Una alternativa didáctica para la enseñanza de la idea de límite

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(1)INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY. CAMPUS EUGENIO GARZA SADA. UNA ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA DE LIMITE. Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de Maestro en Educación con Especialidad en Matemátcas. Autor: Marlene de la Torre Vargas Asesor: Dr. Alejandro López Yáñez. Monterrey, N. L. Enero de 1994.

(2) UNA ALTERNATIVA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA DELIMITE. lng. Marlene de la Torre Vargas. Trabajo de Grado aprobado en el nombre del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Eugenio Garza Sada, por el siguiente Jurado..

(3) RECONOCIMIENTOS. Al Dr. Alejandro López Yáñez por el entusiasmo, con que asesoró y motivó la realización de este trabajo.. Mi agradecimiento al Ing. Apolonio Castillo Ferreira, por su apoyo en la realización de mis estudios y la culminación de los mismos.. A la Lic. Dora Esthela Rodríguez, directora de la Maestría en Educación del ITESM Campus Eugenio Garza Sada, por el apoyo administrativo para la realización del trabajo de tesis.. Mi gratitud a mis compañeras; Elizabeth, Eugenia, Norma, Alma Rosa, y Maria Elena que me apoyaron en la realización de este trabajo.. 11.

(4) LISTA DE FIGURAS. Figura. Págs.. 2. 16 -x ·' 2 . 1.Gráfri.ca de 1a fun c10n/(x)=--. 14. 2.2.Gráfica de la función/(x) = -x 2 + 2x +2. 17. 4+x. 2.3.Gráfica de la función/(x) =. X+2. X~. -x+lO. X>5. 5. 1. 19. 2.4.Gráfica de la función f (x) = - x-2. 20. 2.5.Gráfica de la función f(x) = 2x+6. 25. 2.41.Representación gráfica del límite de una función. 27. 2.3.3.2.Relaciones entre los diferentes 46.. tipos de aprendizaje 2.3.3.6.Esquema del proceso de aprendizaje en la mente del estudiante. 55.. 3 .1.1.1. Cuadrado inscrito en un círculo. 65.. 111.

(5) 3 .1.1.2. Octágono inscrito en un círculo. 65.. 3.1.2.Intervalo en la recta. 66.. 3.1.3.1.Circunferencia con recta móvil. 68.. 3.1.4.1.Elipse. 68.. 3 .1.4.2.Elipses con mallas. 69.. 3.1.4.3.Sección de la elipse. 70.. 3.3.1.Representación gráfica del margen de error para un 94. ejemplo específico 3.4. 1.Un ejemplo particular de la característica esencial de la idea de limite.. 98.. 3.4.2.Intervalo con centro P y radio Da lo largo de la cuva. 100. 3.4.3.Intervalo con centro P y radio D. 101. 3.5.1.Definición de limite en terminos de la recta real.. 104. IV.

(6) LISTA DE TABLAS Tabla. Págs.. 16-x 2 2.1.Valores de las funcion / (x) = - -. 15. 2.2.Valores de las funcion / (x) = -x 2 + 2x + 2. 18. 2 2.3.Valores de las funcion/(x) = x+ -x+lO. 19. 2.4.Valores de la función/ (x) = senx. 21. 4+x. X. 2.5.Valores de la función f(x) = l-cosx X. V. 22.

(7) INDICE. GENERAL. PRESENTACION....................................................................... .i RECONOCIMIENTOS .............................................................. ii LISTA DE FIGURAS ................................................................. iii LISTA DE TABLAS ................................................................... v INDICE GENERAL ................................................................... vi. RESUMEN .......•........................................................................•............. 1 INTRODUCCION .................................................................................. 3 ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA .................... 6 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.. ANTECEDENTES ......................................................................................... 6 PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD ................................................... 1O ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS ............................................................ 11 DELIMITACION DEL TRABAJO ................................................................ 11. MARCO TEORICO............................................................................. 13 2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS LIBROS DE TEXTO ..................................................................................... 13 2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA .................................................... .29 2.3. FUNDAMENT ACION DE LA PROPUESTA ............................................... 36 2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION ......................................................................... 36 2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERIMENTO DE ENSEÑANZA A LARGO PLAZO ................................................................ 39 2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZAAPRENDIZAJE ............................................................................................. 43 2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE .......................................................................... 43 2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: ............................................................. 47 2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO? ......................... 48 2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA ........................... 49 2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO? .......................................................................................... 51 2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACION ...................... 52 2.3.3.7. TIPOS DE RESULTADOS DEL APRENDIZAJE GAGNE .......................... 57 2.4 CONCLUSIONES DEL CAPITULO DE MARCO TEORICO ...................... 60. PROP"UESTA DIDACTICA .........•......•......••......•••..•.•...••.•...•.•..••.•.•.•.. 62 3.0 INTRODUCCION .......................................................................................... 62. VI.

(8) 3.1 EJEMPLOS GEOMETRICOS ....................................................................... 64 3.1.1. EJEMPLO 1 .................................................................................................. 64 3.1.2. EJEMPLO 2 .................................................................................................. 66 3.1.3. EJEMPLO 3 .................................................................................................. 67 3.1.4. EJEMPLO 4 .................................................................................................. 68 3.1.5. CARACTERISTICAS COMUNES A LOS CUATRO EJEMPLOS ............... 71 3.2. EXPANSION DECWAL .............................................................................. 72 3.2.1. RECORDANDO IDEAS BASICAS .............................................................. 72 3.2.2. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES FINITAS ............................. 74 3.2.3. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES INFINITAS ......................... 76 3.2.4. PROCESO INFINITO DE APROXIMACIONES INFINITAS ...................... 77 3.2.5. APROXIMACIONES QUE SATISFACEN UN MARGEN DE ERROR ......................................................................................................... 81 3.2.6. RELACION ENTRE LOS EJEMPLOS GEOMETRICOS Y LA EXPANSION DECIMAL .............................................................................. 83 3.3. EJEMPLOS INTERPRETADOS COMO FUNCION ..................................... 84 3.3.1. RECORDANDO CONCEPTOS BASICOS DE FUNCIONES ...................... 84 3.3.2. RETOMANDO EL EJEMPLO 1 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 87 3.3.3. RETOMANDO EL EJEMPLO 2 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 88 3.3.4. RETOMANDO EL EJEMPLO 3 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 89 3.3.5. RETOMANDO EL EJEMPLO 4 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 91 3.3.6. RETOMANDO EL EJEMPLO 5 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 92 3.3.7. ASPECTOS IMPORTANTES ....................................................................... 93 3.3.7.1. MARGENDEERROR ................................................................................. 93 3.3.7.2. EXCLUYENDO UN VALOR PARA LA VARIABLE INDEPENDIENTE ......................................................................................... 95. 3.4. INTERPRETACIONMATEMATICADELAS "APROXIMACIONES SUBSECUENTES A UNADADA" ............................................................... 96 3.4.1. CARACTERISTICA ESENCIAL PARA LA IDEA DE LIMITE ................... 97 3.4.2. INTERPRETACION EN TERMINOS DE INTERVALOS DE LA CARACTERISTICA ESENCIAL ANTERIOR ............................................. 99 3.5. DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION ......................................... 102 3.5.1. NOCION INTUITIVA EN TERMINOS DE INTERVALOS (DEFINICION FORMAL) ........................................................................... 102 3.5.2. INTERPRETACION DE LA DEFINICION EN TERMINOS DE LA RECTA REAL ............................................................................................ 103. ELEMENTOS DE LA PROPUESTA DIDACTICA........................ 106 4.1 .. PLANTEAMIENTO DIDACTICO ............................................................. 106 4.2 .. CARACTERISTICAS DEL PROFESOR ..................................................... 113 4.3. CARACTERISTICAS DEL ALID.1NO ....................................................... 115. Vll.

(9) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................ 118 6. NOTAS............................................................................................ 121 7. BIBLIOGRA.FIA ............................................................................ 122. Vlll.

(10) RESUMEN En este trabajo de tesis se asprra meJorar la calidad del proceso de enseñanza aprendizaje del concepto de limite de una función, inscrito en la materia de Cálculo Diferencial e Integral del área de Matemáticas a nivel profesional. En primera instancia se presentan los aspectos más importantes que dieron origen al trabajo, como son: los problemas detectados en los alumnos por la tesista para comprender dicho concepto; comentarios y opiniones de maestros colegas que comparten este problema. Al hacer una revisión bibliográfica de textos de Cálculo Diferencial e Integral de autores como: Zill, Leithold, Edwards y Penney, Larson, Pinzón, Purell, Taylor, se detectó que coinciden al abordar el tema de limites, en que el concepto de límite de una función es el más importante del Cálculo Diferencial e Integral así como también el más dificil de enseñar y entender. La forma en la que ellos presentan el concepto, en general es muy similar, se parte de lo que llaman una definición intuitiva la cual se da analizando ejemplos de gráficas de funciones y realizando cálculos numéricos. "La definición formal épsilon-delta de limite se expone de tal manera que puede omitirse si se desea" (Zill, pág.1987). Esta definición se obtiene generalizando algunos ejemplos de funciones muy partículares. En cuanto a las investigaciones realizadas en el área de Educación Matemática, se revisaron algunas de investigadores como; Comu, Vinner, Sierpinka entre otros. En estas investigaciones se observa una clara preocupación 1.

(11) por la dificultad que causa a los estudiantes este concepto y se enfocan los estudios a hacer análisis fenomenológicos de las posibles causas que lo generan, sin presentar alguna alternativa de solución. Con base en lo anterior en este trabajo se presenta una propuesta didáctica., como apoyo para el profesor y el estudiante que ayude a mejorar la comprensión de dicho concepto. En la propuesta se pretende visualizar la idea de limite desde diferentes perspectivas;. Ejemplos de carácter geométrico que van con el. desarrollo histórico de la idea de limite, así como ejemplos de expansiones decimales. Los ejemplos son simples e intuitivos para que sean accesibles al estudiante y a lo largo de la guía, éstos se desarrollan gradualmente y de forma natural, para conformar los elementos escenciales del concepto de límite en una función. Los motivos señalados anteriormente originan la necesidad de alternativas que mejoren el proceso enseñanza-aprendizaje del concepto "Límite de una función" en el primer semestre de profesional.. 2.

(12) INTRODUCCION. En los últimos cien años la ciencia y la técnica han tenido un impresionante desarrollo, la reserva de la información se multiplica de manera acelerada y se perfeccionan métodos y técnicas de creciente eficacia. Una de las disciplinas científicas que han apoyado fuertemente este desarrollo son las Matemáticas. Es muy conocido que las Matemáticas han sido esenciales en las teorías fisicas ya que existe un cierto paralelismo entre algunas ramas de aquellas y ésta. Un ejemplo clásico de este paralelismo es el desarrollo del Análisis Infinitesimal por Newton y Leibnitz, donde se puede apreciar que no sólo las Matemáticas influyen en el desarrollo de la Física, sino que la Física aporta elementos para el desarrollo de éstas. Las Matemáticas son consideradas como una herramienta importante para las ciencias ya que con ellas también se atacan múltiples problemas de Física, Ingeniería, Química, Astronomía, Geología, Biología y otros campos incluyendo algunos de las Ciencias Sociales. Es así que la enseñanza de las Matemáticas en todos los niveles educativos recobra una gran importancia, de forma tal que en el nivel medio superior y superior se imparten cursos del área de Matemáticas como son: Lógica, Algebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral con una o varias variables con el propósito de cumplir con el objetivo general de éstas, el cual consiste en dar al alumno las herramientas y habilidades necesarias para desempeñarse adecuadamente en su actividad profesional.. 3.

(13) De todas las asignaturas de Matemáticas el Cálculo Diferencial es la más importante ya que es la base para muchos cursos posteriores de Física y Matemáticas, es la primera herramienta puesto que el Algebra, la Trigonometría y la Geometría Analítica se aplican a través del Cálculo (Leithold, 1992, pag. 1). El Cálculo no es sólo un instrumento técnico, sino que también involucra por sí mismo ideas fascinadoras y atrayentes como son: velocidad, volumen, área, razón de crecimiento, tangente de una curva y otros conceptos referentes a otros dominios. Sin embargo, existe un problema común en las materias de Matemáticas en las instituciones educativas con relación al bajo rendimiento que presentan los estudiantes a diferencia de otras materias. "La materia de Matemáticas generalmente presenta uno de los más altos índices de reprobados, aún más se puede afirmar que existe una gran cantidad de alumnos que se consideran brillantes por su rendimiento en otras materias y sin embargo tienen graves problemas dentro de esta disciplina" (Piaget, 1969). El Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey no es la excepción y los índices de reprobación son altos, siendo el Cálculo una de las materias en las que esta situación se manifiesta fuertemente. Esta problemática preocupa a todos los involucrados en el quehacer educativo (maestros, directivos, alumnos etc.) y las causas pueden ser variadas, no es posible decir que el bajo rendimiento de los alumnos es causado sólo por los discípulos o el profesor; el problema se complejiza porque en el intervienen todos los participantes del quehacer educativo. 4.

(14) No existe una respuesta única para solucionar el problema de la enseñanza del Cálculo, la diversidad de normas y funciones que presentan los temas de las Matemáticas en general, es un aspecto que influye en su enseñanza, por lo que se espera que cada tema deba apoyarse en su propia didáctica, que estará determinada en gran parte por la naturaleza del contenido matemático, claro que sin excluir el papel del docente que en opinión de la autora, es quien debe crear una didáctica para su propia asignatura, promoviendo la investigación educativa dentro de sus salones de clases; la solución a los problemas debe surgir del mismo sitio donde éstos se generan, es decir, del aula.. 5.

(15) CAPITULO 1 ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA. En este capítulo se presentan los antecedentes y el diagnóstico global del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. 1.1. ANTECEDENTES. El encargado de impartir los cursos de Matemáticas y de dar a través de sus servicios el apoyo, que en esta materia se requiera, es el Departamento de Matemáticas del ITESM, tanto en las carreras de Ingeniería como en las de las Ciencias Sociales. El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común de las carreras de Ingeniería que ofrece el ITESM , está integrado por los cursos: Matemáticas I, Matemáticas TI y Matemáticas ID los cuales tienen secuencia vertical, ya que cada curso es requisito del siguiente. El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común de las carreras de Ciencias Sociales que ofrece el ITESM, es también de secuencia vertical y está integrado por los cursos de Matemáticas I y II . Los contenidos académicos de estas materias son diferentes a los del sector curricular de Matemáticas para las carreras de Ingeniería.. 6.

(16) Al iniciar cada semestre el Departamento de Matemáticas, entrega al profesor el programa analítico del curso que impartirá, así como el calendario que lo rige.. En él se enuncian los objetivos generales y específicos del curso, el tiempo asignado a cada tema, exámenes parciales y final, así como de los objetivos a evaluar en cada uno de los mismos. De esta manera se garantiza la cobertura de todo el programa. El sistema ITESM y particularmente el departamento antes mencionado, establecen un estricto cumplimiento de los contenidos específicos en cada uno de los programas analíticos de los diferentes cursos de Matemáticas. Para garantizar tal cumplimiento, se utiliza el método de evaluación llamado Sistema de Ayuda para la Evaluación del Aprendizaje (SAEA). El sistema (SAEA) consiste en una serie de exámenes departamentales de opción multiple que son generados con la ayuda de una computadora que cuenta con un banco de reactivos. Estos han sido elaborados por un grupo de profesores del Campus Monterrey, con base en los objetivos específicos de aprendizaje de los programas del sector curricular de las Matemáticas. La normatividad del proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas se ve reflejada en el programa analítico, el calendario y el sistema de evaluación. Sin embargo, hay consenso general por parte de. docentes y alumnos que el. tiempo asignado para el cumplimiento del mismo es limitado y algunos docentes requieren horas adicionales para terminar el contenido del curso en cuestión.. 7.

(17) En los programas de estudio de profesional del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM) existe el tema de limite de una función inserto en la materia de Matemáticas l. El tema de limites se considera como parte esencial dentro de la materia de Cálculo que se enseña en el primer semestre de todas las carreras existentes en el Campus Zacatecas. El concepto de límite es considerado por la mayoría de los autores de los libros de Cálculo como el más importante. Purcell, 1988 considera que es esta idea la que distingue al Cálculo de otras ramas de las Matemáticas. Leithold. 1992,. menciona. que. las. dos. operaciones. Matemáticas. fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración y ambas están a su vez basadas en el concepto de límite. "El concepto de límite de una función es la idea central del Cálculo, tal vez la más importante y a la vez el más dificil de asimilar" (Pinzón, 1973). Desde el punto de vista de la experiencia docente, así como de la conformación del conocimiento matemático se sabe que la idea de límite tiene fuertes dificultades para la enseñanza-aprendizaje . Un indicador de tipo histórico de lo anterior es que el desarrollo de esta idea desde sus orígenes hasta la forma actual llevó más de 20 siglos a los matemáticos. En los programas de Matemáticas de profesional se tiene por objetivo al enseñar el tema de limite que el alumno comprenda el concepto de límite,. 8.

(18) conozca sus propiedades, lo aplique en la resolución de problemas para encontrar el límite de una función dada así como definir intuitivamente y obtener límites al infinito, infinitos y asíntotas. En cuanto a la conducción del proceso enseñanza-aprendizaje, a lo largo de la experiencia de los profesores de Matemáticas del ITESM, se ha observado que los alumnos que cursan Matemáticas I, tanto para Ingeniería como para el área de las Ciencias Sociales, tienen fuertes dificultades en el entendimiento del concepto de limite de una función. Sin descartar otras dificultades como la utilización de conceptos de Algebra, Geometría Analítica y Trigonometría requeridos. Por otro lado se han detectado dificultades en el manejo de aspectos lógicos.. Mucho tiempo ha prevalecido esta problemática y muy comentada ha sido, sin embargo nada trascendental se ha hecho al respecto. En cuanto a los métodos y modelos de enseñanza no se presentan mejores perspectivas, se sigue oscilando frecuentemente entre la intuición y el rigor matemático. Por lo anterior, en el presente estudio se sostiene que es indispensable que en los cursos de Matemáticas el alumno logre aprender significativamente el tema de limite y para ello es necesario que tenga un conocimiento claro de dicha idea para posteriormente operar en forma adecuada los límites de funciones y así lograr las bases indispensables para tener un desempeño satisfactorio en el tema y en la materia en sí, como en las que se interrelacionan.. 9.

(19) 1.2. PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD En los textos de Cálculo Diferencial e Integral es posible identificar dos tendencias distintas de presentar el tema.. Un grupo de autores establece una. definición intuitiva del concepto de límite y a partir de ella enuncian los teoremas sobre limites, hacen operaciones con ellos y pasan a las definiciones de derivada e integral definida. Otro grupo de autores además de esta presentación intuitiva de la idea de límite, agrega la definicion formal con épsilon y delta. Se establece una distinción entre ambas definiciones (intuitiva y formal) en lugar de ser presentada como complemento una de la otra. Los resultados de las evaluaciones de este tema durante el semestre eneromayo de 1993 en el ITESM Campus Zacatecas, revelan un 23.5% de error al responder las preguntas relacionadas con el tema de límites, contra el 18% de error en el resto de los temas incluidos en el primer parcial del curso de Matemáticas l. Es de esperarse que si el concepto fundamental de Cálculo Diferencial e Integral como es la idea de límite no es clara y accesible para el alumno su nivel de aprovechamiento no sea del todo satisfactorio. Ya que existe un 32% de no aprobados en la materia, cuando estudian este tema. El elevado índice de error al responder las preguntas relacionadas con el tema de límite y el alto índice de reprobación de la materia de Matemáticas I ponen de manifiesto la problemática del aprendizaje, que presenta este tema.. 10.

(20) Debido a lo anterior, es necesario dirigir la atención a revisar el tratamiento que generalmente se hace del tema y generar una propuesta didáctica para la enseñanza de la idea de límite.. 1.3. ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS El objetivo principal de este trabajo es proponer un enfoque de presentación para el concepto de límite, desde un punto de vista diferente, a la manera tradicional, presentándolo como una guía de apoyo tanto para el profesor como para el alumno.. 1.4. DELIMITACION DEL TRABAJO La problemática en cuestión se presenta generalmente en los alumnos de primer semestre de profesional cuando cursan la materia de Cálculo, estos tienen como referente los temas de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.. En esta propuesta se parte de situaciones muy familiares y accesibles para el alumno que lo conducen de manera gradual a la comprensión y entendimiento de la idea de límite.. El desarrollo del trabajo se hace a manera de guía didáctica que pueda auxiliar al profesor en la enseñanza del concepto de límite. No se pretende sugerir que deba enseñarse íntegramente este desarrollo, sino mas bien el profesor debe adecuarlo a sus condiciones y propósitos y en particular, decidir hasta qué punto del desarrollo enseñar.. 11.

(21) Este trabajo no incluye la parte referente a llevar a la práctica la propuesta didáctica, aunque la autora del trabajo. en particular tratará de usarla en sus. cursos. La propuesta que aquí se presenta va dirigida a la definición de limite, por tanto no incluye nada referente al uso de la idea; para calcular limites específicos, para demostrar resultados o teoremas relativos a límites, además estos temas están ampliamente tratados en algunos libros de Cálculo.. 12.

(22) CAPITULO2 MARCO TEORICO. En este capítulo se pretende como punto número uno, dar una visión general de cómo se presenta en la mayoría de los libros la idea de límite, ejemplificando mediante una selección de ejercicios. Segundo punto, hacer un análisis de las investigaciones realizadas en el área. Como último punto de este capítulo se presentan las características más importantes del tipo de investigación y la ubicación del trabajo en ese contexto, así como algunas teorías relevantes para proceso enseñanza-aprendizaje en el área. 2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS LIBROS DE TEXTO. La presentación que dan autores como; Taylor, Swokowski, Thomas, Pinzón, Purcell, Leithold, Zill, entre otros, al tema de límites en los textos de Cálculo Diferencial e Integral consta principalmente. de lo que ellos llaman. definición intuitiva y definición formal. A continuación se muestra un ejemplo representativo de esta presentación tomada del libro de Zill, el cuál es el libro de texto de la materia de Cálculo en el Sistema ITESM.. 13.

(23) NOCION INTUITIVA DE LIMlTE. Límite de una función cuando x tiende a un número.. Considerése la función :. f (x). = l6-x2 4+x. Cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el -4. Aunque f(-4) no está definido, f(x) puede calcularse para cualquier valor de x cercano a -4. La tabla de la Figura 2.1 muestra que cuando x se acerca a -4 por la izquierda o por la derecha, los valores funcionales de f (x) están acercándose a 8; esto es, cuando x está próximo a -4, f (x) está próximo a 8. Entonces, 8 es el límite de f cuando x tiende a -4 y se escribe,. f (x)~S. cuando x ~ - 4. o bien. lim. x~-4. y. Figura 2.1. 14. 16- x 2 --=8. 4+x.

(24) X. f. (x). X. f. (x). -4.1. 8.1. -3.9. 7.9. -4.001. 8.001. -3.99. 7.99. -3.9. 7.9. -3.999. 7.999. Tabla 2.1. Para x :;; -4 se puede simplificar f mediante la cancelación:. f(x). 2. = l6-x = (4+x)(4-x) =4 -x 4+x. 4+x. Como se observa en la figura 2.1 la gráfica de f la de y. = 4 + x,. es esencialmente igual a. excepto que la gráfica de f tiene un hueco en. correspondiente a x. = -4 . Cuando x. el punto. se aproxima cada vez más a -4, lo cual se. representa con las dos puntas de flecha sobre el eje x, simultáneamente con las dos puntas de flecha sobre el eje y se aproximan cada vez más al número 8.. 15.

(25) DEFINICION INTUITIVA. La noción de que f (x) tiende al número L cuando x tiende al número. a se define, en general de la manera siguiente: Si J(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a. x suficientemente cercano pero distinto de un número a tanto por. el lado izquierdo como por el derecho de. Se usará la notación izquierda y. a entonces. lim. x--a. f (x). =L. x--a- para denotar que x tiende a a por la. x--a+ para expresar que x tiende a a por la derecha. De este. modo, si los límites unilaterales :. Iim. x--a lim. x--a. f (x). f. (x). y. =. se dice entonces que. lim. x--a+. f ( x) tienen un valor común L. =L. lim. f. lim. f (X) existe y se escribe:. x---a+. x---a. lim X. (x). >a. f (x). =L. Usualmente se hará referencia al número L como el límite de f en a. Sin embargo, se debe observar que:. 16.

(26) La existencia del límite de una función f en realmente definida en de. a, sino solamente de si. f. a no depende de si f está esta definida para. x cerca. a.. EJEMPLO 1 La figura 2.2 muestra la gráfica de la función f (x). = - x + 2x + 2. 2. Como se observa en la gráfica y en la tabla adjunta, parece razonable que. Iim. x--4-. y en consecuencia. f (x) = -6. y. lim. x--4. y. Figura 2.2. 17. lim f (x) = -6 x--4+ f (x) = -6.

(27) X. X. J(x). J(x). 3.9. -5.41000. 4.1. -6.61000. 3.99. -5.94010. 4.01. -6.06010. 3.999. -5.99400. 4.001. -6.00600. Tabla2.2 Obsérvese que la función dada en el Ejemplo 1 está definida en pero en ningún momento se sustituye x de. Iim. x--4. x = 4,. =4 en la función para encontrar el valor. f (x). EJEMPLO 2 En la figura 2.4 se presenta la gráfica de la función definida por secciones:. J(x)=. x+2 .................. x'.5:5 -x+10 .............. x>5. De la gráfica y de la tabla adjunta se observa que. X. Como X Iim. Iim f (x) = 7 >5-. _ f (X) 5. *x. lim. y. Iim 18. x--5+. +. 5. f. f(x)=5.. (X), se concluye que.

(28) X. Iim. )5. f (x). No Existe. y. Figura 2.3 X. J(x). X. f(x). 4.9. 6.9. 5.1. 4.9. 4.99. 6.99. 5.01. 4.99. 4.999. 6.999. 5.001. 4.999. Tabla 2.3. EJEMPLO 3 En la figura 2.4 la gráfica de y. =f. (x) muestra que cuando x tiende a 2. por la izquierda, los valores funcionales de f ( x) se vuelven cada vez más. 19.

(29) grandes, o sea, X lim) _ f (X) no existe. Esto es suficiente para decir que. 2. X. lim )2 f (X) no existe . y y= f(x). Figura 2.4. No siempre es una tarea fácil determinar mediante la gráfica de la función f. 20. s1. X. lim )a f (x) existe,.

(30) EJEMPL04. Unicamente a partir de los datos de la tabla siguiente, se conjetura en forma natural que :. senx. lim. =1. X. x--0. Tabla2.4 X. J(x). X. f(x). -0.1. 0.9983341. 0.1. 0.9983341. -0.01. 0.9999833. 0.01. 0.9999833. -0.001. 0.9999998. 0.001. 0.9999998. EJEMPLO 5 La tabla siguiente sugiere que:. lim. 1-cosx =O X. x---0 21.

(31) Tabla2.5 X. J(x). X. f(x). -0.1. 0.0499583. 0.1. 0.0499538. -0.01. 0.0049999. 0.01. 0.0049999. -0.001. 0.0005001. 0.001. 0.0005001. -0.0001. 0.0000510. 0.0001. 0.0000510. 2.5 DEFINICION DE LIMITE En esta sección se considerará una noción alternativa de límite con base en los conceptos analíticos en vez de conceptos intuitivos. Si bien las gráficas y las tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un límite existe o no, el lector debe prever que todas las calculadoras trabajan sólo con aproximaciones y que las gráficas se pueden trazar sin precisión. Una. demostración de la existencia de un límite nunca debe basarse en la habilidad personal para dibujar ilustraciones; aunque una buena comprensión de las definiciones intuitivas de. lim f (X) x--a. y. lim. x--oo. f (x) dadas en. las secciones 2.1 y 2.3 es suficiente para proseguir el estudio del Cálculo en este texto, tales "definiciones" son demasiado vagas para considerarlas en la demostración de teoremas. A fin de ofrecer una demostración rigurosa de la existencia de un límite, o para demostrar los teoremas de la sección 2.2, hay que comenzar primero con la definición precisa de límite.. 22.

(32) 2.5.1 Definición. E-O de. lim. f (x) = L. x~a. Intentemos demostrar que. lim (2x + 6) = 1O x--2 Elaborando la idea siguiente: "si puede hacerse que. J(x). = 2x+6 esté. arbitrariamente cercana a 1O tomando a x suficientemente cercano a 2, tanto por un lado como por el otro, pero sin llegar a ser igual a 2, entonces 11. limx-+ 2 f(x)= 10 . Es necesario precisar los conceptos de "arbitrariamente cercano". y "suficientemente cercano". Para establecer un criterio de carcanía arbitraria, se requiere que la distancia entre los números. J(x). y 10 sea menor que 0.1, esto. es,. lf (x)-lül < 0.1. o bien. 9.9 < f (x) < 10.1. (2.4). Luego, ¿Cuán próximo a 2 debe estar x para satisfacer (2.4)? Para averiguarlo puede resolverse la desigualdad. 9.9 < 2x+6 < 10.1 por álgebra ordinaria, y obtener que. 1.95 <X< 2.05. 23.

(33) De este modo, para una "cercanía arbitraria a 10" de 0.1, entonces "suficientemente cercano a 2" significa estar a una distancia de menos de 0.05 por cualquier lado del 2. En otras palabras, si x es un número diferente de 2 en el intervalo abierto de (1.96, 2.05), entonces se garantiza que f(x) está en (9.9, 10.1).. Tratemos de generalizar mediante el mismo ejemplo. Supóngase que E (épsilon) denota un número positivo pequeño cualquiera que sea la medida de la cercanía o proximidad arbitraria al número 10. Si se requiere que. IJ(x)-lOl<E. entonces de f ( x). obien 10-E<f(x)<lO+E,. (2.5). = 2x + 6 y por álgebra, se obtendrá E. E. 2. 2. 2--<x<2+-.. El empleo de valores absolutos y un nuevo símbolo. O (delta) permite. escribir (2.5) y (2.6) como:. lf (X) - 1OI < E. en donde. O=. siempre que. ½. De este modo , para un nuevo valor de E, por ejemplo, E= O.001,. 24.

(34) S. =½ =0.0005 indica la cercanía correspondiente al 2. Para cualquier número *. x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005), hay la seguridad de que f (x) está en (9.999, 10.001). Véase la figura 2.40. y. 10. y=2x+6. X. 2. Figura 2.5. DEFINICION DE LIMITE:. A continuación se presenta la definición de la denominada definición E - 8. * Esto explica que se use. que al considerar. lim. lim. f (x). x--a. =L. esta es. de límite.. O< jx - 2j < 8 en lugar de jx- 2j < 8.. f(x) no interesa. x-->2 25. f. en. 2.. Téngase presente.

(35) DEFINICION 2.2 Supóngase una función f definida en un intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en el propio a . Entonces:. lim f(x) x-->a. =L. significa que para todo. 8> O existe un. IJ(x)-. Sea. LI <. E. 8> O. siempre que. lim f (X) = L y x-->a. tal que. O< lx-al <. o. supóngase que 8 > O es el número que. "funciona" de acuerdo con la definición 2.2 para un 8> O dado. Como se muestra en la figura 2.41 (a), todo X en (a-8,a+o) con posible excepción del propio a tendrá su imágen f ( x) en ( L - 8, L + 8). Además, como se indica en la Figura 2.41(b), escoger un que. f(x). todo. 81 < 8 también "funciona" para el mismo. X. en. (a-8 1 ,a+8i). distinto. de. 8. en el sentido de. a,. nos. da. en (L- 8, L + 8). Sin embargo, la Figura 2.41(c) muestra que. escoger un & 1 menor,. O< &1 < &, requerirá obtener un nuevo valor de 8.. 26.

(36) Figura. 2.41 y. L+. E. L. X. a-~. a) Un. 11. x a+~. 8 que funciona para un E dado. y. L L-Et-----+-. (b). Para 81 menor también funcionará para el mismo E. 27.

(37) y. Lu:. i - - -......... L+El. L L-E1. f(xJ----------+L-et------+-. (c)Un E 1 menor requerirá un. 01 <O.Para x. en (a-8,a+o), f(x) no ésta. necesariamente en (L - e,L + e). Aquí termina el ejemplo representativo de la presentación usual de los textos para el concepto de límite. Se observa que en este tipo de presentaciones se hace una marcada diferencia entre la definición intuitiva y la formal, donde es difícil vincular ambas definiciones. Se maneja la idea someramente con ejemplos particulares sin hacer un análisis de sus componentes. En la definición intuitiva la presentación dada es por medio de tabulaciones y en algunos ejemplos gráficos, donde mas que explicar lo que es el concepto se. enfatiza en cómo distinguir si el límite de una función dada existe o no.. 28.

(38) En cuanto a la presentación de la definición formal, a partir de un ejemplo muy sencillo, se generaliza, se enuncia, se da una representación geométrica, y a partir de aquí se asume que el alumno ha comprendido tal definición por lo que el paso siguiente es trabajar con ella. 2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA. Se revisaron algunos artículos sobre el tema, los cuales fueron obtenidos a través de el Centro de Información Científica y Humanista de la UNAM. Con la finalidad de analizar que elementos podrían ser de utilidad en este trabajo. De 1O referencias seleccionadas para su revisión se consiguieron las seis siguientes: Artículo A: Comu, B. (1981). Apprentissage de la notion de limite Modeles Spontanes et Modeles Propres. Artículo B: David, R.B. and Vinner, S. (1986) The notion of Limit: Sorne seemingly unavoidable misconception stages.Joumal of Mathematical Behavior 5, 281-303. Artículo C: Sierpin'ska, A. (1987). Humanities Students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18, 371391. Artículo D: Robert, A (1982) L'acquisition de la notion de convergence de suites numeriques dans L'enseignement superieur. Recherches en Didactique de Mathématiques, 3, 307-341.. 29.

(39) Artículo E: Tall, D. and Vinner, S. (1981) Concept image and concept definition in Mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12, 151-169. Artículo F: Steven, R. Williams (1991). Models of limit Held by college calculus students. Journal form Research in mathematics education, 22, 212-236.. A continuación se presenta el resumen que los autores dan en cada uno de los artículos.. ARTICULO. A. Aprendizaje de la noción del límite. Modelos espontáneos y modelos propios Bemard Cornu. RESUt\IBN. Dentro de la actividad matemática, las nociones matemáticas no sólo se usan de acuerdo a su definición formal, sino también a través de representaciones mentales, las cuales pueden ser distintas para diferentes personas. Estos modelos individuales son elaborados con base en modelos espontáneos (modelos preexistentes, antes del aprendizaje de la noción matemática y los cuales se originan por ejemplo, en la experiencia diaria), interfiriendo con la definición matemática. En este trabajo estudiamos los modelos y la elaboración de los individuales para 30.

(40) la noción de límite entre estudiantes. "Nos percatamos que la noción del límite presenta muy a menudo una barrera que no se puede cruzar, la cual puede ser alcanzada o no. Esto a veces se ve como alcanzable y otras como inalcanzable. La frase "Tiende a" también se usa con distinto significado los cuales no siempre están de acuerdo con el uso matemático correcto. Asociamos este estudio con la evolución histórica del concepto del límite. ARTICULOB La noción de límite: Algunas etapas de malentendido aparentemente inevitables.. Autores: Davis, R.B. and Vinner, S.. En este estudio se representa un matrimonio de dos tendencias recientes. El punto de vista de la primera es el enfoque pedagógico o de currículum basado en la idea de que la enseñanza comienza con el entendimiento. El aspecto analítico del estudio continúa con el importante tema de la conceptualización ingenua que impide la adquisición de conceptualizaciones "científicas" más abstractas y más poderosas.. ARTICULO. C. Estudiantes de Humanidades y obstáculos epistemológicos relacionados con límites. Autor: Anna Sierpin'ska RESUMEN. 31.

(41) El artículo representa un reporte sobre 4 sesiones de 45 minutos con un grupo de estudiantes de humanidades de 17 años de edad. Estas sesiones fueron la primera de una serie organizada con la finalidad de explotar las posibilidades de elaborar situaciones didácticas que los ayudara a superar obstáculos epistemológicos relacionados con límites. Las actitudes pertinentes de los estudiantes para el desarrollo de la noción de límites también como los cambios de estas actitudes serán descritas y analizadas. La tesista considera que en este artículo la autora hace un análisis de los obstáculos que se presentan en los alumnos para la comprensión de la noción de límite de una función, sin llegar a plantear una alternativa de solución a dicho problema. ARTICULO. D. L'acquisition de la notion de convergence suites numeriques dans L' enseigment superieur.. Autor: Aline Robert "En este trabajo se estudia el proceso de adquisición de la noción de convergencia de las series numéricas en estudiantes universitarios que van a especializarse posteriormente en Matemáticas, en Química o en Física. En Francia la noción se enseña en el primer año de la Universidad.. 32.

(42) Utilizando un cuestionario en el cual presentamos un cierto número de situaciones, hemos podido clasificar los· procedimientos utilizados y establecer los diferentes tipos de modelos expresados sobre la convergencia de las series (dinámicas o no). Más de mil estudiantes respondieron nuestro cuestionario. Las regularidades observadas en la relación entre procedimientos y modelos nos permitieron establecer diferentes jerarquías que deberían ser tomadas en cuenta en el aprendizaje de la noción". ARTICULO E La imagen del concepto y la definición del concepto en Matemáticas con referencia particular a Límites y Continuidad.. Autor. Tall,D. and Vinner, S. La imagen del concepto consiste en todas las estructuras cognoscitivas que en la mente del individuo son asociadas con el concepto dado. Esto puede o no ser globalmente coherente y puede tener aspectos diferentes de la definición formal del concepto. El desarrollo de límites y continuidad son consideradas como son enseñados en secundaria y universidad. Varias investigaciones reportadas demuestran que el concepto imagen individual difiere en teoría formal y contiene factores que causan conflicto cognoscitivo.. 33.

(43) ARTICULO. F. Modelos de Límite Mantenidos por Estudiantes Universitarios. Autor: Steven R. Williams. "Este estudio representa el entendimiento del concepto de límite de 1O estudiantes universitarios y los factores que influyen para que se den cambios en ese entendimiento.. Algunos modelos informales de límite fueron identificados por los 1O estudiantes, y fueron presentados como modelos alternativos de límites y con problemas defectuosos. Los problemas estaban diseñados para motivar a los estudiantes a hacer cambios en sus propios modelos, para reflejar una concepción más formal. Los modelos individuales de límite variaron ampliamente entre los estudiantes que inicialmente describieron límites de manera semejante. El aspecto dinámico de estos modelos fue estrechamente resistente al cambio, la resistencia fue influida por la creencia de los estudiantes que una existencia apriori de gráficas de sus experiencias con gráficas de funciones simples, el valor que ellos conceden a modelos útiles, prácticos y conceptualmente simples, y su tendencia a ver problemas anómalos como excepciones menores a reglas. Estos factores combinados inhiben la motivación de los estudiantes para adoptar la definición formal de límite".. 34.

(44) CONCLUSIONES Los Artículos analizados muestran diferentes explicaciones sobre las causas del conflicto cognoscitivo de los estudiantes al enfrentarse a la idea de límite de una función. Hacen una distinción entre lo que es la imagen conceptual de la idea y el concepto mismo. Se refiere la imagen conceptual del objeto a todas aquellas imágenes, características, relaciones, que el individuo asocia en su mente en relación al objeto, lo que Freudenthal llama "objeto mental", y el concepto mismo como la definición formal (para este caso el objeto es límite). Partiendo de la afirmación anterior se analiza si realmente esta diferencia es el obstáculo principal para la comprensión de la idea de límite y cómo lo afecta tratando de aclarar de qué tipo (epistemológico, heurístico, rigorístico, etc) son estos obstáculos. Con base en lo anterior se concluye que las investigaciones analizadas no van más allá de un diagnóstico fenomenológico que pudiera intervenir en el proceso de enseñanza-aprendizaje del tema.. 35.

(45) 2.3. FUNDAMENTACION DE LA PROPUESTA 2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION. La propuesta didáctica aquí presentada se encuentra enmarcada con el experimento de enseñanza soviético. y de Freudenthal que tiene la siguiente. postura: DESCRIPCION.. Kantowski considera que si fuera necesario caracterizar el experimento de enseñanza por medio de una palabra, esta sería "dinámico" ya que el movimiento es lo que les interesa a los soviéticos, movimiento de la ignorancia hacia el conocimiento, de un nivel de operación a otro, de un problema a otro. El propósito de esta investigación es "cachar" procesos en su desarrollo y determinar cómo la instrucción puede influir en esos procesos.. l. Características principales del experimento de enseñanza •En las formas de investigación pedagógica el análisis estadístico de datos cuantitativos es de mucho menor interés que el análisis diario de datos subjetivos.. •La mayoría de los estudios tratan con algún aspecto de la situación escolar formal. •Los datos son con frecuencia reunidos únicamente de muestras de alumnos fuertes o débiles, quienes son categorizados con la ayuda del profesor de clase.. 36.

(46) •Los datos recolectados son con frecuencia cualitativos obtenidos de un contexto clínico, grabando versiones verbales para ser analizados posteriormente. •Se basa fuertemente en la observación del salón de clases. •Su naturaleza es compensatoria ya que la cantidad de datos macroscópicos tales como las calificaciones de pruebas objetivas, generalmente obtenidas en un estudio experimental son intercambiadas por detalles microscópicos de los procesos observados usando una muestra pequeña, entrevistas de prueba, diálogos con estudiantes individuales se agregan a cualquier grupo de datos recolectados para apoyar generalizaciones que dan lugar a decisiones para futuras secuencias de instrucción. •Los datos son reunidos en un periódo extenso de tiempo. • "La planeación de la instrucción es hecha a la luz de observaciones de sesiones previas" (Kantowski). •Existe una cooperación entre profesores e investigadores. •Durante el desarrollo de los procesos estudiados se aceptan sugerencias, dado que el objetivo central en todo momento, de esta corriente es el mejoramiento del aprendizaje y del estudiante. •En la mayoría de los casos los resultados son reportados de forma narrativa y se incluye un análisis de las conductas observadas y las conclusiones obtenidas de ese análisis.. 37.

(47) •Los datos cuantitativos son generalmente reportados usando estadística descriptiva. •Las pruebas estadísticas inferenciales son raramente usadas. •El experimento pensado es una "estrategia" utilizada para mejorar la instrucción, basada en la observación y experiencia principalmente del profesor. •No puede ser caracterizado por: * Procedimientos de muestreo. * Grupos experimentales. * Pruebas estadísticas. Usamos la expresión experimento pensado en el sentido que se le ha dado en la Física , esto es básicamente el experimento usual de las ciencias naturales excepto que la fase de experimentación en el laboratorio es remplazada por la acción mental de imaginar lo que sucedería si en efecto se llevara a cabo lo planeado. Esto es, las ideas, las dudas, las conjeturas, la información que se maneja para entender y modificar un cierto fenómeno, son confrontadas con el experimento simulado dentro de la mente del investigador. "La observación de los proceso de aprendizaje puede servir para cambiar la. actitud matemática y didáctica de los observadores, de los profesores de cada nivel, y en consecuencia la de sus alumnos".(Freudenthal, 1982, pp395-408). 38.

(48) ¿Qué uso o qué utilidad tiene el conocimiento obtenido al observar procesos de aprendizaje por el profesor; si no es beneficiarse ampliamente en su planeación y toma de decisiones para instrucciones subsiguientes ?(Freudenthal, 1991, pág. 95).El propone el experimento pensado como un componente para el experimento educativo. Dada la experiencia del profesor dentro del salón de clase, como alumno en primera instancia y posteriormente como profesor, va desarrollando capacidades que le permiten suponer, diseñar, imaginar, ciertas condiciones que pasarían dentro del salón de clases y como sería posible corregirlas. Una propuesta didáctica de un tema, como resultado de la observación dentro del salón de clase, es un experimento pensado.. 2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERl1\.1ENTO DE ENSEÑANZA A LARGO PLAZO. La propuesta didáctica que aquí se presenta es parte de un "experimento de enseñanza" que comenzó a desarrollarse en 1981, y cuyas principales etapas se describen a continuación: 1.El Grupo de Enseñanza de las Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM (integrado por: Profra. Eloísa Ortíz Femández, Mat. María Juana Linares, Mat. Guillermo Custodio, M. en Psic. Lucía Femández Bañuelos y Dr. Alejandro López Y añez (coordinador del grupo) preparó una serie de tres cursos de Cálculo Diferencial, para ser impartidos en la Facultad de Ciencias de la UNAM , con la finalidad de detectar dificultades de aprendizaje específicas , así. 39.

(49) como deficiencias en la enseñanza, por medio de la observación y análisis, intensivos y sistemáticos.(López Yáñes, 1982) Uno de los temas que recibió especial atención durante la preparación y desarrollo de los cursos fue el de "límite de Funciones" a este tema se le incorporó material histórico propedéutico, así como definiciones alternativas . 2. Una de las fuertes deficiencias observadas previamente del aprendizaje de los estudiantes es la relativa al escaso significado que los números irracionales presentaban para ellos, ya que su contacto o familiaridad con estos números se reducía a saber que existe ese "tipo" de números, a disponer de algunos ejemplos. (J2,.F,.$,, .... e, .... ). y a saber, que la forma general de representarles es por. medio de su expansión decimal, siendo ésta infinita y no periódica . Este último hecho les da a los números irracionales un aspecto de evasividad. ya que ni su nombre se puede escribir de manera clara y completa. Otro factor de gran peso en esta problemática es la ausencia de una arittnética de los números irracionales. Como consecuencia de estas observaciones y a partir de la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la idea de límite, el Dr. López Yáñez elaboró, por medio de un experimento pensado, un bosquejo de propuesta didáctica para tratar de disminuir las deficiencias observadas. 3. El bosquejo de propuesta didáctica citado en el punto anterior fue desarrollado con detalle en su tesis de licenciatura en Matemáticas por la pasante María Edda Sandra Valencia Montalván bajo la dirección del Dr. López Yáñez. (Montalvan,V. 1984) 40.

(50) 4. Posteriormente la Mat. Valencia Montalván y otros profesores del CCH de la UNAM, pusieron en práctica dicha propuesta didáctica, obteniendo resultados positivos. 5. El siguiente paso de este experimento de enseñanza, consistió en explotar la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la noción de límite, para darle un significado intuitivo a la noción de límite de una función antes de llegar a su definición formal. Otras ideas que se manejan en este experimento pensado fueron el uso de ejemplos geométricos para ilustrar el proceso de límite y la caracterización de los componentes básicos de la idea de límite interpretada como proceso infinito de aproximaciones sucesivas. Este experimento pensado fue realizado por el Dr. López Yáñez, quien lo llevo a la práctica en dos cursos de Calculo que impartió en la Escuela de Ingeniería de la Universidad Panamericana. Los resultados observados sugirieron fuertemente que una propuesta didáctica más desarrollada y refinada a lo largo de estos lineamientos tendría grandes posibilidades de éxito. 6. La siguiente etapa es la presente, esto es, la elaboración de una propuesta didáctica detallada y fundamentada, que es lo que constituye el tema de la presente tesis. 7. El próximo paso será llevar a la práctica esta propuesta para su confrontación y mejoramiento. Finalmente una observación: Si las dos propuestas didácticas, esto es la elaborada en la tesis de la Mat. Valencia Montalván y la presentada en esta tesis, 41.

(51) se usaran con los mismos estudiantes longitudinalmente, es prácticamente un hecho, que los resultados del aprendizaje se verían reforzados mutuamente en lo referente a los números irracionales y a límite de funciones. La confrontación en la práctica de esta observación constituirá la última etapa de este experimento de enseñanza a largo plazo.. 42.

(52) 2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZAAPRENDIZAJE 2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE. Desde el punto de vista del desarrollo del aprendizaje escolar, es necesario distinguir con claridad los principales tipos de aprendizaje que se pueden dar en el salón de clase. Para Ausubel (1986), la manera más importante de diferenciar los tipos de aprendizaje en el salón de clases consiste en formar 2 distinciones de procesos; La primera. distinción es la del aprendizaje por recepción y por. descubrimiento, y la se2unda, entre aprendizaje mecánico o por repetición y significativo. Esto es: lera. Distinción entre: Aprendizaje por recepción Vs Aprendizaje por descubrimiento. 2da. distinción entre: Aprendizaje mecánico o por repetición Vs. Aprendizaje Significativo. En el aprendizaje por recepción, el contenido total de lo que se va a aprender, se le presenta al alumno en su forma final. Mientras que en el aprendizaje por descubrimiento, el contenido principal de lo que va a ser aprendido no se da si no que debe ser descubierto por el propio alumno. "La primera fase del aprendizaje por descubrimiento involucra un proceso muy diferente al del aprendizaje por recepción; el alumno debe recordar la información , integrarla con la estructura cognoscitiva existente, y reorganizar o transformar la combinación integrada de manera que produzca el producto final deseado o se descubra la relación entre medios y fines que hacían falta. Después 43.

(53) de realizado el aprendizaje por descubrimiento, el contenido descubierto se hace significativo, en gran parte, de la misma manera que el contenido presentado se hace significativo en el aprendizaje por recepción" (Ausubel,989,ág. 35) De esta forma el aprendizaje por recepción y por descubrimiento, son dos tipos muy diferentes de procesos, estos difieren en sus principales funciones en el desarrollo y el funcionamiento intelectuales. Para volúmenes grandes de material en su mayoría se adquieren en virtud del aprendizaje por recepción, mientras que los problemas cotidianos se resuelven gracias al aprendizaje por descubrimiento, esto no significa que el conocimiento que se adquiere por recepción no se utiliza para resolver problemas de la vida diaria y el aprendizaje por descubrimiento sea usado comúnmente en el salón de clases para aclarar, aplicar, integrar conocimientos de la materia o evaluar la comprensión. Jerome Bruner es un teórico cognoscitivo moderno que ha demostrado un especial interés en la instrucción basada en una perspectiva cognoscitiva del aprendizaje por descubrimiento y él recomienda que los profesores fomenten la curiosidad a través del pensamiento intuitivo. "Hay que estimular a los alumnos a que hagan suposiciones intuitivas basadas en pruebas insuficientes y a que luego confirmen más sistemáticamente tales suposiciones." (Woolfollk) 1986, pág. 228) considerando que de esa forma los alumnos tendrán la oportunidad de practicar su capacidad para ver más allá de la información proporcionada. Gilstrap y Martin(. G. tro, R. L. y Martin, W:R., Current Strategies for teachers: A resource for personalizing education, Goodyear, Pacific Palisades, Calif. 1975) encuentran 6 ventajas en el aprendizaje por descubrimiento:. 44.

(54) l. Ayuda a los alumnos a aprender cómo aprender. 2. Este aprendizaje produce una sensación de excitación y automotivación 3. Permite a los alumnos a obrar de una manera que acomoda a sus propias posibilidades. 4. Puede contribuir a fortalecer el concepto que cada estudiante tenga de sí nnsmo. 5. Es posible que los alumnos desarrollen un sano escepticismo respecto a las soluciones simplistas de los problemas. 6. Los estudiantes son responsables de su propio aprendizaje. Sin embargo, no siempre es conveniente aplicar este método debido a los altos costos, en el tiempo principalmente.. "El aspecto más singular de la cultura humana es el hecho de que los conocimientos acumulados durante milenios pueden transmitirse a cada generación sucesiva en el curso de la infancia y la juventud y no necesariamente en cada generación dada, descubrirlos de nuevo." (Ausubel, 1983) Ausubel ofrece una alternativa al aprendizaje por descubrimiento a la que llama aprendizaje significativo. El considera que los aprendizajes significativo y mecánico son procesos cognoscitivos de aprendizaje distintos de las estrategias o procedimientos de aprendizaje que comúnmente se denominan como aprendizaje por recepción o aprendizaje por descubrimiento. Ambos procesos (aprendizaje por recepción y por descubrimiento) pueden ser repetitivos o significativos, según 45.

(55) las condiciones en las que ocurra el aprendizaje. Existe la creencia injustificable de que el aprendizaje por recepción es invariablemente repetitivo y que el efectuado por descubrimiento es inherente y forzosamente significativo. En realidad, cada distinción (aprendizaje repetitivo en contraste con significativo y por recepción en contraste con por descubrimiento) constituyen una dimensión completamente independiente del aprendizaje. Ausubel presenta las relaciones entre los aprendizajes por repetición y significativos, así como su relación ortogonal con la dimensión recepción descubrimiento, en la figura siguiente:. Aprendizaje Significativo. Aprendizaje por repetición. Clarificación de las relaciones entre los Conceptos. Enseñanza Audiotutelar bien diseñada. Investigación Científica. Conferencias o Presentacioncs de la mayor parte de libros de texto. Trabajo Escolar en el Laboratorio. Investigación más rutinaria o produ~ ción intelectual. Tablas de multiplicar. Aplicación de fórmulas para resolver problemas. Solución y recompenzas por ensayo y error. Aprendizaje por recepción. Aprendizaje por descubrimiento guiado. Aprendizaje por descubrimiento autónomo. Figura 2.3.3.2. 46.

(56) 2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: Este ocurre cuando la nueva información es adquirida mediante el esfuerzo deliberado por parte del alumno de vincular aquélla con los conceptos o proposiciones pertinentes que ya existen en la estructura cognoscitiva. Las condiciones para el aprendizaje significativo dependen de:. a) Un material de aprendizaje potencialmente significativo. b) Una disposición hacia el aprendizaje significativo.. La conexión entre el contenido nuevo y el conocimiento pre existente depende de la experiencia previa y de la disposición prevaleciente del alumno. La teoría de asimilación en la que se basa el aprendizaje significativo, postula que el nuevo aprendizaje significativo modifica tanto la naturaleza de la información nueva aceptada por la estructura como los conceptos o proposiciones de afianzamiento que existen con anterioridad. "La interacción del conocimiento potencialmente nuevo con los aspectos pertinentes de la estructura cognoscitiva preexistente produce un resultado interactivo (el Significado) que constituyen el núcleo del proceso de asimilación (Ausubel 1986, Pág. 148). En el aprendizaje significativo en cuanto más organizada y significativa sea su representación más profundamente aprenderá la persona. Aunque éste puede parecer un aprendizaje memorístico, no lo es. "El objetivo de la enseñanza estriba en ayudar a los alumnos a comprender el significado de la información presentada de forma tal que puedan combinar sensiblemente el nuevo material con lo que ya saben. No es aprendizaje significativo la simple memorización del contenido de. 47.

(57) un texto o de una explicación, es preciso realizar conexiones con el conocimiento ya existente de los alumnos." (Woolfolk, 1986, Pág. 235) Es claro que existe diferencia entre el aprendizaje significativo y el aprendizaje memorístico o por repetición, pero también existen relaciones como se mostraron en la figura 2.3.3.2. El aprendizaje por repetición se da cuando la tarea de aprendizaje consta de puras asociaciones arbitrarias, como las de pares asociados, y esto ocurre cuando el alumno carece de conocimientos previos relevantes, necesarios para hacer que la tarea del aprendizaje sea potencialmente significativa, y también si el alumno toma la tarea simple de intemalizarla de modo arbitrario y al pie de la letra. 2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO?. A diferencia de Brunner, Ausubel considera que el aprendizaje debe tener lugar a través de la recepción, no del descubrimiento. Los materiales que se presentan a los alumnos por los profesores deben de estar cuidadosamente organizados, en secuencia y de cierto modo acabados, de tal forma que dicho material sea más utilizable para los alumnos. Ausubel ha denominado a este método Enseñanza Expositora, Este método no resulta útil para la enseñanza de destrezas físicas o de las tablas de multiplicar, probablemente el empleo más apropiado de dicho método corresponde a la enseñanza de relaciones entre conceptos.. 48.

(58) Desde el punto de vista de Ausubel el método de enseñanza expositoria, es el medio por el cual se logra el aprendizaje significativo, que lo hace superior a los demás tipos de aprendizaje. 2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA. Son Cuatro las Características Especiales: 1. Exige una considerable interacción entre el profesor y los alumnos. Aunque el profesor pueda hacer la presentación inicial a lo largo de cada tema son necesarias las ideas, preguntas y respuestas de los alumnos. 2. Usa considerablemente los ejemplos en los que pueden figurar dibujos, gráficos e imágenes. 3. Es deductivo, se presentan ejemplos donde se jerarquizan diferencias y semejanzas generales para dar lugar a características particulares 4. Es secuencial. En la presentación del material hay que seguir determinados pasos. Ausubel propone como paso número uno el uso de organizadores previos. En cuanto a la secuencia de la presentación del material según la concepción de Ausubel, siempre se tiene que comenzar con lo que él llama un organizador previo, cuyo objetivo consiste en dar al alumno la información que precisará para que proporcionen un sentido al material que sobreviene o para ayudarles a recordar y a utilizar información que ya tiene, pero que quizás no considera relevante en relación con el tema. El organizador actúa así como una. 49.

(59) especie de puente conceptual entre el nuevo material y el antiguo. Estos organizadores atienden a tres finalidades: dirigir la atención del lector hacia lo que es importante en el próximo material; destacar relaciones entre ideas que serán presentadas, y le recuerda cosas que ya conocen y que poseerán importancia cuando halle el nuevo material. El siguiente paso en la secuencia de la presentación del material es utilizar cierto número de ejemplos en relación al tema que se va a tratar para como tercer paso establecer tanto semejanzas como diferencias generales. Dar al alumno un panorama generalizado de todas las semeJanzas y diferencias principales entre ambos cuerpos de ideas antes de que se enfrenten a los nuevos conceptos aislados y evitar la especificación explícita, lo alienta activamente a realizar sus propias diferenciaciones en función de sus fuentes particulares. "En el aprendizaje de conceptos, la presentación de secuencias, de estímulos que proporcionen contrastes sucesivos entre atributos de criterio esenciales y no esenciales tienden a facilitar la formación de conceptos" (Ausubel, 1986, pág. 168). El cuarto paso en la presentación del material consiste en hacer ésta de forma organizada. La posibilidad de afianzar las ideas para lograr el aprendizaje significativo, obviamente puede aumentar al máximo,. aprovechando la. dependencia consecutiva y natural de los diferentes componentes de una disciplina; es decir, el hecho de que la comprensión previa de otro tema relacionado.. 50.

(60) Arreglar el orden de los temas, tanto como sea posible para ponerlos de acuerdo a su secuencia natural y así el aprendizaje de cada unidad no sólo se convertirá en logro por sí mismo sino que además contribuye al armazón ideal específico para el siguiente tema de la secuencia. La programación adecuada de los materiales presupone también un máximo de atención a ciertos aspectos como la claridad, la organización y el podeI explicativo e integrador del contenido. "La importancia de plantear la secuencia de aprendizaje, radica principalmente en que hace posible que se eviten los errores que surgen de "saltarse" pasos esenciales en la adquisición de conocimiento de una área de estudio determinada" (Gagné, 1977, pág. 173) Así pues, el material nuevo dentro de la secuencia no deberá introducirse hasta no dominar totalmente los pasos previos. 2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO?. Esta tarea no es fácil, las pruebas de comprensión deberán por lo menos redactarse en lenguaje distinto y presentarse en contextos algo distintos a aquéllos en los que se encontró originalmente el material de aprendizaje, para evitar que el alumno sólo extraiga conceptos memorizados mecánicamente. La comprensión genwna implica la posesión de significados claros, precisos, diferenciados y transferibles, por lo que es deseable la evolución activa en el proceso ya sea por medio de preguntas y problemas que sean a la vez. 51.

(61) novedosos y desconocidos,. por lo que se requiere de una retroalimentación. directa en el proceso. En resumen se puede decir que el enfoque de Ausubel con respecto al aprendizaje en el aula tiene las siguientes características: Recomienda que sea deductivo, basado en la creencia de que las personas necesitan elaborar jerarquías internas encabezadas por conceptos generales o subsumidores, con el objeto de dominar los detalles y disponer de un sistema que abarque más conceptos específicos. La enseñanza expositoria, que es el sistema de instrucción recomendada por Ausubel, utiliza organizadores previos (para introducir conceptos básicos) y un contenido subordinado dispuesto en términos de semejanzas y diferencias. Se espera que al final de la lección los alumnos aprecien las relaciones no sólo entre los diferentes términos del contenido subordinado, si no que también entre el organizador previo y los otros términos abarcados por éste. (Woolfolk, 1986) 2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAl\flENTO DE LA INFORMACION. Este enfoque representa la concepción cognitiva más reciente y sistemática del aprendizaje . La teoría del procesamiento de la información sostiene que el aprendizaje es un proceso que se realiza en la mente del individuo, el cual percibe los estímulos del entorno, los transforma en información significativa que se almacena en la memoria para luego ser recuperada y traducida en conductas observables. 52.

(62) El modelo Básico del aprendizaje y memoria que sostiene esta teoría, supone básicamente que las personas disponen de cierto número de estructuras en el sistema nervioso central, dichas estructuras procesan la información corno se muestra en la figura siguiente: ' '. R E. '. REGISTRO. --------;;. SENSORIAL. e. '". MEMORIA A CORTO PLAZO. E. --3 E-. MEMORIAA LARGO PLAZO. p. T. Entorno. o. R E. ,, '. s. ... .,. ,1.,. ,,. 1 GENERADOR DE RESPUESTAS. '. 1. MODELO BASICO DEL APRENDIZAJE. Los Estímulos del entorno (imágenes, sonidos, olores, etc.) bombardean constantemente nuestros receptores. Los receptores son los elementos del sistema sensorial para ver, oír, gustar y palpar. Se produce una actividad nerviosa cuando los estímulos del entorno llegan a los receptores y es advertida por el re~istro sensorial sólo durante un cuarto de segundo, en ese pequeño tiempo se selecciona la información para su tratamiento posterior. Una vez transformada en modelos, imágenes o sonidos, la información del registro sensorial puede entrar a la Memoria. a Corto. Plazo (su permanencia. allí, es breve probablemente alrededor de 20 seg.). Para el desplazamiento de la memoria a Corto Plazo a la Memoria a Largo Plazo, se requiere otra transformación de la información a la que se denomina. 53.

(63) codificación Semántica que consiste en organizar la transformación de acuerdo con su significado.. "La transformación de la información de la forma que pueda entrar a la memoria a largo plazo constituye uno de los aspectos más críticos del aprendizaje. Desde luego a los profesores le interesa ayudar a los alumnos a recordar la información más allá de 20 seg. Por lo que el proceso de codificación es un punto especial de importancia para ellos." (Woolfolk, 1986, Pág. 238 ). Una vez que la información ha entrado a la memoria a largo plazo ¿Cómo tener acceso a la información? El acceso a la memoria de largo plazo depende de la organización.. El proceso de aprendizaje y la secuencia con la que se realiza en la mente del estudiante durante la instrucción, está clasificando de acuerdo a la figura 2.3.3.6.. 54.