Estudio numérico de la fusión de un sistema binario de agujeros negros

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(1)Facultat de Ciències Memòria del Treball de Fi de Grau. Estudio numérico de la fusión de un sistema binario de agujeros negros Daniel Ruiz Reynés Grau de Física Any acadèmic 2012-13. DNI de l’alumne: 43213705V Treball tutelat per Sascha Husa Departament de Física S'autoritza la Universitat a incloure el meu treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línea, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació. ✓. Paraules clau del treball: Agujero negro, Sistema binario, Ondas gravitacionales, Horizonte de sucesos, MareNostrum III..

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(3) Índice general 1. Sistema binario de agujeros negros 1.1. Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Horizonte de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sistema binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Sistema binario como fuente de ondas gravitatorias. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 5 5 6 8 10 10. 2. Formalismo 3+1 2.1. La separación 3+1 del espacio-tiempo . 2.2. Curvatura extrı́nseca . . . . . . . . . . . 2.3. Proyección de las ecuaciones de Einstein 2.4. La formulación BSSN . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 12 12 14 15 16. 3. Estudio numérico de un sistema binario 3.1. Ecuación de onda en 1+1 dimensiones . 3.1.1. Datos iniciales . . . . . . . . . . 3.1.2. Método numérico . . . . . . . . . 3.1.3. Convergencia . . . . . . . . . . . 3.2. Sistema binario en 3+1 dimensiones . . 3.2.1. Datos iniciales . . . . . . . . . . 3.2.2. Evolución del sistema . . . . . . 3.2.3. Emisión gravitatoria . . . . . . . 3.2.4. Método numérico . . . . . . . . . 3.3. Simulaciones con MareNostrum III . . . 3.3.1. Parámetros y datos iniciales. . . 3.3.2. Resultados de las simulaciones. .. de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 18 18 19 19 20 20 21 22 22 23 24 24 25. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(4) Introducción La Relatividad General es la teorı́a formulada por Albert Einstein que describe la gravedad. En esta teorı́a la fuerza gravitatoria se entiende como una deformación del espacio-tiempo, esta interpretación geométrica del espacio-tiempo como una variedad 4-dimensional nos permite entender el universo de forma totalmente diferente a como se habı́a entendido anteriormente. Por muy abstracta que sea la relatividad, ésta ha podido confirmarse en varias ocasiones. La curvatura de las trayectorias de luz debido al campo gravitatorio de un cuerpo muy masivo[1], la precesión del perihelio de Mercurio [2], la pérdida de energı́a de sistemas binarios por emisión gravitatoria [3] y el correcto funcionamiento de los satélites utilizando las leyes de la relatividad general, son algunas de las evidencias que confirman la teorı́a. De la teorı́a de Einstein surgen asombrosas predicciones como el Big Bang, los agujeros negros, o las ondas gravitacionales. Las ondas gravitacionales son deformaciones del espacio-tiempo producidas por cualquier cuerpo masivo acelerado respecto un observador en reposo, o por sistemas no esféricos acelerados. La amplitud de dichas ondas es muy débil, lo que dificulta su detección. Para poder detectarlas se necesitan fenómenos de dimensiones astrofı́sicas como la colisión de dos agujeros negros o la explosión de una supernova. Más adelante nos centraremos en estos aspectos. La primera evidencia observacional de la existencia de las ondas gravitacionales se debe a Hulse y Taylor [3]. Descubrieron que el sistema binario PSR B1913+16, formado por un pulsar y una estrella de neutrones en órbita, sufrı́a una disminución del periodo. Esta pérdida de energı́a concuerda con las pérdidas por emisión gravitatoria predichas por la relatividad general. Desde entonces ha habido algunas otras evidencias con sistemas mas relativistas [4]. Aún ası́, todavı́a no se han detectado directamente. Durante los últimos años se han llevado a cabo grandes proyectos, resultado de la colaboración entre varias universidades, con el objetivo de detectarlas. Estos proyectos han desembocado en grandes detectores como LIGO[5], VIRGO [6], GEO600 [7], que podrı́an abrir una nueva forma de observar el universo. Es aquı́ donde entra el estudio de los agujeros negros, pues es clave entender como se comporta este sistema para saber que debemos buscar. Los primeros en abordar el problema de los agujeros negros de forma numérica fueron Hahn y Lindquist[8] en 1964, pero no fue hasta mediados de los años setenta cuando Smarr [9] y Eppley [10] realizaron las primeras simulaciones de la colisión de dos agujeros negros. Hay que tener en cuenta que la capacidad computacional en estos años era baja y se imponı́an simetrı́as para simplificar el problema. En las dos ultimas décadas, con el aumento de las capacidades computacionales y la construcción del LIGO, ha habido importantes avances en el estudio de la fusión de agujeros negros. Entre 2005 y 2006 hubo tres avances importantes [11],[12] y [13]. BAM [14], LEAN[15], SpEC [16] son ejemplos de códigos desarrollados para estudiar sistemas binarios y su producción de ondas gravitacionales. En este proyecto se pretende estudiar los conceptos de agujero negro y onda gravitacional según la relatividad general, más concretamente la emisión de ondas gravitacionales producidas por un sistema binario de agujeros negros, para ello se utilizaran códigos de ordenador con el objetivo de resolver las ecuaciones de Einstein y analizar los resultados producidos por el sistema binario..

(5) Capı́tulo 1. Sistema binario de agujeros negros En este primer capı́tulo vamos a tratar los aspectos más importantes de un sistema binario de agujeros negros. El proceso de formación, como describir estos objetos, son algunos de los aspectos que trataremos de forma descriptiva, como también la emisión gravitacional producida por un sistema binario y las fases de la fusión.. 1.1.. Agujeros negros. Se cree que los agujeros negros se forman cuando en una estrella muy masiva se termina el combustible nuclear y disminuye la presión interna. Esto genera un desequilibrio haciendo colapsar la estrella. Podemos hacernos un idea de este proceso sin más que estudiar la ecuación Newtoniana de equilibrio hidrostático, ρ(r). d2�r dP GM (r)ρ(r) =− r̂ − r̂. 2 dt dr r2. (1.1). Es fácil darse cuenta que si el gradiente de presión no contrarresta el término gravitatorio la aceleración es no nula y se produce la contracción. Una vez se produce el colapso toda la masa queda concentrada en una región muy pequeña produciendo un campo gravitatorio muy intenso. Dependiendo de la masa inicial de la estrella ésta puede evolucionar de diferente forma, una de las posibilidades es que si la masa es mayor que unas 30 M⊙ se produzca una supernova y acabe formando un agujero negro. Si la masa esta entre 9 y 30 M⊙ después de la supernova se forma una estrella de neutrones, y si la masa es menor que unas 9 M⊙ el resultado es una enana blanca. Estas dos ultimas pueden acabar colapsando a un agujero negro si su masa excede un cierto lı́mite. Para las estrellas de neutrones este lı́mite de masa máxima esta entre 1.5-2 M⊙ , para enanas blancas es de 1.44 M⊙ , éste es el lı́mite de Chandrasekhar (ver en [17]). Este lı́mite es consecuencia de que la presión de degeneración de neutrones y de degeneración electrónica respectivamente no puede soportar la fuerza gravitatoria y se produce el colapso. Un agujero negro, de acuerdo con la relatividad general, es un región del espacio donde la masa esta concentrada hasta tal punto que la atracción gravitatoria es tan intensa que nada puede escapar, ni siquiera la luz. El lı́mite de esta región es una hipersuperficie llamada horizonte de sucesos y en su interior el espacio-tiempo tiene una singularidad. Las leyes que gobiernan la dinámica de un agujero negro son parecidas a las leyes termodinámicas, y si se tienen en cuenta procesos cuánticos el agujero negro emite radiación de Hawking. La geometrı́a del espacio para un agujero negro estacionario viene dada por la métrica de KerrNewman en función de la masa M, el momento angular S, y la carga eléctrica Q. Los cuerpos astrofı́sicos se pueden considerar como cuerpos eléctricamente neutros, por lo tanto la métrica se reduce a la de Kerr. Esta geometrı́a es resultado de resolver las ecuaciones de Einstein imponiendo simetrı́a axial, que el sistema se encuentra en el vacı́o, y que se encuentra en un estado estacionario. Esto no es siempre ası́,.

(6) 6. CAPÍTULO 1. SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS NEGROS. podemos tener un agujero negro con un disco de acreción, en este caso el agujero no estarı́a rodeado de vacı́o, pero hay que tener en cuenta que éste no estarı́a en un estado estacionario. Tampoco debe preocuparnos el hecho de que un agujero negro no esté en un estado estacionario, donde la métrica de Kerr no es válida, porque la duración de un proceso no estacionario es tan pequeña que resulta irrelevante, por estas razones es válido hacer estas asunciones. La métrica de Kerr en coordenadas de Boyer-Lindquist (t, r, θ, φ) y en un sistema natural de unidades (donde G=1 y c=1) se escribe ası́: � � � � 2M r 4M ra sin2 θ ρ2 2 2 2 2M ra2 sin2 θ 2 2 ds2 = − 1 − 2 dt2 − dφdt+ dr +ρ dθ + r + a + sin2 θdφ2 , (1.2) ρ ρ2 ∆ ρ2 donde ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, ∆ = r2 − 2M r + a2 , a = S/M es el parametro de Kerr. Consideraremos el caso especı́fico en que el agujero no rota (S=0) y de carga neutra (Q=0). Esto nos lleva a la métrica de Schwarzschild, �. 2M ds = − 1 − r 2. �. �. 2M dt + 1 − r 2. �−1. dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 .. (1.3). Podemos ver que para r → ∞ la métrica tiende a la métrica de Minkowski para un espacio-tiempo plano. También se puede ver que la métrica es singular en r=0 y en r=2M y este último es el radio de Schwarzschild o horizonte de sucesos. Los mejores candidatos para detectar agujeros negros son los sistemas binarios donde al agujero negro interactúa con el otro astro. Estos sistemas también tienen interés por la emisión de ondas gravitacionales. El sistema Cygnus X-1[18] es un caso en el que se puede inferir la presencia de una agujero negro. De hecho, fue la primera vez que se probó su existencia. Este sistema es una binaria de rayos X formado por un objeto compacto, un agujero negro y una estrella supergigante azul. La materia que absorbe el agujero negro forma un disco de acreción alrededor de éste de tal forma que la materia, a una temperatura de millones de kelvins, que está a punto de caer, emite rayos X. Mediante los datos orbitales del sistema se puede inferir la masa del objeto compacto, es entre 7 y 15M⊙ y como la masa máxima de una estrella de neutrones es de 2 M⊙ el objeto compacto debe ser un agujero negro. Otro caso en el que se puede deducir la presencia de una agujero negro es en el centro de las galaxias [19]. Algunos ejemplos de posibles galaxias con un agujero negro supermasivo en su centro son M31, M32, M87 NGC 3115, NG C3377, NGC 4258 y NGC 4594 [20]. La mejor evidencia obtenida hasta ahora de la presencia de un agujero negro supermasivo es la obtenida a partir del estudio del movimiento de estrellas cerca de el centro de la Via Láctea. Las observaciones indican que estos astros orbitan alrededor de una región oscura. La presencia de un agujero negro supermasivo es la opción que mejor concuerda con los cálculos, que sugieren la presencia de un un cuerpo de 4.3 millones de masas solares.. 1.2.. Horizonte de sucesos. En esta sección vamos a desarrollar un poco más detalladamente el concepto de horizonte de sucesos. Es necesario indagar en este concepto pues el horizonte de sucesos caracteriza el agujero negro, y si queremos realizar una simulación debemos poder localizarlo y analizarlo. Como hemos dicho un agujero negro es una región del espacio en la que nada puede escapar, o lo que es lo mismo que las geodésicas siempre se acaban dirigiendo hacia el interior. Se define como horizonte de sucesos la superficie imaginaria a partir de la cual ya no hay retorno. Esta superficie es como una membrana de tal forma que la materia puede entrar pero una vez dentro ya no hay vuelta atrás. El horizonte de sucesos contiene mucha información geométrica sobre el espacio-tiempo.

(7) 1.2 Horizonte de sucesos. 7. del agujero negro por eso es tan importante. En un sistema 2+1 dimensional (2 coordenadas espaciales y el tiempo) un sistema binario de agujeros negros se puede visualizar utilizando el siguiente diagrama.. Figura 1.1: Evolución del horizonte de sucesos con el tiempo en una colisión de agujeros negros (Matzner et. al [21].. La superficie representa la evolución del horizonte de sucesos con el tiempo. Si consideramos la intersección H entre el horizonte de sucesos y una hipersuperficie a t constante que denotaremos como Σ, en términos más sencillos una instantánea, tenemos una superficie cerrada de área A. El teorema del área formulado por Hawking (ver en [22], [23]) nos impone que esta área A no puede disminuir con el tiempo, δA ≥ 0. (1.4) Para una colisión de un sistema binario el área final debe ser mayor que la suma de las áreas iniciales.. Es interesante analizar el horizonte de sucesos a partir de las geodésicas nulas resultantes de la geometrı́a del espacio. Para obtener dichas geodésicas podemos aplicar la siguiente condición ds2 = 0. Nos centraremos en el caso de θ y ϕ constantes de tal forma que podamos estudiar el caso más sencillo. Si integramos obtenemos la siguiente geodésica nula: t = r + 2M ln |r − 2M | + C.. (1.5). En la siguiente imagen podemos ver las diferentes trayectorias que seguirı́a un rayo de luz visto desde una distancia infinita donde el espacio es plano. No son más que representaciones de la ecuación de la geodésica nula para diferentes valores de las condiciones iniciales.. 14 12. t�M. 10 8 6 4 2 0. 0. 1. 2. 3 r�M. 4. 5. 6. Figura 1.2: Geodésicas nulas de la métrica de Schwarzschild para θ y ϕ constantes..

(8) 8. CAPÍTULO 1. SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS NEGROS. Se puede ver que este observador percibirı́a que el cuerpo cae hacia el agujero pero nunca llega a pasar el horizonte. Esto puede parecer contradictorio, pero debemos tener en cuenta que el sistema de referencia en caı́da libre es un sistema acelerado y no ocurrirá lo mismo en ambos sistemas, en el sistema acelerado el cuerpo sı́ traspasa el horizonte de sucesos. Hay que fijarse en que en el interior, a partir de r = 2M , las geodésicas se dirigen siempre hacia el interior. El horizonte de sucesos nos proporciona información sobre las propiedades geométricas del agujero negro, pero a la hora de realizar una simulación conseguir localizarlo durante todo el proceso es muy difı́cil. Localizarlo después del proceso es interesante para estudiar las propiedades pero no es suficiente para una simulación numérica. Ademas la singularidad del espacio-tiempo en el interior del agujero negro debe ser excluida para no estropear los cálculos. Una manera de abordar este problema es pensar en que la parte interior del agujero negro está causalmente desconectada de la parte exterior. Esto quiere decir que como ni la luz puede escapar del interior de un agujero negro no puede haber eventos en el interior que afecten a la región exterior. Esto nos permite eliminar la región interior del horizonte de sucesos. Eliminar esta región nos obliga a saber en todo momento donde está el horizonte de sucesos.. 1.3.. Ondas gravitacionales. Las ondas gravitacionales son perturbaciones del espacio-tiempo que se propagan. Estas perturbaciones son emitidas por cualquier cuerpo masivo acelerado. La existencia de las ondas gravitacionales se deduce de la teorı́a de Einstein. A continuación vamos a obtener las ecuaciones para las ondas gravitacionales utilizando la aproximación de campo débil y estudiaremos un poco su comportamiento. La aproximación de campo débil consiste en suponer que tenemos un espacio plano descrito por la métrica de Minkowski y una pequeña perturbación añadida. Dicho de otro modo, gµν = ηµν + hµν ,. |hµν | � 1.. (1.6). Es de utilidad introducir la traza inversa de la perturbación 1 hµν ≡ hµν − ηab hα (1.7) α 2 Como tenemos libertad de elección de coordenadas podemos imponer la condición de Lorentz gauge. ∇a h. µν. =0. (1.8). Esto se reduce, para el caso de las ecuaciones de Einstein en el vacı́o, a la ecuación de onda �hµν ≡ ∇α ∇α hµν = 0. (1.9). La solución para esta ecuación son ondas planas hµν = Aµν exp (ikα xα ),. (1.10). donde el tensor Aµν es el tensor de amplitudes y kα el vector de onda. Se puede obtener, sin más que sustituir la solución obtenida en la ecuación de onda, la siguiente condición: kα k α = 0.. (1.11). Y aplicando la condición de Lorentz gauge tenemos Aαβ kβ = 0.. (1.12). Esta última implica ortogonalidad, es decir, que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud de la perturbación. Se puede obtener que la matriz de amplitudes tiene la forma,   0 0 0 0  0 A+ A× 0   Aµν =  (1.13)  0 A× A+ 0  . 0 0 0 0.

(9) 1.3 Ondas gravitacionales. 9. Se puede ver que tenemos dos estados de polarización, estos dos estados de polarización se pueden entender mejor con la figura que tenemos a continuación.. Figura 1.3: Representación de los dos posibles estados de polarización con propagación en la dirección z [22, pág. 313].. La polarización + es una oscilación en la dirección x y en la dirección y, en cambi,o la oscilación × es una oscilación a lo largo de la recta x = y y x = −y. Con esto ya tenemos como se propagan las ondas gravitacionales y sus estados de polarización. El gran reto que propone la existencia de ondas gravitacionales es conseguir realizar una detección de estas ondas. Para ello han sido desarrollados grandes proyectos con esta intención. La idea fundamental que esta detrás de estos detectores es medir las deformaciones relativas producidas por las ondas gravitacionales para ello se utiliza un interferómetro láser. Este interferómetro consta de dos brazos perpendiculares, un rayo de luz se separa de tal forma que tengamos dos rayos de luz coherente que viajen por cada brazo en direcciones perpendiculares, éstos son reflejados en los extremos de cada brazo y finalmente se captan con un detector. Cualquier deformación en uno de los brazos producirá una diferencia entre los caminos ópticos de la luz de cada brazo produciendo un desfase en el detector. En la siguiente figura tenemos un diagrama del interferómetro junto a las deformaciones producidas por las ondas gravitacionales.. Figura 1.4: Diagrama de las deformaciones producidas por ondas gravitacionales en un interferómetro láser [24].. Este sistema de detección necesita una sensibilidad muy grande para poder conseguir detectar ondas gravitacionales. Dicha sensibilidad se consigue con diferentes factores. Uno de los más destacados es la longitud de los brazos, pero también se necesitan sistemas de amortiguación para evitar el ruido sı́smico, sistemas de refrigeración y ópticas de alta precisión, entre otros sistemas para optimizar el rendimiento. Estos detectores suponen una capacidad técnica muy elevada en muchos aspectos y un coste económico imposible de asumir para una única universidad, con lo que son resultado de grandes colaboraciones. A continuación podemos ver uno de los detectores LIGO en Livingston, Louisiana..

(10) 10. CAPÍTULO 1. SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS NEGROS. Figura 1.5: LIGO - Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory, en Livingston, Louisiana.. 1.4.. Sistema binario. Un sistema binario de agujeros negros está formado por dos agujeros negros, orbitando uno alrededor del otro que emiten ondas gravitacionales durante el proceso de fusión y cuyo resultado final es un agujero negro. Normalmente se suele dividir el proceso en cuatro fases: Newtonian Los dos agujeros negros están muy lejos el uno del otro y la emisión de ondas gravitacionales es demasiado débil para causar la fusión. Hay que tener en cuenta otros procesos independientes del problema de dos cuerpos como interacción de gas o fricción dinámica, para conseguir que los dos agujeros negros se acerquen lo suficiente para producir emisión gravitatoria y causar la fusión. Inspiral En esta parte la emisión de ondas gravitacionales es el proceso dominante. La pérdida de energı́a provoca que los dos agujeros negros se acerquen cada vez más. Esta parte esta controlada por métodos post-Newtonianos (PN)[25]. Para un sistema binario sin excentricidad y sin rotación inicial las aproximaciones PN a mayor orden y la aproximación a un cuerpo [26] dan resultados muy parecidos hasta que nos acercamos a la fusión. Plunge and merger En esta fase la emisión de ondas gravitacionales se hace lo suficientemente fuerte como para que la evolución de las órbitas no sea adiabática. Se produce la fusión y el resultado debe ser un agujero negro. En esta fase es donde es necesario utilizar cálculo numérico para resolver las ecuaciones de Einstein. Esto se debe a que los métodos PN fallan. Esta fase es muy corta, solo dura alrededor de dos ciclos de la onda producida. Ringdown En esta última fase el sistema resultante debe ser un único agujero negro, este se puede describir como una perturbación del espacio de Kerr. En esta fase la emisión de ondas gravitacionales puede ser expresada como una superposición de modos cuasi-normales del agujero negro final. Se puede hacer el cálculo usando métodos perturbativos a partir de las condiciones iniciales.. 1.5.. Sistema binario como fuente de ondas gravitatorias. La emisión de ondas gravitacionales está estrictamente ligada al proceso de fusión del sistema binario. Cada fase del proceso tiene una emisión de ondas caracterı́stica, este aspecto lo trataremos más adelante con los resultados de las simulaciones, pero es interesante hacerse una idea cualitativa de como evoluciona la emisión a medida que se desarrolla la fusión. En la siguiente figura podemos ver de forma cualitativa la emisión de ondas en cada fase del proceso..

(11) 1.5 Sistema binario como fuente de ondas gravitatorias. 11. Figura 1.6: Representación de la emisión gravitatoria en función de la fase de fusión [27].. Otro punto de interés sobre las ondas gravitacionales es el transporte de energı́a. Como sabemos, las ondas gravitacionales son muy débiles comparadas con las ondas electromagnéticas. Además, a diferencia del electromagnetismo donde no hay momentos monopolares, las ondas gravitacionales no tienen ni momentos monopolares ni dipolares, lo que implica que deben ser cuadrupolares. Estas ondas transportan energı́a, y un sistema que emite ondas gravitacionales ira perdiendo energı́a. Esta pérdida de energı́a puede ser calculada utilizando la aproximación de campo débil, para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz (v � c) y longitudes de onda λ menores que el tamaño del sistema, � �2 dE G � d3 Qij =− 5 , dt 5c i,j dt3. (1.14). � donde Qij = �(xi xj − δij r2 /3)d3 x es el momento cuadrupolar de masa. Se puede ver como el factor G 5c5 implica una variación de energı́a muy pequeña, es decir, ondas débiles..

(12) Capı́tulo 2. Formalismo 3+1 En este capı́tulo se pretenden explicar de forma más concreta los aspectos matemáticos necesarios para abordar el cálculo numérico. La separación 3+1 del espacio-tiempo, la curvatura extrı́nseca, las ecuaciones de Einstein en este formalismo, y la formulación BSSN, son los aspectos que se van a estudiar. El primer aspecto en el que debemos centrarnos son las ecuaciones de Einstein para la relatividad general. Estas se expresan de forma covariante con la sutil expresión: Gµν = 8πTµν .. (2.1). Esta formulación de la relatividad general no hace distinción entre el espacio y el tiempo, el tiempo es una coordenada más. Esto tiene sus ventajas, pero en nuestro caso no nos proporciona una idea muy intuitiva de como evoluciona el sistema, por eso vamos a hacer una distinción entre espacio y tiempo, de tal manera que sea un sistema 3-dimensional que evoluciona con el tiempo.. 2.1.. La separación 3+1 del espacio-tiempo. Este formalismo está tomado del Alcubierre [28]. Para poder estudiar la evolución de nuestro sistema binario vamos a separar el espacio del tiempo. Como nuestro espacio es lorentziano podemos tomar nuestra variedad 4D compuesta por una familia de hipersuperficies a t constante.. Figura 2.1: Familia de hipersuperficies Σ a t constante [22, pág. 30].. En estas hipersuperficies de tres dimensiones analizaremos las cantidades geométricas en Σ inducidas por la geometrı́a de la variedad M, en concreto la métrica y la curvatura extrı́nseca. Vamos a considerar dos hipersuperficies adyacentes Σt y Σt+dt para hacer las siguientes definiciones..

(13) 2.1 La separación 3+1 del espacio-tiempo. 13. Figura 2.2: Ilustración de la función lapso y el vector desplazamiento [28, pág. 66].. La métrica 3-dimensional: de distancia espacial,. Ésta es la métrica inducida en cada hipersuperficie, que nos da la noción dl2 = γij dxi dxj .. (2.2). La función lapso: Ésta es la función que nos proporciona el instante de tiempo propio dτ entre dos superficies, medido por un observador que se mueve en la dirección normal a la hipersuperficie. dτ = α(t, xi )dt,. (2.3). donde α(t, xi ) es nuestra función lapso. El vector desplazamiento: El vector βi es la velocidad relativa entre un observador Euleriano y las lı́neas coordenadas espaciales. También llamado vector desplazamiento, xit+dt = xit − β i (t, xi )dt.. (2.4). La función α y el vector βi también conocidas como funciones de gauge no son únicas, dependen de las coordenadas elegidas. Con esto podemos encontrar el elemento de lı́nea en términos de las funciones de gauge, ası́ como la métrica y su inversa,. gµν. ds2 = (−α2 + βi β i )dt2 + 2βi dtdxi + γij dxi dxj , � � � � −1/α2 β i /α2 −α2 + βk β k βi = , g µν = . β j /α2 γ ij − β i β j /α2 βj γij. A partir de aquı́ podemos obtener el elemento de volumen 4-dimensional √ √ −g = α γ,. (2.5) (2.6). (2.7). donde g es el determinante de gµν y γ el de γij . Es fácil obtener el vector normal a una hipersuperficie. Vendrá dado por: nµ = (−α, 0),. nµ = (1/α, −β i /α),. nµ nµ = −1.. (2.8). Este vector normal nos permite obtener la métrica espacial de Σ a partir de la métrica de la variedad M como γµν = gµν + nµ nν . (2.9) Esto no es nada más que el operador de proyección sobre la hipersuperficie espacial. Si consideramos t como el tiempo global asociado al conjunto de hipersuperficies se puede definir la función lapso como: α = (−∇t · ∇t)−1/2 . (2.10).

(14) 14. CAPÍTULO 2. FORMALISMO 3+1. I el vector unitario normal a la hipersuperficie se puede expresar como: nµ = −α∇µ t.. (2.11). Teniendo en cuenta la ecuación (2.4) podemos obtener el vector desplazamiento β i = −α(�n · ∇xi ).. (2.12). Definiremos un 4-vector β µ = (0, β i ) que es ortogonal a �n. Con esto se puede definir el vector tiempo de la siguiente forma: tµ = αnµ + β µ . (2.13) Este vector es tangente a las lı́neas temporales, es decir, es tangente a las lı́neas a posición constante, y cumple que la componente en la dirección normal es tµ nµ = −α lo que implica, tµ ∇µ t = 1.. (2.14). Se puede obtener también el vector desplazamiento en términos del vector �t. No es más que la proyección de �t sobre la hipersuperficie, βµ = γµν tν . (2.15) A medida que avanzamos en el tiempo variando el parámetro t nos trasladamos desde la hipersuperficie Σ0 hasta Σt y la métrica va cambiando a medida que cambiamos de hipersuperficie. La métrica espacial es función del parámetro t, γµν (t), en definitiva la métrica es dinámica, nos marca la evolución del sistema.. 2.2.. Curvatura extrı́nseca. La curvatura extrı́nseca tiene que ver como nuestras hipersuperficies están inmersas en nuestra variedad, es decir, por una parte tenemos la curvatura propia del espacio 3D (curvatura intrı́nseca) que vendrá impuesta por la métrica γij , más concretamente dada por el tensor de Riemann. Por otra parte la curvatura extrı́nseca esta relacionada con como se curva el espacio 3D con el transcurso del tiempo, o dicho de otra forma, como varı́a el campo gravitatorio cada instante. Antes de todo vamos a definir el operador de proyección sobre las hipersuperficies, Pβα = δβα + nα nβ .. (2.16) Pβα. γβα .. Bajando ı́ndices con la métrica gµν es fácil comprobar que = Se puede comprobar con facilidad que la proyección de cualquier vector es ortogonal al vector normal. (Pβα v β )nα = (v α + nα nβ v β )nα = v α nα − nβ v β = 0.. (2.17). Ahora podemos definir la curvatura extrı́nseca usando el operador de proyección de la siguiente forma: Kµν = −Pµα ∇α nν = −(∇µ nν + nµ nα ∇α nν ).. (2.18). El tensor Kµν es de tipo espacial, esto es debido al proyector. Entonces nµ Kµν = nν Kµν = 0. De esta expresión ya se puede inferir que el tensor es simétrico Kµν = Kνµ ..

(15) 2.3 Proyección de las ecuaciones de Einstein. 15. La siguiente figura nos da una interpretación gráfica de la curvatura extrı́nseca, en definitiva es una medida de como cambia el vector normal bajo transporte paralelo.. Figura 2.3: Interpretación gráfica de la curvatura extrinseca en un hipersuperficie cualquiera [22, pág. 33].. Se puede demostrar que la curvatura extrı́nseca se puede expresar en términos de la derivada de Lie de la siguiente forma: 1 Kµν = − L�n γµν . (2.19) 2 Usando la expresión (2.13) podemos ver lo siguiente: Kµν = −. 1 1 Lα�n γµν = − (L�t − Lβ� )γµν . 2α 2α. (2.20). Teniendo en cuenta que L�t = ∂t podemos reescribir lo anterior, ∂t γij = −2αKij + Di βj + Dj βi ,. (2.21). donde Di es la derivada covariante espacial associada a γij , o lo que es lo mismo, la proyección espacial de la derivada covariante total (Dµ = Pµα ∇α ). Esta ecuación es una ecuación de evolución, nos relaciona la evolución de la métrica espacial con la curvatura extrı́nseca, en otras palabras, la curvatura extrı́nseca en cierta manera es la curvatura debida a la evolución temporal. Debemos fijarnos que esta expresión se deduce solo usando conceptos geométricos, no hace referencia a ningún sistema en concreto, dicho de otra forma es una ecuación puramente cinemática. La dinámica del sistema vendrá inducida por las ecuaciones de Einstein.. 2.3.. Proyección de las ecuaciones de Einstein. En este apartado vamos a escribir las ecuaciones de ligadura. Para ello es necesario estar familiarizado con algunos conceptos como el tensor de Riemann, el tensor y el escalar de Ricci y el tensor de Einstein. Este último se escribe en función del tensor y el escalar de Ricci como: 1 Gµν = Rµν − gµν R. 2. (2.22). Para deducir la primera ecuación de ligadura hay que proyectar el tensor de Riemann mediante el operador de proyección definido anteriormente, además se debe hacer uso de las ecuaciones de Gauss-Codazzi (desarolladas en [23]). Esto puede encontrarse de forma más detallada en el Alcubierre [28] . Como hemos dicho, proyectando y aplicando Gauss-Codazzi respectivamente se obtienen las siguientes expresiones: P αµ P βν Rαµβν = 2nµ nν Gµν , P αµ P βν Rαµβν = R + K 2 − Kij K ij . (2.23) De las que se deduce... 2nµ nν Gµν = R + K 2 − Kij K ij .. (2.24).

(16) 16. CAPÍTULO 2. FORMALISMO 3+1. Utilizando que la densidad de energı́a viene dada en términos del tensor de momento-energı́a como ρ = nµ nν Tµν , podemos reescribir la anterior ecuación, para obtener la primera ligadura, llamada también ligadura Hamiltoniana: R + K 2 − Kij K ij = 16πρ. (2.25) Para obtener la segunda ligadura vamos a proyectar el tensor de Einstein, P αµ nν Gµν = P αµ nν Rµν .. (2.26). Y mediante la relación Codazzi-Mainardi, γ αµ nν Gµν = Dα K − Dµ K αµ .. (2.27). Se puede obtener la segunda ecuación de ligadura, Dj (K ij − γ ij K) = 8πj i ,. (2.28). donde j α = −P αµ nν Tµν es la densidad de momento medida por un observador Euleriano. Esta ligadura toma el nombre de ligadura de momento. Las ligaduras (2.25) y (2.28) son ecuaciones que deben cumplirse para todo tiempo y éstas sı́ nos dan información sobre el sistema fı́sico. Pueden entenderse análogamente a la divergencia de las ecuaciones de Maxwell.. 2.4.. La formulación BSSN. Existen diversas formulaciones de las ecuaciones de evolución. En este trabajo no nos centraremos en todas ni mucho menos, pero sı́ comentaremos las más importantes y finalmente nos centraremos en la formulación de (Baumgarte y Shapiro [29], Shibata y Nakamura [30]) o como nosotros la llamaremos BSSN. La primera a la cual debemos hacer referencia es la formulación de Arnowitt, Deser y Misner [31], ADM. Esta formulación de las ecuaciones de evolución depende de la constricción o ligadura Hamiltoniana ec. (2.25). York reformuló estas ecuaciones para dar la formulación York-ADM que suprimı́a esta dependencia con la constricción. Estrictamente las dos formulaciones son idénticas y no deberı́a haber diferencia entre ambas para la resolución analı́tica, pero la cosa cambia cuando hacemos una resolución numérica. Las pequeñas oscilaciones de la solución pueden provocar que la constricción Hamiltoniana no se cumpla exactamente de tal forma que la solución puede terminar por ser errónea. Estas dos formulaciones no han resultado ser muy bien comportadas y la formulación BSSN ha ganado protagonismo debido a su estabilidad. El método BSSN introduce nuevas variables, primero introduciremos el factor conforme, el cual nos permite reescalar la métrica. Se elige de forma que el determinante de la nueva métrica sea como podemos ver a continuación: γ̃ij = ψ −4 γij. :. γ̃ = 1 ψ 4 = γ 1/3 .. (2.29). Donde γ y γ̃ son los determinantes respectivos de las dos métricas. En la práctica trabajaremos con el 1 logaritmo del factor conforme φ = lnψ = 12 lnγ. Podemos separar la curvatura extrı́nseca en su traza y su parte de traza cero como: 1 Aij = Kij − γij K. 3. (2.30). Usando el factor conforme podemos hacer la siguiente redefinición para la curvatura extrı́nseca, Ãij = ψ −4 Aij = e−4φ Aij .. (2.31).

(17) 2.4 La formulación BSSN. 17. También debemos definir las funciones de conexión conforme como: Γ̃i = γ̃ jk Γijk = −∂j γ̃ ij .. (2.32). Estas φ, K, γ̃ij , Ãij , Γ̃i , son las variables básicas del formalismo BSSN. A continuación vamos a escribir las ecuaciones de evolución para estas variables, d ij γ̃ = −2αÃij , dt d 1 φ = − αK, dt 6 � �T F d ij Ã = e−4φ −Di Di α + αRij + 4πα[γij (S − ρ) − 2Sij ] + α(K Ãij − 2Ãik Ãkj ), dt d K = −Di Dj α + α(Ãij Ãij + K 2 /3) + 4πα(ρ + S), dt d i 1 2 Γ̃ = γ̃ j k∂j ∂k β i + γ ij ∂j ∂k β k − 2Ãij ∂j α + 2α[Γ̃ijk Ãjk + 6Ãij ∂j φ − γ̃ ij ∂j K − 8π j̃ i ], dt 3 3. (2.33) (2.34) (2.35) (2.36) (2.37). d = ∂t − Lβ� ,j̃ i = ψ 4 j i Di es la derivada covariante respecto la métrica espacial, Rij es el tensor donde dt de Ricci asociado a γij y el super indicie T F indica que es la parte de traza cero del parentesis. Con la formulación BSSN evitamos que aparezca la inestabilidad, pero además el sistema se comporta mucho mejor que el método York-ADM y ADM. Esto fue comprobado por comparación directa de ambas simulaciones por Baumgarte y Shapiro en la Ref. (32 del Art. Alcubierre)..

(18) Capı́tulo 3. Estudio numérico de un sistema binario de agujeros negros En este capı́tulo vamos a centrarnos en la resolución numérica de las ecuaciones para un sistema binario. Para obtener una mejor comprensión del funcionamiento vamos a empezar de manera introductoria con la resolución de la ecuación de onda en un caso de 1+1 dimensiones, esto nos ayudara a entender diferentes aspectos importantes en la simulación.. 3.1.. Ecuación de onda en 1+1 dimensiones. Vamos a empezar con la resolución de la ecuación de ondas para un sistema de una dimensión espacial y una dimensión temporal para un espacio plano donde el elemento de lı́nea es el siguiente: ds2 = −dt̃2 + dx̃2 .. (3.1). La ecuación de onda en términos del operador de Alembert en un sistema de unidades donde la velocidad de la luz es c=1, se escribe ∂2φ ∂2φ �φ = − 2 + = 0. (3.2) ∂ x̃2 ∂ t̃ Introduciendo el desplazamiento no nulo, de la misma forma que en (2.4), que no es más que un cambio de coordenadas, tenemos: dt = dt̃, dx = dx̃ − βdt̃. (3.3) Reescribiendo el elemento de lı́nea en las nuevas coordenadas se puede encontrar la métrica, � � � � −1 + β 2 β −1 β gµν = , g µν = . β 1 β 1 − β2. (3.4). Para la resolución de la ecuación de ondas es útil reformular la ecuación en términos de derivadas de primer orden, para ello utilizaremos la ecuación generalizada, √ 1 �φ = √ ∂µ [ −gg µν ∂ν φ] = 0, −g. (3.5). donde g es el determinante de la métrica. Desarrollando el sumatorio tenemos, �φ =∂t [g tt ∂t φ + g tx ∂x φ] + ∂x [g xt ∂t φ + g xx ∂x φ] = ∂t [−∂t φ + β∂x φ] + ∂x [β∂t φ + (1 − β 2 )∂x φ] = 0.. (3.6). Se puede comprobar que si se introducen las variables ψ = ∂x φ y π = ∂t φ − β∂x φ se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones en términos de derivadas de primer orden. ∂t π = ∂x (ψ + βπ),. ∂t ψ = ∂x (π + βψ). y. ∂t = π + βψ.. (3.7).

(19) 3.1 Ecuación de onda en 1+1 dimensiones. 19. Estas ecuaciones van a permitirnos integrar en el tiempo y hallar la solución, para ello lo primero que se necesita es el estado inicial del sistema, dicho de otro modo, las condiciones iniciales. Podemos darnos cuenta de que hemos seguido un proceso similar al formalismo 3+1 pues hemos obtenido una ecuación de evolución en función de la geometrı́a del espacio.. 3.1.1.. Datos iniciales. Las condiciones iniciales para el caso que queremos resolver pretenden ser sencillas. Para ello hemos elegido una gaussiana, esta función nos permitirá ver de forma clara la propagación en el tiempo. A continuación tenemos el estado inicial para todo x a tiempo cero. π(0, x) = 0 φ(0, x) = A exp(−(x − x0 )2 /σ 2 )) x − x0 φ(0, x) ψ(0, x) = −2 σ2. (3.8). Debemos tener en cuenta que las condiciones iniciales deben cumplir ψ = ∂x φ.. 3.1.2.. Método numérico. Una vez elegidas las condiciones iniciales ya podemos integrar en el tiempo. Para ello utilizaremos el método Runge-Kutta 4 (RK4). Este algoritmo utiliza el valor de la derivada para proporcionarnos el siguiente punto, lo que implica que debemos conocer el valor de la derivada en todo momento. Como obtenerla lo veremos en seguida, pero antes vamos a centrarnos en el funcionamiento del algoritmo. Definimos S(f) como la derivada de la función, tal como se ve a continuación: ∂t f = S(f ).. (3.9). A partir de aquı́ se calcula el punto n a partir del n − 1 de la siguiente forma: k1 = S(tn−1 , f n−1 ), ∆t n−1 ∆t k2 = S(tn−1 + ,f + k1 ), 2 2 ∆t n−1 ∆t k3 = S(tn−1 + ,f + k2 ), 2 2 k4 = S(tn−1 + ∆t, f n−1 + ∆tk3 ), ∆t f n = f n−1 + (k1 + k2 + k3 + k4 ) + O(∆t5 ). 6. (3.10). Hay que notar que el algoritmo debe integrar las funciones π, ψ, y φ, por lo que deberá ir alternando la función a integrar. Para calcular S(f ) necesitamos calcular la derivada espacial de una función que nos vendrá dada (ver ecuaciones 3.7). Para hacer esta derivada numéricamente utilizaremos diferencias finitas, en concreto en nuestro caso de cuarto orden hi−2 − 8hi−1 + 8hi+1 − hi+2 h�i = , (3.11) 12∆x donde h es la función a derivar, que puede ser ψ + βπ o π + βψ. Obtener la derivada en todos los puntos de la malla como hemos indicado presenta el problema que los puntos de los extremos (i=1,2,n-1,n) no tienen vecinos y no se puede calcular la derivada. Esto se soluciona fácilmente imponiendo periodicidad, es decir, f0 = fn , f−1 = fn−1 , fn+1 = f1 y fn+2 = f2 , donde n es el número total de puntos. Una vez hecha la simulación podemos representar la solución en función del tiempo y comprobar si los resultados son coherentes. A continuación tenemos un gráfico donde se puede ver la que la gaussiana.

(20) CAPÍTULO 3. ESTUDIO NUMÉRICO DE UN SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS 20 NEGROS que habı́amos impuesto como condición inicial se propaga en el espacio en ambas direcciones a medida que pasa el tiempo.. Figura 3.1: Representación de φ en función del tiempo y el espacio.. 3.1.3.. Convergencia. Para tener la certeza de que nuestros cálculos no son incorrectos podemos hacer un análisis de convergencia. Como nuestro algoritmo es de cuarto orden tenemos que la solución puede expresarse como una suma del valor exacto más un cierto error de cuarto orden. f = f0 + e∆t4 + O(∆t5 ),. (3.12). donde f es el valor obtenido, f0 el valor exacto, e una constante de proporcionalidad y ∆t corresponde a la discretización. Si se compara las soluciones obtenidas utilizando dos discretizaciones de ∆t/4, ∆t/2 y ∆t como se ve a continuación: � � 1 e∆t4 1 − 16 + O(∆t5 ) f3 − f2 �1 � gcon = = = 16 + O(∆t5 ), (3.13) f2 − f1 e∆t4 16 − 1612 + O(∆t5 ). obtenemos que el cociente debe ser siempre 16, esto nos proporciona una herramienta para detectar posibles fallos en el código, y hacer una estimación del error. Realizando un test de convergencia para un tiempo intermedio obtenemos el siguiente gráfico donde podemos observar como mayoritariamente para todos los puntos vale alrededor del valor especificado. Se puede observar como las zonas de los bordes y donde se encuentran las gaussianas son las más problemáticas.. Φ�x� 2.0. gcon�x� 20. 1.5. 15. 1.0. 10. 0.5. 5. 0. 100. 200. 300. 400. x 500. 0. 100. 200. 300. 400. x 500. Figura 3.2: Representación de φ y gcon respectivamente a t=75.. 3.2.. Sistema binario en 3+1 dimensiones. La resolución de las ecuaciones de Einstein para la fusión de un sistema binario de agujeros negros, debe resolverse numéricamente, pues no puede abordarse de otra forma debido a su complejidad. BAM[14].

(21) 3.2 Sistema binario en 3+1 dimensiones. 21. es uno de los códigos desarrollados para resolver este problema y el que utilizamos aquı́ para presentar los resultados a los que nos dedicaremos más adelante. El código BAM utiliza el método de punción en movimiento traducido del inglés ”moving puncture method”[14]. Este método aprovecha los grados de libertad de las coordenadas para evitar la singularidad. Los datos iniciales poseen topologı́a de agujero de gusano de Brill-Lindquist, ésta es asintóticamente plana en los extremos y compactada e identificada por ri . Nos referiremos a las coordenadas de la singularidad ri como punción (puncture). Las punciones nos permitirán tener localizados los agujeros negros en todo momento.. 3.2.1.. Datos iniciales. Los datos iniciales vienen dados por la métrica tridimensional de Riemann γij , y la curvatura Kij inducida por la geometrı́a del espacio-tiempo en la hipersuperficie Σ, relacionados por la expresión Kµν = −. 1 Lα�n γµν , 2α. (3.14). donde �n es un vector tipo tiempo normal a la hipersuperficie y α la función lapso presentada en el capı́tulo 2. �i , éstos determinarán la geometrı́a del espacioEn el instante inicial se eligen los valores de mi , �xi , p�i y S tiempo. Hay que decir que no cualquier momento inicial es válido, deben obtenerse con métodos postnewtonianos. Una vez se tienen los datos iniciales se elige para el instante inicial un espacio plano reescalado mediante el factor conforme ψ, γij = ψ 4 δij . (3.15) Para determinar el factor conforme correcto debe obtenerse a partir de las ecuaciones de ligadura, esto nos garantizará que cumple las ecuaciones de Einstein. Se puede obtener la parte derecha de las ecuaciones de ligadura (2.25) y (2.28) en función del factor conforme y el lado izquierdo con los datos iniciales mi , �i , con esto podemos determinar ψ. Esta solución toma el nombre de solución de Bowen-York. �xi , p�i y S La solución toma la forma, N � mi ψ = ψBL + u y ψBL = 1 + , (3.16) 2ri i=1 donde u viene determinado por una ecuación elı́ptica en R3 y es C ∞ por todo excepto en la punción que es C 2 . Las variables mi y ri corresponden al agujero negro i-éssimo y mi parametriza la masa de cada agujero negro. En general la masa ADM viene dada por, .  � mj , Mi = mi 1 + ui + 2dij. (3.17). i�=j. donde ui es u para cada punción, y dij la distancia entre la punción i y j. Esta expresión no tiene por que coincidir con la masa del horizonte aparente MAH,i , pero coincide para los casos sin espı́n. Para los casos con espı́n la masa viene dada por Christodoulou [32]. Mi2. =. 2 MAH,i. Si2 + , 2 4MAH,i. MAH,i =. �. A . 16π. (3.18). Para completar los datos iniciales debemos añadir el valor del vector desplazamiento y la función lapso en el instante inicial, β i = 0, (3.19) α=1 o. ψ −2 (t = 0),. (3.20).

(22) CAPÍTULO 3. ESTUDIO NUMÉRICO DE UN SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS 22 NEGROS. 3.2.2.. Evolución del sistema. Las ecuaciones de evolución para nuestro sistema son como vimos, las obtenidas en la formulación BSSN (2.33-2.37). En el instante inicial las variables de la formulación BSSN φ, γ̃ij , Ãij , K y Γ̃i toman el valor: φ = ln ψ, (3.21) Ãij = ψ −6 Āij , i. ij. ij. Γ̃ = −∂j γ̃ .. (3.22) (3.23). Las variables γ̃ y K no han sido cambiadas. Las ecuaciones de evolución con las que se integran las anteriores variables son las escritas a continuación, que se diferencian de (2.33-2.37) en los términos de densidad de energı́a y momento. d ij γ̃ = −2αÃij , dt d 1 φ = − αK, dt 6 � �T F d ij Ã = e−4φ −Di Di α + αRij + 4πα[γij (S − ρ) − 2Sij ] + α(K Ãij − 2Ãik Ãkj ), dt d K = −Di Dj α + α(Ãij Ãij + K 2 /3), dt d i 1 2 Γ̃ = γ̃ j k∂j ∂k β i + γ ij ∂j ∂k β k − 2Ãij ∂j α + 2α[Γ̃ijk Ãjk + 6Ãij ∂j φ − γ̃ ij ∂j K], dt 3 3 d i 4 i donde dt = ∂t − Lβ� ,j̃ = ψ j Di es la derivada covariante respecto la métrica espacial, Rij es el de Ricci asociado a γij y el super indicie T F indica que es la parte de traza cero del paréntesis. Se deben añadir dos condiciones para obtener una evolución estable:. (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) tensor. 1. La imposición de la ligadura det(γ) = 1 y T r(Ãij ) = 0. Éstas deben imponerse cuando se calculan las partes de la derecha de las ecuaciones, y al final de cada paso de la evolución. 2. Cuando Γ̃i aparece sin diferenciar se usa Γ̃i = −∂j γ̃ij explı́citamente, si no es ası́ se utiliza Γ̃i .. 3.2.3.. Emisión gravitatoria. Uno de los objetivos de la simulación es obtener información sobre la emisión de ondas gravitacionales. En este apartado vamos a seguir la aproximación de Newman-Penrose, donde el escalar de Weyl Ψ4 (o escalar de Newman-Penrose)[14] mide la radiación gravitacional transversal hacia fuera en un espacio asintóticamente plano. No vamos a detallar aquı́ su definición porque requiere de las variables del formalismo York-ADM que no hemos tratado en este trabajo. Nos será de interés a continuación tener la proyección del escalar de Newman-Penrose sobre los armónicos −2 −2 esféricos. Proyectando Ψ4 sobre Ylm tenemos la contribución de Ylm que denotamos como Alm . � 2π � π −2 −2 Alm = �Ylm , Ψ4 � = Ψ4 Ȳlm sin θdθdφ. (3.29) 0. 0. Se pueden definir los armónicos esféricos en términos de las funciones de Wigner como: � 2l + 1 l s s Ylm (θ, φ) = (−1) d (θ)eimφ , 4π m(−s). (3.30). donde las funciones de Wigner toman la forma dlms θ. � �2l+m−s−2t � �2t+s−m C2 � (−1)t [(l + m)!(l − m)!(l + s)!(l − s)!]1/2 θ θ = cos sin . (l + m − t)!(l − s − t)!t!(t + s − m)! 2 2. (3.31). t=C1. Los lı́mites de suma C1 y C2 se definen como C1 = max(0, m − s) y C2 = min(l + m, l − s). Para l = 2 y s = −2 tenemos.

(23) 3.2 Sistema binario en 3+1 dimensiones. −2 Y2−2 −2 Y22. 23. �. 5 = (1 − cos θ)2 e−2iφ , 64π � 5 = (1 + cos θ)2 e2iφ , 64π. −2 Y2−1. =− �. −2 Y21 =−. �. �. 5 sin θ(1 − cos θ)e−iφ , 16π 5 sin θ(1 + cos θ)eiφ , 16π. (3.32) (3.33). 15 sin2 θ. (3.34) 32π Hecho esto podemos centrarnos en la energı́a que pierde el sistema. Para ello se debe integrar el escalar de Newman-Penrose en todas las direcciones t → ∞ desde hasta un tiempo t para obtener toda la radiación emitida. Además hay que hacer el lı́mite r → ∞ para obtener la emisión a distancias largas. � �2 � � �� t � � dE r2 � = lı́m Ψ4 dt̃�� dΩ (3.35) � r→∞ 16π dt −2 Y20. =. Ω. −∞. El interés de introducir los armónicos esféricos es que podemos desarrollar la expresión anterior como una suma de las contribuciones de cada armónico esférico. Esta es la expansión de Newman-Penrose.  � �2  � � 2 �� t � �  dE  r � = lı́m  Alm dt̃��  (3.36) � r→∞ 16π dt � −∞ l,m � Esto permite calcular cada modo por separado. El modo l = 2, m = ±2 es el modo el cual contribuye en mayor medida a la emisión de energı́a por radiación gravitatoria. Se puede escribir dicho modo utilizando propiedades de simetrı́a A22 como: −2 A22 = �Y22 , Ψ4 � =. �. 2π 0. �. π/2 0. −2 −2 (Ψ4 Ȳ22 + Ψ̄4 Ȳ2−2 ) sin θdθdφ. (3.37). A2−2 se puede obtener fácilmente cambiando m = 2 por m = −2 y viceversa, las propiedades de simetrı́a le afectan de forma similar.. 3.2.4.. Método numérico. En general el funcionamiento básico del código BAM se basa en diferencias finitas para la diferenciación espacial y Runge-Kutta 4 para la integración temporal, de la misma forma que en el caso de 1+1 dimensiones que vimos en la sección anterior. Para obtener mayor eficiencia en el proceso se utiliza una versión del refinamiento de malla adaptativo tipo Berger-Oliger [33]. Este método de refinamiento se basa en una malla cartesiana la cual tiene diferentes niveles de refinamiento, como se explica a continuación. Tenemos L niveles de refinamiento etiquetados por l = 0, ..., L − 1. Cada nivel de refinamiento consta de una o más mallas con espaciado entre puntos hl para el nivel l. Niveles sucesivos están relacionados por un factor de 1/2, de forma que hl = h0 /2l , y hmax = h0 y hmin = hL−1 . Estas mallas con diferentes niveles de refinamiento están anidadas como se muestra en la figura.. Figura 3.3: Ejemplo de una mallas con 3 niveles de refinamiento[22, pág. 213]..

(24) CAPÍTULO 3. ESTUDIO NUMÉRICO DE UN SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS 24 NEGROS Además cuando dos mallas quedan superpuestas se crea una malla rectangular lo más pequeña posible que las contenga a las dos. Debemos recordar que son mallas cúbicas con Nl3 puntos donde Nl es el número de puntos en una dirección, solo esto ya requiere un coste computacional elevado. Este sistema de refinamiento nos permite elegir una región de interés en la cual necesitamos más precisión. Las punciones de los agujeros negros son regiones en las cuales es necesario hacer un refinamiento de la malla para obtener mayor precisión. Es muy importante localizar la posición de la punción (xipunc ) para saber dónde hay que refinar la malla. Para ello se hace uso del método de Crank-Nicholson (ICN) utilizado por Campanelli en [12]. ∂t xipunc = −β i (xjpunc ) (3.38) Esta ecuación de advección con desplazamiento se obtiene de buscar dónde el factor conforme ψ diverge. La amplitud de la emisión de ondas gravitatorias producidas por el sistema binario cae con la distancia como 1/r lo que implica que se necesita un mayor refinamiento de la malla para obtener una medida precisa, pero hay que tener en cuenta que aumentar el nivel de refinamiento implica un coste computacional mayor, y las punciones ya consumen una gran cantidad de recursos. Para obtener con precisión la emisión gravitatoria se debe refinar la malla allı́ donde se hace la extracción de la emisión, sin embargo esto se ve limitado por el coste computacional.. 3.3.. Simulaciones con MareNostrum III. En este apartado vamos a tratar los temas necesarios para la realización de las simulaciones, y sobre todo en presentar los resultados obtenidos. Como bien hemos comentado anteriormente la simulación de un sistema binario de agujeros negros es un tarea computacionalmente muy costosa. Para salvar este obstáculo es necesario utilizar potentes ordenadores e invertir mucho tiempo de espera. Las simulaciones aquı́ presentadas han sido realizadas con MareNostrum III, el superordenador más potente de España y uno de los mas potentes de Europa. Está situado en el Barcelona Supercomputing Center (BSC).. 3.3.1.. Parámetros y datos iniciales.. Para empezar el proceso de simulación se deben especificar los parámetros de entrada con archivos de parámetros, los cuales serán el input del código BAM[14]. Éste producirá los datos que posteriormente serán analizados con Mathematica. Aquı́ presentaremos 4 simulaciones que denotaremos como S0.85, S0.5, S0.85 80 y S0.5 80. A continuación tenemos dos tablas, la primera con las condiciones iniciales de nuestro sistema para cada simulación y la segunda con algunos de los parámetros de cada simulación. Cuadro 3.1 Condición inicial S0.5 y S0.5 80 S0.85 y S0.85 80. m 0.5 0.5. �rinicial (x, y, z) (0,5.5,0) (0,5,0). p�inicial (px , py , pz ) (0.087,0,0) (0.091,0,0). �inicial (Sx , Sy , Sz ) S (0,0,0.125) (0,0,0.213). Cuadro 3.2 Parámetro ∆t/∆xi ∆ximax ∆ximin. S0.5 0.5 48 11.7 × 10−3. S0.85 0.5 48 11.7 × 10−3. S0.5 80 0.4 38.4 18.8 × 10−3. S0.85 80 0.4 44.2 10.8 × 10−3.

(25) 3.3 Simulaciones con MareNostrum III. 25. Una vez especificados los parámetros de entrada vamos a centrarnos en el análisis de los resultados. Antes de todo hay que comentar que las simulaciones S0.85 y S0.5 finalizaron antes de alcanzar la fusión. Este tipo de errores es poco frecuente, pero sucede en algunas ocasiones. Estas dos últimas simulaciones han sido añadidas porque han sido de utilidad para calibrar las demás. Otro error se produjo durante la simulación S0.85 80. Algunos datos del final de la simulación no fueron registrados.. 3.3.2.. Resultados de las simulaciones.. Vamos a centrarnos ahora en los resultados obtenidos representados en diversos gráficos, todos ellos en el sistema natural de unidades. A continuación tenemos la trayectoria de ambos agujeros negros para las dos simulaciones realizadas donde se puede apreciar como las órbitas de ambos agujeros negros decaen por la emisión gravitatoria de manera simétrica debido a que las masas son iguales. Se puede apreciar también observando la concentración de lı́neas que las emisiones de energı́a no son iguales. Simulación S0.85_80.. Simulación S0.5_80.. y. y BH1 BH2. 4. BH1 BH2. 4. 2. 2. 0. x. 0. x. �2. �2. �4. �4 �4. �2. 0. 2. �4. 4. �2. 0. 2. 4. Figura 3.4: Trayectorias de los agujeros negros. En los siguientes gráficos podemos ver la velocidad angular del sistema para las diferentes simulaciones en diferentes intervalos de tiempo. El primero presenta todo el proceso y el segundo se centra en la fase inicial. Se puede apreciar como ésta va aumentando a medida que transcurre el tiempo y los dos cuerpos están cada vez mas cerca. S0.5 S0.85 S0.5_80 S0.85_80. 0.08. 0.026 Velocidad angular. Velocidad angular. 0.10. 0.06 0.04 0.02 0.00. 0.024 0.022 0.020 0.018 S0.5 S0.85 S0.5_80 S0.85_80. 0.016 0.014. 0. 500. 1000 t�M�. 1500. 2000. 0. 10. 20. 30. 40 t�M�. 50. 60. 70. Figura 3.5: Representación de la velocidad angular del sistema para las cuatro simulaciones en diferentes intervalos de tiempo..

(26) CAPÍTULO 3. ESTUDIO NUMÉRICO DE UN SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS 26 NEGROS En estos dos gráficos podemos ver la velocidad de la punción de cada agujero negro, la cual está claramente relacionada con los gráficos anteriores, también se va incrementando con el transcurso del tiempo. Es interesante fijarse en que hay pequeñas oscilaciones durante todo el proceso. Esto se debe a la excentricidad y a oscilaciones en las coordenadas libres de la métrica. BH1. BH2 r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85. 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00. 0. 500. 1000 t �M�. 1500. 0.25 Velocidad punción. Velocidad punción. 0.25. 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00. 2000. r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85. 0. 500. 1000 t �M�. 1500. 2000. Figura 3.6: Representación de la velocidad de la punción en función del tiempo.. A continuación tenemos representado el radio medio y el radio máximo, en la primera y segunda fila respectivamente, para cada agujero negro. Podemos ver como al iniciarse la simulación el tamaño del horizonte crece repentinamente, a continuación oscila para luego estabilizarse y decrecer paulatinamente hasta llegar a la fusión. Este crecimiento espontáneo se debe a que inicialmente imponemos un vector desplazamiento nulo y al inicio de la simulación las coordenadas tienen que adaptarse. BH1. BH2. 0.8. 0.8. r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85. 0.6 avg�rAH�. avg�rAH�. 0.6 0.4 0.2 0.0. r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85. 0.4 0.2. 0. 500. 1000 t �M�. 1500. 0.0. 2000. 0. 500. BH1. 1500. 2000. BH2. 0.6 0.4 0.2. r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85 max: S0.5_80 max: S0.85_80 max: S0.5 max: S0.85. 0.8 Max�rAH�. r: S0.5_80 r: S0.85_80 r: S0.5 r: S0.85 max: S0.5_80 max: S0.85_80 max: S0.5 max: S0.85. 0.8 Max�rAH�. 1000 t �M�. 0.6 0.4 0.2. 0. 500. 1000 t �M�. 1500. 2000. 0. 500. 1000 t �M�. 1500. 2000. Figura 3.7: Representación del radio medio y máximo del horizonte aparente en función del tiempo..

(27) 3.3 Simulaciones con MareNostrum III. 27. Los siguientes gráficos, expresados en porcentaje, nos dan una idea mas intuitiva de la deformación de cada agujero negro y su evolución temporal. .. 15 10 5 0. BH2 �. r: S0.5_80. �. r: S0.5_80. �. r: S0.85_80. �. r: S0.85_80. � r: S0.5 �� r: S0.85 � � � � �� . 0. 1000 t �M�. 500. 1500. Max�rAH�rAH��1 �. Max�rAH�rAH��1 �. BH1 15 10 5 0. 2000. � r: S0.5 �� r: S0.85 � � � � �� . 0. 1000 t �M�. 500. 1500. 2000. Figura 3.8: Representación de la deformación del horizonte aparente en tanto por ciento. En estos gráficos podemos ver diferentes magnitudes de los agujeros negros, una de ellas es la masa, que permanece prácticamente constante durante todo el proceso. Esta última se puede comparar con el radio medio del horizonte y con su área, también representadas. Simulación S0.5. Simulación S0.85 Masa BH1 Radio BH1 Area en coord. BH1 Masa BH2 Radio BH2 Area en coord. BH2. 2.0 1.5. 0.8 0.6. 1.0. 0.4. 0.5. 0.2. 0.0. 0. 10. 20. 30. 40 t�M�. 50. 60. 10. 20. 30. 40 t�M�. 50. 60. 70. Masa BH1 Radio BH1 Area en coord. BH1 Masa BH2 Radio BH2 Area en coord. BH2. 1.0 0.8 0.6. 2. 0.4. 1 0. 0. 1.2. Masa BH1 Radio BH1 Area en coord. BH1 Masa BH2 Radio BH2 Area en coord. BH2. 3. 0.0. Simulación S0.85_80. Simulación S0.5_80 4. 70. Masa BH1 Radio BH1 Area en coord. BH1 Masa BH2 Radio BH2 Area en coord. BH2. 0.2 0. 500. 1000 t�M�. 1500. 2000. 0.0. 0. 200. 400. 600 800 1000 1200 t�M�. Figura 3.9: Representación de la masa, radio medio, y área del horizonte aparente para cada agujero negro..

(28) CAPÍTULO 3. ESTUDIO NUMÉRICO DE UN SISTEMA BINARIO DE AGUJEROS 28 NEGROS. Momento angular de rotación. A continuación tenemos la representación del momento angular de rotación para toda la evolución. Se puede apreciar que permanece prácticamente constante durante todo el proceso y finalmente crece debido a que el momento lineal se transforma en momento de rotación después de la fusión. Solo hay representada una de las simulaciones, dado que la segunda no está completa. En los otros dos gráficos podemos ver la misma representación para ambas simulaciones en intervalos de tiempo que permiten apreciar mejor las pequeñas oscilaciones durante el proceso. Estas oscilaciones son debidas como ya hemos mencionado a la difusividad de la simulación, un aspecto que no se ha tratado aquı́. Simulación S0.5_80 0.9. BH1 BH2. 0.8 0.7 0.6 0.5. 0. 500. 1000. 1500. 2000. t�M�. Simulación S0.85_80. 0.504. Momento angular de rotación. Momento angular de rotación. Simulación S0.5_80 BH1 BH2. 0.502 0.500 0.498 0. 500. 1000 t�M�. 1500. 0.8530 BH1. 0.8525. BH2. 0.8520 0.8515 0.8510 0.8505 0. 2000. 200. 400. 600 800 1000 1200 t�M�. Figura 3.10: Representación del momento angular de rotación en función del tiempo. La primera gráfica muestra toda la evolución mientras que las otras dos muestran el intervalo antes de la fusión. Este último gráfico es la representación de la emisión gravitatoria y es uno de los más importantes. Es clave saber como será dicha emisión para que los grandes detectores puedan detectar estas ondas. Si nos fijamos en el gráfico se detecta inmediatamente el instante de la fusión donde la mayor parte de la radiación gravitatoria es emitida. Se puede ver como el sistema binario emite ondas gravitacionales, las órbitas van disminuyendo y la radiación empieza a aumentar progresivamente en intensidad hasta alcanzar la fusión, posteriormente la emisión decae hasta cero. Emisión gravitatoria. Simulación S0.5_80. 0.10. r�4. 0.05. 0.00 �0.05 �0.10 �1500. �1000. �500. 0. t�M�. Figura 3.11: Representación de la emisión gravitatoria en función del tiempo..

(29) 3.3 Simulaciones con MareNostrum III. 29. Se ha realizado un desplazamiento temporal de la simulación porque tener la fusión en t = 0 facilita la comparación de las emisiones gravitatorias. Com bien hemos comentado, la simulación S0.85 80 no esta finalizada, por lo que no se puede presentar aquı́ la emisión gravitatoria. Los siguientes gráficos corresponden a otras simulaciones con los mismos parámetros fı́sicos que S0.5 80 y S0.85 80 cuyos resultados no fueron satisfactorios debido a un fallo en la simulación, pero de los cuales sı́ se ha podido obtener la emisión gravitatoria. Estos resultados son presentados a pesar de diferir ligeramente de los anteriores para poder hacer una comparación entre las dos emisiones gravitatorias para diferentes datos iniciales. Emisión gravitatoria. Simulación S0.5_80�. 0.10. r�4. 0.05. 0.00 �0.05 �0.10 �1500. �1000. �500. 0. t�M�. Emisión gravitatoria. Simulación S0.85_80�. 0.10. r�4. 0.05 0.00 �0.05 �0.10 �1500. �1000. �500. 0. t�M�. Figura 3.12: Representación de la emisión gravitatoria en función del tiempo.. A continuación tenemos una tabla con los datos finales de la simulación S0.5 80 y otros datos de interés. Simulación S0.5 80. xi,inicial 5.5. tfinal 2230.8. Mfinal 0.932. Mperdida 0.069. vmáx BH1 0.128. vmáx BH2 0.128. Sfinal 0.84. Aunque estos datos son útiles para manejar las variables más cómodamente, no nos dan una idea fı́sica de la magnitud de la fusión. Para ello vamos a obtener un par de datos en unidades más intuitivas. Estos datos corresponden a un sistema de masa M , por lo que debemos especificar una masa total. La masa del agujero negro para el sistema Cygnus X-1[18] era entre 7 y 15 M⊙ por lo que tomaremos un sistema de masa total 10 M⊙ . Teniendo en cuenta esto, un sistema de 10 M⊙ pierde por emisión gravitatoria aproximadamente 0.7 M⊙ . Lo más sorprendente es que el proceso completo tiene una duración de 0.2 s, lo cual denota la violencia del proceso..

(30) Conclusiones En este trabajo se pretendı́a entender dos de las predicciones más importantes de la relatividad general: los agujeros negros y las ondas gravitacionales. Estudiando un sistema que las engloba a las dos hemos podido acercarnos a conocer en mayor medida ambos fenómenos. Aunque el objetivo de este trabajo es de carácter académico, hemos podido estudiar uno de los grandes problemas de la fı́sica actual y aprender diferentes aspectos necesarios para el estudio de un problema de tales caracterı́sticas. Bien hay que decir que este problema puede ser desarrollado con mucha más profundidad y propone posibles investigaciones en un futuro utilizando casos más complejos. En los capı́tulos anteriores hemos tratado conceptos fı́sicos como el concepto de onda gravitacional, el de agujero negro, su formación y las fases que constituyen la fusión. Pero también hemos tratado nuestro sistema desde un punto de vista más matemático para presentar la formulación BSSN de las ecuaciones de evolución. Y no debemos olvidar la componente numérica que ha sido necesaria para la realización de las simulaciones, tanto la utilización de potentes ordenadores, entre ellos MareNostrum III, como en el análisis de datos realizado con Mathematica. Estos aspectos hacen que este trabajo acabe siendo un trabajo completo que permite aprender conceptos de diferentes campos. Respecto a los resultados de las simulaciones, ha habido dificultades en el proceso, entre ellas simulaciones inacabadas, pero aún ası́ los resultados presentados nos han permitido entender mejor cómo se comporta este sistema durante la fusión, cómo la trayectoria se ve afectada por la emisión, cómo varı́a en consecuencia la velocidad, cómo se deforma el agujero negro, la masa perdida por el sistema, y lo más importante cómo es la emisión gravitatoria, qué tipo de señal debe esperarse en los detectores de ondas gravitacionales. Un sistema binario de agujeros negros en proceso de fusión es sin duda un cataclismo. Una cantidad enorme de energı́a se emite en forma de ondas gravitatorias y cruza el universo a la espera de ser detectada a años luz de distancia, en los grandes detectores, aquı́, en la Tierra..

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