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CI 2526 Elementos de Teoría Axiomática de Conjuntos de Yriarte pdf

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Academic year: 2020

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(1)fa b cg. . fabg.   .  . Q Q Q.   Q   Q  Q  Q Q Q. Q. Q. facg. Q Q fag. Q. Q Q Q. Q  Q  Q   Q  Q  Q. fbg. . . Q. fbcg. fcg.  . .  . Elementos de Teora Axiomtica de Conjuntos ! !. Funciones aa. . . . . . Conjuntos. . T T. Relaciones. . de Orden. J. J J JJ. T. T T.  . . . @ @. de Equivalencia. T. T. Nmeros Naturales. Vicente Yriarte. Universidad Simn Bolvar. Enteros. Operaciones. lgebra. Cardinalidad Estricto Parcial Total. ; ;. lgebra de Boole Reticulados Buen orden. Clases residuales Racionales. Reales.

(2)

(3) Elementos de Teora Axiomtica de Conjuntos Vicente Yriarte. Universidad Simn Bolvar Caracas, Octubre de 2001.

(4) Por qu tan duro?dijo un da el carbn del fogn al diamante no somos parientes cercanos? Por qu tan blandos? Oh hermanos mos!, yo os lo pregunto: no sois mis hermanos? Por qu tan blandos, tan condescendientes? Por qu hay tanta abnegacin en vuestro corazn? Por qu hay tan poco destino en vuestra mirada? y si no queris ser destinos inexorables, cmo podrais vencer algn da conmigo? Y si vuestra dureza no quiere levantar chispas, cortar y tajar, cmo podrais algn da crear conmigo? Pues los creadores son duros. Y debe ser para vosotros una dicha imprimir la huella de vuestra mano en los siglos como en la cera blanda, una dicha escribir sobre la voluntad de los milenarios como en bronce ms duro que el bronce, ms noble que el bronce. El ms duro es el ms noble. Oh hermanos mos!, yo suspendo sobre vuestras cabezas esta nueva tabla:  SED DUROS! As habl Zaratustra. Federico Nietzsche.. Dedico este libro a mi esposa Silvia..

(5) ii.

(6) Prefacio Este libro pretende servir de texto en un curso que se dicta en la Universidad Simn Bolvar a los estudiantes de Ingeniera de la Computacin y cuyo objetivo es proporcionar parte del piso matemtico que requieren dichos estudiantes para cursar otros cursos posteriores en su carrera como, por ejemplo, probabilidades, estadsticas, base de datos, lenguajes e interpretadores, diseo lgico, investigacin de operaciones, optimizacin, clculo numrico, anlisis de algoritmos, teora de la computacin, etc. Los requerimientos previos para entender el material que aqu se presenta son fundamentalmente los que adquiere un estudiante en su primer ao de clculo, sin embargo, es recomendable aunque no indispensable algo de conocimiento bsico de lgica. Se presentan los elementos de una teora axiomtica de conjuntos, esto signica que slo se investigan algunos de los tpicos usuales en teora de conjuntos y adems que de dichos tpicos se presentan slo parte de ellos. Sin embargo, el material presentado le permite al lector tener una idea general de la teora de conjuntos y mejorar sus habilidades en el difcil arte de demostrar teoremas. El texto empieza dando las reglas que permiten decidir que colecciones admitiremos como conjuntos para no tener contradicciones, lo cual signi ca dar los axiomas bsicos de la teora y su discusin. Se discuten algunas de las paradojas clsicas de la teora de conjuntos. En el segundo captulo se estudian los conceptos bsicos de las relaciones binarias. En los siguientes captulos se estudian varios tipos de relaciones: relaciones de orden, relaciones de equivalencia y funciones. En el captulo cuatro se construye el conjunto de los n meros naturales y se estudian sus propiedades. Se hace especial nfasis en el principio de induccin matemtica de los n meros naturales. En el captulo cinco se estudia la composicin de relaciones y las clausuras de relaciones. En el captulos de relaciones de equivalencias, se construye el conjunto de los n mero enteros racionales a partir del conjunto de los n meros naturales y del concepto de relacin de equivalencia. Tambin se estudian las propiedades de este conjunto. Finalmente en el captulo ocho se estudia el concepto de cardinalidad de un conjunto. Se hace iii.

(7) iv especial nfasis en las de niciones y teoremas relacionados con conjuntos nitos, contables y no contables. Muchos de los matemticos con los que he estudiado, o cuyos libros he ledo han contribuido de una u otra forma a la escritura de este libro. De los matemticos de quienes he tenido la fortuna de aprender puedo mencionar a los profesores Ana Viola, Jorge Viola, Claudio Madgaglio, Jos Luis Palacios y muchos otros que no nombro por no hacer la lista interminable. Quiero expresar mi especial agradecimiento al profesor Oscar Nava. Finalmente, agradezco in nitamente a Patric Suppes Paul R. Halmos autores de los libros de donde aprend por primera vez muchos de los conceptos aqu expuestos..

(8) Resumen de la Notacin A continuacin se muestra una lista de la notacin que se usa en este libro junto con su descripcin y la pgina donde aparece por primera vez o donde se de ne. La misma se clasi c en base al tema al cual se re ere.. Smbolos Lgicos Notacin p_q p^q :p p)q p,q P Q 8x 9x 9!x. Descripcin disyuncin, p o q conjuncin, p y q la negacin de p implicacin lgica, p implica q p si y slo si q P es lgicamente equivalente que Q cuanti cador universal, para todo x cuanti cador existencial, existe x existe nico x. Pgina 139 139 139 139 139 139 139 139 139. Notacin Bsica de Conjuntos Notacin. Descripcin Pgina conjunto vaco 2 fag singletn (conjunto cuyo nico elemento es a) 5 fa bg par no ordenado (conjunto cuyo nicos elemento son a y b) 5 fa1 : : :  ak g conjunto cuyos elementos son a1  : : : ak 6 fx 2 A P x g elementos de A que satisfacen la propiedad P 4 x2A x pertenece al conjunto A 2 x 62 A x no pertenece al conjunto A 2 A B A es subconjunto de B 7 A B A es subconjunto propio de B 7 AB A es superconjunto de B 7 AB A es superconjunto propio de B 7 A=B igualdad de conjuntos, el conjunto A es igual a B 3 AB A unin B 8 A\B A interseccin B 8 :. (. ). v.

(9) vi. A;B A menos B A unin de A \A interseccin de A <x  y> par ordenado <a1 : : : ak > k;tupla AB producto cartesiano de A por B P (A) = 2A partes de A, conjunto de los subconjuntos de A A complemento de A suc (A) sucesor del conjunto A \ni=1Xi elementos que pertenecen a todos los Xi ni=1Xi elementos que pertenecen a alguno los Xi \1 X elementos que pertenecen a todos los Xi i i=1 1 X elementos que pertenecen a alguno los Xi i i=1 An conjunto de las n;tuplas de elementos de A ! A conjunto de tuplas in nitas de elementos de A Qn A conjunto de las n;tupla < a1  : : :  an > con ai 2 Ai i i=1 jAj cardinalidad de A, i.e, no. de elementos de A. 8 12,6 13 23 32 24 14 11 57 89 89 89 89 117 118 32 122. Relaciones Binarias Notacin xRy <x  y> 2 R DR RR FR R(B ) R;1(B ) RjB Rjizq (B ) Rjder (B ) ajb IdA RS Rn RS t(R) = R+ r(R) s(R) tr(R) = R Rx] R R x] A=R. Descripcin x esta relacionado con y mediante R el par <x  y> pertenece a R dominio de la relacin R recorrido de la relacin R campo de la relacin R imagen de B mediante R preimagen de B mediante R restriccin de R a B restriccin del dominio R a B restriccin del dominio R a B a divide a b relacin identidad de A producto de relaciones potencia de relaciones composicin de relaciones clausura transitiva de R clausura reexiva de R clausura simtrica de R clausura reexotransitiva de R clase de equivalencia de x mediante R relacin de equivalencia asociada a la particin  particin asociada a la relacin de equivalencia R abrevia a Rx] cuando R queda clara conjunto cociente. Pgina 26 26 26 26 27 28 28 29 29 29 42 30 29 76 75 77 79 79 80 88 89 89 95 89.

(10) vii (A) Rb D = hV Ai 1  2 E (A). conjunto de las particiones del conjunto A conversa de R digrafo con vrtices V y aristas A 1 es ms o igual na que 2 conjunto de las relaciones de equivalencias de A. 88 28 27 90 87. Funciones Notacin f (x) f g f :A!B f : A,!B f : A! !B f : A,! !B BA f ;1 f (B ) f ;1(B ). Descripcin imagen de x mediante f f compuesta con g funcin total de A en B funcin total inyectiva de A en B funcin total sobreyectiva de A en B funcin total biyectiva de A en B conjunto de las funciones totales de A en B inversa de la funcin f imagen del conjunto B mediante f preimagen del conjunto B mediante f. Pgina 106 107 106 108 108 108 106 112 106 108.

(11) viii. Nmeros. Notacin IN IN  Z Z+ Z; Z Q IR C Zn n] (a b) a b] Z x]. Descripcin Pgina conjunto de los n meros naturales 58 naturales mayores que cero (IN ; f0g) 59 conjunto de los n meros enteros 92 enteros positivos 92 enteros negativos 92 enteros no nulos (sin el cero) 92 n meros racionales 97 n meros reales 43 n meros complejos 57 conjunto de las clases residuales mdulo n 96 f1 2 3 : : :  ng naturales positivos menores e iguales que n 117 intervalo abierto de n meros reales 130 intervalo cerrado de n meros reales 130 polinomios con coe cientes en Z 138. Notacin hA Ri min (A) max (A) Mins (A) Maxs (A) cotinf (A) cotsup(A) inf (A) sup (A) O(A) L(A) s(a) x y H (R) xy x<y xy x>y. Descripcin conjunto parcialmente ordenado mnimo del conjunto A mximo del conjunto A minimales del conjunto A maximales del conjunto A cotas inferiores o minorantes del conjunto A cotas superiores o mayorantes del conjunto A n mo del conjunto A supremo del conjunto A conjunto de los ordenes parciales de A conjunto de los ordenes lineales de A segmento de a x es predecesor inmediato de y diagrama de Hasse de la relacin R <x  y> pertenece a la relacin  x es menor que y o <x  y> pertenece a la relacin < pertenece a la relacin  x es mayor que y o <x  y> pertenece a la relacin >. Ordenes Parciales. l. Pgina 42 44 44 44 44 44 45 45 45 43 43 44 43 43 62 62 62 62.

(12) ndice General 1 Teora de Conjuntos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10. Introduccin . . . . . . . . . . Principios y Axiomas Bsicos Relaciones entre Conjuntos . Operaciones sobre Conjuntos Familias de Conjuntos . . . . Conjunto Potencia . . . . . . Axioma de Fundamentacin . Grafos . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. Generalidades . . . . . . . . . . . . . Conjuntos Parcialmente Ordenados . Reticulados . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 2 Relaciones Binarias 2.1 2.2 2.3 2.4. 2.5 2.6 2.7 2.8. Par Ordenado . . . . . . Producto Cartesiano . . Relaciones Binarias . . . Producto de Relaciones 2.4.1 Generalizacin . Grafos y Digrafos . . . . Ejemplos de Relaciones Ejercicios Resueltos . . . Ejercicios . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 3 Relaciones de Orden 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5. 4 Nmeros Naturales. 1. 1 2 6 8 11 14 15 16 17 19. 23. 23 24 26 29 32 33 34 36 38. 41 41 43 46 50 53. 57. 4.1 La De nicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Orden en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ix.

(13) x. NDICE GENERAL 4.4 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 5 Clausuras de Relaciones 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5. Composicin y Potencia de Relaciones Clausuras . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz Asociada . . . . . . . . . . . . Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 8.1 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Conjuntos Contables . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Axioma de Eleccin . . . . . . . . . . . 8.2.2 Caracterizacin de Conjuntos Contables 8.3 Conjuntos no Contables . . . . . . . . . . . . . 8.4 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 6 Relaciones de Equivalencia. 6.1 Relaciones de Equivalencia . . . . . . . 6.2 N meros Enteros . . . . . . . . . . . . 6.2.1 La Construccin . . . . . . . . 6.2.2 Aritmtica del N mero Entero 6.2.3 Orden en los Enteros . . . . . . 6.2.4 Comentarios sobre el Orden . . 6.3 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Aritmtica de Zn . . . . . . . . 6.4 Construccin de los Racionales . . . . 6.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . 6.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Funciones 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5. La De nicin . . . . Tipos de Funciones . Funciones Inversas . Ejercicios Resueltos . ejercicios . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. 8 Cardinalidad. A Comentarios de Lgica B Respuestas o Sugerencias. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 75. 75 77 81 83 84. 87. 87 90 91 92 94 95 95 96 97 99 101. 105. 105 107 111 115 117. 121. 121 126 128 128 130 134 136. 139 143.

(14) Si consideramos el espejo en s no hallamos ms que los objetos que reeja. Si queremos apoderarnos de esos objetos tornamos a ver el espejo y no ms. Esta es la historia general del conocimiento. Aurora, Federico Nietzsche. Las dos corrientes.. Captulo 1. Teora de Conjuntos 1.1 Introduccin La teora de conjuntos fue estudiada formalmente por primera vez por el matemtico alemn Georg Cantor (1845-1918). La teora de conjuntos tal como Cantor la formul por primera vez genera contradicciones. Por esta razn se hicieron otras teoras de conjuntos ms so sticadas con el n de eliminar dichas contradicciones. Sin embargo, por su sencillez la mayora de los matemticos pre eren un enfoque casi igual al de Cantor conocido como Teora Ingenua1 de Conjuntos. La razn por la cual en la teora ingenua (o intuitiva) de conjuntos se generan contradicciones es que en ella cualquier coleccin de objeto se puede considerar como un conjunto. Esto trae como consecuencia que uno se pase de ingenuo y admita como conjuntos colecciones no intuitivas como el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a si mismos y el conjunto de todos los conjuntos o conjunto universal. El tratamiento ingenuo de la teora de conjuntos (Naive Set Theory) asume que la de nicin de conjunto como una coleccin de objetos es su cientemente claro. Mientras que en un tratamiento axiomtico se establecen reglas que limitan la nocin intuitiva de conjuntos. Adoptaremos un esquema axiomtico parecido al usado por Ernst Zermelo en 1908. Pero debido a que en nuestro esquema axiomtico usaremos un axioma de nido por primera vez por Fraenkel diremos que el esquema que usamos es el esquema de Zermelo-Fraenkel. Nota: Cantor no enunci ning n axioma, sin embargo, el anlisis de sus demostraciones sugiere que casi todos los teorema que l demostr pueden derivarse de tres axiomas, a saber: el axioma de extensin, el axioma de abstraccin y el axioma de eleccin. 1. Nave Set Theory. 1.

(15) 2. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. 1.2 Principios y Axiomas Bsicos Contrario a lo que hace la teora de conjuntos ingenua, que asume que cualquier coleccin de objetos es un conjunto, en una teora axiomtica de conjuntos se dan las reglas de formacin de las colecciones que se van a admitir o que se van a considerar como conjuntos. Una de nicin usual de conjunto es la siguiente: Un conjunto es cualquier coleccin de objetos que se puede tratar como una entidad. Aceptaremos que un conjunto es una coleccin de objetos pero no toda coleccin de objetos la aceptaremos como conjunto. Si un objeto x est en un conjunto A se dice que x es un elemento del conjunto A o que pertenece al conjunto y se denota por x 2 A. De lo contrario se denota por x 62 A. Ntese: que no hemos dado una especi cacin formal de lo que es un conjunto ni hemos dado reglas para decidir si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. Como consecuencia de no tener de niciones de estos conceptos, no tenemos un procedimiento para probar formalmente si algo es un conjunto o si un objeto es un elemento de un conjunto dado. Por lo tanto, debemos con ar en el entendimiento com n del signi cado de los trminos. Los principios bsicos de la teora de conjuntos son la nocin de conjuntos y la nocin de pertenencia. A estos se agrega el conjunto de axiomas que estableceremos a continuacin. Lo primero que aceptaremos sin demostracin es que la coleccin de objetos que no tiene ning n objeto es un conjunto.. Axioma 1.1 (Axioma de Conjunto Vaco) Existe un conjunto que no tie-. ne elementos, esto es, (9A)(8x)(x 62 A) a dicho conjunto lo llamaremos conjunto vaco y lo denotaremos por .. El conjunto Vaco Denicin 1.1 (Conjunto Vaco) Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vaco. Se representar por el smbolo. Podramos preguntarnos  qu sentido tiene tener un conjunto que no tiene elementos? El conjunto vaco es slo una convencin y las matemticas podran vivir sin l. Pero, es una convencin conveniente porque ahorra mucho tiempo al establecer y probar teoremas. Sin esta convencin, por ejemplo, tendramos que probar que dos conjuntos A y B tienen elementos en com n antes de usar la notacin A \ B . Adems, nos garantiza que cuando hablemos de conjuntos no estemos hablando de entes no existentes, por lo menos tenemos uno: el conjunto vaco, aunque no tenga elementos..

(16) 1.2. PRINCIPIOS Y AXIOMAS BSICOS. 3. Axioma de Extensin. El segundo paso ser proporcionarnos una regla que nos permita decidir si dos conjuntos son iguales.. Axioma 1.2 (Axioma de Extensin) Si dos conjuntos A y B tienen los mismos elementos, entonces son iguales. En otras palabras: Si todo elemento de A es un elemento de B y todo elemento de B es un elemento de A, entonces A y B son iguales.. Dicho axioma se puede expresar en notacin lgica de cualquiera de las siguientes dos maneras. a) 8x(x 2 A , x 2 B ) =) A = B b) (8x(x 2 A ) x 2 B )) ^ (8x(x 2 B ) x 2 A)) =) A = B Observe que el axioma de Extensin no establece que: si A y B son iguales, entonces todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A. Esto es, sin embargo, una consecuencia inmediata de la de nicin de igualdadsi dos objetos son iguales, todo lo que puedo a rmar de uno de ellos lo puedo a rmar del otro. Por consiguiente se tiene que el siguiente teorema es cierto. En ocasiones uno se ve tentado a a rmar que lo que establece el teorema, es el enunciado del axioma de extensin.. Teorema 1.3 Dos conjuntos son iguales si y slo si tienen los mismos elementos, esto es, si y slo si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.. a) A = B , 8x(x 2 A , x 2 B ) b) A = B , (8x(x 2 A ) x 2 B )) ^ (8x(x 2 B ) x 2 A)) Una consecuencia inmediata del axioma de extensin es la unicidad del conjunto vaco que se da en el siguiente teorema. Alerta: El axioma de extensin garantizar la unicidad de muchos de los conjuntos que de niremos.. Teorema 1.4 El conjunto vaco es nico. Prueba: Sabemos que el conjunto vaco es un conjunto tal que (8x)(x 62 ). Supongamos que existe otro conjunto vaco 0, esto es, 0 es tal que (8x)(x 62 0). Como para todo x las proposiciones x 2 y x 2 0 son falsas, se tiene que (8x)(x 2 ) x 2 0) ^ (8x)(x 2 0 ) x 2 ) y por lo tanto con base en el axioma de extensin concluimos que = 0 2 Los siguientes dos axiomas permiten crear nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes.

(17) 4. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Axioma de Separacin. Axioma 1.5 (Axioma de Separacin) Si A es un conjunto y P es una pro-. piedad que pueden o no satisfacer los elementos del conjunto A, entonces existe un conjunto cuyos elementos son justamente los elementos de A que satisfacen la propiedad P , esto es existe B tal que B = fx 2 A : P (x)g.. (9B )(8x)(x 2 B , x 2 A ^ P (x)) Este axioma permite construir nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes separando los elementos que satisfacen una cierta propiedad.. Paradojas Un axioma relacionado con el Axioma de Separacin es el Axioma de Abstraccin el cual permite de nir conjuntos en base a una propiedad. Este axioma no forma parte de nuestra axiomtica porque el mismo lleva a una contradiccin. El axioma de abstraccin se enuncia como sigue: 9y8x(x 2 y , P (x)). Si dicha proposicin se aceptara como axioma se tendra sustituyendo P (x) por x 62 x que 9y8x(x 2 y , x 62 x), e instanciando en c la variable y y luego la x se tendra la frmula contradictoria c 2 c , c 62 c. Esta antinomia fue descubierta simultneamente por Zermelo y por Russell pero publicada primero por Russell en 1901. Generalmente relacionamos la paradoja del conjunto de los conjuntos que no se contienen a ellos mismos con el enunciado que a rma la existencia de un barbero que afeita a todos y solamente a aquellos que no se afeitan ellos mismos. Sea b ese barbero el enunciado que le atribuye la propiedad previamente citada se escribe como sigue: 8x(bRx , :xRx). La contradiccin se obtiene instanciando x en b. Como la hiptesis de la existencia de tal barbero conduce a una contradiccin, uno concluye simplemente que tal barbero no existe. Esta es simplemente una prueba por absurdo. En el caso de la paradoja de Russell, la situacin es diferente. No podemos prescindir del axioma de abstraccin totalmente. Lo que hizo Zermelo fue restringirlo y formar el axioma de Separacin.. Nada Contiene Todo Una consecuencia inmediata, pero no trivial, del axioma de separacin es que no existe un conjunto universal, esto es, un conjunto que contiene todo, incluso a l mismo. El axioma de Separacin establece que si P es una proposicin se tiene que (8a)(9y)(8x)(x 2 y , x 2 a ^ P (x)) Dado un conjunto arbitrario A, veamos que hay algoun conjuntoque no pertenece a A. Si en esta frmula sustituimos P (x) por la proposicin x 62 x e.

(18) 1.2. PRINCIPIOS Y AXIOMAS BSICOS. 5. instanciamos a por A se tiene que (9y)(8x)(x 2 y , x 2 A ^ x 62 x). Luego si B es uno de los que satisfacen la proposicin, entonces se tiene que (8x)(x 2 B , x 2 A ^ x 62 x) : (1.1) Supongamos que B 2 A, por tercero excluido tenemos que B 2 B _ B 62 B . Por casos: si B 62 B como B 2 A tenemos que B 2 A ^ B 62 B lo cual implica, en virtud de (1.1), que B 2 B , que es una contradiccin si B 2 B , tendramos por (1.1) que B 2 A ^ B 62 B lo cual es una contradiccin porque B 2 B . Luego, B 62 A, y concluimos que no importa quien sea A existe un conjunto que no pertenece a A, esto es, que no existe un conjunto universal.. Axioma de Apareamiento. El siguiente axioma nos permite construir los primeros conjuntos no vacos. Axioma 1.6 (Axioma de Apareamiento) Dados dos conjuntos cualesquiera existe un conjunto cuyos elementos son precisamente esos dos conjuntos. Simblicamente, (8x)(8y)(9A)(z 2 A , z = x _ z = y) Si A B son conjuntos, el axioma de apareamiento asegura que existe un conjunto C tal que X 2 C () x = A _ x = B y el axioma de extensin garantiza su unicidad. A dicho conjunto lo llamaremos pareja no ordenada A B y lo representaremos por fA B g.. Parejas no Ordenadas Denicin 1.2 (Pareja no Ordenada) Dados dos conjuntos A y B , se de ne la pareja no ordenada fA B g como el conjunto cuyos elementos son justamente A y B .. Si A es un conjunto la pareja ordenada fA Ag se denomina singletn o conjunto singular porque debido al axioma de extensin se tiene que fA Ag = fAg.. Ejemplo 1.1 La primera pareja no ordenada que se puede construir es el sin-. gletn f g y la segunda es f  f g g. Note que estos son nuestros primeros ejemplos de conjuntos no vacos. Tambi n pueden construirse: ff gg, f  f  f gg g, etc, etc. Todos estos conjuntos construidos en base al axioma de apareamiento tienen a lo sumo dos elementos.. Variantes del Axioma. Una versin ms general del axioma de apareamiento se enuncia as: Dados dos conjuntos A y B , existe un conjunto que los contiene a ambos. Note que dicho conjunto puede contener otros elementos distintos de A y de B . Sin embargo, las parejas no ordenadas se pueden obtener usando el axioma de separacin por ejemplo si C es un conjunto que contiene a A y a B , entonces fA B g = fx : x 2 C ^ (x = A _ x = B )g.

(19) 6. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Observe que en lugar del axioma de Apareamiento se pudo haber de nido un axioma de singletn diciendo dado un conjunto cualquiera existe un conjunto cuyo nico elemento es dicho conjunto. En dicho caso las parejas se construiran en base al siguiente axioma.. Axioma de Unin. El axioma de apareamiento nos permite construir conjuntos con a lo sumo dos elementos: parejas o singletones. El siguiente axioma nos permite construir conjuntos con tantos elementos como queramos. Axioma 1.7 (Axioma de Unin) Si x es un conjunto, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de x. Se denota por x Ntese que si ninguno de los elementos de x es un conjunto x es el conjunto vaco. Adems, como el conjunto vaco no tiene elementos, se tiene que  = . Si deseamos formar un conjunto con los tres elementos a b c podemos usar el axioma de unin con el par ffag fb cgg, esto es, ffag fb cgg = fa b cg donde la notacin fa b cg signi ca el conjunto cuyos elementos son a b c. Mientras que si queremos formar el conjunto cuyos elementos son los conjuntos a b c d, usamos el axioma de unin con, por ejemplo, el par no ordenado ffa bg fc dgg. Ejercicio 1.1 Explique, cmo puede formar conjuntos con cinco o ms elementos. Ejemplo 1.2 Ntese que el conjunto f  f g f  f gg g es el resultado de f f g ff g f  f ggg g. Notacin:. Cuando queramos hacer referencia a un conjunto listando sus elementos escribiremos los elementos del conjunto entre llaves como, por ejemplo: fa b cg o fa b c     gg. Cuando se denota un conjunto de esta forma se dice que el conjunto est denido por extensin. Cuando se de ne usando el axioma de separacin se representa por fx : x 2 A ^ P (x)g y se dice que el conjunto est denido por separacin. Nota: A tiene que ser un conjunto.. 1.3 Relaciones entre Conjuntos Las dos relaciones2 ms importantes sobre conjuntos son la relacin de igualdad de conjuntos y la relacin de contencin de conjuntos. La primera se de ni por el Axioma de Extensin que a rma que dados dos conjuntos basta conque tengan los mismos elementos para que sean iguales. De la segunda damos la de nicin a continuacin. 2 El uso de la palabra relaciones en este momento es tiene el sentido usual de comparacin de dos objetos, ms adelante se denir formalmente el trmino relacin.

(20) 1.3. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. 7. Denicin 1.3 (Subconjuntos) Dados dos conjuntos A y B , decimos que A es subconjunto de B y lo denotamos por A B si y slo si todo elemento de A es elemento de B . (i.e, A B , 8 x (x 2 A ) x 2 B )). Si A B tambin decimos que A est contenido en B o que B contiene a A o que B es superconjunto de A. Es equivalente escribir B  A.. Ejemplo 1.3 Si A = fa bg sus subconjuntos son: , fag, fbg y fa bg. El conjunto fa cg no es subconjunto de A porque c 2 fa cg ^ c 62 A.. Ejercicio 1.2 Muestre todos los subconjuntos del conjunto f1 2 3g. Denicin 1.4 (Subconjuntos Propios) Dados dos conjuntos A y B , decimos que A es subconjunto propio de B y lo denotamos por A elemento de A es elemento de B , pero A es distinto de B .. B si todo. A B , (A B ^ A 6= B ) Tambin suele usarse la expresin B es superconjunto propio de A y el smbolo B  A para denotar que A B . Una manera fcil de probar que A es subconjunto propio de B es mostrar que A es subconjunto de B pero existe un elemento de B que no pertenece a A. Esto se formaliza en el prximo teorema.. Teorema 1.8 A B , (A B ^ (9x)(x 2 B ^ x 62 A)) Teorema 1.9 El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto, esto es, Para todo conjunto A se tiene que. A.. Prueba: Supongamos que es falso, esto es, que existe A tal que 6 A. Esto signi ca que (9x)(x 2 ^ x 62 A) pero esta ltima proposicin no puede ser verdadera porque (6 9x)(x 2 ) 2 Ms a n, el conjunto vaco es subconjunto propio de cualquier conjunto no vaco. Adems, el nico subconjunto del conjunto vaco es el mismo, por lo tanto el conjunto vaco no tiene subconjuntos propios. Prubelo.. Teorema 1.10 Para cualquier conjunto A, se tiene que A A. La igualdad de conjuntos y la contencin de conjuntos estn relacionadas por el siguiente teorema. Este teorema es, por decirlo as, la implementacin del Axioma de Extensin porque en la mayora de los casos cuando se requiere probar que A es igual que B se le usa en lugar de usar el Axioma de Extensin.. Teorema 1.11 (Doble Contencin) Si A B ^ B A, entonces A = B.

(21) 8. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Prueba: Por de nicin de subconjunto, como A B se tiene que (8x)(x 2 A ) x 2 B ) y como B A se tiene que (8x)(x 2 B ) x 2 A). Luego, A B ^ B A =) 8x(x 2 A ) x 2 B ) ^ 8x(x 2 B ) x 2 A) =) A = B Axioma de Extensin. 2 El recproco del teorema tambin es cierto. Prubelo. Puede ser til ms adelante. Teorema 1.12 Si A = B , entonces A B ^ B A.. 1.4 Operaciones sobre Conjuntos Con el n de obtener otras formas de especi car conjuntos de nimos a continuacin lo que llamaremos operaciones sobre conjuntos. Una operacin sobre conjuntos usa algunos conjuntos dados (llamados operandos) para especi car otros conjuntos llamados resultantes. Empezaremos con las operaciones binarias. Una operacin binaria es una regla que le asocia a cada par de conjuntos un nico nuevo conjunto. Las operaciones que usualmente se de nen sobre conjuntos son:. Denicin 1.5 (Interseccin de Conjuntos) Dados dos conjuntos A y B la interseccin de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos comunes de A y B . Se denota por A \ B . Simblicamente,. A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 B g Nota: Seg n la de nicin A \ B debe ser un conjunto ello es cierto porque como A es un conjunto, en base al axioma de separacin, se tiene que (9C )(8x)(x 2 C , x 2 A ^ x 2 B ). Donde P (x) es x 2 B . Dicho conjunto C , que debe existir gracias al axioma de separacin es justo A \ B .. Denicin 1.6 (Diferencia de Conjuntos) Dados dos conjuntos A y B la diferencia de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A que no estn en B . Se denota por A ; B . Simblicamente,. A ; B = fx : x 2 A ^ x 62 B g. Ejercicio 1.3 Justi que la existencia de A ; B Denicin 1.7 (Unin de Conjuntos) Dados dos conjuntos A B la unin de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A y los elementos de B . Se denota por A  B . Simblicamente,. A  B = fx : x 2 A _ x 2 B g.

(22) 1.4. OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS. 9. Justi cacin: Como A y B son conjuntos, el axioma de apareamiento garantiza la existencia del conjunto fA B g y el axioma de unin la del conjunto fA B g y se probar ms adelante que A  B = fA B g.. Ejemplo 1.4 Dados A = f1 2 4 6g B = f1 3 5 7 9g y C = f0 1g halle a) A  B b) A \ B c) A ; C d) (A ; B ) \ C. En la Figura 1.1 se muestran unos diagramas de Venn que ilustran estas tres operaciones. B. A. AB. B. A. A\B. B. A. A;B. Figura 1.1: Representacin de las Operaciones. Denicin 1.8 (Conjuntos Disjuntos) Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si no tienen ning n elemento en com n, esto es, si A\B =. Teorema 1.13 Las operaciones de unin e interseccin de conjuntos son conmutativas y asociativas, i.e, dados los conjuntos arbitrarios A, B y C , a) A  B = B  A b) A \ B = B \ A c) (A  B )  C = A  (B  C ) d) (A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) Teorema 1.14 Las operaciones de unin e interseccin de conjuntos son distributivas cada una con respecto a la otra, esto es, dados A, B , C arbitrarios, a) A  (B \ C ) = (A  B ) \ (A  C ) b) A \ (B  C ) = (A \ B )  (A \ C ) Prueba: (a) Por doble contencin. ( ) Sea x 2 A  (B \ C ) por de nicin de. unin x pertenece a A o x pertenece a B \ C . Si x 2 A, se tiene que x 2 A  B y adems que x 2 A  C A unido con cualquier conjuntoy por consiguiente, en base a la de nicin de interseccin x 2 (A  B ) \ (A  C ) si x 2 B \ C , entonces se tiene que x 2 B y x 2 C y por consiguiente x 2 A  B y x 2 A  C y por lo tanto x 2 (A  B ) \ (A  C ). Luego, como en ambos casos obtuvimos que x 2 (A  B ) \ (A  C ), concluimos que A  (B \ C ) (A  B ) \ (A  C )..

(23) 10. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. () Sea x 2 (A  B ) \ (A  C ) por de nicin de interseccin x 2 A  B y x 2 A  C . Por casos: si x 2 A, tenemos que x 2 A  (B \ C ) si x 62 A3, como x 2 A  B , tenemos que x 2 B y adems como x 2 A  C tenemos que x 2 C . Luego, x 2 B \ C y por lo tanto x 2 A  (B \ C ). La parte (b) se deja como ejercicio. 2. Teorema 1.15 A ; (A \ B ) = A ; B Prueba: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 A ; (A \ B ), por de nicin de. diferencia x 2 A y x 62 A \ B  como x 2 A si x perteneciese a B se tendra que x 2 A \ B lo cual contradira la hiptesis x 62 A \ B , luego x 62 B y por consiguiente x 2 A ; B . () Sea x 2 A ; B , por de nicin de diferencia x 2 A ^ x 62 B , luego x 62 A \ B y por consiguiente x 2 A ; (A \ B ). 2 Las siguientes propiedades de conjuntos se conocen con los nombres de idempotencia de la unin y de la interseccin respectivamente. Teorema 1.16 a) A  A = A b) A \ A = A Las siguientes dos propiedades del conjunto vaco hacen que al mismo se le denomine elemento neutro de la unin y elemento absorbente de la interseccin. Teorema 1.17 a) A  = A b) A \ = A continuacin se plantean una serie de teoremas bsicos sobre la manipulacin de las operaciones bsicas de conjuntos. Los mismos se dejan como ejercicio, con las siguientes recomendaciones: 1) el estudiante debe probarlos todos, si es necesario ms de una vez. 2) Las igualdades conjuntsticas debe probarlas por doble contencin, a menos que uno de los conjuntos sea el conjunto vaco, en cuyo caso, puede ser ms fcil probar que el otro conjunto de la igualdad no tiene elementos. 3) En las implicaciones debe probar el consecuente usando, cuando lo necesite, el antecedente. Teorema 1.18 a) A A  B b) A \ B A. Teorema 1.19 a) A ; B A Teorema 1.20. b) A ; = A. a) Si A B , entonces A  B = B b) Si A B , entonces A \ B = A. Teorema 1.21. a) Si A B y C D entonces (A  C ) (B  D). 3 Alerta: Se est usando un teorema de lgica que se llama El Tercero Excluido y que establece que p _ :p.

(24) 1.5. FAMILIAS DE CONJUNTOS. 11. b) Si A B y C D entonces (A \ C ) (B \ D) Teorema 1.22 Dados los conjuntos A, B , C y D de un universo de discurso U se tiene que a) A  (B ; A) = A  B b) A ; (B  C ) = (A ; B ) \ (A ; C ) c) A ; (B \ C ) = (A ; B )  (A ; C ). Complemento Absoluto. En ciertas ocasiones todos los conjuntos que nos interesa considerar para resolver un determinado problema son subconjuntos de un conjunto ms grande, que llamaremos el universo del discurso. A dicho conjunto se le puede representar por la letra U . Alerta: No debe olvidarse que no existe un conjunto universal. Las a rmaciones de la presente seccin se re eren a alg n universo del discurso. Denicin 1.9 Sea A un subconjunto del universo del discurso U , se de ne el complemento de A como el conjunto de los elementos de U que no estn en A. Se denota por A A = U ; A = fx : x 62 Ag Teorema 1.23 Si A es cualquier subconjunto del universo U , entonces a) A  A = U b) A \ A = Teorema 1.24 El complemento de un conjunto es nico. Teorema 1.25 Para todo subconjunto A del universo U se tiene que A = A. Esto es, el complemento del complemento de A es A. Teorema 1.26 (Leyes de De Morgan) Dados dos conjuntos arbitrarios del universo U se tiene que a) A  B = A \ B b) A \ B = A  B. 1.5 Familias de Conjuntos. Denicin 1.10 (Familias de Conjuntos) Una familia de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son conjuntos Ejemplo 1.5 Son ejemplos de familias: F1 = f  f g f  f gg g F2 = ffag fa bgg F3 = ffag fbg fa bgg.

(25) 12. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Denicin 1.11 (Unin) Dado un conjunto A, la unin de A es el conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de A A = fx : (9B )(x 2 B ^ B 2 A)g. Nota: Es conveniente usar como de nicin alternativa la siguiente proposicin. Dicha proposicin puede demostrarse a partir de la anterior.. x 2 A () (9B )(x 2 B ^ B 2 A) Ejemplo 1.6 Si A = ffag fa bgg, entonces A = fa bg Si A = ff  ag ffag f g gg, entonces A = f  a fag f gg. Teorema 1.27 (a)  = (b) f g = Teorema 1.28 fAg = A Teorema 1.29 fA B g = A  B Teorema 1.30 (A  B ) = (A)  (B ) Prueba: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 (A  B ) por de nicin de unin. (9C )(x 2 C ^ C 2 A  B ), luego se tiene que dicho C , por de nicin de unin pertenece a A o pertenece a B . Si C 2 A, tenemos que (9C )(x 2 C ^ C 2 A), por lo tanto x 2 A y por consiguiente x 2 (A)  (B ). Si C 2 B , tenemos que (9C )(x 2 C ^ C 2 B ), por lo tanto x 2 B y por consiguiente x 2 (A)  (B ). Luego, (A  B ) (A)  (B ). () Sea x 2 (A)  (B ) por de nicin de  se tiene que x 2 A _ x 2 B . Si x 2 A, por de nicin de A, (9C )(x 2 C ^ C 2 A) y por consiguiente C 2 A  B . Luego, (9C )(x 2 C ^ C 2 A  B ) lo cual implica que x 2 (A  B ). Si x 2 B se concluye anlogamente que x 2 (A  B ). Por lo tanto, (A)  (B ) (A  B ) 2. Teorema 1.31 A 2 B =) A B Prueba: Sea x 2 A, queremos probar que x 2 B . Por de nicin de B se. tiene que x 2 B , (9C )(x 2 C ^ C 2 B ). Por lo tanto queremos probar que (9C )(x 2 C ^ C 2 B ). Como por hiptesis (x 2 A ^ A 2 B ), tenemos que, en efecto, existe C tal que (x 2 C ^ C 2 B ) y por consiguiente x 2 B  concluimos que A B , si A 2 B . 2. Teorema 1.32 A B =) A B Teorema 1.33 (8A)(A 2 B ) A C ) =) B C Teorema 1.34 (8A)(A 2 B ) A \ C = ) =) (B ) \ C =.

(26) 1.5. FAMILIAS DE CONJUNTOS. 13. Denicin 1.12 Dado un conjunto A la interseccin de A es el conjunto cuyos elementos son los elementos que estn en todos los elementos de A \A = fx : (8B )(B 2 A ) x 2 B )g. Teorema 1.35 (Denicin Alternativa). x 2 \A () (8B )(B 2 A ) x 2 B ) ^ (9B )(B 2 A) Ejemplo 1.7 Si A = ffag fa bgg, entonces \A = fag Si A = ff  ag ffag f g gg, entonces \A = f g Teorema 1.36 \ = Prueba: Como el conjunto vaco es nico, basta probar que (6 9x)(x 2 \ ). Por reduccin al absurdo, si x 2 \ , se tiene que (8B )(B 2 ) x 2 B ) ^ (9B )(B 2 ) pero esto es falso pues (8B )(B 62 ). Luego se tiene que (8x)(x 62 \ ) y por consiguiente \ = 2. Teorema 1.37 \f g = Prueba: Basta probar que (8x)(x 62 \f g). x 2 \f g implica que (8B )(B 2 f g ) x 2 B ) ^ (9B )(b 2 f g) pero esto es falso pues 2 f g 6) x 2 . Por lo tanto, (6 9x)(x 2 \f g) 2. Teorema 1.38 \fAg = A Teorema 1.39 \fA B g = A \ B Teorema 1.40 A 2 B =) \B A Teorema 1.41 A 2 B ^ A C =) \B C Teorema 1.42 A B ^ (9C )(C 2 A) =) \B \A Teorema 1.43 (9C )(C 2 A) ^ (9D)(D 2 B ) =) \(A  B ) = (\A) \ (\B ) Prueba: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 \(A  B ), por de nicin de \ se. tiene que (8M )(M 2 A  B ) x 2 M ) ^ (9M )(M 2 A  B ), esto es, x pertenece a todos los elementos de A  B y A  B no es vaco. En consecuencia x pertenece a todos los elementos de A y a todos los elementos de B . Adems, como por hiptesis, tanto A como B son no vacos se tiene que x 2 \A y x 2 \B . Luego, x 2 (\A) \ (\B ). () Sea x 2 (\A) \ (\B ), por de nicin de \ se tiene que x 2 \A ^ x 2 \B . Por lo tanto, x pertenece a cada uno de los elementos de A y x pertenece a cada uno de los elementos de B y adems, A y B son no vacos. Concluimos que x pertenece a cada uno de los elementos de A  B y A  B es no vaco, y en consecuencia x 2 \(A  B ). 2. Teorema 1.44 A 2 B ^ A \ C = =) (\B ) \ C = Teorema 1.45 \A A.

(27) 14. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. 1.6 Conjunto Potencia. Axioma 1.46 (Conjunto Potencia) Dado un conjunto A existe un conjunto cuyos elementos son los subconjuntos del conjunto A. (9B )(8C )(C 2 B , C A). Denicin 1.13 (Conjunto Potencia o de Partes) Dado un conjunto A, se de ne el conjunto potencia de A, P (A), como el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A P (A) = fB : B. Ag. Teorema 1.47 (Denicin Alternativa) B 2 P (A) () B A Teorema 1.48 2 P (A) Teorema 1.49 A 2 P (A) Teorema 1.50 P ( ) = f g Prueba: DC. Si x 2 f g, se tiene que x = y como tenemos que. x 2 P ( ). Luego, f g P ( ). Adems, si x 2 P ( ) se tiene que x y por teorema el nico subconjunto del conjunto vaco es el conjunto vaco. Por lo tanto, P ( ) f g 2. Teorema 1.51 PP ( ) = f  f gg Teorema 1.52 A B =) P (A) P (B ) Prueba: Sea x 2 P (A), queremos probar que x 2 P (B ). Como x 2 P (A) , x A se tiene que x A y como por hiptesis A B , por transitividad de se tiene que x B , y por consiguiente x 2 P (B ) 2. Teorema 1.53 P (A)  P (B ) P (A  B ) Prueba: Sea x 2 P (A)  P (B ), por de nicin de unin x 2 P (A) _ x 2 P (B ).. Si x 2 P (A) tenemos que x A por lo tanto x A  B y por consiguiente x 2 P (A  B ). Si x 2 P (B ), se tiene que x B y por lo tanto x A  B lo cual implica que x 2 P (A  B ). Luego, P (A)  P (B ) P (A  B ) QED 2. Teorema 1.54 P (A) \ P (B ) = P (A \ B ) Teorema 1.55 P (A ; B ) (P (A) ; P (B ))  f g.

(28) 1.7. AXIOMA DE FUNDAMENTACI N. 15. Prueba: Sea x 2 P (A ; B ) en base a al de nicin de conjunto potencia. tenemos que x A ; B , esto es, todo elemento de x es elemento de A ; B , lo cual signi ca que todo elemento de x es elemento de A y no es elemento de B . Consideremos dos casos, si x = y si x 6=  si x = tenemos que x 2 f g y por lo tanto x 2 (P (A) ; P (B ))  f g, si x 6= tenemos que x es subconjunto de A y no lo es de B , por lo tanto x 2 P (A) ; P (B ) y en consecuencia x 2 (P (A) ; P (B ))  f g. 2. 1.7 Axioma de Fundamentacin Para evitar situaciones no intuitivas que se podran presentar con la nocin de pertenencia como son A 2 A, A 2 B ^ B 2 A, A 2 B ^ B 2 C ^ C 2 A, etc., etc. se presenta el siguiente axioma.. Axioma 1.56 (De Fundamentacin) Todo conjunto no vaco A tiene un elemento x tal que ninguno de sus elementos pertenece a A. A 6= =) (9x)x 2 A ^ (8y)(y 2 x ) y 62 A)]. Teorema 1.57 A 62 A Prueba: Por absurdo, supongamos que A es un conjunto tal que A 2 A. Se. tiene que A 2 fAg y por lo tanto fAg 6= . Luego, por el axioma de regularidad, se tiene que (9x)(x 2 fAg&(8y)(y 2 x ) y 62 fAg)). Pero como fAg es un singletn el nico x que podra satisfacer la primera clusula del ^ es A, y por lo tanto tendramos por la segunda clusula que (8y)(y 2 A ) y 62 fAg). Como por hiptesis, A 2 A se tiene que A 62 fAg, lo cual es una contradiccin, luego A 2 A 2. Teorema 1.58 :(A 2 B ^ B 2 A) Prueba: Supongamos por absurdo que A 2 B ^ B 2 A. Como fA B g 6=. por el axioma de fundamentacin se tiene que (9x)(x 2 fA B g ^ (8y)(y 2 x ) y 62 fA B g)) Seg n esta proposicin uno de los elementos de fA B g es tal que ninguno de sus elementos pertenece a fA B g. Como fA B g es un par, dicho elemento es A o es B . Si es A, tenemos una contradiccin pues uno de sus elemento , a saber, B pertenece a fA B g y si dicho elemento es B tenemos de nuevo una contradiccin pues A es uno de sus elementos y pertenece a fA B g. Luego, es falso que A 2 B ^ B 2 A. 2 El siguiente teorema se deja como ejercicio.. Teorema 1.59 :(A 2 B ^ B 2 C ^ C 2 A).

(29) 16. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Resumen de Axiomas. Hasta los momentos se han presentado los siguientes axiomas Axioma de Conjunto Vaco: (9A)(8x)(x 2 A) Axioma de Extensin: (8x)(x 2 A , x 2 B ) =) A = B Axioma de Separacin: (9B )(8x)(x 2 B , x 2 A ^ P (x)) Axioma de Apareamiento: (9A)(8z)(z 2 A , z = x _ z = y) Axioma de Unin:(9C )(8x)(x 2 C , (9B )(x 2 B ^ B 2 A) Axioma de Conjunto Potencia: (9B )(8C )(C 2 B , C A) Axioma de Fundamentacin: A 6= =) (9x)x 2 A ^ (8y)(y 2 x ) y 62 A)]. 1.8 Grafos. Denicin 1.14 (Grafo) Dado un conjunto V , un grafo sobre V es un par ordenado4 hV P i donde P es un conjunto de parejas de V .. Cada grafo sobre un conjunto A se puede representar por un gr co que contenga todos los elementos de A y una lnea entre los elementos x y z si el par fx zg pertenece al grafo. Por ejemplo, si A = fa b c dg los grafos ffa bg fa dg fc dgg ffa bg fd cg fb dg fa cgg, ffa bg fa dg fa cgg y ffa dg fb cgg se representan como se muestra en la gura siguiente. a. b. a. b. a. b. a. b. d. c. d. c. d. c. d. c. Figura 1.2: Algunos Grafos de fa b c dg. 4 Alerta rojo: Se denir en el prximo captulo. Es formalmente un conjunto con dos elementos, a saber, ha bi = ffag fabgg. Sin embargo, slo necesitamos en este momento que quede claro que es un conjunto que consta de dos conjuntos.

(30) 1.9. EJERCICIOS RESUELTOS. 17. 1.9 Ejercicios Resueltos. Ejercicio Resuelto 1.1 A B () A B ^ (9x)(x 2 B ^ x 62 A) Respuesta: Probaremos las dos implicaciones. ()) Queremos ver que A. B ^(9x)(x 2 B ^x 62 A), como por hiptesis A B tenemos que A B ^A 6= B , por lo tanto nos falta ver solamente que (9x)(x 2 B ^ x 62 A). Si (8x)(x 2 B ) x 2 A) tendramos que B A y en base al teorema de doble contencin tendramos que A = B lo cual sera una contradiccin pues por hiptesis A 6= B . Luego, existe x tal que la proposicin (x 2 B ) x 2 A) es falsa, esto es, (9x)(x 2 B ^ x 62 A). (() Si (9x)(x 2 B ^ x 62 A) se tiene que A 6= B pues dos conjuntos son iguales ssi tienen los mismo elementos, y como adems A B se tiene que A B . . Ejercicio Resuelto 1.2 A B ^ B C =) A C Respuesta: Para probar que A C debemos probar que A. C y que (9x)(x 2 C ^ x 62 A). Sea x 2 A, como por hiptesis tenemos que A B se tiene que x 2 B y como tambin por hiptesis B C concluimos que x 2 C , luego A C . Como B C se tiene que (9z)(z 2 C ^ z 62 B ) dicho z no puede pertenecer a A, pues si perteneciera a A, dado que A B tendramos que z 2 B lo cual contradira que z 62 B . Luego, (9x)(x 2 C ^ x 62 A) . Ejercicio Resuelto 1.3 Demuestre que (AB )C = A(B C ) Respuesta: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 (AB )C , debo probar que. x 2 A(B C ). Como x 2 (AB )C se tiene que x pertenece a (AB ) ; C o a C ; (AB ). Por casos: si x 2 (AB ) ; C se tiene que x 2 (AB ) ^ x 62 C o equivalentemente que x 2 (A ; B )  (B ; A) ^ x 62 C . Por casos: si x 2 A ; B se tiene que x 2 A ^ x 62 B ^ x 62 C por lo tanto x 62 B ; C y x 62 C ; B lo cual implica que x 62 B C y que x 2 A ; (B C ) que a su vez implica que x 2 A(B C ) si x 2 B ; A se se tiene que x 62 A ^ x 2 B ^ x 62 C y por lo tanto que x 2 B ; C y como consecuencia x 2 B C , lo que implica que x 2 (B C ) ; A y por consiguiente que x 2 A(B C ). Si x 2 C ; (AB ) se tiene que x 2 C y x 62 (AB ) y en consecuencia x 62 (A ; B )  (B ; A). Luego, usando el tercero excluido, consideremos dos casos. x 2 A y x 62 A. Si x 2 A se tiene que x 2 B porque de lo contrario tendramos que x 2 A ; B . Y si x 2 A ^ x 2 B ^ x 2 C se tiene que x 62 (B C ) y en consecuencia x 2 A ; (B C ) lo que implica que x 2 A(B C ). Si x 62 A se tiene que x 62 B porque de lo contrario tendramos que x 2 B ; A. Luego, x 2 C ^ x 62 A ^ x 62 B lo que implica que x 2 C ; (AB ) y por consiguiente en A(B C ). () Afortunadamente esta contencin es anloga. . Ejercicio Resuelto 1.4 Demuestre que \fA B C g = A \ B \ C.

(31) 18. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Respuesta: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 \fA B C g, por de nicin de. \ se tiene que x pertenece a cada uno de los elementos de fA B C g, esto es, x 2 A ^ x 2 B ^ x 2 C y por lo tanto x 2 A \ B \ C . () Sea x 2 A \ B \ C , se tiene, por de nicin de \, que x 2 A ^ x 2 B ^ x 2 C y por lo tanto que x pertenece a cada uno de los elementos de fA B C g y como adems fA B C g es no vaco pues A es uno de sus elementos se tiene que x 2 \fA B C g. .

(32) 1.10. EJERCICIOS. 19. 1.10 Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes conjuntos Ai indicar si x 2 Ai y si x Ai. (a) A1 = ffxg xg (b) A2 = ffxg yg (c) A3 = fxg \ (d) A4 = x (e) A5 = fxg  x (f) A6 = fxg  f g 2. Si A es el conjuntos de los estudiantes que practican atletismo, C el conjunto de los que practican ciclismo y N el conjunto de los que practican natacin, represente mediante diagramas de Venn y por medio de las operaciones bsicas de conjuntos los siguientes conjuntos: (i ) Los que practican al menos dos de los tres deportes. (ii ) Los que practican exactamente dos de los tres. (iii ) Los que practican solamente un deporte. (iv ) Practican slo natacin o slo atletismo y ciclismo. 3. Escriba una o varias expresiones de los conjuntos representados en los siguientes diagramas de Venn en base a las operaciones de conjunto. C. A. C. (v1). B. A. C. A. C. (v2). B. A. C. (v4). B. A. (v3). B. C. (v5). B. A. (v6). B. 4. Demuestre que (i ) A A \ B =) A B (ii ) A  B B =) A B 5. Si se de ne la diferencia simtrica de dos conjuntos A y B como. A4B = (A ; B )  (B ; A). demuestre que (i ) A4B = (A  B ) ; (A \ B ) (ii ) A4C = B 4C =) A = B.

(33) 20. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS (iii ) A \ (B 4C ) = (A \ B )4(A \ C ) (iv ) A = B =) A4B = 6. Demuestre que (i ) A  B = (A ; B )  B ^ (A ; B ) \ B = (ii ) A ; (B  C ) = (A ; B ) \ (A ; C ) (iii ) A B () C ; B C ; A 7. Demuestre que (i ) A B ^ B C =) A C (ii ) A C ^ B C =) A  B C (iii ) A \ B C ^ D E =) (A \ B )  D C  E. 8. Demuestre que A B =) A  (B ; A) = B 9. Demuestre que (i ) A B =) B 6 A (ii ) A 6 A (iii ) A =) A = 10. Demuestre que A ; B = B ; A, donde X es el complemento de X con respecto al universo del discurso. 11. Demuestre que (i ) A  = A (ii ) A A  B (iii ) A \ B A (iv ) A C ^ B C =) A  B C 12. Demuestre que (A  B ) \ C = (A \ C )  (B \ C ) 13. Demuestre que (i ) (A ; B ) \ B = (ii ) A ; (B  C ) = (A ; B ) \ (A ; C ) 14. Una particin5 de un conjunto A es una familia de subconjunto de A disjuntos dos a dos cuya unin es A. Halle el conjunto de las particiones del conjunto A = fa b c dg. 15. Demuestre que 5. Se estudiaran con detalle ms adelante.

(34) 1.10. EJERCICIOS. 21. (i ) A B =) A B (ii ) A 2 B =) \B A 16. Demuestre que. A B ^ (9C )(C 2 A) =) \B \A 17. Demuestre que. A B ^ (9D)(D 2 A  C ) =) \(B  C ) \(A  C ) 18. Escriba los conjuntos potencias de A = fa b c dg y de B = f1 2 3 4 5g. Cuntos elementos tienen? Qu puede conjeturar? 19. Demuestre que (i ) P (A \ B ) = P (A) \ P (B ) (ii ) P (A) = A 20. Dar ejemplos que prueben la falsedad de las siguientes proposiciones (i ) P (A  B ) P (A)  P (B ) (ii ) P (A) ; P (B ) = P (A ; B ) 21. Use el axioma de fundamentacin para probar que: :(A 2 B ^ B 2 C ^ C 2 A). 22. Dado un conjunto A, un grafo sobre A es un par G = hA P i donde P es una familia de pares de elementos de A. En otras palabras, P es un elemento del conjunto de todos los subconjuntos de tamao dos de Ael conjunto de todas las parejas no ordenadas de Aque llamaremos Partes de tamao dos de A y lo denotaremos por P2 (A). Halle todos los grafos del conjunto A = fa b cg. Cuntos son? Cada grafo sobre un conjunto A se puede representar por un gr co que contenga todos los elementos de A y una lnea entre los elementos x y z si el par fx zg pertenece al grafo. Por ejemplo, si A = fa b c dg los grafos ffa bg fa cg fa dgg, ffa cg fb cg fb dgg y ffa dg fb cgg se representan como se muestra en la gura siguiente. ds. s. a. G1. cs. ds. s. a. b. s. G2. cs. ds. s. a. b. cs. s. s. G3. b.

(35) 22. CAPTULO 1. TEORA DE CONJUNTOS. Represente todos los grafos de A = fa b cg. 23. Ser cierto que P2 (A) = A para todo A? Y P3 (A) = A? De no ser cierto enuncie una proposicin condicional que si lo sea. 24. Demuestre que A B ) P (A) P (B ).

(36) .No basta demostrar una cosa hay que persuadir a los hombres o elevarlos hasta ella. Por eso el iniciado tiene que aprender a decir su sabidura, y a veces a expresarla de modo que suene a locura. Aurora. Federico Nietzsche. No es bastante todava. Captulo 2. Relaciones Binarias En este captulo se presenta una clase especial de conjuntos que llamaremos relaciones binarias y que son la base de casi todas las estructuras matemticas para mostrar su importancia bastara decir que las funciones, que estudiaremos ms adelante, son una clase particular de relaciones. Pero, sin embargo, hay ms: los conjuntos ordenados se construyen con un tipo especial de relaciones que denominaremos relaciones de orden y los conjuntos numricos tales como los n meros enteros, los n meros racionales y los n meros reales se construyen en base a otro tipo de relaciones que llamaremos relaciones de equivalencia. Digrafos, reticulados, lgebras de boole son todas estructuras que tienen su base en las relaciones. El lgebra se basa en las operaciones binarias que son un tipo de funciones que a su vez son un tipo de relaciones. En este captulo de niremos y estudiaremos las propiedades bsicas de los pares ordenados y de las relaciones que se de nen como un conjunto de pares ordenados.. 2.1 Par Ordenado. Denicin 2.1 (Par Ordenado) Dados dos elementos cualesquiera a y b se. de ne el par ordenado <a  b> como el conjunto cuyos elementos son el conjunto fag y el conjunto fa bg. Esto es, <a  b> = ffag fa bgg. A a se le denomina primera coordenada o componente del par y a b segunda coordenada. Ntese que <a  b> es una familia y por lo tanto, tiene sentido hablar de su unin e interseccin. De hecho:  <a  b> = ffag fa bgg = fa bg \ <a  b> = \ffag fa bgg = fag. Obsrvese tambin que <a  b> 6=< b a > si a 6= b. A continuacin se enuncian dos lemas y un teorema que permiten establecer bajo qu condiciones dos pares 23.

(37) 24. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. ordenados son iguales.. Lema 2.1 fag = fbg () a = b Prueba: ()) Si fag = fbg, entonces a 2 fbg lo cual implica que a = b. ((). Si a = b, entonces a 2 fbg y por consiguiente fag fbg y de igual manera b 2 fag lo cual implica que fbg fag. Luego, por doble contencin se tiene que fag = fbg. (Recuerde que x 2 fag , x = a) 2. Lema 2.2 fa bg = fc dg () (a = c ^ b = d) _ (a = d ^ b = c) Teorema 2.3 <a  b> =< c d >, a = c ^ b = d Prueba: ()) Por casos, si a = b y si a 6= b. Si a = b se tiene que. <a  b> = ffag fa bgg = ffag fa agg = ffag fagg = ffagg y como fc dg 2 <c  d > = <a  b> se tiene que fc dg = fag y por consiguiente c = a ^ d = a de donde concluimos que a = c ^ b = d. Si a 6= b Como fcg 2 <c  d > y <c  d > = <a  b> tenemos que fcg 2< a b >= ffag fa bgg, luego fcg = fag o fcg = fa bg. Pero fcg 6= fa bg, porque si fcg = fa bg se tendra que a=c=b lo cual contradice la hiptesis a 6= b. En consecuencia, se tiene que fcg = fag de donde se deduce que a = c. Ahora bien, como a = c tenemos que <c  d > = <a  d > = ffag fa dgg y como fa bg 2 <c  d > entonces fa bg = fag o fa bg = fa dg. Dado que fa bg = fag no puede cumplirse porque se tendra a = b concluimos que fa bg = fa dg y aqu concluimos que b = d. QED (() Como a = c implica que fag = fcg y como a = c ^ b = d implica que fa bg = fc dg se tiene por sustitucin que <a  b> = ffag fa bgg = ffcg fc dgg = <c  d > 2. 2.2 Producto Cartesiano. Denicin 2.2 (Producto Cartesiano) Dados dos conjuntos A y B se dene el producto cartesiano de A por B como el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B . Esto es,. A  B = f<a  b> : a 2 A ^ b 2 B g El siguiente teorema establece bajo qu condiciones el producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto vaco. Teorema 2.4 A  B = , A = _ B = Prueba: ()) (NECESIDAD) Supongamos que A  B = pero que A 6= ^ B 6= que p pudiera ocurrir sin necesidad de que q ocurra Como A 6= y B 6= tenemos que (9y)(y 2 A) ^ (9z)(z 2 B ), y por lo tanto <y  z > 2 A  B ,.

(38) 2.2. PRODUCTO CARTESIANO. 25. lo cual contradice la hiptesis. Por consiguiente, si A  B = se tiene que A= _B = (() (SUFICIENCIA) Como por hiptesis A = _ B = tenemos dos casos, a saber: si A = y si B = . Si A = , entonces (6 9x)(x 2 A) y en consecuencia es falso que (9y)(9z)(y 2 A ^ z 2 B ^ x = hy zi) y por consiguiente (6 9x)(x 2 A  B ). Luego, A  B = . Similar si B = . 2. Ejercicio 2.1 Si P = fA B C g y Q = fA Dg halle P  Q y Q  P . El ejercicio anterior muestra que el producto cartesiano no es conmutativo y el prximo teorema establece las condiciones necesarias y su cientes para que dos conjuntos A y B conmuten mediante producto cartesiano. Teorema 2.5 A  B = B  A , (A = _ B = _ A = B ) Prueba: ()) Necesidad]. Supongamos que la tesis es falsa, esto es, A 6= ^ B 6= ^ A 6= B . Como A 6= B , existe un x tal que x 2 A ^ x 62 B o bien x 62 A ^ x 2 B . Por casos: si x 2 A ^ x 62 B , como B 6= tomando y 2 B tenemos que <x  y> 2 A  B  pero <x  y> 62 B  A porque x 62 B , entonces sera falso que A  B = B  A. El otro caso conduce a la misma contradiccin. (() Su ciencia]. Si A = _ B = tenemos por el teorema anterior que A  B = = B  A y si A = B tenemos que A  B = A  A = B  A. 2 A continuacin se dan algunas propiedades bsicas del producto cartesiano. Veamos primero un teorema y un ejercicio que tiene que ver con subconjuntos. Teorema 2.6 A 6= ^ A  B A  C =) B C Prueba: Consideremos dos casos, a saber: Si B = se cumple que B C pues es subconjunto de cualquier conjunto. Si B 6= , sea y 2 B y sea x 2 A (existen porque B 6= ^ A 6= ) por de nicin <x  y> 2 A  B y en consecuencia, como por hiptesis A  B A  C , se tiene que <x  y> 2 A  C lo cual implica que y 2 C . Luego, B C . 2 Los prximos teoremas se dejan como ejercicio: el primero de ellos establece que el producto cartesiano preserva inclusin y los dos siguientes muestran la distributividad del producto cartesiano respecto a la unin y a la interseccin. Teorema 2.7 B C =) A  B A  C. Teorema 2.8 A  (B \ C ) = (A  B ) \ (A  C ) Teorema 2.9 A  (B  C ) = (A  B )  (A  C ) Tambin hay distributividad del producto cartesiano con respecto a la diferencia de conjuntos. Teorema 2.10 A  (B ; C ) = (A  B ) ; (A  C ).

(39) 26. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. Prueba: Por doble contencin. ( ) Sea x 2 A  (B ; C ) tenemos que. x = <y  z > con y 2 A y z 2 B ; C , esto es, z 2 B ^ z 62 C . Luego, <y  z > 2 A  B ^ <y  z > 62 A  C y por consiguiente <y  z > 2 (A  B ) ; (A  C ). QED. () Sea x 2 (A  B ) ; (A  C ) entonces x 2 A  B y x 62 A  C . Como x 2 A  B se tiene que x = <y  z > con y 2 A y z 2 B y como x 62 A  C tenemos que z 62 C . Luego, como y 2 A ^ z 2 B ; C , tenemos que x = <y  z > 2 A  (B ; C ), esto es, x 2 A  (B ; C ). QED 2. 2.3 Relaciones Binarias. Denicin 2.3 (Relacin) Una relacin R es un conjunto de pares ordenados, simblicamente se puede expresar como:. A es una relacin , (8x)(x 2 A ) (9y)(9z)(x = <y  z >)) : Para indicar que un par pertenece a una relacin se acostumbra usar la simbologa xRy en lugar de <x  y> 2 R1 . La clase de las relaciones incluye al conjunto vaco, es cerrada bajo las operaciones de unin, interseccin y diferencia y adems todo subconjunto de una relacin es una relacin. Todo sto se formaliza mediante los siguientes teoremas todos ellos de fcil demostracin. Teorema 2.11 0 es una relacin. Teorema 2.12 Si R y S son relaciones, entonces R  S , R \ S , y R ; S son tambi n relaciones.. Teorema 2.13 Todo subconjunto de una relacin, es una relacin. Ejercicio 2.2 Demostrar los tres teoremas anteriores. A continuacin de niremos tres conjuntos,que no tienen que ser relacionesy que son los conjuntos de donde sacan sus coordenadas los pares de una relacin. Denicin 2.4 (Dominio) El dominio de una relacin R es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares de la relacin. DR = fx : (9y)(xRy)g. Denicin 2.5 (Recorrido) El recorrido de una relacin R es el conjunto de las segundas coordenadas de los pares de la relacin. 1. RR = fy : (9x)(xRy)g Alerta: Mucha gente usa parntesis (x y ) para denotar a los pares ordenados en este. texto usaremos <x  y>.

(40) 2.3. RELACIONES BINARIAS. 27. Al recorrido de una relacin tambin se le denomina contra dominio, codominio o dominio converso.. Denicin 2.6 (Campo) El campo de una relacin R es el conjunto de las primeras y segundas coordenadas de los pares de la relacin. F R = DR  RR. Teorema 2.14 Dadas dos relaciones R y S se cumple que. a) D(R  S ) = D(R)  D(S ) b) D(R \ S ) D(R) \ D(S ) c) D(R) ; D(S ) D(R ; S ). Prueba: Demostraremos (c) y dejaremos las pruebas de (a) y (b) como ejerci-. cio. Si x pertenece a D(R) ; D(S ), se tiene que x 2 D(R) ^ x 62 D(S ), luego la primera parte de esta conjuncin asegura la existencia de a tal que <x  a> 2 R sea y tal que <x  y> 2 R, a rmo que <x  y> 62 S porque si <x  y> 2 S se tiene que x 2 D(S ) lo cual es una contradiccin con la segunda parte de la conjuncin. Luego, se concluye que <x  y> 2 R ; S y por consiguiente x 2 D(R ; S ) QED 2 El recorrido de una relacin satisface propiedades anlogas a las de nidas en el teorema anterior. Se deja como ejercicio establecer el teorema correspondiente y probarlo.. Denicin 2.7 (Relacin de A en B ) Una relacin binaria de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A  B . Esto es. R es de A en B , R A  B En particular A  B es una relacin binaria de A en B . Tambin el conjunto vaco es una relacin binaria de A en B . Si una relacin binaria R es de A en A se dice que R es sobre A. Para las relaciones de A en B y las relaciones sobre A se de nen los siguientes dos conceptos.. Denicin 2.8 (Dominio y Codominio de Denicin) Se denomina dominio de denicin de una relacin binaria de un conjunto A en un conjunto B al conjunto A y se denomina codominio de denicin al conjunto B . Cuando haga falta se denotarn por dom(R) y por cod(R) respectivamente.. Denicin 2.9 (Grafo Dirigido) Un grafo dirigido o digrafo es un par or-. denado hV Ai tal que V es un conjunto denominado conjunto de v rtices y A es una relacin sobre V que se denomina conjunto de arcos.. Si hV Ai es un digrafo y V = , entonces A = . Si hV Ai es un digrafo y v 2 V diremos que v est aislado ssi no existe v0 2 V distinto de v y tal que <v  v 0> 2 A o <v 0  v > 2 A y diremos que no tiene bucles ssi A es irreexiva..

(41) 28. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. Denicin 2.10 (Conversa de un Conjunto) Se de ne la conversa de un. conjunto A como el conjunto cuyos elementos son los pares que resulten de invertir las coordenadas de los pares de A. Esto es, x 2 Ab si y slo si existen y z tales que x = <y  z > y <z  y> 2 A. Ntese que de nimos la conversa de un conjunto y no de una relacin por lo tanto, si el conjunto en cuestin no tiene pares ordenados la relacin conversa es la relacin vaca. El conjunto original no tiene que ser una relacin, pero la conversa si es una relacin. Usaremos el smbolo Ab para denotar a la conversa del conjunto A. Resulta que la conversa de A es una relacin aun cuando A no sea una relacin, y que la conversa de la conversa de A es subconjunto de A y si A es ya una relacin se obtiene al igualdad. Adems, las tres operaciones bsicas de conjuntos conmutan con la operacin de tomar conversa. todo esto se formaliza en los siguientes teoremas. Teorema 2.15 Rb es una relacin.. \\ \. Ab A. A  B = Ab  Bb. A \ B = Ab \ Bb. A ; B = Ab ; Bb . Si R es una relacin, entonces Rb = R. A continuacin se presentan otras de niciones importantes para la manipulacin de relaciones. Denicin 2.11 (Imagen de un Conjunto) Dada una relacin binaria R (de A en B ) y un conjunto S , se de ne la imagen de S mediante R como el conjunto de las segundas coordenadas de elementos de R que tienen como primera coordenada un elemento de S . Img(S  R) = fb : (9a 2 S )(<a  b> 2 R)g : Tal vez es preferible usar la notacin R(S ) en lugar de Img(S  R). Obsrvese que la imagen de un conjunto no es necesariamente una relacin lo es slo si todas las segundas coordenadas de elementos de R cuyas primeras coordenadas estn en S son pares ordenados. De manera anloga se de ne la preimagen de un conjunto.. Teorema 2.16 Teorema 2.17 Teorema 2.18 Teorema 2.19 Teorema 2.20. Denicin 2.12 (Preimagen de un Conjunto) Dada una relacin binaria R (de A en B ) y un conjunto S se de ne la preimagen de S mediante R como el conjunto de las primeras coordenadas de elementos de R que tienen como segunda coordenada un elemento de S . Pim(S  R) = fa : (9b 2 S )(<a  b> 2 R)g : En ocasiones es preferible usar la notacin R;1(S ) en lugar de Pim(S  R)..

(42) 2.4. PRODUCTO DE RELACIONES. 29. Denicin 2.13 (Restricciones) Para denotar al subconjunto de R cuyas. primeras coordenadas estn en el conjunto C se usar la siguiente notacin Rjizq (C ). Esto es Rjizq (C ) = f<a  b> 2 R : a 2 C g Y para denotar al subconjunto de R cuyas segundas coordenadas estn en el conjunto C se usar la siguiente notacin Rjder (C ). Esto es. Rjder (C ) = f<a  b> 2 R : b 2 C g Nota: La restriccin izquierda, que es la que aparece con mayor frecuencia, se suele denotar por RjC , esto es, RjC = Rjizq (C ).. Ntese que estos conjuntos son relaciones.. 2.4 Producto de Relaciones. Denicin 2.14 (Producto de Relaciones) Si R y S son relaciones, se dene el producto de relaciones RS o R  S como el conjunto cuyos elementos son los pares <x  y> tales que existe un z tal que xRz y zSy.. RS = f<x  y> : (9z)(xRz ^ zSy)g Esto tambin se puede escribir como R  S = f<x  y> : (9z)(<x  z> 2 r ^ <z  y> 2 S )g. Ejemplo 2.1 Si R = f<1  2 > <2  3 > <4  2 > <5  1 > <1  1 > < 5  5 >g y S = f<3  3 > <4  2 > <5  6 > <6  2 > <3  4 > <1  3 >g, entonces se tiene que R  S = f<2  3 > <2  4 > <5  3 > <1  3 > <5  6 >g A continuacin se muestran varios teoremas relacionados con la de nicin de producto de relaciones. El primero de ellos establece que el producto de dos relaciones es de nuevo una relacin. El segundo a rma que la relacin vaca es un elemento absorvente. El tercero da una caracteristica del dominio del producto. Se invita al lector a escribir una relacin anloga para el recorrido. Teorema 2.21 A  B es una relacin. Teorema 2.22 0  A = 0 Teorema 2.23 D(A  B ) D(A) Teorema 2.24 A B ^ C D ) A  C B  D Prueba: Si x 2 D(A  B ), en base a la de nicin de dominio, existe u tal que <x  u> 2 A  B y, en base a la de nicin de producto, existe w tal que <x  w> 2 A y <w  u> 2 B . Por consiguiente, usando de nuevo la de nicin de dominio, x 2 D(A). 2.

(43) 30. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. El producto de relaciones no es conmutativo, es asociativo y distributivo con respecto a la unin pero no es distributivo con respecto a la interseccin ni a la diferencia. Esto se formaliza en los siguientes teoremas algunos de los cuales quedan como ejercicio. Teorema 2.25 A  (B  C ) = (A  B )  C . Teorema 2.26 A  (B  C ) = (A  B )  (A  C ). Teorema 2.27 A  (B \ C ) (A  B ) \ (A  C ). Teorema 2.28 (A  B ) ; (A  C ) A  (B ; C ). Ejercicio 2.3 Muestre que no se pueden sustituir las contenciones de los teoremas 2.27 y 2.28 por igualdades. El producto de relaciones no conmuta con la operacin de tomar conversa, sin embargo, se tiene el siguiente resultado. Teorema 2.29 A  B = Bb  Ab. Ejercicio 2.4 Muestre un ejemplo que ponga en evidencia que la expresin A  B = Ab  Bb no es cierta para todo par de conjuntos A y B . Denicin 2.15 (Relacin Identidad de A) Dado un conjunto A se de ne la relacin Identidad de A como IdA 2 = f<x  x > : x 2 Ag Hay una serie de propiedades interesantes que pueden o no satisfacer en conjunto los elementos de una relacin. Estas propiedades permiten clasi car a las relaciones en base a dichas propiedades: Las presentaremos en la prxima seccin.. . . Tipos de relaciones Reexividad. Una relacin R se llama reexiva en A si para todo elemento a de A, el par <a  a> pertenece a la relacin, esto es: ;  R es reexiva en A () 8a 2 A <a  a> 2 R. Irreexividad. Una relacin R se llama irreexiva en A si para todo elemento a de A, el par <a  a> no pertenece a la relacin. ;  R es irreexiva en A () 8a 2 A <a  a > 62 R 2. Cuando quede claro usaremos I en lugar de IdA ..

(44) 2.4. PRODUCTO DE RELACIONES. 31. Simetra. Una relacin R se llama simtrica en A si para todo par de elementos a b de A, se tiene que si el par <a  b> pertenece a la relacin, entonces tambin el par <b  a > pertenece a la relacin, esto es:. ;. . R es simtrica en A () 8a b 2 A <a  b> 2 R ) <b  a > 2 R. Asimetra. Una relacin R se llama asimtrica en A si para todo par de elementos a b de A, se tiene que si el par <a  b> pertenece a la relacin, entonces el par <b  a > no pertenece a la relacin, esto es:. ;. . R es asimtrica en A () 8a b 2 A <a  b> 2 R ) <b  a > 62 R. Antisimetra. Una relacin R se llama antisimtrica en A si para todo a b 2 A, si el par <a  b> y el par <b  a > pertenecen a la relacin, entonces a = b.. R es antisimtrica en A () (8a b 2 A)(aRb ^ bRa ) a = b). Transitividad. Una relacin R se llama transitiva en A si para toda terna a b c 2 A se tiene que si <a  b> 2 R y <b  c> 2 R, entonces <a  c> 2 R, esto es:. R es transitiva en A () (8a b c 2 A)(aRb ^ bRc ) aRc). Conectividad. Se dice que la relacin R es conexa en A si todo par de elementos x y distintos de A estn relacionados mediante R, esto es. R es conexa en A , (8x)(8y)(x y 2 A ^ x 6= y ) xRy _ yRx). Conectividad Fuerte. Se dice que la relacin R es fuertemente conexa en A si todo par de elementos x y de A estn relacionados mediante R, esto es. R es fuertemente conexa en A , (8x)(8y)(x y 2 A ) xRy _ yRx).

(45) 32. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. 2.4.1 Generalizacin. Para nalizar este captulo presentaremos una generalizacin del concepto de par ordenado. En la seccin 2.1 se de ni el par <a  b> como el conjunto ffag fa bgg y demostramos que dos pares son iguales si y slo si tienen las mismas coordenadas. Una de nicin similar de terna no nos permitira demostrar un teorema anlogo. Aclaratoria: si se de niese < a b c > como ffag fa bg fa b cgg se tendra que, por ejemplo, que < 1 1 2 >=< 1 2 2 > y sin embargo, sus segundas coordenadas no son iguales (Chequearlo). Daremos una de nicin de terna ordenada basada en la de nicin de par.. Denicin 2.16 (Terna Ordenada) Dados tres elementos cualquiera a b c se de ne la terna ordenada < a b c > como el par ordenado << a b > c >.. Tambin de niremos a continuacin el concepto de n;tupla o n;ada como lo denominan algunos autores. Denicin 2.17 (k;tupla) Dados k+1 elementos cualesquiera a1  a2  : : :  ak  ak+1 se de ne la (k + 1);tupla < a1  a2  : : :  ak  ak+1 > como el par ordenado << a1  : : :  ak > ak+1 >. Una consecuencia casi inmediata de esta de nicin es el siguiente teorema, que se deja como ejercicio. Teorema 2.30 Dos k;tuplas < a1  : : :  ak > y < b1  : : :  bk > son iguales si y slo si a1 = b1  : : :  ak = bk . Para generalizar la de nicin de producto cartesiano se da a continuacin la siguiente de nicin Denicin 2.18 Dados los conjuntos A1  A2  : : :  Ak , no necesariamente distintos, se de ne su producto cartesiano como el conjunto cuyos elementos son las k;tuplas < a1  : : :  ak > tales que a1 2 A1  : : :  ak 2 Ak. Simblicamente ki=1Ai = A1  A2      Ak = f< a1  : : :  ak >: ai 2 Aig. En caso de que todos los Ai sean iguales a un conjunto A se representa por An Daremos a continuacin la de nicin de matriz. Denicin 2.19 (Matriz) Una matriz de m  n es una m;tupla en la que cada una de sus coordenadas es una n;tupla. Un ejemplo de una matriz de 2  3 es la siguiente 2;tupla:. << a11  a12  a13 > < a21  a22  a23 >> observe que cada una de sus coordenadas es una 3;tupla. Por comodidad se expresan las dos 3;tuplas en una la distinta: << a11  a12  a13 > < a21  a22  a23 >>.

(46) 2.5. GRAFOS Y DIGRAFOS. 33. y por conveniencia se usa la siguiente notacin:. a a. 11 21. a12 a13 a22 a23. . donde se omiten los separadores y se sustituyen los corchetes angulares por un par de parntesis. a cada aij se le denomina entrada de la matriz y a la matriz se le representa por aij ]. La de nicin que usualmente se da de matriz dice que una matriz es un arreglo de n meros en las y columnas. En nuestra de nicin, al igual que todos los objetos que hemos de nido, una matriz es un conjunto y sus entradas son ms generales pues son a su vez conjuntos que, en particular, pueden ser n meros. Cuando todas las entradas de una matriz M de m  n pertenecen a un cierto conjunto A, se dice que M es una matriz con entradas en A y al conjunto de tales matrices se representa por Mmn A]. Si una matriz es de n  n se dice que es una matriz cuadrada y al conjunto de las matrices de n  n sobre el conjunto A se le denota por Mn A].. 2.5 Grafos y Digrafos Denicin 2.20 (Digrafo) Un digrafo o grafo dirigido es un par hV Ri donde. V es un conjunto y R es una relacin sobre V , a V se le denomina el conjunto de v rtices del grafo y a R se le denomina conjunto de arcos del grafo. Ntese que siempre que tengamos una relacin R sobre un conjunto V automticamente tenemos un grafo nico formado por dicho par hV Ri. A este grafo lo denominamos el grafo asociado a la relacin. El nombre de grafo proviene de que en muchas ocasiones conviene representar gr camente a la relacin como un conjunto de puntos (los vrtices) unidos por echas de tal forma que haya una echa de a a b si y slo si aRb.. Denicin 2.21 (Matriz de Adyacencias) Dada una relacin binaria sobre. un conjunto A = n] = f1 2 3 : : :  ng3 de nimos la matriz de adyacencias del grafo asociado a la relacin como la matriz cuadrada mij ] de n  n tal que. . i j> 2 R mij = 10 sisi < <i  j > 62 R.. Por ejemplo, la matriz de adyacencias de la relacin R = f<1  1 > <2  2 > <3  3 > <5  5 > <1  3 > <3  1 > <3  4 > <5  1 > <2  4 > 3 Se restringe en este momento la denicin al conjunto A porque no hemos dado la denicin de conjunto nito..

(47) 34. CAPTULO 2. RELACIONES BINARIAS. <4  5 >g sobre el conjunto 5] es 01 0 1 0 01 BB 0 1 0 1 0 CC B@ 1 0 1 1 0 CA 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 Ser la relacin anterior reexiva, simtrica, transitiva? Cmo se ve esto en la matriz? Denicin 2.22 (Grafo) Un grafo es un par ordenado hV Ai donde V es un conjunto que denominaremos el conjunto de v rtices y A es un conjunto de pares no ordenados del conjunto A. Si representamos al conjunto de los subconjuntos de tamao dos del conjunto V por P2 (V ) se tiene que un grafo es un par hV Ai donde A es un subconjunto de P2 (V ).. 2.6 Ejemplos de Relaciones En esta seccin mencionaremos brevemente los tres tipos de relaciones ms importantes. Cada una de ellas se tratar en un captulo por separado, pero como las funciones se estudiarn en un captulo muy tardo presentaremos su de nicin y algunos de los tipos de funcin.. Funciones. Denicin 2.23 (Funcin) Dados dos conjuntos A y B una funcin f de A en B es una relacin binaria de A en B (un subconjunto de A  B ) que cumple las siguientes condiciones (a) (8a 2 A)(9b 2 B )(<a  b> 2 f ) (b) (8a 2 A)(8b b0 2 B )(<a  b> 2 f ^ < a b0 >2 f ) b = b0 ). Si los conjuntos A y B coinciden decimos que f es una funcin sobre A. Al conjunto de las funciones de A en B lo denotaremos por B A .. Denicin 2.24 Sea f una funcin de A en B , esto es, f : A ! B , se dice. que (a) f es inyectiva ssi f (a) = f (b) implica que a = b, o equivalentemente si a 6= b implica que f (a) 6= f (b) (b) f es sobreyectiva ssi para todo b 2 B existe a 2 A tal que f (a) = b, o equivalentemente si f (A) = B . (c) f es biyectiva ssi es inyectiva y sobreyectiva..

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