PS 2315 Teoría Básica de Matrices usando Scilab pdf

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(1)Teoría Básica de Matrices usando Scilab PS2315 "SISTEMAS" Prof. José Ferrer Br. Gabriel Marzinotto Br. Alejandro Pérez M. Departamento de Procesos y Sistemas Universidad Simón Bolívar Abril-Julio 2013 Abstract En estas notas se presentan algunos conceptos, resultados y métodos de la teoría de matrices que son de gran utilidad en el análisis y diseño de sistemas de control. También se introducen los principales comandos de Scilab para realizar las operaciones matriciales mas importantes y frecuentemente empleados en el estudio de sistemas dinámicos, lineales e invariantes en el tiempo (tanto para sistemas de tiempo continuo como para aquellos de tiempo discreto).. 1. Introducción a Matrices en Programas de Scilab. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y z = 7 10x 2y + 5z = 5 Es evidente que el análisis de dicho sistema de ecuaciones puede realizarse trabajando sólo con el arreglo de los coe…cientes y el arreglo de los términos constantes: 2 10. 3 2. 1 5. :. 7 5. El primer arreglo se considerada una matriz de orden (2 3) de dos …las y tres columnas; mientras que el segundo arreglo es un vector columna de orden (2 1) en el sentido que tiene dos …las y una sola columna. Similarmente, puede considerarse otro tipo de matriz que sería, por ejemplo: 2 5 1.

(2) conocida como un vector …la de orden (1 En consecuencia:. 2) ya que tiene una …la y dos columnas.. DEFINICION 1 Un arreglo rectangular: 0 a11 a12 a1n B a21 a22 a 2n B A = B .. .. .. . . @ . . . . am1 am2 amn = [aij ]m. n. 1. C C C 2 Mm A. n. De m n elementos, elegidos de un conjunto S y arreglados en m …las y n columnas, como se muestra, se denomina una matriz sobre el conjunto S: Si el conjunto S es sobreentendido, se dice que A es simplemente una matriz (m n) : Los elementos del conjunto S se denominan escalares, y los escalares que constituyen una matriz A sobre S se denominan elementos de A: A una matriz (m n) se le dice que es de orden (m; n) : Mientras que a una matriz (1 n) (una sola …la) se la llama un vector …la de orden n y a una (m 1) (una sola columna) se la denomina vector columna de orden m: Si se tiene un caso en que m = n se dice que la matriz es cuadrada de orden n: Finalmente, si la matriz es cuadrada y de orden n; los elementos a11 ; a22 ; ann constituyen la llamada diagonal principal de A: Matrices con aplicaciones muy importantes son aquellas cuyos elementos son seleccionados en el conjunto de números complejos C o en el conjunto de números reales R. Tales matrices se denominan, como sería de esperar, matrices complejas y matrices reales respectivamente, y se expresarán como Mn m (C) o Mn m (R): Existen matrices sobre conjuntos de naturaleza más general que los números reales o complejos y también serán consideradas. Especí…camente, los casos de matrices sobre el conjunto de polinomios R [ ] o sobre el conjunto de funciones racionales reales R ( ) : En Scilab existen diferentes maneras de introducir o generar una matriz A con m …las y n columnas. La manera más simple y directa se ilustra a continuación: EJEMPLO 2 Considere la matriz 2. 1 1 6 3 5 A=6 4 4 6 7 11. 3 2 8 7 7 10 5 20. la cual se puede introducir de la siguiente manera: 2.

(3) –>A=[1 1 2;3 5 8;4 6 10;7 11 20] A= 1. 1. 2. 3. 5. 8. 4. 6. 10. 7. 11. 20. EJEMPLO 3 Mientras que 2 1:2113249 1:6653811 1:8782165 1:7263507 6 1:7560439 1:6283918 1:0683740 1:1985144 B=6 4 1:0002211 1:8497452 1:5608486 1:5442573 1:3303271 1:685731 1:6623569 1:2320748. puede extenderse en varias lineas de entrada como sigue:. 3 7 7 5. –>B=[1.2113249 1.6653811 1.8782165 1.7263507; –>1.7560439 1.6283918 1.0683740 1.1985144; –>1.0002211 1.8497452 1.5608486 1.5442573; –>1.3303271 1.685731 1.6623569 1.2320748] B= 1:2113249 1:6653811 1:8782165 1:7263507 1:7560439 1:6283918 1:0683740 1:1985144 1:0002211 1:8497452 1:5608486 1:5442573 1:3303271 1:685731 1:6623569 1:2320748 Nótese que los saltos de …la se escriben con un punto y coma. EJEMPLO 4 Dada la matriz C 0. 1. C = @ e 0:03 log 4. 1 3 ln (34) sin (4) cos (2) A 3 2 p. puede introducirse en Scilab de la siguiente manera: –>C=[1 sqrt(3) log(34); –>exp(-0.03) sin(4) cos(2); –>log10(4) 3 2] C= 1. 0.9704455 0.6020600. 1.7320508 - 0.7568025 3.. 3.5263605 - 0.4161468 2. 3.

(4) EJEMPLO 5 Existe una segunda manera de introducir matrices en Scilab de forma más e…ciente, y es útil sólo cuando los elementos de sus …las o columnas (mediante la operación de transposición) se encuentran en progresión aritmética. Se procede especi…cando, para cada …la, cual es el primer elemento de la misma, la razón con la que crece o decrece de la progresión y cuál será el último elemento de la misma. Si tenemos la matriz 2 3 1 2 3 4 5 6 8 11 14 17 20 7 7 A=6 4 15 10 5 0 55 5 1 3 7 11 ->A=[1:1:5;8:3:20;15:-5:-5;-5:4:11] A= 1. 2. 3. 4. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 15. 10. 5. 0. - 5. - 5. - 1. 3. 7. 11. Un ejemplo importante de matriz es la matriz nula de dimensión (n de la forma 2 3 0 0 6 7 0n m = 4 ... . . . ... 5 0. m) que es. 0. Además, cuando estudiamos matrices cuadradas de dimensión n, podemos de…nir la matriz identidad o matriz unidad In que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los elementos de la diagonal principal que son iguales a uno. 2 3 1 0 0 60 1 07 6 7 In = 6 .. .. . . .. 7 4. . . .5 0 0 1. Es evidente que ambas matrices no son únicas debido a que el número de …las y columnas pueden variar. En Scilab se usa el comando eye(m; m) para generar una matriz identidad de dimensión (m m); mientras que el comando zeros(m; n) produce una matriz de ceros de dimensión (m n). 4.

(5) EJEMPLO 6 Genere en Scilab una matriz identidad I3 y una matriz nula 02 3 : ->eye(3,3) ans = 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. –>zeros(2,3) ans = 0. 0. 0. 0. 0. 0. A continuación tenemos los vectores, que no son más que matrices …las (1 n) o columnas (m 1), que se suelen utilizar para guardar secuencias o señales de datos muestreados en una dimensión. Los vectores también serán representados en Scilab y servirán para implementar señales muestreadas. Recuerde que si x (t) : [a; b] R ! C es una señal escalar de tiempo continuo, entonces la correspondiente señal muestreada a un período T es x [k] = x(kT ) en donde k 2 Z; y en consecuencia, fx [k]gk2Z es una secuencia de números complejos en este caso. Una manera de introducir una secuencia en Scilab es mediante una lista explicita o concreta de elementos. Nótese que los elementos deben estar separados por espacios en blanco o por comas, como se muestra a continuación: EJEMPLO 7 Secuencias o Vectores Fila –>x=[1 1 2 3 5 8] x= 1. 1. 2. 3. 5. 8. o lo que es lo mismo, –>x=[1,1,2,3,5,8] x= 1. 1. 2. 3. 5. 8. El comando: –>x=[1 1 2 3 5 7] Crea una secuencia de seis elementos (números reales) en un vector …la. Dicha secuencia se puede expresar como un vector columna transponiéndola. 5.

(6) EJEMPLO 8 La trasposición de un vector cuyas entradas sean números reales se realiza con el comando ’como se ilustra a continuación: ->x=[1 1 2 3 5 8] x= 1. 1. 2. 3. 5. 8. –>y=x’ y= 1. 1. 2. 3. 5. 8. El lector podrá veri…car por cuenta propia que este mismo comando traspone matrices de cualquier dimensión y no solo vectores …la. Sin embargo, presenta un inconveniente (del cual hablaremos más adelante) cuando las entradas de la matriz son números complejos.. 1.0.1. Suma, Resta y Producto de Matrices por un Escalar.. Habiendo de…nido las formas fundamentales de matrices, es conveniente introducir las reglas para operar con ellas. Estas son análogas a las leyes del álgebra que gobiernan el manejo de números ordinarios (enteros, racionales, reales o complejos) o sus símbolos (polinomios, etc.). DEFINICION 9 Se dice que dos matrices A = [aij ]n m y B = [bij ]n0 m0 son iguales, y se escribe A = B; si y solamente si, A y B tienen la misma dimensión y los elementos correspondientes a cada una de las posiciones son iguales, esto es: aij = bij ; 8 (i; j) 2 n donde n = f1; 2;. ; ng y m = f1; 2;. m. ; mg con n; m 2 N:. TEOREMA 10 La igualdad de matrices es determinativa, re‡exiva, simétrica y transitiva. Es decir: 1. Si A y B son dos matrices arbitrarias, entonces se cumple una de las siguientes aseveraciones: a) A = B; b) A 6= B (propiedad determinativa). 6.

(7) 2. Si A es cualquier matriz, entonces A = A (propiedad re‡exiva). 3. Si A = B, entonces B = A (propiedad simétrica). 4. Si A = B y B = C; entonces A = C (propiedad transitiva). Las matrices sobre un mismo cuerpo de números y una misma dimensión se pueden sumar o restar. Especí…camente, dadas A; B 2 C n m ; entonces: A + B = [aij ]n. m. + [bij ]n. m. = [aij + bij ]n. m. = [aij. m. Mientras que la resta de matrices se de…ne por A. B = [aij ]n. m. [bij ]n. m. EJEMPLO 11 Dadas las matrices: 2 3 2 1 1 2 A = 4 2 3 5; B = 4 0 5 8 2. bij ]n. 3 1 1 5 3. En Scilab, primero se procede a declarar los objetos con los que se trabajará, para luego poder operar con ellos como se muestra a continuación. –>A=[1 1;2 3;5 8]; –>B=[-2 -1;0 1;2 3]; –>A+B ans = - 1. 0. 2. 4. 7. 11. –>A-B ans = 3. 2. 2. 2. 3. 5. –>A+1 ans = 2. 2. 3. 4. 6. 9. 7.

(8) Nótese que aún cuando A es una matriz (2 3) y 1 es un escalar Scilab genera, ante el comando A + 1; una matriz donde cada entrada es la respectiva entrada de A más uno. No hay duda que el lector puede generalizar esta situación en el ambiente Scilab tanto para la suma como para la resta. DEFINICION 12 El producto por un escalar es escrito como A: En donde A 2 Mm n (S) y es un escalar, y da como resultado una matriz C 2 Mm n en donde C = [cij ] con cij = aij : Por lo tanto,. 2. 1 4 0 5 0. y denotaremos ( 1) A = mismo orden.. 1.1. 3 2 3 2 5 5 4 1 0 = 0 7 4 0. A; y A + ( B) = A. 3 15 10 5 0 5 35 20. B siempre que A y B sean del. Producto de Matrices. El producto de la matriz A = [aij ] 2 Mm l (S) y la matriz B = [bij ] 2 Ml matriz C = [Cij ] 2 Mm n (S) de…nida por: cij =. l X. aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j +. n (S);es. + ail blj. k=1. para i = 1; 2; : : : ; m y j = 1; 2; : : : ; n: Para recordar la manera en que se realiza tal operación veamos lo siguiente 82 3 columna j a11 a12 a1l > }| z > 2 > > 6 7 a a a 22 2l > b11 b12 b1j b1n > 6 21 > .. .. 7 ... <6 .. 7 6 b21 b22 b b 2j 2n . 76 . 6 . Cm n = f ila i 6 7 6 .. . . . . . . . . . ail 7 4 . > 6 ai1 a12 . . . .. . > >6 . > .. .. 7 .. > 4 .. blj bln . > . . 5 bl1 bl2 > : am1 am2 aml 2 3 c11 c12 c1j c1n 6 c21 c22 c2j c2n 7 6 . . . .. 7 . . 6 . 7 .. .. .. .. . 7 6 . Cm n = 6 7 (cij ) cin 7 6 ci1 ci2 6 . .. .. .. 7 .. .. 4 .. . . . . . 5 cm1 cm2 cmj cmn y recuerde las siguientes propiedades de la multiplicación: 8. 3{ 7 7 7 5. la.

(9) 1. El producto AB está de…nido siempre y cuando las matrices sean tales que el número de columnas de A coincida con el número de …las de B; en cuyo caso se dice que A es conformable con B: 2. El elemento cij de C se evalúa empleando la i-ésima …la de A y la j-ésima columna de B: Tratándolas como vectores y realizando con ellas una especie de producto escalar. 3. Si el producto AB está de…nido, no necesariamente lo estará el producto BA: 4. Cuando ambos productos AB y BA están de…nidos, se tiene que AB 6= BA en general, es decir, el producto no suele ser conmutativo. 5. Si se tiene un caso particular en que AB = BA, entonces se dice que A y B conmutan. Por ejemplo, la matriz identidad In conmuta con todas las matrices cuadradas de dimensión n: 6. Si se tiene que AB = 0; esto no necesariamente implica que A = 0 o que B = 0. En consecuencia, no es generalmente cierto que: AB = AD ) B = D EJEMPLO 13 Dadas las matrices A=. 1 0 2 1. 2 1. 2. 2 0 4 1 1 B= 1 0. 3 2 3 2 2 2 5 C=4 1 5 1 0. De ser posible la operación, encuentre AB; BA; AC; CA y BC:. Usaremos Scilab con el comando * para multiplicar matrices. –>//Creación de las matrices –>A=[1 0 -2;2 1 -1]; –>B=[2 0 2; -1 1 -2; –>1 0 1]; –>C=[2;-1;0]; –>A*B ans = 0. 0. 0. 2. 1. 1. –>B*A //Este producto no está de…nido. !–error 10 Multiplicación inconsistente. 9.

(10) –>A*C ans = 2. 3. –>C*A //Este producto no está de…nido !–error 10 Multiplicación inconsistente. –>B*C ans = 4. - 3. 2. DEFINICION 14 Dada una matriz A 2 Mn n cuadrada, se de…ne la r-ésima potencia de A como Ar = Ar 1 A Con A0 = In como la matriz identidad de dimensión n. n:. En este caso, y debido a que toda matriz conmuta consigo misma, se tiene que para cualquier ; 2 Z+ se cumple que: A A =A. EJEMPLO 15 Sea. +. 2. 3 1 0 0 1 5 1 1. 0 4 0 A= 3. halle. F (A) = A3. =A A. A2 + A + 3I3. Usemos Scilab y el comando ^ para calcular las distintas potencias de A: –>A=[0 1 A= 0: 1: 0: 0: 3: 1:. 0;0 0 1;-3 -1 1] 0: 1: 1:. –>eye(3,3) 10.

(11) ans = 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. –>f=A^3-A^2+A+3*eye(3,3) f= 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.. 1.2. Matrices Particionadas. Muchas veces es necesario tratar con matrices de dimensiones muy grandes. En dichos casos es posible recurrir al uso de matrices particionadas, ya que cualquier matriz A puede subdividirse en otras más pequeñas. Si se particionan matrices conformables en una forma compatible, las submatrices pueden manejarse como si fueran escalares cuando se realizan las operaciones matriciales de suma y multiplicación. Evidentemente, el orden de los productos no es arbitrario como lo sería en el caso de tratarse de verdaderos escalares. Si cualquier número de …las y/o columnas de una matriz dada A = [aij ]m n son eliminadas, el arreglo rectangular remanente se denomina una submatriz de A: Formalmente: DEFINICION 16 El arreglo de elementos que pertenecen a las …las i1 ; i2 ; ; ip y a las columnas k1 ; k2 ; ; kq ambas no necesariamente consecutivas, de una matriz A = [aij ]m n se denomina submatriz de orden (p; q) ; y se denotará mediante. A. i1 i2 k1 k2. ip kp. 0. B B =B @. ai1 k1 ai1 k2 ai2 k1 ai2 k2 .. .. . . aip k1 aip k2. Para implementar en Scilab, la submatriz A. ai1 kp ai2 kp .. .. . . ai p k p. i1 i2 k1 k2. ip kp. 1 C C C A basta con con-. struir los vectores u = v =. i1 i2 k1 k2. y una vez construida la matriz A 2 Mm. n;. 11. ip kp. se utiliza el comando A (u; v) :.

(12) EJEMPLO 17 Construya una matriz aleatoria de orden (5; 6) y mediante Scilab genere la submatriz que consiste en los elementos de las primeras 4 …las y 4 columnas. –>c=rand(5,6) c= 0:5015342 0:9184708 0:4368588 0:0437334 0:2693125 0:4818509 0:6325745 0:2639556 0:4051954 0:4148104. 0:2806498 0:1280058 0:7783129 0:2119030 0:1121355. 0:6856896 0:1531217 0:6970851 0:8415518 0:4062025. 0:4094825 0:8784126 0:1138360 0:1998338 0:5618661. 0:5896177 0:6853980 0:8906225 0:5042213 0:3493615. //Construya los vectores que seleccionaran las …las y columnas deseadas, por ejemplo, las 4 primeras …las y las 4 primeras columnas. –>u=1:1:4; –>v=u; –>d=c(u,v) d= 0:5015342 0:9184708 0:2806498 0:6856896 0:4368588 0:0437334 0:1280058 0:1531217 0:2693125 0:4818509 0:7783129 0:6970851 0:6325745 0:2639556 0:2119030 0:8415518 De inmediato se tiene el siguiente resultado que se desprende directamente de la de…nición de multiplicación matricial. TEOREMA 18 (Teorema fundamental) Si A = [aij ]m. n,. B = [bij ]n i1 i2 [cij ]m son matrices tales que AB = C; entonces la submatriz C k1 k2 i1 i2 ip y la submatriz B es igual al producto de la submatriz A 1 2 n Esto es:. C. i1 i2 k1 k2. ip kq. =A. i1 i2 1 2. ip n. EJEMPLO 19 Sean 2. 1 6 3 A=6 4 9 6. 2 1 2 2. 1 3 0 8. 1 3 1 8. 3 0 9 1. 3. 2. 6 4 6 6 0 7 7 B=6 6 5 0 6 4 1 12. 1 2 k1 k2. B. 1 2 4 6 2 1. 2 1 2 0 4 0. 0 1 0 1 0 7. n kq. 1 1 1 0 5 2. 3 7 7 7 7 7 7 5. y C = ip kq 1 2 k1 k2. n kq. ..

(13) Entonces, la matriz producto C = AB 2 17 10 6 35 1 C=6 4 29 16 3 10. y en consecuencia. C. 1 3 4 1 2 4. 0. 3 31 23 2 7 7 7 3 52 5 3 23. 1 17 10 23 = @ 29 16 52 A 3 10 23. Veri…quemos cada una de las operaciones mediante Scilab: –>A=[1 –>3 1 –>9 -2 –>6 2. -2 3 0 8. 1 3 1 -8. 1 0 9 1. –>B=[1 –>2 1 –>4 2 –>6 0 –>2 4 –>1 0. -2 1 0 -1 0 -7. 0 1; 1; 1; 0; 5; 2];. 3 4; 0; 0; 1];. –>C=A*B C= 17: 10: 31: 23: 35: 1: 2: 7: 29: 16: 3: 52: 3: 10: 3: 23: –>u=[1 3 4]; –>v=[1 2 3 4 5 6]; –>w=[1 2 4]; –>A(u,v)*B(v,w) ans = 17: 10: 23: 29: 16: 52: 3: 10: 23: EJERCICIO 20 Resuelva el ejemplo anterior empleando Scilab pero procurando utilizar un número menor de comandos.. 13.

(14) Considere la relación AB = C; donde A y B son matrices compatibles. En este caso, dicha relación puede ser particionada de varias formas. En el primer caso a considerar, la matriz A se particiona en grupos de …las consecutivos, mientras que la B; se divide en grupos de columnas consecutivas. Por ejemplo: A1 A2. B1 B2. =. A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2. =. C11 C12 C21 C22. o sea Cij = Ai Bj : Esto se formaliza a continuación como consecuecia del teorema fundamental de partición de matrices. TEOREMA 21 Sea A una matriz de orden o dimensión (m n) particionada en grupos de …las consecutivas mediante submatrices A1 ; ; Ai ; ; A r ; y sea B una matriz de dimensión (n p) particionada en grupos de columnas consecutivas por medio de submatrices B1 ; ; Bj ; ; B s : Sea C = AB la matriz de orden (m p) resultante de la multiplicación de A y B; particionada en submatrices por grupos de …las iguales a las de A y por grupos de columnas iguales a las de B; y denote por Cij la submatriz de C correspondiente a la i-ésimo grupo …la y al j-ésimo grupo columna. Entonces Cij = Ai Bj EJEMPLO 22 Considere el producto matricial 2 3 2 3 0 1 2 2 5 0 1 2 3 6 1 2 3 7 6 8 6 74 1 2 3 0 5=6 4 2 3 0 5 4 3 2 3 3 1 3 0 1 2 el cual puede 2 0 1 6 1 2 6 6 6 4 2 3 3 0. 8 9 14 17 8 13 6 9. 3 2 6 7 7 6 5 10. resolverse particionando en submatrices y operando 3 2 2 2 2 3 2 5 8 9 3 2 3 3 7 6 3 7 0 1 2 3 14 17 6 8 7 4 415 42 35 405 5 = 6 7 6 4 3 0 5 2 3 3 1 8 13 1 2 6 9. o esquemáticamente. A1 A2. B1 B2 B3. =. en donde Cij = Ai Bj : 14. C11 C12 C13 C21 C22 C23. como sigue: 3 2 6 7 7 7 7 6 5 10.

(15) Tal técnica es fácilmente implementable en Scilab como se ilustra a continuación. EJEMPLO 23 Sea. A1 =. 1 2 3 4 4 5 6 7. 2. 1 6 1 A2 = 6 4 4 4. 2 2 3 3. 3 3 2 2. –>A1=[1 2 3 4; –>4 5 6 7]; –>A2=[-1 -2 -3 -4; –>1 2 3 4; –>4 3 2 1; –>-4 -3 -2 -1]; –>B1=[2 1;4 3;6 5;8 7]; –>B2=[1 1;2 2;1 1;3 3];. ;. 2. 6 B1 = 6 4. 3 2 4 6 4 7 7 ; B2 = 6 4 1 5 1. 2 4 6 8 1 2 1 3. 1 3 5 7 1 2 1 3. 3 7 7 5. 3 7 7 5. –>A=[A1;A2]; –>B=[B1 B2]; –>C=A*B C= 60: 50: 120: 98: 60: 50: 60: 50: 40: 30: 40: 30:. 20: 1: 20: 20: 15: 15. 20: 41: 20: 20: 15: 15. Suponga ahora que se desea operar de manera distinta y que la matriz A de dimensión (m n) se particiona de acuerdo a grupos de columnas consecutivas, mientras que la matriz B de dimensión (n p) se particiona en grupos de …las conformables con la partición de A como se ilustra a continuación. A11 A12. B1 B2. = A11 B1 + A12 B2 = C. Nótese que al invertir la manera de realizar las particiones, los términos A11 B1 y A12 B2 dejan de ser escalares o submatrices de C y pasan a ser matrices con la misma dimensión (m p) que tiene C: Por lo tanto, su suma está bien de…nida y de inmediato se tiene el siguiente resultado: 15.

(16) TEOREMA 24 Sea la matriz A de orden (m n) particionada en grupos de columnas A1 ; ; A r conteniendo n1 ; n2 ; ; nr columnas respectivamente, y sea B una matriz de dimensión (n p) particionada en grupos de …las consecutivas mediante submatrices B1 ; ; B r exactamente de la misma manera. Entonces: C = AB = A1 B1 +. + Ar Br. DEMOSTRACION. Por de…nición de matrices cij =. n X. aik bkj. k=1. =. n1 X. aik bkj +. k=1. nX 1 +n2. aik bkj +. +. k=n1 +1. n X. k=n1 + +nr. = [A1 B1 ]ij + [A2 B2 ]ij + + [Ar Br ]ij = [A1 B1 + A2 B2 + + Ar Br ]ij. aik bkj 1 +1. La división por una matriz no está de…nida. Sin embargo, existe una operación matricial parecida o análoga a la división, denominada inversión matricial, de la cual se hablará más adelante. Como ya se mencionó, una diferencia importante de la matriz nula y el cero escalar es que en el caso escalar una relación de la forma =0 implica que. =0o. = 0: Sin embargo, en el caso matricial, si se tiene AB = 0. no se puede llegar a la misma conclusión. Un ejemplo de esto se ilustra a continuación A=. 1 1. 1 1. ; B=. 3 4 3 4. entonces AB = 02. 2. Una vez estudiados los ejemplos dados, pudiera pensarse que hay cierta intencionalidad de complicar las cosas. Esto no es del todo cierto, particionar matrices tiene muchas ventajas. Por ejemplo, su aplicación en cómputo cientí…co trae como consecuencia manipular matrices que requieren espacio de almacenamiento en memoria mucho más pequeño que en el caso de la multiplicación directa de matrices. 16.

(17) 1.2.1. Determinantes, factores y cofactores. Los determinantes se de…nen sólo para matrices cuadradas A 2 Mn n : El determinante de una matriz A; denotada por det (A) ; es una función escalar de A: La formas familiares del determinante para n = 1; 2; 3; son n=1 n=2. n=3. det (A) = a a11 a12 det = a11 a22 a12 a21 2 a21 a22 3 a11 a12 a13 det 4 a21 a22 a23 5 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a31 a32 a33 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33. Existe un patrón común que puede ser generalizado para cualquier n 2 N: Cada determinante tiene n! términos, cada término representa el producto de mn elementos de A; uno de cada …la y de cada columna de A: Para hallar el determinante de una matriz cuadrada A 2 Mn n en Scilab, se emplea el comando det(A) : EJEMPLO 25 Utilizando Scilab genere una matriz A cuadrada de dimensión (3 mediante el comando rand(m; n) y luego obtenga su determinante. –>A=rand(3,3) A= 0.2113249 0.3303271 0.7560439 0.6653811 0.0002211 0.6283918. 3). 0.8497452 0.6857310 0.8782165. –>h=det(A) h= 0.2167306 Una matriz n ejemplo:. n que sólo tenga elementos diferentes de cero en su diagonal, por 0. B B A = B @. a11 0 0 a22 .. .. . . 0 0. .... = diag (a11 ; a22 ;. se denomina matriz diagonal.. 17. 0 0 .. . anm ; ann ). 1 C C C A.

(18) Esta notación puede extenderse para cubrir el caso de matrices expresadas en términos de submatrices. Por ejemplo, si A= entonces la matriz. puede denotarse por. a11 a12 a21 a22. B=. a33 a34 a43 a44. 0. 1 a11 a12 0 0 B a21 a22 0 0 C C D=B @ 0 0 a33 a34 A 0 0 a43 a44 D=. A 02 2 02 2 B. = diag (A; B). Una matriz triangular cuyos elementos por debajo (por encima) de la diagonal principal son ceros se denomina matriz triangular superior (inferior). Las siguientes son matrices triangulares: 1 0 1 0 a11 0 0 0 a11 a12 a13 a14 B a21 a22 0 B C 0 C B C B 0 a22 a23 a24 C @ a31 a32 a33 0 A @ 0 0 a33 a34 A a41 a42 a43 a44 0 0 0 a44. Una matriz A 2 Mn n contiene n2 elementos de la forma aij y cada uno de ellos tiene asociado un único escalar Mij denominado un menor. El menor Mpq correspondiente al elemento apq es el determinante de la submatriz (n 1) (n 1) de A que se forma al eliminar de esta la …la p-ésima y la q-ésima columna. Los menores principales de una matriz son aquellos menores relacionados con los elementos de la diagonal principal, ajj : El concepto de menor puede generalizarse para matrices que no sean cuadradas. Considere una matriz A 2 Mn m ; 0 1 a11 a12 a1m B a21 a22 a2m C B C A = B .. .. .. C .. @ . . . . A an1 an2 anm y construya la siguiente submatriz cuadrada 0 ai1 k1 B ai k i1 i2 ip B 2 1 A = B .. k1 k2 kp @ . aip k1 18. de A : ai1 k2 ai2 k2 .. . aip k2. ai1 kp ai2 kp .. .. . . ai p k p. 1. C C C 2 Mn A. n.

(19) Al determinante de A. i1 i2 k1 k2. ip kp. det A. :. i1 i2 k1 k2. ip kp. se denomina un menor de A de orden p; siempre que se cumpla que p 1 1. i1 < i2 < k1 < k2 <. min (m; n) y. < ip m < kp n. Una matriz rectangular A 2 Mn m tiene mp : np menores de orden p: Los menores en los cuales i1 = k1 ; i2 = k2 ; ; ip = kp se denominan menores principales. EJEMPLO 26 Sea A 2 M6 –>A=rand(6,7) A= 0:7783129 0:8415518 0:2119030 0:4062025 0:1121355 0:4094825 0:6856896 0:8784126 0:1531217 0:1138360 0:6970851 0:1998338 –>u=[1 3 –>v=[2 4 –>A(u,v) ans = 0:8415518 0:4094825 0:1138360. 7. dada por A = rand (6; 7) : Usando Scilab:. 0:5618661 0:5896177 0:6853980 0:8906225 0:5042213 0:3493615. 0:3873779 0:9222899 0:9488184 0:3435337 0:3760119 0:7340941. 0:2615761 0:4993494 0:2638578 0:5253563 0:5376230 0:1199926. 0:2256303 0:6274093 0:7608433 0:0485566 0:6723950 0:2017173. 5]; 7]; 0:3873779 0:3911574 0:9488184 0:5878720 0:3760119 0:2232865. –>// El correspondiente menor será detA(u,v) –>det(A(u,v)) ans = 0.0007502 Si la matriz A bajo análisis es cuadrada de dimensión n det (A) = A. 1 2 1 2. 19. n n. n; entonces. 0:3911574 0:8300317 0:5878720 0:4829179 0:2232865 0:8400886.

(20) A cada elemento aij de una matriz cuadrada A de dimensión (n un cofactor Cij el cual di…ere del menor Mij Mij = det A. 1 2 1 2. i. 1 i+1 j. 1 j+1. n) ; se le asocia n n. a lo sumo en un cambio de signo, especí…camente, Cij = ( 1)i+j Mij Como hecho fundamental, recuerde la manera en que los cofactores aparecen en la conocida Expansión de Laplace para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada A: Especí…camente, det (A) =. n X. akj Ckj. j=1. para el caso de la expansión usando la k-ésima …la, mientras que para el caso de expansión por la q-ésima columna sería det (A) =. n X. aiq Ciq. i=1. Note que la expansión de Laplace reduce la evaluación de un determinante (n n) a uno (n 1 n 1) : Finalmente, la adjunta de una matriz cuadrada A 2 Mn n es la transpuesta de la matriz que se construye a partir de A; reemplazando cada elemento aij por su cofactor. En consecuencia, 0 1T r C11 C12 C1m B C21 C22 C2m C B C adj (A) = B .. .. . . .. .. C @ . A . Cn1 Cn2 Cnm. La importancia de la matriz adjunta se debe a la siguiente igualdad que se desprende de la expansión de Laplace A:adj (A) = det (A) :In donde In es la matriz identidad de dimensión n EJEMPLO 27 Sea. 0. 1 @ 3 A= 1. 2 1 0 20. n: 1 0 2 A 3.

(21) entonces 0. B B B adj (A) = B B B @. 1 det 0 2 det 0 2 det 1. 3 2 det 1 3 1 0 det 1 3 1 0 det 3 2. 2 3 0 3 0 2. 3 1. 1 det 0 1 2 det 1 0 1 2 det 3 1. Por lo tanto. 0. 3 adj (A) = @ 7 1 det (A) = 17. 6 3 2. 1T r C C C C C C A. 1 4 2 A 7. Y vea que 0. 1 2 @ 3 1 A adj (A) = 1 0 0 1 0 = 17 @ 0 1 0 0. 10 0 3 A @ 2 7 3 1 1 0 0 A 1. 6 3 2. 1 4 2 A 7. Es importante memorizar cómo se calcula el determinante de matrices de dimensión 2 y 3 para la solución de problemas sencillos. Como ya se mencionó anteriormente: det 2. a11 a12 a21 a22. = a11 a22. a12 a21 :. 3 a11 a12 a13 det 4 a21 a22 a23 5 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 a31 a32 a33 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 1.2.2. Rango y traza de una Matriz. Existen muchas de…niciones equivalentes de rango de una matriz A 2 Mn m ; se usará las más natural de acuerdo al material dado, el rango de una matriz A es la máxima dimensión de la submatriz A. i1 i2 k1 k2 21. ip kp.

(22) con determinante diferente de cero que se pueda obtener de los elementos de la matriz A: Es evidente entonces que rk (A). min fm; ng. Si la matriz es cuadrada de dimensión n n y de máximo rango n; entonces la matriz se dice ser no-singular. Sea A = [aij ]n n ; entonces se de…ne como la traza de A; denotado por trace (A) ; a la suma de los elementos de la diagonal principal aii ; esto es, trace (A) =. n X. aii. i=1. Algunas propiedades interesantes de la traza son trace (A + B) = trace (A) + trace (B) trace (AB) = trace (BA) EJEMPLO 28 Sean 2. 3 2 5 8 1 1 2 5;B = 4 3 4 6 4. 1 A=4 3 4. 3 1 8 3 2 5 4 6. matrices sobre R; entonces det (A) = 112; y rk (A) = 3 y A es no-singular. Por otro lado, la matriz B es tal que det (B) = 0; y asi rk (B) < 3: Eliminando las columna 2 y la …la tres se genera la siguiente submatriz de A : det. 1 8 3 2. =. 22. y por lo tanto, rk (B) = 2: Mientras que la traza de A es trace (A) = 1 + ( 1) + 6 = 6 Usando Scilab se obtiene los resultados siguientes –>A=[1 5 8; 3 -1 2; 4 -4 6] A= 1: 5: 8: 3: 1: 2: 4: 4: 6: –>B=[1 -1 8;3 -3 2;4 -4 6] B= 22.

(23) 1: 3: 4:. 1: 8: 3: 2: 4: 6:. –>rank(A) ans = 3. –>rank(B) ans = 2. –>trace(A) ans = 6. –>trace(A*B) ans = 100. –>trace(A+B) ans = 10. 3.3 Funciones elementales Dada una matriz 0 a11 a12 B a21 a22 B A = B .. .. .. @ . . . am1 am2. A 2 Mn 1 a1n a2n C C .. C . A amn. m. entonces se de…ne como la operación traspuesta "T r" sobre la matriz A la operación que consiste en convertir las …las (o columnas) de A en columnas (…las) y la matriz resultante de dimensión (m n) se denomina la matriz transpuesta de A: 0 1 a11 a21 an1 B a12 a22 an2 C B C AT r = B .. .. .. C .. @ . . . . A a1n a2n anm AT r = [aij ]T r = [aji ]. La matriz conjugada de A, escrita como A; es la matriz formada mediante el reemplazo de cada elemento de la matriz por su complejo conjugado. Es decir: 0 1 a11 a12 a1n B a21 a22 a2n C B C A = B .. .. .. C . . @ . . . . A am1 am2 amn 23.

(24) Si además de tomar la transpuesta de A se aplica el complejo conjugado a cada entrada, se obtiene la operación transpuesta conjugada u operación de Hermite (asociada), y se denota por Tr AH = (AT r ) = A donde (. ) representa la operación de conjugación de números complejos. Esto es, 0 1 a11 a21 an1 B a12 a22 an2 C B C AH = B .. .. .. C .. @ . . . . A a1n a2n anm. Note que la operación de trasposición y la conjugación cumplen con las siguientes propiedades (A + B)T r = AT r + B T r (AB)T r = B T r AT r (AT r )T r = A (A) = A. En Scilab, el comando indicado por el apóstrofe "’" indica la transpuesta conjugada de una matriz. En caso que sólo se quiera calcular la conjugada de la matriz, entonces puede emplearse el comando conj(x) donde x representa una expresión real o compleja. EJEMPLO 29 Considere la matriz 0 1 1 3j 2 0 2+j A P =@ 3j 2 + 5j. con j =. p. 1. Para calcular la transpuesta o la transpuesta conjugada de P mediante Scilab –>A=[1-3*%i 2; 0 –>-3*%i 2+5*%i]; –>B=A’ B= 1. + 3.i 2.. 0 2. - i. 2+%i;. 3.i 2.- 5.i 24.

(25) –>C=[-1 2 3;0 2 4] –>D=C’ D= - 1. 0. 2. 2. 3. 4. –>E=conj(A) E= 1. + 3.i 0 3.i. 2. 2. - i 2. - 5.i. Nótese que cuando la matriz es real, la traspuesta conjugada es únicamente la transpuesta. Y en el caso en el que sólo se desee trasponer una matriz compleja en Scilab, bastará con realizar la operación de Hermite y luego volver a conjugar la matriz.. 1.3. Inversa de una Matriz.. DEFINICION 30 Si A es una matriz de dimensión (n de dimensión (n n) tal que AB = BA = In. n) y existe otra matriz B. entonces B se denomina la inversa de A y se denota por A 1 ; y A se dice ser no-singular o invertible. Se denota por GLn (R) al conjunto de todas las matrices invertibles, reales y dimensión n n: Si la matriz inversa existe esta es única. Algunas propiedades de las matrices invertibles o no-singulares son las siguientes: 1. (A 1 ). 1. =A. 2. Si A; B 2 GLn (R) ; entonces (AB). 1. = B 1 A 1 : O lo que es lo mismo,. A; B 2 GLn (R) =) AB 2 GLn (R) 3. Si A 2 GLn (R) ; entonces para matrices B y C tales que AB = AC; se cumple entonces que B = C De la identidad de Laplace vista anteriormente A:adj (A) = det (A) :In 25.

(26) se observa que si det (A) 6= 0; entonces adj (A) det (A). A. = In. y se concluye el siguiente resultado. TEOREMA 31 Una matriz A de dimensión (n y solamente si, det (A) 6= 0; y en cuyo caso A EJEMPLO 32 Sea. 1. =. 2. 0 6 0 A=6 4 0 3. n) es invertible o no-singular si,. adj (A) det (A) 1 0 0 2. 0 1 0 1. 3 0 0 7 7 1 5 1. Halle la matriz inversa de existir. Usaremos Scilab para veri…car si A es no-singular y de serlo emplearemos el comando inv(x) para halla la respectiva inversa. –>a=[0;0;0]; –>b=eye(3,3); –>c=[-3 -2 -1 1]; –>A=[a b;c]; –>//Veri…camos si A es invertible –>det(A) ans = 3. –>//Calulamos la inversa de A –>inv(A) ans = 0:6666667 0:3333333 0:3333333 1: 0: 0: 0: 1: 0: 0: 0: 1:. 0:3333333 0: 0: 0:. Es recomendable memorizar la inversa de una matriz 2 a11 a12 a21 a22. 1. =. 1 a11 a22. 26. a12 a21. a22 a21. 2: a12 a11.

(27) 1.4. Autovectores y Autovalores de una Matriz. Los siguientes conceptos serán de gran utilidad para la representación de sistemas lineales en variables de estados y el análisis de estabilidad correspondiente. DEFINICION 33 Sea A una matriz de dimensión (n n); y e un vector columna, no nulo y de dimensión (n 1): Se dice que e es un autovector de A si existe un numero complejo tal que Ae = e y en cuyo caso se dice que es un autovalor de A: Al conjunto de todos los autovalores de A se denomina espectro de A; y se denota por spec (A) : 3 4. 1 2. Ae =. 3 4. 1 2. 1 1. =. 2 2. =2. 1 1. EJEMPLO 34 La matriz A =. y el vector e =. 1 1. cumple con. = 2e En consecuencia e es un autovector de A y. = 2 es el correspondiente autovalor.. Para determinar los autovalores y autovectores asociada a una matriz A; se procede desde la de…nición. Es decir: Ae = e lo que equivale a escribir e. Ae = 0n. donde 0n es la matriz cero o nula de dimensión (n n): Por lo tanto, los autovalores y autovectores de A están de…nidos a través de la relación ( In. A) e = 0n. y donde e debe ser no-nulo. En consecuencia, la solución de dicho sistema de ecuaciones homogéneas debe ser no trivial, lo que a su vez quiere decir det ( In Por otro lado, si se expande. det ( In. 2. 6 6 A) = det 6 4. A) = 0. a11 a21 .. .. a12 a22 .. .. an1. an2. 27. .... a1n a2n .. . ann. 3 7 7 7 5.

(28) se obtiene que A. ( ) = det ( In = n + a1. A) +. n 1. + an. 1. + an. en donde A ( ) es un polinomio mónico de grado n que se denomina el polinomio característico de A: Por lo tanto, para encontrar los autovalores de A es necesario resolver la ecuación A. ( )=. n. n 1. + a1. +. + an. 1. + an = 0. Siendo entonces los autovalores de A las n raíces del polinomio característico EJEMPLO 35 Considere la matriz 2. 1 6 0 A=6 4 0 1. 0 1 0 2. 0 0 1 1. A. ( ):. 3 0 0 7 7 0 5 2. halle el polinomio característico y el espectro de A: Por de…nición A. ( ) = det ( In A) = 4 3 3+ 2+3. 2. y las respectivas raíces son los autovalores de A spec (A) = f 1; 1; 1; 2g Para hallar por ejemplo un autovector e1 asociado ecuación 2 +1 0 0 0 6 0 1 0 0 6 4 0 0 1 0 1 2 1 2 o sea. 2. 0 6 0 6 4 0 1. 0 2 0 2. 0 0 2 1. y se obtiene las relaciones. a. 32 0 a 6 b 0 7 76 0 54 c 3 d. b = 0 c = 0 3d = 0 28. a = 3 7 7 5. 3. 1; es necesario resolver la. e1 = 0. = 1. 2. 3 0 7 6 0 7 7=6 7 5 4 0 5 0.

(29) Tome a = 3; y d =. 1; para encontrar que e1 =. 3 0 0. 1. T r:. Y esto se repite por cada autovalor distinto de A. En Scilab, si A es una matriz cuadrada, por medio de v = spec(A) se obtiene un vector columna con los autovalores (reales o complejos) de A. Para obtener autovectores asociados a autovalores reales se debe utilizar la función bdiag. Si A es una matriz cuadrada, la orden D =bdiag(A) produce una matriz diagonal por bloques, con los mismos autovalores de A. Estos bloques son de tamaño 1 o 2. Los bloques de tamaño 1 son autovalores reales y los de tamaño 2 dan lugar a una pareja de autovalores complejos. Si se utiliza [D; V ] =bdiag(A) se obtiene en D la matriz diagonal por bloques y en V una matriz en la que las columnas correspondientes a los bloques de tamaño 1 de D son justamente autovectores asociados. Por ejemplo,. 1 2 3 4; 0 1 2 3; 1 A = [D; V ] = bdiag (A). 1 2. 2; 1 1 1 0. produce el resultado A = 1: 0: 1: 1:. V. 2: 1: 1: 1:. 3: 2: 2: 1:. 4: 3: 2: 0:. = :5002545 :7552985 :2266698 :5617663. 1:2812425 :2908736 :5508113 :3723501 :3411499 :9164676 :5406072 :0716719. 29. 2:3038484 1:029101 :9689495 :8681726.

(30) D = 1:8315145 0: 0: 0: Esto indica que. 0: 2:7705494 :0959230 0:. 0: 0: 2:5629538 0: 2:7087334 0: 0: :3522317. 1:8315145 es un autovalor y que. V (1) = (0:5002545; 0:7552985; 0:2266698; 0:5617663)0 es un vector propio asociado.. 1.4.1. Solución de sistemas de ecuaciones. En matemáticas (y todas las ciencias y técnicas relacionadas, especialmente ingeniería eléctrica) uno de los problemas más frecuentes, o posiblemente el más frecuente, consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde se conocen la matriz A y el vector columna b. Si A es una matriz cuadrada e invertible, el sistema tiene, teóricamente, una única solución y se puede resolver por una de las dos órdenes siguientes. La primera conlleva el cálculo de la inversa. La segunda usa un algoritmo e…ciente de Scilab para hallar la solución x1 = inv(A) b x2 = Anb Teóricamente, el resultado debe ser el mismo. Desde el punto de vista de precisión numérica, los resultados son semejantes. Para matrices medianamente grandes hay diferencias en tiempo. La primera forma gasta, aproximadamente, tres veces más tiempo que la segunda. Fuera del caso de solución única hay otros dos casos: el caso de sistema inconsistente (sin solución) y el caso de in…nitas soluciones. Si el sistema es inconsistente, entonces se desea encontrar una seudosolución, la solución por mínimos cuadrados, o sea, se busca x que minimice (kAx bk2 )2 donde q + x2n kxk2 = x21 + x22 + En este caso la orden x = Anb encuentra una de estas “soluciones”. Si las columnas de A son linealmente independientes, esta seudosolución es única. Para mayor información, use la ayuda: help backslash. 30.

(31) 1.5. Tipos especiales de Matrices. DEFINICION 36 a) Una matriz cuadrada A se dice ser simétrica si A = AT r : b) Una matriz cuadrda A es antisimétrica si A = AT r Por ejemplo, las siguientes son 2 a b 4 A= b d c e. 1.6. matrices simétricas 3 2 c 0 1 5 4 e 0 B= 2 f 0 0. 3 0 0 5 3. La Matrices como Transformaciones Lineales. Otro perspectiva sobre la cual resulta sumamente interesante analizar las matrices es considerando que estas operan como transformaciones lineales. Es decir que una matriz A 2 Mm n es, en esencia, una transformación lineal A :Rn ! Rm que envía los vectores o puntos del espacio Rn a otro espacio o subespacio en Rm . De inmediato surge la pregunta de en que casos esta transformación lineal, que no es más que una función, es invertible. Resulta bastante intuitivo que si se tiene m > n o n > m la transformación no tendrá inversa, ya que en el primer caso se estarán convirtiendo los puntos de un espacio en puntos de otro más grande, y al no poder abarcarlos todos tendremos como resultado una función que no es sobreyectiva. En el segundo caso, estaremos comprimiendo los puntos o vectores del espacio de partida en otro más pequeño e inevitablemente enviaremos a gran cantidad de vectores de Rn al mismo vector en Rm y como resultado tendremos una función que no es inyectiva. Esto da a entender de inmediato que una matriz que no sea cuadrada no puede tener inversa. Sin embargo, A : Rn ! Rn es condición necesaria mas no su…ciente. Resulta que si A 2 Mn n pero rk (A) < n la transformación tampoco tiene inversa, ya que rk (A) < n implica que el conjunto donde caen los puntos de la función es un subespacio contenido en Rn pero de dimensión menor a n y de nuevo tenemos una función que no es inyectiva. Por ejemplo, si n = 3 tendríamos una función que comprime todo R3 en un plano o una recta. Como corolario de esta re‡exión se tiene que una transformación lineal tiene inversa si y solo si A : Rn ! Rn y rk (A) = n. Pero estas dos condiciones pueden resumirse en que det(A) 6= 0 mostrando que los resultados que se obtienen al tratar 31.

(32) las matrices como transformaciones lineales son los mismos que los que se obtienen al pensar en ellas como arreglos de números. La manera de pensarlas depende del uso que les estemos dando, pero siempre es conveniente tener ambas perspectivas en mente. Finalmente, note que lo que se conocía hasta ahora como producto de matrices no es más que una composición de transformaciones lineales. Por ejemplo, si A 2 Mm n y B 2 Mp m tenemos: A : Rn ! Rm B : Rm ! Rp BA : Rn ! Rm ! Rp. 1.7. Diagonalización de Matrices. Bajo la idea de que una matriz cuadrada A 2 Mn n puede pensarse como una funcion A : Rn ! Rn que reordena los puntos del espacio, el problema de diagonalizar una matriz se reduce a buscar un sistema de referencia en donde la transformación lineal que ella codi…ca se vea lo más sencilla posible. Para resolver este problema, es necesario recordar nuevamente que un autovector es aquel e 2 Mn 1 tal que: con. Ae = e. 2C. Es decir, es aquel vector del espacio al que al aplicarle la transformación lineal de la matriz A lo único que le ocurre es que sufre una homotesia de razón (se estira o encoge). Bajo esta forma de pensar, resulta intuitivo que una buena base para trabajar con la transformación A es aquella formada por sus autovectores. Ya que con esta base de Rn , podríamos descomponer todos los puntos del espacio en una combinación lineal de autovectores y entonces describir su acción resultaría mucho más fácil, pues esta se reduciría sólo a una suma de homotesias. Para ilustrar mejor esto, observe el siguiente diagrama: RnBaseInicial H#. RnBaseAutovectores. RnBaseInicial (M odif icada) "H 1 A ! RnBaseAutovectores (M odif icada). En este diagrama se ve que la idea será tomar un vector del espacio inicial, escribirlo como una combinación lineal de los autovectores de la matriz A, mediante 32.

(33) una matriz H. Luego aplicar la transformación A de la manera sencilla y …nalmente, revertir el cambio de base hacia la original mediante H 1 : Es decir, sólo necesitamos conseguir una matriz H tal que sea invertible y que realize la transformación deseada. Propondremos como H a aquella matriz que tiene por columnas los autovectores de A y veri…caremos que es la que hace el trabajo. Finalmente, escribiremos la composición de funciones que se sigue en este diagrama de forma resumida como AD = H 1 A H y mostraremos que en efecto, obtendremos una matriz diagonal mediante esta composición. EJEMPLO 37 Considere la matriz 2. 3 0 1 0 A = 4 0 0 15 6 7 0. 1) Para diagonalizarla, el primer paso será encontrar sus autovalores a través de su polinomio caracteristico. Esto es: 1 A) = det 0 6 Spec (A) = f1; 2; 3g XA ( ) = det( I. 0 1 =. 3. 7 +6=(. 7. 2) Luego, conseguimos los autovectores asociados como sigue: Para = 1. 2 1 40 6. ( I A) = 0 32 3 2 3 1 0 v1 0 1 15 4 v2 5 = 405 7 1 0 3 v= 1 1 1. Para. Tr. =2. 2 2 40 6. ( I A) = 0 32 3 2 3 1 0 v1 0 5 4 5 4 2 1 v2 05 = 7 2 0 3 33. 1)(. 2)( + 3).

(34) v= 1 2 4 Para. =. Tr. 3. 2. 3 40 6. ( I A) = 0 32 3 2 3 1 0 v1 0 5 4 5 4 3 1 v2 05 = 7 3 0 3 v= 1. Tr. 3 9. Note que si es un autovector, con 2 R también lo será. 3) Formamos la matriz H con los autovectores puestos como columnas en cualquier orden y calculamos su inversa. 2 1 1 4 H= 1 2 1 4. 3 1 35 9. H. 1. 2. 1:5 4 0:6 = 0:1. 0:25 0:4 0:15. 3 0:25 0:2 5 0:05. Note que la matriz H convierte cada vector de la base ortonormal canónica del espacio fe1 ; e2 ; e3 g en un autovector de A tal y como se esperaba. 4) Realizamos la composición de funciones AD = H 1 A H, como un producto de matrices 2 32 32 3 0 1 0 1 1 1 1:5 0:25 0:25 0:2 5 4 0 0 15 41 2 35 AD = H 1 A H = 4 0:6 0:4 0:1 0:15 0:05 6 7 0 1 4 9 y obtenemos la matriz diagonal. 2 1 0 AD = 40 2 0 0. 3 0 05 3. Note que la matriz AD y la matriz original A tienen la misma traza y el mismo determinante, más aún, tienen el mismo polinomio característico. Estas invarianzas ocurren sin importar el cambio de base que realicemos sobre la matriz, es decir, sieme = Q 1 A Q se cumplirá pre obtengamos una composición de funciones de la forma A que XAe( ) = XA ( ): Siendo cierto esto, entonces resulta evidente que el valor de la 34.

(35) traza(A) corresponde a la suma de los autovalores de A en cualquier representación, pues esto es lo que se obtiene cuando la matriz A está en su representación diagonal. Análogamente, se obtiene que el det(A) corresponde al producto de los autovalores. Para dar por …nalizada esta introducción a las matrices sólo queda agregar que no toda matriz A 2 Mn n es diagonalizable, esto sólo ocurre si se puede encontrar una base del espacio formada por autovectores de A: Es decir, n autovectores linealmente independientes, capaces de generar todo Rn : Si los autovalores son todos distintos, entonces esta base siempre existe y la matriz es diagonalizable, sin embargo, existen casos muy particulares en donde los autovalores se repiten, cuando esto ocurre, es posible que no se pueda encontrar una base de autovectores y la matriz no sea diagonalizable.. 1.8. Ejercicios. A continuación se presenta una serie de problemas que deberán ser resueltos a mano y simultáneamente en Scilab. EJERCICIO 38 Escribir de nuevo cada una de las siguientes expresiones como una sola matriz equivalente. 2 3 2 3 3 2 6 1 8 8 5 5+4 4 1 2 5 1. 4 7 1 9 8 5 6 3 4 1 1 1 1. 2.. 8. 3 a11 a12 a13 3. 4 0 a22 a23 5 0 0 a33 2. 4.. x 1 x 2 x3. 5.. x 1 x 2 x3. Tr. 1. y1 y2 y3 y1 y2 y3. Tr. EJERCICIO 39 Llevar a acabo la multiplicación de matrices indicadas 2 3 2 3 1 4 6 1 1 8 1. 4 3 2 5 5 4 6 3 7 5 7 2 9 4 1 0. 35.

(36) 2. 3 a11 a12 a13 4 a21 a22 a23 5 a31 a32 a33. 2.. 2. 3 b11 0 0 4 0 b22 0 5 0 0 b33. EJERCICIO 40 Para los productos matriciales en el ejercicio anterior, mostrar por cálculo directo y usando Scilab que el determinante del producto es el producto de los determinantes. EJERCICIO 41 Encontrar la inversa de cada una de las siguientes matrices 1 0 0 1. ;. 1 0. 0 1. ;. 0 1 1 0. ;. 0 1 1 0. :. EJERCICIO 42 Encontrar el inverso de 2 32 3 b11 b12 b13 c1 a1 a2 a3 4 b21 b22 b23 5 4 c2 5 b31 b32 b33 c3. EJERCICIO 43 Diagonalice las siguientes matrices y veri…que las matrices AD y H utilizando Scilab 2. 3 1 4 6 1. 4 3 2 5 5 7 2 9 2 3 0 1 0 0 60 0 1 07 7 2. 6 40 0 0 15 0 10 3 4. References [1] Perlis, Sam. "Theory of Matrices". Dover Books. N.Y. USA. 1952. [2] Eves, Howard. "Elementary Matrix Theory".Dover Books. N.Y. USA. 1966. [3] Uspensky, J.V. "Theory of Equaions". McGraw-Hill, N.Y. USA.1948. [4] Wolovich, W.A. "Linear Multivariable Systems". Springer-Verlag. N.Y. USA. 1977. [5] SCILAB Group, “Introduction to SCILAB http://scilabsoft.inria.fr/doc/intro/index..html 36. -. User’s. Guide”,.

(37) [6] Urroz, G.E. “SCILAB”, http://www.engineering.usu.edu/cee/faculty/gurro/Scilab.html [7] Da Motta, P.S. “Introdução ao SCILAB”, Dpto. de Engenharia de Computação e Automação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Brasil.. 37.

(38)