REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR. INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DE MAGISTERIO. EXTENCION ACADEMIA VELERA
Estructuras algebraicas.
Integrantes:
Quintero Stephany C.I: 26.451.691
Juan Carlos Santos C.I:20.430.375
Ever Briseño C.I: 24.565.589
Leonel Parra C.I: 24.565.669
Espacio vectoriales.
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Definición de espacio vectorial.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (Como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto v no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
SUMA +: V+V = V
(u,v) = w= u + v
Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir: u=v; u, v, ∀ w E V
2) tenga la propiedad asociativa, es decir: u+(v+w)= (u+v)+w , ∀ u,v,w E V
3) Tenga elemento neutro e, (ejemplo 0 en los reales) es decir:
∃e E V: u+e=u, ∀ u E V
4) Tenga elemento opuesto, es decir:
Estructura Algebraica
.Una estructura algebraica es un conjunto X dotado de una o varias
operaciones (funciones f: X × X → X) que satisfacen ciertas propiedades. En esta lección analizaremos ejemplos de monoides conmutativos, la cual es una de las estructuras algebraicas más básicas. Hay ciertos conjuntos de números con los cuales trabajamos desde siempre, comenzando por los números naturales N= {0, 1, 2, 3, 4,. . .} cuyo uso primordial es enumerar, contar objetos (costales, amigos, bolívares, horas...).
La adición (símbolo: +) en N es una operación que satisface (si no lo recuerdas, verifícalo):
Asociativa: (a+b)+c=a+ (b+c) Conmutativa: a+b=b+a
Elemento neutro: el 0 cumple que a+0=a
Con estas propiedades, la pareja (N, +) que consta del conjunto de los números naturales con la operación adición, es un ejemplo de monoide conmutativo.
Estructuras algebraicas
Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas
estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen.
SEMIGRUPO:
Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *), que verifica las propiedades:
1) Es una operación interna. 2) Es asociativa.
GRUPO:
Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades: 1) Es una operación interna.
2) Es asociativa.
3) Hay elemento neutro para
SUBGRUPO:
Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C (3) y todo elemento de C tiene su inverso en C (4).
La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:
(GRUPO ABELIANO Conmutativo):
Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:
1) Es una operación interna. 2) Es asociativa.
3) Hay elemento neutro para X .
4) Todo elemento de G tiene su inverso para X. 5) Es conmutativa.
ANILLO:
Es un conjunto A con dos operaciones *, º, (A, *, º), que verifica las propiedades:
1) Es una operación interna. 2) Es asociativa.
3) Hay elemento neutro para *.
4) Todo elemento de A tiene su inverso para *. 5) * es conmutativa. -- (A, *) es un grupo ANILLO CONMUTATIVO:
Es un conjunto A con dos operaciones *, º, (A, *, º), que verifica las propiedades:
1a) * es una operación interna. 2a) * es asociativa.
3a) Hay elemento neutro para *.
4a) Todo elemento de A tiene su inverso para *. 5a) * es conmutativa. -- (A, *) es un grupo CUERPO:
Es un conjunto C con dos operaciones *, º, (A, *, º), que verifica las propiedades:
1a) * es una operación interna. 2a) * es asociativa.
3a) Hay elemento neutro para *.
4a) Todo elemento de A tiene su inverso para *. 5a) * es conmutativa. -- (C, *) es un grupo
CUERPO CONMUTATIVO:
Es un conjunto C con dos operaciones *, º, (A, *, º), que verifica las propiedades:
1a) * es una operación interna. 2a) * es asociativa.
3a) Hay elemento neutro para *.
4a) Todo elemento de A tiene su inverso para *. 5a) * es conmutativa. -- (C, *) es un grupo 1b) º es una operación interna.
2b) º es asociativa.
3b) Hay elemento neutro para º.
4b) Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º. 5b) º es conmutativa. -- (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo
abeliano--Operaciones (leyes de composición interna).
Consideraremos un conjunto numérico E, a sus elementos los
representaremos por letras minúsculas: a, b, c,... Se define operación interna entre los elementos de un conjunto E como:
Es decir, se trata de una aplicación lineal de forma que al elemento (a, b) de E×E se le hace corresponder un elemento c del conjunto E, lo cual se expresa: *(a,b) = c, o más comúnmente
a * b = c.
Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto Z de los números enteros, Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3,...}, y la suma:
a + b = c
Si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna. Sin embargo no sucede esto con la operación división en Z, la división de los enteros 3 y 5: 3: 5 = 0,6
