Generalización del Binomio de Newton

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA. GENERALIZACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA Y FÍSICA. TESISTA: MUCHA GÓMEZ, JOEL ASESOR: Mg. FERNÁNDEZ SANTA CRUZ, DIONICIO. HUÁNUCO-PERÚ 2019.

(2) DEDICATORIA Este trabajo realizado con esfuerzo por varios meses, está dedicado a mi madre, familiares y amigos..

(3) AGRADECIMIENTO A mi asesor de tesis, a las personas que colaboraron de una u otra forma para la realización de este trabajo, y especialmente a mi madre por todo su apoyo y la oportunidad de poder estudiar..

(4) RESUMEN. El presente trabajo de investigación tuvo como fin modelar y determinar el término general de la expansión de un multinomio. El procedimiento de modelamiento fue realizado de acuerdo a una matriz de términos, el cual se originó de la inducción de la cantidad de términos que tendría cualquier multinomio, al cual se aplicó un algoritmo realizado en los índices combinatorios basado en el método combinatorio numérico a fin de obtener una expansión ordenada. secuencialmente de los términos y. compararla con la expansión obtenida experimentalmente; para establecer la identidad entre ambas expansiones. Posteriormente se hizo un análisis en la matriz de términos para obtener un modelo de regresión múltiple que explique la relación entre los índices combinatorios y las columnas de la matriz, finalmente los resultados obtenidos fueron contrastados con los valores de los términos obtenidos experimentalmente, donde se obtuvo la igualdad..

(5) SUMMARY The present research work aimed to: Explain the Generalization of Newton's binomial with all its properties with the use of combinatorials, algorithms, matrices and inductions Results: From the results it is inferred that the combinatorials used algorithmically generalizes the expansion, from the power of a sum of unknown terms, the use of inductions and combinatorics generalizes the number of terms generating a matrix of terms of (m-1) x ( n) where “m” is the number of unknown terms and “n” the power, and finally generalizes the term k-th or position of the terms of the generalized expansion, making use of the matrix algorithm and some mysterious tricks what evidence that the generalization of the binomial and Newton was resolved. Conclusions: The generalization of Newton's binomial with all its properties was resolved with the use of combinations, algorithms, matrices and inductions • The number of terms could be determined by multiple inductions to power and base • The algorithm for the general term of the multinomial expansion could be determined using the matrix of terms and algorithms • Multinomial expansion could be determined algorithmically by multiple inductions to power and base.

(6) INTRODUCCION El mejoramiento continuo de las propiedades del multinomio han sido estudio de múltiples investigaciones, el uso de combinaciones y algoritmos para la elaboración del mismo posee el propósito primordial de disminuir el tiempo y generalizar el binomio de newton para poder contribuir así a la matemática. Zhou Jijie expreso en su triángulo aritmético los coeficientes de cualquier tipo de expansión, pero le faltó el algoritmo para hallar la posición de un término cualesquiera. El binomio de newton que se usa actualmente, adquiere sus propiedades de cantidad de términos y la relación que tiene un término con las combinatorias. Debido a que, para la expansión requiere hacer tediosas multiplicaciones, la obtención del mismo por parte del binomio de newton facilita muy poco cuando el multinomio tiene muchos términos, y su término general no se sabe nada hasta ahora, debido a su poca importancia. El material que use en esta investigación es la matriz de términos, el algoritmo para el término general y la expansión secuencial, así que de demostrar que se alcanzan las mismas o mejores propiedades, se puede considerar como la generalización del binomio de newton. La matriz de términos con la que trabajé fue extraída de las inducciones realizadas tanto a la potencia como al número de términos de su base, la cual se relacionan con las filas y columnas respectivamente y posteriormente.

(7) se le hizo un arreglo, luego se observa en cómo se involucra con una matriz. Usando el álgebra (potencia y numero de términos de la base), ayudó a establecer algoritmos, y luego de validar los algoritmos se comparó con el binomio de newton, polinomio de Villarreal y Leibnitz para establecer las respectivas conclusiones..

(8) INDICE DEDICATORIA AGRADECIMIENTO RESUMEN SUMMARY INTRODUCCIÓN INDICE CAPITULO I: PLANTEAMIENTO DE PROBLEMA 1.1.. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA. 11. 1.2.. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. 14. 1.2.1. Problema general. 14. 1.2.2. Problemas Específicos. 14. OBJETIVOS. 14. 1.3.1. Objetivo General. 14. 1.3.2. Objetivos específicos. 14. HIPÓTESIS. 15. 1.4.1. Hipótesis General. 15. 1.4.2. Hipótesis Específicos. 15. 1.5.. VIABILIDAD. 15. 1.6.. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA. 15. 1.6.1. Justificación Legal. 16. 1.6.2. Importancia Teórico Científico. 16. DELIMITACIÓN. 16. 1.3.. 1.4.. 1.7.. CAPITULO II: MARCO TEÓRICO 2.1.. ANTECEDENTES. 17.

(9) 2.2.. 2.3.. 2.4.. 2.1.1. Nivel Internacional. 17. 2.1.2. Nivel Nacional. 32. 2.1.3. Nivel local. 34. TEORÍAS BÁSICAS. 34. 2.2.1. Expresiones Algebraicas. 34. 2.2.2. Binomio de Newton. 40. 2.2.3. Teorema del binomio de Newton. 41. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS. 42. 2.3.1. Polinomio. 42. 2.3.2. Multinomio. 42. 2.3.3. Series y Sucesiones. 42. 2.3.4. Algoritmo. 43. 2.3.5. Matriz. 43. 2.3.6. Término k-ésimo. 43. 2.3.7. Polinomio de Taylor. 43. 2.3.8. Expansión Multinomial. 43. 2.3.9. Inducción Múltiple. 43. 2.3.10. Generación de la Matriz de Términos. 43. 2.3.11. Algoritmo de la Posición de un Término. 43. 2.3.12. Algoritmo de la Expansión. 44. 2.3.13. Polinomio Multivariable Aplicado al Polinomio de Taylor. 44. BASES EPISTÉMICAS. 44. CAPITULO III: METODOLOGÍA 3.1.. MÉTODOS Y TÉCNICAS. 45. 3.1.1. Método. 45.

(10) 3.2.. 3.1.2. Técnica. 45. TIPO Y NIVEL DE INVESTIGACIÓN. 46. 3.2.1. Tipo. 46. 3.2.2. Nivel. 46. CAPITULO IV: RESUTADOS 4.1.. La Expansión Multinomial. 47. 4.2.. El número de términos de la expansión multinomial. 47. 4.3.. El algoritmo del término general de la expansión multinomial. 47. CAPITULO V: DISCUSION DE RESULTADOS 5.1.. La expansión de la potencia de un multinomio. 49. 5.2.. El número de términos de la expansión de la potencia multinomial 51. 5.3.. El k-ésimo término de la expansión multinomial. 54. 5.4.. Prueba de hipótesis. 56. CONCLUSIONES. 67. SUGERENCIAS. 70. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 71. ANEXOS Anexo 1 Esquema de inducción Anexo 2 Del polinomio de Taylor al Polinomio Generalizado.

(11) CAPÍTULO I El PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. 1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA El. triángulo. de. pascal. generalizado. se. inventó hace. 2000. años. aproximadamente por Zhou Jijie de forma extraña, y la expansión de la potencia del binomio se inventó antes de que existiese newton, por los árabes en sus momentos de curiosidad y el multinomio de Leibniz que generaliza la expansión del binomio newtoniano se creó en el siglo XVII. En 1824 después que murió newton se publicaron sus resultados del binomio y entre otros, también se conocieron los aportes de los más antiguos matemáticos y porque no decir del gran Leibniz un matemático alemán que hizo su teorema multinomial y patentaba como una sumatoria simplificada que siguiendo una secuencia lógica se iba formando la expansión de un multinomio y tomaba un aspecto parecido a. nuestro. algoritmo. Probablemente, el triángulo aritmético de Zhou Jijie sea el que se aproxime más a una parte de nuestros resultados. Los problemas matemáticos son a nivel internacional y local. En nuestro país y el mundo los procedimientos para solucionar problemas de como generalizar la potencia de un binomio son pocas, y son en partes, es por ello que se requieren juntar las tres partes de esta investigación para poder generalizar el binomio de Newton. Tales partes de la generalización son la expansión de la potencia de un multinomio, el número de términos de la. 11.

(12) expansión multinomial y el k-ésimo término o término general de la expansión multinomial Las investigaciones llevadas a cabo por Leibniz y este chino, no fueron fundamentales y mucho menos meritorias para el desarrollo de este material por la razón de que no profundice en el caso de Leibniz motivo por el cual no supe cómo usar su sumatoria la cual solo le encontré implícitamente y pensé que era simplemente una generalización de forma, y en el caso del chino Zhou Jijie lo llegue a saber gracias a la profesora de Sumaya de la facultad de ingeniería que revisaba mi proyecto, me dio a conocer esos resultados justo cuando creía que era el único sin embargo, el chino Zhou Jijie hizo la obra del triángulo aritmético hace más de 2000 años había hecho parte de estos resultados. Actualmente, estas teorías son de poca importancia y el grado de perfección dejaron de importarle a los matemáticos, y es el material de aplicación su mayor esperanza. Se puede decir que el matemático es el alma de las matemáticas, es así tanta la importancia para un matemático generalizar cualquier teorema que se venga, que prácticamente irán mejorando en toda su producción por el bien del desarrollo científico. El teorema multinomial que se usa actualmente adquiere su propiedad de desarrollar la expansión de un multinomio mediante una serie la cual es regido por una secuencia algo rara, los cuales se usan en su aplicación. La dificultad de obtener estos términos ocasiona una molestia en el desarrollo de la expansión es por ello que se hizo esta generalización empleando un método más mecánico.. 12.

(13) El presente trabajo de investigación titulado Generalización del Binomio de Newton, surge con la finalidad de generar un procedimiento o algoritmo de solución para este problema. Al respecto Federico Villarreal que patento su tesis sobre potencias de polinomios dice que el desarrollo de la potencia de un polinomio ordenado es otro polinomio también ordenado cuyos coeficientes se encuentran derivándolos reiteradamente posible ambos polinomios y comparándolos De la cita se induce que es posible elevar potencias de polinomios e incluso potencias fraccionarias para luego desarrollarlas mediante un procedimiento. El teorema multinomial de Leibniz establece que es posible expandir mediante sumas y combinaciones la potencia de un multinomio Al respecto, cuando se trata de expansiones mayores no podemos por la complejidad de encontrar subíndices de combinaciones. Zhou Jijie en su obra de triángulo aritmético representa los coeficientes de la expansión de la potencia de un multinomio ósea es un triangulo que generaliza el triángulo de pascal-tartaglia. Respecto al comentario: Con un triángulo generalizado no podría expandir en corto tiempo puesto que tendría que construirlo y estar dependiendo de el en cada momento. Debido a que no hay generalización del término k-ésimo general, una sencilla formula para la expansión de la potencia de multinomios, y el número de términos de la misma. Aunque esta última existe como fórmula, 13.

(14) considero todo estos tres juntos como requisitos para poder generalizar el Binomio de Newton. Es por ello que he propuesto generalizarlo con el uso de combinatoria, inducciones, matrices y entre otros. 1.2 FORMULACION DEL PROBLEMA 1.2.1 EL PROBLEMA GENERAL ¿Será posible generalizar el binomio de newton con todas sus propiedades con el uso de combinatorias, matrices e inducciones? 1.2.2 EL PROBLEMA ESPECIFICO ¿Cuál es el algoritmo de la expansión multinomial?¿Cuál es el número de términos para cualquier expresión multinomial? ¿Cuál es el algoritmo del término general de cualquier expansión multinomial? 1.3. OBJETIVOS 1.3.1 OBJETIVO GENERAL Generalizar el binomio de Newton con todas sus propiedades con el uso de combinatorias, algoritmos, matrices e inducciones 1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Desarrollar la expansión algorítmicamente Determinar el número de términos Determinar el algoritmo para el termino general de la expansión multinomial. 14.

(15) 1.4. HIPÓTESIS 1.4.1 HIPÓTESIS GENERAL Generalización del binomio de Newton con todas sus propiedades con el uso de combinatorias, algoritmos, matrices e inducciones. 1.4.2 HIPÓTESIS ESPECÍFICOS El uso algorítmico de combinatorias permite desarrollar la expansión algorítmicamente El uso de la inducción múltiple determina el número de términos El uso de la matriz de términos determina el algoritmo para el termino general de la expansión multinomial. 1.5. VIABILIDAD La presente investigación era poco viable, pues no se disponía de los recursos financieros, humanos y materiales necesarios para su ejecución.. 1.6. JUSTIFICACION E IMPORTANCIA La investigación propuesta se justificó plenamente ya que los resultados, encontrados a lo largo del desarrollo probaron la generalización del teorema del multinomio y su importancia radica en generalizar el polinomio multivariable algorítmicamente, generalizar el polinomio de Taylor, calcular áreas y volúmenes, gráficas y hacer modelamientos de regresión múltiples en estadística.. 15.

(16) 1.6.1 JUSTIFICACION LEGAL La presente investigación se ha previsto desarrollar en base al reglamento de grados y títulos de la UNHEVAL. 1.6.2 IMPORTANCIA TEÓRICO CIENTÍFICO Esta investigación es muy conveniente por que utilizamos una matriz extraída de la inducción múltiple, esta acción posee dos ventajas: primero porque se usarían recursos propios del algebra y segundo porque se disminuiría el tiempo de hacer una expansión, de obtener los resultados esperados estos dos factores generalizaran el binomio de newton. Con los resultados que se obtengan en esta investigación, contribuiremos al conocimiento del comportamiento de un multinomio. Después de haber terminado esta investigación, se podría constatar si verdaderamente la matriz posee una influencia directa en la generalización. Este estudio y los de otras personas, forman un estudio completo y especializado de las propiedades del multinomio. Y al aplicar algebra a la generalización de la potencia de un multinomio produjo este bello conocimiento. 1.7 DELIMITACIÓN Este proyecto de investigación título como generalización del binomio de newton presento al inicio algunas dificultades como encontrar un buscador web especializado en revistas científicas. 16.

(17) CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2.1 ANTECEDENTES. 2.1.1 NIVEL INTERNACIONAL EL TRIANGULO DE PASCAL GENERALIZADO POR ZHOU JIJIE JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO Profesor Asociado, UPTC. Licenciado en Matemáticas. Especialista en Matemática Avanzada. Magister en Educación. GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA REFERENTE HISTÓRICO Según Jean Paul Collette en su libro Historia de las matemáticas, plantea que el mal llamado Triángulo de Pascal, realmente se le atribuye al matemático chino Zhou Jijie (hacia 1280-1303), cuya obra principal fue el texto “Espejos preciosos de los cuatro elementos” dedicado a las ecuaciones simultáneas y a las ecuaciones elevadas a potencias tan altas como la decimocuarta. En la mencionada obra, Zhou Jijie en sus primeras páginas plantea un triángulo aritmético (figura 1) donde se encuentran los coeficientes del binomio hasta la octava potencia.. 17.

(18) Se define el polinomial: Dados los números enteros no negativos a1,a2,a3,...an mayores o iguales a cero, tales que a1 ≤a2 ≤a3 ≤ ... ≤an , se define el polinomial como:. 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ! ⋮ = (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 )! (𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 ) ! (𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛−3 )! … (𝑎2 − 𝑎1 )! (𝑎1 )! 𝑎2 ( 𝑎1 ). El concepto polinomial surge de la aplicación sucesiva de binomiales.. 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 ⋮ 𝑎2 ( 𝑎1 ) =. 𝑎𝑛 !. 𝑎𝑛−1 ! 𝑎𝑛−3 ! 𝑎3 . … (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 )! 𝑎𝑛−1 ! (𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛−3 )! 𝑎𝑛−3 ! (𝑎𝑛−3 − 𝑎𝑛−4 )! 𝑎4 ! (𝑎2 − 𝑎1 )! 𝑎1 ! .. 18.

(19) En formato numérico: 1 1. 1. 1. 2. 1 1 1 1 1. . 3. 4 5. 6 7. 3 6 10. 15 21. 1 1 4 10. 20 35. 1 5. 15 35. 1 6. 21. 1 7. 1. TRIÁNGULO CON COEFICIENTES PARA TRINOMIOS. Se presenta el triángulo hasta quinto nivel:. 1 1 1. 1. 1 2 2 1 2. 1. 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1. 1. 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1. 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1. Utilizando los trinomiales:. 19.

(20) . TRIÁNGULO CON COEFICIENTES PARA TETRANOMIOS. El triángulo hasta quinto nivel, se presenta así:. 1 1. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 1. 2. 2. 1. 2. 1. 1. 3. 3. 3. 3. 6. 6. 3. 6. 3. 1. 4. 4. 4. 6 12 12. 6 12. 6. 4 12 12 12 24 12. 4. 6 12. 6. 4 12 12. 4. 4. 6. 1. 5. 5 10 20 20 10 20 10 10 30 30 30 60 30 10 30 30 10 5 20. 5. 1. 20 30 60 30 20 60 60 20 10 5 20 30. 20. 5. 1. 1. 3. 4. 5. 3. 6. 3. 1. 3. 3. 4 12 12. 4. 1 1. 4. 1. 5 20 30 20. 5 10 10. 3. 5. 1. 5. 5 10 20 10 10 30 30. 1. Utilizando los tetranomiales, se tiene . CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO CON COEFICIENTES PARA BINOMIOS. Es una construcción muy conocida, presentada en los textos de algebra elemental y en los de grado octavo de Educación Básica. Se tiene en cuenta que cada nivel inicia con 1 y termina con 1. El nivel siguiente se obtiene sumando los términos respectivos del nivel anterior, así:. 20.

(21) 1 1 1. 1 1. 5. 7. 3. 4. 6. 1. 3. 1 1. 2. 6. 4. 10. 15 21. 1 1. 10 20. 5. 1. 15. 35. 35. 6. 1. 21. 7. 1. Se destaca que este triángulo deja leer el número de términos que deben tener él y los demás triángulos en cada nivel. Para binomios Para Trinomios .. 1 1. 1. 1 1 1 1 1 1. 3 4. 5 6. 7. 2. 21. 1 3. 6. 10. 15. 4. 1 5. 15 35. Para pentanomios.. 1. 10. 20 35. Para tetranomios. 21. Para hexanomios 1. 6. Para heptanomios.. 1 7. 1. Para este triángulo, en la figura 9 obsérvese la segunda diagonal (verde), se tiene la sucesión: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7…, quiere decir que en el primer. nivel tiene 1 término, en el segundo nivel 2 términos, en el tercer nivel 3, en el cuarto 4, en el quinto 5 y así sucesivamente, como se puede corroborar en la misma figura.. 21.

(22) Para el triángulo orientado a trinomios, figura 9 tercera diagonal (azul), se observa la sucesión: 1. 6. 3. 10. 15. 21…, se tiene pues que el primer. nivel tiene 1 término, el segundo nivel tiene 3 términos, el tercer nivel 6, el cuarto nivel 10, en el quinto 15 y se sigue con el mismo proceso. Se puede comparar mirando el triángulo para trinomios Para el triángulo construido para hexánomios, sexta diagonal (negro), se presenta la sucesión 1. 6. 21…, es decir, en el primer nivel tiene 1. término, en el segundo nivel 6 términos, en el tercer nivel 21 y se sigue. . CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA TRINOMIOS Grupo cero Grupo uno. 1 1. Grupo dos. 1. 1 2 2 1 2. Grupo tres. 1. 1 3 3 3 6 3 1 3 3. Grupo cuatro. 1. 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4. 1. Grupo cinco. 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1 FIGURA 11. Para la construcción de los demás triángulos, se tiene en cuenta el triángulo de orden anterior y se separa por grupos de la siguiente manera: Grupo cero: Siempre es de una cifra y es 1 Grupo uno: Su primera fila, es la fila dos del triángulo usual, es decir 1 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal, en su diagonal para binomios donde aparece la sucesión 1 2. 3 4 5 22. 6 7… y tomando como pivote la.

(23) fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 quedando (2. 1), para la segunda fila se multiplica por 2,. 2), para la tercera por 3 obteniéndose (3. 3) y así. sucesivamente se obtienen las filas que sean necesaria en este grupo. Grupo dos: Su primera fila, es la fila tres del triángulo usual,es decir. 12. 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal, en su diagonal para trinomios donde aparece la sucesión 1 3 6 10 15 21…, y tomando como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 2 1), para la segunda fila se multiplica por 3, quedando (3 6 3), para la tercera por 6 obteniéndose (6 12 6), para la cuarta por 10 resultando (10. 20 10) y así sucesivamente se. obtienen las filas que sean necesaria en este grupo. Grupo tres: Su primera fila, es la fila cuatro del triángulo usual, es decir. 1. 3 3 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal, en su diagonal para tetranomios donde aparece la sucesión 1. 4. 10. 20. 35. 56…, y. tomando como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 3 segunda fila se multiplica por 4, quedando (4 por 10 obteniéndose (10 (20. 60 60. 30. 30. 12. 12. 3 1), para la. 4), para la tercera. 10), para la cuarta por 20 resultando. 20) y así sucesivamente se obtienen las filas que sean. necesaria en este grupo.. 23.

(24) Grupo cuatro: Su primera fila, es la fila cinco del triángulo usual, es decir 1 4. 6 4 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal, en su diagonal para. pentanomios donde aparece la sucesión 1 5 15 35. 70…, y tomando. como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 fila se multiplica por 5, quedando (5 15 obteniéndose (15 60 140. 210. 140. 90 60. 20. 4 30. 6. 4. 20. 1), para la segunda 5), para la tercera por. 15), para la cuarta por 35 resultando (35. 35) y así sucesivamente se obtienen las filas que sean. necesaria en este grupo. Grupo cinco: Su primera fila, es la fila seis del triángulo usual, es decir 1 5 10. 10. 5. 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal, en su diagonal. para hexanomios donde aparece la sucesión 1. 6. 21. 56…, y tomando. como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1. 5. 10. segunda fila se multiplica por 6, quedando (6 30. 10 60. 60. 5. 1), para la 30. 6), para. la tercera por 21 obteniéndose (21 105. 210. 210. 560. 560 280. 105. 21), para la cuarta por 56 resultando (56. 280. 56) y así sucesivamente se obtienen las filas que sean. necesaria en este grupo. Si es necesario adicionar más grupos, se procede de idéntica forma al igual que para hallar sus filas respectivas.. 24.

(25) . CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO CON COEFICIENTES PARA TETRANOMIOS. Para la construcción de los demás triángulos, se tiene en cuenta un proceso similar, es decir, para obtener cada primera fila de grupo se tiene en cuenta el triángulo anterior (en este caso el triángulo para trinomios, figura 4), para obtener las filas de cada grupo se tiene en cuenta el triángulo de Pascal usual (figura 10): Grupo cero Grupo uno. 1 1. Grupo dos. 1 1. 1 2 2. Grupo tres. 2 1 2 2 1 2 1. 1 3 3 3. 3 6 6 3 6 3. 1 3 3 3 6 3 1 3 3. 1. Grupo cero: Siempre es de una cifra y es 1 Grupo uno : decir. 1. 1. Su primera fila, es la fila dos del triángulo para trinomios, es 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal usual, en su. diagonal para binomios donde aparece la sucesión 1 2 3 4 5 6 7… y tomando como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 segunda fila se multiplica por 2, quedando (2 obteniéndose (3 3. 2. 1. 1), para la. 2), para la tercera por 3. 3) y así sucesivamente se obtienen las filas que sean. necesaria en este grupo.. 25.

(26) Grupo dos: Su primera fila, es la fila tres del triángulo para trinomios, es decir. 12. 2. 1. 2. 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal usual,. en su diagonal para trinomios donde aparece la sucesión 1 3 6 10 15 21…, y tomando como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1. 2. 2. 1. 2. 6. 3. 6. 1), para la segunda fila se multiplica por 3, quedando (3. 3), para la tercera por 6 obteniéndose (6. 12. por 10 resultando (10. 20. 20. 20. 10. 12. 6 12. 6. 6), para la cuarta. 10) y así sucesivamente se. obtienen las filas que sean necesaria en este grupo. Grupo tres: Su primera fila, es la fila cuatro del triángulo para trinomios, es decir 1 3. 3. 3. 6. 3. 1. 3. 3. 1. Teniendo en cuenta el triángulo de pascal,. en su diagonal para tetranomios donde aparece la sucesión 1 35. 4. 10. 20. 56…, y tomando como pivote la fila 1, se multiplica esta primera fila por. el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1 6. 3. 12 (10. 1. 12 30. 3. 3. 3. 3. 3. 1), para la segunda fila se multiplica por 4, quedando (4. 12. 24. 12. 4. 12. 12 4), para la tercera por 10 obteniéndose. 30. 30. 60. 30. 10. resultando (20. 60. 60. 60. 120. 30 60. 30 10), para la cuarta por 20 20. 60. 60. 20) y así. sucesivamente se obtienen las filas que sean necesaria en este grupo. Grupo cuatro: Su primera fila, es la fila cinco del triángulo para trinomios, es decir. 26.

(27) 1. 4. 4. 6 12. 6. 4 12 12. 4. 1. 4. 6. 4. 1. Teniendo en cuenta. el triángulo de pascal, en su diagonal para pentanomios donde aparece la sucesión 1 5 15 35. 70…, y tomando como pivote la fila 1, se multiplica. esta primera fila por el número respectivo en la sucesión para obtener las demás filas, es decir, la fila uno del grupo se multiplica por 1 y queda el mismo valor (1. 4. 4. 6 12. 6. 4 12 12 4. segunda fila se multiplica por 5, quedando (5 60. 20. 5. 60. 90 180. 20. 30. 90. 20. 1. 20. 4. 6. 4. 20 30 60. 1), para la 30. 20 60. 5), para la tercera por 15 obteniéndose (15. 60 180 180. 60. 60. 90. 140 35. 35) y así sucesivamente se obtienen las filas. 140. 210. 15), para la. 140. 210. 240 420. 60. cuarta por 35 resultando (35 140. 140. 15. 60. 140 420 420. que sean necesaria en este grupo. Si es necesario adicionar más grupos, se procede de idéntica forma al igual que para hallar sus filas respectivas. Además, los triángulos para polinomios en general se construyen de forma similar. . APLICACIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL GENERALIZADO AL DESARROLLAR. POTENCIAS. ENTERAS. POSITIVAS. DE. POLINOMIOS  DESARROLLO DE POTENCIAS DE BINOMIOS. Es la aplicación típica del triángulo de Pascal, en donde intervienen dos términos, el primero inicia con la máxima potencia y el segundo con la mínima, uno va disminuyendo la potencia y el otro la va aumentando. 27.

(28) Ejemplo: desarrollar (a+b)7. Solución: Mirando el triángulo de Pascal para binomios (figura 8 o 9), en el grado 7 se tiene la sucesión 1 7 21 35 35 21 7 1 y para el desarrollo se tiene:. (a+b)7 =a7b0 +7a6b1 + 21a5b2 +35a4b3 +35a3b4 + 21a2b5 + 7a1b6 +a0b7 Dado que los términos a0 =1, y b0 =1, la respuesta se da normalmente de la forma: (a+b)7 =a7 + 7a6b1 + 21a5b2 +35a4b3 +35a3b4 + 21a2b5 + 7a1b6 +b7. Obsérvese que el término a inició con su máximo exponente 7 y sucesivamente fue disminuyendo una unidad, mientras que el otro término b , inició con el exponente cero y fue incrementando una unidad en cada paso, tener en cuenta que la suma de los exponentes de los términos siempre es la potencia que estamos determinando, en este caso 7. Ejemplo: Desarrollar (x+ 2y)4 Solución: Del triángulo de pascal usual, se determina que los coeficientes de la cuarta potencia son: 1 4 6 4 1, se tiene que:. (x+ 2y2)4 = x4 + 4x3(2y2) + 6x2(2y2)2 + 4x(2y2)3 + (2y2)4 Por lo tanto, el resultado es:. (x+ 2y2)4 = x4 +8x3y2 + 24x2y4 +32xy6 +16y8 28.

(29)  DESARROLLO DE POTENCIAS DE TRINOMIOS. Se desarrolla de una manera similar que los binomios teniendo en cuenta dos detalles, en primer lugar, hay que utilizar el triángulo para trinomios y en segundo lugar hay que ordenar los términos a utilizar, es decir aparece inicialmente el primer término, luego el segundo y finalmente el tercero. Obsérvese el proceso en el ejemplo siguiente:. Ejemplo: Expandir (a+b+c)3 Solución: Se va a asumir el orden, primero el término a, segundo b y tercero el término c. Observando el triángulo para trinomios (figura 4) en el grado tres, se tiene la siguiente sucesión: 1. 3. 3. 3. 6. 3. 1. 3. 3. 1, así el. desarrollo es:. (a+b+c)3 =a3 +3a2b+3a2c+3ab2 + 6abc+3ac2 +b3 +3b2c+3bc2 +c3,. Observe que aparece a elevada a la máxima potencia, luego disminuye una unidad en el exponente y aparece b , luego con el mismo exponente aparece c. Luego a disminuye nuevamente una unidad y se combina priorizando b sobre c, cuando desaparece a, se hace la combinación usual entre b y c.. Ejemplo: Expandir (a+b+c)5 Solución: Observando el triángulo para trinomios(figura 4) en el grado quinto, se encuentra la sucesión: 1 5. 1. 5 10 10. 5. 5. 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20. 1, por lo tanto la expansión será:. (a+b+c)5 =a5 +5a4b+5a4c+10a3b2 + 20a3bc+10a3c2 +10a2b3 +30a2b2c 29.

(30) +30a2bc2 +10a2c3 +5ab4 + 20ab3c+30ab2c2 + 20abc3 +5ac4 +b5 +5b4c +10b3c2 +10b2c3 +5bc4 +c5  DESARROLLO DE POTENCIAS PARA POLINOMIOS. Se utiliza el mismo proceso que en el anterior, teniendo siempre en cuenta el orden de las variables y el triángulo respectivo.. Ejemplo: Expandir (a+b+c+d)4. Solución: Observando el triángulo para tetranomios en la cuarta potencia se tiene la sucesión 1 12 12. 4. 1. 44. 4. 4 6 12. 4 6. 6 12 12 4 12 12. 6 12 4. 6 1. 4 12 12 12 24 12 4. 6. 4. 4. 1, luego la. expansión será: (a+b+c+d)4 =a4 + 4a3b+ 4a3c+ 4a3d + 6a2b2 +12a2bc+12a2bd + 6a2c2 +12a2cd + 6a2d2 + 4ab3 +12ab2c+12ab2d +12abc2 + 24abcd +12abd2 + 4ac3 +12ac2d + 4acd2 +b4 + 4b3c+ 4b3d + 6b2c2 +12b2cd + 6b2d2 + 4bc3 +12bc2d +12bcd2 + 4bd3 +c4 + 4c3d + 6c2d2 + 4cd3 +d4. De manera similar se trabaja cualquier polinomio, elevado a una potencia entera positiva. El Binomio de Newton El binomio de newton es un multinomio producido mediante la secuencia de combinatorias, está compuesto principalmente por productos de ambos monomios elevados a sus potencias complementarias dando así su expansión y la posición de un término resulta sumándole uno al subíndice 30.

(31) combinatorio. El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton es:. 𝑛. (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ∁𝑛𝑖 𝑎𝑛−𝑖 𝑏𝑖 (𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜) 𝑖=0. 𝑡𝑘+1= ∁𝑛𝑘 𝑎𝑛−𝑘 𝑏𝑘 , 𝑡𝑘+1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛. Por ejemplo:. (𝑎 + 𝑏)5 = ∁50 𝑎5−0 𝑏0 + ∁15 𝑎5−1 𝑏1 + ∁52 𝑎5−2 𝑏2 + ∁53 𝑎5−3 𝑏3 + ∁54 𝑎5−4 𝑏4 + ∁55 𝑎5−5 𝑏5. (𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏1 + 10𝑎3 𝑏2 + 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎1 𝑏4 + 𝑏5. 𝑡4= ∁53 𝑎5−3 𝑏3 = 10𝑎2 𝑏3 , cuarto término de la expansión pentanomial. El Multinomio de Leibnitz Autor: Leibnitz. matemático y filósofo alemán. En su nueva expresión homogénea y perfectamente determinada de la forma newtoniana, Se explica cómo se pueden obtener los coeficientes multinomiales, de un polinomio de r términos, elevado a la potencia m, a partir de las particiones discretas de m en r, y como se determina el n⁰ de veces en que aparece c/u en el desarrollo del polinomio, utilizando la definición clásica de coeficiente multinomial como permutaciones con 31.

(32) repetición .Se estudia la geometría de cada cuerpo plano (Triángulos), y espaciales (tetraedros), involucrados en la distribución espacial de los coeficientes multinomiales, y se muestra un modelo estructural del conjunto triángulo de Pascal-pirámide de Pa Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, la fórmula multinomial indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:. Por ejemplo: (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 )3 = 𝑎13 + 3𝑎12 𝑎2 + 3𝑎1 𝑎22 + 𝑎23 + 3𝑎12 𝑎3 + 6𝑎1 𝑎2 𝑎3 + 3𝑎22 𝑎3 + 3𝑎1 𝑎32 + 3𝑎2 𝑎32 + 𝑎33. 2.1.2 NIVEL NACIONAL El Polinomio de Villarreal Autor: federico Villarreal. Matemático e ingeniero peruano. Es el álgebra de polinomios ordenados y completos que resultan al elevar a la potencia un polinomio ordenado y completo originando otro polinomio de la misma naturaleza y de orden m.n. todo esto Villarreal lo efectúa mediante las derivadas parciales y mediante la identidad logra encontrar sus coeficientes en general.. En 1873, encontrándose en su pueblo natal Túcume del departamento de Lambayeque (Perú) Federico Villarreal V. (1850-1923) descubre un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este hecho provocó que otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a profundidad este descubrimiento y bautizase el 32.

(33) desarrollo de la potencia del polinomio como el "Polinomio de Villarreal". El historiador peruano Jorge Basadre en su "Historia de La Republica del Perú" (Tomo X, pag.28) dice: " Es tan perfecto que aún para el caso de un binomio resulta fácil y seguro y rápido que el método del binomio de Newton. En su tesis de 1879 para optar el grado de bachiller en ciencias matemáticas titulado “Formulas y Métodos que deben completarse en matemáticas puras" Villarreal inserta su método pasando desapercibido- según él " por el estado de las matemáticas del Perú “Este novedoso método Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo de 1886 en la revista “La Gaceta Científica" (2do tomo) pero como siempre sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida importancia a su trabajo. En 1919 Villarreal nuevamente publica su método esta vez en la "Revista de Ciencias" bajo el título de: “Elevación de polinomios a una potencia cualquiera" que es justamente el título de este trabajo. Método del Polinomio de Villarreal Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "m": y elevémoslo a la n-ésima potencia, es de esperarse que el resultado sea otro polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "mn": Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado de “x” y de grado “m” 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑥 𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑥 𝑚−3 + ⋯ 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0. 33.

(34) (𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑥 𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑥 𝑚−3 + ⋯ 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 )𝑛 = 𝑏𝑚𝑛 𝑥 𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛−1 𝑥 𝑚𝑛−1 + 𝑏𝑚𝑛−2 𝑥 𝑚𝑛−2 + 𝑏𝑚𝑛−3 𝑥 𝑚𝑛−3 + ⋯ 𝑏1 𝑥1 + 𝑏0 Usando el método de coeficientes indeterminados de Leibnits para 𝑏𝑖 Haciendo: G(x) = 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑥 𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑥 𝑚−3 + ⋯ 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0 F(x) = 𝑏𝑚𝑛 𝑥 𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛−1 𝑥 𝑚𝑛−1 + 𝑏𝑚𝑛−2 𝑥 𝑚𝑛−2 + 𝑏𝑚𝑛−3 𝑥 𝑚𝑛−3 + ⋯ 𝑏1 𝑥1 + 𝑏0 Haciendo [G(x)]𝑛 = F(x). Tomando derivadas y multiplicando por G(x) a cada miembro 𝑛[G(x)]𝑛 G´(x) = F´(x)G(x) Análogamente. hasta. encontrar. 𝑘−1. 𝑏𝑘 = ∑ [ 𝑗=0. todos. coeficientes. de. “F”. obtenemos. (𝑘 − 𝑗 )(𝑛 + 𝑗 ) − 𝑘 𝑎𝑘−𝑗 ]( ) 𝑏𝑗 𝑘 𝑎0. 2.1.3 NIVEL LOCAL No se encontró ningún tipo de estudio. 2.2. TEÓRIAS BÁSICAS. Como bases tenemos a la teoría combinatoria, la inducción, las leyes de formación, arreglos, inducción. el triángulo de tartaglia-pascal entre otros. Que sirven como bases para construcción de este importante conocimiento y para ciertas construcciones que nos permitió intuir con facilidad. 34.

(35) 2.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS En matemática es frecuente utilizar expresiones que combinan números y letras (o solamente letras) para representar alguna situación problemática, debido a ello es común hallar expresiones de la forma: x + 2y − 3z Las expresiones que resultan de combinar números y letras, relacionándolos con las operaciones usuales, en general, se llaman expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas pueden clasificarse según el tipo de exponentes de la siguiente manera:. Figura 1 Clasificación de expresiones algebraicas según sus exponentes. Entro de las expresiones racionales enteras, nuevamente tenemos una clasificación según el número de variables que posea:. Figura 2 Clasificación de expresiones algebraicas según el número de variables. 35.

(36) Definición 1. Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma: anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 donde n un entero no negativo y a0, a1, . . . , an ∈ R. Si an≠ 0, entonces n es el grado del polinomio (denotado por deg(p(x)) = n) y an es llamado coeficiente principal. Denotaremos a los polinomios en la variable x de la siguiente manera: P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 Definición 2. Sea P (x) un polinomio de∈ grado n y a R. Llamamos valor numérico de P (x) cuando x = a, denotado por P (a), al número real de nido por: P (a) = an(a)n + an−1(a)n−1 + · · · + a1(a) + a0 Si a = 0, P (0) = a0 es llamado término independiente del polinomio P (x). Algunas de las propiedades de los números reales, así como sus operaciones básicas, se extienden a los polinomios, de esta manera tenemos adición, multiplicación y potenciación de polinomios. En lo que resta de este trabajo, nos centraremos en estas operaciones entre polinomios, así como también en la obtención de una generalización de la potenciación desarrollada por Federico Villarreal, usando herramientas matemáticas ligeramente sofisticadas. Para multiplicar expresiones algebraicas (en particular polinomios) usamos la propiedad distributiva, o bien es el caso, uno de los productos notables ya conocidos, es decir, un resultado que forma 36.

(37) parte de una lista ya calculada de potencias de expresiones algebraicas específicas, por ejemplo, el desarrollo de un binomio al cuadrado, o un trinomio al cubo, etc. Ejemplo. Obtener el desarrollo de la siguiente expresión: (2x2 + 3)2 Solución. Conociendo el desarrollo del siguiente producto notable:. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (binomio al cuadrado). Es sencillo resolver nuestro ejemplo, solo resta reemplazar a = 2x2 y b = 3, respetando las propiedades de la multiplicación de polinomios y la teoría de exponentes, tenemos: a2 = 4x4. 2ab = 12x2 b2 = 9. Finalmente, reemplazando: (2x2 + 3)2 = 4x4 + 12x2 + 9 Ejemplo. Obtener el desarrollo de la siguiente expresión: (2x2 + 3)4 Solución. Aunque el polinomio continúa siendo el mismo, el desarrollo de esta potencia ya no se encuentra dentro de las listas de productos notables conocidas, por ello debemos reescribir nuestra expresión de la siguiente manera: Σ Σ (2x2 + 3)4 = [(2𝑥2 + 3)2 ]2 Usando el ejemplo anterior:. (2x2 + 3)2 = 4x4 + 12x2 + 9 Así:. . (2x2 + 3)4 = 4x4 + 12x2 + 9 37.

(38) Conocemos el desarrollo del producto notable: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (Trinomio al cuadrado) Reemplazando a = 4x4, b = 12x2 y c = 9, tenemos: a2 = 16x8 2ab = 96x6. b2 = 144x4 c2 = 81 2ac = 72x4. 2bc = 216x2. Ordenando los elementos por su grado, y reemplazando obtenemos: (2x2 + 3)4 = 16x8 + 96x6 + 72x4 + 144x4 + 216x2 + 81 Operativizando 72x4 + 144x4 = 216x4 : (2x2 + 3)4 = 16x8 + 96x6 + 216x4 + 216x2 + 81 Como podemos observar, la lista de productos notables (en particular, binomio y trinomio al cuadrado) nos ayudó a la resolución de la potencia pedida. En realidad, fue gracias a la reescritura de la potencia 4 y del ejemplo anterior que pudimos desarrollar la potencia simplemente reemplazando los términos. Esta es la principal desventaja de la lista de producto notables: la lista es muy pequeña. Ejemplo. Obtener el desarrollo de la siguiente expresión: (2x2 + 3)8 Solución. A pesar que podemos reescribir nuestra potencia: (2x2 + 3)8 = (2x2 + 3)4 2. Tenemos nuestra primera dificultad: el polinomio (2x2 + 3)4. 38.

(39) tiene 5 términos, y no conocemos el producto notable: (a + b + c + d + e)2 Una forma de resolución es agrupar los términos del polinomio (2x2 + 3)4 de tal manera que podamos aplicar un cambio de variables, para poder expresar dicho polinomio como una suma de binomios o trinomios, por ejemplo: (2x2 + 3)4 = (16x8 + 96xs 6 + 216x4) + (216x2 + 81 Es decir, nuestra reasignación. será: P (x) = 16x8 + 96x6 + 216x4. Q(x). = 216x2 + 81 (2x2 + 3)4 = P (x) + Q(x) Sin embargo, cuando intentemos desarrollar la potencia pedida: (2x2 + 3)8 = (2x2 + 3)4 2= [P (x) + Q(x)]2 = P 2(x)+ 2P (x)Q(x)+Q2(x) Obtendremos un "desorden de potencias", esto es, dentro de P2(x) y Q2(x). existen. términos. de. grado. 4. que. aún. no. han. sido. operativizados, de igual manera dentro de P (x)Q(x) y P 2 (x) tenemos términos de grado 8 que tampoco han sido operativizados. Esto implica que luego de realizar la laboriosa tarea de elevar esos dos polinomios (trinomio y binomio) al cuadrado y de multiplicarlos entre sí, aún después, necesitaremos sumar los términos semejantes y reordenar las potencias, por tal motivo esta metodología es poco eficiente para obtener la potencia pedida.. 39.

(40) De esta observación surge el cuestionamiento: ¿Será que podríamos expresar el desarrollo de cualquier potencia de un polinomio de una manera ordenada y reducida? 2.2.2 Binomio de Newton La respuesta a los cuestionamientos anteriores es parcialmente afirmativa, y proviene del teorema del −binomio de Newton. Este teorema nos dá una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n ésima (siendo n entero positivo) de un binomio, es decir nos da una manera de conocer el desarrollo de la potencia (a + b)n como suma de términos de la forma kambp, donde los exponentes m y p son enteros positivos tales que m + p = n, y el coeficiente k de cada término es un número que depende de n, m y p.. El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, y fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario y secretario de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera carta fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un pedido del lósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre series. Newton responde. 40.

(41) también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios. A partir de este hallazgo Newton intuyó que era posible operar con series infinita del mismo modo que con expresiones polinómicas. Newton no se encargó jamás de publicar el teorema del binomio, quien lo hizo fue el matemático británico John Wallis, en el año 1685, atribuyendo a Newton este gran hallazgo.. 2.2.3. Teorema del binomio de Newton Para conocer más respecto al teorema del binomio de Newton tenemos que entender las operaciones inmersas en la potenciación, así como también usar algunas nuevas herramientas para facilitar la demostración. Es así que por ejemplo en los enteros la multiplicación de términos iguales (potenciación), es en general definida por medio de una inducción:  Dado n entero no negativo y a = 0, definimos la potencia n-ésima de a, denotada por an de la siguiente forma: a · an−1 =a. si n > 0 y an =1 si n =0. Otra operación en los enteros no negativos que también es frecuentemente, es la operación factorial. Para cada entero no negativo n.  Definimos la factorial de “n”, denotado por n! de la siguiente forma:𝑛! = 1 𝑠𝑖 n = 0 n! =n · (n − 1)!. sí n > 0 donde “n” es entero positivo. 41.

(42) . Sean m, n enteros no nulos tales n ≤ m y m ≥ 0 y. Definimos el coeficiente. binomial. de. m. sobre. n,. denotado. por:. 𝑚! 𝑚 ( )= 𝑛 (𝑚 − 𝑛 )! 𝑛!. 2.3 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS 2.3.1 POLINOMIO Es una suma de términos algebraicos que son propiamente monomios con la característica principal de que sus exponentes son enteros positivos. En algebra lineal el polinomio es un anillo dotadas de operaciones internas de adición y multiplicación y elementos neutros de cero y uno respectivamente en este caso polinomio nulo y polinomio Mónico. Y tendría la siguiente estructura algebraica como terna (P, x, +) 2.3.2 MULTINOMIO Esta terminología se usaba anteriormente pero actualmente el polinomio esta más de moda, ya que tiene múltiples aplicaciones. Al multinomio lo considero como una suma de términos algebraicos que a diferencia del polinomio este tiene exponentes sin frontera y se podría decir que es todo tipo de expresión matemática. 2.3.3SERIES Y SUCESIONES Una serie es una suma de términos de una sucesión y este último es una secuencia de términos, cuya característica es la razón que genera una sucesión ya sea geométrica, aritmética o mixta. 2.3.4 ALGORITMO Es un conjunto de pasos a seguir para obtener un fin. 42.

(43) 2.3.5 MATRIZ Llamamos Matriz a un arreglo rectangular de datos. En sistema de ecuaciones consideramos los coeficientes como datos 2.3.6 TÉRMINO K-ÉSIMO Posición que ocupa en la expansión de la potencia de un multinomio 2.3.7 POLINOMIO DE TAYLOR Polinomio con coeficientes expresadas con derivación, y que representan a una función. 2.3.8 EXPANSIÓN MULTINOMIAL Es el desarrollo polinómico de la ´potencia de una suma de términos. Los conocimientos actuales que me inspiró hacer este proyecto son los distintos métodos que existen para solucionar problemas como son lo de Newton y Leibnitz 2.3.9 INDUCCIÓN MÚLTIPLE La experimentación con la variación de la potencia y la de la base nos permite inducir es una pequeña fórmula del número de términos que tendrá un multinomio. 2.3.10 GENERACIÓN DE LA MATRIZ DE TÉRMINOS El álgebra no ayuda a intuir, lo que implica mayor disponibilidad para poder armar una matriz en función a las variaciones de la potencia (filas) y la base (columnas), para una misma relación. 2.3.11 ALGORITMO DE LA POSICIÓN DE UN TÉRMINO Las combinaciones, como los subíndices, que se emplean en el algoritmo, reaccionan con la secuencia cíclica de las filas, produciendo su posición de un término.. 43.

(44) En la secuencia algebraica, las columnas están controladas con la potencia, eliminándose cada fila consecutivamente. 2.3.12 ALGORITMO DE LA EXPANSION Los términos de la expansión tienen el orden cíclico en subíndices o columnas de la matriz, provocando expansiones ordenadas que pueden originar un multinomio ordenado y completo. La algebra de lagrange daría a conocer su polinomio multivariable fundamental generalizado ordenado y completo. 2.3.13 POLINOMIO MULTIVARIABLE APLICADO AL METODO TAYLOR El Polinomio de Taylor que se conoce en una variable se podrá generalizar ya que se tuvo un orden secuencial.. 2.4 BASES EPISTÉMICAS Los conocimientos actuales que me inspiró hacer este proyecto son los distintos métodos que existen para solucionar problemas como son lo de Newton, Leibniz y la de Villarreal. En general siempre solía preguntarme que, si existiría el binomio generalizado con todas sus partes, ¿En qué fuente de investigación debo buscarlo? Y, si de no hallarlo ¿Por dónde debo empezar a atacar el problema? Y ¿Con que herramientas solucionar el problema?. 44.

(45) CAPÍTULO III METODOLÓGIA. 3.1. METODOS Y TECNICAS 3.1.1. Método Usamos el método descriptivo porque nos permite recoger datos para luego analizarlos y posteriormente interpretarlos. También utilizamos el método explicativo, dado a que trabajamos los análisis de dos variables relacionados causalmente. Utilizamos también el método de análisis, hecho que nos permitió tener una mayor comprensión de los componentes de cada una de las variables. Asimismo, el método de síntesis, que nos orientó a integrar el proceso de comprensión de las variables analizadas. 3.1.2. Técnica  Fichaje. – hemos usado esta técnica para recopilar datos pertinentes a nuestra investigación; tales como el número de combinatorias de la expansión, el número de términos de la expansión, y, las filas y columnas que tiene el termino general de la generalización del binomio a lo que vamos investigar, asimismo con esta técnica se va buscar trabajar con las fuentes documentales, material bibliográfico y demás datos pertinentes.. 45.

(46) 3.2.. TIPO Y NIVEL DE INVESTIGACIÓN 3.2.1 Tipo: INVESTIGACIÓN BÁSICA. Tomando como referencia los tipos de investigación que presenta Lizardo Carbajal Rodriguez en su obra titulada metodología de la investigación (2002:12) la presente investigación es básica porque tiene como principal objetivo la obtención de conocimiento, desarrollar conceptos mediante el descubrimiento, y no se trata de una investigación aplicada, es decir será eminentemente teórico en el cual no se va plantear modificar la estructura del objeto de investigación, sino de hacer un análisis descriptivo del objeto al que se va investigar. 3.2.2. Nivel: NIVEL DESCRIPTIVO- EXPLICATIVO Esta investigación es descriptiva porque a partir de la relación causal de variables vamos a obtener resultados de la presente investigación; así mismo va permitirnos recoger características de las variables de investigación y es explicativo pues porque se. trata de efectuar un. proceso de abstracción a fin de destacar aquellos elementos, aspectos o relaciones que se consideran básicos para comprender los objetos y procesos de la investigación.. 46.

(47) CAPÍTULO IV RESULTADOS 4.1 La expansión multinomial 𝑚. 𝑛. 𝑦−𝑧 𝑧 (∑ 𝑥𝑖 ) = ∑ ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑧𝑦 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑚−1 𝑥𝑚 𝑖=1. Donde: “n” es número de términos de la base y “m” la potencia, todos ellos naturales.. Este valor indica la expresión algebraica que tendría el término de una. expansión multinomial. Esto quiere decir que los términos tienen una. secuencia determinada.. 4.2 El número de términos de la expansión multinomial. tn =. (n + m − 1)! n! (m − 1)!. 4.3 El algoritmo del término general de la expansión multinomial sean k, u, a, n, v, 𝑘𝑖 naturales y ∁ es combinatorias y ! factorial donde u!. están definidos como ∁𝑢𝑣 = v!(u−v)! , 𝑢 > 𝑣 y 𝑥! = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) … .3.2.1 𝑘=∁𝑢𝑛 +𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, 𝑎 ≠ 0 𝑘1 =∁𝑣𝑛−1 + 𝑘2 → 𝑏 = 𝑣 − 𝑛 − 1,. 47.

(48) Caso 1 Cuando k se encajó exacto en uno de los elementos de la matriz el primer subíndice será 𝑘=∁𝑢𝑛 + 𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, si 𝑘1 = 0 → 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = ⋯ = 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 ≠ 0 Caso 2 Si k es suficiente en la columna de exceso en una fila inferior de donde vive los subíndices restantes serán iguales a cero 𝑘=∁𝑢𝑛 +𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, 𝑎 = 0 𝑘1 =∁𝑣𝑛−1 + 𝑘2 → 𝑏 = 𝑣 − 𝑛 − 1,. 48.

(49) CAPITULO V DISCUSIÓN DE RESULTADOS 5.1. LA. EXPANSIÓN. DE. LA 𝑛. POTENCIA. DE. UN. MULTINOMIO. 𝑚. (∑ 𝑥𝑖 ) = ⋯ 𝑖=1. Si fuera un binomio usaríamos el método newton, y si se aumentaría polinómicamente ordenado de dos variables, la base se expandiría con el método Villarreal, Leibnitz lo desarrolla usando el triángulo aritmético. Haciendo expansiones multinomiales con números de términos de la base 1, 2, 3, 4, 5 y con potencias de 1, 2, 3, 4 y 5 intuimos que si el binomio tiene una combinatoria como operador podríamos suponer que el trinomio elevado a cualquier potencia tendría dos combinatorias y que su primer subíndice haría el salto al superíndice de la combinación y sus subíndices estarían regidos cíclicamente por el superíndice. Esta intuición provino que al momento de hacer una expansión sucesiva mediante el binomio de newton; de trinomios al cuadrado, tetranomios al cuadrado, tinomios al cubo, trinomios a la cuarta, tetranomios al cuadrado, tretranomios al cubo, tetranomios a la cuarta, tetranomios a la quinta y pentanomios a la quinta. Donde las expansiones salieron desordenados y con muchos monomios idénticos las cuales se tuvieron que sumar, luego lo comparamos con muestra expansión ordenada resultando ser expansiones idénticas. Por el binomio es muy complejo puesto que tuvimos que sumar términos semejantes y multiplicar varias veces, coeficientes y variables. Nuestro resultado expande algorítmicamente los términos ordenadamente y de allí es 49.

(50) un gran aporte a la matemática ya que estable la secuencia de un multinomio ordenado y completo.. Era lógico pensar que podríamos atacar a este problema con el binomio de newton así:. 𝑚. 𝑛. 𝑚. 𝑛−1. 𝑛−1. 𝑛−𝑖. 𝑛−1. (∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑥𝑖 + 𝑥𝑛 ) = ∑ ∁𝑛−1 (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖 𝑖=1. 𝑖=1 𝑚. 𝑛−𝑖. 𝑖=0 𝑛−2. 𝑖=1 𝑛−𝑖−𝑗. = ∑ ∁𝑛−𝑖 ∑ ∁𝑗𝑛−𝑖 (∑ 𝑥𝑗 ) 𝑖 𝑖=0 𝑚. 𝑗=0. 𝑛−𝑖−𝑗. 𝑛−𝑖. 𝑛−𝑖−𝑗. 𝑖=0. 𝑗=0. 𝑘=0. 𝑗. 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑖. 𝑖=1 𝑛−2. = ∑ ∁𝑛−𝑖 ∑ ∁𝑗𝑛−𝑖 ∑ ∁𝑘 𝑖. 𝑥𝑛𝑖. 𝑛−𝑖−𝑗−𝑘. (∑ 𝑥𝑗 ). 𝑗. 𝑘 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑖. 𝑖=1. Análogamente se tuvo “n-1” combinatorias. El gran problema era como conectar estas combinatorias la cual conseguimos intuyendo y enlazando superíndices con subíndices y suponiendo que tendría la forma los sometimos a prueba con base de 5 términos y potencias de 5 lo cual expandieron por los mismos términos de la expansión de manera ordenada. Resultando este mecanismo o algoritmo muy eficiente en comparación al método de Leibniz, porque el sugiere usar el triangulo y eso demanda tiempo y espacio. También esta forma generaliza y deja muy obsoleto al llamado polinomio de Villarreal ya que el sugiere usar derivadas y es todo un llenado de hojas. 𝑛. 𝑚. 𝑦−𝑧 𝑧 (∑ 𝑥𝑖 ) = ∑ ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑧𝑦 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 𝑖=1. 50.

(51) De aquí se intuye que los índices podrían estar repetidos algorítmicamente y siguiendo un ciclo expansivo, esto fue mi mayor certeza sin haber aun conocido lo de Leibnitz y su expansión.. Un superíndice tendrá su ciclo que generará sus términos correspondientes y tendrá la siguiente forma:. 𝑦. 𝑦−𝑧. ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑧 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑧. “a” es el superíndice cíclico mayor que los demás y los subíndices tendrán que alcanzar a su superíndice obligando avanza en una unidad al anterior de 𝑦. 𝑦−𝑧. la misma hasta igualar al mayor superíndice. ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑧 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑧 = 𝑦. ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑢𝑥 ∁𝑦𝑥 ∁𝑦 → ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑢𝑥 ∁𝑥𝑥 ∁𝑥𝑥 → ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 ∁𝑎𝑏 ∁𝑏𝑐 … ∁𝑢𝑢 ∁𝑢𝑢 ∁𝑢𝑢 → ∁𝑎𝑎 ∁𝑎𝑎 ∁𝑎𝑎 ∁𝑎𝑎 … ∁𝑎𝑎 ∁𝑎𝑎 ∁𝑎𝑎. 5.2 EL NÚMERO DE TÉRMINOS DE LA EXPANSIÓN DE LA POTENCIA MULTINOMIAL Esto se hizo inductivamente como se muestra a continuación: Para cada par (m; n) tuvimos. (m=2; n) n=0,1 n=1, 2. 51.

(52) n=2,3 1, 2, 3, 4, 5,…, n, n+1=∁1𝑛+1 (m=3; n) n=0,1 n=1, 3 n=2,6 1,. 3=1+2,. 6=1+2+3,. 10=1+2+3+4,. 15=1+2+3+4+5,…..,. n(n+1)/2,. 𝑛+1 (n+1)(n+2)/2=1+2+3+…+n+1=∑𝑛+1 =∁𝑛+2 2 𝑖=1 ∁𝑖. (m=4; n) n=0,1 n=1, 4=1+3 n=2,10 =1+3+6=4+6 𝑛+2 𝑛+2 𝑛+3 n,1+3+6+10+20+…+ ∁𝑛+2 ∁3 2 =∑𝑖=1 ∁𝑖. Análogamente para los siguientes pares y en general para todo (m; n) el numero asignado a la cantidad de términos fue. 𝑡(𝑚, 𝑛) = ∁𝑛+𝑚−1 𝑚−1 =. (𝑚 + 𝑛 − 1 )! 𝑛! (𝑚 − 1)!. Haciendo un arreglo con todos estos resultados obtenemos la bonita matriz de los términos, teniendo esta como columna a la potencia y como fila al. 52.

(53) número de monomios de la base que a partir en adelante se denominara fila base. Teniendo así las siguientes características: 1.. la primera fila es la inducida del binomio y de allí para arriba todo es. secuencial 2.. la primera fila es la potencia cero y de ahí para adelante todo es. secuencial 3.. si queremos encontrar la cantidad de términos de una expansión solo. localizamos el vector en la matriz la cual automáticamente nos dará la cantidad. Columnas de subíndices 0 1 2………𝑛 − 1 𝑛 𝑚−1 𝑚 𝑚+1 𝑛+3 𝑛+𝑚−2 𝑚 ∁𝑚−1 ∁𝑚−1 ∁𝑚−1 … ∁𝑚−1 ∁𝑚−1 … ⋯ ⋮ 4 5 6 6 ∁ ∁ ∁ … … . ∁𝑛+3 ∁𝑛+4 … 4 4 4 4 4 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 3 4 5 𝑛+2 𝑛+3 5 ∁ 3 ∁3 ∁3 … . . . . ∁3 ∁3 . . . 2 3 4 𝑛+1 𝑛+2 4 ∁2 ∁2 ∁2 … … . . ∁2 ∁2 . . 1 2 3 𝑛 3 ∁1 ∁1 ∁1 … … … ∁1 ∁1𝑛+1 . . ( 2 ∁00 ∁10 ∁20 … … … ∁𝑛−1 ∁𝑛0 ) 0. ∁𝑛+𝑚−1 𝑚−1 ∁𝑛+𝑚−2 𝑚−2 𝑀𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 ⋮ ⋮ ∁𝑛+4 4 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 = ∁𝑛+3 𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 3 𝑛+2 ⋮ ∁2 ( 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 ) ∁1𝑛+1 ( ∁𝑛0 ) Se verifica ∁𝑛𝑘−1 + ∁𝑛𝑘 = ∁𝑛+1 y se observa que el triángulo de pascal se deformo 𝑘. 53.

(54) 5.3 EL K-ÉSIMO TÉRMINO DE LA EXPANSIÓN MULTINOMIAL He usado la matriz de términos inventando un algoritmo dándole sentido mediante intuición Columnas potenciales 0 1 2………𝑛 𝑛+1 𝑚 𝑚+1 𝑛+3 𝑛+𝑚−2 𝑚 ∁𝑚−1 ∁ ∁ … ∁ ∁ … 𝑚−1 𝑚−1 𝑚−1 𝑚−1 𝑚−1 ⋯ ⋮ 4 5 6 5 ∁ ∁ ∁ … … . ∁𝑛+3 ∁𝑛+4 … 4 4 4 4 4 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 3 4 5 𝑛+2 𝑛+3 4 ∁ 3 ∁3 ∁3 … . . . . ∁3 ∁3 . . . 2 3 4 𝑛+1 𝑛+2 3 ∁2 ∁2 ∁2 … … . . ∁2 ∁2 . . 1 2 3 𝑛 2 ∁1 ∁1 ∁1 … … … ∁1 ∁1𝑛+1 . . 0 ∁10 ∁20 … … … ∁1𝑛−1 ∁1𝑛 . . ) ( 1 ∁0 Esta matriz lo puse explícitamente. fila base. 0 1 2………𝑛 𝑛+1 𝑚 𝑚+1 𝑛+3 𝑛+𝑚−2 𝑚 ∁𝑚−1 … 𝑚−1 ∁𝑚−1 ∁𝑚−1 … ∁𝑚−1 ∁𝑚−1 ⋯ ⋮ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 5 1 + 5 + 15 + 35 + 70 … 4 1 + 4 + 10 + 20 + 35. . . 3 1 + 3 + 6 + 10 + 15+. . 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. . ( ) 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1+. .. Su algoritmo o mecanismo de funcionamiento. Fue, que dado un término cualesquiera de la expansión se modelo matemáticamente de la siguiente manera: Sea 𝑡𝑘 el término que se quiere encontrar de la expansión del multinomio de la forma (n, m) Este problema fue atacado por medio de la matriz haciéndole reiteraciones sucesivas hasta lograr eliminar los restos que a continuación explicamos. 54.

(55) El vector (n, m) nos indica donde atacaremos primero Si “k” siendo un número entero positivo no logra completar exactamente en uno de los vectores dejándose el primer subíndice de la combinatoria. El resto de k será continuado en la fila inferior como “l” 𝑘=∁𝑢𝑛 +𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, 𝑎 ≠ 0 𝑘1 =∁𝑣𝑛−1 + 𝑘2 → 𝑏 = 𝑣 − 𝑛 − 1, Caso 1 Cuando k se encajó exacto en uno de los elementos de la matriz el primer subíndice será 𝑘=∁𝑢𝑛 + 𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, si 𝑘1 = 0 → 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = ⋯ = 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 ≠ 0 Caso 2 Si k es suficiente en la columna de exceso en una fila inferior de donde vive los subíndices restantes serán iguales a cero 𝑘=∁𝑢𝑛 +𝑘1 → 𝑎 = 𝑢 − 𝑛, 𝑎 = 0 𝑘1 =∁𝑣𝑛−1 + 𝑘2 → 𝑏 = 𝑣 − 𝑛 − 1, 𝑦. 𝑦−𝑧. 𝑡𝑘 = ∁𝑛𝑎 ∁𝑎𝑏 … ∁𝑧 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑧 Este valor indica la expresión algebraica que tendría el término de una expansión multinomial. Esto quiere decir que los términos tienen una secuencia determinada.. 55.

(56) 5.4. Prueba de tesis Se sometió a prueba las hipótesis planteadas para su generalización, considerando los siguientes pasos:. Hipótesis general 1. Formulación de la hipótesis. . Ho: No existe la Generalización del binomio de Newton con todas sus. propiedades; con el uso de combinatorias, algoritmos, matrices e inducciones.. . Ha: Existe la Generalización del binomio de Newton con todas sus. propiedades con el uso de combinatorias, algoritmos,. matrices e. inducciones. 2.. PRUEBA DE LA EXPANSION MULTINOMIAL. todos los coeficientes y potencias de variables que obtuvimos fueron simplificados de las combinatorias y el orden de la secuencia fue por el patrón. de. distribución. de. subíndices. 𝑦. y. superindices. 𝑦−𝑧. 𝑡𝑘 = ∁𝑛𝑎 ∁𝑎𝑏 … ∁𝑧 𝑥1𝑎−𝑏 𝑥2𝑏−𝑐 … 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛𝑧. (𝑎1 )1 = 𝑎1 (𝑎1 + 𝑎2 )1 = 𝑎1 + 𝑎2 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 )1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 )1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 (𝑎1 )2 = 𝑎12 (𝑎1 + 𝑎2 )2 = 𝑎12 + 2𝑎11 𝑎12 + 𝑎22 56.

(57) (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 )2 = 𝑎12 + 3𝑎11 𝑎12 + 2𝑎11 𝑎13 + 𝑎22 + 2𝑎12 𝑎13 + 2𝑎12 𝑎14 + 𝑎32. (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 )2 = 𝑎12 + 3𝑎11 𝑎12 + 2𝑎11 𝑎13 + 2𝑎11 𝑎14 + 𝑎22 + 2𝑎12 𝑎13 + 2𝑎12 𝑎14 + 𝑎32 + 2𝑎13 𝑎14 + 𝑎42. (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 )3 = 𝑎12 + 3𝑎12 𝑎12 + 3𝑎12 𝑎13 + 𝑎22 + 3𝑎22 𝑎13 + 𝑎32 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 )3 = 𝑎13 + 3𝑎12 𝑎12 + 3𝑎12 𝑎13 + 3𝑎12 𝑎14 + 𝑎22 + 3𝑎22 𝑎13 + 3𝑎22 𝑎14 + 𝑎32 + 3𝑎32 𝑎14 + 𝑎43. (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 )4 = 𝑎14 + 4𝑎13 𝑎12 + 4𝑎13 𝑎13 + 4𝑎13 𝑎14 + 6𝑎12 𝑎22 +12𝑎12 𝑎12 𝑎13 +12𝑎12 𝑎12 𝑎14 +6𝑎12 𝑎32 +12𝑎12 𝑎13 𝑎14 +6𝑎12 𝑎42 + 12𝑎11 𝑎23 + 6𝑎11 𝑎22 𝑎13 +12𝑎11 𝑎22 𝑎14 +12𝑎11 𝑎12 𝑎32 +24𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 +12𝑎11 𝑎12 𝑎42 + 4𝑎11 𝑎33 + 12𝑎11 𝑎32 𝑎14 + 12𝑎12 𝑎13 𝑎42 + 4𝑎11 𝑎43 + 4𝑎12 𝑎33 + 12𝑎12 𝑎32 𝑎14 + 12𝑎12 𝑎13 𝑎42 + 4𝑎12 𝑎43 + 𝑎24 + 4𝑎23 𝑎13 + 12𝑎23 𝑎14 + 6𝑎22 𝑎32 + 12𝑎22 𝑎13 𝑎14 + 6𝑎22 𝑎42 + 𝑎34 + 4𝑎33 𝑎14 + 6𝑎32 𝑎42 + 4𝑎13 𝑎43 + 𝑎44. 57.

(58) (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 )4 = 𝑎14 + 4𝑎13 𝑎12 + 4𝑎13 𝑎13 + 4𝑎13 𝑎14 + 4𝑎13 𝑎15 + 6𝑎12 𝑎22 +12𝑎12 𝑎12 𝑎13 +12𝑎12 𝑎12 𝑎14 +12𝑎12 𝑎12 𝑎15 + 6𝑎12 𝑎32 +12𝑎12 𝑎13 𝑎14 +12𝑎12 𝑎13 𝑎15 + 6𝑎12 𝑎42 +12𝑎12 𝑎14 𝑎15 +6𝑎12 𝑎52 + 12𝑎11 𝑎23 + 12𝑎11 𝑎22 𝑎13 +12𝑎11 𝑎22 𝑎14 +12𝑎11 𝑎22 𝑎15 + 12𝑎11 𝑎12 𝑎32 +24𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 +24𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎15 + 12𝑎11 𝑎12 𝑎42 +12𝑎11 𝑎12 𝑎14 𝑎15 +12𝑎11 𝑎12 𝑎52 + 4𝑎11 𝑎33 + 12𝑎11 𝑎32 𝑎14 +12𝑎11 𝑎32 𝑎15 +12𝑎11 𝑎13 𝑎42 + 24𝑎11 𝑎13 𝑎14 𝑎15 +4𝑎11 𝑎43 +12𝑎11 𝑎13 𝑎42 + 12𝑎11 𝑎42 𝑎15 +12𝑎11 𝑎14 𝑎52 +4𝑎11 𝑎53 + 𝑎24 + 4𝑎23 𝑎13 +4𝑎23 𝑎14 +4𝑎13 𝑎15 +6𝑎22 𝑎32 +12𝑎22 𝑎13 𝑎14 + 12𝑎22 𝑎13 𝑎15 +12𝑎22 𝑎42 +12𝑎22 𝑎13 𝑎14 + 12𝑎22 𝑎13 𝑎15 +4𝑎12 𝑎33 + 12𝑎12 𝑎32 𝑎15 + 12𝑎12 𝑎42 𝑎15 +12𝑎12 𝑎13 𝑎42 + 24𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15 +12𝑎12 𝑎13 𝑎52 + 4𝑎12 𝑎43 +12𝑎12 𝑎42 𝑎15 +12𝑎12 𝑎14 𝑎52 + 4𝑎12 𝑎53 + 𝑎34 + 4𝑎33 𝑎14 +4𝑎33 𝑎15 +6𝑎32 𝑎42 +12𝑎32 𝑎14 𝑎15 +6𝑎32 𝑎52 +4𝑎13 𝑎43 +12𝑎13 𝑎42 𝑎15 +12𝑎13 𝑎14 𝑎52 +4𝑎13 𝑎53 + 𝑎44 + 4𝑎43 𝑎15 + 6𝑎42 𝑎52 + 4𝑎14 𝑎53 + 𝑎54. 58.

(59) (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 )5 = 𝑎15 + 5𝑎14 𝑎12 + 5𝑎14 𝑎13 + 5𝑎14 𝑎14 + 5𝑎14 𝑎15 + 10𝑎13 𝑎22 +20𝑎13 𝑎12 𝑎13 +20𝑎13 𝑎12 𝑎14 +20𝑎13 𝑎12 𝑎15 + 10𝑎13 𝑎32 +20𝑎13 𝑎13 𝑎14 +20𝑎13 𝑎13 𝑎15 + 10𝑎13 𝑎42 +20𝑎12 𝑎14 𝑎15 +10𝑎13 𝑎52 + 10𝑎12 𝑎23 + 30𝑎12 𝑎22 𝑎13 +30𝑎12 𝑎22 𝑎14 +30𝑎12 𝑎22 𝑎15 + 30𝑎12 𝑎12 𝑎32 +60𝑎12 𝑎12 𝑎13 𝑎14 +60𝑎12 𝑎12 𝑎13 𝑎15 + 30𝑎12 𝑎12 𝑎42 +60𝑎12 𝑎12 𝑎14 𝑎15 +30𝑎12 𝑎12 𝑎52 + 10𝑎12 𝑎33 + 30𝑎12 𝑎32 𝑎14 +30𝑎12 𝑎32 𝑎15 +30𝑎12 𝑎13 𝑎42 + 60𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15 +30𝑎12 𝑎13 𝑎52 +10𝑎12 𝑎43 + 30𝑎12 𝑎42 𝑎15 +30𝑎12 𝑎14 𝑎52 +10𝑎12 𝑎53 + 5𝑎11 𝑎24 + 20𝑎11 𝑎23 𝑎13 +20𝑎11 𝑎23 𝑎14 +20𝑎11 𝑎23 𝑎15 +30𝑎11 𝑎22 𝑎32 +60𝑎11 𝑎22 𝑎13 𝑎14 + 60𝑎11 𝑎22 𝑎13 𝑎15 +30𝑎11 𝑎22 𝑎42 +60𝑎11 𝑎22 𝑎14 𝑎15 + 30𝑎11 𝑎22 𝑎52 +20𝑎11 𝑎12 𝑎33 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎32 𝑎14 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎32 𝑎14 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎32 𝑎15 + 120𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎52 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎42 + 20𝑎11 𝑎12 𝑎43 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎42 𝑎15 + 60𝑎11 𝑎12 𝑎14 𝑎52 +20𝑎11 𝑎12 𝑎53 + 5𝑎11 𝑎34 +20𝑎11 𝑎33 𝑎14 + 20𝑎11 𝑎33 𝑎15 +30𝑎11 𝑎32 𝑎42 +60𝑎11 𝑎32 𝑎14 𝑎15 + 30𝑎11 𝑎32 𝑎52 + 20𝑎11 𝑎13 𝑎43 + 60𝑎11 𝑎13 𝑎42 𝑎15 + 60𝑎11 𝑎13 𝑎14 𝑎52 +20𝑎11 𝑎13 𝑎53 +5𝑎11 𝑎44 + 20𝑎11 𝑎43 𝑎15 +30𝑎11 𝑎42 𝑎52 +20𝑎11 𝑎14 𝑎53 +5𝑎11 𝑎14 + 𝑎25 + 5𝑎24 𝑎13 + 5𝑎24 𝑎14 + 5𝑎24 𝑎15 + 10𝑎23 𝑎32 + 20𝑎23 𝑎13 𝑎14 + 20𝑎23 𝑎13 𝑎15 + 10𝑎23 𝑎42 + 20𝑎23 𝑎14 𝑎15 + 20𝑎23 𝑎52 + 10𝑎22 𝑎33 + 60𝑎22 𝑎32 𝑎14 + 30𝑎22 𝑎13 𝑎42 +60𝑎22 𝑎13 𝑎14 𝑎15 + 30𝑎22 𝑎13 𝑎52 + 10𝑎22 𝑎43 +30𝑎32 𝑎42 𝑎15 +30𝑎32 𝑎14 𝑎52 + 10𝑎22 𝑎53 + 5𝑎12 𝑎34 + 20𝑎12 𝑎33 𝑎14. 59.

(60) + 20𝑎12 𝑎33 𝑎15 +30𝑎12 𝑎32 𝑎42 + 60𝑎12 𝑎32 𝑎14 𝑎15 +30𝑎12 𝑎32 𝑎52 + 20𝑎12 𝑎13 𝑎14 + 20𝑎12 𝑎13 𝑎53 +60𝑎12 𝑎13 𝑎42 𝑎15 +60𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎52 + 20𝑎12 𝑎33 𝑎15 + 5𝑎12 𝑎44 + 20𝑎12 𝑎43 𝑎15 +30𝑎12 𝑎42 𝑎52 + 20𝑎12 𝑎14 𝑎53 + 5𝑎12 𝑎54 +𝑎44 + 5𝑎34 𝑎14 + 5𝑎34 𝑎15 + 10𝑎33 𝑎42 + 20𝑎33 𝑎14 𝑎15 + 10𝑎33 𝑎52 + 10𝑎32 𝑎43 +30𝑎32 𝑎42 𝑎15 +30𝑎32 𝑎14 𝑎52 + 10𝑎32 𝑎53 + 5𝑎13 𝑎44 + 20𝑎13 𝑎43 𝑎15 +30𝑎13 𝑎42 𝑎52 +20𝑎13 𝑎14 𝑎53 + 5𝑎13 𝑎54 + 𝑎45 + 5𝑎44 𝑎15 + 10𝑎43 𝑎52 + 10𝑎42 𝑎53 + 5𝑎14 𝑎54 + 𝑎55 EL NÚMERO DE TÉRMINOS DE LA EXPANSIÓN DE LA POTENCIA MULTINOMIAL Esto se hizo inductivamente como se muestra a continuación: Para cada par (m; n) tuvimos. (m=2; n) n=0,1 n=1, 2 n=2,3 en general para la potencia “n” fue 1, 2, 3, 4, 5,…, n, n+1=∁1𝑛+1 (m=3; n) n=0,1 n=1, 3 n=2,6 60.

(61) en general para la potencia “n” fue 1,. 3=1+2,. 6=1+2+3,. 10=1+2+3+4,. 15=1+2+3+4+5,…..,. n(n+1)/2,. 𝑛+1 (n+1)(n+2)/2=1+2+3+…+n+1=∑𝑛+1 =∁𝑛+2 2 𝑖=1 ∁𝑖. (m=4; n) n=0,1 n=1, 4=1+3 n=2,10 =1+3+6=4+6 𝑛+2 𝑛+2 en general para la potencia “n” fue 1+3+6+10+20+…+ ∁𝑛+2 = 2 =∑𝑖=1 ∁𝑖. ∁𝑛+3 3 Análogamente para los siguientes pares y en general para todo (m; n) el numero asignado a la cantidad de términos fue. 𝑡(𝑚, 𝑛) = ∁𝑛+𝑚−1 𝑚−1 =. (𝑚 + 𝑛 − 1)! 𝑛! (𝑚 − 1)!. Haciendo un arreglo con todos estos resultados obtenemos la bonita matriz de los términos, teniendo esta como columna a la potencia y como fila al número de monomios de la base que a partir en adelante se denominara fila base. Teniendo así las siguientes características: 1. la primera fila fue inducida del binomio y de allí para arriba todo es secuencial 2. la primera fila fue potencia cero y de ahí para adelante todo es secuencial 61.