo El funcionamiento en paralelo de dos o más transformadores se produce cuando ambos se hallan unidos por sus devanados primarios y por los secundarios. Prácticamente, es necesario distinguir el caso de que esta unión sea inmediatamente directa sobre unas mismas barras ómnibus o bien que se efectúe a través de largas líneas en la red de distribución: la condición sobre la igualdad de las tensiones de cortocircuito tiene importancia solamente en el primer caso, ya que los conductores intermedios existentes en el caso de una red tienden a regularizar la distribución de la carga de los transformadores. Los transformadores pueden acoplarse en paralelo por sus secundarios, por los primarios o bien por los primarios y secundarios a la vez. Cuando la instalación lo permita, en las centrales por ejemplo, es preferible adoptar la primera solución, que añade la impedancia interna de los transformadores la de los generadores,.

(34) siempre considerable, y la repartición de la carga en proporción debida entre los distintos grupos es más fácil de obtener. La teoría de la marcha en paralelo forma parte en este caso, del estudio de conjunto de las centrales eléctricas, por lo que nos ceñiremos a considerar el acoplamiento de los transformadores realizados simultáneamente por ambos lados de la conexión primario y secundario. Es claro que la frecuencia, una de las características esenciales de la instalación, será con ello sin más, rigurosamente la misma para todos los transformadores acoplados. Las restantes condiciones que han de cumplirse para que el funcionamiento sea posible y se realice de modo práctico, son las siguientes: 1.-Los desfases secundarios respecto al primario han de ser iguales para los transformadores que hayan de acoplarse en paralelo. 2.- El sentido de rotación de las fases secundarias ha de ser el mismo en todos ellos. 3.- Las relaciones entre las tensiones de líneas han de ser idénticas. 4.- Las caídas de impedancia para las tensiones de cortocircuito, deben tener los mismos valores relativos para todos los transformadores, siendo preferible además que esta igualdad se cumpla por separado para las caídas óhmicas y las f.e.m.s. de reactancia. Las dos primeras condiciones son eliminatorias, de no satisfacerse, el acoplamiento es imposible. Las dos últimas son necesarias para la buena marcha de la instalación. 1.6.5 Transformadores de protección, de medida y autotransformadores Los transformadores de medida, tan ampliamente empleados en la técnica de las medidas eléctricas, satisfacen la necesidad primordial de aislar de los circuitos de alta tensión los aparatos o instrumentos de trabajo, que así podrán funcionar únicamente a tensiones reducidas. Los transformadores de tensión convierten generalmente el voltaje de alta a 100 V en el secundario (algunas veces, a 110). Los de intensidad separan también el circuito de medida del de alta tensión. Al.

(35) mismo tiempo, estos últimos transformadores reducen la corriente del circuito primario al valor normal de 5 A, raras veces a 1 A, en el circuito secundario, lo que viene a darles importancia incluso en las instalaciones de baja tensión, particularmente cuando no es posible colocar el amperímetro en el lugar por donde pasan los conductores principales, sino que ha de situarse a distancia de ellos. También permiten los transformadores de intensidad hacer uso de un mismo aparato de medida en circuitos distintos, como sucede especialmente en los laboratorios. En cuanto a la construcción, los transformadores de medida constituyen un conjunto especialmente sencillo y compacto, estando montados los bobinados sobre una sola columna - primario y secundario juntos. En los de intensidad, las chapas se cortan a menudo de una sola pieza, sin ninguna junta magnética (a fin de reducir la corriente de excitación, causa de error en las mediciones), y las bobinas se enrollan entonces con el auxilio de máquinas especiales. Los autotransformadores se usan normalmente para conectar dos sistemas de transmisión de tensiones diferentes, frecuentemente con un devanado terciario en triángulo. De manera parecida, los autotransformadores son adecuados como transformadores elevadores de centrales cuando sé desea alimentar dos sistemas de transporte diferentes. En este caso el devanado terciario en triángulo es un devanado de plena capacidad conectado al generador y los dos sistemas de transporte se conectan al devanado, autotransformador. El autotransformador no sólo presenta menores pérdidas que el transformador normal, sino que su menor tamaño y peso permiten el transporte de potencias superiores..

(36) Capítulo 2. Materiales y métodos 2.1. Introducción Los usos principales de los transformadores eléctricos son: cambiar de la magnitud de un voltaje de corriente alterna a otro valor de corriente alterna y proporcionar aislamiento eléctrico entre la carga y la fuente de alimentación. Están formados por dos o más devanados estacionarios que están magnéticamente acoplados, a menudo pero no necesariamente, con un núcleo de alta permeabilidad para maximizar el acoplamiento magnético. Por convención, el devanado que se conecta a la fuente de alimentación de CA se denomina generalmente como devanado primario y el devanado al cual se conecta la carga se denomina devanado secundario. Los transformadores de potencia que trabajan a bajas frecuencias, entre 25 a 400 Hz, por lo general tener núcleos de hierro para concentrar el camino del flujo que une las bobinas; los de alta frecuencia presentan un núcleos de ferrita o aire para evitar pérdidas excesivas núcleo. Las pérdidas por corrientes parásitas en un núcleo de hierro se pueden reducir mediante el uso de una construcción laminada. Para los transformadores que trabajan a 60 Hz, las láminas del núcleo tienen típicamente un grosor de 0,014 pulgadas (0,35 mm). 2.2. Transformador ideal Empezaremos por considerar las relaciones entre los voltajes primario y secundario y las corrientes de un transformador ideal, el cual no tiene pérdidas de cobre, pérdidas de núcleo y flujos de dispersión. La circulación de las corrientes en los dos devanados produce fuerzas magneto-motrices (FMM), que a su vez establecen los flujos que circulan por el núcleo del transformador. Si se desprecia la reluctancia del núcleo, la fmm resultante necesaria para magnetizar el núcleo es cero, es decir: [2.1].

(37) Donde: N1: Vueltas del devanado primario. N2: Vueltas del devanado secundario. I1: Corriente por el devanado primario. I2: Corriente por el devanado secundario. Por la tanto se puede decir que:. I1 N =− 2 I2 N1. [2.2]. La relación entre las fem inducidas en los devanados primarios y secundarios es la siguiente:. e1 N 1 (dφ / dt ) N 1 = = =a e2 N 2 (dφ / dt ) N 2. [2.3]. Donde: e1: Fem inducida en el devanado primario. e2: Fem inducida en el devanado secundario. Φ: Flujo magnético en el núcleo del transformador. a: Relación de transformación del transformador. Al despreciar todas las pérdidas del transformador, se puede decir que las pérdidas de potencia activa en el transformador ideal es cero, por lo tanto se puede expresar lo siguiente:.

(38) e1i1 =. N 1e 2 − N 2 i 2 = −e2 i 2 N2 N1. [2.4]. Para las simulaciones y los análisis de este trabajo, las variables y elementos de unos de los lados del transformador ideal se puede referir al otro lado del transformador para facilitar el cálculo y para obtener un circuito equivalente más simple. 2.3. Modelo de un transformador de dos devanados En esta sección comenzaremos derivando las ecuaciones del voltaje en los terminales del transformador y del flujo magnético en el núcleo del transformador de dos devanados, considerando las resistencias y los flujos de dispersión de ambos devanados, y las pérdidas de núcleo. Más adelante, utilizaremos estas ecuaciones para desarrollar una representación del circuito equivalente para el transformador. 2.3.1 Ecuaciones del flujo magnético Cuando los flujos de dispersión son considerados, el flujo total que concatena con ambos devanados se puede dividir en dos componentes: el flujo mutuo, que es el que concatena con ambos devanados, y el flujo de dispersión que concatena solamente con uno de los dos devanados. En términos de estos componentes del flujo, el flujo total que concatena con cada uno de los devanados se puede expresar como:. Φ 1 = Φ m + Φ l1. [2.5]. Φ 2 = Φm + Φl2. [2.6]. Donde: Φm: Flujo mutuo, es el flujo magnético que concatena con ambos devanado..

(39) Φl1: Flujo de dispersión del devanado primario. Φl2: Flujo de dispersión del devanado secundario. Como en un transformador ideal, el flux mutuo es establecido por la fmm resultante de los dos devanados, los cuales están enrollados en el mismo núcleo y por lo tanto tienen el mismo camino magnético. Asumiendo que todas als vueltas del devanado primario son cortadas por el flujo mutuo y por el flujo de dispersión del devanado primario, las concatenaciones de flujo total del devanado primario pueden ser expresadas de la manera siguiente:. λ1 = N 1Φ 1 = N1 (Φ L1 + Φ m ) [2.7] La parte derecha de la ecuación 2.7 se pueden expresar en términos de corrientes reemplazando el flujo mutuo y el de dispersión por sus fmms y permeancias respectivos. El flujo de dispersión del devanado primario es creado por el propio devanado debido a una permeancia efectiva. Y el flux mutuo es creado por la combinación de las fmms de los devanados primario y secundario. Substituyendo los flujos mutuos y de dispersión de la ecuación 2.7:. λ1 = N1 ( N 1i1 Pl1 ) + ( N1i1 + N 2 i2 ) Pm ) = ( N12 Pl1 + N12 Pm )i1 + N1 N 2 Pm i2 1 424 3 Φl1. 1442443 Φm. 144 42444 3 L11. 1 424 3. [2.8]. L12. De forma similar, las concatenaciones de flujo del devanado secundario se pueden expresar de la forma siguiente:. λ 2 = N 2 ( Φ l 2 + Φ m ) = N 2 ( N 2 i2 Pl 2 + ( N 1i1 + N 2 i2 ) Pm ) = ( N 22 Pl 2 + N 22 Pm )i2 + N 1 N 2 Pm i1 1442443 1 424 3 L 22. [2.9]. L 21. Las ecuaciones de las concatenaciones de flujo resultantes para el acoplamiento magnético de ambos devanados, expresados en términos de inductancias del devanado se pueden expresar de la manera siguiente:.

(40) λ1 = L11i1 + L12 i2. [2.10]. λ 2 = L21i 1 + L22 i2. [2.11]. Donde: L11: Autoinductacia del devanado primario. L22: Autoinductacia del devanado secundario. L12 y L21: inductancia mutua entre los devanados primario y secundario. La autoinducción del devanado primario puede ser considerada como la suma del flujo disperso del devanado primario y la componente de magnetización de su propia corriente. Asumiendo el transformador en vacío, para el devanado primario tenemos que:. L11 =. λ1i 2 = 0 i1. =. N 1 (Φ l1 + Φ m1 ) = N 12 Pl1 + N 12 Pm i1. [2.12]. Igualmente, para el devanando secundario tenemos:. L22 =. λ 2 i1 = 0 i2. =. N 2 (Φ l 2 + Φ m 2 ) = N 22 Pl 2 + N 22 Pm i2. [2.13]. En general, la saturación del núcleo afecta a los valores de las inductancias de los devanados. 2.4. Modelo del transformador de dos devanados El flujo mutuo total que concatena con cada devanado se puede expresar en términos de su propia inductancia de magnetización del devanado. Por ejemplo, el flujo total que concatena con el devanado primario, expresado en términos de su propia inductancia de magnetización es:.

(41) N 1Φ m = N 1 (Φ m1 + Φ m 2 ) = Lm1 (i1 +. N2 i 2 ) [2.14] N1 {. i 2 referida2. Se desprende de la expresión anterior que la corriente de magnetización equivalente es vista desde el devanado primario, y es la suma de las corrientes de ambos devanados. 2.5. Ecuación de voltaje El voltaje inducido en cada devanado es igual a la velocidad de variación del flujo que concatena con dicho. Por lo tanto, utilizando la expresión del flujo que concatena con el devanado dada en la ecuación. 2.10, el voltaje inducido en el devanado primario está dada por: e1 =. di di dλ1 = L11 1 + L12 2 dt dt dc. [2.15]. El voltaje inducido en el devanado primario puede ser expresado también de la forma siguiente: e1 = L11. d (il + ( N 2 / N 1 )i 2 ) Lm1 dt dt. [2.16]. Ya sea sólo para facilitar el cálculo o por necesidad, como cuando los parámetros del transformador sólo son medidos desde un devanado, a menudo los parámetros del otro devanado son referidos a la parte que tiene la información disponible. Este proceso de referir es equivalente a la ampliación del número de vueltas de una bobina a ser la misma que las del devanado al cual se quiere referir, cuyos parámetros se deberán mantener en forma explícita. De esta forma la ecuación 2.16 puede ser escrita de la forma siguiente: e1 = L11. di1 d + Lm1 (i1 + i 2′ ) dt dt. [2.17].

(42) De igual forma, la fem inducida en el devanado secundario puede ser escrita de la forma siguiente; e2 = L12. di2 d N + Lm 2 ( 1 i1 + i2 ) dt dt N 2. [2.18]. La fem inducida en el devanado secundario puede ser referida al devanado primario, igualando, de forma ficticia, su número de vueltas al del devanado primario, utilizando la relación dada en la ecuación 2.2. La ecuación 2.18 puede ser rescrita de la forma siguiente: e2′ = L12′. di2′ d + Lm1 (i1 + i2′ ) dt dt. [2.19]. El voltaje en los terminales del devanado es la suma de la fem inducida en él y la caída de voltaje en la resistencia del devanado. Para el devanado primario tenemos lo siguiente: v1 = i1 r1 + e1 + i1 r1 + L11. di1 d + Lm1 (i1 + i2′ ) dt dt. [2.20]. En lugar de escribir la ecuación de voltaje del devanado secundario igual que la del devanado primario, se escribirá referida al devanado primario s, quedando de la forma siguiente: ⎛ N ⎞⎛ N N v 2′ = 1 v 2 = ⎜⎜ 1 i2 ⎟⎟⎜⎜ 1 N2 N 2 ⎠⎝ N 2 ⎝1 42 4 3. = i 2′ r2′ + L12′. 2. ⎞ ⎟⎟ r2 + e′2 ⎠. di2′ d + Lm1 (i2 + i2′ ) dt dt. [2.21]. Las ecuaciones 2.20 y 2.21 fueros escritas con la corriente y la fem inducida en el devanado secundario referidas al devanado primario..

(43) 2.6. Representación del cirquito equivalente La forma de las ecuaciones 2.20 y 2.21 sugieren la utilización de un circuito Tequivalente mostrado en la figura 1.1 para el transformador de dos devanados. En La figura. 4.3los parámetros del devanado secundario están referidos al devanado primario, esto se denota a través de un subíndice. Por ejemplo, I´2 es la corriente que circula por el devanado secundario referida al devanado primario.. Figura 2.1 Circuito equivalente del transformador de dos devanados. Los valores de los parámetros del circuito del devanado secundario, referidos al devanado primario se determinan por la relación dada por la ecuación. 2.2, es decir: 2. ⎛N ⎞ r2′ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ r 2 ⎝ N2 ⎠ ⎛N L12′ = ⎜⎜ 1 ⎝ N2. [2.22]. 2. ⎞ ⎟⎟ L12 ⎠. [2.23]. Si tuviéramos que incluir las pérdidas en el núcleo mediante la aproximación de ellas como proporcional a las pérdidas el cuadrado de la densidad de flujo en el núcleo o el cuadrado del voltaje aplicado, una resistencia podría estar conectada a través de la fem inducida en devanado primario, en paralelo con la inductancia de magnetización..

(44) 2.7. Simulación de un transformador de dos devanados En esta sección, describiremos los arreglos necesarios para las cual las ecuaciones de de voltaje y las concatenaciones de flujo de un transformador del dos devanados para poder llevar a cabo las simulaciones en el Simulink de Matlab. Hay, por supuesto, más de una forma para implementar. simulaciones. de. transformadores de dos devanados aun cuando estamos utilizando el mismo modelo matemático. Por ejemplo, al usar el modelo simple descrito en la sección anterior, podríamos llevar a cabo una simulación usando el flujo o las corrientes como variables estáticas. Observe que la representación del circuito equivalente tiene tres inductores. Puesto que sus corrientes obedecen la ley actual de Kirchhoff en el nodo común, las tres corrientes no pueden ser independientes. La corriente de la rama de magnetización se puede expresar en términos de corrientes de los devanados. En nuestro caso, las reactancias de dispersión de ambos devanados serán consideradas como una constante. Asumiendo esto las ecuaciones de los voltajes inducidos en ambos devanados pueden ser escritas de la manera siguiente:. v1 = i1 r1 +. 1dψ 1 wb / dt. v 2′ = i 2′ r2′ + 1. 1dψ 2′ wb / dt. [2.24]. [2.25]. Las ecuaciones de las concatenaciones de flujo en cada uno de los devanados pueden ser escritas de la forma siguiente:. ψ 1 = wbλ1 = x 11 i1 + ψ m. ψ 21 = wbλ 2′ = x ′12 i2′ + ψ m. [2.26] [2.27].

(45) ψ m = wbLm1 (i1 + i2′ ) = X m1 (i1 + i2′ ). [2.28]. Nótese que ψ m está asociada a la inductancia de magnetización referida al devanado primario. La corriente por el devanado primario puede ser expresada en términos de Ψ1 y Ψm a través de la ecuación 2.26. De manera similar la corriente por el devanado secundario referida al devanado primario puede escribirse en función de Ψ2 y Ψm usando la ecuación 2.27.. i1 =. i2′ =. ψ 1 −ψ m xl1. ψ 2′ − ψ m xl′2. [2.29]. [2.30]. Sustituyendo las ecuaciones 2.29 y 2.30 en la 2.28 obtendremos lo siguiente:. ψm X ml. =. ψ 1 −ψ m X L1. +. ψ 2′ − ψ m X 12′. [2.31]. Agrupando hacia la derecha Ψm:. ψm(. ψ ψ′ 1 1 1 + + )= 1 + 2 X M X L1 X l′2 X l1 ψ l′2. [2.32]. Luego: 1 1 1 1 = + + XM X m1 X l1 X l′2. [2.33]. La ecuación 2.33 puede ser reducida a una forma más compacta de la manera siguiente:.

(46) ψm = XM (. ψ1 X l1. +. ψ 2′. X l′2. [2.34]. ). Utilizando las ecuaciones 2.29 y 2.30 para reemplazar las ecuaciones de corriente 2.24 y 2.25 pueden ser expresadas como ecuaciones integrales de las concatenaciones de flujo total de ambos devanados de la forma siguiente:. ψ −ψ m ψ 1 = ∫ {wbv1 − wbr1 ( 1 ) }dt. [2.35]. ψ ′ −ψ m ψ 2′ = ∫ {wbv ′2 − wbr2′ ( 2 ) }dt. [2.36]. X l1. X l′2. Las ecuaciones 2.29, 2.30, 2.34, 2.35, y 2.36 forman el modelo dinámico básico de un transformador de dos devanados al cual la saturación magnética y las pérdidas de núcleo pueden ser agregadas. En este modelo, las concatenaciones de flujo son variables internas, los voltajes terminales son las entradas requeridas, y las corrientes de los devanados son las respuestas principales. La figura 2.2 (4.4) muestra el organigrama de una simulación de un transformador de dos devanados, el cual requiere el valor instantáneo de los voltajes terminales de ambos devanados como entrada de información a la simulación. La figura 2.3 muestra el diagrama de bloques confeccionado en SIMULINK..

(47) Figura 2.2. Diagrama de flujo para la simulación de un transformador de dos devanados. Figura 2.3. Diagrama de bloques en el Simulink para la simulación de un transformador de dos devanados 2.8. Condiciones terminales Como se muestra en la figura 2.3, la simulación desarrollada de un transformador de dos devanados utiliza los voltajes terminales de los dos devanados. como. entradas de información a la simulación y devuelve las corrientes de los devanados como respuesta. El conjunto entrada-salida de un subsistema en una simulación no necesita ser igual que el del subsistema físico mientras los requisitos de la entrada-salida de todos los subsistemas en la simulación se puedan corresponder correctamente con los de subsistemas conectados, incluyendo las entradas y las respuestas reales del sistema entero. Las ecuaciones escritas anteriormente, las cuales se introducirán en la simulación, los formularios para evitar son ésos con los derivados o los bucles algebraicos..

(48) Mientras que el formulario derivado es obvio, la presencia de un bucle algebraico es menos tan. Los bucles algebraicos ocurren al poner ecuaciones en ejecución algebraicas simultáneas donde hay realimentación directa de sus entradas de información a partir de un bloque a otro alrededor de un bucle que no implica un integrador. Volvamos al problema de completar los requisitos de entrada para la simulación del transformador de dos devanados, específicamente el de la determinación del voltaje secundario; de la simulación de la carga. Las técnicas que se presentan son útiles, no sólo para combinar el transformador por encima de simulación con los de otros elementos de red, pero son también aplicables a otros dispositivos electromagnéticos, tales como las simulaciones máquinas rotativas. El voltaje de entrada al devanado primario, o es un valor constante de alimentación de corriente alterna o puede obtenerse de la simulación de otros componentes a los cuales el devanado principal se conecta. Esa tensión de la entrada principal también puede ser derivada de otra parte de la simulación y se pondrá de manifiesto después de la discusión que sigue sobre la manera de obtener las condiciones de voltaje del secundario. La condición de un cortocircuito en las terminales del secundario es fácil de simular, solo hay que establecer que el voltaje en los terminales del secundario es cero en la simulación. La simulación de la condición de circuito abierto en los terminales del secundario es no tan sencilla como para la condición de cortocircuito. La condición de circuito abierto en los terminales del secundario tiene un valor de corriente igual a cero, que cuando se sustituyen en las ecuaciones 2.25 y 2.27, los rendimientos v´2oc = dΨm/dt. Para evitar la derivación en el tiempo de en la simulación, este valor de tensión de entrada del devanado secundario se deriva del valor de dΨ1/dt justo antes del integrador de Ψ1. Las relaciones que se utilizan son las relaciones entre Ψ1 y Ψm en las ecuaciones. 2.25. 2.27 y 2.28 para la condición Corriente cero por el secundario..

(49) v 2′ oc =. dψ m X m1 X m1 dψ 1 = = (v1 − i1 r1 ) wb dt X l1 + X m1 dt X l1 + X m1. [2.37]. El caso de carga finita en los terminal del devanado secundario es más fácil cuando la carga se representada por una impedancia o admitancia equivalente. Por ejemplo, una carga especificada SL a voltaje nominal puede convertirse en una admitancia de carga equivalente referida al devanado primario. (G L′ + jB L′ ) −1 = (. N 1 2 V22racted ) N2 S L*. [2.38]. Figura 2.4. (4.6) Circuito equivalente para la carga. La conductancia y la susceptancia de la ecuación. 2.38 puede ser modelado por cualquiera de las dos representaciones equivalentes circuito de la figura. 4.6. Las ecuaciones de estos circuitos equivalente paralelos de carga se puede expresar en forma integral con el voltaje como salida y la corriente como para complementar las condiciones terminales del devanado secundario. Para cargas con factor de potencia en atraso, la combinación en paralelo R-L de la figura 2.4 es la utilizada. Los requerimientos de voltaje secundario necesarios de la simulación de la carga se obtienen de la relación de voltaje y corriente del elemento resistivo, es decir: v ′ = i R′ R L′ = −(i 2′ + i L′ ) R L′. Donde:. [2.39].

(50) I´2: Es la corriente del devanado secundario como respuesta de la simulación. I´L es obtenida de la ecuación integral de voltaje a través de la impedancia de carga equivalente de la forma siguiente:. i L′ =. 1 v 2′ dt = wbBL′ ∫ v 2′ dt LL′ ∫. [2.40]. La combinación R-C en paralelo de la figura. 4.6 se va a utilizar para cargas con factor de potencia en adelanto. Sin embargo, el voltaje por secundario requerido para la simulación de cargas R-C se obtiene de la relación voltaje corriente del condensador, que es:. v 2′ =. v′ 1 iC′ dt = wbBL′ ∫ {− i2′ − 2 ∫ C L′ R L′. }dt. [2.41]. Nótese cómo la tensión de unión común entre la carga y los terminales del devanado secundario del transformador se puede desarrollar en estas dos situaciones diferentes, es decir el uso de la resistencia de carga en la ecuación 2.39 y el uso de la ecuación del condensador. 2.41. Es evidente que la tensión común de la unión debe ser definido por uno solo de los componentes cuando hay dos o más de componentes conectados a esa unión. A veces la naturaleza de los elementos interrelacionados que no se prestan a la combinación de esas acciones de entrada / salida de los requisitos en todos los cruces. Esta situación no es poco común en una simulación de un sistema complejo que se construye con módulos estándar de componentes o plantillas. Hay una ventaja en ser capaz de utilizar bien establecida plantillas, módulos especialmente grandes y complicados. La comodidad de no tener que puede reformular, en algunas situaciones, justificar el gasto de pequeña inexactitud causada por el introducción de un condensador ya sea muy pequeño o una resistencia muy grande a través de un cruce de desarrollar la tensión de la unión comunes exigidas por módulos conectados cuya entrada / salida los requisitos son.

(51) todos del tipo de entrada de voltaje de salida actual. Mientras que elige un muy pequeño condensador o una resistencia muy grande no minimizar las imprecisiones causadas por la introducción de tales elementos no relacionados físicamente, demasiado extrema puede dar lugar a un valor en el sistema de ecuaciones que son demasiado rígidas para el procedimiento de solución que se utilice. En la práctica, la más pequeño condensador o una resistencia más grande que uno puede usar para este tipo de aproximación se limitada por la inestabilidad numérica.. Figura 2.5. Uso de un resistor ficticio para el desarrollo del voltaje secundario. Como un ejemplo sencillo del uso de tales aproximaciones, tenga en cuenta el sub-circuito mostrado en la figura. 2.5, en el que el voltaje primario es la entrada deseada tanto para la simulación del transformador como para otro módulo. Agregar una resistencia ficticia que es mucho más grande que la impedancia de los elementos del circuito real, nos permitirá desarrollar el voltaje en el secundario sin introducir inexactitudes a la solución simulada. La entrada de tensión necesaria para los módulos conectados viene dada por la ecuación de tensión de la resistencia ficticia, es decir:. v 2′ = iHRH = −(i2′ + i ) RH. [2.42]. Por otra parte, un pequeño condensador se puede utilizar en lugar de la resistencia, para desarrollar el voltaje secundario, es decir:.

(52) v′ = −. 1 (i2′ + i )dt CL ∫. Aunque usando el. [2.43]. condensador su voltaje no amplifica los ruidos en las. corrientes, en algunas situaciones, puede dar lugar a una aproximación más tolerable que el derecho a una velocidad aceptable de la simulación. 2.9.. Incorporación de la saturación magnética en la simulación. La saturación del núcleo afecta principalmente el valor de la inductancia mutua que es mucho menor que las inductancias medidas de fuga, aunque es pequeño, los efectos de la saturación de las fugas de las. reactancias son bastante. complejas y se necesitan los detalles de la construcción del transformador que generalmente no están disponibles. En muchas simulaciones dinámicas, el efecto de saturación del núcleo se puede suponer que limite a la trayectoria del flujo mutuo, el comportamiento básico de la saturación puede ser determinante a partir de la curva de magnetización de circuito abierto del transformador. Como se representa en la figura 2.6 obteniéndose generalmente mediante los valores medidos del valor efectivo de la tensión en los bornes contra la corriente en vacío del devanado primario, cuando el devanado secundario está en circuito abierto..

(53) (a) Curva a circuito abierto. (b) Características saturada frente a no saturada de magnetización. Figura 2.6. Características de saturación. Cuando se desprecian las pérdidas de núcleo la corriente en vacío es solamente la corriente de magnetización. Por otra parte, cuando circula solamente la corriente de vacío por el devanado primario, la caída de voltaje en la impedancia serie normalmente es insignificante en comparación con la caída de voltaje a través de la reactancia de magnetización. Cuando el secundario está en circuito abierto, i’2 será cero, entonces V1rms ≈ ImrmsXm1. En la región no saturada, la proporción de V1rms/Imrms es constante, pero como el nivel de voltaje se eleva por encima de la rodilla de la curva circuito abierto y se convierte en una relación cada vez más pequeña. Algunos de los métodos que se han utilizado para incorporar los efectos de la saturación magnética en una simulación dinámica son: 1. Utilizar el valor apropiado para la reactancia mutua saturada, en cada paso de tiempo de la simulación. 2. Aproximar la corriente de magnetización a través de una función analítica. 3. Usar la relación entre saturados e insaturados para valores del flujo mutuo vínculo. En el método 1, el valor de saturación de la inductancia de magnetización, Xm1sat se puede actualizar en la simulación donde el producto del valor no saturado, de la inductancia de magnetización Xm1unsat es Ks veces la saturación de los factores y se puede determinar a partir del circuito abierto. En condiciones de circuito abierto, la pequeña caída de voltaje a través de la r1+jXl1 pueden ser despreciados. Cuando el flujo de excitación es sinusoidal, puede verse en las ecuaciones. 2.24 y 2.28 y el eje de la curva de voltaje de circuito abierto en la figura.2.6(a) también.

(54) puede leerse como que, para las concatenaciones de flujoψ mrms la pendiente de la línea de espacio de aire, se muestra como una línea discontinua en la .La reactancia figura.2.4(a), es igual al valor de magnetización no saturada X munsat 1 de magnetización saturada X msat1 en cualquier voltaje de circuito abierto, la curva es igual a la pendiente de una línea que une el punto de la curva en el origen. El grado de saturación puede ser expresado por un factor de saturación que se define como: Ks =. Si la. sat unsat ψ mrms I mrms Or unsat sat ψ mrms I mrms. Ks ≤ 1. [2.37]. reactancia de magnetización saturada se define como la relación entre. sat sat ψ mrms / I mrms entonces:. sat sat I mrms X msat1 ψ mrms K S = sat = unsat unsat I mrms ψ mrms X m1. [2.38]. En ciertos métodos de simulación, por ejemplo en la simulación analógica, es generalmente más fácil manejar una constante. que una reactancia de. magnetización. Generalmente en tales simulaciones el valor actual será determinado por el valor no saturado del flujo mutuo. Para trazar la curva mostrada en el figura 2.6 (b) se utiliza el método 2, donde la relación entre el valor máximo de las concatenaciones de flujo y el pico de la corriente de magnetización deben ser establecidos. Puesto que la prueba de circuito abierto es realizada generalmente aplicando un voltaje de entrada de sinusoidal, y no haciendo caso de la caída de voltaje. El flujo que circula por el núcleo se puede asumir también variable el. tiempo, pero la corriente de. magnetización no será sinusoidal, cuando se trabaja por encima de la rodilla de saturación. La conversión de los valores rms del voltaje de alimentación y de la.