a LR 2 b ²
LA ELIPSE
Definición.- Es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a 2 puntos fijos, llamados FOCOS, es constante.
Elementos de la Elipse.- Los elementos de la elipse son los siguientes:
a) Eje de simetría –eje focal ( XX ).- Contiene a los vértices (V1 y V2) y a los focos (F1 y F2 )
b) Vértices(V1 y V2 ).- Están en el eje focal y se encuentran a igual distancia del centro de la elipse c) Eje mayor (V1V2).- Es la porción del eje focal comprendida entre los dos vértices , su longitud es igual a
2ª , es decir : V1V2 = 2a ó también se dice: EM=2a
d) Eje menor (A1A2) .- Es la porción del eje normal o perpendicular al eje mayor , que divive a la elipse en dos partes iguales. Su longitud es igual a 2b, es decir : A1A2 = 2b; ó también se dice: Em=2b
e) Focos(F1 y F2 ).- Son puntos fijos que se encuentra en el eje de simetría y esta a la misma distancia del centro de la elipse y de los vértices.
f) Centro(C).- Es el punto medio de los focos y de los vértices, es decir es el punto medio de los ejes mayor y menor
Semieje mayor.-Es el segmento que une el centro con uno de los vértices, su longitud es igual a distancia a , es decir : CV2 = a CV1 = a
Semieje menor.- Es el segmento que une el centro con una de la intersecciones del eje normal y la elipse, su longitud es igual a la distancia b, es decir: CA2 = b CA1 = b
g) Lados Recto ( LR).- “Latus Rectum” Es la Cuerda focal perpendicular al eje de simetría, su longitud es igual a :
Cuerda .- Es el segmento de recta que une dos puntos de la elipse.:
i) Excentricidad ( e).- La “e ”Siempre es menor que 1, también a siempre es mayor que b
V1 C V2
A
B
a c b
F1 F2
a
b
c X
Y
X
0
e y a
0
e x a
j) Directriz(D).- Son dos recta perpendiculares al eje de simetría y se encuentra en cada extremo de la elipse, sus ecuaciones son;
Cuando los focos están sobre el eje X sus ecuaciones son:
Cuando los focos están sobre el eje Y sus ecuaciones son:
Distancia de un punto de la elipse a los dos focos .- Desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es igual a la suma de los dos segmentos igual a 2a, es decir:
F1P + F2P = 2a
Ecuaciones de la elipse con centro en el origen.- Se presenta los siguientes casos:
a) Los focos están sobre el eje X b) Los focos están sobre el eje Y
Ecuación de la Elipse cuando el centro no está en el origen.- Se presentan los siguientes casos:
a) Los focos esta sobre el eje X b) Los focos están sobre el eje Y
.
Ecuación General de la Elipse.-
a) Para cualquier caso la ecuación es: A x ² + C y ² + Dx + E y + F = 0
0
e x a
0
e y a
² 1
²
²
²
b y a
x 1
²
²
²
²
a y b x
² 1
²
²
²
b k y a
h
x
² 1
²
²
²
a k y b
h
x
64 1
² 1 100
²
3
y
x
9 1
² 25
²
5
y
x 1
100
² 64
² y x
39 1
² 64
² y 1 x
25
² 100
² y x
49 1
² 9
² y x
PRACTICA
Ejercicios.- Es importante graficar sobre la base de los datos disponible, para realizar mejor la interpretación del ejercicio.
1. Una elipse tiene centro C(0,0) y su eje focal es el eje Y, Si uno de los focos F(0,3) y la excentricidad es
½ Hallar las coordenadas del otro foco, longitud del lado mayor y menor, ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.
Rep. F(0,-3); EM= 12; Em=10,4; LR=9
2. Determina todas sus características de la elipse en base a las siguientes condiciones:
a) Vértice V(0,0) ,semieje mayor igual a 5, semieje menor igual a 3 b) Lado Recto LR=5 y vértices V(
10, 0)c) Foco F(0,
6), semieje menor igual a 8 d) Foco F(
6, 0), excentricidad e= 5/8 Rep.a)
b)
3. Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse de centro en el origen, si uno de sus vértices es V(0,7)y pasa por el punto P(
5
,4/3)Rep.
4. Dada las siguientes ecuaciones de la elipse determinar todas sus caracterís ticas: y grafica a)
b) c)
d) 25x ² + 9y ²= 225 e) 8x ² + 3y ² = 12
Rep. a)
5. Determina la ecuación de la elipse de centro C(3,2) eje mayor paralelo al eje X, tangente al eje Y y semieje menor igual a 2 unidades.
Rep.
36 1
² 27
² y x
9 1
² 25
² y
x 1
2
² 20
² y x
7
40 e
4 1
² 2 9
²
3
y
x
8 1
² 9
² y x
6. Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1(-5, -1)) y V2(-5, 7) y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, Las longitudes de los ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y la excentricidad.
EM = 8 ; Em=4; F1(-5, 3+ 12) F2(-5, 4 + 12) ;
4
12
e Rep. ;
7. Halla la ecuación de la elipse de vértice V(
3, 0) y foco F(
1, 0)Rep.
Hallar la ecuación de la elipse si los vértices son V1(-8, 2)) y V2(26,2) y los focos son: F1(-6,2) F2(24, 2) Rep.
8. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen , de semieje paralelo a las abscisas que pasa por los puntos A(4, 12/5) y B(3, 16/5)
Rep.
9. Determinar las características de la elipse de las siguientes ecuaciones:
a) 4x² + 9y² -8x + 54y – 59 = 0 b) 4x² + y ² - 8x + 2y +1 = 0 c) x ² + 2y ² - 10x + 8y – 29 = 0
Rep. a) a= 6 ; b = 4 ; c=
20
b) a = 2 ; b = 1 ; c=3
c) a= 2 ; b = 2 ; c =3
10. Calcula la distancia del centro de la elipse 4x² + 9y ² - 48x + 72y +144 = 0; a la recta x + 2y +2 = 0
Rep.
5 5
16 d
11. Determinar la ecuación general de la elipse de focos F1(2,4) F2(2,-2) y eje mayor igual a 10 unidades.
Rep. 25x 2 + 16y ² - 100x – 32y + 284 = 0
12. Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es C(3,1), uno de sus vértices es V(3, -4) y el eje menor mide 2b= 8
Rep. 25x 2 + 16y ² - 150x – 32y + 1594 = 0
13. Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es C(-1,-2), uno de sus vértices esta en V(-1,3) y el eje menor mide 6
Rep. 25x 2 + 9y ² + 50x +36y -164 = 0
14. Hallar la ecuación de la elipse que tiene centro C(3,-1) y eje menor igual a 8 , tiene uno de sus focos sobre la recta 3y – x – 1 = 0 y eje mayor paralelo al eje Y.
Rep.
15.Un arco en forma de semielipse subtiende una luz de 24 m, siendo su máxima altura 8 m. Hallar la altura de un arco a una distancia de 5m de uno de los extremos. Rep. h = 6,498 m
16 1
² 3 4
²
5
y
x
64 1
² 2 289
²
9
y x
16 1
² 25
² y x
25 1
² 1 16
²
3
y
x
Sol
16. Halla la ecuación general de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de las parábolas cuyas ecuaciones son: y ² - 4y – 4x – 4 = 0 ; y ² - 4y + 4x – 12 = 0
Rep. 5x 2 + 9y ² + 10x +36y - 4 = 0
17. La tierra describe una orbita elíptica al girar alrededor del sol ocupando este la posición de uno de los focos, si se sabe que el eje mayor de la elipse descrita mide 2,97x 10 8 Km. Y tiene una excentricidad e
= 1/62. Hallar la máxima y mínima distancia de la tierra al sol.
Rep. Max = 150.845.161,3 Km Min= 146.104.838 Km
Tierra
18. El punto medio de una cuerda de la elipse x ² + 4y ² - 6y – 8x – 3 = 0 es el punto P(5,2). Determina la ecuación y la distancia de la cuerda.
Rep. x + 2y – 9 = 0 ; d =
20
19. Un arco tiene la forma de una semielipse con una luz de 150 m , siendo su máxima altura de 45 m.
Hallar la longitud de dos soportes verticales situados cada uno a igual distancia del extremo del arco elíptico.
Rep. h= 30 2
